第4节幂函数与二次函数

第4节幂函数与二次函数【考试要求】

1.通过具体实例，结合y＝x，y＝1

x

，y＝x2，y＝x，y＝x3的图象，理解它们的变

化规律，了解幂函数；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.

【教学重点】幂函数的概念，三个二次的关系

【教学难点】幂函数性质，三个二次的转换

【教学方法】知识梳理、典例启发讲练

【教学手段】多媒体辅助教学

【教学过程】

【知识梳理】

1.幂函数

(1)幂函数的定义

一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，

其中x是自变量，α为常数.

(2)常见的五种幂函数的图象

(3)幂函数的性质

①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；

③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.

2.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).

顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).

零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.

(2)二次函数的图象和性质 函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)

y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)

图象 (抛物线)

定义域 R

值域 ⎣⎢⎡⎭

⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝

⎛

⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a

对称轴 x ＝－

b

2a

顶点 坐标 ⎝ ⎛⎭⎪⎫

－b 2a

，4ac －b 24a

奇偶性

当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数

单调性

在⎝ ⎛

⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上是减函数； 在⎣⎢⎡⎭

⎪⎫

－b 2a ，＋∞上是增函数 在⎝ ⎛

⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上是增函数； 在⎣⎢⎡⎭

⎪⎫

－b 2a ，＋∞上是减函数 1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 2.若f (x )＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎨⎧a >0，Δ<0时恒有f (x )>0；当⎩⎨⎧a <0，

Δ<0

时，恒有f (x )<0.

3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限； (2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.

【诊 断 自 测】

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y ＝2x 1

3是幂函数.( )

(2)当α>0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上是增函数.( )

(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的两个零点可以确定函数的解析式.( ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈[a ，b ])的最值一定是4ac －b 2

4a .( )

2.(多填题)(老教材必修1P79T1改编

)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫

12，22，

则k ＝________，α＝________.

3.(新教材必修第一册P86T7改编)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是________.

4.(2016·全国Ⅲ卷)已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，则( ) A.b

B.a

C.b

D.c

5.(2020·河南省实验中学质检)已知函数f (x )＝3x 2－2(m ＋3)x ＋m ＋3的值域为[0，＋∞)，则实数m 的取值范围为( ) A.{0，－3} B.[－3，0] C.{0，3}

D.(－∞，－3]∪[0，＋∞)

6.(2018·上海卷)已知α∈⎩⎨⎧－2，－1，－12，

⎭

⎬⎫12，1，2，3.若幂函数f (x )＝x α为奇函

数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______.

【考点解读】

考点一 幂函数的图象和性质

【例1】 (1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，则幂函数y ＝f (x )的大致图象是( )

(2)当x ∈(0,+∞)时,幂函数y=(m2+m-1)x-5m-3为减函数,则实数m 的值为 ( )

A.-2

B.1

C.1或-2

D.m ≠15

-±(3)若a=2

3

12⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,b=23

15⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,c= 1

312⎛⎫ ⎪⎝⎭,则a,b,c 的大小关系是 ( )

A.a

B.c

C.b

D.b

(4)(2020·衡水中学调研)已知点(m ，8)在幂函数f (x )＝(m －1)x n 的图象上，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

13，

b ＝f (ln π)，

c ＝f (2－1

2)，则a ，b ，c 的大小关系是( )

A.a

B.a

C.b

D.b

规律方法 1.对于幂函数图象的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.

2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.

【训练1】 (1)(多选题)已知点⎝ ⎛

⎭⎪⎫a ，12在幂函数f (x )＝(a －1)x b 的图象上，则函数f (x )

是( )

A.奇函数

B.偶函数

C.(0，＋∞)上的增函数

D.(0，＋∞)上的减函数

(2)若幂函数y ＝x －1，y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为( )

A.－1

B.－1

C.－1

D.－1

考点二 二次函数的解析式

【例2】 (一题多解)已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.

规律方法 求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：