传染病模型PPT课件
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为SI模型).以下简称为健康者和病人，t时刻这两类 人在总人数中所占的比例分别记作s(t)和i(t).
(2)每个病人每天有效接触的平均人数是常数λ， λ称为日接触率，当病人与健康者有效接触时，使
健康者受感染变为病人.
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4
2.模型的建立与求解
根据假设，总人数为N，每个病人每天可使 λs(t)个健康者变为病人，因为病人人数为Ni(t)， 所以每天共有λNs(t)i(t)个健康者被感染，于是 λNs(t)i(t)就是病人数Ni(t)的增加率，即有
4.2 模型Ⅱ——SIS模型 有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，
可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变为健康者， 健康者还可以再被感染变为病人，我们就这种情况 建立的模型称为SIS模型.
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10
1.模型的假设 SIS模型的假设条件(1)、(2)与SI模型的假设相 同，增加的条件(即条件(3))为:
di i dt i(0 ) i0
i(t)i0et
t i ?
若有效接触的是病人，
必须区分已感染者(病
则不能使病人数增加
人)和未感染者(健康人)
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3
4.1 模型Ⅰ——SI模型 1.模型的假设条件 SI模型有下面两个假设条件： (1)人群分为易感染者(Susceptible)和已感染
者(Infective)两类(取两个单词的第一个字母，称之
传染病模型
背景
随着人类文明的不断发展，卫生设施的改善
和医疗水平的提高，以前曾经肆虐全球的一些传 染性疾病已经得到了有效的控制，但是，伴随着 经济的增长，一些新的传染性疾病，如2003年时 曾给世界人民带来深重灾难的SARS病毒和如今 依然在世界范围蔓延的艾滋病毒，仍在危害着全 人类的健康.长期以来，建立传染病模型来描述传 染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律， 预报传染病高潮的到来等，一直是各国专家学者 关注的课题.
(4.8)和(4.9)容易得到，当t→∞时，
i( )
1
1
,
1
0, 1
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(4.10)
14
根据式(4.8)~(4.10)可以画出i(t)~t的图形
如图4-2所示.
接触数σ＝1是一个阈值，当σ≤1时病人比例 i(t)越来越小，最终趋于零，这是由于传染期内经
有效接触从而使健康者变为病人的人数不超过原来
(1)人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者
(Removed)三种，称SIR模型.三类人在总人数N中所 占的比例分别为s(t)、i(t)和r(t)；
(2)病人的日接触率为λ，日治愈率为μ，σ＝ λ/μ.
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17
2.模型的建立与求解
由条件(1)，有
s(t)＋i(t)＋r(t)＝1
(4.11)
根据条件(2)，方程(4.6)仍成立.对于病愈免疫的移
Ndi Ns(t)i(t)
dt
(4.1)
又因为
s(t)＋i(t)＝1
(4.2)
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5
再记初始时刻(t＝0)病人的比例为i0，则有
d d
i t
i (1
i)
(4.3)
i ( 0 ) i0
方程(4.3)是Logistic模型，它的解为
i(t)
1
1 ( 1 1) et
(4.4)
i(t)~t和
生水平越高，所以改善保健设施，提高卫生水平可 以推迟传染病高潮的到来.
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8
(2)当t→∞时，i→1，即所有人终将被感染，
全变为病人，这显然不符合实际情况，其原因是模 型中没有考虑到病人可以治愈.
为了修正上述结果必须重新考虑模型的假设.下 面两个模型中我们讨论病人可以治愈的情况.
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9Leabharlann Baidu
i t
i(1
i)
i
i(0) i0
(4.7)
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12
方程(4.7)的解可表示为：
i(t) [(i1(0t 1)1),e()t ]1,
i0
(4.8)
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13
3.模型的分析讨论 定义
(4.9)
1
每个注病意人到 的有λ效和接 触的的含平义均可人知数，，σ称是接一触个数传，染由期式内
病人人数的缘故；当σ>1时，i(t)的增减性取决于 i(0)的大小，但其极限值i(∞)＝1－1σ随σ的增加
而增加.
SI模型可视为本模型的特例.
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15
• 图 4-2
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16
4.3 模型Ⅲ——SIR模型 1.模型的假设 大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治
愈后均有很强的免疫力，所以治愈后的人既非健康 者(易感染者)也不是病人(已感染者)，他们已经退 出传染系统.这种情况下的模型假设条件为：
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1
1、问题的提出
•描述传染病的传播过程 •分析受感染人数的变化规律 •预报传染病高潮到来的时刻 •预防传染病蔓延的手段 •按照传播过程的一般规律，用机理分析方 法建立模型
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2
分析
假设 建模
已感染人数 (病人) i(t)
• 每个病人每天有效接触
(足以使人致病)人数为
i(t t) i(t)i(t) t
di dt
i0
i 的图形如图4-1所示.
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6
图4-1
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7
3.模型的分析讨论
由式(4.3)、(4.4)及图4-1可知:
(1)当 i 1 时， d i
个时刻为
2
dt
达到最大值
(
d d
i t
)m
，这
tm
1
1 ln(
i0
1)
(4.5)
这时病人人数增加得最快，预示着传染病高潮
的到来，是医疗卫生部门关注的时刻.tm与λ成反比， 因为日接触率λ表示该地区的卫生水平，λ越小卫
出者而言，应有
N d r Ni
dt
(4.12)
再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是
s0(>0)和i0(>0)(不妨设移出者的初始值r0＝0)，则
由式(4.6)、(4.11)和(4.12)，SIR模型的方程可以
写为：
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d i si i dt
d s si dt
i(0 ) i0 , s (0 ) s0
(4.13)
方程(4.13)无法求出s(t)和i(t)的解析解，我们 转到相平面s~i上来讨论解的性质.相轨线的定义域 (s，i)∈D应为：
(3)病人每天被治愈的占病人总数的比例为μ，
称为日治愈率，病人治愈后成为仍可被感染的健康 者，则 1 是这种传染病的平均传染期.
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11
2.模型的建立与求解 考虑到假设(3)，SI模型的式(4.1)应修正为：
Ndi NsiNi
dt
(4.6)
式(4.2)不变，于是式(4.3)应改为：
d d
(2)每个病人每天有效接触的平均人数是常数λ， λ称为日接触率，当病人与健康者有效接触时，使
健康者受感染变为病人.
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2.模型的建立与求解
根据假设，总人数为N，每个病人每天可使 λs(t)个健康者变为病人，因为病人人数为Ni(t)， 所以每天共有λNs(t)i(t)个健康者被感染，于是 λNs(t)i(t)就是病人数Ni(t)的增加率，即有
4.2 模型Ⅱ——SIS模型 有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，
可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变为健康者， 健康者还可以再被感染变为病人，我们就这种情况 建立的模型称为SIS模型.
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1.模型的假设 SIS模型的假设条件(1)、(2)与SI模型的假设相 同，增加的条件(即条件(3))为:
di i dt i(0 ) i0
i(t)i0et
t i ?
若有效接触的是病人，
必须区分已感染者(病
则不能使病人数增加
人)和未感染者(健康人)
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4.1 模型Ⅰ——SI模型 1.模型的假设条件 SI模型有下面两个假设条件： (1)人群分为易感染者(Susceptible)和已感染
者(Infective)两类(取两个单词的第一个字母，称之
传染病模型
背景
随着人类文明的不断发展，卫生设施的改善
和医疗水平的提高，以前曾经肆虐全球的一些传 染性疾病已经得到了有效的控制，但是，伴随着 经济的增长，一些新的传染性疾病，如2003年时 曾给世界人民带来深重灾难的SARS病毒和如今 依然在世界范围蔓延的艾滋病毒，仍在危害着全 人类的健康.长期以来，建立传染病模型来描述传 染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律， 预报传染病高潮的到来等，一直是各国专家学者 关注的课题.
(4.8)和(4.9)容易得到，当t→∞时，
i( )
1
1
,
1
0, 1
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(4.10)
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根据式(4.8)~(4.10)可以画出i(t)~t的图形
如图4-2所示.
接触数σ＝1是一个阈值，当σ≤1时病人比例 i(t)越来越小，最终趋于零，这是由于传染期内经
有效接触从而使健康者变为病人的人数不超过原来
(1)人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者
(Removed)三种，称SIR模型.三类人在总人数N中所 占的比例分别为s(t)、i(t)和r(t)；
(2)病人的日接触率为λ，日治愈率为μ，σ＝ λ/μ.
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2.模型的建立与求解
由条件(1)，有
s(t)＋i(t)＋r(t)＝1
(4.11)
根据条件(2)，方程(4.6)仍成立.对于病愈免疫的移
Ndi Ns(t)i(t)
dt
(4.1)
又因为
s(t)＋i(t)＝1
(4.2)
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再记初始时刻(t＝0)病人的比例为i0，则有
d d
i t
i (1
i)
(4.3)
i ( 0 ) i0
方程(4.3)是Logistic模型，它的解为
i(t)
1
1 ( 1 1) et
(4.4)
i(t)~t和
生水平越高，所以改善保健设施，提高卫生水平可 以推迟传染病高潮的到来.
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(2)当t→∞时，i→1，即所有人终将被感染，
全变为病人，这显然不符合实际情况，其原因是模 型中没有考虑到病人可以治愈.
为了修正上述结果必须重新考虑模型的假设.下 面两个模型中我们讨论病人可以治愈的情况.
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9Leabharlann Baidu
i t
i(1
i)
i
i(0) i0
(4.7)
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方程(4.7)的解可表示为：
i(t) [(i1(0t 1)1),e()t ]1,
i0
(4.8)
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3.模型的分析讨论 定义
(4.9)
1
每个注病意人到 的有λ效和接 触的的含平义均可人知数，，σ称是接一触个数传，染由期式内
病人人数的缘故；当σ>1时，i(t)的增减性取决于 i(0)的大小，但其极限值i(∞)＝1－1σ随σ的增加
而增加.
SI模型可视为本模型的特例.
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• 图 4-2
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4.3 模型Ⅲ——SIR模型 1.模型的假设 大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治
愈后均有很强的免疫力，所以治愈后的人既非健康 者(易感染者)也不是病人(已感染者)，他们已经退 出传染系统.这种情况下的模型假设条件为：
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1
1、问题的提出
•描述传染病的传播过程 •分析受感染人数的变化规律 •预报传染病高潮到来的时刻 •预防传染病蔓延的手段 •按照传播过程的一般规律，用机理分析方 法建立模型
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2
分析
假设 建模
已感染人数 (病人) i(t)
• 每个病人每天有效接触
(足以使人致病)人数为
i(t t) i(t)i(t) t
di dt
i0
i 的图形如图4-1所示.
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图4-1
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3.模型的分析讨论
由式(4.3)、(4.4)及图4-1可知:
(1)当 i 1 时， d i
个时刻为
2
dt
达到最大值
(
d d
i t
)m
，这
tm
1
1 ln(
i0
1)
(4.5)
这时病人人数增加得最快，预示着传染病高潮
的到来，是医疗卫生部门关注的时刻.tm与λ成反比， 因为日接触率λ表示该地区的卫生水平，λ越小卫
出者而言，应有
N d r Ni
dt
(4.12)
再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是
s0(>0)和i0(>0)(不妨设移出者的初始值r0＝0)，则
由式(4.6)、(4.11)和(4.12)，SIR模型的方程可以
写为：
精品ppt
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d i si i dt
d s si dt
i(0 ) i0 , s (0 ) s0
(4.13)
方程(4.13)无法求出s(t)和i(t)的解析解，我们 转到相平面s~i上来讨论解的性质.相轨线的定义域 (s，i)∈D应为：
(3)病人每天被治愈的占病人总数的比例为μ，
称为日治愈率，病人治愈后成为仍可被感染的健康 者，则 1 是这种传染病的平均传染期.
精品ppt
11
2.模型的建立与求解 考虑到假设(3)，SI模型的式(4.1)应修正为：
Ndi NsiNi
dt
(4.6)
式(4.2)不变，于是式(4.3)应改为：
d d