传染病模型PPT课件
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传染病模型 ppt课件
2 ( s0 1) 2 2s0i0 2 , th
.从式 (4.22)容易算出
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dr 2 d t 2s 2 ch 2 (t ) 0 2
(4.23)
s0、σ 等，画出式(4.23)的图形，
如图4-4中的曲线，实际数据在图中用圆点表示.可 以看出，理论曲线与实际数据吻合得相当不错.
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23
(2)最终未被感染的健康者比例是s∞，在式 (4.16)中令i＝0，得到s∞是方程 1 s
( s0 i0 ) s
ln
s0
0
(4.18)
(0, )
1 1
内的单根，在图4-3中s∞是相轨线
与s轴在 (0, ) 内交点的横坐标.
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24
(3)若 s0 1 ，则i(t)先增加，当 s 1 时，
s(t)＋i(t)＝1
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(4.2)
5
方程(4.3)是Logistic模型，它的解为
di i(1 i) d t i(0) i0
(t＝0)病人的比例为i0，则有
(4.3)
1 (4.4) 1 ( 1) e t i0 di i(t)~t和 d t i 的图形如图4-1所示.
(4.8)
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13
3.模型的分析讨论 定义
1
(4.9)
λ 和 的含义可知，σ 是一个传染期内 每个病人的有效接触的平均人数，称接触数，由式 (4.8)和(4.9)容易得到，当t→∞时，
1 1 , 1 i ( ) 0, 1
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传染病传播模型PPT课件
模型的假设条件为
(1) 人群分为健康者、病人和病愈免疫的移 出者（Removed）三类，三类人在总人数N中占 的比例分别为 s(t)，i(t) 和 r(t)。
(2) 病人的日接触率为 ，日治愈率为 ， 传染期接触数为 = /。
(3) 在疾病传播期内所考察地区的总人数 N
不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，并且时 间以天为计量单位。
在上述的假设条件下，人员流程图如下
由假设条件显然有 s(t) + i(t) + r(t) = 1
N ds Nsi
dt
Ndi Nsi Ni
dt
N dr Ni
dt
记初始时刻的健康者和病人的比例分别是
s0（s0 > 0）和 i0（i0 > 0）（不妨设移出者的初 始值 r0 = 0），于是得到 SIR 模型为如下的初值 问题
(2) 病人的日接触率为 ，日治愈率为 ， 传染期接触数为 = /。
(3) 在疾病传播期内所考察地区的总人数为 N，总认为人口的出生率与死亡率相同，并且
新生婴儿全为易感染者。记平均出生率为 ，
则人口的平均寿命为 1/。
在上述的假设条件下，人员流程图如下
此时由假设条件有 s(t) + i(t) + r(t) = 1
NdsNsiNNs
dt
Ndi NsiNiNi
dt
Ndr NiNr
dt
记初始时刻的健康者和病人的比例分别是 s0（s0 > 0）和 i0（i0 > 0）（不妨设移出者的初 始值 r0 = 0），于是得到考虑出生和死亡的 SIR 模型如下
ds
dt di
dt dr
dt
si s, si i i, i r,
传染病传播模型ppt
通过模型模Байду номын сангаас，可以预测不同公共卫 生政策对疫情发展的影响，为政策制 定者提供理论支持和实践指导。
对疫情控制的实际应用
根据传染病传播模型，可以估算 疫情的传染系数和阻断系数，评 估疫情控制的难度和效果，为采
取有效防控措施提供参考。
通过模型模拟，可以针对不同疫 情情况和防疫需求，制定个性化 的防控方案，以达到最佳的防控
适用范围
不同城市模型适用于不同 的场景和情况，需要根据 具体情况选择合适的模型 进行描述和分析。
05
传染病传播模型的建议与应 用
对公共卫生政策制定的建议
根据模型预测结果，为政策制定者提 供有关疫情传播趋势和影响因素的深 入分析，有助于科学决策。
利用传染病传播模型，评估不同防控 策略的效果，为政策制定者提供量化 比较和优化选择，提高防控效果。
复合模型的不足
构建复杂，需要更多的数 据和计算资源支持
03
传染病传播模型的模拟与预 测
利用MATLAB进行模型模拟
MATLAB软件介绍
MATLAB是一种由MathWorks公司开发的数值计算软件，广泛应用于算法开发、数据可视化、数据分析等领域。
模型模拟步骤
步骤包括定义模型参数、构建微分方程、设置初始条件、进行模拟运算等。
传染病传播模型ppt
xx年xx月xx日
contents
目录
• 引言 • 传染病传播模型的建立 • 传染病传播模型的模拟与预测 • 传染病传播模型的灵敏度分析 • 传染病传播模型的建议与应用
01
引言
传染病传播模型简介
传染病传播模型是一种描述疾病传播过程的数学 模型
SIR 模型将人群分为易感者(Susceptible)、感染 者(Infectious)和康复者(Recovered)三个类别
传染病模型PPT
02
03
时间序列分析
通过对历史病例数据进行 时间序列分析，预测未来 一段时间内的病例数量。
机器学习算法
利用机器学习算法对历史 数据进行训练，预测未来 疾病的传播趋势。
贝叶斯推断
基于贝叶斯定理，利用历 史数据和先验知识，推断 未来疾病传播的概率分布 。
模拟与预测的应用场景
政策制定
通过模拟和预测，为政府和卫生部门提供决策依据， 制定有效的防控策略。
公共卫生管理
模拟和预测有助于公共卫生机构评估防控措施的效果 ，优化资源配置。
疫情预警
通过预测方法，提前预警可能的疫情爆发，为及时采 取防控措施提供时间保障。
05
传染病模型的优化与改 进
模型的改进方向
考虑更多影响因素
除了基本的传播方式，还应考虑 人口流动、环境变化、社会经济 因素等对传染病传播的影响。
概率论
传染病模型的预测结果存在不确定 性，因此需要使用概率论知识来评 估预测结果的可靠性和误差范围。
传染病模型的建立过程
数据收集
收集相关数据，包括疾病报告 数据、人口数据、地理信息等 ，用于参数估计和模型验证。
模型验证
使用历史数据对模型进行验证 ，评估模型的准确性和可靠性 。
确定模型目标
根据研究目的确定模型的目标 ，如预测疾病的传播趋势、评 估防控措施的效果等。
提高模型精度
通过增加数据来源和改进模型参 数调整方法，提高模型的预测精 度和可靠性。
动态建模
将传染病模型与时间序列分析、 机器学习等方法结合，实现动态 建模，更好地反映传染病传播的 时变特性。
模型的优化方法与技术
混合模型
结合不同模型的优点，构建混合模型，以提高预 测精度和可靠性。
传染病模型ppt课件
dI k 0 I (t ) dt I (0 ) I 0
模型的解：
k t 0 I( t)I0e
举个实例
最初只有1个病人，1个病人一天可传染1个人
模型的缺点
问题：随着时间的推移，病人的数目将无限增加， 这一点与实际情况不符． 原因：当不考虑传染病期间的出生、死亡和迁移 时，一个地区的总人数可视为常数。因此 k0应为时间t的函数。在传染病流行初期， k0较大，随着病人的增多，健康人数减少， 被传染的机会也减少，于是k0将变小。 模型修改的关键： k0的变化规律
dI I (t ) kS ( t ) dt I (0) I 0
方程的解：
I(t) n n knt 1 I 1 e 0
对模型作进一步分析
传染病人数与时间t关系
传染病人数的变化率与时间t 的关系 增长速度由低增至最高后 降落下来
染病人数由开始到高峰并 逐渐达到稳定
有些传染病（如痢疾)愈后免疫力很低，还有可能再 次被传染而成为病人。 模型假设： （1）总人数为： s(t)+i(t)＝n （2）一个病人在单位时间内传染的人数与当时健康人数成 正比，比例系数为k （3）单位时间治愈的人数与病人总数成正比，比例系数为 h(称日治愈率)，病人治愈后成为仍可被感染的健康者， 称 1/ h为传染病的平均传染期(如病人数保持10人，每天治愈2
模型的意义
（t , i (t)）图
（1）当σ≤1时，指传染期内被传染的人数不超过当时健康的 人数。病人在总人数中所占的比例i(t)越来越小，最终趋 于零。 （2）当σ ＞l时，i(t)最终以1-1/ σ为极限； （3）当σ增大时，i(∞)也增大，是因为随着传染期内被传染 人数占当时健康人数的比例的增加，当时的病人数所占 比例也随之上升
模型的解：
k t 0 I( t)I0e
举个实例
最初只有1个病人，1个病人一天可传染1个人
模型的缺点
问题：随着时间的推移，病人的数目将无限增加， 这一点与实际情况不符． 原因：当不考虑传染病期间的出生、死亡和迁移 时，一个地区的总人数可视为常数。因此 k0应为时间t的函数。在传染病流行初期， k0较大，随着病人的增多，健康人数减少， 被传染的机会也减少，于是k0将变小。 模型修改的关键： k0的变化规律
dI I (t ) kS ( t ) dt I (0) I 0
方程的解：
I(t) n n knt 1 I 1 e 0
对模型作进一步分析
传染病人数与时间t关系
传染病人数的变化率与时间t 的关系 增长速度由低增至最高后 降落下来
染病人数由开始到高峰并 逐渐达到稳定
有些传染病（如痢疾)愈后免疫力很低，还有可能再 次被传染而成为病人。 模型假设： （1）总人数为： s(t)+i(t)＝n （2）一个病人在单位时间内传染的人数与当时健康人数成 正比，比例系数为k （3）单位时间治愈的人数与病人总数成正比，比例系数为 h(称日治愈率)，病人治愈后成为仍可被感染的健康者， 称 1/ h为传染病的平均传染期(如病人数保持10人，每天治愈2
模型的意义
（t , i (t)）图
（1）当σ≤1时，指传染期内被传染的人数不超过当时健康的 人数。病人在总人数中所占的比例i(t)越来越小，最终趋 于零。 （2）当σ ＞l时，i(t)最终以1-1/ σ为极限； （3）当σ增大时，i(∞)也增大，是因为随着传染期内被传染 人数占当时健康人数的比例的增加，当时的病人数所占 比例也随之上升
传染病数学模型PPT课件
传染病模型 稳定性理论
最新课件
1
传染病的随机感染模型
在人群中有病人(带菌者)和健康人(易感人群)， 任何两个人之间的接触都是随机的。当然健康人 与非健康人之间的接触时是否被感染也是随机的。 这时如何估计平均每天有多少健康人被感染？
最新课件
2
接触概率
感染概率
总的感染人数
一个健康人被其他的所有病人感染的概率
0
0
f ( x1 , x2 ) g( x1 , x2 )
的两个实根 x1x1 0,x2x2 0 称为该微分方程的平衡点
lti m x 1 (t) x 1 0 ,lti m x 2 (t) x 2 0则称该点为稳定点 f , g 是非线性，这时应用泰勒公式，只保留其线
性主部，而这时的新方程和原来的方程有相同的稳定性。 当特征根为负数或者有负实部时，该点为稳定
i(0 ) i0 , s(0 ) s0
ds
d
i
i
1
1
s s s0 i0
i(s0i0)s1lnss0
最新课件
8
随着时间的变化, s , i , r 如何变化?
sri1
ds di
1 s
1
i s s 0 i 0
dr i dt ds si dt
1 10 s 1
s
s0
1
p1
p m
n1
一健康人被感染的概率 p 2 1(1p1)i
健康人被感染的人数也服从二项分布， 每天被
感染的人数 也服从二项分布 sp2
p21(1m ni )
mi (ni)
n
最新课件
5
离散
连续 变化是时间的函数
人群中只分为健康人和病人两种或者易感染者 （Susceptible）和已感染者（Infective）.病人数和健
最新课件
1
传染病的随机感染模型
在人群中有病人(带菌者)和健康人(易感人群)， 任何两个人之间的接触都是随机的。当然健康人 与非健康人之间的接触时是否被感染也是随机的。 这时如何估计平均每天有多少健康人被感染？
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2
接触概率
感染概率
总的感染人数
一个健康人被其他的所有病人感染的概率
0
0
f ( x1 , x2 ) g( x1 , x2 )
的两个实根 x1x1 0,x2x2 0 称为该微分方程的平衡点
lti m x 1 (t) x 1 0 ,lti m x 2 (t) x 2 0则称该点为稳定点 f , g 是非线性，这时应用泰勒公式，只保留其线
性主部，而这时的新方程和原来的方程有相同的稳定性。 当特征根为负数或者有负实部时，该点为稳定
i(0 ) i0 , s(0 ) s0
ds
d
i
i
1
1
s s s0 i0
i(s0i0)s1lnss0
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8
随着时间的变化, s , i , r 如何变化?
sri1
ds di
1 s
1
i s s 0 i 0
dr i dt ds si dt
1 10 s 1
s
s0
1
p1
p m
n1
一健康人被感染的概率 p 2 1(1p1)i
健康人被感染的人数也服从二项分布， 每天被
感染的人数 也服从二项分布 sp2
p21(1m ni )
mi (ni)
n
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5
离散
连续 变化是时间的函数
人群中只分为健康人和病人两种或者易感染者 （Susceptible）和已感染者（Infective）.病人数和健
传染病模型ppt
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THANKS
xx年xx月xx日
传染病模型ppt
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目录
引言常见的传染病模型传染病模型的建立传染病模型的应用案例传染病模型的未来发展结论与展望
01
引言
传染病模型是对疾病传播过程进行数学描述的模型，它可以帮助我们理解疾病的传播机制和趋势，预测疫情的发展，评估防控措施的效果等。
传染病模型的概念
根据模型的复杂性和应用的场景，传染病模型可分为基本模型、复杂模型和网络模型等。
加强传染病模型的普及和应用，让更多的人了解和掌握传染病模型的应用方法和技巧，有利于提高疫情控制和公共卫生管理的科学化水平。
开展跨学科合作
传染病模型研究涉及多个学科领域，如数学、统计学、计算机科学、流行病学等。加强跨学科的合作和交流，可以促进传染病模型研究的发展和创新。
加强传染病模型研究的建议和展望
通过对防控措施进行模拟和比较，评估不同防控措施的效果和经济效益，为政策制定提供依据。
传染病模型在公共卫生领域的应用
研究疾病传播途径
通过模拟疾病传播过程，研究疾病的传播途径和影响因素，为防控策略的制定提供依据。
研究疾病变异情况
通过对病毒变异过程进行模拟，研究病毒变异情况及其对疾病传播的影响，为防控策略的制定提供参考。
03
描述性模型
02
01
用数学方程组描述疾病传播动态，如 SIR 模型。
确定性模型
考虑疾病传播中的随机因素，如传播链的随机断裂、免疫接种的随机性等。
随机模型
通过计算机模拟疾病传播过程，预测疾病传播趋势和公共卫生干预措施的效果。
模拟模型
数学模型
基于个体行为的模型，如 Agent-Based 模型。
《传染病数学模型》PPT课件
参数：每年AIDS报告人数或AIDS死亡报告 人数；每年HIV感染到AIDS或AIDS死亡的潜伏4
反向计算法中有许多不确定性来源：
• 首先是潜伏期分布中的不确定性，潜伏期分布的 估计受流行病学研究中的误差和不确定性的影响， 常用灵敏度分析来评价这些不确定性 。
• 另一问题是报告的疾病发病资料，不同的国家有 不同的传染病报告系统，其中有些可能不可靠， 报告滞后或不完整时有发生。
得在年龄a、时间t时各个变量S(a,t)、 L(a,t)、T(a,t)、C(a,t)和I(a,t)的函数
值。这些数值既可描述疫苗接种前人群中 HBV的动态传播过程，也可以预测不同接种
覆盖率VC(a,t)时免疫后人群HBV的变化趋
势，从而评价乙肝疫苗免疫的远期效果。
10
大规模免疫接种人群中HBV携带率动态变化图
传染病数学模型的应用
中国疾病预防控制中心 性病艾滋病预防控制中心
汪宁
1
概述
20世纪以来，传染病的防制工作取得重大进 展，但理解和控制传染病的传播仍是公共卫生的 重要问题。目前，传染病研究面临的挑战包括：
（1）如何评估传染病在人群中的流行； （2）如何理解疾病感染和传播的机制； （3）如何评价干预措施的效果。 运用数学模型的方法，准确评价和预测传染 病的流行动态有利于卫生保健部门提前作出正确 的决策，合理分配资源，有效地预防和控制疾病 的传播，同时也可以警示某传染病的严重程度， 引起公众对疾病危险性的认识。
3
其基本思想是运用由t时刻的期望累积病例数 A(t) 、s时刻的感染率g(s)和潜伏期分布函数F(t) 构成的卷积方程，即
A(t) 0t g(s) F(t s)ds
如果病例数A(t)已知（可从疾病报告获得）， 且潜伏期分布F(t)可经流行病学研究估计而得， 那么，通过对方程(1)反卷积可估计感染率g(s)； 如果已知感染率g(s)和潜伏期分布F(t)，那么病例 数A(t)可用卷积方程(1)估计或预测。
反向计算法中有许多不确定性来源：
• 首先是潜伏期分布中的不确定性，潜伏期分布的 估计受流行病学研究中的误差和不确定性的影响， 常用灵敏度分析来评价这些不确定性 。
• 另一问题是报告的疾病发病资料，不同的国家有 不同的传染病报告系统，其中有些可能不可靠， 报告滞后或不完整时有发生。
得在年龄a、时间t时各个变量S(a,t)、 L(a,t)、T(a,t)、C(a,t)和I(a,t)的函数
值。这些数值既可描述疫苗接种前人群中 HBV的动态传播过程，也可以预测不同接种
覆盖率VC(a,t)时免疫后人群HBV的变化趋
势，从而评价乙肝疫苗免疫的远期效果。
10
大规模免疫接种人群中HBV携带率动态变化图
传染病数学模型的应用
中国疾病预防控制中心 性病艾滋病预防控制中心
汪宁
1
概述
20世纪以来，传染病的防制工作取得重大进 展，但理解和控制传染病的传播仍是公共卫生的 重要问题。目前，传染病研究面临的挑战包括：
（1）如何评估传染病在人群中的流行； （2）如何理解疾病感染和传播的机制； （3）如何评价干预措施的效果。 运用数学模型的方法，准确评价和预测传染 病的流行动态有利于卫生保健部门提前作出正确 的决策，合理分配资源，有效地预防和控制疾病 的传播，同时也可以警示某传染病的严重程度， 引起公众对疾病危险性的认识。
3
其基本思想是运用由t时刻的期望累积病例数 A(t) 、s时刻的感染率g(s)和潜伏期分布函数F(t) 构成的卷积方程，即
A(t) 0t g(s) F(t s)ds
如果病例数A(t)已知（可从疾病报告获得）， 且潜伏期分布F(t)可经流行病学研究估计而得， 那么，通过对方程(1)反卷积可估计感染率g(s)； 如果已知感染率g(s)和潜伏期分布F(t)，那么病例 数A(t)可用卷积方程(1)估计或预测。
传染病自动预警时间模型课件
• 2.调整预警方法：市、县级疾控中心向省级疾控中心提 交书面申请并得到批准后，由省级系统管理员在预警系 统中将申请地区的移动百分位数法预警病种调整为单病 例预警病种；省级疾控中心可酌情调整本省不同传染病 种的预警方法。
预警工作流程
• 预警工作流程包括预警信号发送、查看、分析、核实、初步判断和 现场调查等内容，工作流程图详见附图。
• （一）预警信号发送 • 预警系统每晚24点开始对当日全国报告的法定传染病进行自动运算
，将探测到的异常结果于次日早上8点，向相应的县级疾控机构负责 预警工作的值班人员发出预警信号（手机短信）。 • 发现特殊病种单个病例时，系统将实时向设定该预警病种的本级及 辖区内相关疾控机构负责预警工作的值班人员发出预警信号（手机 短信）。 • 手机短信内容：预警系统提示-编号*****************,**县，请关 注***（病名）/1号病/2号病（注：1号病指鼠疫，2号病指霍乱）。
2004 3 5 2 4 1 1 1 3 5 1 3 1 1 1 11 12 5 5 7 5 2 2 3 5 2 4 3 1 3 3 2 1 3 2 1 2 3 10 2005 4 6 5 7 3 2 2 10 2 5 1 4 8 6 5 7 1 1 3 5 5 1 3 1 1 1 2 1 3 3 5 4 4 2 2 3 3 20 2006 5 7 2 2 3 5 3 4 6 5 7 3 2 2 4 4 3 1 3 4 6 5 3 2 4 5 3 5 5 3 5 2 2 1 1 5 5 15 2007 3 2 3 5 2 3 4 3 4 3 2 3 1 3 5 5 3 5 2 2 5 3 7
2007 3 2 3 5 2 3 4 3 4 3 2 3 1 3 5 5 3 5 2 2 5 3 7 23
预警工作流程
• 预警工作流程包括预警信号发送、查看、分析、核实、初步判断和 现场调查等内容，工作流程图详见附图。
• （一）预警信号发送 • 预警系统每晚24点开始对当日全国报告的法定传染病进行自动运算
，将探测到的异常结果于次日早上8点，向相应的县级疾控机构负责 预警工作的值班人员发出预警信号（手机短信）。 • 发现特殊病种单个病例时，系统将实时向设定该预警病种的本级及 辖区内相关疾控机构负责预警工作的值班人员发出预警信号（手机 短信）。 • 手机短信内容：预警系统提示-编号*****************,**县，请关 注***（病名）/1号病/2号病（注：1号病指鼠疫，2号病指霍乱）。
2004 3 5 2 4 1 1 1 3 5 1 3 1 1 1 11 12 5 5 7 5 2 2 3 5 2 4 3 1 3 3 2 1 3 2 1 2 3 10 2005 4 6 5 7 3 2 2 10 2 5 1 4 8 6 5 7 1 1 3 5 5 1 3 1 1 1 2 1 3 3 5 4 4 2 2 3 3 20 2006 5 7 2 2 3 5 3 4 6 5 7 3 2 2 4 4 3 1 3 4 6 5 3 2 4 5 3 5 5 3 5 2 2 1 1 5 5 15 2007 3 2 3 5 2 3 4 3 4 3 2 3 1 3 5 5 3 5 2 2 5 3 7
2007 3 2 3 5 2 3 4 3 4 3 2 3 1 3 5 5 3 5 2 2 5 3 7 23
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4.2 模型Ⅱ——SIS模型 有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，
可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变为健康者， 健康者还可以再被感染变为病人，我们就这种情况 建立的模型称为SIS模型.
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10
1.模型的假设 SIS模型的假设条件(1)、(2)与SI模型的假设相 同，增加的条件(即条件(3))为:
(3)病人每天被治愈的占病人总数的比例为μ，
称为日治愈率，病人治愈后成为仍可被感染的健康 者，则 1 是这种传染病的平均传染期.
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11
2.模型的建立与求解 考虑到假设(3)，SI模型的式(4.1)应修正为：
Ndi NsiNi
dt
(4.6)
式(4.2)不变，于是式(4.3)应改为：
d d
i t
i(1
i)
i
i(0) i0
(4.7)
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12
方程(4.7)的解可表示为：
i(t) [(i1(0t 1)1),e()t ]1,
i0
(4.8)
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13
3.模型的分析讨论 定义
(4.9)
1
每个注病意人到 的有λ效和接 触的的含平义均可人知数，，σ称是接一触个数传，染由期式内
(1)人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者
(Removed)三种，称SIR模型.三类人在总人数N中所 占的比例分别为s(t)、i(t)和r(t)；
(2)病人的日接触率为λ，日治愈率为μ，σ＝ λ/Байду номын сангаас.
精品ppt
17
2.模型的建立与求解
由条件(1)，有
s(t)＋i(t)＋r(t)＝1
(4.11)
根据条件(2)，方程(4.6)仍成立.对于病愈免疫的移
病人人数的缘故；当σ>1时，i(t)的增减性取决于 i(0)的大小，但其极限值i(∞)＝1－1σ随σ的增加
而增加.
SI模型可视为本模型的特例.
精品ppt
15
• 图 4-2
精品ppt
16
4.3 模型Ⅲ——SIR模型 1.模型的假设 大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治
愈后均有很强的免疫力，所以治愈后的人既非健康 者(易感染者)也不是病人(已感染者)，他们已经退 出传染系统.这种情况下的模型假设条件为：
di i dt i(0 ) i0
i(t)i0et
t i ?
若有效接触的是病人，
必须区分已感染者(病
则不能使病人数增加
人)和未感染者(健康人)
精品ppt
3
4.1 模型Ⅰ——SI模型 1.模型的假设条件 SI模型有下面两个假设条件： (1)人群分为易感染者(Susceptible)和已感染
者(Infective)两类(取两个单词的第一个字母，称之
di dt
i0
i 的图形如图4-1所示.
精品ppt
6
图4-1
精品ppt
7
3.模型的分析讨论
由式(4.3)、(4.4)及图4-1可知:
(1)当 i 1 时， d i
个时刻为
2
dt
达到最大值
(
d d
i t
)m
，这
tm
1
1 ln(
i0
1)
(4.5)
这时病人人数增加得最快，预示着传染病高潮
的到来，是医疗卫生部门关注的时刻.tm与λ成反比， 因为日接触率λ表示该地区的卫生水平，λ越小卫
出者而言，应有
N d r Ni
dt
(4.12)
再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是
s0(>0)和i0(>0)(不妨设移出者的初始值r0＝0)，则
由式(4.6)、(4.11)和(4.12)，SIR模型的方程可以
写为：
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d i si i dt
d s si dt
i(0 ) i0 , s (0 ) s0
传染病模型
背景
随着人类文明的不断发展，卫生设施的改善
和医疗水平的提高，以前曾经肆虐全球的一些传 染性疾病已经得到了有效的控制，但是，伴随着 经济的增长，一些新的传染性疾病，如2003年时 曾给世界人民带来深重灾难的SARS病毒和如今 依然在世界范围蔓延的艾滋病毒，仍在危害着全 人类的健康.长期以来，建立传染病模型来描述传 染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律， 预报传染病高潮的到来等，一直是各国专家学者 关注的课题.
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1、问题的提出
•描述传染病的传播过程 •分析受感染人数的变化规律 •预报传染病高潮到来的时刻 •预防传染病蔓延的手段 •按照传播过程的一般规律，用机理分析方 法建立模型
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分析
假设 建模
已感染人数 (病人) i(t)
• 每个病人每天有效接触
(足以使人致病)人数为
i(t t) i(t)i(t) t
(4.8)和(4.9)容易得到，当t→∞时，
i( )
1
1
,
1
0, 1
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(4.10)
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根据式(4.8)~(4.10)可以画出i(t)~t的图形
如图4-2所示.
接触数σ＝1是一个阈值，当σ≤1时病人比例 i(t)越来越小，最终趋于零，这是由于传染期内经
有效接触从而使健康者变为病人的人数不超过原来
生水平越高，所以改善保健设施，提高卫生水平可 以推迟传染病高潮的到来.
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(2)当t→∞时，i→1，即所有人终将被感染，
全变为病人，这显然不符合实际情况，其原因是模 型中没有考虑到病人可以治愈.
为了修正上述结果必须重新考虑模型的假设.下 面两个模型中我们讨论病人可以治愈的情况.
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为SI模型).以下简称为健康者和病人，t时刻这两类 人在总人数中所占的比例分别记作s(t)和i(t).
(2)每个病人每天有效接触的平均人数是常数λ， λ称为日接触率，当病人与健康者有效接触时，使
健康者受感染变为病人.
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2.模型的建立与求解
根据假设，总人数为N，每个病人每天可使 λs(t)个健康者变为病人，因为病人人数为Ni(t)， 所以每天共有λNs(t)i(t)个健康者被感染，于是 λNs(t)i(t)就是病人数Ni(t)的增加率，即有
(4.13)
方程(4.13)无法求出s(t)和i(t)的解析解，我们 转到相平面s~i上来讨论解的性质.相轨线的定义域 (s，i)∈D应为：
Ndi Ns(t)i(t)
dt
(4.1)
又因为
s(t)＋i(t)＝1
(4.2)
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再记初始时刻(t＝0)病人的比例为i0，则有
d d
i t
i (1
i)
(4.3)
i ( 0 ) i0
方程(4.3)是Logistic模型，它的解为
i(t)
1
1 ( 1 1) et
(4.4)
i(t)~t和