分析力学讲义-清华

学本质上是一门实验科学，物理理论的直接的深厚基础是丰富的实验事实。
0．2． 理论力学和本课程的内容简介
由于各专业的不同要求，理工科大学里设置的理论力学课程有不同的类型；同样名为
理论力学的教材或专著也有不同的侧重。除了力学专业的理论力学课程有其本专业的要求以
外，工科专业的理论力学课程是工程力学的组成部分；对于物理专业而言，阐述经典力学普
遍规律的理论力学课程，是物理专业的专业基础课四大力学之一，是普通物理课程力学部分
的继续和加深，也是许多后续课程的必备基础。目前许多理论力学教材分为矢量力学和分析
力学两部分来阐述。前者以几何方法（矢量的运算）为基础，当然也要用微积分、微分方程
等数学工具，后者采用更多数学分析的方法。
理论力学
矢量力学
分析力学
密顿力学和力学的变分原理等内容。作为准备，适当补充矢量力学中普物阶段未学的内容（第
一、二章）。
根据数学、物理等理科专业的需要，静力学作为动力学的特例，不作重点研究。因此
本课程也以分析动力学为重点，而把分析静力学作为分析动力学的特例来对待。
理论力学的研究对象一般可认为是质点系。这是很广泛的一类力学体系，质量连续分
析力学）。经典力学虽然已经有了长足的发展，有了相当完整的理论体系，但是这决不意味
着经典力学已经发展到顶了。作为一门基础学科，人类实践和相关各学科实验与理论的研究
不断给经典力学提出各种新问题，不断拓展着经典力学新的研究领域。（参阅参考资料 28．）
还应指出，经典力学的理论体系与经过高度抽象的数学的公理体系还是有所不同，物理
（3）柱坐标系 ( ρ ,ϕ ,z ) （由平面极坐标系推广到柱坐标系是直截了当的。教材 7 页）
（4）球坐标系（球极坐标系） (r,θ ,ϕ )
（教材 6 页。要求自学）
以上三种坐标系是我们最常用的曲线坐标系，曲线坐标系的坐标曲线一般为曲线族，（因而 在各点沿坐标曲线的切线的单位矢量，方向可能不同）；当然并不完全排除直线族。曲线坐标系 的坐标曲面一般为曲面族，；当然也不完全排除平面族。 【练习】指出上述三种曲线坐标系的坐标曲线和坐标曲面，并指出哪些坐标曲线为直线或射线， 哪些坐标曲面为平面或半平面。
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第一章 运动学 （上） 2006，9－2007，1 讲授提纲
（参阅教材§1．2．§1．3．§2．1．§2．2．） 运动学研究机械运动的描述方法，也就是讨论机械运动的几何学方面的特性，而不涉及机 械运动变化的原因，即不涉及动力学方面的特性。 1．1．质点运动学 （参阅教材§1．2．） 1．质点运动学描述质点的机械运动，主要就是讨论描述质点的位置、速度、加速度和运动轨 迹的方法，研究它们的特点以及它们之间的关系等。为此要选定适当的参考系。所采用的数学
坐标曲面 z = z0 （平面）可表为： r = r ( x, y, z0 ) = xi + yj + z0k
坐标曲线
⎧ ⎨ ⎩
y z
= =
y0 z0
（直线）可表为： r
=
r
( x,
y0 ,
z0 )
=
xi
+
y0
j
+
z0k
1
由矢径表达式： r = r ( x, y, z ) = xi + yj + zk 求速度和加速度的表达式很方便
运动学 几种常用的坐标系 广义坐标（任意曲线坐标系）
静力学 力系的平衡
（静力学）虚功原理
动力学 牛顿定律
达朗贝尔方程（动力学虚功原理）
（以及动力学定理等） （以及拉格朗日方程，哈密顿理论等）
由于矢量力学大部分内容已在普物阶段讲授，本课程内容以分析力学为主，课程名称
也改称分析力学。在本课程中主要讲授分析力学的基本概念和基本原理，拉格朗日力学，哈
牛顿的《自然哲学的数学原理》奠定了经典力学的理论基础。（参阅教材§1.1）
分析力学发展简史，现状和前景：（参阅参考资料 3 的前言，进一步可参阅参考资料 13．） 经过人类长期的生产实践活动，经过众多科学家实验和理论的研究，经典力学已经完善并突
破了以 FG=mrG 为核心的牛顿力学的理论框架（矢量力学）；构建起了现代形式的理论体系（分
线的切线正方向（坐标增加的方向）。还可以得到关系式： ∂r = ∂r , ∂r = ∂r ， ∂r = ∂r ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
这些关系式都可以推广到一般的曲线坐标系，是富有启发性的。 平面直角坐标系，情况相仿；高维直角坐标系，不难推广。
（2）平面极坐标系（当质点在平面运动时可选用） (r,θ ) （教材 5 页。已学）
工具主要有：矢量、坐标系、微分、积分、微分方程等。质点的位置用质点的位矢 r = r (t ) 来
表示，利用求导数的方法可求得速度 v = dr 和加速度 a = dv = d 2r ；利用积分可作上述运算
dt
dt dt 2
的逆运算。消去位矢中的 t 就得到轨道方程。进一步讨论，还可能得到更多相关的信息。
布的力学体系也可离散化而处理成质点系。在本课程中主要讨论：质点（ n = 1的质点系）；
两体问题或多体问题（离散的质点系）；刚体（连续分布的不变形的质点系）。
0．3．为什么要学习分析力学？
分析力学便于处理更复杂的力学问题，特别是系统具有各种比较复杂的约束的情形。
分析力学能用统一的形式表达各种具体情形下的力学规律，因而便于阐述力学的普遍
在曲线坐标系中，我们选取基矢沿坐标曲线坐标增加的切线方向。由于坐标曲线一般说为 曲线，因此坐标曲线的方向一般不再保持不变。在上述这几种曲线坐标系情况下，在同一点沿 坐标曲线（的切线）的切矢量依然是相互垂直的（我们称之为正交的【思考】如何证明？），当
然总可以选为单位矢量（我们称之为归一的），因而它们满足 ei ⋅ ek = δ ik （特别 el ⋅ el = 1）。
{ } 总结得：直角坐标系的基矢 i , j, k 是正交归一常矢量组。
基矢和各坐标曲面、各坐标曲线之间的关系是相互垂直或平行。
空间任意一点的位置用坐标 ( x, y,z) 表示，也可用矢径 r = r ( x, y, z ) = xi + yj + zk 表示。
坐标曲面，坐标曲线也可以用方程来表示，也可以用矢径来表示。例如：
∑ 对于正交归一基矢，如果矢量 A = Aiei 则有 Ai = A ⋅ ei ； i 【注意】此结论在一般情况下未必成立。
若单位矢量 el
=
el
(θ
)
依赖于任意参数
θ
，则
del dθ
⊥ el 。（证明留待同学们自行完成）特别
地，在平面情形，若θ
事实上 dr = ∂r dx + ∂r dy + ∂r dz = dxi +dyj + dzk ∂x ∂y ∂z
即可得 v = r = r ( x, y, z) = xi + yj + zk
进一步 a = r = r ( x, y, z) = xi + yj + zk
从而可得基矢与矢径的偏导数之间的关系： ∂r = i , ∂r = j , ∂r = k ；这表明基矢是沿坐标曲 ∂x ∂y ∂z
原理。
1
分析力学侧重于能量（而矢量力学侧重于力），因此分析力学的方法便于推广，对于物 理学其他领域的理论，也有重要的意义，特别是对量子力学的建立与发展起了重要的作用。 0．4．分析力学的特点
数学工具用得较多，特别是数学分析；当然，我们也不必刻意回避几何方法。 分析力学的理论概括性比较强，力图对多样化的力学问题作统一的处理，同时也比较 抽象。学习时应加强对其物理意义的理解，同时应注重其在实际问题中的应用。如果自己能 构造一些实例以加深理解当然更好。 分析力学和矢量力学是同一研究对象的两种研究方法，所得结果当然应该一致。在矢量 力学中很难求解的问题可能在分析力学中变得比较容易求解，但是两者不可能得到相互矛盾 的结论。例如，在矢量力学中，单摆（振幅不很小的情况下）的解不能用初等函数来精确表 示，那么用分析力学的方法同样不可能用初等函数来精确表示。 0．5．关于教材和教学方法的说明和学习方法方面的建议 我们所选用的教材《理论力学》，与传统的理论力学教材相比，作了某些调整，加强了 分析力学内容的阐述。这些特点正和我们这门课程的要求相近。但是选用了合适的教材并不 意味着我们可以逐章逐节进行教学，不加改动。我们增删了部分内容，适当调整先后次序； 比较易读的内容或直截了当的计算，在课堂上略讲或不讲（仍属于本课程要求的范围），要 求大家认真阅读教材，并适当进行预习。顺便说一句，前言和各章首的摘要，也要认真阅读。 带*的内容，大部分不讲，不属于本课程要求的范围（特别说明的除外）。 也正因为这样，同学们有时也许会感到有较大的 “跳跃性”。这虽然给我们带来某些 不便，也给我们一种有益的训练。严谨性固然是必须具备的学习和科学工作的良好的品质， 但带有“跳跃性”地来学习某些内容也是一种必需具备的能力。至于“跳跃性”带来的困难 和不足之处，可以通过课堂教学和阅读其它参考资料加以弥补。 根据以往经验，理论力学或分析力学的初学者往往感到，“听课容易，作业困难”，力 学作业固然有些比较难做的题，其实还是有规律可循；听课，特别是要听好课，也未必容易。 感到“作业困难”往往正是由于没有听好课，或者没有很好消化讲课和教材的内容。什么叫 “听好课”，什么叫“认真阅读教材”，什么叫“很好消化”，首先当然是要弄懂面上的意思， 即已经讲出来写出来的意思；进一步要设法挖掘深一层的意思；（为什么要这样讲，这样写， 这样论证，这样推导，能不能换一种方法？）更进一步则是问自己，我还能给自己提出些什 么问题？当然不是说对每个问题都要这样深究，的确也不是每一个问题都值得这样深究；但 要努力学会发现值得深究的问题，学会深究问题的方法。 不少同学希望通过做更多的习题来解决‘作业困难’的问题。这种学习积极性无疑是 应该肯定的，做一定数量的习题也是完全必要的。但是过分看重做题未必是一种好的学习方 法，大量做题在时间安排上也是不现实的。与其匆匆忙忙甚至似懂非懂地做十个题，不如仔 仔细细做两三个题。这里仔仔细细是指多思考，做深做透，举一反三，做一个题要想到一系 列题，几个题就变成几个系列的题，几个系列的题交织成网，派生出更多的题；后面也将通 过若干例题来说明“仔仔细细”的含义。 我们对讲授提纲中某些栏目的要求说明如下： 【习题】指要求按时并按正规格式以书面形式完成的作业。 【练习】要求结合复习，及时自行完成的作业。建议做在听课笔记本上，作为听课笔 记的组成部分或补充。 【思考】这是对于复习时应思考问题的提示。不是书面作业。有的和课程要求的内容 直接有关，也有超出课程要求的内容；可以在听课后复习时就解决，也可以在日后进一步深 入学习时进行思考。 【注意】这是对于复习要点和学习时易忽略问题的提醒。