沪教版数学九年级上册期末试题和答案

沪教版数学九年级上册期末试题和答案
一、选择题
1．在半径为3cm 的⊙O 中，若弦AB ＝32，则弦AB 所对的圆周角的度数为（ ） A ．30° B ．45° C ．30°或150° D ．45°或135°
2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＜0＜b ）的图像与x 轴只有一个交点，下列结论：①x ＜0时，y 随x 增大而增大；②a ＋b ＋c ＜0；③关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＋2＝0有两个不相等的实数根．其中所有正确结论的序号是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．①②③
3．如图，OA 、OB 是⊙O 的半径，C 是⊙O 上一点．若∠OAC ＝16°，∠OBC ＝54°，则∠AOB 的大小是（ ）
A ．70°
B ．72°
C ．74°
D ．76°
4．下图是甲、乙两人2019年上半年每月电费支出的统计，则他们2019年上半年月电费支出的方差2S 甲和2
S 乙的大小关系是（ ）
A ．2S 甲＞2S 乙
B ．2S 甲＝2S 乙
C ．2S 甲＜2S 乙
D ．无法确定 5．两个相似三角形的面积比是9:16，则这两个三角形的相似比是（ ）
A ．9︰16
B ．3︰4
C ．9︰4
D ．3︰16 6．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，已知∠A ＝80°，则∠C 的度数是（ ）
A ．40°
B ．80°
C ．100°
D ．120°
7．已知点O 是△ABC 的外心，作正方形OCDE ，下列说法：①点O 是△AEB 的外心；②点O 是△ADC 的外心；③点O 是△BCE 的外心；④点O 是△ADB 的外心.其中一定不成立的说法是（ ）
A ．②④
B ．①③
C ．②③④
D ．①③④ 8．如图在△ABC 中，点D 、
E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，不一定能使△ADE 与△ABC 相
似的条件是（ ）
A ．∠AED=∠B
B ．∠ADE=∠
C C ．A
D D
E AB BC = D ．AD AE AC AB = 9．如图，抛物线2144
y x =-与x 轴交于A 、B 两点，点P 在一次函数6y x =-+的图像上，Q 是线段PA 的中点，连结OQ ，则线段OQ 的最小值是（ ）
A ．22
B ．1
C 2
D ．2
10．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，一年中获得利润y 与月份n 之间的函数关系式是y ＝－n 2＋15n －36，那么该 企业一年中应停产的月份是( )
A ．1月，2月
B ．1月，2月，3月
C ．3月，12月
D ．1月，2月，3月，12月
11．已知⊙O 的直径为4，点O 到直线l 的距离为2，则直线l 与⊙O 的位置关系是 A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．无法判断 12．把函数212
y x =-的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数()21112
y x =--+的图象（ ）
A ．向左平移1个单位，再向下平移1个单位
B ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位
C ．向右平移1个单位，再向上平移1个单位
D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位
13．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
14．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（ ）
A ．都含有一个40°的内角
B ．都含有一个50°的内角
C ．都含有一个60°的内角
D ．都含有一个70°的内角
15．已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，CM 是它的中线，以C 为圆心，5cm 为半径作⊙C ，则点M 与⊙C 的位置关系为( )
A ．点M 在⊙C 上
B ．点M 在⊙
C 内 C ．点M 在⊙C 外
D ．点M 不在⊙C 内
二、填空题
16．已知扇形半径为5cm ，圆心角为60°，则该扇形的弧长为________cm ．
17．已知二次函数2
22y x x -=-，当-1≤x≤4时，函数的最小值是__________．
18．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，当y ＜3时，x 的取值范围是____．
19．如图，在Rt △ABC 中，BC AC ⊥，CD 是AB 边上的高，已知AB ＝25，BC ＝15，则BD ＝__________．
20．若m 是方程5x 2﹣3x ﹣1＝0的一个根，则15m ﹣
3m +2010的值为_____． 21．在▱ABCD 中，∠ABC 的平分线BF 交对角线AC 于点E ，交AD 于点F ．若AB BC ＝35，则EF BF
的值为_____．
22．已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解_____．
23．一个不透明的布袋中装有3个白球和5个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是______.
24．如图，△ABC的顶点A、B、C都在边长为1的正方形网格的格点上，则sinA的值为________．
25．某电视台招聘一名记者，甲应聘参加了采访写作、计算机操作和创意设计的三项素质测试得分分别为70、60、90，三项成绩依次按照5:2:3计算出最后成绩，那么甲的成绩为__．
26．数据1、2、3、2、4的众数是______．
27．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2020的值为_____．
28．有4根细木棒，它们的长度分别是2cm、4cm、6cm、8cm．从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是_____．
29．若函数y＝（m+1）x2﹣x+m（m+1）的图象经过原点，则m的值为_____．
30．如图，在△ABC中，AC：BC：AB＝3：4：5，⊙O沿着△ABC的内部边缘滚动一圈，若⊙O的半径为1，且圆心O运动的路径长为18，则△ABC的周长为_____．
三、解答题
31．已知二次函数y＝(x－m)(x＋m＋4)，其中m为常数．
（1）求证：不论m为何值，该二次函数的图像与x轴有公共点．
（2）若A(－1，a)和B(n，b)是该二次函数图像上的两个点，请判断a、b的大小关系．32．已知二次函数y＝x2－2x＋m（m为常数）的图像与x轴相交于A、B两点．
（1）求m的取值范围；
（2）若点A、B位于原点的两侧，求m的取值范围．
33．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(﹣2，0)，B(0，﹣2)，C(1，0)三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值；
（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y ＝﹣x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．
34．如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH 和教学楼CG 的高，先在点A 处用高1.5米的测角仪测得古树顶端点H 的仰角HDE ∠为45︒，此时教学楼顶端点G 恰好在视线DH 上，再向前走7米到达点B 处，又测得教学楼顶端点G 的仰角GEF ∠为60︒，点A 、B 、C 点在同一水平线上．
（1）计算古树BH 的高度；
（2）计算教学楼CG 的高度．（结果精确到0.12 1.4≈3 1.7≈）．
35．如图，矩形OABC 中，O 为原点，点A 在y 轴上，点C 在x 轴上，点B 的坐标为（4,3），抛物线238
y x bx c =-++与y 轴交于点A ，与直线AB 交于点D ，与x 轴交于C E ，两点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，与此同
时，点Q 从点A 出发，在线段AC 上以每秒
53
个单位长度的速度向点C 运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动.连接DP DQ PQ 、、，设运动时间为t （秒）. ①当t 为何值时，DPQ ∆得面积最小？
②是否存在某一时刻t ，使DPQ ∆为直角三角形？若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由.
四、压轴题
36．已知，如图1，⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，连接OC 交对角线BD 于点F ，延长AO 交BD 于点E ，OE=OF.
（1）求证：BE=FD ；
（2）如图2，若∠EOF=90°，BE=EF ，⊙O 的半径25AO =，求四边形ABCD 的面积； （3）如图3，若AD=BC ；
①求证：22•AB CD BC BD +=；②若2•12AB CD AO ==，直接写出CD 的长.
37．如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =.点P 从点A 出发，沿着A C B →→运动，速度为1个单位/s ，在点P 运动的过程中，以P 为圆心的圆始终与斜边AB 相切,设⊙P 的面积为S ，点P 的运动时间为t （s ）（07t <<）.
（1）当47t <<时，BP = ；（用含t 的式子表示）
（2）求S 与t 的函数表达式；
（3）在⊙P 运动过程中，当⊙P 与三角形ABC 的另一边也相切时，直接写出t 的值.
38．如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 交x 轴于A 、B 两点，其中点A 坐标为（1，0），与y 轴交于点C （0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，连接AC ，点Q 为x 轴下方抛物线上任意一点，点D 是抛物线对称轴与x 轴的交点，直线AQ 、BQ 分别交抛物线的对称轴于点M 、N ．请问DM +DN 是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（3）如图2，点P 为抛物线上一动点，且满足∠PAB ＝2∠ACO ．求点P 的坐标．
39．如图，抛物线y ＝ax 2－4ax ＋b 交x 轴正半轴于A 、B 两点，交y 轴正半轴于C ，且OB ＝OC ＝3.
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 如图1，D 为抛物线的顶点，P 为对称轴左侧抛物线上一点，连接OP 交直线BC 于G ，
连GD ．是否存在点P ，使2GD GO
？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3) 如图2，将抛物线向上平移m 个单位，交BC 于点M 、N ．若∠MON ＝45°，求m 的值.
40．如图，抛物线y ＝﹣(x +1)(x ﹣3)与x 轴分别交于点A 、B (点A 在B 的右侧)，与y 轴交于点C ，⊙P 是△ABC 的外接圆．
(1)直接写出点A 、B 、C 的坐标及抛物线的对称轴；
(2)求⊙P 的半径；
(3)点D 在抛物线的对称轴上，且∠BDC ＞90°，求点D 纵坐标的取值范围；
(4)E 是线段CO 上的一个动点，将线段AE 绕点A 逆时针旋转45°得线段AF ，求线段OF 的最小值．
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一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，连接OA和OB，根据勾股定理的逆定理得出∠AOB＝90°，再根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求出即可．
【详解】
解：如图所示，
连接OA，OB，
则OA＝OB＝3，
∵AB＝2，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
∴劣弧AB的度数是90°，优弧AB的度数是360°﹣90°＝270°，
∴弦AB对的圆周角的度数是45°或135°，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查圆周角的求解，解题的关键是根据图形求出圆心角，再得到圆周角的度数. 2．C
解析：C
【解析】
【分析】
①根据对称轴及增减性进行判断；
②根据函数在x=1处的函数值判断；
③利用抛物线与直线y=-2有两个交点进行判断．
【详解】
解：∵a ＜0＜b ，∴二次函数的对称轴为x=2b a -
>0，在y 轴右边，且开口向下， ∴x ＜0时，y 随x 增大而增大；
故①正确；
根据二次函数的系数，可得图像大致如下，
由于对称轴x=2b a
-的值未知， ∴当x=1时，y=a+b+c 的值无法判断，
故②不正确；
由图像可知，y=＝ax 2＋bx ＋c ≤0，
∴二次函数与直线y=-2有两个不同的交点，
∴方程ax 2＋bx ＋c =-2有两个不相等的实数根.
故③正确.
故选C.
【点睛】
本题考查了二次函数的图像的性质，二次函数的图像与系数的关系，二次函数与方程的关系，借助图像解决问题是关键.
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
连接OC ，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠OCA=16°；∠OBC=∠OCB=54°求出∠ACB 的度数，然后根据同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解．
【详解】
解：连接OC
∵OA=OC ，OB=OC
∴∠OAC=∠OCA=16°；∠OBC=∠OCB=54°
∴∠ACB=∠OCB-∠OCA=54°-16°=38°
∴∠AOB=2∠ACB=76°
故选：D
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质及同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，掌握相关性质定理是本题的解题关键.
4．A
解析：A
【解析】
【分析】
方差的大小反映数据的波动大小，方差越小，数据越稳定，根据题意可判断乙的数据比甲稳定，所以乙的方差小于甲.
【详解】
解：由题意可知，乙的数据比甲稳定，所以2S 甲＞2
S 乙
故选：A
【点睛】
本题考查方差的定义与意义,方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 5．B
解析：B
【解析】
试题分析：根据相似三角形中，面积比等于相似比的平方，即可得到结果．
因为面积比是9:16，则相似比是3︰4，故选B.
考点：本题主要考查了相似三角形的性质
点评：解答本题的关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据圆内接四边形的性质得出∠C+∠A=180°，代入求出即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠C+∠A=180°，
∵∠A=80°，
∴∠C=100°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质的应用.熟记圆内接四边形对角互补是解决此题的关键. 7．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据三角形的外心得出OA=OC=OB，根据正方形的性质得出OA=OC＜OD，求出
OA=OB=OC=OE≠OD，再逐个判断即可．
【详解】
解：如图，连接OB、OD、OA，
∵O为锐角三角形ABC的外心，
∴OA＝OC＝OB，
∵四边形OCDE为正方形，
∴OA＝OC＜OD，
∴OA＝OB＝OC＝OE≠OD，
∴OA＝OC≠OD，即O不是△ADC的外心，
OA＝OE＝OB，即O是△AEB的外心，
OB＝OC＝OE，即O是△BCE的外心，
OB＝OA≠OD，即O不是△ABD的外心，
故选：A．
【点睛】
本题考查了正方形的性质和三角形的外心.熟记三角形的外心到三个顶点的距离相等是解决此题的关键.
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
由题意根据相似三角形的判定定理依次对各选项进行分析判断即可．
解：A 、∠AED=∠B ，∠A=∠A ，则可判断△ADE ∽△ACB ，故A 选项错误；
B 、∠ADE=∠
C ，∠A=∠A ，则可判断△ADE ∽△ACB ，故B 选项错误；
C 、
AD DE AB BC =不能判定△ADE ∽△ACB ，故C 选项正确； D 、AD AE AC AB
=，且夹角∠A=∠A ，能确定△ADE ∽△ACB ，故D 选项错误． 故选：C ．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
9．A
解析：A
【解析】
【分析】
先求得A 、B 两点的坐标，设()6P m m -，
，根据之间的距离公式列出2PB 关于m 的函数关系式，求得其最小值，即可求得答案.
【详解】
令0y =，则21404
x -=， 解得：4x =±，
∴A 、B 两点的坐标分别为：()()4040A B -，
、，， 设点P 的坐标为()6m m -，
， ∴()()2222246220522(5)2PB m m m m m =-+-=-+=-+，
∵20>，
∴当5m =时，2PB 有最小值为：2，即PB ，
∵A 、B 为抛物线的对称点，对称轴为y 轴，
∴O 为线段AB 中点，且Q 为AP 中点，
∴12OQ PB ==． 故选：A ．
【点睛】
本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，涉及到的知识有：两点之间的距离公式，三角形中位线的性质，二次函数的最值问题，利用两点之间的距离公式求得2PB 的最小值是解题的关键.
10．D
解析：D
【解析】
【详解】
当－n 2＋15n －36≤0时该企业应停产，即n 2-15n+36≥0，n 2-15n+36=0的两个解是3或者12，根据函数图象当n ≥12或n ≤3时n 2-15n+36≥0，所以1月，2月，3月，12月应停产．
故选D
11．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据圆心距和两圆半径的之间关系可得出两圆之间的位置关系．
【详解】
∵⊙O 的直径为4，
∴⊙O 的半径为2，
∵圆心O 到直线l 的距离是2，
∴根据圆心距与半径之间的数量关系可知直线l 与⊙O 的位置关系是相切．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了直线和圆的位置关系的应用，理解直线和圆的位置关系的内容是解此题的关键，注意：已知圆的半径是r ，圆心到直线的距离是d ，当d ＝r 时，直线和圆相切，当d ＞r 时，直线和圆相离，当d ＜r 时，直线和圆相交．
12．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据抛物线顶点的变换规律作出正确的选项．
【详解】 抛物线212y x =-的顶点坐标是00（，），抛物线线()21112
y x =--+的顶点坐标是11（，）， 所以将顶点00（，）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点11（，）， 即将函数212y x =-
的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数()21112
y x =-
-+的图象． 故选：C ．
【点睛】 主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
13．B
【解析】
试题分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 解：A 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；
B 、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
C 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
D 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误．
故选B ．
点睛：掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
14．C
解析：C
【解析】
试题解析：因为A,B,D 给出的角40,50,70可能是顶角也可能是底角，所以不对应，则不能判定两个等腰三角形相似；故A ，B ，D 错误；
C. 有一个60的内角的等腰三角形是等边三角形，所有的等边三角形相似，故C 正确. 故选C.
15．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据题意可求得CM 的长，再根据点和圆的位置关系判断即可．
【详解】
如图，
∵由勾股定理得2268 ，
∵CM 是AB 的中线，
∴CM=5cm ，
∴d=r ，
所以点M 在⊙C 上，
故选A ．
【点睛】
本题考查了点和圆的位置关系，解决的根据是点在圆上⇔圆心到点的距离=圆的半径．
二、填空题
16．【解析】
【分析】
直接利用弧长公式进行计算．
【详解】
解：由题意得：=,
故答案是：
【点睛】
本题考查了弧长公式，考查了计算能力，熟练掌握弧长公式是关键． 解析：53
π 【解析】
【分析】 直接利用弧长公式180n R l π=
进行计算． 【详解】 解：由题意得：605180l π==53
π, 故答案是：
53π 【点睛】
本题考查了弧长公式，考查了计算能力，熟练掌握弧长公式是关键． 17．-3
【解析】
【分析】
根据题意和二次函数的性质可以求得当−1≤x≤4时，函数的最小值．
【详解】
解：∵二次函数，
∴该函数的对称轴是直线x ＝1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，当x ＜1时，y 随
解析：-3
【解析】
【分析】
根据题意和二次函数的性质可以求得当−1≤x ≤4时，函数的最小值．
【详解】
解：∵二次函数2
22y x x -=-，
∴该函数的对称轴是直线x＝1，当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵−1≤x≤4，
∴当x＝1时，y取得最小值，此时y＝-3，
故答案为：-3．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
18．－1＜x＜3
【解析】
【分析】
根据图象，写出函数图象在y=3下方部分的x的取值范围即可．
【详解】
解：如图，根据二次函数的对称性可知，－1＜x＜3时，y＜3，
故答案为：－1＜x＜3.
【点睛
解析：－1＜x＜3
【解析】
【分析】
根据图象，写出函数图象在y=3下方部分的x的取值范围即可．
【详解】
解：如图，根据二次函数的对称性可知，－1＜x＜3时，y＜3，
故答案为：－1＜x＜3.
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式和二次函数的对称性，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便．
19．9
【解析】
【分析】
利用两角对应相等两三角形相似证△BCD∽△BAC，根据相似三角形对应边成比例得比例式，代入数值求解即可.
【详解】
解：∵，,
∴∠ACB=∠CDB=90°,
∵∠B=∠B,
解析：9
【解析】
利用两角对应相等两三角形相似证△BCD ∽△BAC ，根据相似三角形对应边成比例得比例式，代入数值求解即可.
【详解】
解：∵BC AC ⊥，CD AB ⊥,
∴∠ACB=∠CDB=90°,
∵∠B=∠B,
∴△BCD ∽△BAC, ∴
BC BD AB BC = , ∴152515
BD =, ∴BD=9.
故答案为：9.
【点睛】
本题考查利用相似三角形的性质求线段长，证明两三角形相似注意题中隐含条件，如公共角，对顶角等，利用相似的性质得出比例式求解是解答此题的关键.
20．2019
【解析】
【分析】
根据m 是方程5x2﹣3x ﹣1＝0的一个根代入得到5m2﹣3m ﹣1＝0，进一步得到5m2﹣1＝3m ，两边同时除以m 得：5m ﹣＝3，然后整体代入即可求得答案．
【详解】
解
解析：2019
【解析】
【分析】
根据m 是方程5x 2﹣3x ﹣1＝0的一个根代入得到5m 2﹣3m ﹣1＝0，进一步得到5m 2﹣1＝3m ，两边同时除以m 得：5m ﹣
1m ＝3，然后整体代入即可求得答案． 【详解】
解：∵m 是方程5x 2﹣3x ﹣1＝0的一个根，
∴5m 2﹣3m ﹣1＝0，
∴5m 2﹣1＝3m ，
两边同时除以m 得：5m ﹣
1m ＝3， ∴15m ﹣3m +2010＝3（5m ﹣1m
）+2010＝9+2010＝2019， 故答案为：2019．
本题考查了一元二次方程的根，灵活的进行代数式的变形是解题的关键.
21．．
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质和角平分线的性质，得出边的关系，进而利用相似三角形的性质求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，
∴∠AFB ＝∠EBC ，
∵B 解析：38．
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质和角平分线的性质，得出边的关系，进而利用相似三角形的性质求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，
∴∠AFB ＝∠EBC ，
∵BF 是∠ABC 的角平分线，
∴∠EBC ＝∠ABE ＝∠AFB ，
∴AB ＝AF ， ∴35
AB AF BC BC ==， ∵AD ∥BC ，
∴△AFE ∽△CBE ， ∴
35AF EF BC BE ==， ∴38
EF BF =； 故答案为：38
． 【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知平行四边形的性质、角平分线的性质及相似三角形的判定定理.
22．x3＝0，x4＝﹣3．
【解析】
【分析】
把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．
【详解】
解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，（a，m，
解析：x3＝0，x4＝﹣3．
【解析】
【分析】
把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．
【详解】
解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，（a，m，b均为常数，
a≠0），
∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为a[（x+2）+m]2+b＝0，即此方程中x+2＝2或x+2＝﹣1，解得x＝0或x＝﹣3．
故答案为：x3＝0，x4＝﹣3．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是熟知整体法的应用.
23．【解析】
【分析】
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】
根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红
解析：5 8
【解析】
【分析】
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】
根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红球，共5
个，从中随机摸出一个，则摸到红球的概率是
55 538
= +
故答案为: 5
8
．
【点睛】
本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件
A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）＝m n
． 24．【解析】
如图，由题意可知∠ADB=90°，BD=，AB=，
∴sinA=.
解析：5 【解析】
如图，由题意可知∠ADB=90°，BD=221+1=2，AB=223+1=10， ∴sinA=2510
BD AB ==.
25．74
【解析】
【分析】
利用加权平均数公式计算.
【详解】
甲的成绩=，
故答案为：74.
【点睛】
此题考查加权平均数，正确理解各数所占的权重是解题的关键. 解析：74
【解析】
【分析】
利用加权平均数公式计算.
【详解】
甲的成绩=705602903
74523
，
故答案为：74.
【点睛】 此题考查加权平均数，正确理解各数所占的权重是解题的关键. 26．2
【解析】
【分析】
根据众数的定义直接解答即可．
【详解】
解：数据1、2、3、2、4中，
∵数字2出现了两次，出现次数最多，
∴2是众数，
故答案为：2．
【点睛】
此题考查了众数，掌握众数的
解析：2
【解析】
【分析】
根据众数的定义直接解答即可．
【详解】
解：数据1、2、3、2、4中，
∵数字2出现了两次，出现次数最多，
∴2是众数，
故答案为：2．
【点睛】
此题考查了众数，掌握众数的定义是解题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数．27．2023
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．
【详解】
解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1＝0，
∴2m2﹣3m＝1，
∴原式＝3（2m2﹣3m）+2020＝3+2020=2
解析：2023
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．
【详解】
解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1＝0，
∴2m2﹣3m＝1，
∴原式＝3（2m2﹣3m）+2020＝3+2020=2023．
故答案为：2023．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．
28．【解析】
【分析】
根据题意列举出所有4种等可能的结果数，再根据题意得出能够构成三角形的结果数，最后根据概率公式即可求解．
【详解】
从中任取3根共有4种等可能的结果数，它们为2、4、6；2、4、
解析：1 4
【解析】
【分析】
根据题意列举出所有4种等可能的结果数，再根据题意得出能够构成三角形的结果数，最后根据概率公式即可求解．
【详解】
从中任取3根共有4种等可能的结果数，它们为2、4、6；2、4、8；2、6、8；、4、6、8，
其中恰好能搭成一个三角形为4、6、8，
所以恰好能搭成一个三角形的概率＝1
4
．
故答案为1
4
．
【点睛】
本题考查列表法或树状图法和三角形三边关系，解题的关键是通过列表法或树状图法展示出所有等可能的结果数及求出构成三角形的结果数．
29．0或﹣1
【解析】
【分析】
根据题意把原点（0,0）代入解析式，得出关于m的方程，然后解方程即可．【详解】
∵函数经过原点，
∴m（m+1）＝0，
∴m＝0或m＝﹣1，
故答案为0或﹣1．
【点
解析：0或﹣1
【解析】
【分析】
根据题意把原点（0,0）代入解析式，得出关于m 的方程，然后解方程即可．
【详解】
∵函数经过原点，
∴m （m +1）＝0，
∴m ＝0或m ＝﹣1，
故答案为0或﹣1．
【点睛】
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是知道函数图象上的点满足函数解析式．
30．30
【解析】
【分析】
如图，首先利用勾股定理判定△ABC 是直角三角形，由题意得圆心O 所能达到的区域是△DEG，且与△ABC 三边相切，设切点分别为G 、H 、P 、Q 、M 、N ，连接DH 、DG 、EP 、EQ
解析：30
【解析】
【分析】
如图，首先利用勾股定理判定△ABC 是直角三角形，由题意得圆心O 所能达到的区域是△DEG ，且与△ABC 三边相切，设切点分别为G 、H 、P 、Q 、M 、N ，连接DH 、DG 、EP 、EQ 、FM 、FN ，根据切线性质可得：AG ＝AH ，PC ＝CQ ，BN ＝BM ，DG 、EP 分别垂直于AC ，EQ 、FN 分别垂直于BC ，FM 、DH 分别垂直于AB ，继而则有矩形DEPG 、矩形EQNF 、矩形DFMH ，从而可知DE ＝GP ，EF ＝QN ，DF ＝HM ，DE ∥GP ，DF ∥HM ，EF ∥QN ，∠PEF ＝90°,根据题意可知四边形CPEQ 是边长为1的正方形，根据相似三角形的判定可得△DEF ∽△ACB ，根据相似三角形的性质可知：DE ∶EF ∶FD ＝AC ∶CB ∶BA ＝3∶4∶5，进而根据圆心O 运动的路径长列出方程，求解算出DE 、EF 、FD 的长，根据矩形的性质可得：GP 、QN 、MH 的长，根据切线长定理可设：AG ＝AH ＝x ，BN ＝BM ＝y ，根据线段的和差表示出AC 、BC 、AB 的长，进而根据AC ∶CB ∶BA ＝3∶4∶5列出比例式，继而求出x 、y 的值，进而即可求解△ABC 的周长．
【详解】
∵AC ∶CB ∶BA ＝3∶4∶5，
设AC ＝3a ，CB ＝4a ，BA ＝5a （a ＞0）
∴()()()222
222=345AC CB a a a BA ++==
∴△ABC 是直角三角形，
设⊙O 沿着△ABC 的内部边缘滚动一圈，如图所示，
连接DE、EF、DF，
设切点分别为G、H、P、Q、M、N，
连接DH、DG、EP、EQ、FM、FN，
根据切线性质可得：
AG＝AH，PC＝CQ，BN＝BM
DG、EP分别垂直于AC，EQ、FN分别垂直于BC，FM、DH分别垂直于AB，∴DG∥EP，EQ∥FN，FM∥DH,
∵⊙O的半径为1
∴DG＝DH＝PE＝QE＝FN＝FM＝1，
则有矩形DEPG、矩形EQNF、矩形DFMH，
∴DE＝GP，EF＝QN，DF＝HM，DE∥GP，DF∥HM，EF∥QN,∠PEF＝90°
又∵∠CPE＝∠CQE＝90°, PE＝QE＝1
∴四边形CPEQ是正方形，
∴PC＝PE＝EQ＝CQ＝1，
∵⊙O的半径为1，且圆心O运动的路径长为18，
∴DE+EF+DF＝18，
∵DE∥AC，DF∥AB，EF∥BC，
∴∠DEF＝∠ACB，∠DFE＝∠ABC，
∴△DEF∽△ABC，
∴DE：EF：DF＝AC：BC：AB＝3：4：5，
设DE＝3k（k＞0），则EF＝4k，DF＝5k，
∵DE+EF+DF＝18，
∴3k+4k+5k＝18，
解得k＝3
2
，
∴DE＝3k＝9
2
，EF＝4k＝6，DF＝5k＝
15
2
，
根据切线长定理，
设AG＝AH＝x，BN＝BM＝y，
则AC＝AG+GP+CP＝x+9
2
+1＝x+5．5，
BC＝CQ+QN+BN＝1+6+y＝y+7，
AB＝AH+HM+BM＝x+15
2
+y＝x+y+7．5，
∵AC：BC：AB＝3：4：5，
∴（x+5．5）：（y+7）：（x+y+7．5）＝3：4：5，
解得x＝2，y＝3，
∴AC＝7．5，BC＝10，AB＝12．5，
∴AC+BC+AB＝30．
所以△ABC的周长为30．
故答案为30．
【点睛】
本题是一道动图形问题，考查切线的性质定理、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、解直角三角形等知识点，解题的关键是确定圆心O的轨迹，学会作辅助线构造相似三角形，综合运用上述知识点．
三、解答题
31．（1）见解析；（2）①当n＝－3时，a＝b；②当－3＜n＜－1时，a＞b ；③当n＜－3或n＞－1时，a＜b
【解析】
【分析】
（1）方法一：当y=0时，（x-m）（x-m-4）=0，解得x1=m，x2=-m-4，即可得到结论；方法二：化简得y＝x2＋4x－m2－4m，令y＝0，可得b2－4ac≥0，即可证明；
（2）得出函数图象的对称轴，根据开口方向和函数的增减性分三种情况讨论，判断a与b 的大小.
【详解】
（1）方法一：
令y＝0，(x－m)(x＋m＋4)=0，解得x1＝m；x2＝－m－4．
当m＝－m－4，即m＝－2，方程有两个相等的实数根，故二次函数与x轴有一个公共点；
当m≠－m－4，即m≠－2，方程有两个不相等的实数根，故二次函数与x轴有两个公共点．
综上不论m为何值，该二次函数的图像与x轴有公共点．
方法二：
化简得y＝x2＋4x－m2－4m．
令y＝0，b2－4ac＝4m2＋16m＋16＝4(m＋2)2≥0，方程有两个实数根．
∴不论m为何值，该二次函数的图像与x轴有公共点．
（2）由题意知，函数的图像的对称轴为直线x＝－2
①当n＝－3时，a＝b；
②当－3＜n＜－1时，a＞b
③当n＜－3或n＞－1时，a＜b
【点睛】
本题考查了二次函数的性质以及与方程的关系，把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常
数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，并且注意分情况讨论. 32．（1）m＜1；（2）m＜0
【解析】
【分析】
（1）根据题意可知一元二次方程有两个不相等的实数根，即b2-4ac＞0然后利用根的判别式确定取值范围；（2）由题意得：x1x2＜0，即m＜0，即可求解；
【详解】
解：（1）∵二次函数y＝x2－2x＋m的图象与x轴相交于A、B两点
则方程x2－2x＋m=0有两个不相等的实数根
∴b2-4ac＞0，
∴4-4m＞0，
解得：m＜1；
（2）∵点A、B位于原点的两侧
则方程x2－2x＋m=0的两根异号，即x1x2＜0
∵
12c
x x m
a
==
∴m＜0
【点睛】
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生对函数基本性质、函数与坐标轴的交点等的求解熟悉，这是一个综合性很好的题目．
33．（1）y＝x2+x﹣2；（2）S＝﹣m2﹣2m（﹣2＜m＜0），S的最大值为1；（3）点Q
坐标为：(﹣2，2)或
(﹣
1或
(﹣1
)或(2，﹣2)．
【解析】
【分析】
（1）设此抛物线的函数解析式为：y＝ax2+bx+c，将A，B，C三点代入y＝ax2+bx+c，列方程组求出a、b、c的值即可得答案；
（2）如图1，过点M作y轴的平行线交AB于点D，M点的横坐标为m，且点M在第三象限的抛物线上，设M点的坐标为（m，m2+m﹣2），﹣2＜m＜0，由A、B坐标可求出直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2，则点D的坐标为（m，﹣m﹣2），即可求出MD的长度，进一步求出△MAB的面积S关于m的函数关系式，根据二次函数的性质即可求出其最大值；（3）设P（x，x2+x﹣2），分情况讨论，①当OB为边时，根据平行四边形的性质知
PQ∥OB，且PQ＝OB，则Q（x，﹣x），可列出关于x的方程，即可求出点Q的坐标；②当BO为对角线时，OQ∥BP，A与P应该重合，OP＝2，四边形PBQO为平行四边形，则BQ＝OP＝2，Q横坐标为2，即可写出点Q的坐标．
【详解】
（1）设此抛物线的函数解析式为：y＝ax2+bx+c，
将A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0）三点代入，得
420
2
a b c
c
a b c
-+=
⎧
⎪
=-
⎨
⎪++=
⎩
，。