【趣味数学】高中数学校本课程：第4课时三角函数的趣题—直角三角形

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2024年新高一数学初升高衔接《三角函数的概念》含答案解析

第23讲三角函数的概念模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；2．掌握任意角的三角函数值在各象限的符号；3．会利用任意角的三角函数的定义求值；4．掌握公式一并会应用.知识点 1 任意角的三角函数的定义1、利用单位圆定义任意角的三角函数设α是一个任意角，它的终边OP 与单位圆交于点()y x P ,．三角函数定义记作符号表示正弦函数点P 的纵坐标sin αsin y α=余弦函数点P的横坐标cosαcos x α=正切函数点P 的纵坐标与横坐标的比值tan αtan (0)yx xα=≠我们将正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数sin ,y x x R=∈余弦函数cos ,y x x R=∈正切函数()tan ,2y x x k k Z ππ=≠+∈2、用角的终边上点的坐标表示三角函数如图，设若α是一个任意角，它的终边上任意一点P （不与原点重合）的坐标为(),x y ，点P 到原点的距离为(r r =，则sin y rα=，cos x r α=，tan y x α=．【注意】三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上点P 的位置无关．知识点 2 三角函数的定义域和函数值的符号1、三角函数的定义域三角函数定义域sin α{}R αα∈cos α{}R αα∈tan α,2k k Z πααπ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【说明】单位圆上,x y 的取值范围是[1,1]-，根据正弦函数、余弦函数的定义，我们可以得到正弦函数、余弦函数的值域．2、三角函数值在各象限的符号根据三角函数的定义以及单位圆上点的位置（在哪个象限），可以得到正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各个象限的符号，如下图．由于原点到角的终边上任意一点的距离r 是正值，根据三角函数的定义，值（1）正弦函数值的符号取决于纵坐标y 的符号；（2）余弦函数值的符号取决于横坐标x 的符号；（3）正切函数值的符号取决于由,x y 的符号共同决定，即,x y 同号为正，异号为负．【三角函数值的符号记忆】“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．其含义是：第一象限中各三角函数值全是正数，第二象限中只有正弦值为正数，第三象限中只有正切值为正，第四象限中只有余弦值为正．知识点 3 终边相同的角的三角函数值1、公式一：由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一：απαsin )2sin(=+k απαcos )2cos(=+k απαtan )2(tan =+k 其中Zk ∈注意：（1）利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值．（2公式一统一概括为f (k ·2π＋α)＝f (α)(k ∈Z)，或f (k ·360°＋α)＝f (α)(k ∈Z)．其特征是：等号两边是同名函数，且符号相同，即同名同号．2、特殊角的三角函数值0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°6π4π3π2π32π43π65ππ23πsin α21222312322210－1cos α12322210-21-22-23－10tan α33133-－133-知识点 4 三角函数定义的应用1、已知角α的终边上一点P 的坐标，求角α的三角函数值方法：先求出点P 到原点的距离，再利用三角函数的定义求解；2、已知角α的一个三角函数值和终边上的点P 的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值方法：先求出点P 到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题；3、已知角α的终边所在的直线方程（y kx =，0k ≠），求角α的三角函数值方法：先设出终边上的一点()(),0P a ka a ≠，求出点P 到原点的距离，再利用三角函数的定义求解（注意α的符号，对α分类讨论）考点一：由终边上的点求三角函数值例1．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴非负半轴上，点()6,8P --为角α终边上一点，则cos α=（）A ．45B ．45-C ．35D ．35-【变式1-1】（23-24高一下·辽宁·月考）若角α的终边经过点()1,2-，则3232sin 3cos sin 6cos 2sin cos αααααα++=-（）A ．BC ．12D ．110【变式1-2】（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知钝角α的终边上的一点()4,3k k -，则sin α=.【变式1-3】（23-24高一下·河北张家口·月考）已知角α的终边落在直线12y x =-上，求sin α，cos α，tan α的值．考点二：由三角函数值求终边上点的参数例2.（23-24高一上·广东揭阳·月考）在平面直角坐标系中，点M (3,)m 在角α的终边上，若sin α=m =（）A ．6-或1B ．1-或6C ．6D ．1【变式2-1】（23-24高一下·河南南阳·期中）已知角θ的终边经过点(,1)P m -，且3cos 5θ=-，则m =（）A ．43-B ．34-C ．43±D ．34±【变式2-2】（23-24高一下·江西抚州·期中）已知角α的终边经过点()3,m -，若2tan 3α=，则sin α=（）A ．BC ．D 【变式2-3】（23-24高一上·广东肇庆·期末）已知角α的终边经过点(5,)P t ，且12sin 13α=-，则tan α=.考点三：判断三角函数值的符号例3.（23-24高一下·云南保山·期中）（多选）下列选项中，符号为负的是（）A ．3πsin2B ．3πcos2C ．tan 2D ．cos2【变式3-1】（23-24高一下·辽宁大连·月考）已知()cos2,tan1P ，则点P 所在象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【变式3-2】（23-24高一下·江西南昌·月考）已知角,A B 是三角形ABC 的两个内角，则点()cos ,cos P A B （）A ．不可能在第一象限B ．不可能在第二象限C ．不可能在第三象限D ．不可能在第四象限【变式3-3】（23-24高一下·贵州遵义·月考）（多选）若角α的终边在第三象限，则sin 2cos 3tan 222sincostan222αααααα+-的值可能为（）A ．0B ．2C ．4D ．4-考点四：由符号确定角所在的象限例4.（23-24高一上·宁夏吴忠·期末）若cos tan 0θθ<，则θ是第象限角．【变式4-1】（23-24高一下·北京·期中）若θ满足sin 0,tan 0θθ<>，则θ的终边在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【变式4-2】（22-23高一下·山西大同·月考）已知 sin cos 0αα<，且cos 0α>，则角α的终边位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【变式4-3】（23-24高一下·上海·月考）若θ终边不在坐标轴上，且cos cos sin sin 1θθθθ+=-，则θ在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点五：圆上的动点与旋转点例5.（23-24高一上·安徽六安·期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，动点P 、Q 从点()1,0A 出发在单位圆上运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π12弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转11π12弧度，则P 、Q 两点在第4次相遇时，点P 的坐标是（）A ．1,2⎛ ⎝B ．12⎛ ⎝C ．12⎛- ⎝D ．12⎛- ⎝【变式5-1】（23-24高一上·湖北荆州·期末）单位圆上一点P 从()0,1出发，逆时针方向运动π6弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为（）A ．12⎛- ⎝B ．12⎫⎪⎪⎭C ．21⎫-⎪⎪⎭D ．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【变式5-2】（23-24高一上·福建莆田·期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，动点P 、Q 从点()1,0A 出发在单位圆上运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π12弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转11π12弧度，则P 、Q 两点在第1804次相遇时，点P 的坐标是 .【变式5-3】（22-23高一下·山西忻州·开学考试）在直角坐标系xOy 中，若点P 从点()3,0出发，沿圆心在原点，半径为3的圆按逆时针方向运动11π6到达点Q ，则点Q 的坐标为（）A ．32⎛⎫⎪⎝⎭B ．32⎛- ⎝C ．32⎫-⎪⎪⎭D ．3,2⎛ ⎝考点六：诱导公式一的应用例6.（23-24高一下·江西吉安·月考）sin300cos0︒︒的值为（）A ．0B ．12C ．12-D ．【变式6-1】（23-24高一下·黑龙江绥化·月考）()sin 1050-︒=（）A ．12B C ．12-D ．【变式6-2】（22-23高一下·辽宁葫芦岛·期末）17sin4π的值为（）A ．BC ．D 【变式6-3】（23-24高一下·河南南阳·月考）29πsin 3⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．B ．12-C D ．12一、单选题1．（23-24高一下·河南·月考）若角α的终边经过点(P -，则sin α=（）A B ．C D ．2．（23-24高一下·贵州仁怀·月考）()cos 300-︒的值（）A ．12-B ．CD ．123．（23-24高一下·河南南阳·期末）已知角α的终边经过点()()4,0m m ≠，且sin 5mα=，则m =（）A ．3B ．3±C ．5D ．5±4．（23-24高一下·广西桂林·月考）若角α的终边经过点()1,2sin A α-，且()0,πα∈，则α=（）A ．π6B ．π3C ．5π6D ．2π35．（23-24高一下·北京·月考）已知角α终边上有一点(2sin 3,2cos3)P -，则α为（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角6．（23-24高一上·浙江杭州·月考）点P 从()0,1-出发，沿着单位圆的边界顺时针运动8π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为（）A ．12⎫⎪⎪⎭B ．12⎛ ⎝C ．12⎛- ⎝D ．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭二、多选题7．（23-24高一下·江西吉安·月考）下列函数值中，符号为负的为（）A ．7sin π3B ．πcos 4⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．2π2πsincos 33D ．tan28．（23-24高一上·福建泉州·月考）若角α的终边经过点()3,4(0)P t t t ->，则下列结论正确的是（）A ．α是第二象限角B ．α是钝角C ．4tan 3α=-D ．点()cos ,sin αα在第二象限三、填空题9．（23-24高一上·陕西咸阳·月考）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴上，终边与单位圆交于第四象限的点P ，且点P 的横坐标为12，则sin α= ．10．（23-24高一下·河南·月考）已知角θ的终边经过点(4,)P m ，若sin θ=，则实数m =．11．（23-24高一上·内蒙古兴安盟·期末）已知tan 0x <且cos 0x <，则x 的终边在第象限.四、解答题12．（23-24高一下·江西宜春·月考）已知角α的终边在直线y x =上，求sin cos αα+的值．13．（23-24高一上·云南昆明·月考）在平面直角坐标系xOy 中，单位圆221x y +=与x 轴的正半轴及负半轴分别交于点A ，B ，角α的始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆交于x 轴下方一点P ．(1)如图，若120POB ∠=︒，求点P 的坐标；(2)若点P 的横坐标为sin α的值．第23讲三角函数的概念模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；2．掌握任意角的三角函数值在各象限的符号；3．会利用任意角的三角函数的定义求值；4．掌握公式一并会应用.知识点 1 任意角的三角函数的定义1、利用单位圆定义任意角的三角函数设α是一个任意角，它的终边OP 与单位圆交于点()y x P ,．三角函数定义记作符号表示正弦函数点P 的纵坐标sin αsin y α=余弦函数点P 的横坐标cos αcos x α=正切函数点P 的纵坐标与横坐标的比值tan αtan (0)yx xα=≠我们将正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数sin ,y x x R=∈余弦函数cos ,y x x R=∈正切函数()tan ,2y x x k k Z ππ=≠+∈2、用角的终边上点的坐标表示三角函数如图，设若α是一个任意角，它的终边上任意一点P （不与原点重合）的坐标为(),x y ，点P 到原点的距离为(r r =，则sin y rα=，cos x r α=，tan y x α=．【注意】三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上点P 的位置无关．知识点 2 三角函数的定义域和函数值的符号1、三角函数的定义域三角函数定义域sin α{}R αα∈cos α{}R αα∈tan α,2k k Z πααπ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【说明】单位圆上,x y 的取值范围是[1,1]-，根据正弦函数、余弦函数的定义，我们可以得到正弦函数、余弦函数的值域．2、三角函数值在各象限的符号根据三角函数的定义以及单位圆上点的位置（在哪个象限），可以得到正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各个象限的符号，如下图．由于原点到角的终边上任意一点的距离r 是正值，根据三角函数的定义，值（1）正弦函数值的符号取决于纵坐标y 的符号；（2）余弦函数值的符号取决于横坐标x 的符号；（3）正切函数值的符号取决于由,x y 的符号共同决定，即,x y 同号为正，异号为负．【三角函数值的符号记忆】“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．其含义是：第一象限中各三角函数值全是正数，第二象限中只有正弦值为正数，第三象限中只有正切值为正，第四象限中只有余弦值为正．知识点 3 终边相同的角的三角函数值1、公式一：由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一：απαsin )2sin(=+k απαcos )2cos(=+k απαtan )2(tan =+k 其中Zk ∈注意：（1）利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值．（2公式一统一概括为f (k ·2π＋α)＝f (α)(k ∈Z)，或f (k ·360°＋α)＝f (α)(k ∈Z)．其特征是：等号两边是同名函数，且符号相同，即同名同号．2、特殊角的三角函数值0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°6π4π3π2π32π43π65ππ23πsin α021222312322210－1cos α12322210-21-22-23－10tan α33133-－133-知识点 4 三角函数定义的应用1、已知角α的终边上一点P 的坐标，求角α的三角函数值方法：先求出点P 到原点的距离，再利用三角函数的定义求解；2、已知角α的一个三角函数值和终边上的点P 的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值方法：先求出点P 到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题；3、已知角α的终边所在的直线方程（y kx =，0k ≠），求角α的三角函数值方法：先设出终边上的一点()(),0P a ka a ≠，求出点P 到原点的距离，再利用三角函数的定义求解（注意α的符号，对α分类讨论）考点一：由终边上的点求三角函数值例1．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴非负半轴上，点()6,8P --为角α终边上一点，则cos α=（）A ．45B ．45-C ．35D ．35-【答案】D【解析】因为点()6,8P --为角α终边上，故3cos 5α==-，故选：D.【变式1-1】（23-24高一下·辽宁·月考）若角α的终边经过点()1,2-，则3232sin 3cos sin 6cos 2sin cos αααααα++=-（）A．BC ．12D ．110【答案】D【解析】因为角α的终边经过点()1,2-，所以sin α==cos α==所以3232sin 3cos sin 6cos 2sin cos αααααα++-3232311065525⎛⎝⎭=+ ⎛⎫⎝⎭-⨯ ⎪⎝⎭⎝⎝⎭=-⎭.故选：D【变式1-2】（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知钝角α的终边上的一点()4,3k k -，则sin α= .【答案】35/0.6【解析】因为钝角α的终边上的一点()4,3P k k -，所以0k <，则5OP k =-，故33sin 55k k α-==-，故答案为：35【变式1-3】（23-24高一下·河北张家口·月考）已知角α的终边落在直线12y x =-上，求sin α，cos α，tan α的值．【答案】答案见解析【解析】因为角α的终边落在直线12y x =-上，而直线即过第二象限也过第四象限，当角α的终边在第二象限时，在直线上取一点()2,1-，则11sin tan 22ααα======--，当角α的终边在第四象限时，在直线上取一点()2,1-，则11sin tan22ααα-======-.考点二：由三角函数值求终边上点的参数例2.（23-24高一上·广东揭阳·月考）在平面直角坐标系中，点M (3,)m 在角α的终边上，若sin α=m =（）A ．6-或1B ．1-或6C ．6D ．1【答案】C【解析】因点M (3,)m 在角α的终边上，则sin α==0m >，解得，6m =.故选：C.【变式2-1】（23-24高一下·河南南阳·期中）已知角θ的终边经过点(,1)P m -，且3cos 5θ=-，则m =（）A ．43-B ．34-C ．43±D ．34±【答案】B【解析】由题知3cos 5θ==-，解得34m =-．故选：B.【变式2-2】（23-24高一下·江西抚州·期中）已知角α的终边经过点()3,m -，若2tan 3α=，则sin α=（）A ．BC ．D 【答案】A【解析】因为角α的终边经过点()3,m -，且2tan 3α=，所以2tan 33m α=-=，解得2m =-，所以sin α=故选：A.【变式2-3】（23-24高一上·广东肇庆·期末）已知角α的终边经过点(5,)P t ，且12sin 13α=-，则tan α= .【答案】125-【解析】由角α的终边经过点(5,)P t ，可得r OP ==因为12sin 13α=-1213=-，所以12t =-，所以12tan 5α=-.故答案为：125-.考点三：判断三角函数值的符号例3.（23-24高一下·云南保山·期中）（多选）下列选项中，符号为负的是（）A ．3πsin2B ．3πcos2C ．tan 2D ．cos2【答案】ACD 【解析】3πsin12=-，3πcos 02=，故A 正确，B 错误；因为π2π2<<，是第二象限角，所以tan 20<，cos 20<，故C 、D 正确.故选：ACD ．【变式3-1】（23-24高一下·辽宁大连·月考）已知()cos2,tan1P ，则点P 所在象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】180157.3π=≈，故tan10>；18022114.6π=⨯≈，故cos2<0.故点P 在第二象限.故选：B【变式3-2】（23-24高一下·江西南昌·月考）已知角,A B 是三角形ABC 的两个内角，则点()cos ,cos P A B （）A ．不可能在第一象限B ．不可能在第二象限C ．不可能在第三象限D ．不可能在第四象限【答案】C【解析】对于A ，当角,A B 是锐角时，cos 0,cos 0A B >>，点P 在第一象限，错误；对于B ，当角A 是钝角，角B 是锐角时，cos 0,cos 0A B <>，点P 在第二象限，错误；对于C ，因三角形最多有一个钝角，故cos A 与cos B 不可能同时小于0，即点P 不可能在第三象限，正确；对于D ，当角A 是锐角，角B 是钝角时，cos 0,cos 0A B ><，点P 在第四象限，错误.故选：C【变式3-3】（23-24高一下·贵州遵义·月考）（多选）若角α的终边在第三象限，则sin 2cos 3tan 222sincostan222αααααα+-的值可能为（）A ．0B ．2C ．4D ．4-【答案】BC【解析】由角α的终边在第三象限，得ππ2π2π,Z 2k k k α-+<<-+∈，则ππππ,Z 224k k k α-+<<-+∈，因此2α是第二象限角或第四象限角，当2α是第二象限角时，sin2cos 3tan 22212(3)2sincostan222αααααα+-=---=，当2α是第四象限角时，sin2cos 3tan 22212(3)4sincostan222αααααα+-=-+--=.故选：BC考点四：由符号确定角所在的象限例4.（23-24高一上·宁夏吴忠·期末）若cos tan 0θθ<，则θ是第象限角．【答案】三或四【解析】由于cos tan 0θθ<，所以cos tan θθ，一正一负，当θ是第一象限角时，cos tan θθ，均为正数，不符合，当θ是第二象限角时，cos tan θθ，均为负数，不符合，当θ是第三，或者第四象限角时，cos tan θθ，一正一负，符合，故答案为：三或四【变式4-1】（23-24高一下·北京·期中）若θ满足sin 0,tan 0θθ<>，则θ的终边在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】由sin 0θ<可知θ的终边在第三象限或第四象限或y 轴负半轴上，由tan 0θ>，可知θ的终边在第一象限或在第三象限，则θ的终边在第三象限，故选：C.【变式4-2】（22-23高一下·山西大同·月考）已知 sin cos 0αα<，且cos 0α>，则角α的终边位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】因为sin cos 0αα<，且cos 0α>,所以sin 0α<，即角α的终边位于第四象限.故选:D.【变式4-3】（23-24高一下·上海·月考）若θ终边不在坐标轴上，且cos cos sin sin 1θθθθ+=-，则θ在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】因为()22cos cos sin sin 1sin cos θθθθθθ+=-=-+,所以sin sin cos cos ,θθθθ=--=，所以cos 0,sin 0θθθ≤≤，终边不在坐标轴上所以θ在第三象限.故选：C.考点五：圆上的动点与旋转点例5.（23-24高一上·安徽六安·期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，动点P 、Q 从点()1,0A 出发在单位圆上运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π12弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转11π12弧度，则P 、Q 两点在第4次相遇时，点P 的坐标是（）A ．1,2⎛ ⎝B ．12⎛ ⎝C ．12⎛- ⎝D ．12⎛- ⎝【答案】C【解析】相遇时间为π11π42π81212t ⎛⎫=⨯÷+= ⎪⎝⎭秒，故P 转过的角度为π2π8123⨯=，其对应的坐标为2π2πcos ,sin 33⎛⎫ ⎪⎝⎭，即12⎛- ⎝.故选：C【变式5-1】（23-24高一上·湖北荆州·期末）单位圆上一点P 从()0,1出发，逆时针方向运动π6弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为（）A ．12⎛- ⎝B ．12⎫⎪⎪⎭C ．21⎫-⎪⎪⎭D ．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】点P 从()0,1出发，沿单位圆逆时针方向运动π6弧长到达Q 点，所以π23π2π6QOx ∠=+=，所以cos ,sin 32π32πQ ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中1cos,sin 3232π2π=-=Q 点的坐标为12⎛- ⎝.故选：A.【变式5-2】（23-24高一上·福建莆田·期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，动点P 、Q 从点()1,0A 出发在单位圆上运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π12弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转11π12弧度，则P 、Q 两点在第1804次相遇时，点P 的坐标是 .【答案】12⎛- ⎝【解析】相遇时间为π11π18042π36081212t ⎛⎫=⨯÷+= ⎪⎝⎭秒，故P 转过的角度为π2π3608300π123⨯=+，故对应坐标为2π2πcos ,sin 33⎛⎫ ⎪⎝⎭，即12⎛- ⎝.故答案为：12⎛- ⎝【变式5-3】（22-23高一下·山西忻州·开学考试）在直角坐标系xOy 中，若点P 从点()3,0出发，沿圆心在原点，半径为3的圆按逆时针方向运动11π6到达点Q ，则点Q 的坐标为（）A ．32⎛⎫⎪⎝⎭B ．32⎛- ⎝C ．32⎫-⎪⎪⎭D ．3,2⎛ ⎝【答案】C【解析】根据题意可知，作出图示如下：根据题意可得3OP =，π6POQ ∠=，作1Q Q x ⊥轴且垂足为1Q ；利用三角函数定义可得13cos OQ POQ =⨯∠=133sin 2QQ POQ =⨯∠=；又Q 点在第四象限，所以点Q 的坐标为32⎫-⎪⎪⎭.故选：C考点六：诱导公式一的应用例6.（23-24高一下·江西吉安·月考）sin300cos0︒︒的值为（）A ．0B ．12C ．12-D ．【答案】D【解析】()()sin300cos0sin 300360sin 60sin60︒︒=︒-︒=-︒=-︒=.故选：D ．【变式6-1】（23-24高一下·黑龙江绥化·月考）()sin 1050-︒=（）A ．12B C ．12-D ．【答案】A【解析】()()1sin 1050sin1050sin 336030sin 302-︒=-︒=-⨯︒-︒=︒=.故选：A 【变式6-2】（22-23高一下·辽宁葫芦岛·期末）17sin4π的值为（）A ．BC ．D 【答案】D【解析】17ππsinsin 4πsin 444π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭故选：D.【变式6-3】（23-24高一下·河南南阳·月考）29πsin 3⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．B ．12-C D ．12【答案】C【解析】29πππsin sin 10πsin 333⎛⎫⎛⎫-=-+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C一、单选题1．（23-24高一下·河南·月考）若角α的终边经过点(P -，则sin α=（）A B ．C D ．【答案】C【解析】因为角α的终边经过点(P -，所以sin y r α===．故选：C ．2．（23-24高一下·贵州仁怀·月考）()cos 300-︒的值（）A ．12-B ．CD ．12【答案】D【解析】()()1cos 300cos 36060cos 602-︒=-︒+︒=︒=，故选：D 3．（23-24高一下·河南南阳·期末）已知角α的终边经过点()()4,0m m ≠，且sin 5m α=，则m =（）A ．3B ．3±C ．5D ．5±【答案】B【解析】因为已知角α的终边经过点()()4,0m m ≠，且sin 5m α=，所以sin 5mα==，解得3m =±，故选：B.4．（23-24高一下·广西桂林·月考）若角α的终边经过点()1,2sin A α-，且()0,πα∈，则α=（）A ．π6B ．π3C ．5π6D ．2π3【答案】D【解析】由三角函数定义可得sin α=因为()0,π,sin 0αα∈>，所以1=sin α=，易知，点A 在第二象限，所以2π3α=.故选：D 5．（23-24高一下·北京·月考）已知角α终边上有一点(2sin 3,2cos3)P -，则α为（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】A 【解析】依题意，π3π2<<，则sin 30,cos30><，即2sin 30,2cos30>->，所以点P 在第一象限，即α为第一象限角.故选：A6．（23-24高一上·浙江杭州·月考）点P 从()0,1-出发，沿着单位圆的边界顺时针运动8π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为（）A ．12⎫⎪⎪⎭B ．12⎛ ⎝C ．12⎛- ⎝D ．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由题意，以x 轴的非负半轴为始边，以Q 所在的射线OQ 为终边的最小正角为5π6，由任意角的三角函数的定义可得，Q 的坐标为5π5π(cos,sin )66，即1()2，故选：D.二、多选题7．（23-24高一下·江西吉安·月考）下列函数值中，符号为负的为（）A ．7sin π3B ．πcos 4⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．2π2πsincos 33D ．tan2【答案】CD【解析】7ππ2π33=+ ,7π3∴是第一象限角，7sin π03>∴，∵π4-是第四象限角，∴πcos 04⎛⎫-> ⎪⎝⎭；∵2π3是第二象限角，∴2π2πsin0,cos 033><，∴2π2πsin cos 033<；∵π2π2<<，∴2是第二象限角，∴tan20<．故选：CD.8．（23-24高一上·福建泉州·月考）若角α的终边经过点()3,4(0)P t t t ->，则下列结论正确的是（）A ．α是第二象限角B ．α是钝角C ．4tan 3α=-D ．点()cos ,sin αα在第二象限【答案】ACD【解析】由点()3,4(0)P t t t ->在第二象限，可得α是第二象限角，但不一定是钝角，A 正确，B 错误；44tan 33t t α==--，C 正确；由sin 0α>，cos 0α<，则点()cos ,sin αα在第二象限，D 正确.故选：ACD.三、填空题9．（23-24高一上·陕西咸阳·月考）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴上，终边与单位圆交于第四象限的点P ，且点P 的横坐标为12，则sin α= ．【答案】【解析】依题意，设点1(,),02P y y <，由221(12y +=，得y =sin α=故答案为：10．（23-24高一下·河南·月考）已知角θ的终边经过点(4,)P m ，若sin θ=，则实数m =．【答案】2-【解析】由于角θ的终边经过点(4,)P m ，由角θ正弦的定义得：sin θ=sin θ=，=，解方程得：2254m m =+，即24m =，得2m =±，0=<，则0m <，所以2m =-．故答案是：2-.11．（23-24高一上·内蒙古兴安盟·期末）已知tan 0x <且cos 0x <，则x 的终边在第象限.【答案】二【解析】由tan 0x <，得角x 的终边所在的象限是第二、四象限，因为cos 0x <，所以角x 的终边在第二、三象限或x 轴非正半轴上，由于上述条件要同时成立，所以x 的终边在第二象限；故答案为：二四、解答题12．（23-24高一下·江西宜春·月考）已知角α的终边在直线y x =上，求sin cos αα+的值．【解析】由题意可设角α的终边上任意一点(),A x x ，则由三角函数的定义有sin cos αα===，当0x >时，sin cosαα+==当0x <时，sin cosαα⎛+=+= ⎝.故sin cos αα+=13．（23-24高一上·云南昆明·月考）在平面直角坐标系xOy 中，单位圆221x y +=与x 轴的正半轴及负半轴分别交于点A ，B ，角α的始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆交于x 轴下方一点P ．(1)如图，若120POB ∠=︒，求点P 的坐标；(2)若点P 的横坐标为sin α的值．【答案】(1)1,2⎛ ⎝；(2)【解析】（1）过P 点作PC OA ⊥于C 点，若120POB ∠=︒，则60POC ∠=︒，又1OP =，则1,2OC CP ==由题意点P 在第四象限，所以P 的坐标为1,2⎛ ⎝.（2）由题意设P y ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，∵点P 在单位圆221x y +=上，且在x 轴下方，∴221y ⎛+= ⎝，且0y <，解得y =∴sin y α==。

校本课程趣味数学教案周受萍

闽侯一中校本选修课程课程名称：趣味数学数学组周受萍《趣味数学》校本课程纲要一、课程开发原则与开发背景1、开发原则：《趣味数学》课程就是要把“数学有趣，数学有用，数学不难”的理念放在第一位，故名“趣味数学”。

本课程让学生在趣味化、生活化的数学教学活动中，自主地建构数学知识，创设轻松、活泼的教学氛围，使教学活动源于学生生活，源于学生好奇之事，引导学生积极运用自己有的生活经验去探索、去发现、去体验，让他们亲身感悟数学知识。

根据自己对中学数学节本的了解，设计出有趣的数学课程，对学生进行无痕的引导，降低学生接受的难度。

通过学生的探究和发现感受到有趣有用的数学。

同时体会我们中国古代光辉的数学成就，有信心学好数学。

游戏是学生很好的学习方式和途径，而数学语言却以简练和逻辑为特点。

为了把抽象的数学符号变为生动活泼的形象符号，让学生更乐于接受，更容易掌握，《趣味数学》将寓教于乐的传统教学理念移植到单调枯燥的数学教学中，让学生在潜移默化地掌握操作学习法、阅读学习法、迁移类推学习法、发现学习法、尝试学习法等众多学习方法，让学生通过饶有兴趣的认知方式轻松掌握所学的知识。

2、开发背景：“数学是思维的体操”。

作为一门研究数量关系与空间形式的科学，数学不仅具有高度的抽象性、严密的逻辑性，而且具有广泛的应用性。

数学以高度智力训练价值以及学科本身所具有的特点，为培养发展学生的创造性思维品质提供了极大的空间。

数学是学习现代科学技术必不可少的基础和工具，是基础教育的重要组成部分，通过数学思维训练，不仅使学生能够掌握渊博的数学知识，也使那些数学尖子有发挥自己特长的用武之地，更重要的是可以训练他们的思维，增强分析问题和解决问题的能力，促使学生发展，形式健全人格，具有终身持续发展能力的力量源泉。

开展教学思维训练活动，对于扩大学生的视野，拓宽知识，培养兴趣爱好，发展教学才能，提供了最佳的舞台，未来的数学家、科学家、诺贝尔奖金的获得者就在他们当中诞生。

《直角三角形》PPT课件

直角三角形
学习目标
• 1.掌握直角三角形的性质定理和判定定理
• 2.掌握含30º角的直角三角形的性质
学习重点和难点
• 重点：
• 直角三角形的性质定理和判定定理
• •
难点： PPT模板：素材： PPT背景：图表： PPT下载：教程：资料下载：范文下载：试卷下载：教案下载： PPT论坛：课件：语文课件：数学课件：英语课件：美术课件：科学课件：物理课件：化学课件：生物课件：
3、直你得角到三了角什形么斜结边论上？的中线等于斜边的一半．
命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
已知：在 Rt△ABC 中， ACB=90° ， CD 是
斜边AB上的中线。求证：CD= 1AB 2
A
E
证明：延长CD到点E,使
DE=DC，连接AE.
D
C
B
已知：在Rt△ABC中，ACB=90°，CD是
2 AB,那
由此可得出结论：
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°
例2
在A岛周围20海里（1海里=1852 m）水域内有暗礁，
一轮船由西向东航行到O处时，发现A到在北偏东60°
的方向，且与轮船相距 30 3 海里，如图所示。该船如果保持航向不变，有触礁的危险吗？
斜边AB上的中线。
求证：CD=
1 2
AB
证明：延长CD到C’,使C’D＝CD，连接AC’
在△ADC’与△BDC中
｛AD=BD
（已知）
ADC’= BDC（对顶角相等）
C’D=CD
（已作）
∴ △ADC’ ≌ △BDC (SAS)
A
C’

高中数学三角函数——解直角三角形

高中数学三角函数——解直角三角形一、单选题1．在 ΔABC 中， ∠A =60∘,AB =2 且 ΔABC 的面积为 √32，则 AC 的长为（）A ．√32B ．1C ．√3D ．22．已知灯塔A 在海洋观察站C 的北偏东50°的方向上，灯塔B 在海洋观察站C 的南偏东70°的方向上，A ，C 两点间的距离为5海里，A ，B 两点间的距离为7海里，则B ，C 两点间的距离为（）海里． A ．3B ．4C ．6D ．83．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2−b 2=√3bc ，sinC =2√3sinB ，则A=（）. A ．30∘B ．60∘C ．120∘D ．150∘4．在 △ABC 中， a =3 ， b =2 ， A =60° ，那么 sinB 的值为（）A ．√33B ．−√23C ．√23D ．−√335．已知两灯塔A 和B 与海洋观测站C 的距离都等于2km ，灯塔A 在观测站C 的北偏东25°，灯塔B在观测站C 的南偏东35°，则灯塔A 与之间B 的距离为（） A ．2kmB ．2√2kmC ．2√3kmD ．4km6．在直四棱柱 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，底面 ABCD 是边长为1的正方形， AA 1=2 ， M 、 N分别是 A 1B 1 、 A 1D 1 中点，则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为（） A ．1517B ．1617C ．513D ．12137．在△ABC 中，若∠A =600，∠B =450，BC =3√2，，则AC= （）A ．4√3B ．2√3C ．√3D ．√328．在△ABC 中，△A=120°，AB →•AC →=﹣2，则|BC →|的最小值是（）A ．2B ．4C ．2√3D ．129．△ ABC 中，“△ ABC 是钝角三角形”是“ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |<|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ | ”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．如图， E 、 F 分别是三棱锥 P −ABC 的棱 AP 、 BC 的中点， PC =10 ， AB =6 ，EF =7 ，则异面直线 AB 与 PC 所成的角为（）A ．30°B ．60°C ．0°D ．120°11．在 △ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，若 (a 2−b 2+c 2)tanB =√3a ，则角 B 的值为（）A ．π6B ．π3C ．π6 或 5π6D ．π3 或 2π312．在 ΔABC 中， a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边，若 A =2π3,a =2√10 ，且 ΔABC 的面积 S =a 2+b 2−c 212，则 c = （） A ．2√3 B ．4√3C ．2√33D ．4√3313．ΔABC 中， ∠ABC =60∘ ， AB =4 ，若满足条件的 ΔABC 有两个，则边 AC 的取值范围为（） A ．[2√3,4)B ．[2,4)C ．(2√3,4)D ．(2,4)14．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最大面的面积为（）A ．2√2B ．4√2C ．4D ．2√515．已知 F 1,F 2 是椭圆 C 1 和双曲线 C 2 的公共焦点，P 是它们的一个公共交点，且 ∠F 1PF 2=2π3，若椭圆 C 1 离心率记为 e 1 ，双曲线 C 2 离心率记为 e 2 ，则 27e 12+e 22的最小值为（） A ．25B ．100C ．9D ．3616．若 O 是 △ABC 垂心， ∠A =π6且 sinBcosCAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +sinCcosBAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2msinBsinCAO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 m = （）A ．12B ．√32C ．√33D ．√3617．在 △ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且 AD →=13AB →+12AC → ，则 S△BCD S △ACD = （）A ．16B ．12C ．13D ．23二、填空题18．在四边形 ABCD 中， AB =1 ， BC =√2 ， ∠ABC =3π4， ∠ADC =π4 ， AB ⊥AD ， CB ⊥CD ，则对角线 BD 的长为．19．已知 ΔABC 中， a ， b ， c 分别为角 A ， B ， C 的对边且 a =2 ， b =2√3 ， A =30ο ，则 B = .20．在 △ABC 中，若 C =60° ， AC =√6 ， AB =3 ，则角 A = .21．在 △ABC 中，三个内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ，若 a =2 ， b =3 ，c =4 ，则 cosA = .22．在△ABC 中，已知AC ＝2，BC ＝3，B ＝ π6，那么sinA ＝．23．一艘海轮从A 地出发，沿固定航道匀速行驶，先沿北偏东75°方向航行√6小时后到达海岛B ，然后从海岛B 出发沿北偏东15°方向航行一段时间到达海岛C ，之后从海岛C 出发沿南偏西60°方向航行回到A 地，则从海岛C 回到A 地所需时间是小时．24．在 △ABC 中， sinA:sinB:sinC =2:5:6 ，则 cosC 的值为 .25．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sinC ＝2sinA ，b 2﹣a 2=12ac ，则sinB 等于．26．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A=75°，B=45°，c=3 √2 ，则b= ．27．在△ABC 中，已知a=3，b=4，sinB= 23 ，则sinA= ．28．四边形 ABCD 中， ∠A =5π6 ， ∠B =∠C =5π12， ∠D =π3 ， BC =2 ，则 AC 的最小值是 .29．在 ΔABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， ΔABC 的面积为 S ，若bcosA +acosB =2√3b ，且 a 2sinA =b 2sinA +2√3S ，则 A = ．30．在 △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足 a 2−(b −c)2=S ，b ＋c ＝2，则S 的最大值是31．在 ΔABC 中， A =3π4,AB =6,AC =3√2 ，点 D 在 BC 边上， AD =BD ，则 AD = ．32．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A =π6，a=2，△O 为△ABC 的外接圆，OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =mOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +nOC ⃗⃗⃗⃗⃗ . （1）若m=n=1，则|OP⃗⃗⃗⃗⃗ |= . （2）若m ，n ∈[0，1]，则点P 的轨迹所对应图形的面积为 .33．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =2，6cosB =b(1−3cosA)，则△ABC 的面积的最大值为 .34．平面向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 满足|a |=|a −b ⃗ |=|c |=1，b 2⃗⃗⃗⃗ +a ⃗ ⋅c ⃗ +√22|b ⃗ −c ⃗ |=b ⃗ ⋅(a ⃗ +c ⃗ )，a ⃗⃗ ⋅b ⃗⃗+|b ⃗⃗|b ⃗⃗ ⋅c⃗ =|a⃗ +1|b ⃗⃗ |b ⃗ |，则(b ⃗ −c ⃗ )2= ．三、解答题35．平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 {x =√3+2cosαy =1+2sinα ( α 为参数），在以坐标原点 O 为极点， x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，点 P 在射线 l ：θ=π3 上，且点 P 到极点 O的距离为 4 .（1）求曲线 C 的普通方程与点 P 的直角坐标；（2）求 △OCP 的面积.36．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知c =2b ，a =3，D 是边BC 上一点.（1）求bcosC +2bcosB 的值；（2）若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ①求证：AD 平分∠BAC ；②求△ABC 面积的最大值及此时AD 的长.37．如图，在 △ABC 中， ∠ABC =π2 ， ∠ACB =π3， BC =2 ，P 是 △ABC 内一点，且∠BPC=π2.（1）若∠ABP=π6，求线段AP的长度；（2）若∠APB=2π3，设∠PBA=α，求sinα.38．如图，某游乐园的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，其两个出入口设置在点B及点C处，且园内有一条平行于AO的小路CD.已知某人从C沿CD走到D用了8分钟，从D沿DB走到B用了6分钟.若此人步行的速度为每分钟50米.（1）求△CDB的面积；（2）求该扇形的半径OA的长.39．在△ABC中，AC>AB，cosA=3132，AB=8.（1）若S△ABC=15√74，求BC；（2）若 cos(B −C)=18 ，求 S ΔABC .40．在四边形 ABCD 中， ∠BAD =2π3，∠BCD =π3，cosD =−17，AD =DC =2 .（1）求 cos∠DAC 及 AC 的长；（2）求 BC 的长．41．已知 △ABC 三边 a ， b ， c ， c 2+b 2−a 2=√3bc ， acosB =bsinA .证明：三角形的三个角满足， A 3+B 3+C 3≥11π336.42．如图，银川市拟在长为 8km 的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数 y =Asinωx(A >0,ω>0)x ∈[0,4] 的图象，且图象的最高点为S(3,2√3) ；赛道的后一部分为折线段 MNP ，为保证参赛运动员的安全，限定 ∠MNP =120° .（1）求 A 、ω 的值和 M 、P 两点间的距离；（2）应如何设计，才能使折线段赛道最长？43．已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且a△b△c ＝7△5△3.（1）求cos A 的值；（2）若△ABC 的面积为45 √3 ，求△ABC 外接圆半径R 的大小．44．如图，直三棱柱 ABC −A 1B 1C 1 中， CC 1=4 ， AB =2 ， AC =2√2 ， ∠BAC =450 ，点M 是棱 AA 1 上不同于 A,A 1 的动点.（1）证明：BC⊥B1M；（2）若M是AA1的中点，求四面体MB1BC的体积.45．在锐角ΔABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知a=√7，b=3，√7sinB+ sinA=2√3．（1）求角A的大小；（2）求ΔABC的面积．46．在ΔABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cosA+2a=2cosB−cosCc.（△）求角A的大小；（△）若AD，AE分别为BC边上的高和中线，a=4√3，b+c=2√14，求|AD⇀||AE⇀|的值.47．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量π⃗=（a，√3b）与n⃗=（cosA，sinB）平行．（△）求A；（△）若a= √7，b=2，求△ABC的面积．48．在①a=5，②cosC=17这两个条件中任选一个，补充到下面的横线中，并求解．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且√3acosB=bsinA，b=7，若____．（注：只需选一个作答，如果选择两个条件分别解答，按第一个解答给分）求：（1）c的值；（2）△ABC的面积．49．如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，AB=AC=1，∠BAC=π2，高等于3，点M1，M2，N1，N2为所在线段的三等分点．（1）求此三棱柱的体积和三棱锥A1−AM1N2的体积；（2）求异面直线A1N2，AM1所成的角的大小．50．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=1.（1）求a的值；（2）若1≤c≤b≤√3，求A的最小值.答案解析部分1．【答案】B【知识点】三角形中的几何计算【解析】【解答】∵∠A=60∘,AB=2且ΔABC的面积为√32. ∴SΔABC=12AB·AC·sin∠A=12×2×AC×sin60∘=√32AC=√32.∴AC=1故答案为：B【分析】由三角形面积公式S=12bcsinA求解即可.2．【答案】D【知识点】余弦定理的应用【解析】【解答】由题意得∠ACB=180°−50°−70°=60°，AC=5，AB=7，由余弦定理得cos∠ACB=AC 2+BC2−AB2 2AC⋅BC，所以12=25+BC2−4910BC，解得BC=8或BC=−3（舍去）。

直角三角形中的三角函数

直角三角形中的三角函数直角三角形是指其中一个角为直角（即90度）的三角形。

在直角三角形中，三角函数起着重要的作用，用于描述三角形中各个角的关系和边长比例。

本文将介绍直角三角形中的三角函数，并探讨它们的性质和应用。

一、正弦函数（sine function）正弦函数是指一个角的正弦值与其对边与斜边的比值。

在直角三角形中，角的正弦值等于对边长度与斜边长度的比值。