第四章 波前变换与相因子分析
《光学》课程教学大纲
《光学》课程教学大纲一、课程说明本课程总授课时数为学,周学时，学分分，开课学期第三学期。
.课程性质：专业必修课光学是物理学专业本科生必修的基础课程。
光学是物理学中最古老的一门基础学科，又是当前科学领域中最活跃的前沿阵地之一，具有强大的生命力和不可估量的发展前途。
学好光学，既能为物理学专业学生进一步学习原子物理学、量子力学、相对论、电动力学、现代光学、光电子技术、激光原理及应用、光电子学、光子学等课程准备必要的前提条件，又有助于进一步探讨微观和宏观世界的联系与规律。
通过本课程的教学，使学生系统地掌握基本原理和基本知识，培养分析问题、解决问题的能力，通过讲授（包括物理学的历史和前沿的讲授）帮助学生建立辩证唯物主义的观点，提高学生的科学素质。
从兰州大学物理学院课程的整体设置出发，考虑到物理基地班与普通班的各自办学特点和人才培养的要求，对光学课程的教学内容进行适当的调整，适当压缩几何光学部分，删除原课程中与其他学科相重复的部分以及相对陈旧的内容，吸收利用最新科学研究成果，着重加强现代光学部分的讲授内容，并注意介绍光学研究前沿新动态，按照物理学近代发展的要求和便于学习的原则组织课程体系。
通过本课程的教学，使学生系统地掌握基本原理和基本知识，培养分析问题、解决问题的能力，通过讲授（包括物理学的历史和前沿的讲授）帮助学生建立辩证唯物主义的观点，提高学生的科学素质。
.课程教学目的与要求()了解光学发展的基本阶段，培养科学研究的素质，加深辩证唯物主义的理解。
()了解光学所研究的内容和光学前沿研究领域的概况，培养有现代意识、有远见的新一代大学生。
()掌握光学的基本原理、基本概念和基本规律。
培养掌握科学知识的方法。
()掌握处理光学现象及问题的手段和方法。
培养科学研究的方法。
()光学是当前科学领域中较活跃的前沿学科之一，它与科学和技术结合日益加强，在教学中要展现现代光学技术的成就。
()在教学中要注意培养学生严谨的治学态度，引导学生逐步掌握物理学的研究方法和培养浓厚的学习兴趣。
钟锡华现代光学第6章前三节波前相因子分析法资料
变换相因子
15
6.2 相位衍射元件——透镜和棱镜 ▲可见
x2 y2 ~ tL ( x, y ) exp[ik ] 2F
（1） 薄透镜的相位变换函数具有“二次相因子”。 （2）在理论分析时，若存在“二次相因子”的变换函数， 则其作用等效于一个薄透镜，——对被作用的波前起聚散作 用。
例题1： 当平行光正入射于透镜，求出射光的波前函数及其特征。
第六章 波前相因子分析法
1
本章主要内容
6.1 衍射系统 波前变换 6.2 相位衍射元件——透镜和棱镜 6.3 波前相因子分析法 6.4 余弦光栅的衍射场 6.5 夫琅禾费衍射实现屏函数的傅里叶变换 6.6 超精细结构的衍射——隐失波 6.7 阿贝成像原理与空间滤波实验 6.8 光学信息处理列举 6.9 泽尼克相衬法 6.10 相位物可视化的其他光学方法； 6.11 夫琅禾费衍射的普遍定义与多种装置
2
6.1 衍射系统 波前变换
引言
处理光的衍射和干涉问题，最基本的方法是研究光的相干叠 加。这是传统光学的一般方法。
可以从另外一个角度分析这类问题。入射波场，遇到障碍物 之后，波场中各种物理量重新分布。衍射障碍物将简单的入 射场变换成了复杂的衍射场。 所以可以从障碍物对波场的变换作用，来分析衍射。
x 0 2 y0 2 x 2 y 2 x 0 x y0 y ik ( ) 2z 2z z
轴外电源的球面波的波前函数具有二次相因子和交叉线性相因子。
相因子告诉我们波源之所在
位相信息的重要性
26
6.3 波前相因子分析法
变换的相因子
（透镜 （2）棱镜
x2 y2 ~ tL ( x, y ) exp[ik ] 2F
第四章 透镜的位相调制和FT变换性质
理解透镜位相因子的物理意义 可通过考察透镜对垂直入射的单位振幅平面波的 效应，来理解透镜位相因子的物理意义
U 设： l x, y 为紧贴透镜前面的平面波光场分布， U lx, y 为紧贴透镜后面的平面上的光场复 振幅分布，
二者之间有关系如下：
U lx, y U l x, y tl x, y , 或 tl x, y U lx, y U l x, y
2 1 2 2
x2 y2 D 2 x, y D 02 R2 R x y D 02 R2 1 1 2 R2
2 2 2 2
x2 y2 x2 y2 Dx, y D 0 R1 1 1 2 R2 1 1 2 R1 R2 其中： D 0 D 01 D 02
在傍轴近似条件下： 考虑在透镜轴附近的那部分波前，即(x2+y2) 值足够小，则下列近似式成立。
x2 y2 x2 y2 1 1 2 R1 2 R12 x2 y2 x2 y2 1 1 2 R2 2 R22
上式相当于用抛物面来近似透镜傍轴区域的球面。 厚度函 数变成
x2 y2 x2 y2 R2 1 1 Dx, y D 0 R1 1 1 2 2 2 R1 2 R2 x2 y2 1 1 D0 2 R1 R2
A I f x f , y f f yy f dxdy
T0 u , v
2
2
二、 物体位于透镜之前
At0 x0 , y0 U l x, y U l x, y
1 P x, y 0 透镜孔径内 其他
物理光学
3.4.2光源非单色性的影响 3.4.3两相干光波振幅比的影响
3.5.1互相干函数和复相干度 3.5.2时间相干度 3.5.3空间相干度
3.6.1条纹的定域 3.6.2等倾条纹 3.6.3圆形等倾条纹 3.6.4透射光条纹
3.7.1定域面的位置及定域深度 3.7.2楔形平板产生的等厚条纹 3.7.3等厚条纹的应用
5.1惠更斯-菲 涅耳原理
2
*5.2基尔霍夫 衍射理论
3 5.3菲涅耳衍
射和夫琅禾费 衍射
4 5.4矩孔和单
缝的夫琅禾费 衍射
5
5.5圆孔的夫 琅禾费衍射
5.6光学成像系统的 衍射和分辨本领
*5.7双缝夫琅禾费 衍射
5.8多缝夫琅禾费衍 射
5.9衍射光栅
*5.11直边的菲涅 耳衍射
5.10圆孔和圆屏的 菲涅耳衍射
5.10.1菲涅耳衍射 5.10.2菲涅耳波带法 5.10.3圆孔衍射图样 5.10.4圆屏的菲涅耳衍射 5.10.5菲涅耳波带片
5.11.1菲涅耳积分及其图解 5.11.2半平面屏的菲涅耳衍射 5.11.3单缝菲涅耳衍射 5.11.4矩孔菲涅耳衍射
5.12.1什么是全息照相 5.12.2全息照相原理 5.12.3全息照相的特点和要求 5.12.4全息照相应用举例
2.1两个频率 1
相同、振动方 向相同的单色 光波的叠加
2
2.2驻波
3 2.3两个频率
相同、振动方 向互相垂直的 光波的叠加
4 2.4不同频率
的两个单色光 波的叠加
5
2.5光波的分 析
2.1.1代数加法 2.1.2复数方法 2.1.3相幅矢量加法
2.2.1驻波的形成 2.2.2驻波实验
2.3.1椭圆偏振光 2.3.2几种特殊情况 2.3.3左旋和右旋 2.3.4椭圆偏振光的强度 2.3.5利用全反射产生椭圆和圆偏振光
5-01 衍射系统的屏函数和相因子判断法
相因子判断，是会聚在透镜后距离 s ′ = 处的 1 1 球面波。 −
1
F
s
1 1 1 + = s′ s F
第五章：傅里叶变换光学 § 1 衍射系统的屏函数和相因子判断法
1.5 棱镜的位相变换函数
ϕ P ( x, y ) =
d
Δ
2π
λ
(Δ + nd )
2π
=ϕ 0 −
λ
( n − 1) d
λ nd 0 ϕ0 = 2π
⎛ x 2 + y 2 xx 0 + yy 0 ik ⎜ ⎜ 2z − z ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
轴上物点： ( 0 , 0 , − z )
e
⎛ x 2 + y 2 xx 0 + yy 0 ik ⎜ ⎜ 2z − z ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
→e
x2 + y2 ik 2z
第五章：傅里叶变换光学 § 1 衍射系统的屏函数和相因子判断法
1.2 相因子判断法
x0 o0 x
y0
z
y
o
U ( x , y ) = Ae iϕ
傍轴近似： A = 常 数
第五章：傅里叶变换光学 § 1 衍射系统的屏函数和相因子判断法
1.2 相因子判断法 平面波： q = k sin θ 1 e x + k sin θ 2 e y
U ( x , y ) = Ae ik (sin θ1 x + sin θ 2 y ) ( x, y )
Q′ Q
s ~ ~ U 2 ( x , y ) = U 1 ( x , y ) ~P ( x , y ) t
= A1 e
⎡ x2 + y2 ⎤ ik ⎢ − ( n − 1 )( α 1 x + α 2 y ) ⎥ ⎢ 2s ⎥ ⎣ ⎦
第2章 波动光学引言
在2.2的推导中利用了
r r r 2 ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ ⋅ A) − ∇ A
2.2 2.2是标准的波动方程，表明了自由空间交变的电场和磁场的运动和变化具有 波动形式，形成电磁波，其传播速度为：
1 1 εε 0 µµ0 = → v = v εε 0 µµ0
真空中电磁波的速度：
c=
1
ε 0 µ0
美国ＵＣＳＤ的ＮＩＭ研究小组已经设计制成了具有负折射率的材料。这 种材料是由铜质方形裂环振荡器和一条细铜线嵌在玻璃纤维的底板上形成 的。铜质方形裂环振荡器（split ring resonator）和铜线分别嵌在底板 的两面。（如图所示）。将用这样的材料制成的棱镜与用聚四氟乙烯 （Teflon）制成的棱镜对比后发现，经两者折射的波偏离主轴的方向相反。 由此证明了这种材料具有负折射率的性质。
r 2r ∂ E ∇ E − εε 0 µµ0 2 = 0 ∂t r 2 r ∇ 2 H − εε µµ ∂ H = 0 0 0 ∂t 2
2
k称为波矢，其方向与等相面的正交，即为波面的法线方向，其大小为：
k=
2π
λ
（4）光波是横波。 ）光波是横波。 将平面电磁波函数代入∇⋅E=0和∇⋅H=0，得到E⊥k和H⊥k，即电磁场振荡方 向与波矢方向正交，在与波矢正交的横平面中振荡，即自由空间中光波为横波。 （5）电场和磁场之间正交和同步。 ）电场和磁场之间正交和同步。
ε 0 ≈ 8.85 ×10 −12 C 2 / N ⋅ m 2，µ 0 = 4π ×10 −7 N / A2，得到真空电磁波速度为：
c ≈ 3 ×108 m / s.
和光速相同，再次证明光波就是电磁波。
根据折射率的定义：
2.2波前(NO.10)
19
3、定态平面波和定态球面波 定态平面波波函数的特点： （1）振幅是常数，与场点的坐标无关； （2）位相是直角坐标的线性函数：
( P) k r 0 k x x k y y k z z 0
ˆ ˆ k ˆ k k x x k y y k z z 是波矢。 2 /
14
三、傍轴条件和远场条件（轴外物点）
物点O的坐标为（ , y,0）， x 场点P的坐标为（ ' , y' , z） x
r ( x x' ) ( y y ' ) z
2 2 2
r0
r0 '
x' y ' z
2 2
2 2
2
x y z
2
15Leabharlann a ~ U ( x' , y ' ) exp[ikr] r a ( x x' ) 2 ( y y ' ) 2 z 2
三、复振幅描述
1、复振幅
U ( P, t ) A( P) cos[t ( P)] ~ [t ( P )] U ( P, t ) A( P)e
在讨论单色波场中各点扰动的空间分布 时，时间因子总是相同的，常可以忽略不写， 为此引入复振幅：
~ i ( P) U (P) A(P)e
振幅具有平面波的特点，但位相不满 足平面波的特征（存在二次项和交叉项）。
17
2、场点满足傍轴条件、物点同时满足傍轴条 件和远场条件，
a ik ~ U ( x' , y' ) exp[ikr0 ] exp[ ( xx' yy' )] z z
光学第六篇傅里叶变换光学简介
复杂波场： 分解为一系列平面波或球面波成分
波的类型和特性 波前相因子
波前相因子
方向角的余角
线性相因子
系数（cosx，cosy）或 （sin1，sin2）与平面 波的传播方向一一对应。
U2 U1
ik x2 y2
e 2fBiblioteka 凹透镜和凸透镜的情况相同，
只是焦距一个为负，一个为正。
相位型
例题：求薄透镜傍轴成像公式：
在傍轴条件下：U1 ( x,
y)
ik x2 y2
A1e 2s
ik x2 y2
透镜函数：tL (x, y) e 2 f
s
s’
ik x2 y2
ik x2 y2
U2 (x, y) tL (x, y)U1(x, y) e 2 f
二维 tP ( x, y) eik (n1（) 1x+2 y)
例题：推导棱镜傍轴成像公式：
傍轴条件：
ik x2 y2
s
U1(x, y) A1e 2s
ik x2 y2 ik (n1) x
U2 (x, y) tP (x, y) U1(x, y) A1e 2s
(n1)s 2 x(n1)s 2 y2
第六章 傅里叶变换光学简介
第六章 傅里叶变换光学简介
1、衍射系统 波前变换 2、相位衍射元件 3、波前相因子分析法 4、余弦光栅的衍射场 5、傅里叶变换 6、超精细结构的衍射 隐失波 7、阿贝成像原理与空间滤波 8、光学信息处理列举 9、泽尼克的相衬法
惠更斯-菲涅耳原理 光波衍射
菲涅耳衍射 夫琅禾费衍射
二维波前 决定 三维波场
二维波前 决定 三维波场
Double-helix Point Spread Function (DH-PSF) DH-PSF transfer function obtained from the iterative obtimization procedure, and its GL modal plane decomposition, which forms a cloud around the GL modal plane line. The DH-PSF transfer function does not have any amplitude component, and consequently is not absorptive.
第五章 傅立叶变换光学-wsf-复习提纲
棱镜傍轴成像公式
s
~ 傍轴条件：U1 ( x, y ) A1e
f
f
f
f
物平面
频谱面
像平面
光
傅里叶频谱面的光学分析优势
光
图象识别和比较
（1）振幅型
把标准图象放在物平面上，在频谱平面上放一张照相底片，以单色相 干光照明而获得频谱图的负片，把负片放在原来频谱的位置上，由于原来 频谱图的亮斑恰好为负片的暗处，而原来的频谱图的暗处正好为负片的亮 斑。把待检测的图样放在物平面上，如果待检测图样和标准图象完全一样， 频谱图和负片互补，这样在像平面出现一片黑暗。如果两个图样有一点不 图，则在像面上出现亮点。
第五章 傅立叶变换光学
复习内容
1、 波前变换和相因子分析
2、 余弦光栅的衍射场 3、 傅立叶变换光学 4、 阿贝成像原理与空间滤波 5、 泽尼克的相衬法
对于一些结果的推导，不要去记忆结果是什么，而是要知道结果 是怎么来的。
一、波前变换和相因子分析
(x,y) (x’,y’)
U1 U2
U
~ ~ ~ 入射场U1 ( x, y) 衍射屏的作用 出射场U 2 ( x, y) 波的传播行为 衍射场U ( x' , y' )
光经物平面发生夫琅和费衍射 , 在透镜焦面（频谱面） 上形成一系列衍射光斑 , 各衍射光斑发出的球面次波在 相面上相干叠加,形成像.
F
A B C C’ B’ A’
地震资料处理复习总结(第1-6章)
《地震勘探资料处理》第一章～第六章复习要点总结第一章 地震数据处理基础一维谱分析数字地震记录中，每个地震道是一个按一定时间采样间隔排列的时间序列，每一个地震道都可以用一系列具有不同频率、不同振幅、相位的简谐曲线叠加而成。
应用一维傅里叶变换可以得到地震道的各个简谐成分；应用一维傅里叶反变换可以将各个简谐成分合并为原来的地震道序列。
连续函数正反变换公式：dt et x X t i ωω-∞∞-⎰=)()(~ 正变换 ωωπωd e X t x t i ⎰∞∞-=)(~21)( 反变换 通常由傅里叶变换得到的频谱为一个复函数，称为复数谱。
它可以写成指数形式 )()()(|)(~|)(~ωφωφωωωi i e A e X X ==式中)(ωA 为复数的模，称为振幅谱；)(ωϕ为复数的幅角，称为相位谱。
)()()(22ωωωi r X X A +=，)()(tan )(1ωωωφr i X X -=（弧度也可换算为角度）离散情况下和这个差不多（看PPT 和书P2-3）一维傅里叶变换频谱特征：1、一维傅里叶变换的几个基本性质（推导）线性 翻转 共轭 时移 褶积 相关（功率谱），P3-72、Z 变换（推导）3、采样定理 假频 尼奎斯特频率，tf N ∆=21二维谱分析二维傅里叶变换),(k X ω称为二维函数),(t x X 的频——波谱。
其模量|),(|k X ω称为函数),(t x X 的振幅谱。
由),(k X ω这些频率f 与波数k 的简谐成分叠加即可恢复原来的波场函数),(t x X （二维傅里叶反变换）。
如果有效波和干扰波的在f-k 平面上有差异，就可以利用二维频率一波数域滤波将它们分开，达到压制干扰波，提高性噪比的目的。
二维频谱产生空间假频的原因数字滤波在地震勘探中，用数字仪器记录地震波时，为了保持更多的波的特征，通常利用宽频带进行记录，因此在宽频带范围内记录了各种反射波的同时，也记录了各种干扰波。
钟锡华现代光学第6章前三节波前相因子分析法资料
r1
透镜前表面 曲率半径
14
负号来源于负号法则
6.2 相位衍射元件——透镜和棱镜
经透镜变换后的光程差
L 1 2 n(d0 1 2 )
x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 n( d 0 ) 2r1 2r2 2r1 2r2
傅立叶 光谱仪
全息 原理
光栅光谱仪 衍射分光
阿贝成像
衍射成像
衍射应用
菲涅耳衍射 夫琅禾费衍射
光波衍射 惠更斯－菲涅耳原理
4
6.1 衍射系统 波前变换
现代变换光学是以经典波动光学的基本原理为基础，是干涉、衍射理 论的综合和提高，它与衍射、尤其是夫琅和费衍射息息相关……
→对（夫琅和费）衍射的再认识 衍射系统及其三个波前
7
6.1 衍射系统 波前变换 衍射屏函数及其三种类型 衍射屏函数－－为出射波前函数 与入射波前函数之比，即
8
6.1 衍射系统 波前变换
表观上相叠加的两个衍射屏，其等效屏函数 等于各屏函数的乘积
9
6.1 衍射系统 波前变换 什么是衍射 引入屏函数，HFK积分为：
无衍射屏存在时 自由传播的光场
° 1 ( x, y) 入射场 U ° 2 ( x, y) 出射场 U ° ( x ', y ') 衍射场 U
入射场是照明光波到达衍射屏的波前函数； 出射场是衍射屏的透射场或反射场，它是衍射空间初端的 波前函数，它决定了整个衍射空间的光场分布； 衍射场是屏后特定位置的波前函数。
5
6.1 衍射系统 波前变换
对于薄透镜，采取傍轴近似， 认为镜中的光线平行于光轴。 经透镜后的光程差
信息光学导论第五章
第五章傅里叶变换光学与相因子分析方法5.1 衍射系统 波前变换◆引言现代光学的重大进展之一，是引入“光学变换”概念，由此发展而形成了光学领域的一个新分支——傅里叶变换光学，泛称为变换光学(transform optics)，也简称为博里叶光学，它导致了光学信息处理技术的兴起．现代变换光学是以经典波动光学的基本原理为基础，是干涉、衍射理论的综合和提高，它与衍射、尤其与夫琅禾费衍射息息相关．对于熟悉经典波动光学的人们来说，由于他们有着较充分的概念储备和较充实的物理图像，因而具备更为有利的条件，去深刻而灵活地掌握现代变换光学． ◆衍射系统及其三个波前如图所示，一个衍射系统以衍射屏为界被分为前后两个空间．前场为照明空间，充满照明光波；后场为衍射空间，充满衍射光波．照明光波比较简单、常为球面波或平面波，这两种典型波的等幅面与等相面是重合的，属于均匀波，其波场中没有因光强起伏而出现的图样．衍射波较为复杂，它不是单纯的一列球面波或一列平面波，其等幅面与等相面—般地不重合，属于非均匀波，其波场中常有光强起伏而形成的衍射图样．在衍射系统的分析中，人们关注三个场分布：其中，入射场),(~1y x U 是照明光波到达衍射屏的波前函数；出射场),(~2y x U 是衍射屏的透射场或反射场，它是衍射空间初端的波前函数，它决定了整个衍射空间的光场分布；而衍射场),(~y x U ''是纵向特定位置的波前函数。
由此可见，整个衍射系统贯穿着波前变换：波前),(~),(~21y x U y x U →这是衍射屏的作用： 波前),(~),(~2y x U y x U ''→这是波的传播行为．由一个波前导出前方任意处的另一个波前，这是波衍射问题的基本提法，亦即波传播问 题的基本提法．标量波的传播规律己由惠更斯—菲涅耳—基尔霍夫理论(HFK 理论)给出．在 常见的傍轴情形下，其表达式为其积分核为ikre，这是一个球面波的相因子形式．换言之HFK 理论是—个关于衍射的球面波理论——衍射场是衍射屏上大量次波点源所发射的球面被的相干叠加．◆衍射屏函数及其三种类型我们已经同多种衍射屏有过交道，现在给山衍射屏函数的一般性定义，以定量地描述衍射屏的自身特征：),(12),(),(~),(~),(~y x i ey x t y x U y x U y x t ϕ== 即，屏函数(screen function)等于出射波前函数与入射波前函数之比．对于透射屏，t ~可称作复振幅透过率函数；对于反射屏，t ~可称作复振幅反射率函数．无疑，屏函数通常也是复函数，含模函数),(y x t 和辐角函数),(y x ϕ．唯象地看，实际上的衍射屏可分为三种类型，振幅型、相位型和相幅型．若),(y x ϕ为常数，仅有函数),(y x t ，则该衍射屏为振幅型，凡孔型衍射屏均系振幅型．若),(y x t 为常数，仅有函数),(y x ϕ，则该衍射屏为相位型，这在此之前似乎少见，其实，闪耀光栅不论其为透射的或反射的，均是一个相位型衍射屏，下一节即将研究的透镜相位衍射元件．当然，更为一般的情况是相幅型衍射屏，),(y x t 、),(y x ϕ皆为函数形式，即不仅出射场的振幅分布),(2y x A 有别于入射场的),(1y x A ，而且出射场的相位分布),(2y x ϕ也有别于入射场的),(1y x ϕ。
中科大傅里叶光学导论
对于光波，远场条件蕴涵傍轴条件 在光学中往往是远场条件蕴涵傍轴条件
λ = 0.5μm,横向观测的限度范围ρ ≈ 1mm
? 傍轴距离z1和远场距离z2 >> ⇔ 100
z2 >> ρ 2 ↔ z1 = 10ρ = 10mm zλ >> ρ 2 ↔ z2 = 100ρ 2 λ = 200m
波的产生和传播：
振动（扰动）在空间的传播形成波 引起扰动的源称为波源 波所传到的空间区域称为波场
矢量波、标量波：波动中，波场中的任一点总有某个物理
量随时间变化而振动，该物理量一般是矢量：如机械波中的 质点位移X，电磁波中的E H，相应的波称为矢量波。在某些 情况下所考察的振动物理量是标量，标量波（声波）
z
r
1、傍轴条件（振幅条件） z2 >> ρ 2
r=
x2
+
y2
+
z2
=
z[1 +
x2 + y2 2z2
−
(x2 + y2)2 8z4
+ L]
z2 >> ρ 2 = (x2 + y2 ) ⇒ A ≈ A rz
Q λ很小,k很大,相位简单换为z,会造成远大于2π的位相误差
∴ eikr
≈ e ⋅ e ik x2 + y2 2z
=
z (1 +
(x
−
x0 )2 + ( y 2z2
−
y0 )2
+ L)
1、若物点• 和场点• 都满足傍轴条件：z2 >> ρo2 , ρ 2
2光波基础
特点： 特点：
A U(r, t) = cos(ωt − kr) r
1. 振幅A(P) =A/r，反比于场点到振源的距离r 振幅A(P) =A/r，反比于场点到振源的距离r 这是能量守恒的要求 位相分布的形式为 分布的形式为φ 2. 位相分布的形式为φ(p)=kr
波面方程φ(p)=常数 波面方程φ(p)=常数，确实代表以振源为中心的一个球面 常数，
位相因子只有远小于的项才可忽略波前函数的相因子与横向位置xy无关相当于一列正入射的平面波而振幅系数并不保持为一常数远场条件相位条件球面波向平面波的转化12对于光波远场条件蕴涵傍轴条件光波长很短在光学中往往是远场条件蕴涵傍轴条件05横向观测的限度范围100傍轴距离和远场距离实验室空间距离直接实现远场条件不现实1010100200对于光波远场条件蕴涵傍轴条件利用透镜可实现远场条件傍轴条件远场条件源点场点二轴外物点的傍轴条件与远场条件设点源位置场点位置xxyyikikikxxyyikik与场点坐标有关的仅是线性相因子若场点满足远场条件而物点只满足xxyyikikxxyyikikdxdydxdy若物点满足远场条件而场点只满足若物面不是物点而是复杂物体接收平面处的场在一般情况下在接收观察平面上只对z轴附近的一个有限区域感兴趣即场点满足波的传播过程就是波面的传播实际上就是不同近似条件下的波面的变化也就是说在一定的条件下某观察面处的场可以看作球面波二次抛物面波的叠加平面波的叠xxyyikikikr所以在讨论波的传播时就关心物的尺度和观察平面之间距离z的关系即物的傍轴条件远场条件
v v φ( p) = k ⋅ r = kx x + ky y + kz z
解析几何：波面方程φ(p)=常数，确实代表一个以k方向为 φ 法线的平面
第6章 傅里叶变换光学与相因子分析方法
第6章 傅里叶变换光学与相因子分析方法6.1 衍射系统 波前变换 6.2 相位衍射元件——透镜和棱镜 6.3 波前相因子分析法 6.4 余弦光栅的衍射场6.5 夫琅禾费衍射实现屏函数的傅里叶变换6.6 超精细结构的衍射——隐失波6.7 阿贝成像原理与空间滤波实验6.8 光学信息处理列举 6.9 泽尼克的相衬法6.10 相位物可视化的其他光学方法6.11 夫琅禾费衍射的普遍定义与多种装置6.12 傅里叶变换和δ函数 6.13 准确获得物频谱的三种系统 习题21道6.1 衍射系统 波前变换• 引言 •衍射系统及其三个波前•衍射屏函数及其三种类型 •例题——两个衍射屏相叠 •什么是衍射引言经典波动光学6.1衍射光学现代发展概貌图6.26.3衍射系统 ▲系统的划分▲关注三个场分布入射场 ),(~1y x U ， 出射场 ),(~2y x U ， 衍射场 ),(~y x U′′. ▲波前变换概念波前 ),(~1y x U →),(~2y x U ，这是衍射屏的作用；波前 ),(~2y x U →),(~y x U ′′， 这是波的传播行为 ——由HFK 理论给出， 常见，傍轴情况∫∫⋅−≈′′dxdy e y x U r i y x U ikr ),(~),(~2λ.6.4衍射屏函数),(12),(),(~),(~),(~y x i e y x t y x U y x U y x t ϕ⋅== ▲唯象看，三种类型。
振幅型——仅),(y x t ，而ϕ与),(y x 无关； 相位型——仅),(y x ϕ，而t 与),(y x 无关； 相幅型——有),(y x t ，且),(y x ϕ，一般情况。
▲于是，衍射场∫∫⋅⋅−≈′′dxdy e y x U y x t r i y x U ikr),(~),(~),(~10λ ≠∫∫⋅−dxdy e y x U r iikr ),(~1λ， 自由传播场 什么是波的衍射▲形成对波衍射的普遍表述先前，曾有过关于“什么是波衍射”的两种说法：（参见书278页） 现在，可以这样表述：当光波在传播中，由于某种因素，使其波前振幅分布或相位分布发生变化，则其后场不同于自由传播场——发生衍射。
信息光学复习提纲
信息光学复习提纲 （自编）第一章 二维线性系统1．空间频率的定义是什么？如何理解空间频率的标量性和矢量性？ 2．空间频率分量的定义及表达式？3．平面波的表达式和球面波的表达式？对于单色光波。
时间量 空间量 22v T πωπ== 22K f ππλ== 时间角频率 空间角频率其中：v ----时间频率 其中：f ---空间频率T----时间周期 λ-----空间周期物理意义： ① 当090,,<γβα时0,,>z y x f f f ， 表示k 沿正方向传播； 当090,,>γβα时0,,<z y x f f f ， 表示k沿负方向传播。
② 标量性， 当α↗时，αcos ↘→x f ↘→x d ↗； 当α↘时，αcos ↗→x f ↗→x d ↘。
③标量性与矢量性的联系 x x f d 1= λαcos =x f条纹密x d ↘→x f ↗→α↘→θ↗条纹疏x d ↗→x f ↘→α↗→θ↘ 可见 ：条纹越密（x d 小），衍射角越大 条纹越疏（x d 大），衍射角越小2．空间频率概念光波的表示式为：(,,)0(,,,)(,,)j t j x y z x y z t x y z e e ωϕμμ-=⋅ 0(,,)jK r j t x y z e e ωμ-=⋅ (1.10.2)显然，光波是时间和空间的函数，具有时间周期性与空间周期性。
3．平面波的表达式 ① 单色平面波的公式 ()()()00,,,cos ,,j t jk r j tU x y z t t k r e e U x y z e ωωμωμ-⋅-=-⋅=⋅= 式中复振幅为：()0,,jk r U x y z e μ⋅=()[]γβαμcos cos cos ex p 0z y x jk ++=令 c z y x =++γβαcos cos cos 可见：等相面是一些平行平面 ②任一平面上的平面波表示式()()()101,,exp cos exp cos cos U x y z jkz jk x y μγαβ=+⎡⎤⎣⎦(()exp exp cos cos 0jkz jk x y μαβ⎡⎤=+⎣⎦ ()[]βαcos cos ex p 0y x jk U +=(1.10.36)令 c y x =+βαcos cos 可见，等位线是一些平行线③用空间频率表示的平面波公式 λαcos 1==x x T f ，1cos y y f T βλ==，1cos z z f T γλ== ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=z y x j z y x U λγλβλαπμcos cos cos 2exp ,,0 ()()[]z f y f x f j z y x U z y x ++=πμ2ex p ,,0 4、球面波的表达式 ⑴ 单色球面波的复振幅 发散波：(k 与γ一致) ()()0,,,,,jkr j t j t a U x y z t e e U x y z e r ωω--==式中： ()0,,jkr a U x y z e r = (1.10.5) 会聚波：(k 与γ 反向)()()0,,,,,jk r j t j t aU x y z t e e U x y z e r ωω-⋅--==式中： ()0,,jkr a U x y z e r-= (1.10.6)r ⑵ 球面波光场中任一平面上的复振幅分布 设球面波中心与坐标原点重合，则y x ,平面上的复振幅为 ()01,,jkr aU x y z e r=220121exp 12a x y jkz r z ⎡⎤⎛⎫+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ ()⎪⎫ ⎛+⋅≈220exp exp y x jk jkz a4．相干照明下物函数复振幅的表示式及物理意义？5．非相干照明下物光强分布的表示式及物理意义？1、 相干照明设()y x f ,为一物函数的复振幅，其傅氏变换对为 ()()(),exp 2x y x y F f f f x y j f x f y dxdyπ∞-∞⎡⎤=-+⎣⎦⎰⎰ ()()(),,exp 2xyxyxyf x y F f f j f x f y d f dfπ∞-∞⎡⎤=+⎣⎦⎰⎰可见：物函数()y x f ,可以看作由无数振幅不同方向不同的平面波相干迭加而成。
傅里叶光学与相因子分析方法共129页
(z0)
z
特点：振幅与场点到光源的距离的一次方成反比。
位相因子在傍轴近似下只含线性项和二次项。
衍射系统
衍射屏：凡能使波前上复振幅发生改变的物。
反射物、透射物。
衍射系统以衍射屏为界分前后两个空间：照明空间、衍射空间.
衍射系统中关注三个场分布：
入射场 出射场
~ U U~12((xx,,yy))
衍射场 U~(x, y)
在光学领域，处理的是光信号，它是空间的三维函数，不 同方向传播的光用空间频率来表征，需用空间的三维函数 的傅里叶变换。
6.1 衍射系统 波前变换
光源：脉冲光源：发光短暂，激发一个波包而在空间传播。 连续光源：稳定地持续发光。激发一个长波列而在空间推移。
波场中的各点以与光源同样的时间特性稳定地持续 发生扰动，且扰动的基本形式是简谐式振荡。
薄透镜焦距公式
平行光轴入射光波前函数
出射光的波前函数 从相因子看，是傍轴球面波，聚散中心为(0,0,F) 焦距为F，可正可负。0 > F ，会聚透镜；0 < F ，发散透镜
薄透镜傍轴成像公式
发散球面波入射，其波前函数为
出射波前函数为
出射波前函数表达式表明，它代表一列聚散球面波。因为相因子仅有二次相因子。 聚（散）中心在 ( 0,0S′)—— S′ 具有像距的意义。 即薄透镜傍轴成像、物像距之关系为
空间各点的扰动是同频率的简谐振荡。频率由振源 定态波场 决定。 （波列无限长）
波场中各点扰动的振幅不随时间改变，在空间形成 一个稳定的振幅分布。
稳态单色光波场，可只用 复振幅 来描述 ：
U ~ (P )A (P )ei(P )
1. 单色平面波 复 振幅: ( P ) k r 0 k x x k y y k z z 0 U ~ (P ) A e i(k x x k yy k zz ＋ 0 )
第四章 波前变换与相因子分析
② 光波传播过程中波面受到限制，自由完整的波面发生破缺 的现象；
③ 光在传播过程中因某种原因改变了波前的复振幅分布，使 得后场不再是自由传播的光场。
15
4.3 相位衍射元件
（１）透镜的相位变换函数 透镜的作用： ① 光瞳，限制波前。 ② 变换波前，改变波前的聚散性。 • • 以上两种作用可用复振幅透过率 函数（屏函数）统一表示。 透镜前后（x,y）平面的入射波 前函数和透射波前函数分别为：
1 F 1 1 n 1 r r 1 2
可见在傍轴条件下薄透镜是一个二次型相位变换元件
18
相位变换函数导出薄透镜焦距公式
平行光入射的入射场为：U1（x,y）＝Ａ1，其出射的波前函数
为：
U 2 x,y t L U1 A1e
x2 y2 jk 2F
相位因子中的非线性项均可忽略，有：
e
jkr
e
jkz
e
x2 y 2 jk 2z
e
r
kjz
相当于相位因子与横向位置（x,y）无关的正入射平面波 a0 ② 振幅近似：仍保留二次项 a0 jkz ③ 若ｚ足够大，则有 a0 a0 ，即振幅与横向位置无关。 远场条件下传播到接收面的波前函数可近似为：
x2 y2 jk 2s
A1e
x 2 y 2 n 1αsx jk 2s s
• 经透镜变换后的出射波前
S’
x2 y2 jk 2 s'
U 2 x,y t L U1 A1e
• 其中： 1 1 1 s' F s
x2 y2 jk 2F
e
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x
U4
U3 R
P o R
Q’
z
a0 jkr U 3 x,y e r 其中波矢量：
r x2 y2 R2 a0 jkr b) 共轭波前：U 4 x,y U 3 e r
z=R处
r x2 y2 R2
r
两种近似条件：
2
2 2 2 2 x y x y r z 2 x2 y2 z 3 2 z 8 z
2
x0
P
x
a) 傍轴条件
z ρ
zλ ρ
2
2
Q O y0 Z
r y
b) 远场条件
z
表示横向接受范围的量度
哪个对纵向距离要求更严格？
两个条件可改写成： 傍轴条件： z 2 ρ 2 远场条件： zλ ρ
2
•
•
光波波长远小于纵向距离，若远场条件能满足，则傍轴 条件必然满足；
远场条件考虑了纵向距离、横向接受范围、波长三者的 关系，更全面。
6
波前函数
• 波前：接收平面处的光场，波前函数描述该光场的分布
波前分析：
Description & recognition of wavefrontU2波前函数x P O
–
k1
z k2
k1x k sin θ k1 y 0 k1z k cos θ
U1
b) 平面波U1在ｚ＝０平面上的波前函数为：
U1 x,y Ae
c) 共轭波前函数为： U 即
j k1 sinθ x
1 -j k 2 sinθ x
角为（－）、向下的倾斜的平面波。
2 x 2 y 2
3
a) 傍轴条件
z 2 ρ 2
a0 a0 ① 波前函数中的振幅系数 可近似成： r z
② 波前函数中的相位因子 忽略r展开式中的高次项，保留 二次项，即有 x2 y 2
e
jkr
e e
kjz
x2 y2 jk 2z
jk
2z
傍轴条件下传播到接收面的波前函数可近似为：
U 2 x,y Ae
2 j k 2 sinθ x ，由此断定共轭波前是与ｚ轴夹
9
x,y U x,y Ae
问题2：轴上点光源Q位于(0,0,-R) ， 写出相应的球面波和共轭波的波 前函数。 a) 因 x0 y0 0， z0 R， 在 z 0 处的发散球面波波前函数：
7
4.1 平面与球面波的描述与识别
基元成分——球面波与平面波
– 球面波：由实际点光源产生，或由理论上波前次波源 产生，形成球面波衍射理论。 a1 U r,t cosωt kr 0 r a1 jkr jt （设0=0） U r,t e e
r
– 平面波：任意复杂波前可分解成一系列平面波前的叠 加，形成平面波衍射理论
相位因子中的非线性项均可忽略，有：
e
jkr
e
jkz
e
x2 y 2 jk 2z
e
r
kjz
相当于相位因子与横向位置（x,y）无关的正入射平面波 a0 ② 振幅近似：仍保留二次项 a0 jkz ③ 若ｚ足够大，则有 a0 a0 ，即振幅与横向位置无关。 远场条件下传播到接收面的波前函数可近似为：
a0 U x,y e z
e jkz
傍轴条件下近似平面波的特点： 振幅为与场点位置无关的常数，具有平面波波前特点； 相位保留二次因子，不具备理想平面波的线性特点；
4
b) 远场条件（相位条件）
2 2 x y 相因子中的二次项相位增量远小于，即 k π 2z ① 相位近似：
线性系统特性
光信号与电信号都是电磁波，具有线性特性。
• 叠加性 ：系统对输入f1和f2的响应分别为g1和g2 ，即
g1 x2 , y2 L f1 x1 , y1
g2 x2 , y2 L f 2 x1 , y1
则有： L f1 x1 , y1 f 2 x1 , y1 g1 x2 , y2 g 2 x2 , y2 线性系统可以通过基元函数 进行分解、综合； • 不变性 ：光学空间不变性 • 物点的成像性质与其位置无关，如像点的形状不随物点的空 间位置而变；在一定视场范围内，若轴外像差消的得很好， 则可视为与轴上点像差一样；
r z
x y z 2z
2
2
e
a0 a0 jkz e r z
5
比较两个条件，哪个对纵向距离要求更严格？ • 远场条件是从相位角度提出的限制，更苛刻；
2 2 x y 将 k 2π/λ, x 2 y 2 2 代入 k π 2z 2 远场条件可简化为： zλ ρ
• 菲涅尔衍射：
– 衍射体出射面上的复振幅是一系列球心位置不同的简谐 球面波； – 在菲涅尔衍射面上各球面波在空间不能分离； – 衍射场是出射面上复振幅的傅立叶变换
2
球面波向平面波的转换
• •
必要性：适应傅里叶衍射理论 球面波波前函数为 U x,y a0 e jkr 其中相位项中的r可展开
U r,t A cosωt k r 0
U r,t Ae jk r e jt
（设0=0）
8
波前的描述与识别：波的特征
问题１：平面波U1传播方向与（xz）平 面平行，与z轴夹角为，写出其波 前函数及其共轭波前函数： a) 确定坐标系和波矢量的三个分量：
1
衍射与二维傅立叶变换
• 夫琅禾费衍射：
– 衍射体出射面上的复振幅是一个含有不同空间频率和复 振幅密度的三维简谐平面波； – 在远场，不同传播方向的简谐平面波在空间完全分离； – 通过凸透镜，将不同空间频率的平面波会聚于后焦面上 不同的位置——频谱 – 出射面上的复振幅与后焦面上的频谱互为傅立叶变换。
波前的描述与识别 波前的叠加与干涉 Superposition & interference of wavefront 波前的变换与分解 Transformation & resolution of wavefront
波前的纪录与再现
Holograph & reconstruction of wavefront