第四章 波前变换与相因子分析

相位因子中的非线性项均可忽略，有：
e
jkr
e
jkz
e
x2 y 2 jk 2z
e
r
kjz
相当于相位因子与横向位置（x,y）无关的正入射平面波 a0 ② 振幅近似：仍保留二次项 a0 jkz ③ 若ｚ足够大，则有 a0 a0 ，即振幅与横向位置无关。 远场条件下传播到接收面的波前函数可近似为：
U2
波前函数
x P O
–
k1

z k2
k1x k sin θ k1 y 0 k1z k cos θ
U1
b) 平面波U1在ｚ＝０平面上的波前函数为：
U1 x,y Ae
c) 共轭波前函数为： U 即
j k1 sinθ x
1 -j k 2 sinθ x
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角为（－）、向下的倾斜的平面波。
r z
x y z 2z
2
2
e
a0 a0 jkz e r z
5
比较两个条件，哪个对纵向距离要求更严格？ • 远场条件是从相位角度提出的限制，更苛刻；
2 2 x y 将 k 2π/λ, x 2 y 2 2 代入 k π 2z 2 远场条件可简化为： zλ ρ
r

两种近似条件：
2
2 2 2 2 x y x y r z 2 x2 y2 z 3 2 z 8 z


2
x0

P

x
a) 傍轴条件
z ρ
zλ ρ
2
2
Q O y0 Z
r y
b) 远场条件
z
表示横向接受范围的量度
哪个对纵向距离要求更严格？
• 菲涅尔衍射：
– 衍射体出射面上的复振幅是一系列球心位置不同的简谐 球面波； – 在菲涅尔衍射面上各球面波在空间不能分离； – 衍射场是出射面上复振幅的傅立叶变换
2
球面波向平面波的转换
• •
必要性：适应傅里叶衍射理论 球面波波前函数为 U x,y a0 e jkr 其中相位项中的r可展开
7
4.1 平面与球面波的描述与识别

基元成分——球面波与平面波
– 球面波：由实际点光源产生，或由理论上波前次波源 产生，形成球面波衍射理论。 a1 U r,t cosωt kr 0 r a1 jkr jt （设0=0） U r,t e e
r
– 平面波：任意复杂波前可分解成一系列平面波前的叠 加，形成平面波衍射理论
a0 U x,y e z
e jkz
傍轴条件下近似平面波的特点： 振幅为与场点位置无关的常数，具有平面波波前特点； 相位保留二次因子，不具备理想平面波的线性特点；
4
b) 远场条件（相位条件）
2 2 x y 相因子中的二次项相位增量远小于，即 k π 2z ① 相位近似：
1
衍射与二维傅立叶变换
• 夫琅禾费衍射：
– 衍射体出射面上的复振幅是一个含有不同空间频率和复 振幅密度的三维简谐平面波； – 在远场，不同传播方向的简谐平面波在空间完全分离； – 通过凸透镜，将不同空间频率的平面波会聚于后焦面上 不同的位置——频谱 – 出射面上的复振幅与后焦面上的频谱互为傅立叶变换。
U 2 x,y Ae
2 j k 2 sinθ x ，由此断定共轭波前是与ｚ轴夹
9
x,y U x,y Ae
问题2：轴上点光源Q位于(0,0,-R) ， 写出相应的球面波和共轭波的波 前函数。 a) 因 x0 y0 0， z0 R， 在 z 0 处的发散球面波波前函数：
Q
x
U4
U3 R
P o R
Q’
z
a0 jkr U 3 x,y e r 其中波矢量：
r x2 y2 R2 a0 jkr b) 共轭波前：U 4 x,y U 3 e r
z=R处
r x2 y2 R2
线性系统特性
光信号与电信号都是电磁波，具有线性特性。
• 叠加性 ：系统对输入f1和f2的响应分别为g1和g2 ，即
g1 x2 , y2 L f1 x1 , y1
g2 x2 , y2 L f 2 x1 , y1
则有： L f1 x1 , y1 f 2 x1 , y1 g1 x2 , y2 g 2 x2 , y2 线性系统可以通过基元函数 进行分解、综合； • 不变性 ：光学空间不变性 • 物点的成像性质与其位置无关，如像点的形状不随物点的空 间位置而变；在一定视场范围内，若轴外像差消的得很好， 则可视为与轴上点像差一样；
2 x 2 y 2
3
a) 傍轴条件
z 2 ρ 2
a0 a0 ① 波前函数中的振幅系数 可近似成： r z
② 波前函数中的相位因子 忽略r展开式中的高次项，保留 二次项，即有 x2 y 2
e
jkr
e e
kjz
x2 y2 jk 2z
jk
2z
傍轴条件下传播到接收面的波前函数可近似为：
U r,t A cosωt k r 0
U r,t Ae jk r e jt
（设0=0）
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波前的描述与识别：波的特征
问题１：平面波U1传播方向与（xz）平 面平行，与z轴夹角为，写出其波 前函数及其共轭波前函数： a) 确定坐标系和波矢量的三个分量：
波前的描述与识别 波前的叠加与干涉 Superposition & interference of wavefront 波前的变换与分解 Transformation & resolution of wavefront
波前的纪录与再现
Holograph & reconstruction of wavefront
两个条件可改写成： 傍轴条件： z 2 ρ 2 远场条件： zλ ρ
2
•
•
光波波长远小于纵向距离，若远场条件能满足，则傍轴 条件必然满足；
远场条件考虑了纵向距离、横向接受范围、波长三者的 关系，更全面。
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波前函数
• 波前：接收平面处的光场，波前函数描述该光场的分布

波前分析：
Description & recognition of wavefront