数理方程题1

波动方程初值问题的解法（数学物理方程答卷）姓名学号纪尚军 0803044108王雅琳 0803044109 郭潇潇 0803044117韩海梅 0803044118高璇 0803044119刘莉莉 0803044125郭贵芳 0803044126龙艳丽 0803044134曹琼 0803044135王蕾蕾 0803044136刘菁 0803044145波动方程初值问题的解法摘要：求解波动方程初值问题的常用方法—达朗贝尔公式法，行波法，齐次化原理，叠加原理以及泊松公式法，先从一维波动方程入手，继而运用降维法，叠加原理等来解二维三维波动方程，掌握其基本思路及求解过程。

波动方程初值问题的解法1. 预备知识 1.1达朗贝尔公式考虑两端为无限长的弦振动方程的初值问题⎩⎨⎧>+∞<<∞=+∞<<-∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛,0,-,.,0,,0,2tt t x u a u x x x u x x u xx t ψφ （1） 其中()()x x ψφ,分别表示初始位移和初始速度.则该方程的特征线是.,21c at x c at x =-=+引入特征线坐标方法，得到利用复合函数求导数的.,at x at x -=+=ηξ.2,ηηξηξξηξηξηξu u u u u u u u u xx x x x ++=+=+=类似可以得到()().2,2ηηξηξξηξu u u a u u u a u tt t +-=-=把上述各式代入到（1）中的弦振动方程，得到 .0=ξηu （2）把方程（2）关于η 积分，得(),f ξξ=u然后再关于ξ积分，得()()()()(),,ξξηξξηξG F G d f u +=+=⎰其中F 和G 是任意二阶连续可微方程，代回原自变量x 和t ，得到（1）中弦振动方程的通解()()().,at x G at x F t x u -++= （3） 直接验证可知，只要F 和G 是二阶连续可微的，它就满足（1）中的方程。

为了求出初值问题（1）的解，还必须利用初始条件来确定函数F 和G . 把初值问题（1）中的初始条件代入到式(3),得)()()(),x 0,G x F x x u +==φ （4） ()()()()().0,''x G x F a x x u t -==ϕ （5） 将式（5）积分一次得()()()C d ax G F xx +=-⎰ξξψ01x （6）其中0x 为任意一点，C 是积分常数，由式(4)和式（6）解得()()()()()().221x 21,221x 21x 00C d a x G Cd a F x x x x --=++=⎰⎰ξξϕφξξϕφ将F 和G 代入到（3）就得到初值问题（1）解的表达式()()()()().2121,u ξξϕφφd a at x at x t x atx at x ⎰+-+-++= (7) 这个公式称为达朗贝尔公式，或初值问题的达朗贝尔解.另外有，一维非齐次波动方程初值问题解的Kirchhoff 公式：[]τξτξξξψϕϕττd d f a d a at x at x t x u t t a x t a x at x at x ⎰⎰⎰-+--+-++-++=0)()(),(21)(21)()(21),( 1.2二维齐次波动方程的初值问题()()()()()22200,,,0,|,,|,,,.tt xx yy t t t u a u u x y t u x y u x y x y φϕ==⎧=+∈>⎪⎨==∈⎪⎩ （8）我们把初始函数),(y x φ和),(y x ϕ分别堪称是三元函数()(),,,,(,,)(,)x y z x y x y z x y φφψϕ==，那么容易得到三位波动方程初值问题：()()()23300,,,,0|,,,|(,,),(,,)tt xx yy zz t t t u a u u u x y z t u x y z u x y z x y z φψ==⎧=++∈>⎪⎨==∈⎪⎩（9）的解U 与变量Z 无关，它是问题（8）的解.这种利用高维波动方程定解问题的解得出低维波动方程相应定解问题的解的方法称为降维法 非齐次二维波动方程的初值问题()()()()()22200(,,),,,0,|,,|,,,.tt xx yy t t t u a u u f x y t x y t u x y u x y x y φϕ==⎧=++∈>⎪⎨==∈⎪⎩ （10）利用叠加原理和齐次化原理，可以得到其解：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-----+----∂∂+----∂∂=atcc c MtMatM aty x d d d at f y x t a d d t a y x t a d d t a t y x u 022222222222)()(),,()()(),(21)()(),(21),,(ηξττηξτηξηξηξηξϕπηξηξηξφπ其中(){()222M C x y τξητ=-+-≤利用极坐标和令()a t s τ=-，那么drrd rt a r y r x t a dr rd rt a r y r x t a z y x u atat θθθϕπθθθφπππ⎰⎰⎰⎰-++∂∂+-++∂∂=020222020222)sin ,cos (21)sin ,cos (21),,(+()()2()200022cos ,sin ,12ta t s f x r y r s rd drds a a t s rπθθθπ-++--⎰⎰⎰（11）可以证明当()()[()322222,,*0,)C C f C φϕ∈∈∈∞ 时，初值问题存在解（10）或（11）1.3三维波动方程的初值问题 求解下列初值问题323000(),(,,),0,|(,,),|(,,),(,,)tt xx yy zz t t t u a u u u x y z t u x y z u x y z x y z ψ===⎧=++∈>⎪⎨=Φ=∈⎪⎩其中()(),,,,,x y z x y z φψ为已知位移和速度函数。

一般情况下求解此问题是较困难的如果考虑u 在以),,(z y x M 为球心，r 为半径 的球面上的平均值U ，则这个平均值U 只与r 和时间t 有关（点),,(z y x M 固定）。

若求得这个平均值),(t r U ，再令半径r 趋于0，则这个平均值),(t r U 的极限就是u 在点),,(z y x M 和时刻t 的值。

这种借助于球面平均值求得解的方法，称为球 面平均值方法。

利用该方法解三维波动方程解的泊松公式如下：221(,,)1(,,)(,,,)44MM atatss u x y z t ds ds a t t a tφεηζψεηζππ∂=+∂⎰⎰⎰⎰引进球面坐标系ϕθθθζϕθηϕθξd d t a ds at z at y at x sin cos ,sin sin ,cos sin 22=+=+=+=()ϕθθϕθϕθθψπϕθθϕθϕθθφπππππd d at z at y at x t d d at z at y at x t tz y x u ⎰⎰⎰⎰+++++++∂∂=20200)cos ,sin sin ,cos sin (sin 4)cos ,sin sin ,cos sin (sin 41,,2. 应用举例2.1(王雅琳)求解下列初值问题的解:()⎩⎨⎧-===-.160,,2sin )0,(,092x x u x x u u u t xx tt .,0,+∞<<∞->+∞<<∞-x t x 解：由题意得，,3=a ()()()()160,,2sin 0,2-====x x x u x x x u t ϕφ.则由达朗贝尔公式得()()()()().2121,⎰+-+-++=at x at x d a at x at x t x u ξξϕφφ =()()()()⎰+-+-++tx t x d u at x t x 33213321ξξφφ =()()[]()⎰+--⨯+-++t x tx d t x t x 331632132sin 32sin 212ξξ =()()()()[]t x t x t x t x t x 332332616cos 2sin 22-+--+-++=[]t t x t t x 63654616cos 2sin 23-++=t t x t x 66182sin 23-++2.2（王蕾蕾）求解下列初值问题：()()2220,,0,,02tt xx x xt u a u x u x e u x axe--⎧⎪-=-∞<<∞⎨==⎪⎩ 解：将初始条件代入达朗贝尔公式，有()()()22211,222x at x at x at x at u x t e e a e d aξξξ+-+----⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰ ()()22221122x at x at x at x at e e e d ξξ+-+----⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰ ()()2221122x at x at x atx ate e e ξ-+---+-⎡⎤⎡⎤=++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()2x ate--=2.3（郭潇潇）利用达朗贝尔公式求解初值问题⎩⎨⎧∞<<-∞'-==∞<<-∞>=-))(()0,(),()0,(),0(02x x a x u x x u x t u a u t xx tt ϕϕ 解：由已知)()(x a x ϕϕ'-=，由达朗贝尔公式得[][][])()(21)()(21)(21)()(21),(at x at x at x d a aat x at x t x u atx at x atx at x -=-++-='-+++-=+-+-⎰ϕξϕϕϕξξϕϕϕ有所得结果知，当初始位移)(x ϕ和初始速度)(x ϕ满足关系0)()(='=x a x ϕϕ时，其解仅由右行进波组成。

2.4（纪尚军）解下列一维波动方程的初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==>+∞<<-∞+===.0,2sin .0,,cos 002t t t xx tt u x u t x x u a u 解：令)(),(),(x w t x v t x u +=，代入方程，将方程齐次化， 因此[]x a x w x x w a x x w v a v xx tt cos 1)(0)cos()()cos()(222=⇒=+⇒++= 再求定解问题:⎪⎩⎪⎨⎧=-=>===.0),(cos 12sin .0,0202t t t xx tt v x xw a x v t v a v由达朗贝尔公式得到以上问题的解为:0)cos(1)(2sin )cos(1)(2sin 21),(22+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++-+=at x a at x at x a at x t x V at x a at x cos cos 1cos sin 2-= x aat x a at x t x u cos 1cos cos 1cos sin ),(22+-=2.5（高璇）设弦的两个端点固定,在点x=c 拉起h,而后放开做自由振动，求 其运动规律.解：设弦的自由振动规律为(,)u x t ，初始条件可写为：(0)(,0)()()()hx x c cu x x h l x c x l l cϕ⎧≤≤⎪⎪==⎨⎪-<≤⎪-⎩则(,)u x t 是下列混合问题：20(0,0)(,0)(),(,0)()(0)(0,)(,)0(0)tt xx t u a u t x l u x x u x x x l u t u l t t ϕ⎧-=><<⎪==ψ≤≤⎨⎪==≥⎩的解.因()x ϕ=0，由k B =0,又有02()sinl k k A d l l πϕξξξ=⎰ 022sin()sin c l c h k h k d l d l c l l l c lππξξξξξξ=+--⎰⎰ 2222sin()hl k clc l c kππ=- 于是得:(,)u x t =222121sin sin cos ()k hl k c k x k at c l c k l l lππππ∞=-∑ 2.6（刘莉莉）求解下面初值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<-∞+==>+∞<<-∞+=-==.,11,0,0,,)1(20022x x u u t x x xt u u t t t xx tt 解：一维非齐次波动方程初值解的公式为：[]τξτξξξψϕϕττd d f a d a at x at x t x u t t a x t a x at x at x ⎰⎰⎰-+--+-++-++=0)()(),(21)(21)()(21),(由此得：xt t x t x x t x t x t t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x d t x t x t x t x d d d d t x u tt t t ttt x t x t x tx t t x t x t x t x arctan 2)]arctan()[arctan(42)]arctan()[arctan(4)(1)(1ln 81)(arctan 4])(1[ln 81)(arctan 4])(1[ln 81)arctan(21)arctan(21)(1)(141)arctan(21)arctan(21)1(1)21(21arctan 21)1(211121),(220020020220)()(20)()(222+--+-+-++--+++=+---+-++-+++-++---+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+--++---+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-⨯+=+++=⎰⎰⎰⎰⎰-+--+--+--+-ττττττττττξτξτξξξτξξττττ2.7（郭贵芳）求下列二阶线性偏微分方程初值问题的解⎪⎩⎪⎨⎧∈=-=+∞<<-∞>+∞<<-∞+=.),(,2)0,,(,2)0,,(,0,,2222R y x x y x u y x y x u y t x u u u t yy xx tt解：利用叠加原理和齐次化原理可以得，其解为：drrd rt r y r x dr rd rt r y r x t t y x u t t θθθψπθθθφπππ⎰⎰⎰⎰-+++-++∂∂=0202202022)sin ,cos (21)sin ,cos (21),,(dr rd rt r x dr rd r t r y r x t t t θθπθθθπππ⎰⎰⎰⎰-++-+-+∂∂=0202220202222)cos (221)sin ()cos (221化解得：22)(2),,(y t x t y x u -+=2.8（韩海梅）设函数()t x u ,=()t x x x u ;,,321 试构造()t x u ,的球面平均()t r x M u ,,（t 作为参数变量），并证明u M 满足如下初值问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂==∂∂+∂∂-∂∂)13(),,()0,,(),()0,,()12(,0)2(22222r x M r x M r x M r x M M r a M u tu u rr u t ϑϕ 其中 ,)()()(233222211x x x at r -+-+-==εεε方程（12）称为欧拉—泊松—达布方程。