简单几何体及空间图形的基本关系
空间立体几何知识点归纳

第一章 空间几何体知识点归纳1、空间几何体的结构:空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体⑴常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台;常见的旋转体有:圆柱、圆锥、圆台、球。
简单组合体的构成形式:⑵棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
⑶棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台。
1、空间几何体的三视图和直观图投影:中心投影 平行投影(1)定义:几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。
(2)三视图中反应的长、宽、高的特点:“长对正”,“高平齐”,“宽相等”2、空间几何体的直观图(表示空间图形的平面图). 观察者站在某一点观察几何体,画出的图形.3、斜二测画法的基本步骤:①建立适当直角坐标系xOy (尽可能使更多的点在坐标轴上)②建立斜坐标系'''x O y ∠,使'''x O y ∠=450(或1350),注意它们确定的平面表示水平平面;③画对应图形,在已知图形平行于X 轴的线段,在直观图中画成平行于X ‘轴,且长度保持不变;在已知图形平行于Y 轴的线段,在直观图中画成平行于Y ‘轴,且长度变为原来的一半;4、空间几何体的表面积与体积⑴圆柱侧面积;l r S ⋅⋅=π2侧面⑵圆锥侧面积:l r S ⋅⋅=π侧面 ⑶圆台侧面积:()S r R l π=+侧面⑷体积公式:h S V ⋅=柱体;h S V ⋅=31锥体; ()13V h S S =+下台体上⑸球的表面积和体积:32344R V R S ππ==球球,.一般地,面积比等于相似比的平方,体积比等于相似比的立方。
第二章 点、直线、平面之间的位置关系及其论证1,,A l B ll A B ααα∈∈⎧⇒⊂⎨∈∈⎩ 公理1的作用:判断直线是否在平面内2、公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
5.2视图第1课时简单几何体的三种视图(教案)

此外,小组讨论环节让学生们充分参与到了课堂中,他们积极发表观点,交流想法,这有助于提高他们的合作能力和沟通能力。在今后的教学中,我会继续采用这种形式,鼓励学生们多思考、多讨论,发挥他们的主观能动性。
五、教学反思
在今天这节课中,我们探讨了简单几何体的三种视图,我发现学生们对这一概念表现出很大的兴趣。他们通过观察和动手操作,逐渐理解了正视图、左视图和俯视图之间的关系。在讲授过程中,我注意到几个关键点:
首先,通过引入日常生活中的例子,学生们能够更直观地理解视图的概念,这有助于他们建立起抽象知识与现实世界间的联系。在今后的教学中,我应继续寻找更多贴近生活的实例,让学生感受到数学的实用性和趣味性。
2.教学难点
-空间想象能力的培养:学生需要具备将二维视图与三维几何体相互转换的能力,这对空间想象力有一定要求。
-视图的绘制技巧:学生需要掌握如何将三维几何体准确地转化为二维视图,特别是在处理圆柱和圆锥的视图时,需要注意圆的投影和边缘线的表示。
-实际问题中的应用:学生需要将所学知识应用到实际问题中,如根据视图来估计几何体的尺寸或形状,这对学生的理解和应用能力是一个挑战。
然而,我也注意到,在讨论过程中,部分学生表现较为内向,不太愿意主动参与。为了提高这部分学生的积极性,我会在课后找他们单独交流,了解他们的想法,鼓励他们大胆表达自己。
在实践活动方面,学生们对实验操作表现出很高的热情,但也有一部分学生在操作过程中遇到了困难。针对这一情况,我将在今后的教学中加强对学生的个别指导,确保他们能够顺利完成实验。
4.运用三种视图解决实际问题,培养空间想象力和思维能力。
高中数学第一章立体几何初步4空间图形的基本关系与公理4.1空间图形基本关系的认识4.2空间图形的公理

[小组合作型]
空间点、线、面的位置(wèi zhi)关系
(1)如果 a α,b α,l∩a=A,l∩b=B,l β,那么 α 与 β 的位置关系是________.
(2)如图 1-4-1,在正方体 ABCD-A′B′C′D′中, 哪几条棱所在的直线与直线 BC′是异面直线?
图 1-4-1
第十页,共42页。
两个平面若有三个公共点,则这两个平面( )
A.相交
B.重合
C.相交或重合
D.以上都不对
【解析】 若三个点在同一条直线上,则两平面可能相交;若这三个点不 在同一直线上,则这两个平面重合.
【答案】 C
第十一页,共42页。
[质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: _____________________________________________________ 解惑: _______________________________________________________ 疑问 2: _____________________________________________________ 解惑: _______________________________________________________ 疑问 3: ______________________________________________________ 解惑: _______________________________________________________
平面与平面 的位置关系
面面平行 面面相交
α∥β α∩β=a
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【人教A版】高中数学必修第二册:8.1基本立体图形 同步讲义

【人教A 版】8.1 基本立体图形 同步讲义1、空间几何体(1)空间中的物体都占据着空间的一部分,若只考虑物体的形状和大小,而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体. (2)多面体由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面;相邻两个面的公共边叫做多面体的棱;棱与棱的公共点叫做多面体的顶点. 2、棱柱、棱锥、棱台的概念多面体定义图形及表示相关概念棱柱有两个互相平行,其余各面都是平行四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行,由这些边所围成的多面体叫做棱柱如图可记作:棱柱AC ′或 ABCD A ′B ′C ′D ′底面(底):两个相互平行的面 侧面:其余各面侧棱:相邻侧面的公共边 顶点:侧面与底面的公共顶点棱锥有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫棱锥如图可记作:棱锥SABCD底面(底):多边形面.侧面:有公共顶点的各个三角形 侧棱:相邻侧面的公共边 顶点:各侧面的公共顶点. 棱台用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分叫做棱台如图可记作:棱台ABCDA ′B ′C ′D ′上底面:原棱锥的截面 下底面:原棱锥的底面侧面:其余各面.侧棱:相邻侧面的公共边.顶点:侧面与上(下)底面的公共顶点3、棱柱、棱锥、棱台的分类 (1)棱柱的分类①按底面多边形的边数分类.⎩⎪⎨⎪⎧三棱柱底面是三角形四棱柱底面是四边形五棱柱底面是五边形…n 棱柱底面是②按侧棱与底面是否垂直分类.知识梳理n 变形⎩⎨⎧直棱柱⎩⎪⎨⎪⎧正棱柱其他直棱柱斜棱柱(2)棱锥的分类(棱台分类)①按底面多边形的边数分类. 三棱锥、四棱锥、五棱锥等. ②按底面多边形是否为正多边形分类. 正棱锥和一般棱锥. 4、旋转体由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体,这条定直线叫做旋转体的轴. 5、圆柱、圆锥、圆台的概念 旋转体结构特征图示表示法圆柱以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面;无论旋转到什么位置,不垂直于轴边都叫做圆柱侧面的母线。
高中数学 第一章 立体几何初步 1234 空间图形的基本关系与公理导学案(无答案)北师大版必修2 学

4空间图形的基本关系与公理【教学目标】1.理解空间中点、线、面的位置关系;2.理解空间中平行直线、相交直线、异面直线、平行平面、相交平面等概念;3.掌握三个公理及推论,并能运用它们去解决有关问题;4.会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质.【重点难点】掌握三个公理及推论,并能运用它们去解决有关问题【教法教具】以讲学稿为依托的探究式教学方法,多媒体教学【教学课时】 2课时【教学流程】自主学习(课前完成,含独学和质疑)1.空间点与直线的位置关系(1)如果点P在直线a,记作P∈a.(2)如果点P在直线a,记作P∉a.2.空间点与平面的位置关系(1)如果点P在平面α,记作P∈α.(2)如果点P在平面α,记作P∉α.3.空间两条直线的位置关系(1)平行直线:如果直线a和b在同一个平面内,但没有,这样的两条直线叫作平行直线,记作a∥b.(2)相交直线:如果直线a和b有且只有公共点P,这样的两条直线叫作相交直线,记作a∩b=P.(3)异面直线:如果直线a和b不同在平面内,这样的两条直线叫作异面直线.4.空间直线与平面的位置关系(1)直线在平面内:如果直线a与平面α有个公共点,我们称直线a在平面α内,记作aα.(2)直线与平面相交:如果直线a与平面α有且只有公共点P,我们称直线a与平面α相交于点P,记作a∩α=P.(3)直线与平面平行:如果直线a与平面α没有,我们称直线a与平面α平行,记作a∥α.5.空间平面与平面的位置关系(1)平行平面:如果平面α与平面β没有,我们称平面α与平面β是平行平面,记作α∥β.(2)相交平面:如果平面α和平面β不重合,但有,我们称平面α与平面β相交于直线l,记作α∩β=l.6.公理1如果一条直线上的在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内).7.公理2经过的三点,有且只有一个平面.或简单说成:不共线的三点确定一个平面.8.公理3如果两个的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.9.公理2的推论推论1:经过一条直线和这条,有且只有一个平面;推论2:经过两条直线,有且只有一个平面;推论3:经过两条直线,有且只有一个平面.合作探究:(对学、群学)探究点一空间点、线、面的位置关系导引观察下面三个长方体回答下列问题.思考 1 观察长方体,你能发现长方体有多少个顶点?多少条棱?多少个面?棱所在的直线,以及侧面、底面之间的位置关系吗?例1 将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述,并用图形语言予以表示:α∩β=l,A∈l,ABα,ACβ.跟踪训练1 根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形:(1)A∈α,B∉α;(2)lα,m∩α=A,A∉l;(3)P∈l,P∉α;Q∈l,Q∈α.探究点二空间图形的公理思考1 实际生活中,我们有这样的经验:把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上,可以看到,直尺的整个边缘就落在了桌面上.从经验中我们能得到什么结论呢?思考2 如何用符号语言表示公理1?公理1有怎样的用途?思考3 生活中经常看到用三角架支撑照相机;测量员用三角架支撑测量用的平板仪;有的自行车后轮旁只安装一只撑脚.上述事实和类似经验可以归纳出平面怎样的性质?思考4 如何用符号语言表示公理2?公理2有怎样的用途?思考5 如图所示,直线BC外一点A和直线BC能确定一个平面吗?为什么?思考6 如图所示,两条相交直线能不能确定一个平面?为什么?思考7 如图所示,两条平行直线能不能确定一个平面?为什么?思考8 我们已经看到各种棱柱、棱锥的每两个相交的面之间的交线都是直线段,由此你能总结出怎样的结论?思考9 如何用符号语言表示公理3?公理3有怎样的用途?例2 已知a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证:a,b,c和l共面.跟踪训练2 已知:如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.求证:直线l1、l2、l3在同一平面内.探究点三共线问题例3 已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如图所示.求证:P、Q、R三点共线.跟踪训练3 如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E为AB的中点,F为AA1的中点.求证:CE、D1F、DA三线交于一点.【达标拓展】(检测、拓展)1.若A∈平面α,B∈平面α,C∈直线AB,则( )A.C∈αB.C αC.ABαD.AB∩α=C2.平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( )A.3 B.4 C.5 D.63.若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分成________部分.4.如图,已知D,E是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点,若直线AB与平面α的交点是P,则点P与直线DE的位置关系是________.【学后反思】【练案】一、基础过关1.下列图形中,不一定是平面图形的是( )A.三角形B.菱形C.梯形D.四边相等的四边形2.空间中,可以确定一个平面的条件是( )A.两条直线B.一点和一条直线C.一个三角形 D.三个点3.如图所示,用符号语言可表示为( )A.α∩β=m,nα,m∩n=AB.α∩β=m,n∈α,m∩n=AC.α∩β=m,nα,A m,A nD.α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈n4.已知平面α与平面β、γ都相交,则这三个平面可能的交线有( ) A.1条或2条B.2条或3条C.1条或3条 D.1条或2条或3条5.给出以下命题:①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内;②三条两两相交的直线在同一平面内;③有三个不同公共点的两个平面重合;④两两平行的三条直线确定三个平面.其中正确命题的个数是________.6.已知α∩β=m,aα,bβ,a∩b=A,则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________.7.如图,梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线,并说明理由.二、能力提升8.空间不共线的四点,可以确定平面的个数是( )A.0B.1C.1或4D.无法确定9.空间中A,B,C,D,E五个点,已知A,B,C,D在同一平面内,B,D,C,E在同一平面内,那么这五点( )A.共面B.不一定共面C.不共面D.以上都不对10.已知α、β为平面,A、B、M、N为点,a为直线,下列推理错误的是________.①A∈a,A∈β,B∈a,B∈β⇒aβ;②M∈α,M∈β,N∈α,N∈β⇒α∩β=MN;③A∈α,A∈β⇒α∩β=A;④A、B、M∈α,A、B、M∈β,且A、B、M不共线⇒α、β重合.11.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O1是A1C1与B1D1的交点,长方体体对角线A1C交截面AB1D1于点P.求证:O1,P,A三点在同一条直线上.12.已知a,b,c,d是两两相交且不共点的四条直线,求证:a,b,c,d共面.三、探究与拓展13.在四面体ABCD中,E,G分别为BC,AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC=DH∶HA=2∶3.求证:EF,GH,BD交于一点.。
空间图形的基本关系教学设计说明

《空间图形的基本关系》教学设计说明本节选自普通高中北师大版必修2第一章第四节第一课时【教材分析】空间图形的基本关系与公理是学习平行关系与垂直关系的基础。
教材依托长方体,表述了空间点、线、面间的基本位置关系。
教材先引导学生对“实例分析”中的长方体进行仔细的观察,然后讨论长方体的顶点、棱、面之间的关系。
在此基础上,在进入“抽象概括”,总结出空间点、线、面的五类位置关系。
这样处理的目的是让学生通过长方体这个具体模型对位置关系有直观地认识。
注意三种语言即文字语言、符号语言、图形语言的互译,让学生熟练掌握点、线、面的符号表示,及“∈”和“≠⊂”符号的正确使用。
【三维目标】1.知识与技能(1)了解构成空间图形的基本元素:点、直线、平面。
(2)借助长方体模型,在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上抽象出点、线、面的位置关系的定义。
(3)正确使用用图形语言、符号语言进行表述点、线、面的位置关系。
2.过程与方法学生在“立体几何初步”起始课中从对空间几何体的整体观察入手,遵循从整体到局部,从具体到抽象的原则,认识空间中点、线、面之间的位置关系。
3.情感、态度与价值观通过对空间图形的认识,使学生知道我们生活的三维空间是丰富多彩的,结合三种语言的互相转换,体会数学图形的直观美以及数学语言的简洁美。
【重点分析】本节课的重点是在以长方体为载体,直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上进一步培养学生符号语言的运用能力。
在立体几何初步的教学中,长方体是一个重要模型,在教学中应特别重视长方体这一模型的应用,通过长方体让学生在直观感知的基础上认识空间中一般点、线、面之间的位置关系。
本节课进一步对一些关系用符号语言进行表述,旨在培养学生符号语言的运用能力。
在本节课中,要突出长方体的重要作用,注重引导学生利用长方体模型理解空间中点、线、面的位置关系,实现立体几何中由具体到抽象、由直观感知到抽象概括的目标。
【难点分析】本节课的难点是对异面直线的理解,对于本节课的难点,由导学案上思考交流问题的设计,以及教师的逐步引导,让学生能够很好的突破本节课的难点。
简单几何体的三视图讲解[1]
![简单几何体的三视图讲解[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/358f1291d05abe23482fb4daa58da0116c171f08.png)
根据已知的两个视图,利用投影关系,可以推断出第三个视图的基本形状和尺寸。例如, 如果已知主视图和左视图,可以通过它们的高度和宽度推断出俯视图的基本形状。
注意细节和遮挡关系
在补画第三视图时,需要注意细节和遮挡关系。例如,当几何体中存在凹槽或凸起时,需 要在第三视图中相应地表示出来。同时,还需要注意不同部分之间的遮挡关系,以确保补 画出的第三视图准确无误。
。
圆锥体的俯视图是一个圆面,同 样需要按照正投影法将其绘制成
椭圆。
在绘制过程中,要注意圆锥体的 高和底面直径的比例关系,以及
锥尖的位置和方向。
球体三视图简化表示方法
球体的三视图都是圆面,但由于投影角度的不同,圆面的大小和形状也会有所不同 。
在简化表示时,可以将球体的三视图都绘制成相同的圆面,但需要注明是简化表示 。
三视图概念及作用
三视图定义
三视图是指通过三个相互垂直的投影面(正面、水平面和侧 面)将三维物体投影后得到的三个二维图形(主视图、俯视 图和左视图)。
三视图作用
三视图能够准确、完整地表达三维物体的形状、结构和大小 等几何信息,是工程制图中最基本的表达方式之一。通过观 察和分析三视图,可以想象出三维物体的立体形状,为物体 的设计、制造和检测提供依据。
几何体性质
几何体具有体积、表面积等属性 ,不同几何体之间可能存在相似 或全等的性质。
常见简单几何体介绍
立方体
立方体有六个面,且每个面都 是正方形,具有相等的边长。
球体
球体是一个连续曲面立体,由 一个面围成,且这个面是曲面 。
圆柱体
圆柱体由两个平行且相等的圆 形底面和一个侧面围成,侧面 是一个曲面。
相贯线和截交线绘制要点
相贯线
数学-直线、平面、简单几何体

!!!!!!!!!!!!!!!!"
一、 !""# 年全国各省市高考对该部分内容的考查要点和命题趋势
$% 立体几何考查的立足点仍在空间图形上, 突出了对空间观念和空间想象能力的考查% 立体几 何的基础是对点、 线、 面的各种位置关系的讨论和研究, 进而讨论几何体, 而且采用了公理化体系的 方法% 高考命题中, 突出了空间图形的特点, 侧重于对直线与直线、 直线与平面、 平面与平面的各种 位置关系的考查, 审核考生立体几何的知识水平和能力% !% 多面体和旋转体考题多是在空间直线与平面的理论基础上, 研究以柱、 锥、 台、 球为代表的最 基本的几何体的概念、 性质、 各主要元素间的关系、 直观图画法、 侧面展开图以及表面和体积的求法 等问题% &% 在高考中不仅有直接求多面体、 旋转体的面积和体积问题, 也有已知面积或体积求某些系问题, 多以几何体为依托%
.# (’ $% ・湖北) ( 文) 已知 ,、 -、 . 是直线, " 是平 面, 给出下列命题: - $., 则 , %.; $若 , $- , - $., 则 , $.; %若 , %- ,
则!%" ! !, 其中真命题是 !! !和" !和$ %&’ ( ’ &( ・天津) 设 !、 "、 #、 $ 为直 "、 # 为平面, 线, 则"$"的一个充分条件是 !’ !$", "$$ !’" ) $ , "’ !’# ) ", !$# , " $# #’ !$#, "$! " $# , $’ #$!, # $" , "$! %% ! (’ &( ・重庆) ( 理) 对于不重合的两个平面 ! 与 ", 给定下列条件: 使得 !、 !存在平面 #, " 都垂直于 #; 使得 !、 "存在平面 #, " 都平行于 #; #! 内有不共线的三点到 " 的距离相等; ", 使得 $%!, $ %" , "%!, $存在异面直线 $、 "%" ! 其中, 可以判定 ! 与 " 平行的条件有 !* % 个 -个 %+ ! (’ &( ・北京) 在正四面体的 % —&’( 中, )、 *、 + 分别是 &’ 、 ’( 、 (& 的中点, 下面四个结 论中不成立的是 !* ’( %平面 %)+ #* 平面 %)+ $ 平面 &’( 面 &’( %,* (’ &( ・广东) 给出下列关于互不相同的直线 "、 $、 # 和平面 !、 " 的四个命题: $ ’! ) &, 点 &(", 则 $ 与 " 不共 !若 "&!, 面; "* )+ $平面 %&* $* 平面 %&* $ 平 "* + 个 #* , 个 $* "! ! 和 # #! # 和 $ $!
《1.4.1 空间图形基本关系的认识 1.4.2 空间图形的公理公理1、2、3》课件 5-优质公开课-北师大必修2精品

自
课
主 位置关系、符号表示.
时
导
作
学
业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
BS ·数学 必修2
教
学
易
教
错
法 分
满足下列条件,平面α∩平面β=AB,直线a α,直线
易 误
析
辨
b β且a∥AB,b∥AB的图形是( )
析
教
学
当
方
堂
案
双
设
基
计
达
标
课
前
自
课
主
时
导
作
学
业
课 堂 互 动 探 究
教
【解析】 由线面符号语言描述及图形语言知D正确.
教
师
备
课
资
源
菜单
BS ·数学 必修2
教
学
易
教
错
法
易
分 析
误
【思路探究】 (1)点P、R、Q与平面α、平面ABC有何 辨
析
教 学
关系?
当
方
堂
案 设
(2)平面α与平面ABC什么关系?与点P、R、Q又有何关 双 基
计
系?
达 标
课
前 自
【自主解答】 法一 ∵AB∩α=P,
课
主
时
导 学
∴P∈AB,P∈平面 α.
自
课
主 导
与平面相交.
时 作
学
业
4.平行和相交.
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
《几何图形初步》全章知识讲解

《几何图形初步》全章知识讲解【学习目标】1.认识一些简单的几何体的平面展开图及三视图,初步培养空间观念和几何直观; 2.掌握直线、射线、线段、角这些基本图形的概念、性质、表示方法和画法; 3.初步学会应用图形与几何的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题;4.逐步掌握学过的几何图形的表示方法,能根据语句画出相应的图形,会用语句描述简单的图形. 【要点梳理】要点一、多姿多彩的图形 1. 几何图形的分类要点诠释:在给几何体分类时,不同的分类标准有不同的分类结果. 2.立体图形与平面图形的相互转化 (1)立体图形的平面展开图:把立体图形按一定的方式展开就会得到平面图形,把平面图形按一定的途径进行折叠就会得到相应的立体图形,通过展开与折叠能把立体图形和平面图形有机地结合起来. 要点诠释:①对一些常见立体图形的展开图要非常熟悉,例如正方体的 11种展开图,三棱柱,圆柱等的展开图;②不同的几何体展成不同的平面图形,同一几何体沿不同的棱剪开,可得到不同的平面图形,那么排除障碍的方法就是:联系实物,展开想象,建立“模型”,整体构想,动手实践. (2)从不同方向看:立体图形:棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等. ⎧⎨⎩平面图形:三角形、四边形、圆等.几何图形⎧⎨⎩主(正)视图----------从正面看几何体的三视图左视图----------------从左边看俯视图----------------从上面看要点诠释:①会判断简单物体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)的三视图.②能根据三视图描述基本几何体或实物原型.(3)几何体的构成元素及关系几何体是由点、线、面构成的.点动成线,线与线相交成点;线动成面,面与面相交成线;面动成体,体是由面组成.要点二、直线、射线、线段1.直线,射线与线段的区别与联系2. 基本性质(1)直线的性质:两点确定一条直线.(2)线段的性质:两点之间,线段最短.要点诠释:①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如:要在墙上固定一个木条,只要两个钉子就可以了,因为如果把木条看作一条直线,那么两点可确定一条直线。
几何基本关系

(2)点在平面内
记作:
B
复习:平面内,两条直线的位置关系
1、平行
a b
没有公共点
2、相交
a b
只有一个公共点
3、重合
a(b)
无数多个公共点
空间两条直线的位置关系
a
1、平行
a
b
没有公共点
只有一个公共点
2、相交
α
A
b
a b A
a A b
3、异面
α
没有公共点
空间直线与平面的位置关系 1、直线在平面内
记作:
a
a
小结
点线
空 间 图 形 的 基 本 关 系
点面
线线
线面
在直线上 在直线外 在面上 在面外 平行 相交 共面 异面 在面内 相交 不在平面内 平行 相交 平行
面面
作业:《同步》p28左5 、P34左7
、
也可以用平行四边形的相对顶点表示,如AC
实例分析:请认真观察长方体中点、线、 面的位置关系。
D’
A’ C’
B’
D
C B
α
A
抽象概括:
空间点与直线的位置关系 (1)点在直线上
记作:
A l
.A
.B
l
(2)点在直线外
记作:
B l
空间点与平面的位置关系
A
(1)点在平面外
记作:
A
直线与平面有无数多个公共点 记作a
a
α
a A α a
直 2、直线与平面相交 线 直线与平面只有一个公共点 不 记作: a∩α =A 在 平 3、直线与平面平行 直线与平面没有公共点 面 内 记作:
普通高中课程标准实验教科书

02
教学建议
充分利用实物 强调操作(切萝卜、土豆)
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具体章节内容与教学分析
垂直关系
位置关系 教材结构
长方体
平行关系
空间图形的基本关系与公理
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具体章节内容与教学分析
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位置关系
先讲清楚平行关系,垂直关系采用类比迁移讲授
类比
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具体章节内容与教学分析
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第一部分是立体几何初步
第二部分是解析几何初步
立体几何初步主要内容
直观图画法 三视图 点、线、面的位置关系 空间图形球、圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱台 旋转体、多面体的表面积、体积
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立体几何初步内容框图
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立体几何初步授课顺序及课时安排
§1 简单几何体 §2 三视图 §3 直观图 §4 空间图形的基本关系与公理 §5 平行关系 §6 垂直关系 §7 简单几何体的面积体积 §8 简单应用 课题学习、小结
三视图
初中学过没有(起点不同) 巩固基本几何体的三视图 复合几何体的三视图 难点在于基本几何体的连接处如何表示
立体到平面
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具体章节内容与教学分析
三视图 从平面到立体 教师充分利用实物观察来画图. 巩固基本图 基本几何体三视图 复合体三视图
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具体章节内容与教学分析
01
三视图
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课标基本要求
几何教学应注意引导学生通过对实际模型的认识,学会将自然语言转化为图形语言和符号语言.教师可以使用具体的长方体的点、线、面之间的位置关系;通过对图形的观察、实验和说理,使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法,学会准确地使用数学语言,表述几何对象的位置关系,并能解决一些简单的推理论证及应用问题.
简单几何体及空间图形的基本关系

1•简单几何体及空间图形的基本关系1、柱、锥.台、球的结构特征(1)棱柱:几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面.对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等:平行于底面的截而绘与底而全等的多边形。
(2)棱锥几何特征:侧而、对角而都是三角形;平行于底而的截面与底而相似,其相似比等于顶点到截而距离与高的比的平方。
(3)棱台:几何特征:①上下底而是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点(4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行:③轴与底面圆的半径亚口:④侧面展开图足一个矩形。
(5)圆锥;定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成几何特征:①底而出一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧而展开图是一个扇形。
(6)圆台:定义:以直角梯形的亚直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成几何特征:①上下底而是两个圆;②侧而母线交于原圆锥的顶点;③侧而展开图泉一个弓形。
(7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆而旋转一周形成的几何体几何特征:①球的截而是圆;②球而上任总一点到球心的距离等于半径。
2、空间几何体的三视图定义三视图:主视图(光线从几何体的前面向后而正投影):左视图(从左向右)、俯视图(从上向下〉注:主视图反映了物体的高度和长度:俯视图反映了物体的长度和宽度:左视图反映了物体的高度和宽度。
3、空间几何体的亶观图一一二测画法斜二测画法特点:①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变;②原来与y轴平行的线段仍然与y平行,长度为原来的一半。
4、空间点、直线、平面的位置关系公理1:如果一条直线的两点在一个平而内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内。
应用:判断直线是否在平面内用符号语言表示公理h Aw【、Bwl、Awa、Bwanlua公理2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。
推论:一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平而;两平行直线确定一平面。
2025届高考一轮复习《基本立体图形、简单几何体的表面积与体积》课件

高考一轮总复习•数学
第27页
即 12=A0O.61, 解得 AO1=0.6 2, 根据对称性可知圆柱的高为 3-2×0.6 2≈1.732-1.2×1.414=0.035 2>0.01, 所以能够被整体放入正方体内,故 D 符合题意. 故选 ABD.
高考一轮总复习•数学
第26页
设 OE∩AC=E,可知 AC= 2,CC1=1,AC1= 3,OA= 23,
那么
tan∠CAC1=CACC1=OAOE,即
1 =OE, 23
2
解得 OE= 46,且 462=38=294>295=0.62,
即 46>0.6,
所以以 AC1 为轴可能对称放置底面直径为 1.2 m 圆柱,若底面直径为 1.2 m 的圆柱与正 方体的上下底面均相切,设圆柱的底面圆心为 O1,与正方体的下底面的切点为 M,
圆台
体积 V= Sh =πr2h
V=
1 3Sh
=13πr2h=13πr2
l2-r2
V=13(S 上+S 下+ S上S下)h
=13π(r21+r22+r1r2)h
第11页
高考一轮总复习•数学
名称 棱柱 棱锥 棱台 球
体积 V= Sh
1 V= 3Sh V=13(S 上+S 下+ S上S下)h V=43πR3
= 直观图
2 4S
原图形.
高考一轮总复习•数学
以三角形为例说明原因:
第36页
S
直观图=12B′C′·O′A′·sin
高考一轮总复习•数学
第24页
解析:(1)由圆台定义知,以直角梯形垂直于底边的腰为旋转轴,其余三边旋转一周形 成的面围成的旋转体是圆台,故 A 错误;
空间图形基本关系的认识及公理123

【微思考】 (1)四边形一定能确定一个平面吗? 提示:不一定,如空间四边形不能确定平面. (2)两个平面有三个公共点,这两个平面重合吗? 提示:不一定,当三点在同一直线上时,不能判定两个平面重 合;当三点不在同一条直线上时,根据不共线的三点确定一个 平面可知两平面重合.
【即时练】 (2014·南昌高一检测)下列说法: ①空间不同的三点可以确定一个平面; ②如果线段AB在平面α内,那么直线AB一定在平面α内; ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 其中错误的说法是________(填序号).
A.AB∩α=C
B.AB α
C.C∈α
D.C∉α
(2)已知如图,直线a∥b,直线l∩a=A,直线l∩b=B,求证:直
线a,b,l共面.
【解题探究】1.题(1)中A∈平面α,B∈平面α,说明什么 问题? 2.题(2)中,由a∥b可得到什么结论?怎样才能说明a,b,l 共面? 【探究提示】1.A∈平面α,B∈平面α,说明AB 平面α.
2.对公理1的两点说明 (1)“不在同一条直线上的三点”的含义 ①经过一点,两点和在同一条直线上的三点可能有无数个平面; ②任意给定不在同一条直线上的四个点,不一定有一个平面同 时过这四个点. (2)“有且只有一个”的含义 这里“有”是说图形存在,“只有一个”是说图形唯一,公理 1强调的是存在和唯一两个方面.
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两两相交的三条直线确Байду номын сангаас一个平面.( ) (2)经过一条直线和一个点确定一个平面.( ) (3)如果平面α与平面β相交,那么它们只有有限个公共 点.( )
【解析】(1)错误.两两相交的三条直线交于一点,可能确定三 个平面,故错误. (2)错误.若点在直线上,则无法确定一个平面. (3)错误.平面α与平面β相交有无数个公共点. 答案:(1)× (2)× (3)×
2024年高考数学一轮复习(新高考版) 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积

§7.1基本立体图形、简单几何体的表面积与体积考试要求 1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征,能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式,并能解决简单的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图.知识梳理1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等,垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环2.直观图(1)画法:常用斜二测画法.(2)规则:①原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直,直观图中x ′轴、y ′轴的夹角为45°或135°,z ′轴与x ′轴和y ′轴所在平面垂直.②原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别平行于坐标轴,平行于x 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y 轴的线段,长度在直观图中变为原来的一半.3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S 圆柱侧=2πrl S 圆锥侧=πrlS 圆台侧=π(r 1+r 2)l4.柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体S 表=S 侧+2S 底V =Sh 锥体S 表=S 侧+S 底V =13Sh台体S 表=S 侧+S 上+S下V =13(S 上+S 下+S 上S 下)h球S 表=4πR 2V =43πR 3常用结论1.与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理).2.直观图与原平面图形面积间的关系:S 直观图=24S 原图形,S 原图形=22S 直观图.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)菱形的直观图仍是菱形.(×)(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.(×)(3)用两平行平面截圆柱,夹在两平行平面间的部分仍是圆柱.(×)(4)锥体的体积等于底面积与高之积.(×)教材改编题1.如图,一个三棱柱形容器中盛有水,则盛水部分的几何体是()A.四棱台B.四棱锥C.四棱柱D.三棱柱答案C解析由几何体的结构特征知,盛水部分的几何体是四棱柱.2.下列说法正确的是()A.相等的角在直观图中仍然相等B.相等的线段在直观图中仍然相等C.正方形的直观图是正方形D.若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行答案D解析由直观图的画法规则知,角度、长度都有可能改变,而线段的平行关系不变,正方形的直观图是平行四边形.3.已知圆锥的表面积等于12πcm2,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为() A.1cm B.2cm C.3cm D.3cm2答案B解析设圆锥底面圆的半径为r cm,母线长为l cm,依题意得2πr=πl,∴l=2r,S=πr2+πrl=πr2+πr·2r=3πr2=12π,∴r2=4,∴r=2(cm).表题型一基本立体图形命题点1结构特征例1(多选)下列说法中不正确的是()A .以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴,其余边旋转一周形成的几何体是圆台B .有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体是棱柱C .底面是正多边形的棱锥是正棱锥D .棱台的各侧棱延长后必交于一点答案ABC解析由圆台定义知,以直角梯形垂直于底边的腰为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体是圆台,故A 错误;由棱柱定义可知,棱柱是有两个面平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体,故B 错误;底面是正多边形的棱锥,不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心,故C 错误;棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的,故棱台的各侧棱延长后必交于一点,故D 正确.命题点2直观图例2已知水平放置的四边形OABC 按斜二测画法得到如图所示的直观图,其中O ′A ′∥B ′C ′,∠O ′A ′B ′=90°,O ′A ′=1,B ′C ′=2,则原四边形OABC 的面积为()A.322B .32C .42D .52答案B 解析方法一由已知求得O ′C ′=2,把直观图还原为原图形如图,可得原图形为直角梯形,OA ∥CB ,OA ⊥OC ,且OA =1,BC =2,OC =22,得原四边形OABC 的面积为12×(1+2)×22=3 2.方法二由题意知A ′B ′=1,∴S 直观图=12×(1+2)×1=32,∴S 原图形=22S 直观图=3 2.命题点3展开图例3如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1cm,高为5cm,一质点自A点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为()A.12cm B.13cmC.61cm D.15cm答案C解析如图,把侧面展开2周可得对角线最短,则AA1=62+52=61(cm).思维升华空间几何体结构特征的判断技巧(1)说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可.(2)在斜二测画法中,平行于x轴的线段平行性不变,长度不变;平行于y轴的线段平行性不变,长度减半.(3)在解决空间折线(段)最短问题时一般考虑其展开图,采用化曲为直的策略,将空间问题平面化.跟踪训练1(1)如图,一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图A′B′C′D′是边长为2的菱形,且O′D′=2,则原平面图形的周长为()A.42+4B.46+4C.82D.8答案B解析根据题意,把直观图还原成原平面图形,如图所示,其中OA =22,OD =4,AB =CD =2,则AD =8+16=26,故原平面图形的周长为2+2+26+26=46+4.(2)(多选)下列命题中不正确的是()A .棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形B .在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱C .不存在每个面都是直角三角形的四面体D .棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等答案ACD解析A 不正确,根据棱柱的定义,棱柱的各个侧面都是平行四边形,但不一定全等;B 正确,因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱,又垂直于底面;C 不正确,如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中的三棱锥C 1-ABC ,四个面都是直角三角形;D 不正确,棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形,各侧棱的延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.(3)(2023·岳阳模拟)已知圆锥的侧面积是底面积的54倍,则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角大小为()A.4π5B.6π5C.8π5D.9π5答案C解析设圆锥的底面圆的半径为r ,母线长为l ,则圆锥的侧面积为πrl ,由题意得πrl πr 2=54,解得l =5r 4,∵圆锥底面圆的周长即为侧面展开图扇形的弧长为2πr ,∴该扇形的圆心角为α=2πr l =2πr 5r 4=8π5.题型二表面积与体积命题点1表面积例4(1)(2022·深圳模拟)以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A .8πB .4πC .8D .4答案A解析以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴,旋转一周所得的旋转体为圆柱,其底面半径r =2,高h =2,∴所得圆柱的侧面积S =2πrh =2π×2×2=8π.(2)(2023·丽江模拟)已知三棱锥的三条侧棱长均为2,有两个侧面是等腰直角三角形,底面等腰三角形底上的高为5,则这个三棱锥的表面积为()A .4+33+15B .4+3+215C .4+3+15D .4+23+15答案C解析结合题目边长关系,三棱锥如图所示,AB =AC =AD =2,CE =5,由题意得△ABC ,△ACD 是等腰直角三角形,则BC =CD =22,BE =BC 2-CE 2=3,BD =23,AE =AB 2-BE 2=1,则该三棱锥的表面积为S △ABC +S △ACD +S △ABD +S △BCD =12×2×2+12×2×2+12×23×1+12×23×5=4+3+15.命题点2体积例5(1)(2021·新高考全国Ⅱ)正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为()A .20+123B .282C.563 D.2823答案D解析作出图形,连接该正四棱台上、下底面的中心,如图,因为该四棱台上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,所以该棱台的高h =22- 22-2 2=2,下底面面积S 1=16,上底面面积S 2=4,所以该棱台的体积V =13h (S 1+S 2+S 1S 2)=13×2×(16+4+64)=2823.(2)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2,则三棱锥A -B 1CD 1的体积为()A.43B.83C .4D .6答案B解析如图,三棱锥A -B 1CD 1是由正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1截去四个小三棱锥A -A 1B 1D 1,C -B 1C 1D 1,B 1-ABC ,D 1-ACD 得到的,又1111ABCD A B C D V -=23=8,11111111A A B D C B C D B ABC D ACDV V V V ----====13×12×23=43,所以11A B CD V -=8-4×43=83.思维升华求空间几何体的体积的常用方法公式法规则几何体的体积,直接利用公式割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体,或者把不规则的几何体补成规则的几何体等体积法通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,特别是三棱锥的体积跟踪训练2(1)(2021·北京)定义:24小时内降水在平地上积水厚度(mm)来判断降雨程度.其中小雨(<10mm),中雨(10mm -25mm),大雨(25mm -50mm),暴雨(50mm -100mm),小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水,如图,则这天降雨属于哪个等级()A .小雨B .中雨C .大雨D .暴雨答案B解析由题意,一个半径为2002=100(mm)的圆面内的降雨充满一个底面半径为2002×150300=50(mm),高为150(mm)的圆锥,所以积水厚度d =13π×502×150π×1002=12.5(mm),属于中雨.(2)(2022·沈阳模拟)在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见,因为六、八是中国人的吉利数字,所以许多瓷器都做成六棱形和八棱形的,但是六棱柱形的瓷器只有六棱柱形笔筒,其余的六棱形都不是六棱柱形.如图为一个正六棱柱形状的瓷器笔筒,高为18.7cm ,底面边长为7cm(数据为笔筒的外观数据),用一层绒布将其侧面包裹住,忽略绒布的厚度,则至少需要绒布的面积为()A .120cm 2B .162.7cm 2C .785.4cm 2D .1570.8cm 2答案C解析根据正六棱柱的底面边长为7cm ,得正六棱柱的侧面积为6×7×18.7=785.4(cm 2),所以至少需要绒布的面积为785.4cm 2.课时精练1.(2023·淄博模拟)若圆锥的母线长为23,侧面展开图的面积为6π,则该圆锥的体积是()A.3πB .3πC .33πD .9π答案B解析设圆锥的高为h ,底面圆半径为r ,因为母线长为23,所以侧面展开图的面积为πr ×23=6π,解得r =3,所以h = 23 2- 3 2=3,所以圆锥的体积V =13π×(3)2×3=3π.2.如图是用斜二测画法画出的水平放置的△AOB 的直观图(图中虚线分别与x ′轴、y ′轴平行),则原图形△AOB 的面积是()A .8B .16C .32D .64答案C解析根据题意,如图,原图形△AOB 的底边OB 的长为4,高为16,所以其面积S =12×4×16=32.3.(多选)下列说法不正确的是()A .棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面B .有两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台C .如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形,那么这个棱锥可能为六棱锥D .如果一个棱柱的所有面都是长方形,那么这个棱柱是长方体答案ABC解析选项A ,例如六棱柱的相对侧面也互相平行,故A 错误;选项B ,其余各面的边延长后不一定交于一点,故B 错误;选项C ,当棱锥的各个侧面共顶点的角的角度之和是360°时,各侧面构成平面图形,故这个棱锥不可能为六棱锥,故C 错误;选项D ,若每个侧面都是长方形,则说明侧棱与底面垂直,又底面也是长方形,符合长方体的定义,故D 正确.4.(2022·莆田模拟)已知圆锥的侧面展开图为一个面积为2π的半圆,则该圆锥的高为()A.52B .1 C.2D.3答案D解析设圆锥的母线长为l ,圆锥的底面圆半径为r ,如图.πl =2πr ,πrl =2π,解得r 2=1,l 2=4,则圆锥的高h =l 2-r 2= 3.5.如图,在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12,底面圆的半径等于4,一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发,绕圆锥侧面爬行一周后回到点P 处,则小虫爬行的最短路程为()A .123B .16C .24D .243答案A 解析如图,设圆锥侧面展开图的圆心角为θ,则由题意可得2π×4=12θ,则θ=2π3,在△POP ′中,OP =OP ′=12,则小虫爬行的最短路程为PP ′=122+122-2×12×12×-12=123.6.(2022·新高考全国Ⅰ)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m 时,相应水面的面积为140.0km 2;水位为海拔157.5m 时,相应水面的面积为180.0km 2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5m 上升到157.5m 时,增加的水量约为(7≈2.65)()A .1.0×109m 3B .1.2×109m 3C .1.4×109m 3D .1.6×109m 3答案C 解析如图,由已知得该棱台的高为157.5-148.5=9(m),所以该棱台的体积V =13×9×(140+140×180+180)×106=60×(16+37)×106≈60×(16+3×2.65)×106=1.437×109≈1.4×109(m 3).故选C.7.如图,在正四棱锥P -ABCD 中,B 1为PB 的中点,D 1为PD 的中点,则棱锥A -B 1CD 1与棱锥P -ABCD 的体积之比是()A .1∶4B .3∶8C .1∶2D .2∶3答案A 解析棱锥A -B 1CD 1的体积可以看成是正四棱锥P -ABCD 的体积减去角上的四个小棱锥的体积得到的.因为B 1为PB 的中点,D 1为PD 的中点,所以棱锥B 1-ABC 的体积和棱锥D 1-ACD 的体积都是正四棱锥P -ABCD 的体积的14,棱锥C -PB 1D 1的体积与棱锥A -PB 1D 1的体积之和是正四棱锥P -ABCD 的体积的14,则中间剩下的棱锥A -B 1CD 1的体积11A B CD V -=V P -ABCD -3×14V P -ABCD =14V P -ABCD ,则11A B CD V -∶V P -ABCD =1∶4.8.(多选)(2023·邯郸模拟)攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式,宋代称为撮尖,清代称攒尖,通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖,也有单檐和重檐之分,多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以四角攒尖为例,如图,它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ,这个角接近30°,若取θ=30°,侧棱长为21米,则()A .正四棱锥的底面边长为6米B .正四棱锥的底面边长为3米C .正四棱锥的侧面积为243平方米D .正四棱锥的侧面积为123平方米答案AC 解析如图,在正四棱锥S -ABCD 中,O 为正方形ABCD 的中心,H 为AB 的中点,则SH ⊥AB ,设底面边长为2a 米.因为∠SHO =30°,所以OH =AH =a 米,OS =33a 米,SH =233a 米.在Rt △SAH 中,a 2+233a =21,解得a =3,所以正四棱锥的底面边长为6米,侧面积为S =12×6×23×4=243(平方米).9.如图,在六面体ABC -FEDG 中,BG ⊥平面ABC ,平面ABC ∥平面FEDG ,AF ∥BG ,FE ∥GD ,∠FGD =90°,AB =BC =BG =2,GD =2BC ,四边形AEDC 是菱形,则六面体ABC -FEDG 的体积为________.答案8解析如图,连接AG ,AD ,则V 六面体ABC -FEDG =V 四棱锥A -FEDG +V 四棱锥A -BCDG =2V 四棱锥A -FEDG ,由题意得,EF =2,DG =4,FG =AF =2,∴S 梯形FEDG =12×(2+4)×2=6,∴V 四棱锥A -FEDG =13×S 梯形FEDG ×AF =4,∴V 六面体ABC -FEDG =8.10.(2022·张家口模拟)陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一,也称陀罗.图1是一种木陀螺,可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体,其直观图如图2所示,其中B ,C 分别是上、下底面圆的圆心,且AC =3AB =3BD ,则该陀螺下半部分的圆柱的侧面积与上半部分的圆锥的侧面积的比值是________.答案22解析设AB =BD =m ,则AD =2m ,因为AC =3AB =3m ,所以BC =2m ,则圆柱的侧面积S 1=2πr ·BC =4πm 2,圆锥的侧面积S 2=πr ×AD =2πm 2,故S 1S 2=4πm 22πm2=2 2.11.如图,已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积为V ,点M ,N 分别为棱AA 1,CC 1的中点,则棱锥B -AMNC 的体积为________.答案13V 解析如图,连接AN ,对于三棱锥B -ACN ,B -AMN ,显然它们等底同高,故V B -ACN =V B -AMN ,而V B -ACN =V N -ABC ,注意到CN =C 1N ,于是三棱锥N -ABC 的高是三棱柱ABC -A 1B 1C 1的一半,且它们都以△ABC 为底面,故V N -ABC =13×12V =16V ,故V B -AMNC =2×16V =13V .12.某同学的通用技术作品如图所示,该作品由两个相同的正四棱柱制作而成.已知正四棱柱的底面边长为3cm ,这两个正四棱柱的公共部分构成的多面体的面数为________,体积为________cm 3.答案8182解析公共部分是两个正四棱锥且底面重叠的空间几何体,共8面.四棱锥底面是以32为边长的正方形,S =18,其中一个正四棱锥的高为322.∴V =13×18×322×2=182(cm 3).13.(2022·徐州模拟)如图,一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落处,容器与地面所成的角为30°,液面呈椭圆形,椭圆长轴上的顶点M ,N 到容器底部的距离分别是12和18,则容器内液体的体积是()A .15πB .36πC .45πD .48π答案C 解析如图为圆柱的轴截面图,过M 作容器壁的垂线,垂足为F ,因为MN 平行于地面,故∠MNF =30°,因为椭圆长轴上的顶点M ,N 到容器底部的距离分别是12和18,故NF =18-12=6,在Rt △MFN 中,MF =NF ×tan 30°=23,即圆柱的底面半径为3,所以容器内液体的体积等于一个底面半径为3,高为(12+18)的圆柱体积的一半,即为12×π×(3)2×(12+18)=45π.14.(2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2π,侧面积分别为S 甲和S 乙,体积分别为V 甲和V 乙.若S 甲S 乙=2,则V 甲V 乙等于()A.5B .22 C.10 D.5104答案C 解析方法一由甲、乙两个圆锥的母线长相等,结合S 甲S 乙=2,可知甲、乙两个圆锥侧面展开图的圆心角之比是2∶1.不妨设两个圆锥的母线长为l =3,甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r 1,r 2,高分别为h 1,h 2,则由题意知,两个圆锥的侧面展开图刚好可以拼成一个周长为6π的圆,所以2πr 1=4π,2πr 2=2π,得r 1=2,r 2=1.由勾股定理得,h 1=l 2-r 21=5,h 2=l 2-r 22=22,所以V 甲V 乙=13πr 21h 113πr 22h 2=4522=10.故选C.方法二设两圆锥的母线长为l ,甲、乙两圆锥的底面半径分别为r 1,r 2,高分别为h 1,h 2,侧面展开图的圆心角分别为n 1,n 2,则由S 甲S 乙=πr 1l πr 2l =n 1πl 22πn 2πl 22π=2,得r 1r 2=n 1n 2=2.由题意知n 1+n 2=2π,所以n 1=4π3,n 2=2π3,所以2πr 1=4π3l ,2πr 2=2π3l ,得r 1=23l ,r 2=13l .由勾股定理得,h 1=l 2-r 21=53l ,h 2=l 2-r 22=223l ,所以V 甲V 乙=13πr 21h 113πr 22h 2=4522=10.故选C.15.(多选)如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AA 1=2,AB =BC =1,∠ABC =90°,侧面AA1C 1C 的中心为O ,点E 是侧棱BB 1上的一个动点,下列判断正确的是()A .直三棱柱的侧面积是4+22B .直三棱柱的体积是13C .三棱锥E -AA 1O 的体积为定值D .AE +EC 1的最小值为22答案ACD 解析因为在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AA 1=2,AB =BC =1,∠ABC =90°,所以△ABC 和△A 1B 1C 1是等腰直角三角形,侧面全是矩形,所以其侧面积为1×2×2+12+12×2=4+22,故A 正确;直三棱柱的体积V =S △ABC ·AA 1=12×1×1×2=1,故B 不正确;如图所示,由BB 1∥平面AA 1C 1C ,且点E 是侧棱BB 1上的一个动点,所以三棱锥E -AA 1O 的高为定值22,1AA O S △=14×2×2=22,所以1E AA O V 锥-三棱=13×22×22=16,为定值,故C 正确;由该棱柱的侧面展开图易知(图略),AE +EC 1的最小值为AA 21+ A 1B 1+B 1C 1 2=22+ 1+12=22,故D 正确.16.(2023·榆林模拟)如图,某款酒杯容器部分为圆锥,且该圆锥的轴截面是面积为163cm 2的正三角形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块,要求冰块高度不超过杯口高度,则酒杯可放置圆柱冰块的最大体积为________cm 3.答案2563π27解析设圆锥的底面半径为r cm ,圆柱形冰块的底面半径为x cm ,高为h cm ,由已知可得,12×32×(2r )2=163,解得r =4,h =(r -x )·tan 60°=3(4-x ),0<x <4.设圆柱形冰块的体积为V ,则V =3πx 2(4-x ),0<x <4.令f (x )=3πx 2(4-x ),0<x <4.则f ′(x )=3πx (8-3x ),则当x f ′(x )>0,当x f ′(x )<0,∴f (x )max =f =2563π27.∴酒杯可放置圆柱冰块的最大体积为2563π27cm 3.。
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公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行
空间直线与直线之间的位置关系
①异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线
②异面直线性质:既不平行,又不相交。
③异面直线判定:过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线
④异面直线所成角:作平行,令两线相交,所得锐角或直角,即所成角。两条异面直线所成角的范围是(0°,90°],若两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直。
A. B. C. D.
17.下列说法正确的是
A.相等的角在直观图中仍然相等B.相等的线段在直观图中仍然相等
C.正方形的直观图是正方形D.若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行
18.图中的几何体可由一平面图形绕轴旋转360°形成,该平面图形是
A. B. C. D.
20.如图所示,若G,H,M,N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有
②原来与y轴平行的线段仍然与y平行,长度为原来的一半。
4、空间点、直线、平面的位置关系
公理1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内。
应用:判断直线是否在平面内
用符号语言表示公理1:
公理2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。
推论:一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面。
48.三条直线两两平行,则过其中任意两条直线最多共可确定____个平面.
49.在空间内,如果两条直线a和b没有公共点,那么a与b的位置关系是_______.
50.如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系:
①直线A1B与直线D1C的位置关系是________;
②直线A1B与直线B1C的位置关系是________;
1.简单几何体及空间图形的基本关系
1、柱、锥、台、球的结构特征
(1)棱柱:
几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
(2)棱锥
几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
A.①②B.②③C.①④D.②④
22.下列说法正确的是( )
A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形
C.共点的三条直线确定一个平面D.梯形一定是平面图形
23.空间中可以确定一个平面的条件是( )
A.三个点B.四个点C.三角形D.四边形
24.给出下列语句:
①一个平面长3m,宽2m;②平面内有无数个点,平面可以看成点的集合;
三种位置关系的符号表示:a αa∩α=A a∥α
(9)平面与平面之间的位置关系:平行——没有公共点;α∥β
相交——有一条公共直线。α∩β=b
一、单选题
1.以一个等边三角形的底边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的几何体是( )
A.一个圆柱B.两个圆锥C.一个圆台D.一个圆锥
2.以一个直角三角形的斜边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的几何体是( )
9.底面是正三角形,且每个侧面是等腰三角形的三棱锥()
A.一定是正三棱锥B.一定是正四面体C.不是斜三棱锥D.可能是斜三棱锥
10.棱柱的侧面一定是( )
A.平行四边形B.矩形C.正方形D.菱形
11.下列空间几何体中,是棱柱的是( )
A. B. C. D.
12.下列几何体是台体的是( )
A. B. C. D.
39.已知正方体 ,则异面直线 与 所成角为
A. B. C. D.
41.如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,异面直线AD与CB1所成的角是( )
A. B. C.则异面直线 与 所成角大小为( ).
A. B. C. D.
二、填空题
45.已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如下图所示的直观图,其中 , ,则原△ABC的面积为_______
C.直棱柱的每个侧面都是矩形D.斜棱柱的侧面中可能有矩形
6.下列命题正确的是( )
A.棱柱的侧面都是长方形B.棱柱的所有面都是四边形
C.棱柱的侧棱不一定相等D.—个棱柱至少有五个面
7.如右图所示的几何体是( )
A.五棱锥B.五棱台C.五棱柱D.五面体
8.如图所示的几何体是棱柱的有
A.②③⑤B.③④⑤C.③⑤D.①③
A.一个圆柱B.一个圆锥C.一个圆台D.两个圆锥
3.直角三角形绕着它的一条直角边旋转而成的几何体是( )
A.圆锥B.圆柱C.圆台D.球
4.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周形成的几何体是
A. B. C. D.
5.关于棱柱有下列四个命题,其中判断错误的是( )
A.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B.平行六面体可能是直棱柱
③直线D1D与直线D1C的位置关系是________;
④直线AB与直线B1C的位置关系是________.
51.如图,在过正方体 的任意两个顶点的所有直线中,与直线 异面的直线的条数为______.
三、解答题
53.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O1是A1C1与B1D1的交点,长方体体对角线A1C交截面AB1D1于点P.求证:O1,P,A三点在同一条直线上.
(3)棱台:
几何特征:①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点
(4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成
几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。
(5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成
A.梯形B.矩形C.正方形D.菱形
35.设m,n是两条不同的直线, 是两个不同的平面,给出下列四个命题:
① 如果 , ,那么 ;② 如果 , , ,那么 ;
③ 如果 , ,那么 ;④如果 , , ,那么 .
其中正确的是( )
A.① ②B.② ③C.② ④D.③④
36.已知m,n是两条不重合的直线, , 是两个不重合的平面,下面四个结论中正确的是
2、空间几何体的三视图
定义三视图:主视图(光线从几何体的前面向后面正投影);左视图(从左向右)、
俯视图(从上向下)
注:主视图反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体的长度和宽度;左视图反映了物体的高度和宽度。
3、空间几何体的直观图——斜二测画法
斜二测画法特点:①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变;
32.设 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,且 ,下列命题中正确的是( )
A.若 ,则 B.若 ,则
C.若 ,则 D.若 ,则
33.和直线 都平行的直线 的位置关系是( )
A.相交B.异面C.平行D.平行、相交或异面
34.在空间四边形ABCD中, ,顺次连接它的各边中点E、F、G、H,所得四边形EFGH的形状是
③空间图形是由空间的点、线、面所构成的.
其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.4
25.下列图形中,不一定是平面图形的是( )
A.一组对边平行的四边形B.两组对边延长后,都相交的四边形
C.四边相等的四边形D.对角线相交的四边形
26.下列命题正确的是
A.四边形确定一个平面B.经过一条直线和一个点确定一个平面
C.经过三点确定 一个平面D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
27.下列命题一定正确的是( )
A.三点确定一个平面B.依次首尾相接的四条线段必共面
C.直线与直线外一点确定一个平面D.两条直线确定一个平面
28.已知两条不同的直线 和两个不同的平面 ,有如下命题:
①若 , , , ,则 ;
②若 , , ,则 ;
③若 , ,则 .其中正确的命题个数为
A. B. C. D.
29.在空间四边形 的各边 上的依次取点 ,若 所在直线相交于点 ,则( )
A.点 必在直线 上B.点 必在直线 上
C.点 必在平面 内D.点 必在平面 外
31.已知a、b是两条异面直线,c∥a,那么c与b的位置关系( )
A.一定是异面B.一定是相交C.不可能相交D.不可能平行
几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。
(6)圆台:定义:以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成
几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。
(7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体
几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
14.已知正 的边长为 ,建立如图1所示的直角坐标系 ,则它的直观图的面积是( )
A. B. C. D.
15.已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图,其中B′O′=C′O′=1,A′O′= ,那么原△ABC的面积是( )
A. B.2 C. D.
16.如图, 是水平放置的 的直观图,则 的周长为 ( )
求异面直线所成角步骤:
A、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选在特殊的位置上。B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角
(7)等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补。
(8)空间直线与平面之间的位置关系
直线在平面内——有无数个公共点.
公理2及其推论作用:①它是空间内确定平面的依据②它是证明平面重合的依据
公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
符号:平面α和β相交,交线是a,记作α∩β=a。
符号语言: