高中数学恒成立与存在性问题难

高中恒成立问题总结
解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法: ①函数性质法; ②主参换位法; ③分离参数法; ④数形结合法。

核心思想:
1.恒成立问题的转化:
()a f x >恒成立⇒()max a f x >; ()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立
2.能成立问题的转化:
()a f x >能成立⇒()min a f x >; ()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立
3.恰成立问题的转化:
若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立⇒)(x f 在D 上的最小值
A x f =)(min ;
若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立⇒ )(x f 在D 上的最大值
B x f =)(max .
4. 设函数()x f ,()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥;
设函数()x f ,()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤;
设函数()x f ,()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥;
设函数()x f ,()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤;
5.若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方;
若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方. 6.常见二次函数
①.若二次函数2()(0)0f x ax bx c a =++≠>（或0<）在R 上恒成立，则有00
a >⎧⎨
∆<⎩（或00a <⎧⎨∆<⎩）; ②.若二次函数2()(0)0f x ax bx c a =++≠>（或0<）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解.
一﹑主参换位法
例1．对于满足40≤≤p 的一切实数，不等式342-+>+p x px x 恒成立，试求x 的取值范围．
二﹑二次不等式恒成立问题
例2．已知关于x 的不等式03)1(4)54(22>+---+x m x m m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．
例3．已知函数()()()22241,f x mx m x g x mx =--+=，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ )
A ．(0，2)
B ．(0，8)
C ．(2，8)
D ．(－∞，0)
例4．已知函数()222f x x
kx =-+，在1x ≥-恒有()f x k ≥，求实数k 的取值范围。

三、分离参数法
形如“()a f x ≥”或“()a f x ≤”型不等式，是恒成立问题中最基本的类型，它的理论基础是“)(x f a ≥在D x ∈上恒成立，则
max )]([x f a ≥(D x ∈);)(x f a ≤在D x ∈上恒成立，则min )]([x f a ≤(D x ∈)”．许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型．
例5.当(1,2)x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 . 例6．已知二次函数x ax x f +=2)(，若[]1,0∈x 时，恒有1)(≤x f ，求a 的取值范围．
例7．设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．
例8．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是
( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞
B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－235，1
C ．(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎦
⎥⎤－∞，－235 四、数形结合（对于()()f x g x ≥型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理）
例9.若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是
(A) 1a <- (B) ||1a ≤ (C) ||1a < （D ）1a ≥ 三﹑绝对值不等式恒成立问题 例10．对于任意实数x ，不等式a x x <--+21恒成立，求实数a 的取值范围．
例11.若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是
(A) 1a <- (B) ||1a ≤ (C) ||1a < （D ）1a ≥ 四﹑含对数﹑指数不等式恒成立问题 例12．当)21,0(∈x 时，不等式x x a log 2<恒成立，求a 的取值范围．
五.形如“()()f x g x <”型不等式 例8．已知函数)1lg(21)(+=x x f ，)2lg()(t x x g +=，若当[]1,0∈x 时，)()(x g x f ≤恒成立，求实数t 的取值范围．。