必修二立体几何题型归纳

第1讲空间几何体的结构及其三视图和直观图

考点一空间几何体的结构特征

【例1】给出下列四个命题：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；

③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；

④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．

其中正确命题的个数是()．

A．0 B．1 C．2 D．3

【训练1】给出下列四个命题：

①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；

③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．

其中错误的命题的序号是________．

考点二由空间几何体的直观图识别三视图

【例2】(2013·新课标全国Ⅱ卷)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为()．

【训练2】(2014·济宁一模)点M，N分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1B1，A1D1的中点，用过A，M，N和D，N，C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图1，则该几何体的正视图，侧视图、俯视图依次为图2中的()．

考点三由空间几何体的三视图还原直观图

【例3】(1)(2013·四川卷)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()．

(2)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()．

【训练3】若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()．

易错辨析——三视图识图不准致误

【典例】(2012·陕西卷)将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为()．

【自主体验】

(2014·东北三校模拟)如图，多面体ABCD－EFG的底面ABCD为正方形，FC＝GD＝2EA，其俯视图如下，则其正视图和侧视图正确的是()．

第2讲空间几何体的表面积与体积

考点一空间几何体的表面积

【例1】(2014·日照一模)如图是一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图是面积为82的矩形．则该几何体的表面积是()．

A．8 B．20＋8 2

C．16 D．24＋8 2

考点二空间几何体的体积

【例2】(1)(2013·新课标全国Ⅰ卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()．

A．16＋8π B．8＋8πC．16＋16π D．8＋16π

(2)(2014·福州模拟)如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为()．

A.

3

12 B.

3

4 C.

6

12 D.

6

4

【训练2】如图所示，已知E，F分别是棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A，CC1的中点，求四棱锥C1－B1EDF的体积．

考点三 球与空间几何体的接、切问题

【例3】 (1)(2013·福建卷)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是______________．

(2)(2013·辽宁卷)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为

A.3172 B ．210 C.132

D ．310

【训练3】 (2013·新课标全国Ⅰ卷)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为

( )．

A.500π3 cm 3

B.866π3 cm 3

C.1 372π3 cm 3

D.2 048π3 cm 3

考点四 几何体的展开与折叠问题

【例4】 (1)如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，剪去△AOB ，将剩余部分沿OC ，OD 折叠，使OA ，OB 重合，则以A ，B ，C ，D ，O 为顶点的四面体的体积为________．

(2)如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝CC 1＝3.P 是BC 1上一动点，则CP ＋P A 1的最小值为________(其中P A 1表示P ，A 1两点沿棱柱的表面距离)．

【训练4】如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD＝PD＝6，CR＝SC，AQ＝AP，点S，D，A，Q共线，点P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则需要________个这样的几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体．

方法优化——特殊点在求解几何体的体积中的应用

【典例】(2012·山东卷)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．

第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系

考点一平面的基本性质及其应用

【例1】(1)以下四个命题中，正确命题的个数是()．

①不共面的四点中，其中任意三点不共线；

②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；

③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；

④依次首尾相接的四条线段必共面．

A．0 B．1 C．2 D．3

(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么正方体的过P，Q，R的截面图形是()．

A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形

考点二空间两条直线的位置关系

【例2】如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；

②BD与MN为异面直线；

③GH与MN成60°角；

④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．

【训练2】在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．

考点三异面直线所成的角

【例3】在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱

形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.

(1)求四棱锥的体积；

(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与P A所成角的余弦值．

【训练3】(2014·成都模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1，A1D1的中点，则A1B与EF 所成角的大小为________．