高中数学圆与方程讲义

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高中数学必修二课件：圆的一般方程(42张PPT)

此方程表示以(1，－2)为圆心，2为半径长的圆．
问题2：方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0表示什么图形？
提示：对方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0配方得
(x＋1)2＋(y－1)2＝0，即x＝－1且y＝1. 此方程表示一个点(－1,1)．问题3：方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0表示什么图形？提示：对方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0配方得 (x－1)2＋(y－2)2＝－1. 由于不存在点的坐标(x，y)满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形．
3．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求 (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径．
解：(1)根据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－ 1 4(m ＋5m)>0，即4m ＋4－4m －20m>0，解得m<5，
2 2 2
1 故m的取值范围为(－∞，5)．
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝ 1－5m.
第二章解析几何初步
§2 圆与圆的方程
2.2
圆的一般方程
理解教材新知
把握热点考向
考点一考点二考点三
应用创新演练
把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开得，x2＋y2 －2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，这是一个二元二次方程的形式，那么，是否一个二元二次方程都表示一个圆呢？问题1：方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么图形？提示：对x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方得 (x－1)2＋(y＋2)2＝4.
1．若x2＋y2－x＋y－m＝0表示一个圆的方程，则m的取值范围是 1 A．m>－2 1 C．m<－2 1 B．m≥－2 D．m>－2 ( )

圆的方程高中数学讲义

圆的方程讲义一、圆的标准方程：1.以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程为特别的，圆心在原点，半径为r 的圆的标准方程为注：特殊位置的圆的方程（1）圆心在原点（2）圆心在x 轴上（3）圆心在y 轴上（4）圆过原点（5）与x 轴相切的圆（6）与y 轴相切的圆2.点与圆的位置关系：已知点),(00y x M 和圆C ：)0()()(222>=-+-r r b y a x ，点M 到圆心C 的距离为d ，则（1）点M 在圆上⇔ ⇔（2）点M 在圆内⇔ ⇔（3）点M 在圆外⇔ ⇔3.典型例题例1.ABC ∆的三个顶点)8,2(),3,7(),1,5(--C B A ，求它的外接圆的方程例2.已知圆心为C 的圆经过点)1,1(A 和)2,2(-B ，且圆心C 在直线 l ：01=+-y x 上，求圆心为C 的圆的标准方程例 3.已知两点),(),,(2211y x B y x A ，求证：以AB 为直径的圆的方程为0))(())((2121=--+--y y y y x x x x二、圆的一般方程1.对于方程022=++++F Ey Dx y x（1）当0422>-+F E D 时，方程表示（2）当0422=-+F E D 时，方程表示（3）当0422<-+F E D 时，方程表示2.圆的一般方程：方程叫做圆的一般方程，其圆心为，半径为注圆的一般方程的系数特点：（1）22,y x 项的系数（2）无xy 的项（3）3.点与圆的位置关系：已知点),(00y x M 和圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，则（1）点M 在圆上⇔（2）点M 在圆内⇔（3）点M 在圆外⇔例1.若方程01222222=-+++++a a ay ax y x 表示圆，求a 的取值范围变式：若原点在圆01222222=-+++++a a ay ax y x 外，求a 的取值范围例2.求过三点)2,4(),1,1(),0,,0(B A O 的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标.三、直线与圆的位置关系1.平面几何中，直线与圆有三种位置关系：（1）直线与圆相交，有个公共点；（2）直线与圆相切，有个公共点；（3）直线与圆相离，有个公共点．2.直线与圆的位置关系的判定：已知直线l ：0=++C By Ax ，圆C ：)0()()(222>=-+-r r b y a x（1）方法1：（几何法）设圆心C 到直线l 的距离（弦心距）为22b a C bB aA d +++=，则 ① ⇔直线与圆相交② ⇔直线与圆相切③ ⇔直线与圆相离（2）方法2：（代数法）联立直线l 与圆C 的方程0)()(02222=++⇒⎩⎨⎧=-+-=++t qx px r b y a x C By Ax ① ⇔直线与圆相交② ⇔直线与圆相切③ ⇔直线与圆相离例1.如图，已知直线l ：063=-+y x 和圆心为C 的圆04222=--+y y x ，判断直线l 与圆C 的位置关系例2.直线m x y +-=33与圆122=+y x 在第一象限内有两个交点，求实数m 的取值范围3.弦长公式：设直线l ：b kx y +=与圆C ：)0()()(222>=-+-r r b y a x 相交于B A ,两点，则弦长AB 的求法有：（1）几何法：由弦心距d ，半弦长2L ，圆的半径r 满足勾股定理222)2(r L d =+=⇒L （2）代数法：（弦长公式）=AB == =例3.已知直线l ：012=--y x 与圆C ：01222=--+y y x 交于B A ,，求弦长AB例4.过点)3,3(--M 的直线l 被圆C ：021422=-++y y x 所截得的弦长为54，求直线l 的方程变式1：过点)3,3(--M 的直线l 被圆C ：021422=-++y y x 所截得的弦长为8，求直线l 的方程变式2：过点)0,3(P 直线l 被圆C ：0122822=+--+y x y x 截得的弦长为4，求直线l 的方程4.弦的中点（中点弦）问题：例5.过点)0,4(P 的直线l 与圆C ：422=+y x 交于B A ,两点，求弦AB 的中点Q 的轨迹方程例6.直线kx y =与圆0104622=+--+y x y x 相交于B A ,，求弦AB 的中点P 的轨迹方程5.以弦为直径的圆过定点问题例7.已知圆0622=+-++m y x y x 与直线032=-+y x 交于Q P ,两点，且以PQ 为直径的圆过原点，求m 的值四、圆的切线问题1.求过圆上一点的圆的切线方程例8.求过点)3,1(P 的圆O ：422=+y x 的切线l 的方程例9.证明：过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的圆的切线方程为：200r y y x x =+注：常见的与圆的切线有关的结论（1）过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的圆的切线方程为（2）过圆222)()(r b y a x =-+-上一点),(00y x P 的圆的切线方程为（3）过圆022=++++F Ey Dx y x 上一点),(00y x P 的圆的切线方程为（4）过二次曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）022=++++F Ey Dx Cy Ax 上一点),(00y x P 的圆的切线方程为2.求过圆外一点的圆的切线方程例10.求过点)3,4(-A 的圆1)1()3(22=-+-y x 的切线l 的方程练习：求过点)4,3(A 的圆1)1()2(22=-+-y x 的切线l 方程3.求切线长例11.过圆C ：1)2()2(22=-+-y x 外一点)2,0(P 作圆C 的切线PT ，T 为切点，求切线PT 的长注：圆的切线长公式：（1）设点),(00y x P 是圆222)()(r b y a x =-+-外任意一点，过点P 作圆的切线PT ，T 为切点，则切线长=PT（2）设点),(00y x P 是圆022=++++F Ey Dx y x 外任意一点，过点P 作圆的切线PT ，T 为切点，则切线长=PT例12.已知圆C ：1)1()2(22=-+-y x ，在直线l ：01243=--y x 上求一点P ，过点P 作圆C 的切线，使得切线段最短4.切点弦例13.设点),(00y x P 是圆222)()(r b y a x =-+-外任意一点，过点P 作圆的切线，切点为B A ,，则切点弦AB 所在直线方程为注：圆的切点弦所在直线方程（1）设点),(00y x P 是圆222)()(r b y a x =-+-外任意一点，过点P 作圆的切线，切点为B A ,，则切点弦AB 所在直线方程为（2）设点),(00y x P 是圆022=++++F Ey Dx y x 外任意一点，过点P 作圆的切线，切点为B A ,，则切点弦AB 所在直线方程为五、圆和圆的位置关系1.圆和圆的位置关系：（1）圆和圆相离，有个公共点（2）圆和圆外切，有个公共点（3）圆和圆相交，有个公共点（4）圆和圆内切，有个公共点（5）圆和圆内含，有个公共点2.圆和圆的五种位置关系的判定（1）几何法：设两圆21,C C 的半径分别为21,r r ，圆心距为d ，则①圆和圆相离⇔②圆和圆外切⇔③圆和圆相交⇔④圆和圆内切⇔⑤圆和圆内含⇔（2）代数法：联立两圆的方程①圆和圆相离⇔②圆和圆外切⇔③圆和圆相交⇔注：用代数法判断出两圆相切后，若要进一步区分是外切还是内切，则还要判断小圆圆心是在大圆内还是在大圆外，若在大圆内，则两圆，若在大圆外，则两圆，类似可以区分外离与内含例14.已知圆1C ：088222=-+++y x y x 和圆2C ：024422=---+y x y x ，试判断圆1C 与圆2C 的位置关系例15.设圆1C ：088222=-+++y x y x 和圆2C ：024422=---+y x y x 相交于B A ,两点，求（1）两圆的公共弦AB 所在的直线方程（2）求两圆的公共弦AB 的长3.两圆的公切线条数（1）当两圆外离时，有条公切线，条外公切线，条内公切线（2）当两圆外切时，有条公切线，条外公切线，条内公切线（3）当两圆相交时，有条公切线（4）当两圆内切时，有条公切线（5）当两圆内含时，有条公切线例16.（1）圆1C ：122=+y x 与圆1C ：1)3(22=-+y x 有条公切线（2）点)1,0(A 和)5,4(B 到直线l 的距离分别为1和2，则符合条件的直线l 有条4.两圆公切线的求法例17.已知圆1O ：096222=++++y x y x ，2O ：012622=++-+y x y x ，求两圆的公切线方程。

人教A版高中数学选择性必修第一册2.4.2_圆的一般方程课件

3.求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当坐标系，设出动点M的坐标(x，y). (2)列出点M满足条件的集合. (3)用坐标表示上述条件，列出方程f(x，y)＝0. (4)将上述方程化简. (5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点.
(2)点M、N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M、N关于直线x－y＋1
＝0对称，则该圆的面积为_9_π___.
解圆 x2＋y2＋kx＋2y－4＝0 的圆心坐标是(－2k，－1)，由圆的性质知直线x－y＋1＝0经过圆心， ∴－2k＋1＋1＝0 得 k＝4，圆 x2＋y2＋4x＋2y－4＝0 的半径为21 42＋22＋16＝3， ∴该圆的面积为9π.
围，并写出圆心坐标和半径.
解由表示圆的条件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
解得
1 m<5.
圆心坐标为(－m,1)，半径为 1－5m.
反思与感悟
形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法： (1)由圆的一般方程的定义，令D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆， (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准情势，若不是，则要化为这种情势再求解.
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2.将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是( C )
A.x＋y－1＝0
B.x＋y＋3＝0
C.x－y＋1＝0
D.x－y＋3＝0
解析因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.
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3.方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是( B )

圆系方程-高中数学知识点讲解

圆系方程
1．圆系方程
【知识点的知识】
所谓圆系方程指的是所有的圆都有相同的圆心，但圆的半径不同的圆的总和，还可以是圆的半径相同，但圆心
不同，我们把满足这两种情况的圆的总和就叫做圆系方程；除了圆系，还有直线系（过某一定点）等等．
【例题解析】
例：已知圆系方程x2+y2+2kx+（4k+10）y+5k2+20k＝0（k∈R），是否存在斜率为 2 的直线l 被圆系方程表示的任意一圆截得的弦长是定值45？如果存在，试求直线l 的方程；如果不存在，请说明理由．
解：假设存在满足条件的直线方程为y＝2x+m，
圆的方程配方可得：（x+k）2+（y+2k+5）2＝25．
所以圆心到直线的距离d =1
5|―2푘+2푘+5+푚|=
|5+푚|
，
5
|5+푚|
由垂径定理可得：(2=52―(25)2，
5)
解得m＝0 或m＝﹣10，
故存在满足条件的直线方程，方程为y＝2x 或y＝2x﹣10．
这个题可以看出，遇到圆系方程的题，只需知道其概念就可以了，关键还是看圆心、半径、圆心到直线的距离这三个因素，常用的方法就是待定系数法．
【考点分析】
本考点也是在初中就已经学过，对于高考来说，算是个冷门，但也偶尔会考，还是希望大家了解这些基本的概念，争取不漏死角．
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高中数学理科基础知识讲解《93圆的方程》教学课件

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考点3
考向4 建立目标函数求最值问题例6设圆x2+y2=2的切线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A,B,当|AB|取最小值时,切线l的方程为 . 思考如何借助圆的几何性质求有关线段长的最值?
x+y-2=0
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考点3
考向5 利用对称性求最值问题例7(2019河北衡水联考,14)已知A(0,2),点P在直线x+y+2=0上,点Q在圆C:x2+y2-4x-2y=0上,则|PA|+|PQ|的最小值是 . 思考如何求解折线段和长的最值问题?
9.3 圆的方程
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知识梳理
1.圆的定义及方程
定点
定长
(a,b)
r
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知识梳理
2.点与圆的位置关系圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0),(1)(x0-a)2+(y0-b)2 r2⇔点在圆上; (2)(x0-a)2+(y0-b)2 r2⇔点在圆外; (3)(x0-a)2+(y0-b)2 r2⇔点在圆内.
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考点3
对点训练3(1)(2019湖南长沙模拟,14)已知圆(x+2)2+y2=1,则x-2y的最大值和最小值分别为 . (4)(2019安徽六安一中模拟,14)已知点P(x,y)为圆x2+y2=1上的动点,则x2-4y的最小值为 .
-4
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考点3
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考点3
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考点3
(3)因为动点P在直线a:x-2y-2=0上,动点Q在直线b:x-2y-6=0上,直线a:x-2y-2=0与直线b:x-2y-6=0互相平行,动点P在直线a上,动点Q在直线b上,所以PQ的中点M在与a,b平行,且到a,b的距离相等的直线上,设该直线为l,其方程为x-2y+m=0,

高中数学讲义圆的方程

≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1,
当且仅当a=b时上式等号成立,此时5d2=1,从而d取得最小值.
由此有
解此方程组得
由于r2=2b2知于是,所求圆的方程是:
(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2.
【例3】已知圆，求（1）的最大值（2）的最大值与最小值（3）的最小值
变式1．已知满足 ,则的最小值为
提示：以上两题都用数形结合法来解。
【例4】在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．
(1)求圆的方程；
(2)试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
点拨:解决圆的综合问题时,一方面要充分利用圆的平面几何知识来解决问题,另一方面还要注意几何问题代数化的思想运用.
重点:
1.圆的两种方程的基本形式以及圆方程的充要条件。
2.圆方程的常用求法。
3.有关于圆方程的综合应用。
4.待定系数法和数形结合法。
【课堂练习】
1.已知点A(3，－2)，B(－5，4)，以线段AB为直径的圆的方程为(x+ 1)2+ (y－1)2=25
解:设圆心为P(a,b),半径为r,则点P到x轴,y轴的距离分别为│b│,│a│.
由题设圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为900，知圆P截x轴的弦长为，故r2=2b2
又圆P截y轴所得的弦长为2,所以有r2=a2+1.从而得2b2-a2=1.
又点P(a,b)到直线x2y=0的距离为

人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第四章圆与方程4.2.2 Word版含答案

4.2.2圆与圆的位置关系学习目标1.理解圆与圆的位置关系的种类.2.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法，能够利用上述方法判定两圆的位置关系.3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性．知识点两圆位置关系的判定思考1圆与圆的位置关系有几种？如何利用几何方法判断圆与圆的位置关系？答案圆与圆的位置关系有五种，分别为：相离、外切、相交、内切、内含．几何方法判断圆与圆的位置关系设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为r1，r2(r1≠r2)，则(1)当d＞r1＋r2时，圆C1与圆C2相离；(2)当d＝r1＋r2时，圆C1与圆C2外切；(3)当|r1－r2|＜d＜r1＋r2时，圆C1与圆C2相交；(4)当d＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切；(5)当d＜|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含．思考2已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？答案联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程，当判别式Δ>0时，两圆相交，当Δ＝0时，两圆外切或内切，当Δ<0时，两圆外离或内含．梳理(1)用几何法判定圆与圆的位置关系已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r21，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r2，则圆心距d＝|C1C2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2.两圆C1，C2有以下位置关系：(2)用代数法判定圆与圆的位置关系已知两圆：C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，将方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2＋D1x ＋E1y ＋F1＝0，x2＋y2＋D2x ＋E2y ＋F2＝0，消去y (或x )得到关于x (或y )的一元二次方程，则①判别式Δ＞0时，C 1与C 2相交； ②判别式Δ＝0时，C 1与C 2外切或内切； ③判别式Δ＜0时，C 1与C 2相离或内含．类型一两圆的位置关系命题角度1两圆位置关系的判断例1已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是() A ．内切B ．相交 C ．外切D ．相离答案B解析由⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2－2ay ＝0，x ＋y ＝0，得两交点分别为(0,0)，(－a ，a )．∵圆M 截直线所得线段的长度为22，∴a2＋(－a )2＝22，又a ＞0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心为M (0,2)，半径为r 1＝2.又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为N (1,1)，半径为r 2＝1， ∴|MN |＝(0－1)2＋(2－1)2＝2.∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1＜|MN |＜3， ∴两圆相交．反思与感悟判断圆与圆的位置关系的一般步骤(1)将两圆的方程化为标准方程(若圆方程已是标准形式，此步骤不需要)．(2)分别求出两圆的圆心坐标和半径长r 1，r 2. (3)求两圆的圆心距d .(4)比较d 与|r 1－r 2|，r 1＋r 2的大小关系． (5)根据大小关系确定位置关系．跟踪训练1已知圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0和圆C 2：4x 2＋4y 2－16x ＋8y ＋19＝0，则这两个圆的公切线的条数为() A ．1或3B ．4C ．0D ．2 答案D解析由圆C 1：(x －1)2＋(y ＋2)2＝1，圆C 2：(x －2)2＋(y ＋1)2＝14，得C 1(1，－2)，C 2(2，－1)， ∴|C 1C 2|＝(2－1)2＋(－1＋2)2＝2.又r 1＝1，r 2＝12，则r 1－r 2＜|C 1C 2|＜r 1＋r 2， ∴圆C 1与圆C 2相交．故这两个圆的公切线共2条．命题角度2已知两圆的位置关系求参数例2当a 为何值时，两圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－5＝0和C 2：x 2＋y 2＋2x －2ay ＋a 2－3＝0： (1)外切；(2)相交；(3)相离．解将两圆方程写成标准方程，则C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝9，C 2：(x ＋1)2＋(y －a )2＝4.∴两圆的圆心和半径分别为C 1(a ，－2)，r 1＝3，C 2(－1，a )，r 2＝2. 设两圆的圆心距为d ，则d 2＝(a ＋1)2＋(－2－a )2＝2a 2＋6a ＋5. (1)当d ＝5，即2a 2＋6a ＋5＝25时，两圆外切，此时a ＝－5或a ＝2.(2)当1＜d ＜5，即1＜2a 2＋6a ＋5＜25时，两圆相交，此时－5＜a ＜－2或－1＜a ＜2. (3)当d ＞5，即2a 2＋6a ＋5＞25时，两圆相离，此时a ＞2或a ＜－5.反思与感悟(1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤： ①将圆的方程化成标准形式，写出圆心和半径． ②计算两圆圆心的距离d .③通过d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合． (2)应用几何法判定两圆的位置关系或求参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．跟踪训练2若圆C 1：x 2＋y 2＝16与圆C 2：(x －a )2＋y 2＝1相切，则a 的值为() A ．±3B ．±5 C ．3或5D ．±3或±5 答案D解析圆C 1与圆C 2的圆心距为d ＝a2＋(0－0)2＝|a |.当两圆外切时，有|a |＝4＋1＝5，∴a ＝±5；当两圆内切时，有|a |＝4－1＝3，∴a ＝±3. 类型二两圆的公共弦问题例3已知两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0. (1)判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度．解(1)将两圆方程配方化为标准方程，则 C 1：(x －1)2＋(y ＋5)2＝50， C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝10，∴圆C 1的圆心坐标为(1，－5)，半径为r 1＝52，圆C 2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r 2＝10.又∵|C 1C 2|＝25，r 1＋r 2＝52＋10，|r 1－r 2|＝|52－10|，∴|r 1－r 2|<|C 1C 2|<r 1＋r 2， ∴两圆相交． (2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x －2y ＋4＝0.(3)方法一由(2)知圆C 1的圆心(1，－5)到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－2×(－5)＋4|1＋(－2)2＝35，∴公共弦长为l ＝2r21－d2＝250－45＝25.方法二设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x2＋y2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，∴|AB |＝(－4－0)2＋(0－2)2＝25.即公共弦长为25.反思与感悟(1)当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0. (2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．跟踪训练3(1)两圆相交于两点A (1,3)和B (m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值为________．答案3解析由题意知直线AB 与直线x －y ＋c ＝0垂直， ∴k AB ×1＝－1，即3－(－1)1－m ＝－1，得m ＝5， ∴AB 的中点坐标为(3,1)．又AB 的中点在直线x －y ＋c ＝0上， ∴3－1＋c ＝0，∴c ＝－2， ∴m ＋c ＝5－2＝3.(2)求圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦所在的直线被圆C 3：(x －1)2＋(y －1)2＝254截得的弦长．解由题意将两圆的方程相减，可得圆C 1和圆C 2公共弦所在的直线l 的方程为 x ＋y －1＝0.又圆C 3的圆心坐标为(1,1)，其到直线l 的距离为d ＝|1＋1－1|12＋12＝22，由条件知，r 2－d 2＝254－12＝234，所以弦长为2×232＝23.类型三圆系方程及应用例4求圆心在直线x －y －4＝0上，且过两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点的圆的方程．解方法一设经过两圆交点的圆系方程为 x 2＋y 2－4x －6＋λ(x 2＋y 2－4y －6)＝0(λ≠－1)，即x 2＋y 2－41＋λx －4λ1＋λy －6＝0，所以圆心坐标为(21＋λ，2λ1＋λ)．又圆心在直线x －y －4＝0上，所以21＋λ－2λ1＋λ－4＝0，即λ＝－13.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－6x ＋2y －6＝0.方法二由⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2－4x －6＝0，x2＋y2－4y －6＝0，得两圆公共弦所在直线的方程为y ＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，x2＋y2－4y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x1＝－1，y1＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧x2＝3，y2＝3.所以两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点坐标分别为A (－1，－1)，B (3,3)，线段AB 的垂直平分线所在的直线方程为y －1＝－(x －1)．由⎩⎨⎧y －1＝－(x －1)，x －y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，即所求圆的圆心为(3，－1)，半径为(3－3)2＋[3－(－1)]2＝4. 所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝16.反思与感悟当经过两圆的交点时，圆的方程可设为(x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1)＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0，然后用待定系数法求出λ即可．跟踪训练4求过两圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与C 2：x 2＋y 2－6x ＝0的交点且过点(2，－2)的圆的方程．解设过两圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与C 2：x 2＋y 2－6x ＝0的交点的圆系方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＋λ(x 2＋y 2－6x )＝0，即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2－(4＋6λ)x ＋2y ＋1＝0.把(2，－2)代入，得4(1＋λ)＋4(1＋λ)－2(4＋6λ)－4＋1＝0，解得λ＝－34.∴圆的方程为x 2＋y 2＋2x ＋8y ＋4＝0.1．两圆x 2＋y 2－1＝0和x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0的位置关系是() A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离答案B解析圆x 2＋y 2－1＝0的圆心为C 1(0,0)，半径为r 1＝1，圆x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0的圆心为C 2(2，－1)，半径为r 2＝3，两圆的圆心距为d ＝|C 1C 2|＝(2－0)2＋(－1－0)2＝5，又r 2－r 1＝2，r 1＋r 2＝4，所以r 2－r 1<d <r 1＋r 2，故两圆相交．2．圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋(y －3)2＝1的内公切线有且仅有() A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条答案B解析因为两圆的圆心距为3，半径之和为2，故两圆相离，所以内公切线的条数为2. 3．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A ，B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是() A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0 C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝0 答案C解析AB 的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A 、B 、D. 4．已知以C (4，－3)为圆心的圆与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，则圆C 的方程是________．答案(x －4)2＋(y ＋3)2＝16或(x －4)2＋(y ＋3)2＝36 解析设圆C 的半径为r ，圆心距为d ＝(4－0)2＋(－3－0)2＝5，当圆C 与圆O 外切时，r ＋1＝5，r ＝4，当圆C 与圆O 内切时，r －1＝5，r ＝6， ∴圆的方程为(x －4)2＋(y ＋3)2＝16 或(x －4)2＋(y ＋3)3＝36.5．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝________.答案1解析将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y ＝1a ，圆心(0,0)到直线的距离为d ＝1a ＝22－(3)2＝1，所以a ＝1.1．判断两圆的位置关系的方法(1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用． (2)依据圆心距与两圆半径的和或两半径的差的绝对值的大小关系．2．当两圆相交时，把两圆的方程作差消去x 2和y 2就得到两圆的公共弦所在的直线方程． 3．求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长．课时作业一、选择题1．圆(x －3)2＋(y ＋2)2＝1与圆x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝0的位置关系是() A ．外切B ．内切 C ．相交D ．相离答案B解析圆x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝0变形为(x －7)2＋(y －1)2＝36，圆心坐标为(7,1)，半径为r 1＝6，圆(x －3)2＋(y ＋2)2＝1的圆心坐标为(3，－2)，半径为r 2＝1，所以圆心距d ＝(7－3)2＋[1－(－2)]2＝5＝6－1＝r 1－r 2，所以两圆内切．2．已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋8y －8＝0与圆C 2：x 2＋y 2－4x －4y －2＝0相交，则圆C 1与圆C 2的公共弦所在直线的方程为()A ．x ＋2y ＋1＝0B ．x ＋2y －1＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x －2y －1＝0 答案B解析两个圆的方程相减，得x ＋2y －1＝0.故选B.3．若圆C 1：(x ＋2)2＋(y －m )2＝9与圆C 2：(x －m )2＋(y ＋1)2＝4外切，则m 的值为() A ．2B ．－5 C ．2或－5D ．不确定答案C解析两圆的圆心坐标分别为(－2，m )，(m ，－1)，两圆的半径分别为3,2，由题意得(m ＋2)2＋(－1－m )2＝3＋2，解得m ＝2或－5.4．设r ＞0，圆(x －1)2＋(y ＋3)2＝r 2与圆x 2＋y 2＝16的位置关系不可能是()A．相切B．相交C．内切或内含D．外切或相离答案D解析两圆的圆心距为d＝(1－0)2＋(－3－0)2＝10，两圆的半径之和为r＋4，因为10＜r＋4，所以两圆不可能外切或相离，故选D.5．若圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则r满足的条件是()A．r＜5＋1B．r＞5＋1C．|r－5|≤1D．|r－5|＜1答案C解析由x2＋y2＋2x－4y＋4＝0，得(x＋1)2＋(y－2)2＝1，两圆圆心之间的距离为(－1)2＋22＝5.∵两圆有公共点，∴|r－1|≤5≤r＋1，∴5－1≤r≤5＋1，即－1≤r－5≤1，∴|r－5|≤1.6．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是()A．(x－4)2＋(y－6)2＝6B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6或(x－4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36答案D解析由题意可设圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝36，由题意，得a2＋9＝5，所以a2＝16，所以a＝±4. 7．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于()A．4B．42C．8D．82答案C解析∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等．设两圆的圆心坐标分别为(a，a)，(b，b)，则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，即a ，b 为方程(4－x )2＋(1－x )2＝x 2的两个根，整理得x 2－10x ＋17＝0， ∴a ＋b ＝10，ab ＝17.∴(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝100－4×17＝32， ∴|C 1C 2|＝(a －b )2＋(a －b )2＝32×2＝8.二、填空题8．若圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＝2和x 2＋y 2－2by ＋b 2＝1相离，则a ，b 满足的条件是_____．答案a 2＋b 2＞3＋22解析由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a,0)，2和(0，b )，1.因为两圆相离，所以a2＋b2＞2＋1，即a 2＋b 2＞3＋22.9．圆C 1：x 2＋y 2－2x －8＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的公共弦长为________．答案27解析由圆C 1与圆C 2的公共弦所在的直线l 的方程为x －y ＋1＝0，得点C 1(1,0)到直线l 的距离为d ＝|1－0＋1|12＋12＝2，圆C 1的半径为r 1＝3，所以圆C 1与圆C 2的公共弦长为2r21－d2＝232－(2)2＝27.10．集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝4}，B ＝{(x ，y )|(x －3)2＋(y －4)2＝r 2}，其中r >0，若A ∩B 中有且仅有一个元素，则r 的值是__________．答案3或7解析∵A ∩B 中有且仅有一个元素，∴圆x 2＋y 2＝4与圆(x －3)2＋(y －4)2＝r 2相切．当两圆内切时，由32＋42＝|2－r |，解得r ＝7；当两圆外切时，由32＋42＝2＋r ，解得r ＝3.∴r ＝3或7.11．经过直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为________．答案x 2＋y 2－34x －34y －114＝0解析由已知可设所求圆的方程为x 2＋y 2－2＋λ(x ＋y ＋1)＝0，将(1,2)代入，可得λ＝－34，故所求圆的方程为x 2＋y 2－34x －34y －114＝0.三、解答题12．已知圆O 1：x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心O 2(2,1)．(1)若圆O 2与圆O 1外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 2与圆O 1交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程．解(1)设圆O 2半径为r 2，因为两圆外切，所以|O 1O 2|＝r 2＋2.又|O 1O 2|＝22＋[1－(－1)2]＝22，所以r 2＝|O 1O 2|－2＝2(2－1)，故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝12－82. (2)设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2，因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，将两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在的直线方程为4x ＋4y ＋r 2－8＝0，作O 1H ⊥AB ，H 为垂足，则|AH |＝12|AB |＝2，所以|O 1H |＝r21－|AH|2＝4－2＝2.由圆心O 1(0，－1)到直线4x ＋4y ＋r 2－8＝0的距离为|r22－12|42＝2，得r 2＝4或r 2＝20，故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.四、探究与拓展 13．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，则以圆C 1与圆C 2的公共弦为直径的圆的方程为________．答案(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1解析由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为x －y ＝0.∵圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝3，圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1，圆心C 1(－2,0)，C 2(－1，－1)， ∴两圆连心线所在直线的方程为y －0－1－0＝x ＋2－1＋2，即x ＋y ＋2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＋2＝0，得所求圆的圆心为(－1，－1)．又圆心C 1(－2,0)到公共弦所在直线x －y ＝0的距离 d ＝|－2－0|2＝2， ∴所求圆的半径r ＝(3)2－(2)2＝1， ∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1.14．求与圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0外切且与直线l ：x ＋3y ＝0相切于点M (3，－3)的圆的方程．解圆C 的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1，圆心为C (1,0)，半径为1.设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ (a －1)2＋b 2＝r ＋1，b ＋3a －3×(－33)＝－1，|a ＋3b |2＝r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝0，r ＝2. 故所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4.。

高中数学-圆与方程

高二数学第2讲圆与方程第一节圆的方程知识点一圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是222x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：222a b r +=(2)圆的标准方程222()()x a y b r -+-=⇔圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点. (3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.知识点二点和圆的位置关系如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有(1)若点()00M x y ，在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-= (2)若点()00M x y ，在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+-> (3)若点()00M x y ，在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<知识点三圆的一般方程当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，. 要点诠释：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-.它表示一个点(,)22D E--. (2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径的圆. 知识点四几种特殊位置的圆的方程知识点五用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程.(2)根据已知条件，建立关于a b r 、、或D E F 、、的方程组.(3)解方程组，求出a b r 、、或D E F 、、的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.知识点六轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量,x y 之间的方程．1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3．求轨迹方程的步骤：（1）建立适当的直角坐标系，用(,)x y 表示轨迹（曲线）上任一点M 的坐标；（2）列出关于,x y 的方程；（3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；（5）作答．【典型例题】类型一圆的标准方程[例1]求满足下列条件的各圆的方程： (1)圆心在原点，半径是3；(2)已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上； (3)经过点()5,1P ，圆心在点()8,3C -．[变式1]圆心是（4，-1），且过点（5，2）的圆的标准方程是（）A ．(x ―4)2+(y+1)2=10B ．(x+4)2+(y―1)2=10C ．(x ―4)2+(y+1)2=100D ．22(4)(1)x y -++=[例2]求圆心在直线2x -y -3=0上，且过点（5，2）和（3，-2）的圆的方程．[例3]与x 轴相切，圆心在直线30x y -=上，且被直线0x y -=截得的弦长为[变式2]求圆心在直线y =-x 上，且过两点A （2，0），B （0，-4）的圆的方程．类型二圆的一般方程[例1]下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．（1）2x 2+y 2-7y +5=0；（2）x 2-xy +y 2+6x +7y =0；（3）x 2+y 2-2x -4y +10=0；（4）2x 2+2y 2-5x =0．[变式1]下列方程各表示什么图形；①x 2+y 2-4x -2y +5=0；②x 2+y 2-2x +4y -4=0；③220x y ax ++=．[例2]已知直线x 2+y 2-2(t +3)x +2(1-4t 2)y +16t 4+9=0表示一个圆．（1）求t 的取值范围；（2）求这个圆的圆心和半径；（3）求该圆半径r 的最大值及此时圆的标准方程．[变式2]下判断方程ax 2+ay 2-4(a -1)x +4y =0（a ≠0）是否表示圆，若表示圆，写出圆心和半径长．[变式3]已知方程0916)41(2)3(22222=++-++-+m y m x m y x 表示一个圆．（1）求实数m 的取值范围；（2）*求圆心C 的轨迹方程．[变式4]方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则a 的取值范围是( ) A ．2a <-或23a >B ．203a -<<C ．20a -<<D ．223a -<< [例3]△ABC 的三个顶点分别为A （-1，5），B （-2，-2），C （5，5），求其外接圆的方程.[变式5]如图，等边△ABC 的边长为2，求这个三角形的外接圆的方程，并写出圆心坐标和半径长．类型三点与圆的位置关系[例]判断点M（6，9），N（3，3），Q（5，3）与圆(x-5)2+(y-6)2=10的位置关系．[变式]已知两点P1（3，8）和P2（5，4），求以线段P1P2为直径的圆的方程，并判断点M（5，3）、N（3，4）、P（3，5）是在此圆上、在圆内、还是在圆外？类型三轨迹方程[例1]已知一曲线是与两个定点O（0，0），A（3，0）距离的比为12的点的轨迹，求这条曲线的方程，并画出曲线．[变式1]如下图，过第一象限的定点C（a，b）作互相垂直的两直线CA、CB，分别交于x轴、y轴的正半轴于A、B两点，试求线段AB的中点M的轨迹方程．[例2]等腰△ABC的底边一个端点B(1，-3)，顶点A(0，6)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明轨迹的形状．[例3]已知定点A（4，0），P点是圆x2+y2=4上一动点，Q点是AP的中点，求Q点的轨迹方程．[变式2]已知定点A（2，0），点Q是圆x2+y2=1上的动点，∠AOQ的平分线交AQ于M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程．【轨迹方程求法示题】1.（2016•平凉校级模拟）已知点G（5，4），圆C1：（x-1）2+（y-4）2=25，过点G的动直线l与圆C1相交于E、F两点，线段EF的中点为C．求点C的轨迹C2的方程；2.（2016•河北模拟）如图，已知P是以F1（1，0），以4为半径的圆上的动点，P与F2（1，0）所连线段的垂直平分线与线段PF1交于点M．求点M的轨迹C的方程；3.（2016•湖南校级模拟）已知点C（1，0），点A，B是⊙O：x2+y2=9上任意两个不同的点，且满足AC，设M为弦AB的中点．求点M的轨迹T的方程；⋅BC=-），4.（2016•自贡校级模拟）已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（0，3，（0，3且AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0）．求顶点C的轨迹M的方程，并判断轨迹M 为何种曲线.5.（2016春•成都校级月考）设Q、G分别为△ABC的外心和重心，已知A（-1，0），B（1，0），QG∥AB．求点C的轨迹E．6.（2016•成都模拟）已知一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点N（1，0）任意作相互垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于不同的两点A，B和不同的两点D，E．设线段AB，DE的中点分别为P，Q．①求证：直线PQ过定点R，并求出定点R的坐标；②求|PQ|的最小值．7.（2015秋•遂宁期末）已知平面直角坐标系上一动点P（x，y）到点A（-2，0）的距离是点P到点B（1，0）的距离的2倍．（1）求点P的轨迹方程；（2）过点A的直线l与点P的轨迹C相交于E，F两点，点M（2，0），则是否存在直线l，使S△EFM取得最大值，若存在，求出此时l的方程，若不存在，请说明理由．第二节直线与圆的位置关系知识点一直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：(1)直线与圆相交，有两个公共点； (2)直线与圆相切，只有一个公共点； (3)直线与圆相离，没有公共点. 2.直线与圆的位置关系的判定：(1)代数法：判断直线l 与圆C 的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线l 与圆C 有公共点. 有两组实数解时，直线l 与圆C 相交；有一组实数解时，直线l 与圆C 相切；无实数解时，直线l 与圆C 相离. (2)几何法：由圆C 的圆心到直线l 的距离d 与圆的半径r 的关系判断：当d r <时，直线l 与圆C 相交；当d r =时，直线l 与圆C 相切；当d r >时，直线l 与圆C 相离. 要点诠释：(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决.知识点二圆的切线方程的求法1．点M 在圆上，如图．法一：利用切线的斜率l k 与圆心和该点连线的斜率OM k 的乘积等于1-，即1OM l k k ⋅=-．法二：圆心O 到直线l 的距离等于半径r ．2．点()00,x y 在圆外，则设切线方程：00()y y k x x -=-，变成一般式：000kx y y kx -+-=，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k ．要点诠释：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．常见圆的切线方程：（1）过圆222x y r +=上一点()00,P x y 的切线方程是200x x y y r +=；（2）过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,P x y 的切线方程是()()()()200x a x a y b y b r --+--=.知识点三求直线被圆截得的弦长的方法1．应用圆中直角三角形：半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 具有的关系2222l r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，这也是求弦长最常用的方法．2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．3．利用弦长公式：设直线:l y kx b =+，与圆的两交点()()1122,,,x y x y ，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：12|l x x =-．知识点四圆与圆的位置关系1.圆与圆的位置关系：(1)圆与圆相交，有两个公共点；(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.2.圆与圆的位置关系的判定：(1)代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解.有两组不同的实数解时，两圆相交；有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离. (2)几何法：设1O 的半径为1r ，2O 的半径为2r ，两圆的圆心距为d . 当1212r r d r r -<<+时，两圆相交；当12r r d +=时，两圆外切；当12r r d +<时，两圆外离；当12r r d -=时，两圆内切；当12r r d ->时，两圆内含. 要点诠释：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法.3.两圆公共弦长的求法有两种：方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 4．两圆公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．（1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；（3）两圆相交时，只有2条外公切线；（4）两圆内切时，只有1条外公切线；（5）两圆内含时，无公切线．知识点五圆系方程1．过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=2．以(),a b 为圆心的同心圆系方程是：()()222(0)x a y b λλ-+-=≠；3．与圆220x y Dx Ey F ++++=同心的圆系方程是220x y Dx Ey λ++++=；4．过同一定点(),a b 的圆系方程是()()2212()()0x a y b x a y b λλ-+-+-+-=．【典型例题】类型一直线与圆的位置关系[例1]已知直线y =2x +1和圆x 2+y 2=4，试判断直线和圆的位置关系.[例2]求实数m 的范围，使直线30x my -+=与圆22650x y x +-+=分别满足：（1）相交；（2）相切；（3）相离．[变式1]已知直线方程mx -y-m -1=0，圆的方程x 2+y 2-4x -2y +1=0．当m 为何值时，圆与直线（1）有两个公共点；（2）只有一个公共点；（3）没有公共点．[变式2]已知直线:430--+=l kx y k 与曲线22:68210+--+=C x y x y . （1）求证:不论k 为何值,直线l 和曲线C 恒有两个交点；（2）求当直线l 被曲线C 所截的线段最短时此线段所在的直线的方程.类型二切线问题[例]过点(7,1)P 作圆2225x y +=的切线,求切线的方程.[变式]（1）求圆x 2+y 2=10的切线方程，使得它经过点M ；（2）求圆x 2+y 2=4的切线方程，使得它经过点Q （3，0）．类型三弦长问题[例1]直线l 经过点P （5，5）并且与圆C ：x 2+y 2=25相交截得的弦长为l 的方程．[变式1]求经过点P （6，-4），且被定圆x 2+y 2=20截得弦长为的直线的方程．[例2]圆心C在直线l：x+2y=0上，圆C过点M（2，-3），且截直线m：x-y-1=0所得弦长为C 的方程．[例3]已知圆C1：x2+y2+2x-6y+1=0，圆C2：x2+y2-4x+2y-11=0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．[变式2]已知圆C1：x2+y2+2x+6y+9＝0和圆C2：x2+y2−4x+2y−4＝0.（1）判断两圆的位置关系；（2）求两圆的公共弦所在直线的方程；（3）求两圆公切线所在直线的方程．类型四圆与圆的位置关系[例1]已知圆C 1：x 2+y 2-2mx +4y +m 2-5=0，圆C 2：x 2+y 2+2x -2my +m 2-3=0，问：m 为何值时，（1）圆C 1和圆C 2相外切？（2）圆C 1与圆C 2内含？[变式1]当a 为何值时，圆C 1：x 2+y 2-2ax +4y +(a 2-5)=0和圆C 2：x 2+y 2+2x -2ay +(a 2-3)=0相交．[例2]若圆C 1的方程是x 2+y 2-4x -4y +7=0，圆C 2的方程为x 2+y 2-4x -10y +13=0，则两圆的公切线有_____条.[例3]坐标平面内有两个圆x 2+y 2=16和x 2+y 2-6x +8y +24=0，这两个圆的内公切线的方程是________.[变式2]圆C 1：x 2+y 2+2x +2y -2=0与圆C 2：x 2+y 2-6x +2y +6=0的公切线有且只有_____条. [变式3]两圆4)1()2(22=-+-y x 与9)2()1(22=-++y x 的公切线有（）条． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4类型五圆系问题[例1]求过直线2x +y +4=0和圆x 2+y 2+2x -4y +1=0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：（1）过原点；（2）有最小面积．[变式1]求过两圆x 2+y 2+6x -4=0和x 2+y 2+6y -28=0的交点，且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程．[例2]已知曲线C ：x 2+y 2+2kx +（4k +10）y +10k +20=0，其中k ≠-1，则C 过定点_____. [变式2]对于任意实数λ，曲线(1+λ)x 2+(1+λ)y 2+(6-4λ)x -16-6λ=0恒过定点_____.类型六最值问题[例1]已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2-4x +1=0，求：（1）yx的最大值；（2）y -x 的最小值；（3）22y x +.[例2]已知点P （x ，y ）是圆(x -3)2+(y -3)2=4上任意一点，求点P 到直线2x +y +6=0的最大距离和最小距离．[变式1]已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2-4x +1=0，求：（1）5-x y的最大值；（2）x y 2-的最小值；（3）22)3()1(++-y x .。

第2章 2.3.1 圆的标准方程-人教B版(2021)高中数学选择性必修第一册讲义

2.3 圆及其方程2.3.1圆的标准方程学习目标核心素养1．会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征．(重点)2．能根据所给条件求圆的标准方程．(重点) 3．掌握点与圆的位置关系．(重点)4．圆的标准方程的求解．(难点) 1．通过圆的标准方程及其特征的学习，培养数学抽象的核心素养．2．借助圆的标准方程的求解与应用，提升数学运算的核心素养．1．圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合是圆，其中定点是圆心，定长是圆的半径．确定一个圆的条件：(1)圆心；(2)半径．2．方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)是以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程，叫做圆的标准方程．3．设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d与r的大小关系d＞r d＝r d＜r[提示]若点P在圆C内，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2．若点P在圆C外，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)圆心位置和圆的半径确定，圆就唯一确定．()(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．()(3)圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9的圆心坐标是(2,3)，半径是9．()[答案](1)√(2)×(3)×[提示](1)正确．确定圆的几何要素就是圆心和半径．(2)错误．当m＝0时，不表示圆．(3)错误．圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9的圆心为(－2，－3)，半径为3．2．(教材P101练习A①改编)圆心为O(－1,1)，半径为2的圆的方程为() A．(x－1)2＋(y＋1)2＝2B．(x＋1)2＋(y－1)2＝2C．(x＋1)2＋(y－1)2＝4 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝4C[将O(－1,1)，r＝2代入圆的标准方程可得．]3．点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是()A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定A[∵m2＋25＞24，∴点P在圆外．]4．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是．x2＋(y－2)2＝1[设圆心为(0，b)，则圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，又点(1,2)在圆上，所以(2－b)2＋1＝1，∴b＝2，故方程为x2＋(y－2)2＝1．]直接法求圆的标准方程【例1(1)圆心在点C(－2,1)，且过点A(2，－2)；(2)已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上．[思路探究]只要确定圆心坐标和半径即可求得圆的标准方程．[解](1)所求圆的半径r＝|CA|＝(2＋2)2＋(－2－1)2＝5．又因为圆心为(－2,1)，所以所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝25．(2)设此直径两端点分别为(a,0)，(0，b)，由于圆心坐标为(2，－3)，所以a ＝4，b＝－6，所以圆的半径r＝(4－2)2＋(0＋3)2＝13，从而所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13．确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.[跟进训练]1．求圆心在x轴上，半径为5且过点A(2，－3)的圆的标准方程．[解]设圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝25，因为点A(2，－3)在圆上，所以有(2－a)2＋(－3)2＝25，解得a＝－2或a＝6，所以所求圆的标准方程为(x＋2)2＋y2＝25或(x－6)2＋y2＝25．待定系数法求圆的标准方程【例(1)圆心在y＝0上且过两点A(1,4)，B(3,2)；(2)圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)．[思路探究]由圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a，b，r三个参数．[解](1)设圆心坐标为(a，b)，半径为r，则所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．∵圆心在y ＝0上，故b ＝0，∴圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2．又∵该圆过A (1,4)，B (3,2)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋16＝r 2，(3－a )2＋4＝r 2，解得a ＝－1，r 2＝20．∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝20．(2)设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ (2－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2，a －2b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10.故所求圆的标准方程为 (x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10．待定系数法求圆的标准方程的一般步骤设方程((x －a )2＋(y －b )2＝r 2)→列方程组(由已知条件，建立关于a 、b 、r 的方程组)→解方程组(解方程组，求出a 、b 、r )→得方程(将a 、b 、r 代入所设方程，得所求圆的标准方程)．[跟进训练]2．求经过点A (10,5)，B (－4,7)，半径为10的圆的方程．[解] 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝100，将A 、B 两点代入得⎩⎪⎨⎪⎧(10－a )2＋(5－b )2＝100 ①(－4－a )2＋(7－b )2＝100 ② ①－②得7a －b －15＝0，即b ＝7a －15 ③将③代入得：a 2＋8－6a ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝13.故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝100或(x －4)2＋(y －13)2＝100．圆的标准方程的实际应用[思路探究] 桥是圆拱桥，可通过建立适当的平面直角坐标系，求出圆拱桥所在圆的标准方程，然后根据圆的对称性求水面宽度．[解] 以拱顶为坐标原点，以过拱顶且与圆拱相切的直线为x 轴，以过拱顶的竖直直线为y 轴建立如图所示的直角坐标系，则O (0,0)，A (6，－2)．设圆的标准方程为x 2＋(y ＋r )2＝r 2(r ＞0)．将A (6，－2)的坐标代入方程得r ＝10，∴圆的标准方程为x 2＋(y ＋10)2＝100．当水面下降1米后，可设点A ′(x 0，－3)(x 0＞0)．将A ′(x 0，－3)代入圆的标准方程，求得x 0＝51，∴水面下降1米，水面宽为2x 0＝251≈14．28(米)．解决圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面[跟进训练][解]以隧道截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x 轴，过圆心且垂直于直径AB的直线为y轴，建立直角坐标系(如图)，那么半圆的方程为x2＋y2＝16(y≥0)．将x＝2．7代入圆方程，得y＝16－2.72＝8.71＜3，即在离中心线2．7米处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道．与圆有关的最值问题[1．若P(x，y)为圆C：(x＋1)2＋y2＝14上任意一点，请求出P(x，y)到原点的距离的最大值和最小值．[提示]原点到圆心C(－1,0)的距离d＝1，圆的半径为12，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12＝32，最小距离为1－12＝12．2．若P (x ，y )是圆C ：(x －3)2＋y 2＝4上任意一点，请求出P (x ，y )到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值和最小值．[提示] P (x ，y )是圆C 上的任意一点，而圆C 的半径为2，圆心C (3,0)，圆心C 到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|3－0＋1|12＋(－1)2＝22，所以点P 到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值为22＋2，最小值为22－2．【例4】已知实数x ，y 满足方程(x －2)2＋y 2＝3．求y x 的最大值和最小值．[思路探究] y x 的几何意义是圆上的点与原点构成直线的斜率，根据直线与圆相切求得．[解] 原方程表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆，设y x ＝k ，即y ＝kx ，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值和最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3．故y x 的最大值为3，最小值为－3．1．在本例条件下，求y －x 的最大值和最小值．[解] 设y －x ＝b ，即y ＝x ＋b ，当y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值，此时|2－0＋b |2＝3，即b ＝－2±6．故y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6．2．在本例条件下，求x2＋y2的最大值和最小值．[解]x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋3)2＝7＋43，(x2＋y2)min＝(2－3)2＝7－43．与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型(1)形如u＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题.(2)形如l＝ax＋by(b≠0)形式的最值问题，可转化为动直线y＝－ab＋lb截距的最值问题.(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题.1．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝m．当m＞0时，表示圆心为C(a，b)，半径为m的圆；当m＝0时，表示一个点C(a，b)；当m＜0时，不表示任何图形．2．确定圆的方程的方法及步骤(1)直接代入法，根据已知条件求圆心坐标和半径．直接写出圆的标准方程．(2)待定系数法：第一步：设圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2．第二步：根据条件列方程组求待定系数a，b，r．第三步：代入所设方程中得到圆的标准方程．3．在实际应用问题求解过程中，应灵活运用几何性质(如弦的垂直平分线过圆心、半弦长、弦心距、半径长构成的勾股关系)．4．重点掌握的方法(1)求标准方程的方法．(2)求与圆相关的最值的方法．1．圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝3的圆心坐标()A．(2,1)B．(2，－1)C．(－2,1) D．(－2，－1)B[结合圆的标准形式可知，圆C的圆心坐标为(2，－1)．]2．以(2 020,2 020)为圆心，2 021为半径的圆的标准方程为()A．(x－2 020)2＋(y－2 020)2＝2 0212B．(x＋2 020)2＋(y＋2 020)2＝2 0212C．(x－2 020)2＋(y－2 020)2＝2 021D．(x＋2 020)2＋(y＋2 020)2＝2 021A[由圆的标准方程知(x－2 020)2＋(y－2 020)2＝2 0212．]3．点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的外部，则a的取值范围为．a＞1或a＜－15[因为(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的外部，所以4a2＋(a－2)2＞5，解得a＞1或a＜－15．]4．点(1,1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，则圆的方程是．(x＋2)2＋y2＝10[因为点(1,1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，故(1＋2)2＋1＝m．∴m＝10，即圆的方程为(x＋2)2＋y2＝10．]5．已知圆M的圆心坐标为(3,4)，且A(－1,1)，B(1,0)，C(－2，3)三点一个在圆M内，一个在圆M上，一个在圆M外，求圆M的方程．[解]∵|MA|＝(－1－3)2＋(1－4)2＝5，|MB|＝(1－3)2＋(0－4)2＝25，|MC|＝(－2－3)2＋(3－4)2＝26，∴|MB|＜|MA|＜|MC|，∴点B在圆M内，点A在圆M上，点C在圆M外，∴圆的半径r＝|MA|＝5，∴圆M的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25．。

新教材高中数学第2章平面解析几何圆的一般方程课件新人教B版选择性必修第一册

示任何图形．
(2)由圆的一般方程判断点与圆的位置关系
已知点 M(x0，y0)和圆的方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．则其位置关系如下表：
位置关系
代数关系
点 M 在圆 06 _外__ 点 M 在圆 07 _上__ 点 M 在圆 08 _内__
x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＝0 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F<0
89＋8D＋5E＋F＝0，由题意知73＋3D＋8E＋F＝0，
9＋3E＋F＝0，
D＝－8，解得E＝－8，
解
(3)两边同除以 2，得
x2＋y2＋ax－ay＝0，D＝a，E＝－a，F＝0，
∴D2＋E2－4F＝2a2>0，
∴方程(3)表示圆，它的圆心为－a2，a2，
半径 r＝12
D2＋E2－4F＝
2 2 |a|.
解
题型二求圆的一般方程
例 2 已知 Rt△ABC 的顶点 A(8,5)，直角顶点为 B(3,8)，顶点 C 在 y 轴上，求：
半径长．
[跟踪训练 1] 下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半径．
(1)x2＋y2＋x＋1＝0； (2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；(3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．
解 (1)∵D＝1，E＝0，F＝1， ∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3<0， ∴方程(1)不表示任何图形． (2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2， ∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0， ∴方程(2)表示点(－a,0)．
判断二元二次方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆要“两看”：一看方程是否具备圆的一般方程的特征：①A＝C≠0；②B＝0；二看它能否表示圆．此时判断 D2＋E2－4AF 是否大于 0；或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数．

圆的标准方程-高中数学知识点讲解

圆的标准方程1．圆的标准方程【知识点的认识】1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．2．圆的标准方程：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），其中圆心C（a，b），半径为r．特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r 的圆的方程为：x2+y2＝r2．其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r 是圆的定形条件．【解题思路点拨】已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r 的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下：（1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；（2）根据已知条件，列出关于a，b，r 的方程组；（3）求出a，b，r 的值，代入所设方程中即可．另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程．【命题方向】可以是以单独考点进行考查，一般以选择、填空题形式出现，a，b，r 值的求解可能和直线与圆的位置关系、圆锥曲线、对称等内容相结合，以增加解题难度．在解答题中，圆的标准方程作为基础考点往往出现在关于圆的综合问题的第一问中，难度不大，关键是读懂题目，找出a，b，r 的值或解得圆的一般方程再进行转化．例 1：圆心为（3，﹣2），且经过点（1，﹣3）的圆的标准方程是（x﹣3）2+（y+2）2＝5分析：设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程．解答：设圆的标准方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝R2，由圆M 经过点（1，﹣3）得R2＝5，从而所求方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝5，1/ 3故答案为（x﹣3）2+（y+2）2＝5点评：本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径．例 2：若圆C 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 4x﹣3y＝0 和x 轴都相切，则该圆的标准方程是（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1C．（x+2）2+（y﹣1）2＝1D．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1分析：要求圆的标准方程，半径已知，只需找出圆心坐标，设出圆心坐标为（a，b），由已知圆与直线 4x﹣3y＝0 相切，可得圆心到直线的距离等于圆的半径，可列出关于a 与b 的关系式，又圆与x 轴相切，可知圆心纵坐标的绝对值等于圆的半径即|b|等于半径 1，由圆心在第一象限可知b 等于圆的半径，确定出b 的值，把b 的值代入求出的a 与b 的关系式中，求出a 的值，从而确定出圆心坐标，根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程即可．解答：设圆心坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），由圆与直线 4x﹣3y＝0 相切，可得圆心到直线的距离d =|4푎―3푏|5=r＝1，化简得：|4a﹣3b|＝5①，又圆与x 轴相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1 或b＝﹣1（舍去），把b＝1 代入①得：4a﹣3＝5 或 4a﹣3＝﹣5，解得a＝2 或a =―12（舍去），∴圆心坐标为（2，1），则圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1．故选：A点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，若直线与圆相切时，圆心到直线的距离d 等于圆的半径r，要求学生灵活运用点到直线的距离公式，以及会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程．例 3：圆x2+y2+2y＝1 的半径为（）A．1 B．2C．2 D．4分析：把圆的方程化为标准形式，即可求出圆的半径．解答：圆x2+y2+2y＝1 化为标准方程为x2+（y+1）2＝2，2/ 3故半径等于2，故选B．点评：本题考查圆的标准方程的形式及各量的几何意义，把圆的方程化为标准形式，是解题的关键．3/ 3。

高中数学：圆的方程

第6讲圆的方程[玩前必备]1．圆的定义与方程[提醒] 当D 2＋E 2－4F >0时，此方程表示的图形是圆；当D 2＋E 2－4F ＝0时，此方程表示一个点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2；当D 2＋E 2－4F <0时，它不表示任何图形． 2．点与圆的位置关系圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r ，设M 的坐标为(x 0，y 0)．[常用结论](1)二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF ＞0.(2)以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直径端点的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.[玩转典例]考点一求圆的方程【例1】（1）（河北新华.石家庄二中高一期末）过点()()1,1,1,1A B --，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（）A ．()()22314x y -++= B ．()()22314x y ++-= C ．()()22114x y -+-=D ．()()22114x y +++=（2）△ABC 的三个顶点分别为A (0，5)，B (1，－2)，C (－3，－4)，求其外接圆的标准方程．【玩转跟踪】1．若不同的四点A (5,0)，B (－1,0)，C (－3,3)，D (a,3)共圆，则a 的值为________． 2.（2020·河南濮阳.高一期末（理））设(2,1),(4,1)A B -，则以线段AB 为直径的圆的方程是（）A ．22(3)2x y -+=B ．22(3)8x y -+=C ．22(3)2x y ++=D ．22(3)8x y ++=考点二圆的一般方程【例2】方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的范围是( ) A ．a <－2或a >23B ．－23<a <2 C ．－2<a <0 D ．－2<a <23【玩转跟踪】1．已知m 是实常数，若方程22240x y x y m ++++=表示的曲线是圆，则m 的取值范围为（） A ．(),20-∞B ．(),5-∞C ．()5,+∞D ．()20,+∞2．“12m >”是“2222530x y mx m m +---+=为圆方程”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．已知方程()()2224232141690x y m x m y m+-++++=─表示一个圆，则实数m 的取值范围为（）A ．1(,1)7-B ．1(,1)7-C ．1(,)(1,)7-∞-⋃+∞D ．1(,1)(,)7-∞-⋃+∞考点三点与圆的位置关系的判断【例3】已知点A (1，2)不在圆C ：(x －a )2＋(y ＋a )2＝2a 2的内部，求实数a 的取值范围．【玩转跟踪】1.已知a ，b 是方程x 2－x －2＝0的两个不等的实数根，则点P (a ，b )与圆C ：x 2＋y 2＝8的位置关系是( ) A ．点P 在圆C 内 B ．点P 在圆C 外 C ．点P 在圆C 上D ．无法确定题型四与圆有关的最值问题（提前讲下圆的切线）（难点）例4 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则 (1)yx 的最大值和最小值分别为________和________； (2)y －x 的最大值和最小值分别为________和________； (3)x 2＋y 2的最大值和最小值分别为_______和_______．例5 设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2,0)，B (－2,0)，则P A ―→·PB ―→的最大值为________．【玩转跟踪】1．已知两点A (0，－3)，B (4,0)，若点P 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 的面积的最小值为________． 2．已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y －1)2＝1，则z ＝y ＋1x 的最大值与最小值分别为________和________．3．设点P (x ，y )是圆：(x －3)2＋y 2＝4上的动点，定点A (0,2)，B (0，－2)，则|P A ―→＋PB ―→|的最大值为________．题型五与圆有关的轨迹问题例6 已知直角三角形ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)． (1)求直角顶点C 的轨迹方程； (2)求直角边BC 的中点M 的轨迹方程．【玩转跟踪】1．自圆C ：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4外一点P (x ，y )引该圆的一条切线，切点为Q ，PQ 的长度等于点P 到原点O 的距离，则点P 的轨迹方程为( ) A ．8x －6y －21＝0 B ．8x ＋6y －21＝0 C ．6x ＋8y －21＝0D ．6x －8y －21＝02．设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．[玩转练习]1．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A ．－43B ．－34C. 3D ．22．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝13．(一题多解)已知圆C 截两坐标轴所得弦长相等，且圆C 过点(－1,0)和(2,3)，则圆C 的半径为( ) A ．8B ．22C ．5 D.5 4．方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是( ) A ．一个椭圆 B ．一个圆 C ．两个圆D ．两个半圆5．(多选)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 的方程为( ) A ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋332＝43B ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y －332＝43C ．(x －3)2＋y 2＝43D ．(x ＋3)2＋y 2＝436．(多选)已知点A (－1,0)，B (0,2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，若△P AB 面积的最大值为a ，最小值为b ，则( ) A ．a ＝2 B ．a ＝2＋52C ．b ＝2－52D ．b ＝52－1 7．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为________．8．在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为________．9．圆C 的半径为1，圆心在第一象限，与y 轴相切，与x 轴相交于点A ，B ，若|AB |＝3，则该圆的标准方程是________．10．在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，A ＝π3，动点P 在以点A 为圆心，半径为1的圆上，则PB ―→·PC ―→的最小值为________．11．已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)． (1)求|MQ |的最大值和最小值；(2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值．12．已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．。

北师大版高中数学必修2《圆的标准方程》参考课件

5. 圆的方程的求法: ①代入法 ②待定系数法
例1(1)已知两点P1(4, 9)和P2(6, 3)，求以P1P2 为直径的圆的方程.
(x 5)2 + ( y 6)2 = 10
(2) 判断点M(6, 9)、N(3, 3)、Q(5, 3)是在圆上，在圆内，还是在圆外.
M在圆上，N在圆外，Q在圆内．
(3) 经过点P(5，1)，且圆心在C(8， 3). (x 8)2 + ( y + 3)2 = 25
例3 求圆心在C(1， 2)，半径为 2 5 的圆被x 轴所截得的弦长 .
法1(方程法) 圆的方程为 (x 1)2 + ( y + 2)2 = 20，
令y = 0，x 1 = 4，可得弦长为8.
《圆的标准方程》
问题： (1) 求到点C(1, 2)距离为2的点的轨迹方程. (x 1)2 + ( y 2)2 = 4
(2) 方程(x 1)2 + ( y 2)2 = 4表示的曲线是什么？
以点C(1, 2)为圆心， 2为半径的圆.
1.圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集
合(轨迹)叫做圆. 2.圆的标准方程:
约为3.86m
0.01m).
例5 已知圆的方程x2 + y2 = r2，求经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程．
一般地，过圆(x a)2 + ( y b)2 = r2上一点 M(x0，y0)的切线方程为 (x0 a)(x a) + ( y0 b)( y b) = r2．
小结:
本课研究了圆的标准方程推导过程，对于这个方程必须熟记并能灵活应用. 从三道例题的解题过程，我们不仅仅要理解和掌握解题的思想方法，也要学会从中发现和总结出规律性的内在联系.

圆的一般方程(20张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册

同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
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第二章直线和圆的方程2.4.2圆的一般方程
0 1在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程.0 2能够应用圆的方程解决简单的数学问题和实际问题.0 3初步了解用代数方法处理几何问题的基本思想和基本方法Dx+E y+F=0 叫做圆的一般方程，且D²+E²-4F >0,
圆的一般方程
为圆心，
将方程x²+y²+Dx+Ey+ F=0(2) 的左边配方，并把常数项移到右边，( 1 ) 当D²+E²-4F>0 时，比较方程①和圆的标准方程，可以看出方程(2)表示为圆心，为半径的圆；( 2 ) 当D²+E²-4F=0 时，方程(2)只有实数解声手它表示一个点( 3 ) 当D²+E²-4F<0 时，方程(2)没有实数解，它不表示任何图形.
例题巩固例1 求过三点0(0,0),M ₁(1,1), M ₂ (4,2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.
解：设圆的方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0.①因为0 ,M₁ ,M₂ 三点都在圆上，把它们的坐标依次代入方程①,
所以所求圆的方程是x²+y²-8x+6y=0.故所求圆的圆心坐标是(4,-3),半径
解得
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a,b,r 或 D,E,F 的方程组；(3)解出a,b,r 或 D,E,F, 得到标准方程或一般方程.
求圆的方程常用待定系数法的步骤
例2已知线段 AB的端点B的坐标是(4,3),端点A 在圆(x+1)²+y²=4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.

人教A版高中数学必修二第四章圆与方程复习课件

2．(2011·高考广东卷)已知集合 A＝{(x，y)|x，y 为实数，且 x2 ＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y 为实数，且 x＋y＝1}，则 A∩B 的元素个数为( )． A．4 B．3 C．2 D．1 解析集合 A 表示圆 x2＋y2＝1 上的点构成的集合，集合 B 表示直线 x＋y＝1 上的点构成的集合，可判断直线与圆相交，故 A∩B 的元素的个数为 2. 答案 C
0
无根
d>r
离
4.2.2圆与圆的位置关系
R r
•
•
O1
d
O2
R r
•
•
O1
d
O2
两圆外离
R r
•
•
O1 d
O2
R • •r O1 d O2
两圆外切
R O1 • • r
d O2
两圆相交
两圆内切

两圆内含
判断两圆的位置关系的两种方法： 1.根据圆心距与半径和之间的大小关系. 若d＜｜R-r｜，则两圆内含；若d=｜R-r｜，则两圆内切；若｜R-r｜＜d＜R＋r，则两圆相交；若d＝R＋r，则两圆外切；若d＞R＋r，则两圆外离.
高考真题 1．(2011·高考安徽卷)若直线 3x＋y＋a＝0 过圆 x2＋y2＋2x－4y ＝0 的圆心，则 a 的值为( )． A．－1 B．1 C．3 D．－3 解析化圆为标准形式(x＋1)2＋(y－2)2＝5，圆心为(－1,2)．∵ 直线过圆心，∴3×(－1)＋2＋a＝0，∴a＝1. 答案 B
2.联立两圆方程，看截得解得个数.
△<0
n=0
两个圆相离
△=0
n=1
两个圆相切
△>0
n=2

2.4圆的方程-【新教材】人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册同步讲义

2.4 圆的方程1、圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心C(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要条件：D2＋E2－4F＞0圆心坐标：),(22ED--半径r＝12D2＋E2－4F2、点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：（1）|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；（2）|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；（3）|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.3、特殊的圆的方程（1）圆心在坐标原点半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.（2）以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.题型一圆的方程例1方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的范围是( )A．a<－2或a>23B．－23<a<2C．－2<a<0D．－2<a<2 3知识梳理知识典例【答案】D 【解析】【分析】先把圆的一般方程化为圆的标准方程，由此可求得a 的范围. 【详解】由题意可得圆的标准方程2223()()124a x y a a a +++=--，由23104a a -->解得223a -<<，选D.【点睛】圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=，化标准方程为22224()()224D E D E Fx y +-+++=（其中2240D E F +->），圆心为(,)22D E--，半径2242D E Fr +-=．1、“12m >”是“2222530x y mx m m +---+=为圆方程”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据圆的一般方程表示圆的条件和充分必要条件的判断可得选项. 【详解】方程2222530x y mx m m +---+=表示圆需满足()()22245+30,3m m m m ---->∴<-或1>2m ，所以“12m >”是“2222530x y mx m m +---+=为圆方程”的充分不必要条件，故选：A.2、若圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，则当圆的面积最大时，圆心坐标为________．【答案】(0，－1) 【解析】方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0化为标准方程为(x ＋2k )2＋(y ＋1)2＝1－234k ，巩固练习∵r 2＝1－234k ≤1，∴k ＝0时r 最大．此时圆心为(0，－1)．题型二圆的方程求解例 2 过点()()1,1,1,1A B --，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（） A ．()()22314x y -++= B ．()()22314x y ++-= C ．()()22114x y -+-= D ．()()22114x y +++=【答案】C1、圆心在y 轴上，半径为1，且过点()12，的圆的方程是【答案】()2221x y +-=2、求圆心在直线230x y --=上，且过点3(2,)A -，(2,5)B --的圆的标准方程．【答案】22(1)(2)10x y +++= 【解析】试题分析：根据圆中的弦的垂直平分线过圆心求出弦AB 的垂直平分线的方程，与直线l 联立可求出圆心坐标，然后根据两点间的距离公式求出圆的半径，即可写出圆的标准方程．试题解析： ∵()351222AB K -+==--，AB 中点()2235,0,422---⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴AB 中垂线为()420y x +=--，整理得240y x ++=，巩固练习联立240230y x x y ++=⎧⎨--=⎩，解出1x =-，2y =-， ∴圆心为()1,2--，半径为()()22213210⎡⎤--+-+=⎣⎦，圆为()()221210x y +++=．题型三点与圆的位置关系例 3 已知以点A (2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O ，则点M (5，－7)与圆O 的位置关系是( ) A ．在圆内 B ．在圆上 C ．在圆外 D ．无法判断【答案】B 【解析】因为22345AM r =+== ,所以点M 在圆上，选B.1、若点（1，1）在圆()()224x a y a -++=的内部，则a 的取值范围是（） A ．11a -<< B ．01a << C ．1a <-或1a > D ．1a =±【答案】A 【解析】因为点（1，1）在圆内部，所以22(1)(1)4a a -++<,解之得11a -<<.2、点2(,5)m 与圆2224x y +=的位置关系是（）． A ．点在圆外 B ．点在圆内C ．点在圆上D ．不能确定【答案】A 【解析】巩固练习将点2(,5)m 代入圆方程，得42524m +>．故点在圆外，选A ．1、以()2,1-为圆心，4为半径的圆的方程为( ) A ．22(2)(1)4x y ++-= B ．22(2)(1)4x y +++= C ．22(2)(1)16x y -++= D ．22(2)(1)16x y ++-=【答案】C 【解析】【分析】利用圆的标准方程的性质求解．【详解】以()2,1-为圆心，4为半径的圆的方程为：22(2)(1)16x y -++=．故选C ．2、方程1x -= ） A ．一个圆 B ．两个半圆 C ．两个圆 D ．半圆【答案】A 【解析】试题分析：由方程1x -=221x -=，即22(1)(1)1x y -++=，所以方程表示的轨迹为一个圆，故选A ．3、若方程2220x y a ++=表示圆，则实数a 的取值范围为（）A ．0a <B ．0a =C ．0a ≤D ．0a >【答案】A4、若原点在圆22(3)(4)x y m -++=的外部，则实数m 的取值范围是（）巩固提升A ．(,25)-∞B ．(,5)-∞C ．(0,25)D ．(0,5)【答案】C 【解析】【分析】根据点圆的位置关系直接列不等式求得答案. 【详解】根据题意，圆22(3)(4)x y m -++=的圆心为(3,4)-，必有0m >. 若原点在圆22(3)(4)x y m -++=的外部，则22(03)(04)m -++>，则有25m <. 综合可得:025m <<. 故选：C.5、点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 【答案】 A【解析】设中点为A (x ，y )，圆上任意一点为B (x ′，y ′)，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ′＋4＝2x ，y ′－2＝2y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x －4，y ′＝2y ＋2，故(2x－4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得，(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故选A.6、已知圆C ：(x －6)2＋(y －8)2＝4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为【答案】(x －3)2＋(y －4)2＝25. 【解析】圆C 的圆心的坐标C (6，8)，则OC 的中点坐标为E (3，4)，则所求圆的半径|OE |＝32＋42＝5，则以OC 为直径的圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.7、在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________________.【答案】x 2＋y 2－2x ＝0.【解析】设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝0，故圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.8、已知曲线()()22:11480C a x a y x ay +++-+=,a R ∈.(1)当a 取何值时，方程表示圆？(2)求证：不论a 为何值，曲线C 必过两定点. (3)当曲线C 表示圆时，求圆面积最小时a 的值.【答案】(1)1a ≠-时，方程表示圆；(2)证明见解析；(3)14a = 【解析】【分析】（1）当1a =-时，可知方程表示直线；当1a ≠-，化简整理已知方程，可知满足圆的方程；（2）将已知方程整理为()2222480x y x a x y y +-+++=，从而可得方程组，解方程组求得两定点坐标，结论可证得；（3）根据（2）的结论，可知以AB 为直径的圆面积最小，从而得到圆的方程，与已知方程对应相等可构造方程组，解方程组求得结果. 【详解】(1)当1a =-时，方程为20x y +=表示一条直线当1a ≠-时， ()222224416111a a x y a a a +⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+()2241601a a +>+ 1a ∴≠-时方程表示圆(2)方程可变形为：()2222480x y x a x y y +-+++=a 取任何值，上式都成立 22224080x y x x y y ⎧+-=∴⎨++=⎩，解得：00x y =⎧⎨=⎩或16585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴曲线C 过定点()0,0A ，168,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭即无论a 为何值，曲线C 必过两定点(3)由(2)曲线C 过定点,A B ，在这些圆中，以AB 为直径的圆的面积最小∵以AB 为直径的圆的方程为：228416555x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()22281544154161651a a a a a ⎧⎪=+⎪⎪⎪∴=⎨+⎪⎪+=⎪+⎪⎩，解得：14a =。