2017年985高校自主招生数学模拟试卷及参考答案
(江苏)高三数学-江苏省2017年自主招生模拟考试数学试题 Word版含答案
数学与逻辑试卷毕业学校： 准考证号： 姓名：本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上，考试时间为120分钟．试卷满分150分．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把所选项前的字母代号填在答题卡．．．上的对应题的表格内） 1．关于x 的不等式x －m ＞0，恰有两个负整数解，则m 的取值范围是（ ▲ ） A ．3＜m ＜ 2 B ．3≤m ＜2C ．3≤m ≤ 2D ．3＜m ≤22．如图，已知AB ∥DE ,∠ABC =75°，∠CDE =145°，则∠BCD 的值为（ ▲ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．70°3．如图，在等腰Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠CAD ＝30°，则BD ׃ DC 等于（ ▲ ） A ．33B ．22 C ．21-D ．31-4．已知△ABC 的周长是24，M 为AB 的中点，MC =MA =5，则△ABC 的面积为（ ▲ ）A ．12B ．16C ．24D ．305．对于方程x 2－2|x |+2=m ，如果方程实根的个数为3个，则m 的值等于（ ▲ ）A ．1B ．3C ．2D ．2.56．某种商品的平均价格在一月份上调了10%，二月份下降了10%，三月份又上调了10%，则这种商品从原价到三月底的价格上升了 （ ▲ ）A ．10%B ．9.9%C ．8.5%D ．8.9%7．已知点P （1－2m ，m －1），则不论m 取什么值，该P 点必不在（ ▲ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限AB CD第3题第2题ABCDE8．已知三个关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0 ，bx 2+cx +a =0 ，cx 2+ax +b =0恰有一个公共实数根，则abc ac b bc a 222++的值为 （ ▲ ）A ．0B ．1C ．2D ．39．已知x 、y 均为实数，且满足xy +x +y =5，x 2y +xy 2=6，则代数式 x 2+x y + y 2的值为（ ▲ ）A ．1B ．7C ．1或7D ．1110．四边形ABCD 内部有1000个点，以顶点A 、B 、C 、D 、和这1000个点能把原四边形分割成n 个 没有重叠的小三角形，则个数n 的值为 （ ▲ ）A ．2002B ．2001C ．2000D ．1001二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请把结果直接填在答题卡．．．上的对应题中的横线上）11．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则2a －|a －b |= ▲ ．12．当x =a 或x =b （a ≠b ）时，代数式x 2－4x +2的值相等，则当x =a +b 时，代数式x 2－4x +2的值为 ▲ ．13．分解因式9－6y －x 2+y 2= ▲ ．14．如图，在平面直角坐标系xoy 中，四边形ODEF 和四边形ABCD 都是正方形，点F在y 轴的正半轴上，点C 在边DE 上，反比例函数4y x=的图象过点B 、E ．则 AB 的长为 ▲ ．15．如图，已知M （3，3），⊙M 的半径为2，四边形ABCD 是⊙M 的内接正方形，E16．如图，在矩形ABCD 中，AD =5，AB =15，E 、F 分别为矩形外两点，DF =BE = 4，AF =CE =3，则EF 等于 ▲ ．x17．如图，在矩形ABCD 的边AB 上有一点E ，且23=EB AE ，DA 边上有一点F ，且EF ＝18，将矩形沿EF 对折，A 落在边BC 上的点G ，则AB = ▲ ．18．如图，四边形ABCD 中，AB =BC =CD ，∠ABC =78，∠BCD =162，设AD 、BC 延长线交于E ，则∠AEB = ▲ ．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡．．．指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题满分8分）（1）计算：2131|()2sin 602---o（2）先化简，再求值：2121(1)1a a a a ++-⋅+，其中a 21.20．（本题满分6分）如图，已知D 是△ABC 的边AB 上一点，CN // AB ，DN 交AC 于点M ，MA = MC ． 求证：CD = AN ．时，S max ＝52＝25＜174. 当t ∈(5，10]时，S max ＝10×10－25＝75＜174. …………………10分 当t ∈(10，30]时，令－41t 2＋15t －50=174， …………………11分MBDA BCD FEG第17题第16题D CEBFABADC第18题解得t 1＝28，t 2＝32，10＜t ≤30，故t ＝28，所以河流污染发生28h 后将侵袭到乙城. …………………12分26．（本题满分10分）解：（1）由题意，∠C =90°，AC =8，BC =6，∴AB =10∵ AP =DE =x ，∴AD =PE =54x ，PD =53x ， …………………1分 点E 落在边BC 上，PE ∥AB ，∴AC CP =AB PE ，∴88x =504x∴ x =41200 …………………3分（2）∵△EDB 为等腰三角形①若DE =EB （如图）作EM ⊥AB 于M ，则DM =21DB =PE =AD =103， ∴54x=103，∴ x =625，∴AP =625………………………5分 ②若BD =DE （如图） x =10－54x ，解之x =950，∴AP =950。
2017年高考数学模拟试题(全国新课标卷)含解析(2021年整理)
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2017年高考模拟数学试题（全国新课标卷）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两部分。
共150分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．i 为虚数单位,复数ii++13= A ．i +2 B ．i -2 C ．2-i D ．2--i 2．等边三角形ABC 的边长为1，如果,,,BC a CA b AB c ===那么a b b c c a ⋅-⋅+⋅等于A ．32B ．32-C ．12D ．12-3．已知集合}4|4||{2<-∈=x x Z x A ，}8121|{≥⎪⎭⎫⎝⎛∈=+yN y B ，记A card 为集合A 的元素个数，则下列说法不正确．．．的是 A ．5card =A B ．3card =B C ．2)card(=B A D ．5)card(=B A 4．一个体积为12错误!的正三棱柱的三视图如图所示， 则该三棱柱的侧视图的面积为A ．6，3B ．8C ．8错误!D ．125．过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于点()()1122,,,P x y Q x y 两点,若126x x +=，则PQ 中点M 到抛物线准线的距离为A ．5B ．4C ．3D ．2 6．下列说法正确的是A ．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B ．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件C ．事件A 、B 中至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大D ．事件A 、B 同时发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率小7．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S 为A ．1030020(())a x a x a a x +++的值B ．3020100(())a x a x a a x +++的值C ．0010230(())a x a x a a x +++的值D ．2000310(())a x a x a a x +++的值8．若（9x －错误!）n(n ∈N ＊)的展开式的第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为 A ．252 B ．－252 C ．84 D ．－84 9．若S 1＝错误!错误!d x ,S 2＝错误!（ln x ＋1)d x ，S 3＝错误!x d x ,则S 1,S 2，S 3的大小关系为 A ．S 1＜S 2＜S 3 B ．S 2＜S 1＜S 3 C ．S 1＜S 3＜S 2 D ．S 3＜S 1＜S 210．在平面直角坐标系中,双曲线221124x y -=的右焦点为F ,一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于A ,B 两点。
2017年北大自主招生数学试题及答案
5
13
）
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 无法确定
D. 前三个答案都不对
答案 A．
5
B.
20 5,
Å3 ã
3
C.
20 , 20
D. 前三个答案都不对
3
解析 C．
13. 正方形 ABCD 与点 P 在同一平面内，已知该正方形的边长为 1 ，且 |P A|2 + |P B|2 = |P C|2 ，则 |P D|
的最大值为（ ） √
A. 2 + 22 2 D. 前三个答案都不对
答案 A．
） B. −1.5 D. 前三个答案都不对
19. 动圆与两圆 x2 + y2 = 1 和 x2 + y2 − 6x + 7 = 0 都外切，则动圆的圆心轨迹是（ ）
A. 双曲线
B. 双曲线的一支
C. 抛物线
D. 前三个答案都不对
答案 B．
4
20.
在
△ABC
中， sin A = 4 ， cos B = 4 ，则该三角形是（
√ B. 2 6 D. 前三个答案都不对
答案 D．
6. 已知三角形三条中线长度分别为 9, 12, 15 ，则该三角形面积为（ ）
A. 64
B. 72
C. 90
D. 前三个答案都不对
答案 B．
7. 已知 x 为实数，使得 2, x, x2 互不相同，且其中有一个数恰为另一个数的 2 倍，则这样的实数 x 的个
3π
ã
的值为（
）
5
5
A.
1 1+ √
5
C.
1+
1 √
【985高校难度】2017年高考及大学自主招生高三奥数班模拟(浙江)
EQ ·2 0 1 7 年高考及自主招生 高三奥数班 模拟检测（浙江）姓名： 学号： （2017年5月）{本卷满分：180 分（含附加题30分） 考试时间：150 分钟}一、填空题（共14小题，每题8分，计112分）．1. 已知 ，是非零不共线的向量，设r r r 111+++=，定义点集⎫⎪⎩⎪⎨⎧==M ，当M K K∈21，时，若对于2≥∀r ，不等式≤恒成立，则实数c 的最小值为 ．2. 若函数()R ∈-+-+=b a x a x b x b x a x f ,cos sin 1cos sin 的最大值为11，则22b a +的值为 ．3. 已知R ∈α，且{}{}1c os sin 1c os sin 44=+∈=+x x x x x x αα，则α的取值范围是 ．4. 已知正整数数列{}n a 满足*∈∀N n ，n n n a a a +=++12，且2017=k a ，则k 的最大值是 ． 5. 设点()i i i y x P ,在直线i l ：i i i c y b x a =+上，若()21，==+i ic b a i i i ，且2221≥P P 恒成立，则2211c a a c +的值是 ． 6. 如图，ABC ∆和ADE ∆均为等腰直角三角形，︒=∠=∠90AED BAC ，连接BD 、CE ，取CE 的中点F ，连接DF 、BF ，若BDF S ∆=()ACE ADE ABC nS S S ∆∆∆++21()R ∈n 恒成立，则n 的值是 ． 7. 已知函数()22,03,0x x f x x a a x ⎧->⎪=⎨-++<⎪⎩的图象上恰有三对点关于原点成中心对称，则a 的取值范围是 ．8. 已知棱长为1的正四面体ABC P -，PC 的中点为D ，动点E 在线段AD 上，则直线BE 与平面ABC 所成的角的取值范围是 ．9. 若nI ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=i 32121()*∈N n 为纯虚数，则n 取最小值时，I 的值是 ．10. 设曲线L 的方程为()()022224224=-+++x x y x y ，则下列说法正确的是 ．（填序号）① L 是轴对称图形； ② L 是中心对称图形；③ (){}1 , 22≤+⊂y x y x L ； ④ ()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-⊂2121, y y x L ． 第6题（ 985 高 校 难 度 ）11. 阶梯教室安装的连体课桌一行坐6个人，考生只能从课桌两头走出考场，考生交卷时间先后不一，如果坐在里面的考生先要交卷就需要打扰别人．把一行考生中打扰别人交卷的人数设为随机变量X ，则X 的数学期望为 ． 12. 若A 、B 是抛物线x y 42=上的不同两点，弦AB （不平行于y 轴）的垂直平分线与x 轴相交于点P ，则称弦AB 是点P 的一条“相关弦”．则点()04 ，P 的所有“相关弦”的弦长的最大值是 ．13. 已知A ，B ，C 是球O 的球面上的三点，︒=∠=∠45AOC AOB ，若三棱锥ABC O -体积的最大值为32，则球O 的表面积为 ．14. 设k ，m ，n 都是整数，过圆()22213+=+k y x 外一点()n n m m P --33，向该圆引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 上满足横坐标与纵坐标均为整数的点的个数为 ．二、解答题（共2小题，15题18分，16题20分，计38分）．15. 数列{}n a 满足：∏∑===ni ini i a a 1111．⑴ 求n a 和1+n a 的关系；⑵ 若101<<a ，证明：10<<n a ；⑶ 若[]101，∉a ，证明：1+<n n a a ()2≥n ．16. 设{}b a ,，{}d c ,分别为两个矩形的长和宽，且b d c a <<<，cd ab <．证明：可将第一个矩形放入第二个矩形内部的充要条件是()()()22222ad bc ac bd a b-+-≤-．三、附加题（共1小题，计30分）．求方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++yz z y x xz z y x xyz y x 333333222的实数解()z y x ,,的个数，其中z y x ,,互不相等．Q ·2 0 1 7 年高考及自主招生高三奥数班模拟（参考答案）[ MATHEMATICS Examination paper reference answer ]{ 本卷满分： 180 分（含附加题 30 分） }一、填空题（共14小题，每题8分，计112分）．1 考点：向量，几何（角平分线定理） {难度：★★☆☆☆}答案：342 考点：绝对值，A-G 不等式 {难度：★☆☆☆☆}答案：503 考点：集合，指数函数，三角函数，分类讨论思想 {难度：★★★☆☆}答案：()()∞+∞-，，224 考点：数列，数论 {难度：★★★☆☆}答案：115 考点：直线关系，恒成立问题 {难度：★★☆☆☆}答案：36 考点：平面几何，面积，线段比 {难度：★★★★☆}答案：3分析可得n = 3，由题意即证明：BDF S ∆=()ACE ADE ABC S S S ∆∆∆++3217 考点：函数的应用，导数 {难度：★★★☆☆}答案：171,16⎛⎫⎪⎝⎭8 考点：立体几何（角），解不等式，单调性，反三角 {难度：★★★☆☆}答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡714arctan 0，[ 来源：2017年全国高中数学联赛预赛 浙江]9 考点：虚数，二项式 {难度：★★☆☆☆}答案：i 93 10 考点：曲线图像（数形结合），轨迹 {难度：★★★☆☆}答案：①②④[ 来源：2015年清华大学自主招生暨领军计划 ]提示：曲线图像如下11考点：数学期望，应用，排列{难度：★★★★☆}21答案：10分析与解如下：12考点：最值，抛物线{难度：★★★☆☆}答案：613考点：立体几何（球，体积，表面积），A-G不等式，三角，运动中的不变量分析{难度：★★★★☆}答案：16 π14考点：直线与圆，切线{难度：★★★☆☆}答案：0二、解答题（共2小题，15题18分，16题20分，计38分）．15考点：数列，数学归纳法{难度：★★★☆☆}[ 来源：2008年中科大自主招生] (18分) [可能有多种解法．．．．．．．，酌情给分．．．．．]15、16考点：充分必要（逻辑），解析几何（线性规划，直线与圆）{难度：★★★★☆} (20分) [可能有多种解法．．．．．]．．．．．．．，酌情给分三、附加题（共1小题，计30分）．17考点：导数（极限），代换，解元{难度：★★★★★}[可能有多种解法．．．．．]．．．．．．．，酌情给分严．禁．盗．版．。
浙江省2017自主招生数学模拟试卷(二)及答案
浙江省2017自主招生数学模拟试卷(二)姓名：__________班级：__________考号：__________一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1.2016年5月24日《天津日报》报道，2015年天津外环线内新栽植树木6120000株，将6120000用科学记数法表示应为（）A．0.612×107B．6.12×106C．61.2×105D．612×1042.下列运算中，计算正确的是（）A．2a•3a=6a B．（3a2）3=27a6C．a4÷a2=2a D．（a+b）2=a2+ab+b2 3.如图所示的几何体，其左视图是（）A．B．C．D．4.若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为（）A．5 B．7 C．5或7 D．65.我省2013年的快递业务量为1.4亿件,受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业迅猛发展，2014年增速位居全国第一.若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2015年这两年的年平均增长率为x,则下列方程正确的是（）A．1.4(1+x)=4.5 B．1.4(1＋2x)=4.5C.1.4(1＋x)2=4.5 D．1.4(1+x)＋1.4(1＋x)2=4.5x 中自变量x的取值范围为（）6.函数y＝1A．x≥0B．x≥-1 C．x＞-1 D．x≥17.下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标：其中属于中心对称图形的有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个8.在长方形ABCD 中AB =16，如图所示裁出一扇形ABE ，将扇形围成一个圆锥（AB 和AE 重合），则此圆锥的底面半径为（ ）A ．4B ． 16C ． 4D ． 89.如图，直线l 1∥l 2，∠A =125°，∠B =85°，则∠1+∠2=（ ）A ．30°B ． 35°C ． 36°D ． 40°10.在一次自行车越野赛中，甲乙两名选手行驶的路程y （千米）随时间x （分）变化的图象（全程）如图，根据图象判定下列结论不正确的是（ ） A ．甲先到达终点 B ．前30分钟，甲在乙的前面 C ．第48分钟时，两人第一次相遇; D ．这次比赛的全程是28千米11.下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（ ）O 14 12 1096 86 66 30 x /分y /千米 A BC D乙甲A ．64B ．77C ．80D ．8512.已知一次函数y 1=ax +c 和反比例函数y 2=的图象如图所示，则二次函数y 3=ax 2+bx +c 的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二 、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13.如果互为,a b 相反数，,x y 互为倒数，则()20142015a b xy +-的值是__________。
2017年重点高中自主招生适应性数学试卷及答案(4)
（1）请你分别计算 A， B， C 三种型号的种子粒数； （2）请通过计算加以说明，应选哪种型号的种子进行推广？
11 2
18．若实数 a、 b 满足
.
a b ab
（ 1）求 ab 的值； a2 b2
（ 2）求证：（1
a ）2 b
2
19．某位市民想为贫困山区的孩子们献一份爱心，准备购买一批书包捐赠给他们．经调查 有这样的一批书包，原售价为每只 220 元．甲商店用如下方法优惠出售： 买一只小题，每小题 5 分，共 30 分）
题号
11
12
13
14
7
8
B
B
15
9
10
C
B
16
答案
1或 3
13
2
1
21 或 13
95
3
28
说明：第 14 题第一空 2 分，第 2 空 3 分
三、解答题（本题有 8 小题，第 17 题 6 分，第 18~20 题每题 8 分，第 21~23 题每题 12 分，
第 24 题 14 分，满分 80 分） 17．（本题 6 分） 解：（ 1） A 型号种子数为： 1500×36％＝ 540（粒）， ----------------------------------------- 1 分
B 型号种子数为： 1500 ×24％＝ 360（粒）， ------------------------------ 2 分
18．（本题 8 分）
11
解：（ 1）由
2
ab
得，
2 ……① --------------------
2分
a b ab
ab a b
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WORD格式.资料.2021年清华大学自主招生暨领军方案试题1．函数f(x)(x2a)e x有最小值，那么函数g(x)x22xa的零点个数为〔〕A．0B．1C．2D．取决于a的值【答案】C【解析】注意f/(x)e x g(x)，答案C．2．ABC的三个内角A,B,C所对的边为a,b,c．以下条件中，能使得ABC的形状唯一确定的有〔〕A．a1,b2,cZB．A1500,asinA csinC2asinC bsinB C．cosAsinBcosC cos(B C)cosBsinC0,C600 D．a3,b1,A600【答案】AD．3．函数f(x) x21,g(x) lnx，以下说法中正确的有〔〕A．f(x),g(x)在点(1,0)处有公切线B．存在f(x)的某条切线与g(x)的某条切线平行C．f(x),g(x)有且只有一个交点D．f(x),g(x)有且只有两个交点专业.整理.WORD 格式.资料 .【答案】BD【解析】注意到y x1为函数g(x)在 (1,0)处的切线，如图，因此答案BD ．4．过抛物线y 2 4x 的焦点F 作直线交抛物线于A,B 两点，M 为线段AB 的中点．以下说法中正确的有〔〕3一定相离A ．以线段AB 为直径的圆与直线x2B ．|AB|的最小值为 4C ．|AB|的最小值为2D ．以线段BM 为直径的圆与y 轴一定相切【答案】AB【解析】对于选项A ，点M 到准线x1的距离为1(|AF||BF|)1|AB|，于是以线段AB 为直径3 2212, 1的圆与直线x1一定相切，进而与直线x一定相离；对于选项B ，C ，设A(4a 2,4a)，那么B( )，124aa于是 |AB| 4a22，最小值为4AB中点到准线的距离的 2倍去得到最小值；．也可将|AB|转化为4a 2对于选项D ，显然BD 中点的横坐标与1|BM|不一定相等，因此命题错误．2225．F 1,F 2是椭圆C:x 2y21(ab0)的左、右焦点，P 是椭圆C 上一点．以下说法中正确的有a b〔〕A ．a 2b 时，满足 F 1PF 2 900的点P 有两个B ．a2b 时，满足F 1PF 2900的点P 有四个C ． PF 1F 2的周长小于4aa 2D ． PF 1F 2的面积小于等于2专业.整理.WORD格式.资料.【答案】ABCD．【解析】对于选项A，B，椭圆中使得F1PF2最大的点P位于短轴的两个端点；对于选项C，F1PF2的周|PF1||PF2|sinF1PF21|PF1|2长为2a2c4a；选项D，F1PF2的面积为1|PF2|1a2．2222 6．甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖．比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测：甲：两名获奖者在乙、丙、丁中；乙：我没有获奖，丙获奖了；丙：甲、丁中有且只有一个获奖；丁：乙说得对．四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是〔〕A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】BD【解析】乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD．7．AB为圆O的一条弦〔非直径〕，OC AB于C，P为圆O上任意一点，直线PA与直线OC相交于点M，直线PB与直线OC相交于点N．以下说法正确的有〔〕A．O,M,B,P四点共圆B．A,M,B,N四点共圆C．A,O,P,N四点共圆D．以上三个说法均不对【答案】AC【解析】对于选项A，OBM OAM OPM即得；对于选项B，假设命题成立，那么MN为直径，必然有MAN为直角，不符合题意；对于选项C，MBN MOP MAN即得．答案：AC．8．sinA sinB sinC cosA cosB cosC是ABC为锐角三角形的〔〕A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B专业.整理.WORD格式.资料.【解析】必要性：由于sinB sinC sinB sin(B)sinB cosB1，2类似地，有sinC sinA1,sinB sinA1，于是sinA sinB sinC cosA cosBcosC．不充分性：当A,B C4时，不等式成立，但ABC不是锐角三角形．29．x,y,z为正整数，且x y z，那么方程1111的解的组数为〔〕x y z2A．8B．10C．11D．12【答案】B【解析】由于11113，故3x6．2x y z x假设x3，那么(y6)(z6)36，可得(y,z)(7,42),(8,24),(9,18),(10,15),(12,12)；假设x4，那么(y4)(z4)16，可得(y,z)(5,20),(6,12),(8,8)；假设x 5，那么3112,y20,y5,6，进而解得(x,y,z)(5,5,10)；10y z y3假设x6，那么(y3)(z3)9，可得(y,z)(6,6))．答案：B．10．集合A{a1,a2, ,a n}，任取1 i j k n,a i a j A,a j a k A,a k a i A这三个式子中至少有一个成立，那么n的最大值为〔〕A．6B．7C．8D．9【答案】B11．10,610,1210，那么以下各式中成立的有〔〕A．tan tan tan tan tan tan3B．tan tan tan tan tan tan3专业.整理.WORD格式.资料.C．tan tan tan3tan tan tanD．tan tan tan3tan tan tan【答案】BD【解析】令x tan,y tan,z tan，那么yx z y x z3，所以1xy1yz1zxyz3(1xy),z y3(1yz),x z3(1zx)，以上三式相加，即有xyyzzx3．类似地，有113(11),113(11),113(11)，以上三式相加，即有x y xy y z yz z x zx111x y z3．答案BD．xy yz zx xyz12．实数a,b,c满足a bc 1，那么4a14b14c1的最大值也最小值乘积属于区间〔〕A．(11,12)B．(12,13)C．(13,14)D．(14,15)【答案】B【解析】设函数f(x)4x1，那么其导函数f/(x)2，作出f(x)的图象，函数f(x)的图象在x14x13处的切线y221(x1)21，以及函数f(x)的图象过点(1,0)和(3,7)的割线73342y4x1，如图，于是可得4x14x1221(x1)21，左侧等号当x1或77777334x3右侧等号当x121，当a b1时取得；最小值为时取得；时取得．因此原式的最大值为c2337，当a b1,c3时取得，从而原式的最大值与最小值的乘积为73(144,169)．答案B．42专业.整理. WORD 格式.资料 .13．, ,z,yz1, x 2 y 221，那么以下结论正确的有〔 〕x y Rx zA ．xyz 的最大值为B ．xyz 的最大值为427C ．z 的最大值为2D ．z 的最小值为133【答案】ABD14．数列{a n }满足a 11,a 2 2,a n26a n1 a n (nN*)，对任意正整数n ，以下说法中正确的有〔〕A ．a n 2 1a n2a n 为定值B．a n1(mod9) 或a n 2(mod9)C ．4a n1a n 7为完全平方数D．8a n1a n 7为完全平方数【答案】ACD【解析】因为a n22a n3a n1a n22(6an2a n 1)an1a n226a n2an1a n 2 1a n 2(an26a n 1)a n 2 1 a n 21a n2a n ，选项A 正确；由于a 311，故a n 2 1 a n2a n a n 2 1 (6a n1a n )a na n 2 16a n 1a n a n 27，又对任意正整数恒成立，所以4a n1a n 7(a n1a n )2,8a n1a n7(a n1a n )2，应选项C 、D 正确．计算前几个数可判断选项B 错误．说明：假设数列{a n }满足a n 2 pa n 1a n ，那么a n 21a n2a n 为定值．15．假设复数z 满足z11，那么z 可以取到的值有〔 〕zA ．1B ． 1C ．51 D ．512222【答案】CD专业.整理.WORD格式.资料.【解析】因为|z|1z11，故51|z|51，等号分别当z51i和z51i时|z|z2222取得．答案CD．16．从正2021边形的顶点中任取假设干个，顺次相连构成多边形，假设正多边形的个数为〔〕A．6552B．4536C．3528D．2021【答案】C【解析】从2021的约数中去掉1，2，其余的约数均可作为正多边形的边数．设从2021个顶点中选出k个构成正多边形，这样的正多边形有2021个，因此所求的正多边形的个数就是2021的所有约数之和减去2021 k和1008．考虑到202125327，因此所求正多边形的个数为(12481632)(139)(17)202110083528．答案C．17．椭圆x2y21(a b0)与直线l1:y1x,l2:y1x，过椭圆上一点P作l1,l2的平行线，a2b222a分别交l1,l2于M,N两点．假设|MN|为定值，那么〔〕bA．2B．3C．2D．5【答案】C【解析】设点P(x,y)，可得111111，成心M(x0y0,x0y0),N(x0y0,x0y0)00224242|MN|1x024y02为定值，所以a2416,a2，答案：C．4b21b4说明：〔1〕假设将两条直线的方程改为ya1M,N，使得|MN| kx，那么；〔2〕两条相交直线上各取一点b k为定值，那么线段MN中点Q的轨迹为圆或椭圆．18．关于x,y的不定方程x21652y的正整数解的组数为〔〕A．0B．1C．2D．3【答案】B专业.整理.WORD格式.资料.19．因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以假设干个实数相乘的时候，可以有不同的次序．例如，三个实数a,b,c相乘的时候，可以有(ab)c,(ba)c,c(ab),b(ca),等等不同的次序．记n个实数相乘时不同的次序有I n种，那么〔〕A．I22B．I312C．I496D．I5120【答案】B【解析】根据卡特兰数的定义，可得I n C n1A n n 1Cnn1n!n1．答案：AB．2n2(n1)!C2n1关于卡特兰数的相关知识见?卡特兰数——计数映射方法的伟大胜利?．20．甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军．4个人相互比赛的胜率如表所示：表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是，乙击败丁的概率是．那么甲刻冠军的概率是．【答案】【解析】根据概率的乘法公式，所示概率为0.3(0.5 0.3 0.5 0.8)．21．在正三棱锥P ABC中，ABC的边长为1．设点P到平面ABC的距离为x，异面直线AB,CP的距离为y．那么limy．x3【答案】2【解析】当x时，CP趋于与平面ABC垂直，所求极限为ABC中AB边上的高，为3．2专业.整理. WORD 格式.资料 .22．如图，正方体 ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，中心为O,BF1BC,A 1E 1A 1A ，那么四面体OEBF2 4的体积为 ．1【答案】96【解析】如图，V OEBF V OEBF1V GEBF1V EGBF11V EBCC 1B 1 1 ．2 22 16 962sin 2nx)dx23．(x )2n1(1．【答案】02)2n 1(1 sin 2nx)dxx2n1(1 sin 2nx)dx 0．【解析】根据题意，有 (x24．实数x,y 满足(x 2 y 2)3 4x 2y 2，那么x 2 y 2的最大值为．【答案】1【解析】根据题意，有(x 2y 2)34x 2y 2(x 2 y 2)2，于是x 2y 2 1，等号当x 2y 21 时取得，2因此所求最大值为 1．25．x,y,z 均为非负实数，满足(x 1)2 (t 1)2 (z 3)227 ，那么xy z 的最大值与最小值分别22 4为．【答案】22 32【解析】由柯西不等式可知，当且仅当(x,y,z)(1,1,0)时，xy z 取到最大值3．根据题意，有22专业.整理. WORD 格式.资料 .x 2 y 2 z 2 x2y3z 13 ，于是 13 (x yz)23(x yz)y,解得xy z223 ．于是4 42x y z 的最小值当(x,yz)(0,0,223)时取得，为22 3．2226．假设O 为ABC 内一点，满足S AOB :S BOC :S COA4:3:2 ，设AOABAC ，那么．【答案】23【解析】根据奔驰定理，有2 4 299 ．327．复数zcos2isin2，那么z 3z 2z 2 2．33z1 3【答案】2i2【解析】根据题意，有z3z 2z 221 z 2zcos5isin51 3i ．z3 32228．z 为非零复数，z ,40的实部与虚部均为不小于1的正数，那么在复平面中，z 所对应的向量OP 的10 z端点P 运动所形成的图形的面积为.【答案】2001003 3003x y1,R)，由于401,【解析】设zxyi(x,y 40z ，于是 10 1040y如图，弓形面积为z|z|2 40x1, 1,x 2y 2 x 2 y 21202(sin 6)100 100，四边形ABCD 的面积为21(10 3 10)101003100.2632专业.整理.WORD 格式.资料 .于是所示求面积为2(100100)(1003100)200 1003300.333，那么sin4xsin2xsinxsinx 29．假设tan4xcos4xcos2xcos2xcosx．3cos8xcos4x cosx【答案】3【解析】根据题意，有sin4x sin2xsinx sinxcos8xcos4xcos4xcos2x cos2xcosx cosx(tan8x tan4x) (tan4x tan2x) (tan2xtanx)tanxtan8x3．30．将16个数：4个1，4个2，4个3，4个4填入一个 4 4的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶数，共有种填法．【答案】44100031．设A 是集合{1,2,3, ,14}的子集，从A 中任取 3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，那么A中元素个数的最大值为 ．【答案】8【解析】一方面，设A {a 1,a 2, ,a k }，其中kN *,1 k 14．不妨假设a 1 a 2a k ．假设k 9，由题意，a 3 a 1 3,a 5 a 37，且a 5a 3 a 3 a 1，故a 5a 17．同理a 9a 5 7．又因为a 9 a 5 a 5 a 1，所以a 9a 1 15，矛盾！故k8．另一方面，取 A {1,2,4,5,10,11,13,14}，满足题意．综上所述， A 中元素个数的最大值为8．专业.整理。
2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟(八)数学(理)试题含答案
核 心 八 模2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学（理科）（八）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.若1是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则A.2,3b c ==B.2,3b c =-=C.2,1b c =-=-D.2,1b c ==-2.已知全集,U R =集合{}{}1|,|21,x M y y x R N x x R -==∈=≥∈，则()U M C N 等于A. []2,2-B. [)2,1-C. []1,4D.[)0,13.若1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则22cos 162πα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭A. 13 B. 13- C. 79 D.79-4.ABC ∆的外接圆圆心为O ，半径为2，OA AB AC ++为零向量，且OA AB =，则CA 在BC 方向上的投影为A. 3-B. C. 3D. 5.秦九韶是我国南北朝时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入,n x 的值分别为3,2，则输出的v 值为A. 9B. 18C. 20D. 356.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是A. (1012π++B. (1112π++C. (1112π++D.136π 7.已知函数()()2sin 2cos ,2,2f x x x x x x ππ=+∈-，则其导函数()f x '的图象大致是8.设函数()61,00x x f x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≥⎩，则当0x >时，表()f f x ⎡⎤⎣⎦达式的展开式中常数项为A. -20B. 20C. -15D. 159.已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的部分图象如图所示，下面结论正确的个数是 ①函数()f x 的最小正周期是2π②函数()f x 的图象可由函数()sin 2g x x =的图象向左平移3π个单位长度得到 ③函数()f x 的图象关于直线12x π=对称 ④函数()f x 在区间,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 A. 3 B. 2 C. 1 D. 010.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，,E H 分别是棱1111,A B D C 上的动点（点E 与不重合），且11//EH A D ，过EH 的动平面与棱11,BB CC 相交，交点分别为,F G ，设11122,2AB AA a B E B F a ==+=，在长方体1111ABCD A B C D -内随机选取一点，则该点取自几何体11A ABFE D DCGH -内的概率的最小值为，A. 1112B. 34C. 1316D. 7811.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两顶点为12,A A ，虚轴两端点为12,B B ，两焦点12,F F 为，若以12,A A 直径的圆内切于菱形1122F B F B ，则双曲线的离心率为A. 3B. 12C. 12D.32+ 12.已知点(),P x y 是平面区域()404y x y x m y ⎧≤⎪-≤⎨⎪≥-⎩内的动点，点()1,1,A O -为坐标原点，设()OP OA R λλ-∈的最小值为M ，若M ≤m 的取值范围是A. 11,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 11,,35⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C. 1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D.1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设随机变量()10,1X B ，()910P X a ≤<=，其中119a =⎰，则()11P X ≥= .14.如图，为了测量河对岸A,B两点间的距离，观察者找到了一个点D ，从D 点可以观察到点A,C,找到一个点E ，从E 可以观察到点B,C ，并测量得到一些数据：2,CD CE ==45,105,48.19,75,60D ACD ACB BCD E ∠=∠=∠=∠=∠=,则A,B 两点之间的距离为 .其中cos 48.19取近似值2.315.图中是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水面下降0.42米后，水面宽为 米.16.已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且()()221,10,10x x f x x ⎧+-<-⎪=⎨-≤≤⎪⎩，当函数()()1122y f x k x =----（其中0k >）的零点个数取得最大值时，实数k 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知数列{}n a ,n S 是其前n 项和满足，()32.n n a S n n N *=+∈. （1）求证：数列12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）记12n n T S S S =+++，求n T 的表达式.18.（本题满分12分） 如图，在等腰梯形ABCD 中，//,1,60AB CD AD DC CB ABC ===∠=四边形ACEF 为矩形，平面ACEF ⊥平面ABCD ,1CF =.（1）求证：EF BC ⊥平面ACEF ；（2）点M 在线段上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成的二面角的平面角()90θθ≤为，试求cos θ的取值范围.19.（本题满分12分）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量（单位：mm ）对工期的影响如下表：历年气象资料表明，该工程施工期间降水量小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9，求：（1）工期延误天数Y 的均值与方差；（2）在降水量至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率.20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y W a b a b+=>>的离心率为2，其左顶点A 在圆22:16O x y +=上. （1）求椭圆W 的方程；（2）若点P 是椭圆W 上不同于点A 的点，直线AP 与圆O 的另一个交点Q ，是否存在点P,使得3PQ AP =？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.21.（本题满分12分）已知函数()()()()2sin cos ,10x x f x e x x a g x a a e =++=-+（a R ∈且a 为常数）（1）若曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线过点()1,2，求实数a 的值；（2）判断函数()()()()()222111ln 110b e g x x x b xa a e x φ+=-++>-+在()0,+∞上的零点的个数，并说明理由.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟(八)数学(理)试题含答案
核 心 八 模2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学（理科）（八）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则A.2,3b c ==B.2,3b c =-=C.2,1b c =-=-D.2,1b c ==-2.已知全集,U R =集合{}{}1|,|21,x M y y x R N x x R -==∈=≥∈，则()U M C N 等于A. []2,2-B. [)2,1-C. []1,4D.[)0,13.若1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则22cos 162πα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭A. 13 B. 13- C. 79 D.79-4.ABC ∆的外接圆圆心为O ，半径为2，OA AB AC ++为零向量，且OA AB =，则CA 在BC 方向上的投影为A. 3-B. C. 3D. 5.秦九韶是我国南北朝时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入,n x 的值分别为3,2，则输出的v 值为A. 9B. 18C. 20D. 356.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是A. (1012π++B. (1112π++C. (1112π++D.136π 7.已知函数()()2sin 2cos ,2,2f x x x x x x ππ=+∈-，则其导函数()f x '的图象大致是8.设函数()61,00x x f x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≥⎩，则当0x >时，表()f f x ⎡⎤⎣⎦达式的展开式中常数项为A. -20B. 20C. -15D. 159.已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的部分图象如图所示，下面结论正确的个数是 ①函数()f x 的最小正周期是2π②函数()f x 的图象可由函数()sin 2g x x =的图象向左平移3π个单位长度得到 ③函数()f x 的图象关于直线12x π=对称 ④函数()f x 在区间,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 A. 3 B. 2 C. 1 D. 010.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，,E H 分别是棱1111,A B D C 上的动点（点E 与不重合），且11//EH A D ，过EH 的动平面与棱11,BB CC 相交，交点分别为,F G ，设11122,2AB AA a B E B F a ==+=，在长方体1111ABCD A B C D -内随机选取一点，则该点取自几何体11A ABFE D DCGH -内的概率的最小值为，A. 1112B. 34C. 1316D. 7811.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两顶点为12,A A ，虚轴两端点为12,B B ，两焦点12,F F 为，若以12,A A 直径的圆内切于菱形1122F B F B ，则双曲线的离心率为A. 3+B. 12C. 12D.32+ 12.已知点(),P x y 是平面区域()404y x y x m y ⎧≤⎪-≤⎨⎪≥-⎩内的动点，点()1,1,A O -为坐标原点，设()OP OA R λλ-∈的最小值为M ，若M ≤m 的取值范围是A. 11,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 11,,35⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C. 1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D.1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设随机变量()10,1X B ，()910P X a ≤<=，其中1419a =⎰，则()11P X ≥= .14.如图，为了测量河对岸A,B两点间的距离，观察者找到了一个点D ，从D 点可以观察到点A,C,找到一个点E ，从E 可以观察到点B,C ，并测量得到一些数据：2,CD CE ==45,105,48.19,75,60D ACD ACB BCD E ∠=∠=∠=∠=∠=,则A,B 两点之间的距离为 .其中cos 48.19取近似值2.315.图中是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水面下降0.42米后，水面宽为 米.16.已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且()()221,10,10x x f x x ⎧+-<-⎪=⎨-≤≤⎪⎩，当函数()()1122y f x k x =----（其中0k >）的零点个数取得最大值时，实数k 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知数列{}n a ,n S 是其前n 项和满足，()32.n n a S n n N *=+∈. （1）求证：数列12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）记12n n T S S S =+++，求n T 的表达式.18.（本题满分12分） 如图，在等腰梯形ABCD 中，//,1,60AB CD AD DC CB ABC ===∠=四边形ACEF 为矩形，平面ACEF ⊥平面ABCD ,1CF =.（1）求证：EF BC ⊥平面ACEF ；（2）点M 在线段上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成的二面角的平面角()90θθ≤为，试求cos θ的取值范围.19.（本题满分12分）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量（单位：mm ）对工期的影响如下表：历年气象资料表明，该工程施工期间降水量小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9，求：（1）工期延误天数Y 的均值与方差；（2）在降水量至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率.20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y W a b a b+=>>的离心率为2，其左顶点A 在圆22:16O x y +=上. （1）求椭圆W 的方程；（2）若点P 是椭圆W 上不同于点A 的点，直线AP 与圆O 的另一个交点Q ，是否存在点P,使得3PQ AP =？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.21.（本题满分12分）已知函数()()()()2sin cos ,10x x f x e x x a g x a a e =++=-+（a R ∈且a 为常数）（1）若曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线过点()1,2，求实数a 的值；（2）判断函数()()()()()222111ln 110b e g x x x b xa a e x φ+=-++>-+在()0,+∞上的零点的个数，并说明理由.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
北京大学2017年自主招生试题
北京大学2017年自主招生数学试卷选择题共20小题,在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填写在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分. 1.实数,a b 满足22(4)(1)5(21)a b ab ++=-，则1()b a a+的值为 () 1.5A () 2.5B () 3.5C ()D 前三个答案都不对解答：由柯西不等式()()()()()222221054126930ab a b ab ab ab ab -=++≥+⇒-+=-≤,所以13 3.5ab a b b a a ⎛⎫=⇒==⇒+= ⎪⎝⎭. 答案：C. 2.函数21212y x x x =--+-在区间[]1,2-上的最大值与最小值的差位于的区间是 5()32A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 7()32B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 7()42C ⎛⎫⎪⎝⎭， ()D 前三个答案都不对解答：2222213,10233,011221121,12122x x x x x x y x x x x x x x x x ⎧--+-≤<⎪⎪⎪--+≤<⎪=--+-=⎨⎪-++≤<⎪⎪+-≤≤⎪⎩,当14x =-时，max 4916y =；当x =时，min 12y =-;最大值与最小值的差为6516-,在732⎛⎫⎪⎝⎭，内.3.由21y x ≥-和35y x ≤-+所围成的平面区域的面积为()6A 33()5B 36()5C ()D 前三个答案都不对解答：画出平面区域,由21y x ≥-和35y x ≤-+所围成的平面区域面积为：6366=55⨯，答案C. 4. 3(1cos)(1cos)55ππ++的值为(A 1()14B +()C ()D 前三个答案都不对解答：3331cos1cos 1cos cos cos cos 555555ππππππ⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2221coscos2cos cos 1cos cos555555ππππππ=-+=+ 24sincoscossin1555551144sinsin 55ππππππ=+=+⋅=, 答案：B.5.在圆周上逆时针摆放了4个点,,,A B C D 已知1BA =，2BC =，3BD =，ABD DBC ∠=∠，则该圆的直径为()A()B()C ()D 前三个答案都不对解答：由ABD DBC ∠=∠，得AD DC =.在,ABD DBC ∆∆内，由余弦定理得:229194612AD CD AD CD +-+-=⇒==所以1cos 23ABD ABD π∠=⇒∠=,在ABD ∆内由正弦定理可得，2sin 3ADR ABD==∠, 答案：D. 6.已知三角形三条中线长度分别为9,12,15，则三角形的面积为()69A ()72B ()75C ()D 前三个答案都不对解答：在AIE ∆中，6,5AI IE ==，在AIE ∆中，8,5CI IE ==，AEI CEI π∠+∠=，由余弦定理可得222536256401010AE CE AE CE+-+-+=，其中AE CE =，得=5AE CE =，则10AC =，同理可得另外两条边长分别为所以三角形面积为72.答案B. 7.已知x 为实数，使得22,,x x 互不相同，且其中有一个数恰为另一个数的2倍，则这样的实数x 的个数为()3A ()4B ()5C ()D 前三个答案都不对解答：2221,1x x x =⇒==，不符合题意；222211x x x =⇒=⇒=-符合题意；24,16x x ==，符合题意；242,2x x x =⇒==-，舍去2x =；2120,2x x x x =⇒==，舍去0x =；220,2x x x x =⇒==，舍；综上，x 的值可以为4，-2，-1，0.5. 答案B.8.设整数,,a m n=(,,)a m n 的个数为()A 无穷个 ()4B ()2C ()D 前三个答案都不对解答：=2a m n -=+-由于,,a m n 都是整数，所以20mn =，则2a m n =+，且m n >所以整数组(,,)a m n 可以为()()3,5,4,3,5,4-，答案C. 9.设111123571111log log log log S ππππ=+++，则不超过S 且与S 最接近的整数为 ()5A - ()4B ()5C ()D 前三个答案都不对解答：()11112357111111111log log 5,4log log log log 2357210S ππππππ⎛⎫=+++=⋅⋅⋅=∈-- ⎪⎝⎭,答案A.10.已知复数z 满足2z z+是实数，则z i +的最小值等于()3A()2B ()1C ()D 前三个答案都不对解答： 由2z z +是实数可得22z z z z +=+，即22z z z z+=+，整理得2()10z z z z ⎛⎫--= ⎪⋅⎝⎭，所以z z =或z =若z z =，则z 为实数，当0z =时，z i +有最小值1；若z =z i +1; 综上可得z i +1. 答案D. 11.已知正方形ABCD 的边长为1，1234,,,P P P P 是正方形内部的4个点使得1234,,ABP BCP CDP DAP ∆∆∆∆和都是正三角形，则四边形1234PP P P 的面积等于()2A()B()C ()D 前三个答案都不对解答：四边形1234PP P P为边长为)12的正方形，故面积为2.答案：A.12.已知某个三角形的两条高的长度分别为10和20，则它的第三条高的长度取值区间为10()53A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 20()5,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 20(),203C ⎛⎫ ⎪⎝⎭()D 前三个答案都不对解答： 由面积相等，两条高之比为1:2，所对应的底边之比为2:1，设为2,x x ，则第三条边长的取值范围为(,3)x x ，由面积相等可知第三条高的长度取值区间为20,203⎛⎫⎪⎝⎭，答案C. 13.正方形ABCD 与点P 在同一平面内，已知该正方形的边长为1,且222PA PB PC +=，则PD 的最大值为()2A +(B()1C +()D 前三个答案都不对解答：以点A 为坐标原点，AB 为x 轴正方向建立平面直角坐标系，则()()()()0,0,1,0,1,1,0,1A B C D .设(),P x y ,由222PA PB PC +=得(),P x y 的轨迹方程为()2212x y ++=,所以PD的最大值为2答案A. 14.方程()()43log 23log 42x x x x +=-的实根个数为()0A ()1B ()3C ()D 前三个答案都不对解答：设()()43log 23log 42xxxxm +=-=234423x x mx x m⎧+=⎪⇒⎨-=⎪⎩两式相加得4343x x m m +=+，由函数34x x y =+单调递增，x m =；23413234124423x x x x xx x xx x x⎧+=⎪⎛⎫⎛⎫⇒+=⇒+=⎨ ⎪ ⎪-=⎝⎭⎝⎭⎪⎩，由介值定理易知其实根个数为1.答案A.15.使得2+x x 和222x x+都是整数的正实数x 的个数为 ()1A ()3B ()C 无穷多 ()D 前三个答案都不对解答：因为2+x x是整数，所以 22222222221111222224x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=++=+++++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是整数， 又222x x+和4是整数，所以22x是整数，所以221,21,x x x x ==⇒=±=;当x =2+x x不是整数，所以1x =±，正实数x 的值为1. 答案A.16.满足()()()4ff x f x =的实系数多项式()f x 的个数为()2A ()4B ()C 无穷多 ()D 前三个答案都不对解答：()()()40,1,f x f x f x x ===, 答案D. 17.有多少个不大于100的素数p 满足327p p +为平方数.()0A ()1B ()2C ()D 前三个答案都不对解答：设()322277p p p p n +=+=，则7p +是完全平方数，所以2,29p p ==,答案C. 18.函数()(1)(2)(3)f x x x x x =+++的最小值为()1A - () 1.5B - ()2C - ()D 前三个答案都不对解答：()()()22(1)(2)(3)332f x x x x x x xxx =+++=+++,设223993244t x x x ⎛⎫=+=+-≥- ⎪⎝⎭，则()()222211y t t t t t =+=+=+-，min 1y =-, 答案A.19.动圆与两圆221x y +=和22670x y x +-+=都外切.则动圆的圆心的轨迹是()A 双曲线 ()B 双曲线的一支 ()C 抛物线 ()D 前三个答案都不对解答：设动圆圆心为点P ，半径为r ，已知两圆圆心为()()120,0,3,0F F .由已知得122112||1,||||||1||3PF r PF r PF PF F F =+=⇒-=<=，所以动圆圆心的轨迹为双曲线的一支. 答案B. 20.在三角形ABC 中，44sin ,cos 513A B ==，则该三角形是 ()A 锐角三角形 ()B 钝角三角形 ()C 无法确定 ()D 前三个答案都不对解答：sin sin 132B A A B π=>⇒<<，又3cos 5A =,()cos cos sin sin cos cos 0C A B A B A B =-+=-=>,所以为锐角三角形, 答案A.本文档由华夏园教育提供。
XXX2017年自主招生考试数学试题 Word版含答案
XXX2017年自主招生考试数学试题 Word版含答案1.XXX2017年面向全省自主招生考试《科学素养》测试数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知$a=\frac{5+35-3}{5-35+3}$，$b=$，则二次根式$a^3b+ab^3+19$的值是（）A、6.B、7.C、8.D、92.有9张卡片，分别写有1～9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为（）begin{cases}4x\geq3(x+1)\\2x-<a\end{cases}$A、$\frac{3}{452}$B、$\frac{1}{993}$C、$\frac{1}{452}$ D、$\frac{1}{165}$3.已知一次函数$y=kx+b$的图像经过点（3,0），且与坐标轴围成的三角形的面积为6，满足条件的函数有（）A、2个B、3个C、4个D、5个4.若实数$a\neq b$，且a、b满足$a^2-8a+5=0$，$b^2-8b+5=.$则A、-20.B、2.C、2或20.D、2或205.对于每个非零自然数n，抛物线$y=x-\frac{b-1}{a-1}$的值为$\frac{2n+1}{n(n+1)}$，其中$x+$与x轴交于A$_n$、B$_n$以及A$_{2017}$、B$_{2017}$的值是（）表示这两点间的距离，则A、$\frac{2017}{2016}+\frac{2018}{2017}$B、$\frac{2016}{2017}+\frac{2018}{2017}$ C、$\frac{2016}{2017}+\frac{2017}{2016}$ D、$\frac{2017}{2016}+\frac{2017}{2016}$6.已知$a,b,c$是$\triangle ABC$的三边，则下列式子一定正确的是（）A、$a^2+b^2+c^2>ab+bc+ac$B、$\frac{a+bc}{a+b+1c+1}c$ D、$a^3+b^3>c^3$7.如图，从$\triangle ABC$各顶点作平行线$AD\parallel EB\parallel FC$，各与其对边或其延长线相交于D，E，F.若$\triangle ABC$的面积为1，则$\triangle DEF$的面积为（）A、3.B、3C、D、28.半径为2.5的圆$\odot O$中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知$A、$\frac{169}{25}$B、$\frac{32}{43}$C、$\frac{3}{4}$ D、$\frac{5}{6}$二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）9.若分式方程$\frac{x-a}{x+1}=a$无解，则$a$的值为_________满足$a<1$，则方程$\frac{x-a}{x+1}=a$的解为$x=\frac{a}{1-a}$，当$a\geq1$时，分母$x+1$始终大于分子$x-a$，方程无解。
2017年清华、北大自主招生数学模拟试卷(笔试试题附解析 )
2017年清华、北大自主招生数学模拟试卷（笔试试题附解析 ）一、填空题（共12小题，每题10分，计120分）． 1. 如图，在三棱锥中ABC D -中，已知AB =2，3-=⋅BD AC ．设AD =a ，BC =b ，CD =c ，则c 2ab +1的最小值为 ．2. 若四位数n abcd =的各位数码,,,a b c d 中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，则称n 为四位三角形数，则所有四位三角形数的个数为 ． 3. 已知函数b a 、满足21≤≤-a ，且1202≤-≤a b ，则ab b a w 8316322++= b a 34+-的取值范围是 ．4. 若存在满足下列三个条件的集合A 、B 、C ，则称偶数n 为“萌数”：⑴ 集合A 、B 、C为集合{}n M ，，，，⋅⋅⋅=321的3个非空子集，A 、B 、C 两两之间的交集为空集，且M C B A = ；⑵ 集合A 中所有数均为奇数，集合B 所有数均为偶数，所有的3的倍数都在集合C 中；⑶ 集合A 、B 、C 所有元素的和分别为321S S S 、、，且321S S S ==．对于以下4个说法：① 8是“萌数”；② 60是“萌数”；③ 68是“萌数”；④ 80是“萌数”；其中正确的是 ．（填所有正确的序号） 5. 若()n k m k =︒-∏=451212csc ，其中*∈N n m ,且2,≥n m ，则n m +的值是 ．13922=+y x 6. 如图，设斜率为()0 >k k 的直线l 与椭圆C ：交于A 、B 两点，OB OA ⊥．当A O B ∆面积取最大值时，直线l 的方程为 ．7. 若离散型随机变量Y X ,满足32≤≤X ，且1=XY ，则()()Y E X E 的取值范围为 ． 8. 已知0,≥b a ，1=+b a ，则229402213b a M +++=的最大值与最小值之和是 ．9. 已知z 是实部虚部均为正数的复数，则对于说法：① ()z z -2Re 被2整除；② ()z z -3Re 被3整除；③ ()z z -4Re 被4整除；④ ()z z -5Re 被5整除；正确的是 ．（填所有正确的序号）10. 在圆锥内部放有一个球，它与圆锥的侧面和底面都相切，则球的表面积与圆锥的表面积之比最大为 ．AB第1题DC第6题11. 六边形ABCDEF 内接于圆O ，且13+===CD BC AB ，1===FA EF DE ．则此六边形的面积为 ．12. 已知n x x x ，，，⋅⋅⋅21()4≥n 是满足121=+⋅⋅⋅++n x x x 的非负实数，则21432321x x x x x x x x x n +⋅⋅⋅++的最大值是 ． 二、解答题（共2小题，13题25分，14题35分，计60分）． 13. ⑴ 函数()()b x a x x x f +++--=1323()R b a ∈<，0．(Ⅰ) 令()()31++--=a b x f x h ，判断()x h 的奇偶性，并讨论()x h 的单调性． (Ⅱ) 若()()x f x g =，设()b a M ,为()x g 在[]02，-的最大值，求()b a M ,的最小值．⑵ 设Z ∈a ，已知定义在R 上的函数()a x x x x x f +--+=6332234在区间()21，内有一个零点0x ，()x g 为()x f 的导函数．(Ⅰ) 求()x g 的单调区间；(Ⅱ) 设[)(]2,,100x x m ∈，函数()()()()m f x m x g x h --=0，求证：()()00<x h m h ；(Ⅲ) 求证：存在大于0的常数A ，使得对任意的正整数p ，q ，且[)(]2,,100x x q p ∈，满足401Aqx q p ≥-．14. ⑴ 设数列{}n a 满足221=-+n n a a ，2≤n a ，⋅⋅⋅=，，，321n ． 证明：若1a 为有理数，则从某项后{}n a 为周期数列． ⑵ 数列{}n a 各项均为正数，且对任意*∈N n ，满足21n n n ca a a +=+（常数0>c ）．(Ⅰ) 求证：对任意正数M ，存在*∈N N ，当N n >时，有M a n >；(Ⅱ) 设，n S 为数列{}n b 的前n 项和，nn ca b +=11求证：对任意0>d ，存在*∈N n ，当N n >时，有d ca S n <-<110．参考答案一、填空题（共12小题，每题10分，计120分）． 1 考点：立体几何（三棱锥） {难度：★★☆☆☆}答案：22 考点：计数，排列 {难度：★★★☆☆}答案：16813 考点：代数式求值 {难度：★★☆☆☆}答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-574121， 4 考点：集合、数论、分类讨论 {难度：★★★☆☆}（ 2017年中学生学术能力测试 ）答案：①③④5 考点：三角函数（三倍角公式） {难度：★★★☆☆}答案：916 考点：解析几何（直线与椭圆） {难度：★★☆☆☆}答案：333+=x y 或333-=x y 7 考点：随机变量 {难度：★★★★☆}答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡24251，8 考点：导数，放缩 {难度：★★★☆☆}答案：11510433++9 考点：复数，费马小定理 {难度：★★★☆☆}（ 2017年中学生学术能力测试 ）答案：②④10 考点：立体几何（球与圆锥） {难度：★★☆☆☆}（ 2017年全国高中数学联赛 天津预赛 ）答案：2111 考点：平面几何（特征分析思想，转换法） {难度：★★★☆☆}答案：()3249+图1 → 图2（将小三角形重新组合）12 考点：基本不等式 {难度：★★★★☆}（ 2017年IMO ，中国国家队选拔考试 ）答案：161二、解答题（共2小题，13题25分，14题35分，计60分）．13考点：函数、导数讨论的应用{难度：★★★☆☆} (25分)①② 2017年天津高考数学（理）【解析】（Ⅰ）由432()2336f x x x x x a =+--+，可得32()()8966g x f x x x x '==+--， 进而可得2()24186g x x x '=+-.令()0g x '=，解得1x =-，或14x =. 当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表：所以，()g x 的单调递增区间是(,1)-∞-，(,)4+∞，单调递减区间是(1,)4-. （Ⅱ）证明：由0()()()()h x g x m x f m =--，得0()()()()h m g m m x f m =--，000()()()()h x g x m x f m =--.（III ）证明：对于任意的正整数 p ，q ，且00[1)(,],2px x q∈， 令pm q=，函数0()()()()h g m x x x m f =--. 由（II ）知，当0[1),m x ∈时，()h x 在区间0(,)m x 内有零点； 当0(,2]m x ∈时，()h x 在区间0(),x m 内有零点.所以041|2|()p x q g q -≥.所以，只要取()2A g =，就有041||p x q Aq-≥.13考点：数列，数学归纳法{难度：★★★★☆} (35分)（2017年全国高中数学联赛浙江预赛）（2013年清华大学自主招生）。
2017年北京大学自主招生数学学科试题(含解析)
数学试题1．已知实数a ，b 满足(a 2+4)(b 2+1)＝5(2ab -1)，求1b a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
A ．1.5B ．2.5C ．3.5D ．以上答案均不正确2．在三角形ABC 中，已知4sin 5A =，4cos 13B =，则△ABC 为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．无法确定D ．以上答案均不正确3．已知2x x +和222x x+均为整数，则正实数x 的可能取值有（ ）个 A ．1 B ．2 C ．4 D ．以上答案均不正确4．复数z 满足2z z+为实数，求|z +i |的最小值（ ） 5的实数(a ，m ，n )有（ ）组6．圆上四点ABCD 逆时针排列，已知AB ＝1，BC ＝2，BD ＝3，∠DBC ＝∠DBA ，求圆的直径（ ）A． B． C． D ．以上答案均不正确7．已知p 为100以内的质数，且满足p 3+7p 2为完全平方数，求p 的个数（ ） 8．函数f (x )＝x (x +1)(x +2)(x +3)的最小值为（ ） A ．-1.5 B ．-1 C ．-2 D ．以上答案均不正确9．已知三角形的两条高为10和20，求第三条高的取值范围（ ） 10．已知三角形的三条中线为9，12，15，求三角形的面积（ ） 11．已知111123571111log πlog πlog πlog πS =+++，求不大于S 的最大整数（ ） 12．求方程log 4(2x +3x )＝log 3(4x -2x )整数解的个数（ ）13．求π31cos 1cos π55⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（ ）14．设ABCD 是边长为1的正方形，正方形所在平面上的点P 满足|P A |2+|PB |2＝|PC |2，求|PD |max （ ）数学 答案1、【解答】C ．对(a 2+4)(b 2+1)＝5(2ab -1) 直接展开，有a 2b 2+a 2+4b 2+4＝10ab -5。
(最新)2017年全国高校自主招生数学模拟试卷
2017年全国高校自主招生数学试卷一．选择题(每小题5分，共30分)1．若M={(x ，y )| |tan πy |+sin 2πx=0}，N={(x ，y )|x 2+y 2≤2}，则M ∩N 的元素个数是（ ） (A )4 (B )5 (C )8 (D )92．已知f (x )=a sin x +b 3x +4(a ，b 为实数)，且f (lglog 310)=5，则f (lglg3)的值是（ ） (A )-5 (B )-3 (C )3 (D )随a ，b 取不同值而取不同值3．集合A ，B 的并集A ∪B={a 1，a 2，a 3}，当A ≠B 时，(A ，B )与(B ，A )视为不同的对，则这样的(A ，B )对的个数是（ ）（A ）8 （B ）9 （C ）26 （D ）274．若直线x =π4被曲线C :(x -arcsin a )(x -arccos a )+(y -arcsin a )(y +arccos a )=0所截的弦长为d ，当a 变化时d 的最小值是( )(A ) π4 (B ) π3 (C ) π2(D )π5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若c -a 等于AC 边上的高h ，则sinC －A 2+cos C +A 2的值是( ) (A )1 (B ) 12 (C ) 13(D )-16．设m ，n 为非零实数，i 为虚数单位，z ∈C ，则方程|z +ni |+|z -mi |=n 与|z +ni |-|z -mi |=-m 在同一复平面内的图形(F 1，F 2为焦点)是( )二、填空题（每小题5分，共30分）1．二次方程(1-i )x 2+(λ+i )x +(1+i λ)=0(i 为虚数单位，λ∈R )有两个虚根的充分必要条件是λ的取值范围为________．2．实数x ，y 满足4x 2-5xy +4y 2=5，设 S=x 2+y 2，则1S max +1S min =_______．3．若z ∈C ，arg(z 2-4)=5π6，arg(z 2+4)= π3，则z 的值是________.(A)(B)(C)(D)4．整数⎣⎡⎦⎤10931031+3的末两位数是_______.5．设任意实数x 0>x 1>x 2>x 3>0，要使log x 0x 11993+log x 1x 21993+log x 2x 31993≥k ·log x 0x 31993恒成立，则k 的最大值是_______.6．三位数(100，101， ，999)共900个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数，有的卡片所印的，倒过来看仍为三位数，如198倒过来看是861；有的卡片则531倒过来看是 ，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_____张卡片． 三、（本题满分20分）三棱锥S －ABC 中，侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，M 为三角形ABC 的重心，D 为AB 的中点，作与SC 平行的直线DP ．证明：(1)DP 与SM 相交；(2)设DP 与SM 的交点为D '，则D '为三棱锥S －ABC 的外接球球心．四、（本题满分20分）设0<a <b ，过两定点A (a ，0)和B (b ，0)分别引直线l 和m ，使与抛物线y 2=x 有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这种直线l 与m 的交点P 的轨迹．五、（本题满分20分）设正数列a 0，a 1，a 2，…，a n ，…满足a n a n －2 －a n －1a n －2 =2a n －1，(n ≥2) 且a 0=a 1=1，求{a n }的通项公式．2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十五参考答案一、选择题(每小题5分，共30分)1．若M={(x ，y )| |tan πy |+sin 2πx =0}，N={(x ，y )|x 2+y 2≤2}，则M ∩N 的元素个数是（ ） (A )4 (B )5 (C )8 (D )9解：tan πy=0，y=k (k ∈Z )，sin 2πx =0，x=m (m ∈Z )，即圆x 2+y 2=2及圆内的整点数．共9个．选D ．2．已知f (x )=a sin x +b 3x +4(a ，b 为实数)，且f (lglog 310)=5，则f (lglg3)的值是（ ） (A )-5 (B )-3 (C )3 (D )随a ，b 取不同值而取不同值解：设lglog 310=m ，则lglg3=－lglog 310=－m ，则f (m )=a sin m +b 3m +4=5，即a sin m +b 3m =1．∴ f (－m )=－(a sin m +b 3m )+4=－1+4=3．选C ．3．集合A ，B 的并集A ∪B={a 1，a 2，a 3}，当A ≠B 时，(A ，B )与(B ，A )视为不同的对，则这样的(A ，B )对的个数是（ ）（A ）8 （B ）9 （C ）26 （D ）27解：a 1∈A 或∉A ，有2种可能，同样a 1∈B 或∉B ，有2种可能，但a 1∉A 与a 1∉B 不能同时成立，故有22－1种安排方式，同样a 2、a 3也各有22－1种安排方式，故共有(22－1)3种安排方式．选D ．4．若直线x =π4被曲线C :(x -arcsin a )(x -arccos a )+(y -arcsin a )(y +arccos a )=0所截的弦长为d ，当a 变化时d 的最小值是( )(A ) π4 (B ) π3 (C ) π2(D )π解：曲线C 表示以(arcsin a ，arcsin a )，(arccos a ，－arccos a )为直径端点的圆．即以(α，α)及(π2－α，－π2+α)(α∈[－π2，π2])为直径端点的圆．而x=π4与圆交于圆的直径．故d=(2α－π2)2+(π2)2≥π2．故选C ．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若c -a 等于AC 边上的高h ，则sinC －A 2+cos C +A2的值是( ) (A )1 (B ) 12 (C ) 13(D )-1解：2R (sin C －sin A )=c sin A=2R sin C sin A ，⇒sin C －sin A=sin C sin A ，⇒2cos C +A 2sin C －A 2=－12[cos(C +A )－cos(C －A )]= 12[1－2sin 2C －A 2－2cos 2C +A2+1]．⇒(sinC －A 2+cos C +A 2)2=1，但sin C －A 2+cos C +A 2>0，故选A ．226．设m ，n 为非零实数，i 为虚数单位，z ∈C ，则方程|z +ni |+|z -mi |=n 与|z +ni |-|z -mi |=-m 在同一复平面内的图形(F 1，F 2为焦点)是( )解：方程①为椭圆，②为双曲线的一支．二者的焦点均为(－ni ，mi )，由①n >0，故否定A ，由于n 为椭圆的长轴，而C 中两个焦点与原点距离(分别表示|n |、|m |)均小于椭圆长轴，故否定C ． 由B 与D 知，椭圆的两个个焦点都在y 轴负半轴上，由n 为长轴，知|OF 1|=n ，于是m <0，|OF 2|=－m ．曲线上一点到－ni 距离大，否定D ，故选B ． 二、填空题（每小题5分，共30分）1．二次方程(1-i )x 2+(λ+i )x +(1+i λ)=0(i 为虚数单位，λ∈R )有两个虚根的充分必要条件是λ的取值范围为________．解：即此方程没有实根的条件．当λ∈R 时，此方程有两个复数根，若其有实根，则 x 2+λx +1=0，且x 2－x －λ=0．相减得(λ+1)(x +1)=0．当λ=－1时，此二方程相同，且有两个虚根．故λ=－1在取值范围内．当λ≠－1时，x=－1，代入得λ=2．即λ=2时，原方程有实根x=－1．故所求范围是λ≠2． 2．实数x ，y 满足4x 2-5xy +4y 2=5，设 S=x 2+y 2，则1S max +1S min =_______．解：令x=r cos θ，y=r sin θ，则S=r 2得r 2(4－5sin θcos θ)=5．S=54－52sin2θ．∴1S max +1S min =4+525+4－525=85． 3．若z ∈C ，arg(z 2-4)=5π6，arg(z 2+4)= π3，则z 的值是________. 解：如图，可知z 2表示复数4(cos120°+i sin120°)． ∴ z=±2(cos60°+i sin60°)=±(1+3i )． 4．整数⎣⎡⎦⎤10931031+3的末两位数是_______.解：令x=1031，则得x 3x +3=x 3+27－27x +3=x 2－3x +9－27x +3．由于0<27x +3<1，故所求末两位数字为09－1=08．(A)(B)(C)(D)5．设任意实数x 0>x 1>x 2>x 3>0，要使log x 0x 11993+log x 1x 21993+log x 2x 31993≥k ·log x 0x 31993恒成立，则k 的最大值是_______.解：显然x 0x 3>1，从而log x 0x 31993>0．即1lg x 0－lg x 1+1lg x 1－lg x 2+1lg x 2－lg x 3≥klg x 0－lg x 3．就是[(lg x 0－lg x 1)+(lg x 1－lg x 2)+(lg x 2－lg x 3)](1lg x 0－lg x 1+1lg x 1－lg x 2+1lg x 2－lg x 3)≥k ．其中lg x 0－lg x 1>0，lg x 1－lg x 2>0，lg x 2－lg x 3>0，由Cauchy 不等式，知k ≤9．即k 的最大值为9．6．三位数(100，101， ，999)共900个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数，有的卡片所印的，倒过来看仍为三位数，如198倒过来看是861；有的卡片则不然，如531倒过来看是 ，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_____解：首位与末位各可选择1，6，8，9，有4种选择，十位还可选0，有5种选择，共有4×5×4=80种选择．但两端为1，8，中间为0，1，8时，或两端为9、6，中间为0，1，8时，倒后不变；共有2×3+2×3=12个，故共有(80－12)÷2=34个． 三、（本题满分20分）三棱锥S -ABC 中，侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，M 为三角形ABC 的重心，D 为AB 的中点，作与SC 平行的直线DP ．证明：(1)DP 与SM 相交；(2)设DP 与SM 的交点为D '，则D '为三棱锥S —ABC 的外接球球心．⑴ 证明：∵ DP ∥SC ，故DP 、CS 共面．∴ DC ⊆面DPC ，∵ M ∈DC ，⇒M ∈面DPC ，SM ⊆面DPC ．∵ 在面DPC 内SM 与SC 相交，故直线SM 与DP 相交．⑵ ∵ SA 、SB 、SC 两两互相垂直，∴ SC ⊥面SAB ，SC ⊥SD ． ∵ DP ∥SC ，∴ DP ⊥SD ．△DD 'M ∽△CSM ，∵ M 为△ABC 的重心，∴ DM ∶MC=1∶2．∴ DD '∶SC=1∶2． 取SC 中点Q ，连D 'Q ．则SQ=DD '，⇒平面四边形DD 'QS 是矩形． ∴ D 'Q ⊥SC ，由三线合一定理，知D 'C=PS ．同理，D 'A= D 'B= D 'B= D 'S ．即以D '为球心D 'S 为半径作球D '．则A 、B 、C 均在此球上．即D '为三棱锥S —ABC 的外接球球心．四、（本题满分20分）设0<a <b ，过两定点A (a ，0)和B (b ，0)分别引直线l 和m ，使与抛物线y 2=x 有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这种直线l 与m 的交点P 的轨迹．解：设l ：y=k 1(x －a )，m ：y=k 2(x －b )．于是l 、m 可写为(k 1x －y －k 1a )(k 2x －y －k 2b )=0．∴ 交点满足⎩⎨⎧y 2=x ， (k 1x －y －k 1a )(k 2x －y －k 2b )=0．若四个交点共圆，则此圆可写为(k 1x －y －k 1a )(k 2x －y －k 2b )+λ(y 2－x )=0． 此方程中xy 项必为0，故得k 1=－k 2，设k 1=－k 2=k ≠0． 于是l 、m 方程分别为y=k (x －a )与y=－k (x －b )． 消去k ，得2x －(a +b )=0，(y ≠0)即为所求轨迹方程．D‘Q M SA DCBP五、（本题满分20分）设正数列a 0、a 1、a 2、…、a n 、…满足a n a n －2 －a n －1a n －2 =2a n －1，(n ≥2) 且a 0=a 1=1，求{a n }的通项公式． 解：变形，同除以a n －1a n －2 得：a na n －1=2a n －1a n －2+1， 令a na n －1+1=b n ，则得b n =2b n －1． 即{b n }是以b 1=11+1=2为首项，2为公比的等比数列． ∴ b n =2n ． ∴a na n －1=(2n －1)2．故 ∴ ⎩⎨⎧a 0=1， a n =(2n －1)2(2n －1－1)2…(21－1)2．(n ≥1)。
浙江省2017自主招生数学模拟试卷(一)及答案
浙浙江省2017自主招生数学模拟试卷(一)姓名：__________班级：__________考号：__________一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1.一粒芝麻约有0.000002千克，0.000002用科学记数学法表示为（）千克．A．2×10﹣4B．0.2×10﹣5C．2×10﹣7D．2×10﹣62.随着我国经济快速发展，轿车进入百姓家庭，小明同学在街头观察出下列四种汽车标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．B．C． D．3.下列计算正确的是（）A．（a4）3=a7B．3﹣2=﹣32C．（2ab）3=6a3b3D．﹣a5•a5=﹣a104.若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx﹣k的大致图象是（）A． B．C．D．5.如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数表达式是（）6.下列命题中，真命题的个数是（）①同位角相等; ②经过一点有且只有一条直线与这条直线平行;③长度相等的弧是等弧; ④顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形．A．1个B．2个C．3个D．4个7.在今年的中招体育考试中，我校甲、乙、丙、丁四个班级的平均分完全一样，方差分别为：S甲2=8.5，S乙2=21.7，S丙2=15，S丁2=17.2，则四个班体考成绩最稳定的是（）A．甲班B．乙班C．丙班D．丁班8.如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）A．B．C．4 D．59.某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（）A．甲种方案所用铁丝最长B．乙种方案所用铁丝最长C．丙种方案所用铁丝最长D．三种方案所用铁丝一样长10.梅凯种子公司以一定价格销售“黄金1号”玉米种子,如果一次购买10千克以上(不含l0千克)的种子，超过l0千克的那部分种子的价格将打折，并依此得到付款金额y(单位：元)与一次购买种子数量x（单位：千克)之间的函数关系如图所示．下列四种说法：①一次购买种子数量不超过l0千克时，销售价格为5元/千克；②一次购买30千克种子时，付款金额为100元；③一次购买10千克以上种子时，超过l0千克的那部分种子的价格打五折：其中正确的个数是( )．A．1个B．2个C．3个D．4个11.在密码学中，直接可以看到内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码．有一种密码，将英文的26个字母a、b、c，…，z依次对应1、2、3，…，26这26个自然数（见表格），当明码对应的序号x为奇数时，密码对应的序号；当明码对应的序号x为偶数时，密码对应的序号．按上述规定，将明码“bird”译成密码是（）A．bird B．nove C．sdri D．nevo12.已知函数y=，则下列函数图象正确的是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13.﹣1的相反数是__________，倒数是__________．14.若x＜2，化简+|3﹣x|的正确结果是．15.某学校为了解本校学生课外阅读的情况，从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成统计表．已知该校全体学生人数为1200人，由此可以估计每周课外阅读时间在1～2（不含1）小时的学生有 人．16.已知在平面直角坐标系中，点A （﹣3，﹣1）、B （﹣2，﹣4）、C （﹣6，﹣5），以原点为位似中心将△ABC 缩小，位似比为1：2，则点B 的对应点的坐标为 ． 17.如图，正方形ABCD 的边长为1，分别以A ．D 为圆心，1为半径画弧BD 、AC ，则图中阴影部分的面积__________________18.如图，在▱ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的点F 处．若△FDE 的周长为5，△FCB 的周长为17，则FC 的长为__________．三 、解答题（本大题共8小题，共78分） 19.计算：60sin 32)2(201593⨯+-++20.先化简22522()443x x x x x x +++⨯+++，然后选择一个你喜欢的数代入求值.21.某人的钱包内有10元钱、20元钱和50元钱的纸币各1张，从中随机取出2张纸币．（1）求取出纸币的总额是30元的概率；（2）求取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率．22.小梅家的阳台上放置了一个晒衣架如图1，图2是晒衣架的侧面示意图，A，B两点立于地面，将晒衣架稳固张开，测得张角∠AOB=62°，立杆OA=OB=140cm，小梅的连衣裙穿在衣架后的总长度为122cm，问将这件连衣裙垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由（参考数据：sin59°≈0.86，cos59°≈0.52，tan59°≈1.66）23.如图正方形ABCD的边长为4，E、F分别为DC、BC中点．（1）求证：△ADE≌△ABF．（2）求△AEF的面积．24.观察下表：我们把某格中字母和所得到的多项式称为特征多项式，例如第1格的“特征多项式”为4x＋y.回答下列问题：(1)第3格的“特征多项式”为________，第4格的“特征多项式”为__________，第n格的“特征多项式”为________________；(2)若第1格的“特征多项式”的值为－10，第2格的“特征多项式”的值为－16.①求x，y的值；②在此条件下，第n个特征多项式是否有最小值？若有，求出最小值和相应的n值．若没有，请说明理由．25.如图所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且∠AGE=∠DA B．（1）求线段CD的长；（2）如果△AEC是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；（3）如果点F在边CD上（不与点C、D重合），设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．26.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（－3，0）、B(1,0)、C(－2，1)，交y轴于点M.(1)求抛物线的表达式；(2)D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；(3)抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A．N为顶点的三角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.答案解析一、选择题1．分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解：0.000 002=2×10﹣6；故选：D．2．分析:根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形；B、是轴对称图形，不是中心对称图形；C、是轴对称图形，也是中心对称图形；D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故选C．3. 分析：根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘可得（a4）3=a12；根据负整数指数幂：a﹣p=（a≠0，p为正整数）可得3﹣2=；根据积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘可得（2ab）3=8a3b3，根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加可得﹣a5•a5=﹣a10．解答：解：A．（a4）3=a12，故原题计算错误；B、3﹣2=，故原题计算错误；C、（2ab）3=8a3b3，故原题计算错误；D、﹣a5•a5=﹣a10，故原题计算正确；故选：D．4. 分析:首先根据一元二次方程有两个不相等的实数根确定k的取值范围，然后根据一次函数的性质确定其图象的位置．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k+1=0有两个不相等的实数根，∴（﹣2）2﹣4（﹣k+1）＞0，即k＞0，∴一次函数y=kx﹣k的图象位于一、三、四象限，故选B．5. 分析:设P点坐标为（x，y），由坐标的意义可知PC=x，PD=y，根据题意可得到x、y之间的关系式，可得出答案．解：设P点坐标为（x，y），如图，过P点分别作PD⊥x轴，PC⊥y轴，垂足分别为D、C，∵P点在第一象限，∴PD=y，PC=x，∵矩形PDOC的周长为10，∴2（x+y）=10，∴x+y=5，即y=﹣x+5，故选C．6. 分析:根据平行线的性质对①进行判断；根据平行公理对②进行判断；根据等弧的定义对③进行判断；根据中点四边的判定方法可判断顺次连接菱形各边中点得到的四边形为平行四边形，加上菱形的对角线垂直可判断中点四边形为矩形．解：两直线平行，同位角相等，所以①错误；经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，所以②错误；在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，所以③选项错误；顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形，所以④正确．故选A．7. 分析:直接根据方差的意义求解．解：∵S＞S＞S＞S，∴四个班体考成绩最稳定的是甲班．故选A．8. 分析：设BN=x，则由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△BDN中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD=3，在Rt△BDN中，x2+32=（9﹣x）2，解得x=4．故线段BN的长为4．故选：C．9. 分析：分别利用平移的性质得出各图形中所用铁丝的长度，进而得出答案．解：由图形可得出：甲所用铁丝的长度为：2a+2b，乙所用铁丝的长度为：2a+2b，丙所用铁丝的长度为：2a+2b，故三种方案所用铁丝一样长．故选：D．10. 分析: ①由图可知，购买10千克种子需要50元，由此求出一次购买种子数量不超过10千克时的销售价格；②由图可知，超过10千克以后，超过的那部分种子的单价降低，而由购买50千克比购买10千克种子多付100元，求出超过10千克以后，超过的那部分种子的单价，再计算出一次购买30千克种子时的付款金额；③根据一次购买10千克以上种子时，超过10千克的那部分种子的价格为2.5元/千克，而2.5÷5=0.5，所以可以求出打的折数；④先求出一次购买40千克种子的付款金额为125元，再求出分两次购买且每次购买20千克种子的付款金额为150元，然后用150减去125，即可求出一次购买40千克种子比分两次购买且每次购买20千克种子少花的钱数．解：①由图可知，一次购买种子数量不超过10千克时，销售价格为：50÷10=5元/千克，正确；②由图可知，超过10千克的那部分种子的价格为：（150-50）÷（50-10）=2.5元/千克，所以，一次购买30千克种子时，付款金额为：50+2.5×（30-10）=100元，正确；③由于一次购买10千克以上种子时，超过10千克的那部分种子的价格为2.5元/千克，而2.5÷5=0.5，所以打五折，正确；④由于一次购买40千克种子需要：50+2.5×（40-10）=125元，分两次购买且每次购买20千克种子需要：2×[50+2.5×（20-10）]=150元，而150-125=25元，所以一次购买40千克种子比分两次购买且每次购买20千克种子少花25元钱，正确．故选D．11. 分析:根据明码与密码的对应关系，分别求出bird四个字母所对应的密码字母，即可得解．解：b对应2，y=+13=14，对应的密码是n，i对应9，y==5，对应的密码是e，r对应18，y=+13=22，对应的密码是v，d对应4，y=+13=15，对应的密码是o，所以，明码“bird”译成密码是nevo．故选D．12. 分析：y=x2+1在x≥﹣1时的性质和y=在x＜﹣1时的性质，选出正确选项即可．解：y=x2+1，开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，1），当x≥﹣1时，B、C、D正确；y=，图象在第一、三象限，当x＜﹣1时，C正确．故选：C．二、填空题13. 分析：根据相反数与倒数的概念解答即可．解：∵﹣1的相反数是1，∵﹣1=﹣，∴﹣1倒数是﹣．故答案为：1，﹣．14. 分析:先根据x的取值范围，判断出x﹣2和3﹣x的符号，然后再将原式进行化简．解：∵x＜2，∴x﹣2＜0，3﹣x＞0；∴+|3﹣x|=﹣（x﹣2）+（3﹣x）=﹣x+2+3﹣x=5﹣2x．15.分析：先求出每周课外阅读时间在1～2（不含1）小时的学生所占的百分比，再乘以全校的人数，即可得出答案．解答：解：根据题意得：1200×=240（人），答：估计每周课外阅读时间在1～2（不含1）小时的学生有240人；故答案为：240．16. 分析:根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k解答．解：∵点B的坐标为（﹣2，﹣4），以原点为位似中心将△ABC缩小，位似比为1：2，∴点B的对应点的坐标为（1，2）或（﹣1，﹣2），故答案为：（1，2）或（﹣1，﹣2）．17. 分析:过点F作FE⊥AD于点E，则AE=AD=AF，故∠AFE=∠BAF=30°，再根据勾股定理求出EF的长，由S弓形AF=S扇形ADF﹣S△ADF可得出其面积，再根据S阴影=2（S扇形BAF﹣S弓形AF）即可得出结论．解：如图所示，过点F作FE⊥AD于点E，∵正方形ABCD的边长为1，∴AE=AD=AF=1，∴∠AFE=∠BAF=30°，∴EF=．∴S弓形AF=S扇形ADF﹣S△ADF=﹣×1×=﹣，∴S阴影=2（S扇形BAF﹣S弓形AF）=2（﹣+）=2（﹣+）=﹣．故答案为：﹣．18. 分析:根据翻折变换的性质、平行四边形的性质证明AB +BC =11，此为解题的关键性结论；运用△FCB 的周长为17，求出FC 的长，即可解决问题． 解：如图，∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD =BC ，AB =DC ； 由题意得：AE =FE ，AB =BF ；∵△FDE 的周长为5，△FCB 的周长为17， ∴DE +DF +EF =5，CF +BC +BF =17， ∴（DE +EA ）+（DF +CF ）+BC +AB =22， 即2（AB +BC ）=22，∴AB +BC =11，即BF +BC =11； ∴FC =17﹣11=6， 故答案为6．三 、解答题19. 分析：根据0指数幂、二次根式的化简、特殊角的三角函数值、负指数幂的定义解答 解：原式=3+1﹣8+2×=﹣1． 20.解：原式2522[]2(3)(2)x x x x x x ++=+⨯+++225222(3)(3)(2)x x x x x x x x x +++=⨯+⨯++++2(2)5(3)(2)(3)(2)x x x x x x x x ++=+++++ 3(3)(3)(2)x x x x +=++3(2)x x =+ 当1x =时，原式311(12)==⨯+(x 不能取0，，21.解：某人从钱包内随机取出2张纸币，可能出现的结果有3种，即（10，20）、（10、50）、（20，50），并且它们出现的可能性相等。
2017年广东自主招生数学模拟试题五(含答案)
考单招上高职单招网---- 根据历年单招考试大纲出题2017年广东自主招生数学模拟试题四（含答案）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面内，复数对应的点与原点的距离是A. l B ． C ．2 D ．22．辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，时速在的汽车大约有A.辆B.辆C.辆D.80辆3．若n S 表示数列{n a }的前n 项的和，2n S n =，则=++765a a aA. 150B. 48C. 40D. 33 4．如图几何体的主（正）视图和左（侧）视图都正确的是5．若椭圆2214x y m +=的离心率为32，则m = A.1 B.16 C.1或16 D.2836．有下列四种变换方式：i -122200[50,60)3040600.040.030.020.01频率组距时速8070605040考单招上高职单招网---- 根据历年单招考试大纲出题①向左平移4π,再将横坐标变为原来的21; ②横坐标变为原来的21,再向左平移8π; ③横坐标变为原来的21,再向左平移4π; ④向左平移8π,再将横坐标变为原来的21; 其中能将正弦曲线x y sin =的图像变为)42sin(π+=x y 的图像的是A.①③B.①②C.②④D.①②④ 7．在对两个变量x,y 进行线性回归分析时，有下列步骤： ①对所求出的回归直线方程作出解释； ②收集数据;,,2,1),,(n i y x i i =③求线性回归方程； ④求相关系数； ⑤根据所搜集的数据绘制散点图．若根据可行性要求能够作出变量x,y 具有线性相关结论，则下列操作顺序中正确的是A ．①②⑤③④B ．③②④⑤①C ．②④③①⑤D ．②⑤④③①8．如图，一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为045、腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积为 A ． 21+B ． 221+C ．222+D ．22+9.f （x ）的导函数的图像如左图所示，那么函数f （x ）的图像最有可能的是右图中的10．把一根长度为5的铁丝截成任意长的3段，则能构成三角形的概率为)('x f O'x'y'考单招上高职单招网---- 根据历年单招考试大纲出题A.12 B.34 C.45 D.14二、填空题: 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分， 满分20分．（一）必做题（11～13题） 11. 函数22()log (1)f x x =-的定义域为.12．右图是一程序框图，则其输出结果为．13. 某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是cm 3。
华中师大一附中2017年自主招生考试数学试题(word版附答案)
华中师大一附中2017年高中招生考试数学试题考试时间：80分钟卷面满分：150分说明：所有答案一律书写在答题卡上，写在试卷上作答无效．一、选择题(本大题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．)1．实数a，b，c在数轴上对应的点如右图所示，化简代数式√a2−2a＋1＋∣b−c∣－√a2−2ab＋b2的结果为( )A．2b－c－1 B．－1 C．2a－c－1 D．b－c＋12．已知点A，B分别是双曲线y=4x和直线y=－x上任意一点，则AB的最小值为( ) A．2 B．4√2C．4 D．2√23．如图，反比例函数y=kx(k为非零常数)的图象经过二次函数y=ax2＋bx(a，b为常数，且a≠0)的图象的顶点(－12，m) (m>0)则( )A．a=b＋2k B．a=b－2kC．k＜b＜0 D．a＜k＜04．若实数a，b满足a2＋b2=4，则√a(b−4)3＋√ab−3a+2b−6=( )A．－2 B．0 C．2 D．45．已知y=f(x)满足：(1)f(1)=1(f(1)表示x=1时对应的y的值，下同) ；(2)当0<x<1时f(x)>0；(3)对任意实数x，y有f(x＋y)－f(x－y)=2 f(1－x) f(y)，则f(13)=( )A．1 B．12C．√22D．√336．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E，F分别是AB，BC边上的两动点，且EF=2，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH，GH，则GH＋CH的最小值为( )A．4√5B．9C．√83D．√85二、填空题(本大题共6小题，每小题7分，共42分)7．x=b−√b2−4122(b＞21)，则x2－bx＋103=__________．8．已知关于x的方程x−1x−2−xx+1=ax+1x2−x−2无解，则a的值为__________．9．已知√x2−1+√x2+6=7，则√x2−9+√x2−6=__________．10．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，若折痕AE=5√5，且tan∠EFC=34，连接DF．则点A到DF的距离为__________．第10题图第11题图11．如图，PA，PB分别切⊙O于点A、点B，AC是⊙O的直径，AC，PB的延长线交于点E，F为AP的中点，AB分别交OP、EF于点T、点S．若BEBP =23，则ATSB=__________．12．定义：使函数y=f(x)的函数值为零的x的值叫函数y=f(x)的幸运点(如：y=x2－2x+1 的幸运点为x=1；y=x2－2x－3的幸运点为x=3，x=－1；y=x＋1的幸运点为x=－1)．设f(x) ={(x+1)2−3(x≤1)1x(x＞1)，若g(x) =f(x)－b恰好有两个幸运点，则实数b的取值范围为__________．三、解答题(本大题共4小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤) 13．(本小题满分16分)如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，连接AC交⊙O于点E，连接BC交⊙O于点D，AD、BE交于点F，连接DE．(1)求证：点F在△ABC的AB边的高上；(2)若AB=√2DE，求∠AFB的度数．14．(本小题满分16分)(1)设k，t为常数，解关于x的方程kx2＋(3－3k)x＋2k－6=0…①(2)在(1)的条件下，若方程①只有整数根，且关于y的一元二次方程(k＋3)y2－15y＋t=0…②有两个正整数根y1，y2，则t为何值时，y21+y22有最小值？15．(本小题满分16分)已知ABCD 的对角线AC 、BD 相交于E 点，∠CAD=a ，∠BAC=β． (1)如图1，若a =2β，BD=10，AD=8，求AC 的长；(2)如图2，若a =β=45°，点M 为线段AB 上一动点，连接DM ，将DM 绕D 点逆时针旋转60°得线段DN ，连接BN ．若点M 由A →E 匀速运动，点M 到达E 点后运动停止，在点M 运动的过程中，∠CBN 的度数是否变化？若变化，求其取值范围；若不变，求其值．16．（本小题满分18分）已知抛物线y ＝x 2的图象如图1所示，A （0，a ）（a ＞0），直线l ：y ＝−14，点B 为抛物线上的任意一点且恒满足点B 到A 点距离与点B 到l 的距离相等． (1)求a 的值；(2)如图2，若直线l 1：y ＝kx ＋14交抛物线于E ，D 两点，连接DO 、OE ． ①过点E 作EC ⊥x 轴于点C ，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，求tan ∠OEC tan ∠DOF的值；②过点E 作EM ⊥l 于点M ，过点D 作DN ⊥l 于点N ，点G 为MN 的中点，若点G 到DE 的距离为√52，求k 值．ABCDE MA BDCEN 图1图2华中师大一附中2017年高中招生考试数学试题参考答案考试时间：80分钟 卷面满分：150分说明：所有答案一律书写在答题卡上，写在试卷上作答无效．一、选择题(本大题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．)7．08．1，2，49．310．4√511．7412．－3<b ≤0或b =1三、解答题(本大题共4小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤) 13．（1）∵AB 为直径，∴∠ADB ＝90°，∠AEB ＝90° ∴AD 、BE 是△ABC 的两条高， ∴F 是△ABC 的AB 边上的高．（2）∵∠CDE ＝∠CAB ，∠C ＝∠C ，∴△CDE ∽△CAB ， ∴CD AC=DE AB=√22=cosC ，∴∠C=45°，∵∠C ＋∠EFD ＝180°，∴∠AFB ＝∠EFD ＝135°． 14．（1）当k ＝0时，x ＝2符合题意；当k ≠0时，则(x －2)(kx ＋3－k )＝0，∴x 1＝2，x 2＝k−3k（2）由（1）得，k ＝0时，x ＝2∴y 1＋y 2＝5，y 1·y 2＝tk+3，∴(y 1，y 2，t )＝(4，1，12)或(3，2，18)或(1，4，12)或(2，3，8) ∴y 21+y 22＝17或13 当k ≠0时，x 1＝2，x 2＝k−3k∴k ＝31−x 2，则k ＋3＝6−3x 21−x 2，y 1＋y 2＝5(1−x 2)2−x 2＝5＋5x 2−2≥2，∴x 2－2＝－5，1，5，∴x 2＝－3，3，7 ∴k ＝34，−32，12，∴y 1＋y 2＝4，10，6当y 1＋y 2＝4时，(y 1，y 2)＝(3，1)或（2，2）或（1，3），y 21+y 22＝8或10 当y 1＋y 2＝6时，y 21+y 22＝(6－y 2)2＋y 22＝2(y 2－3)2＋18≥18 当y 1＋y 2＝10时，y 21+y 22＝(10－y 2)2＋y 22＝2(y 2－5)2＋50≥50∴(y 21+y 22)min ＝8，∴y 1＝y 2＝2，k ＝34，又y 1·y 2＝tk+3，∴t ＝(k ＋3)y 1·y 2＝15 综上，当t ＝15时，y 21+y 22有最小值．15．（1）以B 为圆心，BC 为半径画弧交AC 于C ，F 两点，连接BF ，作BS ⊥AC 于S ∵a =2β，∠BCA ＝∠DAC ＝∠BFC ，∴∠ABF ＝∠BAF ∴BC ＝AD ＝BF ＝AF ＝8∴ES ＝CE －CS ＝12AC －12CF=12AF ＝4∴BS ＝√52−42＝3，∴CS ＝√82−32＝√55，∴CE ＝4＋√55 ∴AC=8+2√55或延长EC 至T ，使CT ＝BC ，连接BT ，做法与上法类似． （2）法1：以AD 为边作等边△AFD ，以DE 为边作等边△DEG （如图所示），连NG ，FG ∵a =β=45°，易证四边形ABCD 为正方形， 易证△MDE ≌△NDG ，△ADE ≌△FDG ， ∠FGD ＝∠AED ＝∠NGD ＝90°， ∴F ，N ，G 三点共线∠ABF ＝∠AFB ＝75°，∠DBF ＝30°延长BF 交直线DG 于G ′，∴∠BG ′D ＝90°， ∴BD ＝2DG ′＝2DG ，∴G 与G ′重合，∴B 、F 、N 、G 四点共线，∴∠NBD ＝30°，∠CBN ＝15°不变． 法2：作等边△DEG ，连接NG ，易证△MDE ≌△NDG ，∴∠MED ＝∠NGD ＝90°，∠EDG ＝60°，延长GN 交直线BD 于B ′，则DB ′＝2DG ， 又∵BD ＝2DG ，∴BD ＝DB ′，∴B 与B ′重合，∴∠DBG ＝30°，∴∠CBN ＝15°． 16．（1）设B(x ，y )，∴y ＝x 2，∴x 2＋(y －a )2＝(y ＋14)2，∴(12－2a )y ＋a 2－116＝0， ∴{12－2a =0a 2－116=0，∴a ＝14，或B 与O 重合，a ＝14，再证BA 与B 到直线l 的距离相等． （2）①作BC ⊥x 轴于C ，DF ⊥x 轴于F ，设ED 的解析式为y ＝kx ＋14，E(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，{y =x 2y ＝kx ＋14，∴x 2－kx －14＝0，∴x 1＋x 2＝k ，x 1·x 2＝－14，∴y 1＝x 21，y 2＝x 22 ∴tan ∠OEC ＝−x 1y 1，tan ∠DOF ＝y 2x 2，∴tan ∠OECtan ∠DOF＝−x 1y 1·y 2x 2＝4（3）∵EA ＝EM ，DN ＝DA ，∴∠EAM ＋∠DAN ＝12（180°－∠AEM ＋180°＋∠ADM ）＝90°，∴∠MAN ＝90°∴GA ＝GM ＝GN ，∴△GME ≌△GAE ，∴∠GAE ＝∠GMA ＝90°，∴GA ⊥DE ，MN ＝∣x 1－x 2∣＝√(x 1−x 2)2−4x 1x 2＝√k 2+1＝2GA ＝√5，∴k ＝±2．。
浙江省2017自主招生数学模拟试卷(三)及答案
浙江省2017自主招生数学模拟试卷(三)姓名：__________班级：__________考号：__________一 、选择题（本大题共10小题 ）1.我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口为4400000000人，这个数用科学记数法表示为（ ） A ．44×108 B ．4.4×108 C ．4.4×109 D ．4.4×1010 2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3.如图，点D 、E 分别是△ABC 的边AB 边和AC 边上的点，且DE ∥BC ，∠AED =64°，EC是∠DEB 的角平分线，则∠ECB 的度数为（ ）A ．78°B ．68°C ．58°D ．48°4.小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是：11222y y -=-53y =-，于是很快就补好了这个常数，你能补出这个常数吗？它应是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45.如图是某市2016年四月每日的最低气温（℃）的统计图，则在四月份每日的最低气温这组数据中，中位数和众数分别是（ ）A．14℃，14℃B．15℃，15℃C．14℃，15℃D．15℃，14℃6.如图，利用标杆BE测量建筑物DC的高度，如果标杆BE长为1.5米，测得AB=2米，BC=8米，且点A．E、D在一条直线上，则楼高CD是（）A．9.5米B．9米C．8米D．7.5米7.如图，直线y=kx+b经过A（2，1），B（﹣1，﹣2）两点，则不等式x＞kx+b＞﹣2的解集为（）A．x＜2 B．x＞﹣1 C．x＜1或x＞2 D．﹣1＜x＜28.下列说法：①三角形的三条高一定都在三角形内; ②有一个角是直角的四边形是矩形;③有一组邻边相等的平行四边形是菱形; ④两边及一角对应相等的两个三角形全等;⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形;其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9.如图，直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为s（阴影部分），则s与t的大致图象为（）A．B．C．D．10.观察下面一组数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，…．，将这组数排成如图的形式，按照如图规律排下去，则第11行中从左边数第10个数是（）A．﹣110 B．110 C．﹣111 D．111 二、填空题（本大题共6小题）11.已知关于x的方程x2﹣6x+k=0的两根分别是x，x2，且满足+=3，则k的值1是．12.计算：= ．13.如图所示，在边长为9的正三角形ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，则AE的长为.14.若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＜2，则a的取值范围为____15.对于有理数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]=1，[3]=3，[﹣2.5]=﹣3．则16.如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B=．三、解答题（本大题共8小题）17.计算：（π﹣3.14）0﹣|sin60°﹣4|+（）﹣1．18.日本在地震后，核电站出现严重的核泄漏事故，为了防止民众受到更多的核辐射，我国某医疗公司主动承担了为日本福田地区生产2万套防辐射衣服的任务，计划10天完成，在生产2天后，日本的核辐射危机加重了，所以需公司提前完成任务，于是公司从其他部门抽调了50名工人参加生产，同时通过技术革新等手段使每位工人的工作效率比原计划提高了25%，结果提前2天完成了生产任务。
高中数学复习提升-2、2017年清华大学自主招生与领军计划数学试题
2017年清华大学自主招生与领军计划数学试题1．设函数2()e e x x f x ax =+-，若对0,()2x f x ∀≥≥，则实数c 的取值范围是A ．(,3]-∞B ．[3,)+∞C ．(,2]-∞D ．[2,)+∞2．设A 、B 为两个随机事件，且,0()1A B P A ⊂<<，则A ．()1()P AB P B =- B ．()1()P A B P B ⋅=-C ．(|)()P B A P B =D ．(|)()P B A P B =3．从0，1，2，…，9中选出三个不同数字组成四位数（其中的一个数字用两次），如5242，这样的四位数共有A ．1692个B ．3672个C ．3708个D ．3888个4．已知集合{1,0,1},{2,3,4,5,6}M N =-=，设映射:f M N →满足：对任意的,()()x M x f x xf x ∈++是奇数，这样的映射f 的个数A ．25B ．45C ．50D ．1005．若关于x 的方程|1|2cos(1)0x a x -+-=只有一个实数解，则实数a 的值A ．等于1-B ．等于1C ．等于2D ．不唯一6．设,a b 为非零向量，且||2||=b a ，则b 与-b a 夹角的最大值为A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3 7．已知三棱锥P ABC -的底面是边长为3的正三角形，且3,4,5PA PB PC ===，则P ABC -的体积为A ．3 BCD．8．设函数432()2(2)2(12)41f x x x m x m x m =-++-+++，若对任意的实数x ，()0f x ≥，则实数m 的取值范围是A ．[0,)+∞B ．[0.5,)+∞C ．[0,1]D ．[0.5,1]9．设正实数,,,x y z w 满足220,20,,x y z w yz wx z y --+=⎧⎪-=⎨⎪≥⎩则z y 的最小值为 A．6 B．6+ C．6+ D．6+10．给定圆O 及圆内一点P ，设A 、B 是圆O 的两个动点，满足90APB ∠=︒，则AB 的中点的轨迹为A ．一个圆B ．一个椭圆C ．一段双曲线D ．一段抛物线11．方程23100x y z ++=的非负整数解的个数是A ．883B ．884C ．885D ．88612．设整数123,,a a a 满足124(1,2,3)k a k ≤≤=且对任意整数x ，2123234a x a x a ++是24的倍数，满足条件的有序数组123(,,)a a a 的个数为A ．12B ．24C ．36D ．4813．设A 、B 、C 是三角形的三个内角，则sin sin sin A B C +的最大值A ．等于32 BCD ．不存在14．设2π2πcos isin 55w =+，2()2P x x x =++，则234()()()()P w P w P w P w = A ．9 B ．10 C ．11 D ．1215．设126,,,a a a 是1，2，3，4，5，6的排列，且满足1234565101050a a a a a a -+-+-=，则这种排列的个数是A ．5B ．6C ．7D ．816．设{1,2,3,4}(1,2,3,4)k a k ∈=，对于有序数组1234(,,,)a a a a ，记1234(,,,)N a a a a 为1234,,,a a a a 中所包含的不同整数的个数，例如(1,1,2,2)2,(1,2,3,1)3N N ==，当1234(,,,)N a a a a 取遍所有的44个有序数组时，1234(,,,)N a a a a 的平均值为A ．17364B ．8732C ．17564D ．11417．设{(,,)|231,0,0,0}V x y z x y z x y z =++≤≥≥≥，则V 的体积为A ．112B ．118C ．124D ．13618．已知2()f x x ax b =++在区间(1,1)-内有两个零点，则22a b -的取值范围为A ．(2,0)-B ．(0,2)C ．(0,4)D ．(2,2)-19．在△ABC 中，AC BC =，123,,P P P 为AB 上的点，且123111248PB P B P B AB ===，设(1,k k k I P B P C k =⋅= 2,3)，则A ．123I I I <<B ．132I I I <<C ．321I I I <<D ．213I I I <<20．一根直细杆放在数轴上占用的范围是区间[0,4]，若该细杆的质量线密度为()x ρ=，则其质量为A ．πB ．2πC ．3πD ．4π21．设函数2()e (1)(2)x f x x x =--，则A ．()f x 有两个极大值点B ．()f x 有两个极小值点C ．1x =是()f x 的极大值点D ．1x =是()f x 的极小值点22．一道四选项的选择题，赵、钱、孙、李各选了一个选项，且选的恰好各不相同．赵说：我选的是A ； 钱说：我选的是B 、C 、D 之一；孙说：我选的是C ； 李说：我选的是D ．已知四人中只有一人说了假话，则说假话的人可能是A ．赵B ．钱C ．孙D ．李23．某人投100次篮球，设投完前n 次篮球时的命中率为n r ．已知11000,0.85r r ==，则存在0100m <<，使得A ．0.5m r =B ．0.6m r =C ．0.7m r =D ．0.8m r =24．设12,e e 为两个单位向量，x ，y 是实数，若1212π,,||13x y <>=+=e e e e ，则A ．x 的最大值为1B ．xC ．x y +的最大值为D ．x y + 25．设复数,w z 满足：22||1,||4w z w z +=+=，则||wz 的A ．的最小值为54B ．的最小值为32C ．的最大值为52D ．的最大值为11426．已知椭圆C ：2248x y +=，直线20x y +=与椭圆C 交于A 、B 两点，000(,)(22)P x y x -<<为椭圆C上的动点，设直线P A 、PB 分别与直线20x y -=相交于M 、N 两点，则A ．椭圆C 上满足2||||||OQ OM ON =⋅的点Q 恰有2个B ．椭圆C 上满足2||||||OQ OM ON =⋅的点Q 恰有4个C ．y 轴上满足OQN OMQ ∠=∠的点Q 恰有2个D ．y 轴上满足OQN OMQ ∠=∠的点Q 恰有4个27．已知F 为椭圆C ：2244x y +=的左焦点，设P 是椭圆C 的右准线上一点，过P 作椭圆C 的两条切线P A 、PB ，切点分别为A 、B ，则A ．min ||0.5AB = B ．min ||1AB =C ．△F AB 的面积为定值D ．△F AB 的周长为定值28．设x ，y 满足55(3)40x y x x y ++++=，则点(,)x yA ．只有有限个B ．有无限个C ．位于同一条直线上D ．位于同一条抛物线上29．设函数()cos()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+>≤<是R 上的奇函数，若()y f x =的图象关于直线π4x =对称， 且()f x 在区间π[0,]12上是单调函数，则 A ．ϕ的值不唯一 B ．ϕ的值唯一 C ．ω的值不唯一 D ．ω的值唯一 30．已知ξ为随机变量，则A ．211(||)()22P P ξξ≤≤≤ B ．22[()]()E E ξξ≤ C ．()(1)D D ξξ=- D ．22()[(1)]D D ξξ=-31．已知实数a ，b 满足：当||1x ≤时，恒有2||2x ax b ++≤，则A ．2a ≥-B ．2a ≤C ．1b ≥-D ．1b ≤32．设122017,,,x x x 均为正数，且1220171111111x x x +++=+++，则122017,,,x x x 中 A ．小于1的数最多一个 B ．小于2的数最多只有两个 C ．122017max{,,,}2016x x x ≥ D ．122017max{,,,}2017x x x ≥33．数列{},{},{}n n n x y z 中，11()2n n n n x y z x +=+-，11()2n n n n y z x y +=+-，11()2n n n n z x y z +=+-．则 A ．{}n n n x y z ++一定是等比数列B ．当1215,24x x =-=时，1(1)2n n n x =-+C ．当{}n x 各项为正数时，111x y z ==D ． 当存在正整数m 使得m m m x y z ==时，111x y z ==34．设0,0a b >>，若2232a a b b +=+，则A ．a b <B ．b a <C ．2a b <D ．2b a <35．在扇形OAB 中，90OAB ∠=︒，1OA =，点C 为弧AB 上的动点且不与A 、B 重合，OD ⊥BC 于D ，OE ⊥AC 于E ，则A ．DE 长为定值B ．∠DOE 的大小为定值C ．△ODE 面积的最大值为13πtan 88D ．四边形ODCE。