高考中数学文化的考查：数列中的数学文化题

专题二数列中的数学文化题

一．考点解读：

数列中的数学文化题一般以我国古代数学名著中的等差数列和等比数列问题为背景，考查等差数列和等比数列的概念、通项公式和前n项和公式．二．数学文化的典型题：

（1）等差等比数列：

等差等比数列的数学文化题频繁出现在各级各类考试试卷中.解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，运用等差等比数列的概念、通项公式和前n项和公式。

（2）斐波拉契数列：

斐波那契数列又称“兔子数列”，也称黄金分割数列，是这样一个数列：这个数列的第0项是0，第1项是1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和，即：0、1、1、2、3、5、8、13、21…，在数学上斐波纳契数列被以递归的方法定义：F（0）=0， F（1）=1， F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）。斐波拉契数列是一个非常美丽、和谐的数列，它的形状可以用排成螺旋状的一系列正方形来说明起始的正方形(图中用灰色表示)的边长为1，在它左边的那个正方形的边长也是1 ，在这两个正方形的上方再放一个正方形，其边长为2，以后顺次加上边长为3、5、8、13、21……等等的正方形，这些数字每一个都等于前面两个数之和，它们正好构成了斐波那契数列。

（3）《九章算术》：

《九章算术》是我国古代的数学名著，强调“经世济用”，注重算理算法，其中很多问题可转化为数列的问题，然后再利用数列的知识有关知识进行解题。（4）“莱布尼兹调和三角形”：

“莱布尼兹调和三角形”：第n行有n的数它们是由整数的倒数组成的，且两端的数均为1/n，每个数是它下一行左右相邻两数的和，

例1．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走

了( )

A．192里 B．96里 C．48里 D．24里

思路点拨：读懂题意，将古代实际问题转化为现代数学问题，本题相当于：

已知等比数列{a

n }中，公比q＝

1

2

，前6项和S

6

＝378，求a

2

.

解题分析：设等比数列{a

n }的首项为a

1

，公比为q＝

1

2

，

依题意有a

1⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

1－

1

26

1－

1

2

＝ 378，解得a

1

＝192，

则a

2＝192×

1

2

＝ 96，即第二天走了96里．

正确答案：选B

总结反思：涉及等差等比数列的数学文化题频繁出现在各级各类考试试卷中.

解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，运用等差

等比数列的概念、通项公式和前n项和公式.

例2.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( )

A.5

4

钱 B.

5

3

钱 C.

3

2

钱 D.

4

3

钱

思路点拨：读懂题意，将古代实际问题转化为现代数学问题，本题相当于已知

等差数列{a

n }中，前5项和为5，a

1

＋a

2

＝a

3

＋a

4

＋a

5

，求a

1

.

解题分析：设{a

n }首项为a

1

，公差为d，有

⎩

⎨

⎧2a1＋d＝3a1＋9d，

2a

1

＋d＝

5

2

，

解得⎩

⎪⎨

⎪⎧

a 1

＝43

，d ＝－16，

正确答案：选D.

总结反思：《九章算术》是我国古代的数学名著，强调“经世济用”，注重算理算法，其中很多问题可转化为数列的问题，然后再利用数列的知识有关知识进行解题。

例3.(2018南阳一中模拟)意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例， 引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…，即F(1)

＝F(2)＝1，F(n)＝F(n －1)＋F(n －2)(n≥3，n∈N *)，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列{}b n ，则b 2 019＝________.

思路点拨：本题先根据题意明确该数列的递推公式，再依据所给式子中项的特点

把递推公式恰当变形得出结论．

解题分析：由题意得引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,

233，…，此数列被 3 整除后的余数构成一个新数列为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，…，构成以8项为周期的周期数列，所以b 2 019＝b 2 016＋3＝b 3＝2. 正确答案：2

总结反思：该题的命制以 “斐波那契数列”为背景，考查考生灵活处理递推

数列问题的能力和转化与化归能力，高考中多次考查斐波那契数列. 例 4.如右图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒

数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为

()1

2n n

≥,每个数是它下一行左右相邻两数的和,如 111111111

=+,=+,=+1222363412

⋅⋅⋅，，，，则：

(1)第6行第2个数（从左往右数）为_________。 (2)第n 行第3个数（从左往右数）为_________．