【趣味数学】高中数学校本课程：第4课时 三角函数的趣题—直角三角形

第4课时 三角函数的趣题—

直角三角形

教学要求：探索直角三角形在生活中应用，进一步体会三角函数在解决问题过程

中的应用。

教学过程：

一、 情境引入

直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等.

二、 例题分析

例1、海中有一个小岛A ，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A 岛南偏西55°的B 处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C 处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?

解析：过A 作BC 的垂线，交BC 于点D.得到Rt △ABD 和Rt △ACD ，从而BD=AD tan55°，CD ＝ADtan25°，由BD-CD ＝BC ，又BC ＝20海里.得

ADtan55°-ADtan25°＝20.

AD(tan55°-tan25°)＝20， AD=︒

-︒25tan 55tan 20≈20.79(海里). 这样AD ≈20.79海里>10海里，所以货轮没有触礁的危险

例2、如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B 处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A 向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响.

(1)问：B 处是否会受到台风的影响?请说明理由.

(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?

解析：(1)过点B 作BD ⊥AC.垂足为D.

依题意，得∠BAC ＝30°，在Rt △ABD 中，BD= 21AB=2

1×20×16=160＜200， ∴B 处会受到台风影响.

(2)以点B 为圆心，200海里为半径画圆交AC 于E 、F ，由勾股定理可求得DE=120. AD=1603. AE=AD-DE=1603 -120，

∴40

1203160 =3.8(小时). 因此，陔船应在3.8小时内卸完货物.

练习：一个人从山底爬到山顶，需先爬40°的山坡300 m ，再爬30°的山坡100 m ，求山高.(结果精确到0.01 m)

三、 本课小结

本节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际问题，提高了我们分析和

解决实际问题的能力.

四、 作业

如图，Rt △ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB 的长为12 m ，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD ，求DB 的长.(结果保留根号)