矩阵相似的性质
矩阵相似与合同
矩阵相似与合同1. 矩阵相似矩阵相似是线性代数中一个重要的概念，它描述了两个矩阵之间的一种关系。
在讨论矩阵相似之前，我们先来回顾一下什么是矩阵。
1.1 矩阵的定义矩阵是由m行n列的数排成的一个矩形阵列，记作A=(a ij)m×n。
其中，a ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
1.2 矩阵相似的定义给定两个n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得B=P−1AP，则称矩阵A和B相似。
矩阵相似关系具有以下性质：•自反性：任意矩阵A都与自身相似，即A相似于A。
•对称性：如果矩阵A与矩阵B相似，则矩阵B与矩阵A相似。
•传递性：如果矩阵A与矩阵B相似，矩阵B与矩阵C相似，则矩阵A与矩阵C相似。
矩阵相似关系可以看作是一种矩阵之间的等价关系，它保持了矩阵之间的某些性质不变。
2. 矩阵合同矩阵合同是另一种描述矩阵之间关系的概念。
与矩阵相似类似，矩阵合同也是通过一个可逆矩阵来表示两个矩阵之间的关系。
2.1 矩阵合同的定义给定两个n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得B=P T AP，则称矩阵A和B合同。
矩阵合同关系具有以下性质：•自反性：任意矩阵A都与自身合同，即A合同于A。
•对称性：如果矩阵A与矩阵B合同，则矩阵B与矩阵A合同。
•传递性：如果矩阵A与矩阵B合同，矩阵B与矩阵C合同，则矩阵A与矩阵C合同。
矩阵合同关系也可以看作是一种矩阵之间的等价关系，它同样保持了矩阵之间的某些性质不变。
3. 矩阵相似与矩阵合同的关系矩阵相似和矩阵合同都是描述矩阵之间关系的概念，它们之间的区别在于变换矩阵的不同。
对于矩阵相似，变换矩阵是可逆矩阵P，而对于矩阵合同，变换矩阵是可逆矩阵P的转置P T。
矩阵相似和矩阵合同之间的关系可以通过以下定理来描述：定理 1：设A为n阶矩阵，A与对角矩阵D相似，即存在可逆矩阵P，使得D=P−1AP。
则存在正交矩阵Q，使得D=Q T AQ，其中Q是P的标准正交化矩阵。
定理 2：设A为n阶矩阵，A与对称矩阵S合同，即存在可逆矩阵P，使得S=P T AP。
两矩阵相似得出的结论总
两矩阵相似得出的结论总
两个矩阵相似意味着它们具有相同的特征值，但是特征向量可能不同。
从这个结论我们可以得出以下总结：
1. 相似矩阵具有相同的特征值：特征值是矩阵的一个重要性质，它描述了矩阵转换后的向量的放大或缩小倍数。
两个相似矩阵具有相同的特征值意味着它们具有相似的特征变换效果。
2. 相似矩阵的特征向量可能不同：特征向量是与特征值相对应的向量，描述了特征变换后的向量的方向。
即使两个矩阵具有相同的特征值，它们的特征向量可能是不同的，因为不同矩阵的特征变换可能会将向量方向变换为不同的方向。
3. 相似矩阵可以通过可逆矩阵进行转换：两个相似矩阵可以通过一个可逆矩阵进行转换，使得它们具有相同的特征值。
这种转换称为相似转换，可以利用矩阵的特征值和特征向量来进行。
4. 相似矩阵具有相似的性质：由于相似矩阵具有相同的特征值，它们也具有相似的矩阵性质，比如迹、行列式、秩等。
5. 相似矩阵可以简化计算：相似矩阵具有相同的特征值，这意味着它们具有相似的特征分解形式。
通过对一个相似矩阵进行特征分解，我们可以得到另一个
相似矩阵的特征分解，从而简化计算。
矩阵与行列式的相似矩阵与对角化
矩阵与行列式的相似矩阵与对角化在线性代数中，矩阵与行列式是两个非常重要的概念。
它们在许多数学和工程领域中都有广泛的应用。
而相似矩阵和对角化则是与矩阵与行列式密切相关的概念。
本文将重点介绍矩阵与行列式的相似矩阵和对角化。
1. 相似矩阵的定义及性质相似矩阵是指具有相同特征值的矩阵。
形式上，对于两个n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P⁻¹AP=B，则称矩阵A与B 相似。
相似矩阵有以下性质：(1) 相似矩阵具有相同的特征值；(2) 相似矩阵具有相同的迹；(3) 相似矩阵具有相同的行列式。
相似矩阵的概念在线性代数中有广泛的应用，可以简化对矩阵的运算和分析。
2. 对角化的概念及条件对角化是指将一个矩阵通过相似变换变为对角矩阵的过程。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P⁻¹AP=D，其中D为对角矩阵，则称矩阵A可对角化。
对角化的条件有以下两个：(1) 矩阵A有n个线性无关的特征向量；(2) 矩阵A的特征向量构成n阶矩阵的一个特征向量空间的基。
具有对角化性质的矩阵在一些问题的求解中非常有用，可以简化矩阵的计算和分析过程。
3. 对角化的步骤对于一个可对角化的矩阵A，可以通过以下步骤实现对角化：(1) 求解特征值和特征向量：计算矩阵A的特征值和对应的特征向量；(2) 构建特征向量矩阵：将特征向量按列排列得到特征向量矩阵P；(3) 构建对角矩阵：将特征值按对角线排列得到对角矩阵D；(4) 计算相似矩阵：计算相似矩阵B=P⁻¹AP。
经过上述步骤，原矩阵A就可以被对角矩阵D所代替，即A=PDP⁻¹，完成对角化过程。
4. 对角化的应用对角化的概念和方法在许多数学和工程领域都有着重要的应用。
以下是对角化的一些应用：(1) 矩阵的幂计算：对对角矩阵求幂非常简单，只需要对对角线上的元素求幂即可。
这在很多数值计算和电路分析问题中非常有用；(2) 矩阵的指数函数：对角矩阵的指数函数可以通过对对角线上的元素分别求指数得到。
判断两个矩阵相似的条件
判断两个矩阵相似的条件矩阵是现代数学研究的基础之一，它在线性代数、微积分、物理学、工程学等领域中发挥着重要的角色。
在矩阵运算中，相似矩阵是一个非常重要的概念。
本文将围绕“判断两个矩阵相似的条件”进行讲解。
一、什么是相似矩阵？相似矩阵是指一个矩阵经过线性变换后得到的形式不变的矩阵，在线性代数中有着广泛的应用。
例如，一些计算问题，例如求解线性方程组、特征值和特征向量，都可以通过相似变换将矩阵化为更容易求解的形式。
二、判断两个矩阵相似的条件1. 维数相同两个矩阵相似必须要求它们的维数相同，也就是它们具有相同的行数和列数。
2. 矩阵A和B的特征多项式相同在线性代数中，特征多项式是一个方阵特征值的一个函数。
如果矩阵 A 和 B 的特征多项式相同，那么它们就有着相同的本质性质，即它们具有相同的特征值和特征向量，如果这两个矩阵的特征值相同，则它们就是相似的。
3. 矩阵A和B的Jordan标准型矩阵相同任何一个矩阵A可以通过初等变换、相似变换化为Jordan标准型（简称Jordan型）。
设相似矩阵为 $P^{-1}AP=B$，则 $P^{-1}$ 一定可以写成若干个初等矩阵的乘积，即 $P^{-1}=E_1E_2\cdots E_k$ 。
如果A和B的Jordan标准型矩阵相同，那么它们就是相似的。
三、相似矩阵的性质如果矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 两个相似矩阵，则它们具有以下性质：1. 相似矩阵具有相同的特征值和特征向量；2. 相似矩阵的行列式相等；3. 相似矩阵的秩相等；4. 相似矩阵的迹相等；5. 相似矩阵具有相同的正则型矩阵。
相似矩阵在数学中有着广泛的应用，如矩阵的特征值分解主要就是将矩阵转化为对角矩阵，然后进行计算，从而达到更加轻松方便的计算效果。
同时，相似矩阵也是计算机图形学和图像处理一些重要算法的基础，如PCA算法等等。
通过以上几个步骤，我们就可以判断两个矩阵是否相似，并且为接下来的计算和问题解决奠定基础。
第六章相似矩阵
这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种 运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与 之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从 而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对 角矩阵பைடு நூலகம்运算．
6.2.1、 相似矩阵的性质
定义1 设A, B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵 P,使 P1 AP B,
则称B是A的相似矩阵 , 或说矩阵 A与B相似.对A进 行运算 P1 AP称为对A进行相似变换 ,可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵 .
注 P1AP表示对n阶方阵A作一系列的初等行变换与 初等列变换，只是对初等变换的要求更高，即A右乘与 左乘的矩阵是互逆的。因此，相似变换是一种特殊的初 等变换，矩阵之间相似是矩阵之间等价的特殊情形.
从而也有 tr ( A) tr (B) 性质二、 见教材 P133 定理 5
性质3的一个推论 ：
若n 阶方阵A与对角阵
1
2
n
相似,则1,2,,n即是A的n个特征值.
１．相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，相似矩阵的性质
２．相似变换与相似变换矩阵
相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A 变成 P 1 A P，而可逆矩阵 P称为进行这一变换的 相似变换矩阵．
矩阵之间的相似关系具有如下等价关系
(1)反身性 A与A本身相似. (2)对称性 若A与B相似,则B与A相似. (3)传递性 若A与B相似, B与C相似,
则A与C相似.
性质一：若 n阶方阵 A与 B相似，则有 1、 | A || B | 2、 R( A) R(B) 3、 A与 B有相同的特征多项式和 特征值 ;
矩阵相似的性质：矩阵相似例题
1 矩阵的相似1 定义2性质3定理（证明）4 相似矩阵与若尔当标准形2 相似的条件3 相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵相似矩阵与矩阵的对角化相似矩阵在微分方程中的应用【1 】）矩阵的相似及其应用1 矩阵的相似定义1设A,B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B?X?1AX，就说A相似于B记作A∽B 2 相似的性质（1）反身性A∽A；这是因为A?E?1AE.（2）对称性如果A∽B，那么B∽A；如果A∽B,那么有X，使B?X?1AX，令Y?X?1，就有A?XBX?1?Y?1BY，所以B∽A。
（3）传递性如果A∽B，B∽C，那么A∽C。
已知有X,Y使B?X?1AX，C?Y?1BY。
令Z?XY，就有C?Y?1X?1AXY?Z?1AZ，因此，A∽C。
3 相似矩阵的性质若A,B?Cn?n，A∽B，则（1）r(A)?r(B)；Q是n?n可逆矩阵，引理A是一个s?n矩阵，如果P是一个s?s可逆矩阵，那么秩（A）=秩（PA）=秩（AQ）证明设A,B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得B?C?1AC,由引理2可知，秩?1（B）=秩（B?CAC）=秩（AC）=秩（A）（2）设A相似于B，f(x)是任意多项式，则f(A)相似于f(B)，即P?1AP?B?P?1f(A)P?f(B)证明设f(x)?anx?an?1xnnn?1a1x?a0 a1A?a0E a1B?a0E于是，f(A)?anAn?an?1An?1? f(B)?anB?an?1Bn?1kk由于A相似于B，则A相似与B，（k为任意正整数），即存在可逆矩阵X,使得Bk?X?1AkX，?1?1anAn?an?1An?1?因此Xf?A?X?X?a1A?a0E?X?anX?1AnX?an?1X?1An?1X? ?anBn?an?1Bn?1? ?f(B) 所以f(A)相似于f(B)。
?a1X?1AX?a0Ea1B?a0E（3）相似矩阵有相同的行列式，即A?B,trA?trB；证明设A与B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得B?C?1AC，两边取行列式?1?1AC?AC?1C?A，从而相似矩阵有相同的行列式。
相似矩阵的性质及应用毕业论文
相似矩阵的性质及应用毕业论文一.相似矩阵的定义定义：设A 、B 为数域P 上两个n 级矩阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆矩阵X ，使得B=1-X AX ，就说A 相似于B ，记做B A ~.二.相似矩阵的重要性质性质1 数域P 上的n 阶方阵的相似关系是一个等价关系.证明：1〉（反身性） 由于单位矩阵E 是可逆矩阵，且A=1-E AE ，故任何方阵A 与A 相似.2〉（对称性） 设A 与B 相似，即存在数域P 上的可逆方阵C ，使得B=1-C AC ，由此可得A=CB 1-C =11)(--C B 1-C ，显然可逆，所以B 与A 相似.3〉（传递性）设A 与B 相似，B 与C 相似，即存在数域P 上的n 阶可逆方阵P 、Q ，使B=1-P AP ，C=1-Q BQ ，则 C=BQ=1-Q 1-P APQ=1)(-PQ A （PQ ），从而A 与C 相似.〈证毕〉 性质2 相似矩阵有相同的行列式.证明：设A 与B 相似，即存在数域P 上的可逆矩阵C ，使得B=1-C AC ，两边取行列式得：｜B ｜=｜1-C AC ｜=｜1-C ｜｜A ｜｜C ｜=｜A ｜｜1-C C ｜=｜A ｜.从而相似矩阵有相同的行列式. 〈证毕〉 下面先介绍两个引理引理1：设A 是数域P 上的n ×m 矩阵，B 是数域P 上m ×s 矩阵，于是秩（AB ）≤min[秩（A ），秩（B ）] (1)即乘积的秩不超过各因子的秩.证明：为了证明（1），只需要证明秩（AB ）≤秩（A ），同时，秩（AB ）≤秩（B ）.现在来分别证明这两个不等式.设A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nm n n m m a a a a a a a a a 212222111211，B=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ms m m s s b b b b b b b b b212222111211令1B ，2B ，…，m B 表示B 的行向量，1C ，2C ，…n C ，表示AB 行向量.由计算可知，i C 的第j 个分量和m im i i B a B a B a +++ 2211的第j 个分量都等于kj mk ikb a∑=1，因而i C =m im i i B a B a B a +++ 2111 （i=1，2，…n ）.即矩阵AB 的行向量组n C C C ,,,21 可经B 的行向量组线性表出.所以AB 的秩不能超过B 的秩，也即, 秩（AB ）≤秩（B ）.同样，令m A A A ,,21 表示A 的列向量，s D D D ,,21表示AB 的列向量，由计算可知i D =11A b i +22A b i +…+m mi A b （i=1，2，…，s ）.这个式子表明，矩阵AB 的列向量可以经矩阵A 的列向量组表出，前者的秩不可能超过后者的秩，这就是说，秩（AB ）≤秩（A ）. <证毕>引理2:A 是一个s ×n 矩阵,如果P 是个s ×s 可逆矩阵,Q 是n ×n 可逆矩阵,那么秩（A ）=秩（PA ）=秩（AQ ）.证明:令 B=PA,由引理1知秩（B ）≤秩（A ）； 但是由A=1-P B,又由秩（A ）≤秩（B ）,所以秩（A ）=秩（B ）=秩（PA ）.同理可证, 秩（A ）=秩（AQ ）.从而, 秩（A ）=秩（PA ）=秩（AQ ）. 〈证毕〉 性质3 相似矩阵有相同秩.证明:设A,B 相似即存在数域P 上的可逆矩阵C,使得 B=1-C AC , 由引理2可知秩（B ）=秩（1-C AC ）=秩（AC ）=秩（A ）. 〈证毕>性质4 相似矩阵或同时可逆或同时不可逆.证明:设A 与B 相似,由性质3可知B A = .若A 可逆,即0≠A ,从而0≠B 故B 可逆； 若A 不可逆,即0=A ,从而0=B ,故B 不可逆. 〈证毕〉性质5 若A 与B 相似,则n A 相似于n B .(n 为正整数)证明:由于A 与B 相似,即存在数域P 上的可逆矩阵X,使得AX X B 1-=,从而X A X AX X AX X AX X n n 1111----=•••个,即 n A 相似于n B . 〈证毕〉性质6 设A 相似于B,)(x f 为任一多项式,则)(A f 相似于)(B f . 证明:设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 于是Ea B a Ba B a B f E a A a A a A a A f n n nn n n n n 01110111)()(++++=++++=----由于A 相似于B,由性质5可知k A 相似于k B ,(k 为任意正整数) ,即存在可逆矩阵X,使得X A X B K k 1-=,因此)()()(01110111111011111B f Ea B a B a B a E a AX X a X A X a X A X a X E a A a A a A a X X x f X n n nn n n n n n n n n =++++=++++=++++=-----------这就是说)(A f 相似于)(B f . 〈证毕〉性质7 相似矩阵有相同的特征多项式.证明：设A 相似于B ，即存在数域P 上的可逆矩阵C ，使得AC C B 1-=， 则AE C C A E C A E CACC EC C AC C C C AC C E B E -=-=-=-=-=-=--------λλλλλλλ1111111由此可见，B 与A 有相同的特征多项式. 〈证毕〉 性质8：相似矩阵有相同的迹.证明：设A 相似于B 。
第二节相似矩阵
一、相似矩阵的概念和性质
定义4.2 设A,B为n阶矩阵。如果存在一个n阶可逆矩阵P,使得
P AP B
1
(4.7)
则称矩阵A与B相似，记作 A B. “相似”是矩阵间的一种关系，它具有如下性质： (1) 反身性：对任意方阵A,都有 A A。 1 因为 A E AE. (2) 对称性：若 A B，则 B A。 因 B P 1 AP, 所以A ( P 1 )1 B( P 1 ). (3) 传递性：若 A B, B C，则 A C.
0
1
2 1 0 x 0 0
0
3
2
4 y 0
计算两个行列式，得到
( 2)( x 1) ( 2)[ (3 y) 3 y 8]
2 2
比较等式两边 同次幂的系数，得
①
2 0 3 2 0 4 2(3 y 8) y
1 2, det B 0 x 0
可得 2 2(3 y 8). 解得 y 3. 代入①得 x 0.
解法2 相似矩阵 有相当的特征多项式。 由A B有
det( E A) det( E B)
即
2 0 0
T
且 1 , 2 , 3 线性无关。
令
1 P (1 , 2 , 3 ) 2 0
1 0 1
2 1 1 , 0 2 0
0 1 0
0 0 8
1 则 P AP .
例4 设矩阵
3 A 1 5
1 2 2 1 1 0 1 3 2 1 2 1 1 2 5 2 2 1 3 2 1 2 1
线性代数第五章(第三节相似矩阵)
1 2 A( p1 p2 pn ) ( p1 p2 pn ) . n
因而
Api = i pi , i = 1, 2, … , n ,
因为 P 为可逆矩阵, 所以 p1 , p2 , … , pn为线性无 关的非零向量, 它们分别是矩阵 A 对应于特征值
1 , 2 , … , n 的特征向量.
充分性 由必要性的证明可见, 如果矩阵 A
有 n 个线性无关的特征向量, 设它们为 p1 , p2 ,
相似矩阵具有下列的性质：下设A，B 是同
阶矩阵. 定理 1 若矩阵 A 与矩阵 B 相似, 则 |A - E| = | B - E| , 因而 A 与 B 有相同的特征值, 相同的行列式值.
证明 只需证 A 与 B 有相同的特征多项式即
可. 由于 A与 B 相似, 所以, 必有可逆矩阵 P,使得 P-1AP = B ,
所以 p2 是对应于 2 2 的特征向量.
当
3 3
时, 解方程组
( A 3E ) x 0 ,
即
2 1 0 x1 0 1 1 x2 0, 0 x 0 0 3
解之得基础解系为
1 p3 2 , 2 所以 p3 是对应于 3 3 的特征向量.
注: A与B的特征值相同不能推出A与B相似. 例2
0 1 0 0 A 与B 是否相似? 0 0 0 0 1 0 1 1 与 0 1 0 1
矩阵的相似和对角化的性质和应用
矩阵的相似和对角化的性质和应用矩阵的相似和对角化是线性代数中比较基础的概念，也是常常用到的重要工具。
在本文中，我将介绍矩阵相似的定义及其一些性质，探讨矩阵对角化的方法和应用。
一、矩阵相似1.1 定义设 $A$ 和 $B$ 是 $n$ 阶矩阵，若存在一个可逆矩阵 $P$，使得$B=P^{-1}AP$，则称 $B$ 与 $A$ 相似，$P$ 叫做相似变换矩阵。
1.2 性质（1）相似关系是一种等价关系。
对于任意的 $n$ 阶矩阵 $A$，有 $A\sim A$。
若 $A\sim B$，则$B\sim A$。
若 $A\sim B$，$B\sim C$，则 $A\sim C$。
（2）相似关系保持一些矩阵的特性。
若 $A$ 是一个对称矩阵，则 $B=P^{-1}AP$ 也是对称矩阵。
若$A$ 是一个正定矩阵，则 $B=P^{-1}AP$ 也是一个正定矩阵。
（3）相似矩阵有相同的特征值和相同的秩。
若 $A\sim B$，则 $A$ 和 $B$ 有相同的特征值。
即它们的特征多项式相同。
并且相似矩阵有相同的秩。
二、对角化2.1 定义设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵。
若存在一个可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP=D$，其中 $D$ 是一个对角矩阵，则称 $A$ 可对角化，$D$ 叫做 $A$ 的一个对角化矩阵，$P$ 叫做对角化矩阵。
2.2 对角化的必要条件若$A$ 可对角化，则$A$ 必须有$n$ 个线性无关的特征向量。
即存在一组线性无关的向量$\{\vec{v_1},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_n}\}$，使得$A\vec{v_i}=\lambda_i\vec{v_i}$，其中 $\lambda_i$ 是 $A$ 的特征值。
2.3 对角化的方法（1）在求解 $A$ 的特征值 $\lambda$ 和特征向量 $\vec{v}$ 后，将特征向量按列组成矩阵 $P$，得到 $D=P^{-1}AP$。
4.2 相似矩阵
λ－ 2
− 1 1 0 能对角化, 例. 已知 A = − 2 2 0 能对角化 求An(n≥1). ≥ 4 x 1
先求A的特征方程 解: 先求 的特征方程
−1− λ 1 det( A − λI ) = − 2 2−λ 4 x
0 0 1− λ
= (1 − λ )[( −1 − λ )( 2 − λ ) + 2]
例 2 设有矩阵
1 1 0 A = 0 2 1 . 0 0 3
(1) 问矩阵 A 是否可对角化, 若能, 试求可逆 是否可对角化, 若能, 矩阵 P 和对角矩阵 Λ , 使 P-1AP = Λ . (2) 使 P-1AP = Λ 成立的 P 、 Λ 是否唯一， 是否唯一， 举例说明. 举例说明
（ⅲ）如A～B，B～C，则必有A～C。 则必有A 证明: 因为A B～ 所以存在可逆矩阵P 证明: 因为A～B, B～C，所以存在可逆矩阵P1、P2 P1－1AP1＝B，P2－1BP2＝C 所以有 P2－1（P1－1AP1）P2＝C 即有 所以 ）＝C （P1P2）－1A（P1P2）＝C A～C
二、相似矩阵的性质 阶矩阵A 如果相似，则它们会有许多共同之处。 n阶矩阵A与B如果相似，则它们会有许多共同之处。 性质1. 1.如 有相同的特征值。 性质1.如A～B，则A与B有相同的特征值。 证明： 则存在可逆矩阵P 证明：A～B，则存在可逆矩阵P有 AP＝ P－1AP＝B 所以 |λI－B|＝|λI－ |λI－B|＝|λI－P－1AP | λI－ ＝| P－1（λI－A）P| ||λI－ ＝| P－1||λI－A || P| |λI－ ＝|λI－A | 的特征方程相同, 即A与B的特征方程相同, ∴A与B有相同的特征值。 ∴A与 有相同的特征值。
矩阵的相似与对角化
矩阵的相似与对角化矩阵是线性代数中非常重要的概念之一，它在各个领域都有广泛的应用。
在研究矩阵的性质时，相似和对角化是两个重要的概念。
本文将介绍矩阵的相似和对角化以及它们在数学和实际问题中的意义。
一、矩阵的相似矩阵的相似是指对于两个矩阵A和B，若存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP = B，则称矩阵A和B相似。
其中，P被称为相似变换矩阵。
相似的概念可以帮助我们判断矩阵之间是否具有一些相似的性质。
在矩阵相似的条件下，它们具有以下几点性质：1. 相似矩阵具有相同的特征值：设A和B是相似矩阵，若c是A的特征值，则c也是B的特征值。
2. 相似矩阵具有相同的特征多项式：特征多项式是一个与矩阵相关的特征方程，相似矩阵的特征多项式相同。
3. 相似矩阵具有相同的迹和行列式：设A和B是相似矩阵，它们的迹和行列式相等。
相似的概念在矩阵的分析和计算中具有重要的作用。
通过相似变换，我们可以简化矩阵的计算和求解问题。
而且，相似关系也有助于我们研究矩阵的特征值和特征向量，进一步分析矩阵的性质和应用。
二、矩阵的对角化对角化是指将一个矩阵通过相似变换，转化为一个对角矩阵的过程。
对角矩阵是一种特殊的矩阵，它的非对角元素都为0。
对于一个n阶方阵A，若存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP = D，其中D是一个对角矩阵，则称A可对角化。
对角化的过程可以表示为A = PDP^-1。
其中，D是由A的特征值按对角线排列而成的对角矩阵。
一个矩阵是否可以对角化，与它的特征值和特征向量密切相关。
对角化的条件如下：1. 若矩阵A具有n个线性无关的特征向量，即A的特征向量的个数等于n，则A可对角化。
2. 若矩阵A的特征向量的个数少于n，则A不可对角化。
对角化的概念在数学和实际问题中都具有广泛的应用。
通过对角化，我们可以将一个复杂的矩阵简化为一个对角矩阵，从而更容易进行计算和分析。
对角化还有助于我们研究矩阵的性质和应用，比如求解线性方程组、计算幂矩阵等。
相似矩阵 学习课件
A(α 1 , α 2 , ⋯ , α n ) = (α 1 , α 2 , ⋯ , α n )
即
即得
( Aα 1 , Aα 2 , ⋯ , Aα n ) = (λ1α 1 , λ2α 2 , ⋯ , λnα n ) ,
A α i = λ iα i , i = 1, 2, ⋯ , n ,
说明 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α n 是 A 的分别对应于特征值 λ1 , λ2 ,⋯, λn 的特征向量, 的特征向量,
第二节
1
一、相似矩阵的概念和性质
定义 对于 阶方阵A和B，若存在 阶可逆方阵 ，使得 对于n阶方阵 和 ，若存在n阶可逆方阵 方阵P， 阶方阵
P AP = B , 则称A与 相似, 则称 与B 相似,记为 A ~ B .
矩阵的“相似”关系具有以下特性： 矩阵的“相似”关系具有以下特性： (1)反身性： (1)反身性： 反身性 对任何方阵 A，总有 A ~ A (令 P = E 即可)； 即可) (2)对称性： (2)对称性：若 A ~ B ，则有 B ~ A ； 对称性 证 P −1 AP = B ⇒ A = PBP −1 = ( P −1 ) −1 BP −1 . (3)传递性： (3)传递性：若 A ~ B ,且 B ~ C ,则有 A ~ C . 传递性 证 P −1 AP = B , Q −1 BQ = C
1 − 5 −1 1 1 , P AP = . 3 − 2
16
4 2 1 能否对角化，若能， 例4 判断矩阵 A = − 2 0 − 1 能否对角化，若能， 1 1 0
− 为对角阵. 使 P AP 为对角阵. 求可逆阵P， 求可逆阵 ， −1
= P −1 ( λ E − A) P = P − 1 ⋅ λ E − A ⋅ P = λ E − A .
(完整版)5-3.4相似矩阵
证 设 Ap须1 证 1pp1T1 ,p2Ap02 2 p2 (1 2 ), A AT
1 p1T (1 p1 )T ( Ap1 )T p1T AT p1T A,
1 p1T p2 p1T Ap2 p1T (2 p2 ) 2 p1T p2
4 0 0
例1
解
设A 求004可13逆013阵,P求, 使 0正P交1阵A(P4P,为 使P对)(1角2AP阵6为?对 8角) 阵.
E－A 0
0
3 1P
1
( q13
q
2
(q43
)
)2 (2 1
)
2,
2 3 4.
1 2 的特征向量为 q1 (0，1， 1)T ;
将 q1 (0，1， 1)T 单位化，得： p1 （0，1 ， 1 ）T .
(1 2 ) p1T p2 0
p1T p2 0 p1与p2正交。
特征值λ 的重数k ≥ λ对应的线性无关的特征向量的个数
定理8
n – R(λE-A) 个
n 阶实对称矩阵 A 的 k 重特征值 λ 所对应的线性
无关的特征向量恰有 k 个。
R (λE-A ) = n－ k
实对称矩阵A一定与对角矩阵相似
反之不真
若A 有重特征值, 不能马上断言A 是否与对角阵相似, 这时要看重根对应的特征向量. 只要 k 重特征值正好对应 k 个线性无关的特征向量即可
四、对角化的方法
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
1 2 2
2 1 2
(1) A 2 2 4 (2)A 5 3 3
2 4 2
1
为对角矩阵，
即
0
矩阵相似的研究
矩阵相似的研究矩阵相似是线性代数中的一个重要概念，它在许多领域中都有着广泛的应用。
本文将从定义、性质、判定和应用等方面对矩阵相似进行研究。
一、定义矩阵相似是指两个矩阵具有相同的特征值和相似的特征向量。
具体来说，对于两个n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP=B，那么我们称矩阵A和B相似。
二、性质1. 矩阵相似是一种等价关系，即满足自反性、对称性和传递性。
2. 相似矩阵具有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量。
3. 相似矩阵具有相同的迹、秩和行列式。
三、判定给定两个矩阵A和B，判断它们是否相似有以下几种方法：1. 比较特征值和特征向量：计算两个矩阵的特征值和特征向量，如果它们完全相同，则可以判定两个矩阵相似。
2. 比较迹、秩和行列式：计算两个矩阵的迹、秩和行列式，如果它们完全相同，则可以判定两个矩阵相似。
3. 使用相似矩阵的定义：找到一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP=B，如果存在这样的P，则可以判定两个矩阵相似。
四、应用矩阵相似在许多领域中都有着广泛的应用，下面列举几个常见的应用：1. 特征值分解：矩阵相似可以将一个矩阵分解为特征值和特征向量的形式，这在信号处理、图像处理等领域中有着重要的应用。
2. 矩阵的对角化：矩阵相似可以将一个矩阵对角化，即将矩阵化为对角矩阵的形式，这在线性代数中有着重要的应用。
3. 矩阵的相似变换：矩阵相似可以表示一个矩阵的相似变换，这在几何变换、物理模型等领域中有着广泛的应用。
矩阵相似是线性代数中的一个重要概念，它具有许多重要的性质和应用。
通过研究矩阵相似，我们可以更好地理解和应用线性代数的知识，为解决实际问题提供了有力的工具。
希望本文对读者对矩阵相似有一定的了解，并能够进一步深入研究和应用。
矩阵相似的性质
矩阵相似的性质
矩阵相似的性质有反身性、对称性、传递性等。
1、在线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。
设A，B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P存在，使得P^(-1)AP=B，则称矩阵A与B相似，记为A~B。
两者的秩相等，两者的行列式值相等，两者的迹数相等，两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同，两者拥有同样的特征多项式。
2、矩阵指在数学中，按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵，是高等代数学中的常见工具，其运算是数值分析领域的重要问题。
将矩阵分解为简单矩阵的组合，可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。
3、矩阵就是线性空间中的元素。
行列式就是矩阵的一个性质，数学中的行列式的概念已经被边缘化了，行列式可以说在实际应用中只是一个矩阵的算出来的，很有些用处的值，因为行列式值有正负，而模作为一种距离度量要求是非负的。
与向量模长相似的概念应该是范数。
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1 矩阵的相似1.1 定义 1.2性质 1.3定理（证明） 1.4 相似矩阵与若尔当标准形 2 相似的条件3 相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵 相似矩阵与矩阵的对角化 相似矩阵在微分方程中的应用 【1 】）矩阵的相似及其应用 1.1 矩阵的相似定义 1.1：设,A B 为数域P 上两个n 级矩阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆矩阵X ，使得1B X AX -=，就说A 相似于B 记作A B ∽ 1.2 相似的性质（1）反身性A A ∽：；这是因为1A E AE -=.（2）对称性：如果A B ∽，那么B A ∽；如果A B ∽,那么有X ，使1B X AX -=，令1Y X -=，就有11A XBX Y BY --==，所以B A ∽。
（3）传递性：如果A B ∽，B C ∽，那么A C ∽。
已知有,X Y 使1B X AX -=，C 1Y BY -=。
令Z XY =，就有111C Y X AXY Z AZ ---==，因此，A C ∽。
1.3 相似矩阵的性质 若,n n A B C ⨯∈，A B ∽，则： （1）()()r A r B =；引理：A 是一个s n ⨯矩阵，如果P 是一个s s ⨯可逆矩阵，Q 是n n ⨯可逆矩阵，那么秩（A ）=秩（PA ）=秩（AQ ）证明：设,A B 相似，即存在数域P 上的可逆矩阵C ，使得1B C AC -=,由引理2可知，秩（B ）=秩（1B C AC -=）=秩（AC ）=秩（A ）（2）设A 相似于B ，()f x 是任意多项式，则()f A 相似于()f B ，即11()()P AP B P f A P f B --=⇒=证明：设1110()n n n n f x a x a x a x a --=+++ 于是，1110()n n n n f A a A a A a A a E --=+++ 1110()n n n n f B a B a B a B a E --=+++由于A 相似于B ，则kA 相似与kB ，（k 为任意正整数），即存在可逆矩阵X ,使得1k k B X A X -=，因此 ()()111110n n n n X f A X X a A a A a A a E X ----=+++1111110n n n n a X A X a X A X a X AX a E -----=++++1110n n n n a B a B a B a E --=+++()f B = 所以()f A 相似于()f B 。
（3）相似矩阵有相同的行列式，即,A B trA trB ==；证明：设A B 与相似，即存在数域P 上的可逆矩阵C ，使得1B C AC -=，两边取行列式得：111B C AC C A C A C C A ---====，从而相似矩阵有相同的行列式。
又由性质（2）知，A B 与有相同的特征多项式，因而有相同的特征值12,,,n λλλ，而A 的迹12n trA λλλ=+++，B 的迹12n trB λλλ=+++，从而trA trB =，即相似矩阵有相同的迹（4）A 与B 有相同的Jordan 标准形； （5）相似矩阵同时可逆或同时不可逆。
证明：设A B 与相似，由性质2可知A B =，若A 可逆，即0A ≠，从而0B ≠，故B可逆；若A 不可逆，即=0A ，从而=0B ,故B 不可逆。
（6）若A 与B 相似，B D 与相似，则0000A B C D ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与相似。
证明：A 与B 相似，即存在可逆矩阵P ,使得1B P AP -=,CD 与相似，即存在可逆矩阵Q ,使得1D Q CQ -=，由于110000=0000B A P P D C Q Q --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1000=000P A P Q C Q -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然00P Q ⎛⎫⎪⎝⎭是可逆矩阵。
由此可见，则0000A B C D ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与相似。
定理1.1：线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵。
证明：先证前一部分。
设线性空间V 中线性变换A 在两组基：12,,,n εεε （1） 12,,.,n ηηη（2）下的矩阵分别为A 和B ,从基⑴到基⑵的过渡矩阵为X ，则：1212(,,,)(,,.,)n n A A A A εεεεεε=， 1212(,,,)(,,,)n n A A A B ηηηηηη=1212(,,,)(,,.,)n n X ηηηεεε=于是1212(,,,)(,,,)n n A A A A ηηηηηη=12[(,,.,)]n A X εεε=12(,,,)n A A A X εεε= 12(,,,.)n AX εεε= 112(,,.,)n X AX ηηη-=由此可得 1B X AX -=现在证后一部分。
设n 级矩阵A 和B 相似，那么它们可以 看作是n 维线性空间V 中一个线性变换 在基12,,.,n εεε下的矩阵。
因为1B X AX -=，令：1212(,,,)(,,,.)n n X ηηηεεε=,显然，12,,n ηηη 也是一组基，A 在这组基下的矩阵就是B 。
例一：证明12n λλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与21i i in λλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似，其中 12,,,ni i i 是1,2,,n 的一个排列。
证明：设：121212(,,)(,,)n n n A λλεεεεεελ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，则211212(,,,)(,,,.)i i n n in A λλεεεεεελ⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，因为12n λλλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭和21i i in λλλ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是线性变换A 在不同基下的矩阵，故它们相似。
定理2.1：设,A B 是数域P 上的两个n 级矩阵，A 与B 相似的充要条件是它们的特征矩阵E A λ-和E B λ-等价。
例一：设,,a b c 是实数，b c a A c a b a b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，c a b B a b c b c a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,证明A 与B 相似。
证明：b c a E A c a b a b c λλλλ---⎛⎫ ⎪-=--- ⎪ ⎪---⎝⎭a b c c a b b c a λλλ---⎛⎫ ⎪→--- ⎪ ⎪---⎝⎭c ab bc a a b c λλλ---⎛⎫ ⎪→--- ⎪ ⎪---⎝⎭c ab a bc E B b c a λλλλ---⎛⎫ ⎪→---=- ⎪ ⎪---⎝⎭故E A λ-和E B λ-等价，从而A B ∽3，矩阵相似的应用 3.1相似矩阵与特征矩阵定义3.1.1：把矩阵A （或线性变换A ）的每个次数大于零的不变因子分解成互相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A （或线性变换A ）的初等因子。
定理3.1.1：数域F 上的方阵A B 与相似的充要条件是E A λ-和E B λ-有相同的列式因子。
定理3.1.2：两个同级复数矩阵相似充要条件是它们有相同的初等因子。
例1：证明：任何方阵A 与其转置方阵A ' 相似。
证明：因为E A λ-与E A λ'- 互为转置矩阵，它们对应k 阶子式互为转置行列式，故相等。
从而两者有完全相同的各阶行列式因子，于是两者有完全相同的不变因子。
故E A λ-与E A λ'- 等价，从而A 与A ' 相似。
例2：证明：相似方阵有相同的最小的多项式。
证法一：设A B 与相似，即可存在可逆矩阵Q ，使1B Q AQ -=，又设A B 与的最小多项式分别为()()12,g g λλ，于是：()()()111210g B g Q AQ Q g A Q --===,但是，B 的最小多项式整除任何以B 为根的多项式，故()()12g g λλ=证法二：设A B 与相似，则E A λ-和E B λ-等价，从而有完全相同的不变因子，但最后一个不变因子就是最小多项式，故A B 与有相同的最小的多项式。
4 相似矩阵与矩阵的对角化矩阵的对角化问题的解法及其应用都有其明显特色，因而线性代数中通常被单独处理，尽管矩阵相似是完全独立的另一概念，但是却与对角化问题有重要的关联。
定义3.1.2：数域F 上方阵A ，如果与一个F 上的对角方阵相似，则称A 在F 上可对角化。
定理3.2.3：复数矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是A 的初等因子全是一次的。
定理3.2.4：复数矩阵A 与对角阵相似的充分必要条件是A 的不变因子都没有重根。
定理3.2.5：复数域上方阵A 与一个对角矩阵相似的充分必要条件是A 的最小多项式没有重根。
定理3.2.6：设A 是n 阶方阵，则以下条件是等价的：（1）A 相似于对角矩阵；（2）属于A 的不同特征值的特征向量线性无关；（3）A 有n 个线性无关的特征向量；（4）A 的每一特征值的代数重数都等于它的几何重数。
例4：设复矩阵A 的最小多项式()21k f λλ=-，证明：A 与对角阵相似。
证明：()()()()221,1,21k k f f k λλλλ-'=-= ，即A 的最小多项式无重根，所以A 的初等因子都是一次的，所以A 相似于对角阵。
例5：设A 为n 阶方阵，()f E A λλ=- 是A 的特征多项式，并令：()()()()(),f G f f λλλλ='，证明：A 与一个对角矩阵相似的充分必要条件是()0g A =。
证明：设()()()()1212n n nr f E A λλλλλλλλ=-=---，其中12,,...r λλλ互不相等，且12r n n n n ++=，则：()()()()12r g λλλλλλλ=---。
如果A与一个对角矩阵相似，则E A λ-的初等因子都是一次的，其中全部不同的初等因子是12,,,r λλλλλλ--- ，它们的乘积就是E A λ-最后一个不变因子()n d λ，亦即()()()()()12n r d g λλλλλλλλ=---=。
但()n d λ 就 是E A λ-的 最 小 多 项 式 ， 所 以()()0n g A d A ==。
反之，若()0g A =，则A 的最小多项式()n d λ整除()g λ，因而()n d λ没有重根，故A 与对角矩阵相似。
例7：设131210311A --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，试证明：（1）A 在复数域上可对角化；（2）A 在有理数域上不可对角化。