高中数学第6章推理与证明6.3数学归纳法1课堂讲义配套课件湘教版选修
高中数学 第6章 推理与证明 6.1 合情推理和演绎推理 6.1.2 类比课堂讲义配套课件 湘教版选修2-2
跟踪演练 1 若 a1，a2∈(0，＋∞)，则有不等式a21＋2 a22≥(a1＋2 a2)2 成立，此不等式能推广吗？请你至少写出两个不同类型的推广． 解 可以从 a1，a2 的个数以及指数上进行推广，第一类型： a21＋a322＋a23≥(a1＋a32＋a3)2， a21＋a22＋4 a23＋a24≥(a1＋a2＋4 a3＋a4)2，…， a21＋a22＋n …＋a2n≥(a1＋a2＋n …＋an)2；
当 n 为偶数时，令 n＝2k，k∈N＋，则 Sn＝S2k＝k(a＋b)＝n2(a＋b)． 所以它的前 n 项的和 Sn＝nn2＋2a＋1ab＋，n－n2为1b偶，数n为. 奇数，
规律方法 本题是一道浅显的定义类比应用问题， 通过对等差数列定义及性质的理解，类比出等和数 列的定义和性质，很好地考查学生类比应用的能 力．
要点二 类比推理的应用
例2 如图所示，在△ABC中，射影定理可 表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b， c分别为角A，B，C的对边．类比上述定
理，写出对空间四面体性质的猜想．
解 如右图所示，在四面体P－ABC中， 设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC， △PCA，△ABC的面积，α ，β ，γ 依 次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面 ABC所成二面角的大小．
高中数学 第6章 推理与证明 6.1 合情推理和演绎推理 6.1.1 归纳课堂讲义配套课件 湘教版选修2-2
解析 由已知的两个特殊等式可归纳得出： f(x)g(y)＋g(x)f(y)－g(x＋y)＝0，证明如下： f(x)g(y)＋g(x)f(y)－g(x＋y)＝12(ex＋e－x)·12(ey－e－y)＋12(ex－e－x)·12 (ey＋e－y)－12(ex＋y－e－x－y)＝ ex＋y－ex－y＋e－x＋y－e－x＋y＋4 ex＋y＋ex－y－e－x＋y－e－x＋y－ ex＋y－2e－x＋y＝2ex＋y－42e－x＋y－ex＋y－2e－x＋y＝0.
即 an－a1n＝－(an－1＋an1－1)． 所以 a2－a12＝－2，又因为 a2＞0，所以 a2＝ 2－1. a3－a13＝－2 2，又因为 a3＞0，所以 a3＝ 3－ 2. a4－a14＝－2 3，又因为 a4＞0，所以 a4＝2－ 3. 将上面 4 个式子写成统一的形式：a1＝ 1－ 0， a2＝ 2－ 1，a3＝ 3－ 2，a4＝ 4－ 3， 由此可以归纳出：an＝ n－ n－1(n∈N＋)．
当n＝4时，f(4)＝17＝42＋1；
当n＝5时，f(5)＝26＝52＋1；
归纳猜想：f(n)＝n2＋1(n≥2)．
证明如下 设n条抛物线将平面分成f(n)个部分；有 (n＋1)条抛物线时，由于第n＋1条抛物线与前n条 物线共有2n个交点，这2n个交点将第n＋1条抛物线 共分成2n＋1段，而每一段都把原来所在的部分分 了两部分，从而增加了2n＋1个部分，所以f(n＋1) ＝f(n)＋2n＋1(n≥2)． ∴f(3)＝f(2)＋5； f(4)＝f(3)＋7； f(5)＝f(4)＋9；
再见
编后语
折叠课件作用 ①向学习者提示的各种教学信息; ②用于对学习过程进行诊断、评价、处方和学习引导的各种信息和信息处理; ③为了提高学习积极性，制造学习动机，用于强化学习刺激的学习评价信息; ④用于更新学习数据、实现学习过程控制的教学策略和学习过程的控制方法。 对于课件理论、技术上都刚起步的老师来说，POWERPOINT是个最佳的选择。因为操作上非常简单，大部分人半天就可以基本掌握。所以，就可以花
高中数学第六章推理与证明6.3数学归纳法(1)当堂检测湘教版选修2-2(2021年整理)
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6.3 数学归纳法（一）1．若命题A(n)(n∈N＊)在n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*）时命题成立，则有（)A．命题对所有正整数都成立B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定,对大于或等于n0的正整数都成立D．以上说法都不正确答案C解析由已知得n＝n0（n0∈N＊)时命题成立,则有n＝n0＋1时命题成立;在n＝n＋1时命题成立的前提下,又可推得n＝(n0＋1）＋1时命题也成立，依此类推，可知选0C。
2．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝错误!（a≠1）”．在验证n＝1时，左端计算所得项为（)A．1＋a B．1＋a＋a2C．1＋a＋a2＋a3D．1＋a＋a2＋a3＋a4答案C解析将n＝1代入a2n＋1得a3，故选C。
3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1（n∈N*)的过程如下：（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n＝k（k∈N*）时等式成立,即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝错误!＝2k＋1－1。
2024-2025学年高中数学选择性必修第一册(湘教版)配套课件第1章-1.4数学归纳法
二步要明确证明目标，即要证明一个新命题：如果 = 时, ①式正确的，那么 = + 1时①式也是正确的.
高中数学
选择性必修第二册
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证明：（1）当 = 时，左边= 1 ，右边= 1 +0 × = 1 ,①式成立.
=
+2
2(+1)
=
+1
1− 9 (1-16)…(1-2)= 2 .
(+1)+1
.
2(+1)
∴当n=k+1时,等式也成立.
根据(1)和(2)知,对任意n≥2,n∈N*,等式都成立.
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选择性必修第二册
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课堂小结
1.知识清单：
数学归纳法的步骤.
2. 易错提示：
利用数学归纳法时，一定验证第一项成立.在用第项推证第 + 1项时，一定要用上第项成立的
2 −1
猜想an= −1 .下面证明猜想正确:
2
(1)当n=1时,由上面的计算可知猜想成立.
2 −1
(2)假设当n=k时猜想成立,则有ak= 2−1 ,
1
1
当n=k+1时,Sk+ak+1=2(k+1)-ak+1,∴ak+1=2[2(k+1)-Sk]=k+1-2
所以,当n=k+1时,等式也成立.
那么当n=k+1时,
1
1
1
1
1
1-2 + 3 − 4+…+2−1 − 2 +
课堂讲义配套课件：6-3(2)
规律方法 应用数学归纳法证明整除性问题
时，关键是“凑项”，采用增项、减项、拆
项和因式分解等方法，也可以说将式子“硬
提公因式”，即将n＝k时的项从n＝k＋1时的 项中“硬提出来”，构成n＝k的项，后面的 式子相对变形，使之与n＝k＋1时的项相同，
从而达到利用假设的目的．
跟 踪 演 练 2 用 数 学 归 纳 法 证 明 62n － 1 ＋
等差数列，bn，an＋1，bn＋1 成等比数列{n∈N*}． (1)求 a2，a3，a4 及 b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公 式，并证明你的结论； (2)证明：a1＋1 b1＋a2＋1 b2＋…＋an＋1 bn＜152.
(1)解 由条件得 2bn＝an＋an＋1， a2n＋1＝bnbn＋1. 由此可以得 a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25. 猜测 an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2. 用数学归纳法证明： ①当 n＝1 时，由上可得结论成立．
即 f(k＋1)＝f(k)＋k＝12k(k－1)＋k ＝12k(k－1＋2)＝12k(k＋1) ＝12(k＋1)[(k＋1)－1]， ∴当 n＝k＋1 时，命题成立． 由(1)，(2)可知，对任意 n∈N*(n≥2)命题都成立．
要点四 归纳—猜想—证明 例 4 在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且 an，bn，an＋1 成
证明 ①当 n＝3 时，12n(n－3)＝0，这就说明三角形没有对 角线，故结论正确． ②假设当 n＝k(k≥3，k∈N*)时结论正确， 即凸 k 边形的对角线有12k(k－3)条，
当 n＝k＋1 时，凸(k＋1)边形是在 k 边形基础上增加了一边，增 加了一个顶点，设为 Ak＋1，增加的对角线是顶点 Ak＋1 与不相邻 顶点的连线再加上原 k 边形一边 A1Ak，共增加了对角线的条数 为 k－2＋1＝k－1. ∴f(k＋1)＝12k(k－3)＋k－1 ＝12(k2－k－2)
课件6231数学归纳法
课件6231 数学归纳法一、教学内容本节课选自教材第6章第231节，主要详细内容为数学归纳法的原理及其应用。
数学归纳法是一种重要的数学证明方法，通过递推关系证明与自然数有关的数学命题。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的定义，掌握其基本步骤。
2. 学会运用数学归纳法证明与自然数有关的数学命题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和推理能力。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法的证明思路，特别是递推关系的建立。
教学重点：数学归纳法的定义、步骤及运用。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、PPT课件。
2. 学具：练习本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入：以日常生活中常见的楼梯为例，引导学生思考如何证明所有楼梯台阶数之和为奇数。
2. 新课导入：讲解数学归纳法的定义、基本步骤，强调递推关系的重要性。
3. 例题讲解：（1）证明：1+2+3++n = n(n+1)/2（2）证明：对于任意正整数n，2^n > n（1）1^3 + 2^3 + 3^3 + + n^3 = (1+2++n)^2（2）对于任意正整数n，n^2 n 为偶数六、板书设计1. 数学归纳法定义2. 数学归纳法基本步骤3. 例题及解答4. 随堂练习题目及答案七、作业设计1. 作业题目：（1）证明：1+3+5++(2n1) = n^2（2）证明：对于任意正整数n，3^n > n^32. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对数学归纳法的掌握情况，调整教学方法，提高教学效果。
2. 拓展延伸：探讨数学归纳法在实际问题中的应用，如数列求和、不等式证明等。
鼓励学生参加数学竞赛，提高数学素养。
重点和难点解析：1. 数学归纳法的定义和步骤2. 例题讲解中递推关系的建立3. 随堂练习的设计与解答4. 作业设计中的题目难度及答案解析5. 课后反思与拓展延伸详细补充和说明：一、数学归纳法的定义和步骤数学归纳法是一种证明方法，其基本思想是：先证明基础情形成立，然后假设某个情形成立，证明下一个情形也成立。
2019年数学新同步湘教版选修2-2讲义+精练：第6章 6.3 数学归纳法 Word版含解析
6．3数学归纳法[读教材·填要点]数学归纳法的概念及步骤一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：(1)证明当n ＝n 0(n 0∈N ＋)时命题成立；(2)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N ＋)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立．只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对于任何从n 0开始的所有正整数n 都成立．上述证明方法叫作数学归纳法．[小问题·大思维]1．数学归纳法的第一步n 的初始值是否一定为1?提示：不一定，如证明n 边形的内角和为(n －2)·180°时，第一个值为n 0＝3.2．数学归纳法的两个步骤之间有怎样的联系？提示：步骤(1)是命题论证的基础，步骤(2)是判断命题的正确性能否递推下去的保证．这两个步骤缺一不可，如果只有步骤(1)缺少步骤(2)，无法对n 取n 0后的数时结论是否正确做出判断；如果只有步骤(2)缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)就没有意义了．用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明：…＝(n ≥2，n ∈N ＋)．(1－14)(1－19)(1－116)(1－1n 2)n ＋12n [自主解答] ①当n ＝2时，左边＝1－＝，1434右边＝＝，2＋12×234∴左边＝右边．②假设n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时结论成立，即…＝.(1－14)(1－19)(1－1k 2)k ＋12k那么n ＝k ＋1时，利用归纳假设有： (1)14)(1－19)(1－1k 2)[1－1(k ＋1)2]＝＝·＝＝.k ＋12k [1－1(k ＋1)2]k ＋12k k (k ＋2)(k ＋1)2k ＋22(k ＋1)(k ＋1)＋12(k ＋1)∴即n ＝k ＋1时等式也成立．综合①②知，对任意n ≥2，n ∈N ＋等式恒成立．用数学归纳法证明等式应注意的问题(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值n 0的值．(2)由n ＝k 到n ＝k ＋1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n ＝k 时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．1．用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n ∈N ＋)．12131412n －112n 1n ＋11n ＋212n 证明：(1)当n ＝1时，左边＝1－＝＝＝右边，所以等式成立．121211＋1(2)假设n ＝k (k ∈N ＋)时等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，12131412k －112k 1k ＋11k ＋212k 则当n ＝k ＋1时，1－＋－＋…＋－＋－12131412k －112k 12k ＋112k ＋2＝＋－(1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k )12k ＋112k ＋2＝＋(1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1)(1k ＋1－12k ＋2)＝＋＋…＋＋＋.1k ＋21k ＋312k 12k ＋112(k ＋1)所以n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)知等式对任意n ∈N ＋都成立．用数学归纳法证明不等式证明不等式1＋＋＋…＋<2(n ∈N ＋)．12131nn [自主解答] (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2.左边<右边，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N ＋)时，不等式成立，即1＋＋＋…＋<2.12131kk 则当n ＝k ＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋<12131k 1k ＋12＋＝<k 1k ＋12k ·k ＋1＋1k ＋1＝＝2.(k )2＋(k ＋1)2＋1k ＋12(k ＋1)k ＋1k ＋1∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)(2)可知，原不等式对任意n ∈N ＋都成立．用数学归纳法证明不等式注意的问题(1)当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用 数学归纳法．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 成立，推证n ＝k ＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．2．已知数列{a n }，a n ≥0，a 1＝0，a ＋a n ＋1－1＝a .2n ＋12n 求证：当n ∈N ＋时，a n <a n ＋1.证明：(1)当n ＝1时，因为a 2是方程a ＋a 2－1＝0的正根，所以a 1<a 2.2(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，0≤a k <a k ＋1，则由a －a ＝(a ＋a k ＋2－1)－(a ＋a k ＋1－1)2k ＋12k 2k ＋22k ＋1＝(a k ＋2－a k ＋1)(a k ＋2＋a k ＋1＋1)>0，得a k ＋1<a k ＋2，即当n ＝k ＋1时，a n <a n ＋1也成立．根据(1)和(2)，可知a n <a n ＋1对任何n ∈N ＋都成立．归纳—猜想—证明问题数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝，且a n ＋1＝(n ≥2)，求a 3，a 4，猜想a n 的14(n －1)a n n －a n表达式，并加以证明．[自主解答] ∵a 2＝，且a n ＋1＝(n ≥2)，14(n －1)a nn －a n ∴a 3＝＝＝，a 4＝＝＝.a 22－a 2142－14172a 33－a 32×173－17110猜想：a n ＝(n ∈N ＋)．13n －2下面用数学归纳法证明猜想正确．证明：(1)当n ＝1,2易知猜想正确．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时猜想正确，即a k ＝.13k －2当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝＝＝(k －1)a kk －a k(k －1)·13k －2k －13k －2k －13k －23k 2－2k －13k －2＝＝k －13k 2－2k －1k －1(3k ＋1)(k －1)＝＝.13k ＋113(k ＋1)－2∴n ＝k ＋1时猜想也正确．由(1)(2)可知，猜想对任意n ∈N ＋都正确．“归纳—猜想—证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用．其关键是归纳、猜想出公式．3．已知数列{a n }中，S n 是{a n }的前n 项和且S n 是2a 与－2na n 的等差中项，其中a 是不为0的常数．(1)求a 1，a 2，a 3.(2)猜想a n 的表达式，并用数学归纳法进行证明．解：(1)由题意知S n ＝a －na n ，当n ＝1时，S 1＝a 1＝a －a 1，解得a 1＝.a2当n ＝2时，S 2＝a 1＋a 2＝a －2a 2，解得a 2＝.a6当n ＝3时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a －3a 3，解得a 3＝.a 12(2)猜想：a n ＝(n ∈N *)an (n ＋1)证明：①当n ＝1时，由(1)知等式成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即a k ＝，则当n ＝k ＋1时，ak (k ＋1)a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝a －(k ＋1)a k ＋1－(a －ka k )，所以a k ＋1＝＝.a(k ＋1)(k ＋2)a(k ＋1)[(k ＋1)＋1]即当n ＝k ＋1时，等式成立．结合①②得a n ＝对任意n ∈N *均成立.a n (n ＋1)用数学归纳法证明42n ＋1＋3n ＋2能被13整除，其中n ∈N ＋.[证明] 法一：(1)当n ＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除，故结论成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，且k ∈N ＋)时，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除，则当n ＝k ＋1时，42(k ＋1)＋1＋3k ＋3＝42k ＋1·42＋3k ＋2·3－42k ＋1·3＋42k ＋1·3＝42k ＋1·13＋3·(42k ＋1＋3k ＋2)，∵42k ＋1·13能被13整除，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除，∴42k ＋1·13＋3·(42k ＋1＋3k ＋2)能被13整除．即当n ＝k ＋1时也成立．由(1)(2)知，当n ∈N ＋时，42n ＋1＋3n ＋2能被13整除．法二：(1)当n ＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除，故结论成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，即42k ＋1＋3k ＋2能被13整除，则当n ＝k ＋1时，[42(k ＋1)＋1＋3k ＋3]－(42k ＋1＋3k ＋2)＝(42k ＋1·42＋3k ＋2·3)－(42k ＋1＋3k ＋2)＝42k ＋1·13＋2·(42k ＋1＋3k ＋2)∵42k ＋1·13能被13整除，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除．∴(42(k ＋1)＋1＋3k ＋3)－(42k ＋1＋3k ＋2)能被13整除．因而42(k ＋1)＋1＋3k ＋3能被13整除．∴当n ＝k ＋1时命题也成立．由(1)(2)知，当n ∈N ＋时，42n ＋1＋3n ＋2能被13整除．[点评] 用数学归纳法证明整除性问题时，证明n ＝k ＋1时成立是关键，其中的重要步骤是“凑项”，即通过增项、减项、拆项和因式分解等手段，将n ＝k ＋1时被除式凑成一部分能利用归纳假设，另一部分能被除式整除的形式．1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<n (n ∈N ＋，n >1)时，第一步应验证不等式121312n －1( )A ．1＋<2 B ．1＋＋<2121213C ．1＋＋<3D ．1＋＋＋<31213121314解析：∵n >1且n ∈N ＋，∴n 0取的第一个值n 0＝2.答案：B2．某个命题与自然数n 有关，如果当n ＝k (k ∈N ＋)时，该命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时命题也成立，现在已知当n ＝5时，该命题不成立，那么可推得( )A ．当n ＝6时该命题不成立B ．当n ＝6时该命题成立C ．当n ＝4时该命题不成立D ．当n ＝4时该命题成立解析：若n ＝4时成立，则n ＝4＋1时也成立，与已知矛盾，故n ＝4时不成立．答案：C3．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n ＋2＝2n ＋3－1”，在验证n ＝1时，左边计算所得的式子为( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋22D ．1＋2＋22＋23解析：当n ＝1时，左边＝1＋2＋22＋23.答案：D4．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n ，总有2n >n 3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n 0最小应当是______________．解析：∵210＝1 024>103,29＝512<93，∴第一个值n 0最小应当是10.答案：105．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，当第二步假设n ＝2k －1(k ∈N ＋)命题为真时，进而需证n ＝________时，命题亦真．解析：n 为正奇数，假设n ＝2k －1成立后，需证明的应为n ＝2k ＋1时成立．答案：2k ＋16．设f (n )＝1＋＋＋…＋(n ∈N ＋)．12131n求证：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n ·(n ≥2，n ∈N ＋)．[f (n )－1]证明：(1)当n ＝2时，左边＝f (1)＝1.右边＝2＝1，左边＝右边，等式成立．[1＋12－1](2)假设n ＝k 时，结论成立，即f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k ，[f (k )－1]那么，当n ＝k ＋1时，f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k )＝k ＋f (k )＝(k ＋1)f (k )－k [f (k )－1]＝(k ＋1)－k ＝(k ＋1)f (k ＋1)－(k ＋1)＝(k ＋1)，[f (k ＋1)－1k ＋1][f (k ＋1)－1]∴当n ＝k ＋1时结论仍然成立．∴f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n (n ≥2，n ∈N ＋)．[f (n )－1]一、选择题1．若命题p (n )对n ＝k 成立，则它对n ＝k ＋2也成立，又已知命题p (2)成立，则下列结论正确的是( )A ．p (n )对所有自然数n 都成立．B ．p (n )对所有正偶数n 都成立．C ．p (n )对所有正奇数n 都成立．D ．p (n )对所有大于1的自然数n 成立．解析：由递推规则可知选B.答案：B2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝(a ≠1，n ∈N ＋)”，在验证n ＝11－a n ＋21－a成立时，左边计算所得的项是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3解析：当n ＝1时，n ＋1＝2，所以左边＝1＋a ＋a 2.答案：C3．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明“1－＋－＋…＋＝2”时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)1213141n －1(1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n )时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )A ．n ＝k ＋1时等式成立B ．n ＝k ＋2时等式成立C ．n ＝2k ＋2时等式成立D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立解析：因为假设n ＝k (k ≥2为偶数)，故下一个偶数为k ＋2.答案：B4．用数学归纳法证明“12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝”时，n (2n 2＋1)3由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k ＋1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2 D.(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1]13解析：当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12＝[12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12]＋k 2＋(k ＋1)2.答案：B 二、填空题5．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下：①当n ＝1时，左边＝20＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1.则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝＝2k ＋1－1，1－2k ＋11－2所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②知，对任意n ∈N *，等式成立．上述证明中的错误是________．解析：由证明过程知，在证从n ＝k 到n ＝k ＋1时，直接用的等比数列前n 项和公式，没有用上归纳假设，因此证明是错误的．答案：没有用归纳假设6．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基n 4＋n 22础上加上的项为____________________．解析：当n ＝k 时左端为1＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋k 2，则当n ＝k ＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2，故增加的项为(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.答案：(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)27．用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·2…(2n－1)(n∈N＋)”时，从n＝k 到n＝k＋1时，左边应增添的式子是________．解析：当n＝k时，左边＝(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)，当n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(k＋1＋k)·(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k ＋k)(2k＋1)·2(k＋1)所以，左边应增添的式子是2(2k＋1)．答案：2(2k＋1)8．用数学归纳法证明“n3＋5n(n∈N＋)能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为__________________．解析：证明当n＝k＋1时，n3＋5n能被6整除，一定要用到归纳假设“k3＋5k能被6整除”．故需将(k＋1)3＋5(k＋1)化成含有(k3＋5k)的形式，使用拼凑法．答案：(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6三、解答题9．将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，…，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S1＋S3＋S5＋…＋S2n 的结果，并用数学归纳法证明．－1S1＝1，S2＝2＋3＝5，S3＝4＋5＋6＝15，S4＝7＋8＋9＋10＝34，S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，…解：由题意知，当n＝1时，S1＝1＝14；当n＝2时，S1＋S3＝16＝24；当n＝3时，S1＋S3＋S5＝81＝34；当n＝4时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44；猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，S1＝1＝14，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4，那么，当n ＝k ＋1时，S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2k －1＋S 2k ＋1＝k 4＋[(2k 2＋k ＋1)＋(2k 2＋k ＋2)＋…＋(2k 2＋k ＋2k ＋1)]＝k 4＋(2k ＋1)(2k 2＋2k ＋1)＝k 4＋4k 3＋6k 2＋4k ＋1＝(k ＋1)4，这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)，可知对于任意的n ∈N ＋，S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1＝n 4都成立．10．用数学归纳法证明(n 2－1)＋2(n 2－22)＋…＋n (n 2－n 2)＝n 2(n 2－1)(n ∈N ＋)．14证明：(1)当n ＝1时，左边＝0，右边＝0，等式成立．(2)假设n ＝k 时，等式成立，即(k 2－1)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＝k 2(k 2－1)成立．14当n ＝k ＋1时，[(k ＋1)2－12]＋2[(k ＋1)2－22]＋…＋k [(k ＋1)2－k 2]＋(k ＋1)[(k ＋1)2－(k ＋1)2]＝[(k 2－12)＋(2k ＋1)]＋2[(k 2－22)＋(2k ＋1)]＋…＋k [(k 2－k 2)＋(2k ＋1)]＝[(k 2－12)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)]＋(2k ＋1)(1＋2＋…＋k )＝k 2(k 2－1)＋(2k ＋1)·k (k ＋1)1412＝(k ＋1)2[(k ＋1)2－1]．14所以当n ＝k ＋1时，等式成立．由(1)(2)，可知等式对任何n ∈N ＋都成立．。
高中数学湘教版选修2-2：(课件)第6章 推理与证明
推理与证明
6．1 合情推理和演绎推理 6．1.1 归 纳
学习目标
课前自主学案 6.1.1 课堂互动讲练
知能优化训练
学习目标 1.了解归纳的含义，能利用归纳进行简单的推理． 2．了解归纳在数学发现中的作用．
课前自主学案
温故夯基 1．学习等差数列时，如何推导其通项公式？ 设等差数列 {an} 的首项为 a1 ，公差为 d ，则有： a1 ＝ a1 ＋ 0 d ， a2 ＝ a1 ＋ d ， a3 ＝ a2 ＋ d ＝ a1 ＋ 2d ， „，an＝a1＋(n－1)d. 2．1,3,5,7,9，„，____________. a n＝ 2 n － 1
归纳在不等式中的应用
对于与正整数 n 有关的指数式与整式的大小 比较，不能用作差、作商法比较，常用归纳、 猜想、证明的方法，解题时对 n 的取值的个 数要适当，太少易产生错误猜想，太多增大 计算量．对有些复杂的式子的大小比较，往 往通过作差后变形 ( 通分、因式分解等 ) ，变 成比较两个简单式子的大小，即化繁为简．
自我挑战 2 已知数列 {an}的第 1 项 a1＝ 1，且 an an＋ 1＝ (n＝ 1,2,3，„)，试归纳出这个数列的 1＋an 通项公式． 解：当 n＝1 时，a1＝1， 1 1 当 n＝2 时，a2＝ ＝ ， 1＋1 2 1 2 1 当 n＝3 时，a3＝ ＝ ， 1 3 1＋ 2
归纳在数列中的应用
根据数列前几项的特征，归纳出其通项公式 或求和公式．
已知数列 {an} 满足 a1 ＝ 1 ， an ＋ 1 ＝ 2an ＋ 1(n＝1,2,3„) (1)求a2，a3，a4，a5； (2)归纳猜想通项公式an.
【思路点拨】 由 a1＝ 1求 a2 → 由 a2求 a3 →
2017学年高中数学第6章推理与证明6.1合情推理和演绎推理6.1.1归纳课堂讲义配套课件湘教版选修22
证明如下 设 n 条抛物线将平面分成 f(n)个部 分；有 (n ＋ 1) 条抛物线时，由于第 n ＋ 1 条抛 物线与前n条抛物线共有2n个交点，这2n个交 点将第n＋1条抛物线共分成2n＋1段，而每一 段都把原来所在的部分分成了两部分，从而 增加了2n＋1个部分，所以f(n＋1)＝f(n)＋2n ＋1(n≥2)． ∴f(3)＝f(2)＋5； f(4)＝f(3)＋7； f(5)＝f(4)＋9；
y
－y
ex＋y－ex－y＋e－x＋y－e－x＋y＋ex＋y＋ex－y－e－x＋y－e－x＋y － 4 ex＋y－e－x＋y 2ex＋y－2e－x＋y ex＋y－e－x＋y ＝ － ＝0. 2 4 2
要点二 运用归纳推理探索解题思路，能寻 找解题方法 例2 平面上有n(n≥2)条抛物线，其中每两条 都相交于两点，并且每三条都不相交于同 一点，试求这n条抛物线把平面分成多少个 部分？并证明你的结论． 解 当 n ＝ 2 时，即两条相交抛物线把平面 分成5部分，记f(2)＝5＝22＋1； 当n＝3时，f(3)＝10＝32＋1； 当n＝4时，f(4)＝17＝42＋1； 当n＝5时，f(5)＝26＝52＋1； 归纳猜想：f(n)＝n2＋1(n≥2)．
解析
由已知的两个特殊等式可归纳得出：
f(x)g(y)＋g(x)f(y)－g(x＋y)＝0，证明如下： 1 x －x 1 y －y 1 x －x 1 f(x)g(y)＋g(x)f(y)－g(x＋y)＝ (e ＋e )·(e －e )＋ (e －e )· 2 2 2 2 1 x＋y －x－y (e ＋e )－2(e －e )＝
跟踪演练 2 已知正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 1 1 Sn＝2(an＋a )，求出 a1，a2，a3，a4，并推测 an. n 1 1 解 a1＝S1＝ (a1＋ )，又因为 a1＞0，所以 a1＝1. 2 a1 1 1 1 1 当 n≥2 时，Sn＝ (an＋ )，Sn－1＝ (an－1＋ )， 2 an 2 an－1 两式相减得： 1 1 1 1 an＝2(an＋a )－2(an－1＋ )， an－1 n
高中数学新湘教版精品教案《湖南教育出版社高中数学选修2-2 6.3 数学归纳法》
教学设计上杭一中游华秀【教学内容剖析】《数学归纳法》是湘教版选修教材2—2第六章第三节内容，本节课是第一课时。
前面学生已经学习了推理与证明的各种方法，必须进一步学习严谨的科学的论证方法——数学归纳法。
数学归纳法亮点就在于，通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形，这也是无限与有限辨证统一的体现。
并且，本节内容是培养学生严谨的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的很好的素材。
【教学目标确定】1、知识和技能1 了解数学归纳法的原理；2 掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论的模式；3 会用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
2、过程与方法通过多米诺骨牌实验引出数学归纳法的原理，使学生体验由实践向理论过度的过程。
在学习中培养学生探索发现问题、提出问题的意识，解决问题和数学交流的能力，学会用总结、归纳、演绎类比探求新知识。
3情感态度价值观通过对问题的探究活动，亲历知识的构建过程，领悟其中所蕴涵的数学思想；体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐，感悟“数学美”，激发学习热情，培养多思勤练的好习惯和勇于探索的治学精神。
进一步形成正确的数学观，创新意识和科学精神。
【教学重点和难点】根据教学大纲的要求、本节课内容特点和学生现有知识水平，本节课知识的重点和难点制定如下：教学重点：（1）使学生理解数学归纳法的实质。
（2）掌握数学归纳法证题步骤,尤其是递推步骤中归纳假设和恒等变换的运用教学的难点：（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系．因此，用数学归纳法证明命题的关键在第二步，而第二步的关键在于合理利用归纳假设．如果不会运用“假设当时，命题成立”这一条件，那实际上就是不会运用数学归纳法。
为突破以上教学难点，通过问题的转化，进而把无限的验证转化为对两个命题：“（1）当时，命题成立；（2）假设时，命题成立，求证：当时命题成立”的证明，而且在第二个命题的分析中强调条件的存在与用途，从而突破数学归纳法第二步中证明命题的难点．【教学条件支持】利用视频动态地演示多米诺骨牌游戏，从中体会并理解“归纳奠基”和“归纳递推”，知道只有把“归纳奠基”与“归纳递推”结合起来，才能完成数学归纳法的证明过程，理解数学归纳法的证明步骤．【教学过程设计】一、问题导入在多米诺骨牌游戏过程中，体会所有骨牌都倒下，第1块骨牌必须倒下，这是基础，也是前提条件在多米诺骨牌游戏过程中，第块骨牌倒下，是后一块骨牌倒下的保证，这就是多米诺骨牌游戏的连续性和传递性．问题：数学归纳法与多米诺骨牌有怎样的相似之处呢？探究一：多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？（1）使第一张牌能倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。
课件6231数学归纳法
课件6231 数学归纳法一、教学内容本节课选自教材第6章第231节，主要详细介绍了数学归纳法的原理及其应用。
内容包括数学归纳法的定义、使用步骤、证明格式，并通过典型例题使学生掌握运用数学归纳法解决问题的方法。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的定义，掌握其基本步骤和使用方法。
2. 能够运用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和推理能力。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法证明过程中步骤的严谨性以及递推关系的建立。
教学重点：数学归纳法的定义、证明步骤以及在实际问题中的应用。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体课件。
2. 学具：笔记本、教材、练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）通过一个简单的实际问题，如“计算1+2+3++n的和”，引导学生思考如何找到一个通用的方法解决这个问题。
2. 知识讲解（10分钟）详细讲解数学归纳法的定义、基本步骤和使用方法。
阐述如何通过递推关系完成数学归纳法的证明。
3. 例题讲解（15分钟）选取一道典型的数学归纳法例题，如“证明：1^3+2^3+3^3++n^3=(1+2+3++n)^2”，在讲解过程中强调证明的严谨性和递推关系的建立。
4. 随堂练习（10分钟）出示两道数学归纳法练习题，要求学生在课堂上独立完成，教师巡回指导。
5. 互动讨论（5分钟）学生展示自己的解答过程，共同讨论在解题过程中遇到的问题和解决方法。
七、板书设计1. 数学归纳法的定义、基本步骤、证明格式。
2. 例题解答过程。
3. 练习题解答过程。
八、作业设计1. 作业题目：（1）证明：1+3+5++(2n1)=n^2。
（2）证明：对于任意正整数n，都有C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)++C(n,n)=2^n。
2. 答案：（1）证明：当n=1时，1=1^2，等式成立。
假设当n=k时，等式成立，即1+3+5++(2k1)=k^2。
当n=k+1时，1+3+5++(2k1)+(2(k+1)1)=(k^2+2k+1)=(k+1)^2。
2020学年高中数学第6章推理与证明6.1.1合情推理(一)——归纳课件湘教版选修2_2
1．给出下列推理： ①由 A，B 为两个不同的定点，动点 P 满足||PA|－|PB||＝2a<|AB|， 得点 P 的轨迹为双曲线； ②由 a1＝1，an＝3n－1，求出 S1，S2，S3，猜想出数列{an}的前 n 项和 Sn 的表达式；
③由圆 x2＋y2＝r2 的面积为 πr2，猜想出椭圆xa22＋by22＝1 的面积为 S
A．28
B．76
C．123
D．199
解析：选 C.从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从 第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值 的和，照此规律，则 a10＋b10＝123.
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观察下列不等式： 1＋212<32， 1＋212＋312<53， 1＋212＋312＋412<74， … 照此规律，第五个不等式为________________________．
解析：观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数 的分母的算术平方根与右端值的分母相等，且每行右端分数的 分子构成等差数列． 所以第五个不等式为 1＋212＋312＋412＋512＋612＜161.
解：由左、右两边各项幂的底数之间的关系： 1＝1， 1＋2＝3， 1＋2＋3＝6， 1＋2＋3＋4＝10， 可得一般结论：13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2， 即 13＋23＋33＋…＋n3＝n（n2＋1）2.
归纳在几何图形中的应用 如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边 (包括两个端点)有 n(n>1，n∈N*)个点，每个图形总的点数记为 an，则 a6＝________，an＝________(n>1，n∈N*)．
解析：观察规律可知，左边为 n 项的积，最小项和最大项依次 为(n＋1)，(n＋n)，右边为连续奇数之积乘以 2n，则第 n 个等式 为：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．
高中数学 第6章 推理与证明 6.1.2 合情推理(二)——类比课件 湘教版选修2-2
解析：内切圆半径 r―类―比→内切球半径 R， 三角形的周长：a＋b＋c―类―比→三棱锥各面的面积和： S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD， 三角形面积公式系数12 ―类―比→三棱锥体积公式系数13. 所以类比得三棱锥体积 VABCD＝13R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD)． 答案：13R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD)
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结束 语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油。
所以 a1＋a2＋…＋an ＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋a19－n. 因为 b15＝1，所以 b1b29＝b2b28＝…＝b14b16＝1， 即 b29－nbn＋1＝b28－nbn＋2＝…＝b14b16＝1. 所以有 b1b2…bn＝b1b2…b29－n(n<29，n∈N＋)． 【答案】 b1b2…b29－n(n<29，n∈N＋)．
1．判断(对的打“√”，错的打“×”) (1)类比是由特殊到一般的推理．( ) (2)类比推理得到的结论可以作为定理应用．( ) 答案：(1)× (2)×
2．下列平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的 为( ) A．三角形 B．梯形 C．平行四边形 D．矩形
答案：C 3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1∶2，则它们的面 积比为 1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为 1∶2，则它们的体积比为________． 答案：18
解析：选 C.由类比推理的特点可知．
3．对于命题： 若 O 是线段 AB 上一点，则有|O→B|·O→A＋|O→A|·O→B＝0. 将它类比到平面的情形是： 若 O 是△ABC 内一点，则 S△OBC·O→A＋S△DCA·O→B＋S△OBA·O→C ＝0， 将它类比到空间的情形应该是： 若 O 是四面体 ABCD 内一点，则有_______________________．