2021年全等三角形二次全等证明

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全等三角形定义与证明

全等三角形能够完全重合的两个图形叫做全等形。

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。

三边对应相等的两个三角形全等，可以简写成“SSS”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，可以简写成“SAS”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，可以简写成“ASA”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，可以简写成“AAS”斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，可以简写成“HL”角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等，角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上。

轴对称一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，我们也说这个图形关于这条直线成轴对称。

能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重叠的点是对应点，叫做对称点。

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

与一条线短两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

点（X,Y）关于X轴对称的点的坐标为（X,-Y）点（X,Y）关于Y轴对称的点的坐标为（-X,Y）两条边是相等的三角形是等腰三角形。

等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角”。

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°，三个角都是相等的三角形是等边三角形，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半实数如果一个正数x 的平方等于a ，即x²=a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。

(2021年整理)八上全等三角形证明方法归纳经典

八上全等三角形证明方法归纳经典编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八上全等三角形证明方法归纳经典）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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【第1部分全等基础知识归纳、小结】1、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。

两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。

概念深入理解：(1)形状一样，大小也一样的两个三角形称为全等三角形。

（外观长的像）（2）经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。

(位置变化）2、全等三角形的表示方法：若△ABC 和△A′B′C′是全等的，记作“△ABC≌△A′B′C′"其中，“≌”读作“全等于”。

记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3、全等三角形的性质：全等是工具、手段，最终是为了得到边等或角等,从而解决某些问题。

(1）全等三角形的对应角相等、对应边相等。

（2）全等三角形的对应边上的高，中线,角平分线对应相等。

（3）全等三角形周长，面积相等。

4、寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找图3图1图2如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角;以对应顶点为端点的边是对应边.通常情况下，两个三角形全等时,对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。

（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;（3)通过观察,想象图形的运动变化状况，确定对应关系。

【2021浙江中考数学】全等三角形的常见模型含答案

全等三角形的常见模型利用“K型图”(也叫“一线三等角”模型)证明全等三角形．例1如图S8－1，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线MN上，分别过点A，B 作MN的垂线，垂足分别为D，E.求证：△ACD≌△CBE.(图S8－1)解：证明∠CAD＝∠BCE即可．(可将条件转化为∠ADC＝∠ACB＝∠BEC，结论仍成立)(1)等腰三角形的顶角顶点在直线上，向两腰外侧作两个三角形，如果这条直线上有三个相等的角，那么所作的两个三角形__全等__．1．如图S8－2，BD是正方形ABCD的对角线，E是边BC上一点，连结AE交BD于点P，过点P作PF⊥AE，交CB延长线于点F.求证：AP＝FP.(图S8－2) (图DS8－1)解：如图DS8－1，过点P作MN⊥AD，交AD，BC于点M，N.利用正方形的性质证明AM＝BN＝NP，∠AMN＝∠APF＝∠FNP，∠P AM＝∠FPN，∴△APM≌△PFN(ASA)，∴AP＝FP.2．如图S8－3，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上两点，∠EAF＝45°，FG⊥AE于点G，连结BG.求证：CF＝2BG.(图S8－3)(图DS8－2)解：如图DS8－2，过点G 作MN ⊥AB ，交AB ，CD 于点M ，N . 证明△AGM ≌△GFN 可得MG ＝FN ，从而证明MB ＝12FC ， ∴CF ＝2BG .利用“手拉手”模型证明全等三角形．例2 如图S8－4(1)，在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AD ＝AE ，连结DE .现将△ADE 绕点A 按顺时针方向旋转，旋转角为α(0°＜α＜360°)，如图S8－4(2)，连结CE ，BD .当 0°＜α＜180°时，求证：CE ＝BD ，CE ⊥BD .(1)(2)(图S8－4)解：证明∠CAE ＝∠BAD 即可证△ACE ≌△ABD ，得CE ＝BD .延长CE ，利用三角形的内角和与对顶角可证垂直．(2)两个有公共顶角顶点的等腰三角形，将其中一个绕着公共顶点旋转，会产生一对__全等三角形__，并且还能由等腰三角形顶角的度数推得对应边夹角的度数．3．如图S8－5，△ABC ，△ADE 均为等腰三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°.若点G 是CE 的中点，连结GB 并延长至点F ，使CF ＝CD .求证：∠EBG ＝∠F .(图S8－5)(图DS8－3)解：如图DS8－3，延长BG 至点M ，使MG ＝FG . 由基本图形可证BE ＝CD ＝CF ，由倍长中线可证△EGM ≌△CGF ， ∴∠M ＝∠F ，EM ＝CF ，∴BE ＝ME ，∴∠EBG ＝∠M ，∴∠EBG ＝∠F .4．如图S8－6，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，点P 是三角形内一点，到点A ，B ，C 的距离分别为23，2，4.求△ABC 的面积．(图S8－6)(图DS8－4)解：如图DS8－4，作BM ⊥PB ，使BM ＝BP ＝2，连结CM . 由基本图形可证△ABP ≌△CBM (SAS)， ∴PM ＝2，CM ＝23，∴△CPM 是直角三角形，∠CMP ＝90°， ∴∠APB ＝∠CMB ＝135°，A ，P ，M 三点共线， ∴△ABC 的面积为14AC 2＝14(AM 2＋CM 2)＝7＋2 3.发现隐藏在等边三角形中的全等三角形．例3如图S8－7，△ABD，△BCE均是等边三角形，点A，B，C在同一直线上，AE 与BD交于点M，C与BE交于点N，连结MN.求证：(图S8－7)(1)AE＝CD；(2)△BMN是等边三角形．解：由例2模型可证△ABE≌△DBC，∴AE＝CD，进一步证明△ABM≌△DBN，及∠MBN ＝60°，即证△BMN是等边三角形．(3)等边三角形的性质有很多，从边来看，__三条边相等__，从角来看，__三个角都等于60°__，牢记活用，全等三角形就隐藏在它们之间．5．如图S8－8，D是等边三角形ABC内一点，DA＝DB，P，C两点在直线BD两侧，BP＝AB，∠BPD＝30°.求证：BD平分∠PBC.(图S8－8) (图DS8－5)解：如图DS8－5，连结CD.由BD＝AD，AC＝BC，易证CD平分∠BCA，结合BP＝BC，BD公共边可证△BDP≌△BDC，∴BD平分∠PBC.6．如图S8－9，以△ABC的边AB，AC为边向外作等边三角形ABD，等边三角形ACE，连结BE，CD交于点P，连结AP.求证：∠APD＝∠APE.(图S8－9)解：由基本图形可证△ACD≌△AEB，得CD＝BE，故点A到CD，BE的距离相等，即点A到∠DPE两边的距离相等，∴P A是∠DPE的平分线，即∠DP A＝∠EP A.将角平分线与垂直联系在一起，会产生全等三角形．例4如图S8－10，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F.若∠ABC＝35°，∠C ＝50°.求∠CDE的度数．(图S8－10)解：易证△ABF≌△EBF，∴BD是AE的中垂线，∴∠BEA＝72.5°，∠EAC＝22.5°.∴∠CDE＝2∠EAC＝45°.(4)过角平分线上的点向角两边作垂线段，会产生一对全等三角形；过角平分线上的点作与角平分线垂直的直线，也会产生一对全等三角形．7．如图S8－12，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于点E，BD⊥AD.求证：AE＝2BD.(图S8－12) (图DS8－6)解：如图DS8－6，延长AC，BD交于点M，可证△ACE≌△BCM，∴AE＝BM.∵BM＝2BD，∴AE＝2BD.8．如图S8－13，在△ABC中，DE是边BC的中垂线，AD平分∠BAC，DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N.求证：BM＝CN.(图S8－13) (图DS8－7)解：如图DS8－7，连结BD，CD.由中垂线知BD＝CD，由角平分线知DM＝DN，∴△BDM≌△CDN(HL)，∴BM＝CN.满足“SSA”的一对三角形可能全等．例5如图S8－14，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D.问：△ABC与△ADC是否全等？(图S8－14) (图DS8－8)解：如图DS8－8，连结BD.由AD＝AB知∠ABD＝∠ADB，∴∠CBD＝∠CDB，∴CB＝CD，∴△ACD≌△ACB.(5)满足“SSA”的两个三角形可能全等，也可能不全等．若这两个三角形不全等，则它们一定相差一个__等腰__三角形，也可拼成一个__等腰__三角形．9．已知在△ABC与△A′B′C′中，AB＝A′B′＝8，BC＝B′C′＝5，∠A＝∠A′＝30°.若△ABC 与△A′B′C′不全等，求它们的面积之差、面积之和．解：如图DS8－9，将△ABC与△A′B′C′的∠A，∠A′重合，AB，A′B′重合，过点B作BD⊥AC，(图DS8－9)则两个三角形面积之差即为△BCC′的面积，S△BCC′＝12BD·CC′＝12，面积之和为△ABD面积的两倍，即为AD·BD＝16 3.10．如图S8－15，E是线段CD的中点，点B在边AE上，AD＝BC.求证：∠CBE＝∠A.(图S8－15) (图DS8－10)解：如图DS8－10，延长BE至点F，使EF＝BE，则△BCE≌△FDE，∴∠CBE＝∠F，BC＝DF，由AD＝BC＝DF得∠A＝∠F，∴∠CBE＝∠A.1．如图ZS8－1，将一个等腰直角三角形放置在距离是1的横格纸上，三个顶点都在横线上，则此三角形的斜边长为__10__．(图ZS8－1)2．如图ZS8－2，BD平分∠ABC，且∠ABC与∠ADC互补．若AD＝3，AB＝4，BC＝5，则CD＝__3__．(图ZS8－2)3．如图ZS8－3，已知在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，点E，F在边AB，AC上，DE⊥DF.(1)求证：△DEF是等腰直角三角形．(2)若AB＝4，求△DEF面积的最小值．(图ZS8－3) (图DT8－1)(1)证明：如图DT8－1，连结AD.由等腰直角三角形的性质可证△CDF≌△ADE，∴DF＝DE.又∵∠EDF＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形．(2)解：由(1)知，S△DEF＝12DE2，当DE＝2时，S△DEF有最小值，最小值为2.4．如图ZS8－4，在△ABC中，∠ACB＝45°，AD是△ABC的高，在AD上取点E，使得DE＝DB，连结CE并延长，交边AB于点F，连结DF.(图Z S8－4)求证：(1)AB＝CE；(2)BF＋EF＝2FD.证明：(1)由∠ACB＝45°，AD⊥BC，得CD＝AD.又∵DE＝DB，∴△CDE≌△ADB(SAS)，∴AB＝CE.(2)如图DT8－2，在CE上取点M，使ME＝BF，(图DT8－2)结合CE＝AB，得CM＝AF.由(1)知∠DCM＝∠DAF，∴△CDM≌△ADF(SAS)，∴DM＝DF，∠CDM＝∠ADF，∴∠MDF＝90°，∴△MDF是等腰直角三角形，∴ME＋EF＝2FD，即BF＋EF＝2FD.5．如图ZS8－5，△ABD，△BCE是等边三角形，点A，B，C在同一直线上，连结CD，AE，点M，N在CD，AE上，且CM＝EN.求证：△BMN是等边三角形．(图ZS8－5)证明：由基本图形可证△ABE≌△DBC，于是可得BM＝BN，∠NBM＝60°，∴△BMN是等边三角形．若设AE，CD交于点P，还可利用M，N，B，P四点共圆来证．6．如图ZS8－6，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC，BD，若∠ABD＝60°，AB＝AC.求证：AB＝BD＋CD.(图ZS8－6) (图DT8－3)证明：如图DT8－3，过点A分别作CD，BD的垂线，垂足分别为F，E，∵∠ABD＝60°，∴AB＝2BE，∠ACD＝60°，又∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，BE＝CF，∴△ADE≌△ADF(HL)，∴DE＝DF，∴BE＝CF＝CD＋DE(折弦定理)，∴AB＝2BE＝BE＋DE＋CD＝BD＋CD.7．如图ZS8－7，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，AE⊥BC于点E，交BD 于点G，DF⊥BC于点F，连结FG.求证：四边形ADFG是菱形．(图ZS8－7)证明：由BD平分∠ABC，DA⊥AB，DF⊥BC，可证△ABD≌△FBD，∴AB＝BF，∴△ABG≌△FBG，∴∠BFG＝∠BAG，又∵∠C＝∠BAG，∴∠C ＝∠BFG ，∴AC ∥FG ，∵AG ∥DF ，AD ＝DF ，∴四边形ADFG 是菱形．8．如图ZS8－8，在△ABC 中，P 是边BC 中垂线上的一点，∠PBC ＝12∠A ，连结BP ，CP 并延长，交AC ，AB 于点E ，D .求证：BD ＝CE .(图ZS8－8) (图DT8－4) 证明：如图DT8－4，过点B 作BM ⊥CD 于点M ，过点C 作CN ⊥BE 于点N . ∵点P 在BC 的中垂线上，∴BP ＝CP ，∴△BPM ≌△CPN ，∴BM ＝CN .∵∠BPD ＝2∠PBC ＝∠A ，∠BDM ＝∠ABE ＋∠BPD ，∠CEN ＝∠ABE ＋∠A ，∴∠BDM ＝∠CEN ，∴△BDM ≌△CEN (AAS)，∴BD ＝CE .9．如图ZS8－9，P 是△ABC 外一点，AP 平分∠BAC ，PE 垂直平分BC ，作PD ⊥AB 于点D .求证：AC －AD ＝BD .(图ZS8－9) (图DT8－5) 证明：如图DT8－5，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连结BP ，CP .∵EP 垂直平分BC ，∴BP ＝CP .∵AP平分∠CAD，PM⊥AC，PD⊥AB，∴PM＝PD，∴△APD≌△APM，△CMP≌△BDP，∴AM＝AD，CM＝BD，∴AC－AD＝BD.10．用直尺和圆规作△ABC，使∠A＝45°，AB＝a，BC＝b.若这样的三角形只能作一个，求a，b应满足的条件．解：由题意知，以B为圆心，BC为半径的弧与射线AC(不包括顶点)只有一个交点．如图DT8－6－1，AC＝BC，则b＝2 2a.(图DT8－6－1) (图DT8－6－2) 如图DT8－6－2，BC≥AB，则b≥a.综上所述，b＝22a或b≥a.。

2021初中数学证明三角形全等方法总结

2021初中数学证明三角形全等方法总结在证明线段或角相等时，解题的关键往往是根据条件找到两个可能全等的三角形，再证明这两个三角形全等，最后得出结论.利用全等三角形的性质可以证明分别属于两个三角形中的线段或角相等．下面介绍证明三角形全等的几种方法，供同学们参考．一、利用公共角证明全等【例题 1】如图 1，已知 AB ＝ AC, AE ＝ AF，BF 交 CE 于点 O.图 1求证:∠ABF ＝∠ACE.分析：要证明∠ABF＝∠ACE，只需证明△BOE≌△COF 或△ABF≌△ACE. 而由图形可知∠A 是公共角，又由已知条件 AB ＝ AC, AE＝ AF, 所以△ABF≌△ACE（SAS），于是问题获证．证明：略.二、利用对顶角证明全等【例题 2】如图 2，点 B、E、F、D 在同一条直线上，AB ＝ CD，BE ＝DF，AE ＝ CF，连接 AC 交 BD 于点 O．图 2求证：AO ＝ CO．分析：要证明 AO＝CO，只需证明△AOE≌△COF 或△AOB≌△COD 即可．根据现有条件都无法直接证明．而由已知条件 AB ＝CD，BE ＝ DF, AE ＝ CF 可直接证明△ABE≌△CDF，则有∠AEB＝∠CFD，进而有∠AEO＝∠CFO，再利用对顶角相等即可证明△AOE≌△COF（AAS）于是问题获证．证明：略.三、利用公共边证明全等【例题 3】如图 3，已知 AB ＝ CD，AC ＝ BD．图 3求证：∠B ＝∠C．分析：设 AC 与 BD 交于点 O，此时∠B 与∠C 分别在△AOB 和△DOC 中，而用现有的已知条件是不可能直接证明这两个三角形全等的，需添加辅助线来构造另一对全等三角形．此时可以连接 AD，那么 AD 是△ABD 和△DCA 的公共边，这样可以证明△ABD≌△DCA（SSS），从而可证明∠B ＝∠C，于是问题获证．证明：略.四、利用相等线段中的公共部分证明全等【例题 4】如图 4，点 E、F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，AF ＝ CE.图 4求证：BE∥DF.分析：要证明BE∥DF, 只需证明∠BEC ＝∠DFA，此时可以转换为证明∠AEB ＝∠CFD, 进而证明△AEB≌△CFD（SAS）. 而 AE = AF - EF , CF = CE - EF , 故 AE = CF .证明：∵ 在平行四边形 ABCD 中，∴ AB∥CD，AB = CD，∴∠BAE = ∠DCF，∵ AE = AF - EF , CF = CE - EF , AF ＝ CE，∴AE = CF，∴ △AEB ≌ △CFD（SAS），∴ ∠AEB ＝∠CFD,∴ ∠BEC ＝180° - ∠AEB = 180° - ∠CFD = ∠DFA，∴ BE∥DF.五、利用等角中的公共部分证明全等【例题 5】如图 5，已知∠E ＝30°，AB ＝ AD，AC ＝ AE，∠BAE＝∠DAC．图 5求：∠C 的度数．分析：已知∠E ＝30°，要求∠C，可考虑证明△ABC≌△ADE , 由∠BAE ＝∠DAC , 结合图形可知∠BAC ＝∠DAE，于是问题获解．证明：∵ ∠BAE＝∠DAC，∴ ∠BAE +∠EAC= ∠DAC +∠EAC，∴ ∠BAC ＝∠DAE，∵ AB ＝ AD，AC ＝ AE，∴ △ABC ≌ △ADE（SAS） ,∴ ∠C = ∠E = 30° .六、利用互余或互补角的性质证明全等【例题 6】如图 6，已知∠DCE ＝90°，∠DAC ＝90°，BE⊥AC 于点 B, 且DC ＝ EC, 能否找出与 AB + AD 相等的线段，并说明理由．图 6分析：由于 AC ＝ AB + BC，可以猜想 AC ＝ AB + AD，或 BE ＝AB + AD，此时只需证明 AD ＝ BC 即可．而事实上，用同角的余角相等可得到∠DCA ＝∠E，从而证明△ADC ≌ △BCE，问题获证．注意考点：同角或等角的余角相等.证明：∵ BE⊥AC，∴ ∠EBC = 90°，∵ ∠DCA +∠ACE= ∠DCE = 90°，∠E +∠ACE= 90°，∴ ∠DCA ＝∠E，∵ ∠DAC = ∠EBC = 90°，DC ＝ EC,∴ △ADC ≌ △BCE（AAS），∴ AC = BE , AD = BC，∴AB + AD= AB + BC = AC= BE.七、利用角平分线的性质构造全等三角形证明全等考点：角平分线上的点到角两边的距离相等【例题 7】如图 7，点 P 是∠ABC 的平分线 BN 上一点，PE 垂直 AB 所在的直线与 E , PF 垂直BC 所在的直线于F, ∠PAB + ∠PCB = 180°.图 7求证：PA = PC.证明：∵ BN 是∠EBC 的角平分线，PE⊥BA，PF⊥BC，∴ ∠PEA = ∠PFC = 90°，PE = PF ,∵ ∠PAB + ∠PAE = ∠PAB + ∠PCB = 180°，∴ ∠PAE = ∠PCF，∴ △PAE ≌ △PCF，∴ PA = PC.八、利用截长补短法构造全等三角形证明全等所谓截长法是指在较长的线段上截取一条线段等于较短的线段，而补短法是指延长较短的线段等于较长的线段，通过截长补短可以把分散的条件相对集中起来，以便构造全等三角形。

全等二次证明(含答案)

全等二次证明1.已知：如图，，，是延长线上的一点．求证：．2.如图，，，，、是垂足，．求证：．3.如图，在四边形中，，，，分别是，延长线上的点，且，连接交于点，分别交，于点，．求证：．4.如图，点在线段上，，．求证：．5.如图所示，已知，，，求证：．（1）（2）6.如图，已知中，，、是高，与相交于点；求证：．若，求的度数．7.已知：如图所示，，，，分别是、的中点．求证：．8.已知如图：，，．求证：．9.如图，在中，，为边的中点，，．求证：．10.如图，已知在上，，，那么等于吗？为什么？11.如图，、、、四点在一条直线上，，，，．求证：．12.如图，，，于，于．求证：．13.如图，已知，，试说明：≌．14.如图，已知，，且，，你能证明吗？15.在中，，延长至，使，过作于，交于，求证：平分．16.如图，，．求证：≌．17.已知为等边内一点，且，为三角形外一点，且，，求．18.如图，中，是的中点，是线段延长线上一点，过点作的平行线与线段的延长线交于点，连接，．求证：．19.如图，已知在四边形中，，，于点，交于点，交的延长线于点，且．求证：．20.已知：如图所示，，，，．求证：．21.已知，，，，求的长度．22.已知：如图，点、、、在同一直线上，，过点、分别作，，连接、、，交于点，，求证：≌．23.如图，，，相交于点，且，，．求证：≌．CDOBAFE24.如图，，，于，，求证：平分．25.如图：在中，，于，于，、相交于．求证：平分．（1）（2）26.如图，在中，，延长至，使，过作于，交于．连接．求证：．若，求的度数．（1）（2）27.已知：如图，点、、三点在同一条直线上，平分，，于，于．求证：≌．若，，求的长．（1）（2）28.如图，已知≌，，与相交于点，连接，．图中还有几对全等三角形，请你一一列举．求证：．29.如图，已知：为等边内一点，，，求的度数．30.如图，在的两边、上分别取，，和相交于点，求证：点在的平分线上．EF BCDA（1）（2）31.已知：如图，、、、四点在同一直线上，，且．求证：，（1）（2）32.如图（），、分别为线段的两个动点，且于点，于点，若，，交于点．求证：，．当、两点移动到图（）所示的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．全等二次证明1.【解析】【标注】已知：如图，，，是延长线上的一点．求证：．【答案】证明见解析．∵在和中，，∴≌（），∴，在和中，，∴≌（），∴．【知识点】全等三角形之二次全等【备注】【教法指导】引导学生梳理思路如下：①要证，则需证明（或者任选其一都可以）；②要证，需找三组条件，其中已有两组边相等，，所以势必需要；③要证，从已知条件出发，发现，，又因为公共边，可证明④由，可得，至此，在和中三组条件找全，利用可以证明全等，从而得出结论．【注意】分析为逆向思维，但是书写过程还是要正向去写≌≌≌≌≌2.【解析】【标注】如图，，，，、是垂足，．求证：．【答案】见解析先证≌，再证≌即可【知识点】全等三角形的对应边与角【备注】【教法指导】例的完整解答如下：∵，，∴，又∵，，∴∴∴，即∴ ．∴．≌（）≌（）3.【解析】如图，在四边形中，，，，分别是，延长线上的点，且，连接交于点，分别交，于点，．求证：．【答案】证明见解析．如图，∵，∴，，在和中，【标注】，∴≌（），∴，∴，∴，，∴，在和中，，∴≌（），∴．【知识点】多解或多种判定混合4.【解析】如图，点在线段上，，．求证：．【答案】证明见解析．∵，而，，∴，在和中，【标注】，∴≌，∴．在和中，∴≌，∴．【知识点】多解或多种判定混合【备注】【教法指导】练习也可以把、分别当作、的外角，从而可得，同样可以证出．≌5.【解析】如图所示，已知，，，求证：．【答案】证明见解析．∵，∴，即，在和中，∴≌，∴，在和中，【标注】∴≌，∴．【知识点】多解或多种判定混合【备注】【教法指导】练习也可以由得到，从而．≌≌（）（1）（2）6.方法一：方法二：（1）【解析】如图，已知中，，、是高，与相交于点；求证：．若，求的度数．【答案】（1）（2）证明见解析．．∵，∴，∵、是的两条高线，∴，∴≌，∴，，在和中∵，，，∴≌．∴．∵，、是的两条高线，∴，且．又∵，（2）【标注】∴≌．∴．又∵，∴≌．∴．∵,∴又∵∴∴【知识点】等腰三角形的判定-等角对等边【知识点】三角形内角和的应用【能力】推理论证能力7.【解析】已知：如图所示，，，，分别是、的中点．求证：．【答案】证明见解析．连接，在和中，，∴≌，∴，∵，，分别是，的中点，∴，在和中，【标注】，∴≌，∴．【知识点】多解或多种判定混合8.【解析】已知如图：，，．求证：．【答案】证明见解析．连接，∵，，∴，即，在和中，≌（），∴，在和中，∴≌（），∴．【标注】【知识点】多解或多种判定混合9.【解析】如图，在中，，为边的中点，，．求证：．【答案】证明见解析．连接．在和中，，∴≌（），又∵，为边的中点，∴（三线合一），∴，又∵≌，【标注】∴，∴，，∴．【知识点】全等三角形之二次全等10.【解析】【标注】如图，已知在上，，，那么等于吗？为什么？【答案】．∵，，，∴≌，∴，∵，∴≌，∴．【知识点】多解或多种判定混合11.如图，、、、四点在一条直线上，，，，．求证：．【答案】证明：∵，，∴，【解析】【标注】，∴，即，在和中，∴≌（），∴（全等三角形的对应边相等），（全等三角形的对应角相等），∴，在和中，∴≌（），∴（全等三角形的对应边相等）．∵，，∴，，∴，即，在和中，∴≌（），∴（全等三角形的对应边相等），（全等三角形的对应角相等），∴，在和中，∴≌（），∴（全等三角形的对应边相等）．【知识点】多解或多种判定混合已证已知已证已证公共边已证已知已证已证公共边12.如图，，，于，于．求证：．【解析】【标注】【答案】证明见解析．在和中，，∴≌，∴，∵，，∴，∴≌，∴．【知识点】HL13.【解析】如图，已知，，试说明：≌．【答案】证明见解析．在和中，，∴≌，∴，【标注】∵，，∴，在和中，，∴≌．【知识点】AAS14.【解析】【标注】如图，已知，，且，，你能证明吗？【答案】证明见解析．∵，，∴，∴．又∵，，∴≌，∴．又∵，，∴≌，∴．【知识点】HL15.在中，，延长至，使，过作于，交于，求证：平分．【解析】【标注】【答案】证明见解析．∵，∴，在和中：∴，∴，在和中：，∴，∴，即平分．【知识点】多解或多种判定混合16.如图，，．求证：≌．【答案】证明：∵，，在和中，，∴≌．∴．又∵，在和中，【解析】【标注】，∴≌．∵，，在和中，，∴≌．∴．又∵，在和中，，∴≌．【知识点】多解或多种判定混合17.【解析】已知为等边内一点，且，为三角形外一点，且，，求．【答案】．∵，又∵为等边三角形，∴，，∴连接，在与中，，【标注】∴≌（）．∴．又∵，∴．又∵，，∴，在和中，．∴≌（）．∴．∴．【知识点】多解或多种判定混合18.【解析】如图，中，是的中点，是线段延长线上一点，过点作的平行线与线段的延长线交于点，连接，．求证：．【答案】证明见解析．∵，∴．∵是的中点，∴．在和中，，∴≌，∴．在和中，【标注】，∴≌，∴．∴．【知识点】多解或多种判定混合19.【解析】【标注】如图，已知在四边形中，，，于点，交于点，交的延长线于点，且．求证：．【答案】证明见解析．∵，于点，∴．∵，，∴≌，∴．连接，∵，，∴≌，∴．【知识点】全等三角形之二次全等20.【解析】【标注】已知：如图所示，，，，．求证：．【答案】证明见解析．∵，，∴．在和中，，∴≌（）．∴．∴．∴．在和中，，∴≌（）．∴，∴．【知识点】多解或多种判定混合21.已知，，，，求的长度．【答案】．【解析】【标注】∵，∴，在和中，∵，∴≌（），∴，．在和中，∵，∴≌（），∴．【知识点】SAS 【能力】分析和解决问题能力22.【解析】已知：如图，点、、、在同一直线上，，过点、分别作，，连接、、，交于点，，求证：≌．【答案】证明见解析．∵、，∴，∵，，，∴，∵，∴≌，∴，∵，∴≌，【标注】【知识点】AAS 【知识点】全等三角形的性质【能力】推理论证能力【备注】【教法指导】练习注意标答第7行以后，得到、再由（已证）、(对顶角相等)就可以得到．≌（）23.【解析】【标注】如图，，，相交于点，且，，．求证：≌．CDOBAFE【答案】证明见解析．在和中，，∴≌（），同理，≌，≌，∴，，，∴≌．【能力】推理论证能力【知识点】SAS【知识点】全等三角形的性质24.如图，，，于，，求证：平分．【解析】【标注】【答案】证明见解析．连接、，在和中：，∴，∴，，∵，∴，在和中：，∴，∴，∴，，即平分．【知识点】多解或多种判定混合25.【解析】如图：在中，，于，于，、相交于．求证：平分．【答案】证明见解析．∵，，∴，∵，，【标注】∴≌，∴，∵，∴≌，∴，∴平分．【知识点】多解或多种判定混合（1）（2）26.（1）（2）【解析】如图，在中，，延长至，使，过作于，交于．连接．求证：．若，求的度数．【答案】（1）（2）证明见解析．．在和中，，∴≌（），∴，又∵，，∴．由（）知，，∵，在和中，【标注】，∴≌（），∴，∵，∴，设，则，则，∴．【知识点】全等三角形的对应边与角（1）（2）27.（1）（2）【解析】已知：如图，点、、三点在同一条直线上，平分，，于，于．求证：≌．若，，求的长．【答案】（1）（2）证明见解析．．∵，，∴．∵平分，∴，在和中，，∴≌．∵≌，【标注】∴，∵，∴．∵平分，∴，∵，，∴，在和中，，∴≌．∴，∴，∵，，∴，∴．【知识点】角分线性质定理【知识点】AAS【知识点】全等三角形的对应边与角【能力】推理论证能力（1）（2）28.如图，已知≌，，与相交于点，连接，．图中还有几对全等三角形，请你一一列举．求证：．【答案】（1）≌，≌（1）（2）【解析】（2）证明见解析．≌，≌证法一：连接，∵≌，∴．∴．又∵≌，∴．∴．即．∴．证法二：∵≌，∴，，，．∴．即，∴≌．∴，．又∵，∴．又∵，【标注】∴≌．∴．证法三：连接．∵≌，∴，，．又∵，∴≌．∴．又∵，∴．即．【知识点】全等三角形的对应边与角29.【解析】如图，已知：为等边内一点，，，求的度数．【答案】．连接，∵等边三角形，∴，∵，【标注】∴，在和中，，∴≌（），∴，在和，，∴≌（），∴，∵，∴．故答案为：．【知识点】多解或多种判定混合30.【解析】如图，在的两边、上分别取，，和相交于点，求证：点在的平分线上．【答案】证明见解析．∵，，，∴≌，∴，【标注】又，，∴≌，∴，易得≌，∴，∴点在的平分线上．【知识点】多解或多种判定混合EFBCD A（1）（2）31.（1）（2）【解析】已知：如图，、、、四点在同一直线上，，且．求证：【答案】（1）（2）证明见解析证明见解析．∵，∴，即.∵，∴，∵，∴在和中，，∴．∵（已证），∴.在和中，，，【标注】，∴.∴【知识点】全等三角形的对应边与角（1）（2）32.（1）【解析】如图（），、分别为线段的两个动点，且于点，于点，若，，交于点．求证：，．当、两点移动到图（）所示的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）（2）证明见解析．结论仍成立．∵，，∴．和是直角三角形，在和中，，∴≌（）．（2）【标注】∴．在和中，，∴≌（）．∴，．结论仍成立．∵∵，，∴．和是直角三角形，在和中，，∴≌（）．∴．在和中，，∴≌（）．∴，．【知识点】全等三角形的对应边与角。

全等三角形证明之二次全等,含详细参考答案

全等三角形之二次全等知识过关1. 回顾七年级上册学习的几何初步填空：遇到与角有关的计算和证明时，常见的思考角度：由平行想到_____________，____________，____________；由垂直想到__________________，_____________________；由外角想到_________________________________________． 2. 已知：如图，AB ，CD 相交于点O ，AO =BO ，CO =DO ，过点O 作EF 交AC 于点E ，交BD 于点F ．求证：△BOF ≌△AOE ．精讲精练1. 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，在△ACM ，△CBN 中，AC =CM ，BC =CN ，∠ACM =∠BCN =60°，连接AN 交CM 于点E ，连接BM 交CN 于点F ．求证：①△CAN ≌△CMB ；②△CEN ≌△CFB ．2. 已知：如图，在正方形ABCD 中，AD =AB ，∠D =∠ABC =∠BAD =90°，E ，F 分别为CD ，BC边上的点，且∠EAF =45°，延长CB 到点G ，使BG =DE ，连接EF ，AG ．求证：①△ADE ≌△ABG ；②EF =DE +BF ．FCBO E DA GA BCEDFNMCFE A3. 已知：如图，∠A =∠D =90°，AC ，BD 相交于点E ，BE =CE ．求证：△ABC ≌△DCB ．4. 已知：如图，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，AE =CF ，过点E ，F 分别作ED ⊥AC 于点E ，FB⊥AC 于点F ，连接AB ，CD ，BD ，BD 交AC 于点G ，AB =CD ．求证：△DEG ≌△BFG ．5. 已知：如图，AB =AC ，BD =CD ，AD 与BC 相交于点O ．求证：AD ⊥BC ．EDAFCBGEDAB O A6. 已知：如图，在Rt △ABE 和Rt △ACF 中，∠E =∠F =90°，BE =CF ．BE 与AC 相交于点M ，与CF 相交于点D ，AB 与CF 相交于点N ，∠EAC =∠FAB ．求证：AM =AN ．7. 已知：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，点D 是BC 的中点，DF ⊥AB 于F ，DE⊥AC 于E ．试猜想AB 和AC 的数量关系，并证明你的猜想．【参考答案】知识过关1. 同位角；内错角；同旁内角；直角三角形两锐角互余；同角或等角的余角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 2. 证明：如图，在△BOD 和△AOC 中，BO AOBOD AOCDO CO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（对顶角相等）（已知） ∴△BOD ≌△AO C （SAS ）∴∠B =∠A （全等三角形对应角相等）在△BOF 和△AOE 中，B A BO AOBOF AOE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（已证）（已知）（对顶角相等） ∴△BOF ≌△AOE （ASA ）F BE DANF C BME DA精讲精练 1. 证明：如图，①∵∠ACM =∠BCN =60° ∴∠MCN =60° ∴∠ACN =∠MCB =120° 在△CAN 和△CMB 中，AC MC ACN MCB CN CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已知） ∴△CAN ≌△CMB （SAS ） ②∵△CAN ≌△CMB∴∠ANC =∠MBC （全等三角形对应角相等） ∵∠ECN =60°；∠FCB =60° ∴∠ECN =∠FCB 在△CEN 和△CFB 中，ECN FCB CN CB ENC FBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（已证）（已知）（已证） ∴△CEN ≌△CFB （ASA ） 2. 证明：如图，①∵∠D =∠ABC =90° ∴∠ABG =90° ∴∠D =∠ABG在△ADE 和△ABG 中，AD AB D ABG DE BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已知） ∴△ADE ≌△ABG （SAS ） ②∵△ADE ≌△ABG （已证） ∴AE =AG （全等三角形对应边相等） ∠EAD =∠GAB （全等三角形对应角相等） ∵∠EAF =45°；∠BAD =90° ∴∠BAF +∠EAD =45° ∴∠BAF +∠GAB =45° 即∠GAF =∠45° ∴∠GAF =∠EAF 在△AFE 和△AFG 中，EAF GAFAF AF ⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（公共边） ∴△AFE ≌△AFG （SAS ）∴EF =GF （全等三角形对应边相等） ∵GF =BG +BF ∴EF =DE +BF 3. 证明：如图，在△AEB 和△DEC 中，A D AEB DECBE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（对顶角相等）（已知） ∴△AEB ≌△DEC （AAS ）∴AB =DC （全等三角形对应边相等）在Rt △ABC 和Rt △DCB 中，BC CBAB DC =⎧⎨=⎩（公共边）（已证） ∴△ABC ≌△DCB （HL ） 4. 证明：如图，∵AE =CF ∴AE+EF =CF+EF 即AF =CE∵DE ⊥AC ；BF ⊥AC ∴∠AFB =∠CED =90° 在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，AB CDAF CE=⎧⎨=⎩（已知）（已证） ∴Rt △ABF ≌Rt △CDE （HL ） ∴BF =DE （全等三角形对应边相等）在△DEG 和△BFG 中，DEG BFGEGD FGBDE BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（对顶角相等）（已证） ∴△DEG ≌△BFG （AAS ） 5. 证明：如图，在△ABD 和△ACD 中，BD CDAD AD ⎪=⎨⎪=⎩（已知）（公共边） ∴△ABD ≌△ACD （SSS ）∴∠BAD =∠CAD （全等三角形对应角相等）在△BAO 和△CAO 中，AB AC BAO CAOAO AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（公共边） ∴△BAO ≌△CAO （SAS ）∴∠AOB =∠AOC （全等三角形对应角相等） ∵∠AOB +∠AOC =180° ∴∠AOB =90° ∴AD ⊥BC 6. 证明：如图，∵∠EAC =∠FAB∴∠EAC +∠BAC =∠FAB +∠BAC 即∠BAE =∠CAF 在△ABE 和△ACF 中，BAE CAF E FBE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（已知）（已知） ∴△ABE ≌△ACF （AAS ）∴AE =AF （全等三角形对应边相等）在△AEM 和△AFN 中；E F AE AFEAM FAN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（已知）（已证）（已知） ∴△AEM ≌△AFN （ASA ）∴AM = AN （全等三角形对应边相等） 7. AB =AC ，理由如下：证明：如图， ∵DF ⊥AB ；DE ⊥AC∴∠AFD =∠AED =∠BFD =∠CED =90° ∵AD 平分∠BAC ∴∠FAD =∠EAD在△AFD 和△AED 中；AFD AEDFAD EADAD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（已证）（公共边） ∴△AFD ≌△AED （AAS ）∴DF =DE ，AF =AE （全等三角形对应边相等） ∵点D 是BC 的中点 ∴BD =CD在Rt △BFD 和Rt △CED 中BD CDDF DE =⎧⎨=⎩（已证）（已证） ∴Rt △BFD ≌Rt △CED （HL ） ∴BF =CE （全等三角形对应边相等） ∴AF +BF =AE +CE 即AB =AC二次全等（当堂过关）1. 已知：如图，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且BD =CD ．求证：BE =CF ．证明：如图，1. 证明：如图，∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD =∠F AD ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ∴∠AED =∠AFD =∠CFD =90° 在△AED 和△AFD 中，∴△AED ≌△AFD （AAS ）AED AFDEAD FADAD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（已证）（公共边）F E DCB∴DE =DF （全等三角形对应边相等）在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ） ∴BE =CF （全等三角形对应边相等）二次全等（习题）➢ 例题示范例1：已知：如图，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，且BD =CE ，BE 交CD 于点O ．求证：AO 平分∠BAC ．【思路分析】 ① 读题标注：② 梳理思路：要证AO 平分∠BAC ，则需证明∠DAO =∠EAO ．要证∠DAO =∠EAO ，则需证明△AOD ≌△AOE ．要证△AOD ≌△AOE ，需找三组条件，其中必须有一组边．分析发现，AO =AO ，∠ADO =∠AEO =90°，已经有了两组条件，还需要一组条件．从已知条件出发，发现BD =CE ，∠BDO =∠CEO =90°，又因为∠1=∠2，可证明△BOD ≌△COE ．由△BOD ≌△COE ，可为上面的全等准备一组条件OD =OE ．至此，在△AOD 和△AOE 中三组条件找全，利用HL 可以证明全等，从而得出结论．【过程书写】证明：如图 ∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC∴∠ADO =∠AEO =∠BDO =∠CEO =90° 在△BOD 和△COE 中BD CDDE DF =⎧⎨=⎩（已知）（已证）21O EDCBAABCDEO12BDO CEO BD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（对顶角相等）（已证）（已知） ∴△BOD ≌△COE （AAS ）∴OD =OE （全等三角形对应边相等）在Rt △AOD 和Rt △AOE 中AO AO OD OE=⎧⎨=⎩（公共边）（已证）∴Rt △AOD ≌Rt △AOE （HL ）∴∠DAO =∠EAO （全等三角形对应角相等） ∴AO 平分∠BAC巩固练习1. 已知：如图，△ABC 是等边三角形，AB =BC =AC ，∠ABC =∠ACB =60°，点E ，F 分别在AB ，AC 边上，∠EDF =60°，BD =CD ，∠DBC =∠DCB =30°，∠BDC =120°，延长AC 到点G ，使CG =BE ．求证：①△EBD ≌△GCD ；②△EFD ≌△GFD ．2. 已知：如图，AB =AC ，BD =CD ，E 是线段AD 延长线上一点．求证：△ABE ≌△ACE ．GFED C BA E DCBA3. 已知：如图，∠ACB =∠ADB =90°，AD =BC ，CE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AB 于点F ．求证：CE =DF ．4. 已知：如图，点C ，D 在线段BE 上，BD =EC ，CA ⊥AB 于点A ，DF ⊥EF 于点F ，且AB =EF ．求证：CF =DA ．5. 已知：如图，在△PBC 中，D 为PB 上一点，PD =PC ，延长PC到点A ，使得PA =PB ，连接AD ，交BC 于点O ，连接PO ．求证：OD =OC ．FE DC BOBDCAFEDCBA【参考答案】1. 证明：如图，①∵∠ABC =∠ACB =60°，∠DBC =∠DCB =30° ∴∠DBE =∠ABC+∠DBC =90°∠DCG =180°-∠ACB -∠DCB =90° ∴∠DBE =∠DCG在△EBD 和△GCD 中，B DBE DCD CD GBE CG ∠=∠=⎧⎪⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已知） ∴△EBD ≌△GCD （SAS ）②∵△EBD ≌△GCD （已证）∴DE =DG （全等三角形对应边相等） ∠EDB =∠GDC （全等三角形对应角相等） ∵∠BDC =120°，∠EDF =60°∴∠EDB +∠CDF =60°∴∠GDC +∠CDF =60°即∠GDF =60°∴∠EDF =∠GDF在△EFD 和△GFD 中，D DE DG EDF GDFF DF =∠=∠⎧⎪⎨⎪=⎩（已证）（已证）（公共边） ∴△EFD ≌△GFD （SAS ）2. 证明：如图，在△ABD 和△ACD 中，AB AC BD CDAD AD ⎧⎪⎨⎪=⎩==（已知）（已知）（公共边） ∴△ABD ≌△ACD （SSS ）∴∠BAD =∠CAD （全等三角形对应角相等）在△ABE 和△ACE 中，A AB AC BAE CAEE AE =∠=∠⎧⎪⎨⎪=⎩（已知）（已证）（公共边） ∴△ABE ≌△ACE （SAS ）3. 证明：如图，在Rt △ACB 和Rt △BDA 中，BC B BA AD A ==⎧⎨⎩（公共边）（已知） ∴Rt △ACB ≌Rt △BDA （HL ）∴AC =BD （全等三角形对应边相等）∠CAB =∠DBA （全等三角形对应角相等） ∵CE ⊥AB ，DF ⊥AB∴∠CEA =∠DFB =90°在△ACE 和△BDF 中，CEA DFB CAE DBFAC BD ⎧⎪⎨∠=∠∠=⎪∠⎩=（已证）（已证）（已证） ∴△ACE ≌△BDF （AAS ）∴CE =DF （全等三角形对应边相等）4. 证明：如图，∵CA ⊥AB ，DF ⊥EF∴∠CAB =∠DFE =90°∵BD =EC∴BD +DC =EC +DC即BC =ED在Rt △ABC 和Rt △FED 中，BC ED AB FE=⎧⎨=⎩（已证）（已知） ∴Rt △ABC ≌Rt △FED （HL ）∴∠B =∠E （全等三角形对应角相等）在△ABD 和△FEC 中，AB FE B EBD EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已知） ∴△ABD ≌△FEC （SAS ）∴CF =DA （全等三角形对应边相等）5. 证明：如图，在△ADP 和△BCP 中，PD PC APD BPCPA PB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（公共角）（已知） ∴△ADP ≌△BCP （SAS ）∴∠A =∠B （全等三角形对应角相等）∵PD =PC ，PB =PA∴PD -PB =PA -PC即BD =AC在△BOD 和△AOC 中，BOD AOC B ABD AC ⎧⎪∠=∠⎪=∠⎩=⎨∠（对顶角相等）（已证）（已证） ∴△BOD ≌△AOC （AAS ）∴OD =OC （全等三角形对应边相等）。

2021年中考数学复习讲义：第四章全等三角形模型(十六)——半角模型

第四章.全等三角形模型（十六）——半角模型一、正方形中的半角模型【条件】如图①两个角共顶点，②其中一个角（45º）是另一个角（90º）的一半【结论】①EF=BE+DF，②EA平分∠BEF，FA平分∠DFE，③△EFC的周长等于正方形边长的2倍④如图：AM=AB⑤如图：∠EAF=45º，则EF²=BE²+FC²模型讲解【证明】①∶延长CB 至点P ，使得BP=DF 连接AP第一次全等第二次全等在△ABP 和△ADF 中在△AEP 和△AEF 中AB=AD （正方形边长相等） AP=AF∠ABP=∠ADF=90º ∠PAE=∠FAEBP=DF （构造） AE=AE∴ △ABP ≌△ADF （SAS ） ∴△AEP ≌△AEF （SAS ） ∴AP=AF ，∠1=∠2 ∴PE=EF∵∠2+∠3=45º 即PB+BE=EF∴∠1+∠3=45º, ∴DF+BE =EF∴∠PAE=∠FAE② 由①得：△AEP ≌△AEF ，则∠4=∠5，∠AFE=∠P又△APB ≌△AFD ，∴∠P=∠AFD ，∴∠AFE=∠AFD∴EA 平分∠BEF ，FA 平分∠DFE③ 由①得：EF=BE+DF ，∴△EFC 的周长＝EF+EC+CF ＝BE+DF+EC+CF=BC+DC ， ∴△EFC 的周长等于正方形边长的2倍④ 过A 作AM ⊥EF ，则∠AME=∠B=90º。

由①得∠1=∠2，AE=AE ，∴△ABE ≌△AME （AAS ），∴AM=AB见半角，旋全角，盖半角，得半角。

⑤如图，过点A作AP⊥AF 且AP=AF.连接PE∵∠CAB= ∠PAF=90º，∠1=∠2第一次全等第二次全等在△ABP和△ACF中在△AEP和△AEF中AB=AC AP=AF∠2=∠1 ∠PAE=∠FAEAP=AF AE=AE∴△ABP≌△ACF（SAS）∴△AEP≌△AEF（SAS）∴BP=CF ，∠ABP=∠C=45º∴PE=EF∵∠EAF=45º在Rt△PBE中，PE²=PB²+BE²∴∠1+∠3=45º, 即EF²=CF²+BE²∴∠2+∠3 =45º二、等腰三角形中的半角模型【条件】如图，△ABC是等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC=120°，∠MDN=60º，【结论】①MN= BM+CN;②△MAN 的周长等于△ABC边长的 2 倍;③MD是∠BMN的平分线，ND是∠CNM的平分线【证明】∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，∴∠BCD=∠DBC=30°.∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC = ∠BAC = ∠BCA=60°,∴∠DBA= ∠DCA=90°.延长 AB至点F，使BF=CN，连接DF，如图.在△BDF 和△CDN 中，DB=DC,∠DBF=∠DCN,BF=CN,∴△BDF≌△CDN(SAS），∴∠BDF=∠CDN,∠F=∠CND,DF=DN.∵∠MDN=60°, ∴∠BDM+∠CDN=60°,∴∠BDM+∠BDF=60°，即∠FDM=60°=∠MDN.在△DMN 和△DMF 中，DN=DF,∠MDN= ∠MDF, DM=DM,∴△DMN≌△DMF（SAS），∴ MN=MF=BM+CN,∠F=∠MND=∠CND，∠FMD=∠DMN，∴△AMN的周长是 AM＋AN＋MN=AM＋MB＋CN＋AN=AB＋AC=2边长.三、对角互补且邻边相等的半角模型【条件】如图，∠B＋∠D=180°，∠BAD= 2∠EAF，AB=AD，【结论】①EF=BE+FD;②EA 是∠BEF的平分线，FA是∠DFE的平分线.典例秒杀典例1 ☆☆☆☆☆如图，已知正方形 ABCD 中，∠MAN=45º,则线段MN，BM与DN之间的关系是( )A.MN= BM＋DNB.BM=MN＋DNB.DN=MN+BM D.无法确定【答案】A【解析】∵正方形 ABCD中，∠MAN=45°，根据半角模型结论可知 MN=BM＋DN.故选 A.典例2 ☆☆☆☆☆如图，△ABC是边长为α的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，以 D为顶点作一个 60°角，使其两边分别交 AB于占M，交 AC于点N，连接 MN，则△AMN 的周长是（）.A. aB.2aC. 3aD. 不能确定【答案】B【解析】△BDC是等腰三角形，观察图形，能发现图形为等腰三角形的半角模型，根据半角模型结论可知，△AMN 的周长为△ABC边长的 2 倍，即为 2a.故选 B.典例3 ☆☆☆☆☆⑴如图1，在四边形 ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E，F分别是边 BC，1∠BAD，求证：EF =BE+FD.CD 上的点，且∠EAF=2⑵在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是边 BC，CD上的点1∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？（不需要说明理由）且∠EAF=2⑶如图 2，在四边形 ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E，F分别是边 BC，1∠BAD ，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，CD延长线上的点，且∠EAF=2请证明;若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.【解析】（1）如图，延长 EB到点G，使 BG=DF，连接 AG.∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG=AF，∠1=∠2.1∠BAD，∴∠GAE=∠EAF.∴∠1+∠3=∠2＋∠3=∠EAF=2又 AE=AE，∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG=EF.∵EG=BE+BG,∴EF=BE＋FD.（2）（1）中的结论 EF= BE＋FD仍然成立.（3）结论 EF=BE+FD不再成立，应当是 EF=BE－FD.证明∶如图，在 BE上截取 BG，使 BG=DF，连接 AG.∵∠B+∠ADC=180°,∠ADF＋∠ADC=180°, ∴∠B=∠ADF.又∵AB=AD，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG=∠DAF,AG=AF.1∠BAD,∴∠BAG＋∠EAD= ∠DAF＋∠EAD=∠EAF=2∴∠GAE=∠EAF.又∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG=EF∵EG=BE－BG,:.EF=BE－FD.小试牛刀1.（★★☆☆☆）如图，△ABC 是边长为 3 的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC= 120°.以 D为顶点作一个 60°角，使其两边分别交 AB 于点M，交 AC于点N，连接 MN，则△AMN 的周长为＿＿＿＿＿＿。

八年级上册数学三角形全等证明之二次全等(含答案)

第2节三角形全等证明之二次全等在证明线段相等或者角相等时,常见的方法是通过证明线段或角所在的三角形全等来证明线段或者角相等.但有的时候,根据题目条件无法简单地通过一次全等证明来得到最终的结论,这时就需要证明两次三角形全等,即证明图中的两对三角形全等.这种方法较多见于对称型全等和旋转型全等的题目中.一、典型例题[例]图2-1是某产品商标的示意图,已知AB ＝CD,∠A ＝∠D,有人认为△ABC ≌△DCB,他的思考过程是:∵AB ＝CD,∠A ＝∠D,BC ＝CB,∴△ABC ≌△DCB.你认为这个思考过程对吗？如果正确,请指出他用的是判定三角形全等的哪个定理？如果不正确,请写出你的思考过程.解:他的思考过程不正确.在△ABE 和△DCE 中,∵{∠AEB =∠DEC∠A =∠D AB =DC∴△ABE ≌△DCE （AAS ）.∴AE ＝DE,BE ＝CE.∴AE+EC ＝DE+EB,即AC ＝BD.在△ABC 和△DCB 中,∴{AC =BDAB =DC BC =CB∴△ABC ≌△DCB （SSS ）.二、培优巩固练习篇1.如图2-2所示,点A,E,C 在一条直线上,∠1＝∠2,∠3＝∠4.求证:△ABE ≌△ADE.图2-2图2-12.如图2-3所示,点A,E,F,C 在一条直线上,AE ＝CF,分别过点E,F 作DE ⊥ AC,BF ⊥AC,连接AB,CD,且AB ∥CD,连接BD 交AC 于点C.求证:△DEG ≌△BFG.3.如图2-4所示,AB ＝AC,DB ＝DC,F 是AD 延长线上的一点.求证:BF ＝CF.4.如图2-5所示,AE 是∠BAC 的角平分线,EB ⊥AB 于点B,EC ⊥AC 于点C,点D 是AE 上一点.求证:BD ＝CD.5.如图2-6所示,DE ⊥AC,BF ⊥AC,AD ＝BC,DE ＝BF.求证:AB ∥DC.图2-3C图2-4图2-5图2-66.如图2-7所示,点E,F 在BD 上,且AB ＝CD,BF ＝DE,AE ＝CF.求证:AO ＝CO.7.如图2-8所示,AB 之间有一条河.想要测量AB 的长,但无法过河接近点A,于是在AB 外任取一点D,在AB 的延长线上任取一点E,连接ED 和BD,并延长BD 到点G,使DG ＝DB,延长ED 到点F,使DF ＝DE,连接FG,并延长FG 到点H,使点H,D,A 在一条直线上,则HG ＝AB.试说明这种测量方法的原理.8.如图2-9所示,在Rt △ABC 和Rt △ADE 中,∠ABC ＝∠ADE ＝90°,BC 与DE 相交于点F,且AB ＝AD,AC ＝AE,连接CD,EB.求证:(1)∠CAD ＝∠EAB;（2）CF ＝EFDH图2-8图2-99.如图2-10所示,在等边△ABC 内取一点D,使DA ＝DB,在△ABC 外取一点E,使∠DBE ＝∠DBC,且BE ＝BA,则∠BED ＝_______°.10.如图2-11所示,∠BAC 是钝角,AB ＝AC,点D,E 分别在AB,AC 上,且CD ＝BE.试说明:∠ADC ＝∠AEB.一个同学的解法是这样的: 在△ACD 和△ABE 中, ∵{AB =AC BE =CD ∠BAE =∠CAD ∴△ABE ≌△ACD.∴∠ADC ＝∠AEB.这种解法遭到了其他同学的质疑.理由是错在不能用“SSA ”判定三角形全等.请你给出正确的解法.图2-10CB AC B答案解析1.证明:在△DEC和△BEC中,{∠1=∠2 EC=EC ∠3=∠4∴△DEC≌△BEC（ASA）.∴DE＝BE.∵∠3＝∠4,∴∠DEA＝∠BEA.在△ABE和△ADE中,{AE=AE∠AEB=∠AEDBE=DE∴△ABE≌△ADE（SAS）.2.证明:∵DE⊥AC,BF⊥AC, ∴∠AFB＝90°＝∠CED. ∵AE＝CF,∴AE+EF＝CF+FE,即AF＝CE.∵AB∥CD,∴∠A＝∠C.在△ABF和△CDE中,{∠A=∠C AF=CE∠AFB=∠CED ∴△ABF≌△CDE（ASA）.∴DE＝BF.在△BFG和△DEG中,{∠BFG=∠DEG ∠BGF=∠DGE BF=DE∴△BFG≌△DEG（AAS）.3.证明:在△ABD和△ACD中,{AB=AC BD=CD AD=AD∴△ABD≌△ACD（SSS）.∴∠BAD＝∠CAD.在△BAF和△CAF中,{AB=AC∠BAF=∠CAF AF=AF∴△BAF≌△CAF（SAS）.∴BF＝CF.4.证明:∵AE是∠BAC的角平分线, ∴∠CAE＝∠BAE. ∵EB⊥AB,EC⊥AC, ∴∠ECA＝∠EBA＝90°.在△CAE和△BAE中,{∠CAE=∠BAE ∠ECA=∠EBA AE=AE∴△CAE≌△BAE（AAS）.∴AC＝AB.在△CAD和△BAD中,{AC=AB ∠CAD＝∠BAD AD=AD∴△CAD≌△BAD（SAS）.∴BD＝CD.5.证明:∵DE ⊥AC,BF ⊥AC, ∴∠AED ＝∠CFB ＝90°, ∠AFB ＝∠CED ＝90°, 在Rt △ADE 和Rt △CBF 中,∵{AD =CB DE =BF ∴Rt △ADE ≌Rt △CBF （HL ）.∴AE ＝CF.∴AE+EF ＝CF+FE,即AF ＝CE.在△AFB 和△CED 中,∵{AF =CE∠AFB =∠CED DE =BF∴△AFB ≌△CED （SAS ）. ∴∠BAF ＝∠DCE.∴AB ∥DC.∴AO ＝CO.6.证明:∵BF ＝DE, ∴BF-EF ＝DE-FE,即BE ＝DF. 在△ABE 和△CDF 中, {AB =CDAE =CF BE =DF∴△ABE ≌△CDF （SSS ）.∴∠B ＝∠D.在△AOB 和△COD 中,{∠AOB =∠COD∠B =∠D AB =CD∴△AOB ≌△COD （AAS ）7.解:在△BED 和△GFD 中,{DB =DG∠BDE =∠GDF DE =DF∴△BED ≌△GFD （SAS ）.∴∠EBD ＝∠FGD.∴∠ABD ＝∠HGD.在△ABD 和△HGD 中,{∠ABD =∠HGDBD =GD∠BDA =∠GDH∴△ABD ≌△HGD （ASA ）.∴HG ＝AB.8.证明:（1）在Rt △ABC 和Rt △ADE 中,{AC =AE AB =AD ∴Rt △ABC ≌Rt △ADE （HL ）.∴∠BAC ＝∠DAE.∴∠BAC-∠DAB ＝∠DAE-∠DAB,即∠CAD ＝∠EAB.（2）在△ACD 与△AEB 中, {AC =AE∠CAD =∠EAB AD =AB∴△ACD ≌△AEB （SAS ）.∴CD ＝BE,∠ACD ＝∠AEB.∵Rt △ABC ≌Rt △ADE （HL ）, ∴∠ACB ＝∠AED.∴∠ACB-∠ACD ＝∠AED-∠AEB,即∠DCF ＝∠BEF.又∵∠DFC ＝∠BFE, ∴△DFC ≌△BFE （AAS ）.∴CF ＝EF.9.解:如图2所示,连接CD.∵△ABC是等边三角形, ∴AB＝BC＝CA.∵BE＝BA,BA＝BC, ∴BE＝BC.在△BDC和△BDE中,{BD=BD∠DBE=∠DBC BE=BC∴△BDC≌△BDE（SAS）. ∴∠BED＝∠BCD.在△BCD和△ACD中,{BC=AC BD=AD CD=CD∴△BCD≌△ACD（SSS）.∴∠BCD＝∠ACD＝30°.∴∠BED＝30°.10.证明:因为∠BAC是钝角,故过点B,C分别作CA,BA的垂线,垂足分别为点F, G,如图3所示.在△ABF和△ACG中,{∠F=∠G=90°∠FAB=∠GACAC=AB∴△ABF≌△ACG（AAS）.∴BF＝CG.在Rt△BEF和Rt△CDG中,{BF=CGBE=CD∴Rt△BEF≌Rt△CDG（HL）.∴∠ADC＝∠AEBEDC BA。

三角形全等证明(共11篇)

4．如图，D、E、F、B在一条直线上，AB=CD，∠B=∠D，BF=DE。求证：⑴AE=CF；⑵AE∥CF；⑶∠AFE=∠CEF。
1、已知：如图，∠1＝∠2，∠B＝∠D。求证：△AFC≌△DEB
4、已知：AD为△ABC中BC边上的中线，CE∥AB交AD的延长线于E。
求证：（1）AB＝CE；５、已知：AB＝AC，BD＝CD
C．全等三角形的角平分线相等D．全等三角形对应角的平分线相等2．下列各条件中，不能做出惟一三角形的是（）
A．已知两边和夹角B．已知两角和夹边
C．已知两边和其中一边的对角D．已知三边
4．下列各组条件中，能判定△ABC≌△DEF的是()
A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D
B．∠A=∠D，∠C=∠F，AC=EF
16．1AD517．互补或相等18．18019．1520．350
三、21．在一条直线上．连结EM并延长交CD于F\\’证CFCF\\’．22．情况一：已知：ADBC，ACBD
求证：CEDE（或DC或DABCBA）
证明：在△ABD和△BAC中∵ADBC，ACBD
ABBA
∴△ABD≌△BAC
∴CABDBA∴AEBE
∴ACAEBDBE
即CEED
情况二：已知：DC，DABCBA
求证：ADBC（或ACBD或CEDE）证明：在△ABD和△BAC中DC，DABCBA∵ABAB
∴△ABD≌△BAC
∴ADBC
23．提示：OM=ON，OE=OD，∠MOE=∠NOD，∴△MOE≌△NOD，∴∠OME=∠OND，又DM=EN，∠DCM=∠ECN，∴△MDC≌△NEC，∴MC=NC，易得△OMC≌△ONC（SSS）∴∠MOC=∠NOC，∴点C在∠AOB的平分线上．

全等三角形二次全等证明

全等三角形二次全等证明1.在三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，D是BC的中点，DF垂直于AB于点F，DE垂直于AC于点E。

证明三角形BDF和三角形CDE全等。

2.在同一直线上的点A，E，F，C中，AE=CF，DE垂直于AC于点E，BF垂直于AC于点F，AB和CD相交于点G，且AB=CD。

证明三角形DEG和三角形BFG全等。

3.在直角三角形ACD中，∠ADC=90°，BE垂直于AC于点E，交CD于点F，AE=AD。

证明三角形CEF和三角形BDF全等。

4.在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，BD平分∠ABC，E是BD上的任意一点，连接AE和CE。

证明三角形ADE和三角形CDE全等。

5.在三角形ABC中，∠ACB=∠ABC=60°，∠EDF=60°，BD=CD，∠XXX∠DCB=30°，∠BDC=120°，延长AC到点G，使CG=BE。

证明三角形EFD和三角形GFD全等。

6.点A，C在直线EF上，BC=AD，AB=CD，AE=CF。

证明∠E=∠F。

7.在图中，AE=BF，AD=BC，CE=DF。

证明AO=BO。

8.在图中，∠D=∠E，AM=ME=CN=DN。

猜想AB=BC，证明该猜想。

9.在三角形ABC中，D是BC的中点，DF垂直于AB于点F，DE垂直于AC于点E，DF=DE。

证明AB=AC。

10.在正方形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=CD=AD，E是BC边上的一点，且AE=DE，AE与对角线BD相交于点F，且∠ABF=∠CBF，连接CF交DE于点G。

证明DE垂直于CF。

11.在等边三角形ABC中，∠C=∠ABD=60°，AB=BC=AC，D，E分别为BC，AC边上的一点，且AE=CD，连接AD，BE相交于点F。

证明∠1=∠2.12.在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，E是AB上的一点，且BE=BC，过E作DE垂直于AB交AC于D，连接BD。

(2021年整理)三角形全等证明题60题(有答案)

三角形全等证明题60题(有答案)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（三角形全等证明题60题(有答案)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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全等三角形证明题专项练习60题（有答案）1．已知如图，△ABC≌△ADE，∠B=30°，∠E=20°,∠BAE=105°，求∠BAC的度数．∠BAC= _________ ．2．已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．求证：△ABD≌△CDB．3．如图，点E在△ABC外部，点D在边BC上，DE交AC于F．若∠1=∠2=∠3，AC=AE，请说明△ABC≌△ADE的道理．4．如图,△ABC的两条高AD,BE相交于H，且AD=BD．试说明下列结论成立的理由．（1)∠DBH=∠DAC；（2）△BDH≌△ADC．5．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥AB,DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE=DF，则AB=AC，并说明理由．6．如图,AE是∠BAC的平分线,AB=AC，D是AE反向延长线的一点，则△ABD与△ACD全等吗？为什么？7．如图所示，A、D、F、B在同一直线上,AF=BD,AE=BC，且AE∥BC．求证:△AEF≌△BCD．8．如图,已知AB=AC，AD=AE，BE与CD相交于O，△ABE与△ACD全等吗？说明你的理由．9．如图，在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点，点E在AD上,找出图中全等的三角形，并说明它们为什么是全等的．10．如图所示，CD=CA,∠1=∠2，EC=BC，求证：△ABC≌△DEC．11．已知AC=FE,BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，应增加什么条件？并根据你所增加的条件证明:△ABC≌△FDE．12．如图，已知AB=AC，BD=CE，请说明△ABE≌△ACD．13．如图，△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，将△ABC绕点C逆时针旋转角α（0°＜α＜90°）得到△A1B1C，连接BB1．设CB1交AB于D，A1B1分别交AB，AC于E，F，在图中不再添加其他任何线段的情况下,请你找出一对全等的三角形,并加以证明．(△ABC与△A1B1C1全等除外）14．如图，AB∥DE，AC∥DF,BE=CF．求证：△ABC≌△DEF．15．如图，AB=AC，AD=AE，AB，DC相交于点M，AC，BE相交于点N，∠DAB=∠EAC．求证：△ADM≌△AEN．16．将两个大小不同的含45°角的直角三角板如图1所示放置在同一平面内．从图1中抽象出一个几何图形（如图2），B、C、E三点在同一条直线上，连接DC．求证：△ABE≌△ACD．17．如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE,连接DE并延长至点F,使EF=AE，连接AF、BE和CF．请在图中找出所有全等的三角形，用符号“≌"表示，并选择一对加以证明．18．如图,已知∠1=∠2，∠3=∠4，EC=AD．（1)求证:△ABD≌△E BC．(2）你可以从中得出哪些结论?请写出两个．19．等边△ABC边长为8,D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E,过点E作EF⊥AC于点F．(1）若AD=2，求AF的长；(2）求当AD取何值时，DE=EF．20．巳知:如图，AB=AC，D、E分别是AB、AC上的点，AD=AE,BE与CD相交于G．（Ⅰ）问图中有多少对全等三角形？并将它们写出来．（Ⅱ）请你选出一对三角形，说明它们全等的理由（根椐所选三角形说理难易不同给分，即难的说对给分高，易的说对给分低）21．已知:如图，AB=DC，AC=BD,AC、BD相交于点E，过E点作EF∥BC，交CD于F，(1）根据给出的条件，可以直接证明哪两个三角形全等？并加以证明．（2)EF平分∠DEC吗？为什么？22．如图,己知∠1=∠2，∠ABC=∠DCB，那么△ABC与△DCB全等吗？为什么？23．如图，B，F，E,D在一条直线上，AB=CD，∠B=∠D，BF=DE．试证明:（1）△DFC≌△BEA；(2)△AFE≌△CEF．24．如图，AC=AE，∠BAF=∠BGD=∠EAC，图中是否存在与△ABE全等的三角形？并证明．25．如图，D是△ABC的边BC的中点，CE∥AB,E在AD的延长线上．试证明：△ABD≌△ECD．26．如图，已知AB=CD，∠B=∠C,AC和BD相交于点O,E是AD的中点，连接OE．(1)求证:△AOB≌△DOC；(2）求∠AEO的度数．27．如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=DC．（1）求证：△ABF≌△DEC；(2）请你找出图中还有的其他几对全等三角形．(只要直接写出结果，不要证明）28．如图：在△ABC中,BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB,连接AD、AG．（1）求证：△ABD≌△GCA;（2）请你确定△ADG的形状,并证明你的结论．29．如图,点D、F、E分别在△ABC的三边上,∠1=∠2=∠3,DE=DF，请你说明△ADE≌△CFD的理由．30．如图,在△ABC中，∠ABC=90°，BE⊥AC于点E,点F在线段BE上，∠1=∠2,点D在线段EC上，给出两个条件：①DF∥BC；②BF=DF．请你从中选择一个作为条件,证明：△AFD≌△AFB．31．如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在BC上,AB=BC，BD=BE，EA=DC,求证：△BEA≌△BDC．32．阅读并填空：如图,在△ABC中,∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．请说明△ADC≌△CEB 的理由．解：∵BE⊥CE于点E(已知），∴∠E=90°_________ ，同理∠ADC=90°，∴∠E=∠ADC（等量代换)．在△ADC中，∵∠1+∠2+∠ADC=180°_________ ，∴∠1+∠2=90°_________ ．∵∠ACB=90°(已知），∴∠3+∠2=90°,∴_________ ．在△ADC和△CEB中，.∴△ADC≌△CEB （A．A．S）33．已知:如图所示，AB∥DE，AB=DE，AF=DC．（1）写出图中你认为全等的三角形（不再添加辅助线）；（2)选择你在(1）中写出的全等三角形中的任意一对进行证明．34．如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上,DE交AC于点F，若∠1=∠2=∠3,AC=AE．试说明下列结论正确的理由：（1）∠C=∠E；（2）△ABC≌△ADE．35．如图，在Rt△ABC中,∠ACB=90°，AC=BC，D是斜边AB上的一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD 交CD的延长线于F．求证：△ACE≌△CBF．36．如图，在△ABC中,D是BC的中点，DE∥CA交AB于E，点P是线段AC上的一动点，连接PE．探究：当动点P运动到AC边上什么位置时,△APE≌△EDB？请你画出图形并证明△APE≌△EDB．37．已知：如图，AD∥BC，AD=BC，E为BC上一点,且AE=AB．求证：（1)∠DAE=∠B；（2）△ABC≌△EAD．38．如图，D为AB边上一点，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，CA=CB,CD=CE，图中有全等三角形吗？指出来并说明理由．39．如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE．求证:△ABD≌△ACE．40．如图，已知D是△ABC的边BC的中点，过D作两条互相垂直的射线，分别交AB于E，交AC于F，求证：BE+CF＞EF．41．如图所示，在△MNP中，H是高MQ与NE的交点,且QN=QM，猜想PM与HN有什么关系?试说明理由．42．如图，在△ABC中,D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G 点，DE⊥GF，交AB于点E，连接EG．（1）求证：BG=CF;（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．43．如图,在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D,AD=2。

全等三角形二次全等证明

3・5. 6. 7・8. 已知J 如图，点A, 连接 AB, CD. BD, 求证J ADEG^ABFG.E ・F, C 在同一宜线上，AE=CF»过点E,F 分别作DE 丄AC. BF 丄AC, BD 交 AC 于点 G, AB=CD. 3•已知J 求证J ACEF^ABDF-如图，在 RtAACD 中，ZADC=90% BE 丄 AC 于 E,交 CD 于点 F, AE=AD.全等三角形两次全等证明已知J 如图，在A ABC 中，AD 平分ZBAC,点D 是BC 的中点，DF 丄AB 于F, DE 丄AC 于 E ・求证J ABDF^ACDE.1. 2. C10.4•己知J如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD> BD平分ZABC, E为BD上任意一点, 连接AE, CE.求证J A ADE丝△CDE.5•已知：如图，itAABC 中，ZACB=ZABC=60% ZEDF=60\ BD=CD, ZDBC= ZDCB=30°, ZBDC=120\ 延长AC 到点G,使CG=BE.求证J AEFD丝△GFD.6已知J如图，点A, C在直线EF上，BC=ADr AB=CD. AE=CF. 求证J ZE=ZF・7•已知，如图，AE=BF, AD=BC- CE=DF. 求证J AO=BO-8、已知：如虬ZD=ZE, AM=ME=CN=DN.试猜想AB和BC的数量关系•并证明你的猜想・9•已知J如图，在AABC中，点D是BC的中点，DF1AB于F, DE丄AC于E・DF=DE・贞脚内容6求证J AB=AC.10•如图，在正方形ABCD 中，ZABC=ZBCD=90\ AB=BC=CD=AD. E 为BC 边上一点，且AE=DE. AE勺对角线BD交于点F, ZABF=ZCBF.连接CF交DE于点G・11•已知J如图，在等边AABC中，Z C=Z ABD=60\ AB=BC=AC,点D, E分别为BC, AC边上一点且AE=CDr连接AD, BE相交于点F・求证J Z 1=Z 2.12•已知J 如图，RtA ABC 中，Z ACB=90\ E 是 AB K 一点，且 BE=BCr 过 E 作 DE 丄AB 交 AC 于D,连接BD.求证J AC=AD+DE.13•已知J 如图• A, F, C, D 在同一宜线上，AF=DC» ABH DE,且AB 二DE ・求证J BF=EC.14•已知J 如图，在四边形ABCD 中，连接BD, ABH CD 且ABCD. 求证J AD II BC ・15•已知J 如图，在^ ABC 中，D 是BC 边上任意一点，DE 丄AB 于E. DF 丄AC 于F,且DE=DF-若 Z 6=35% Z C=60\求Z 1的度数・6•如图，在正方形 ABCD, DEFG 中，AD=CD, DE=DG, Z EDG=Z ADC=90\ 连接 CG 交 AD 于 N,连接AE 交CG 于M.求证.AE=CG. AE 丄CG ・16•已知J 如图，Z ABOZDEF, AB=DE, CE=BF.求证j △ ABC塁△ DEF ・AD C c8 Q C17•如图，已知Z 1=Z 2, AOAD, AB=AE.求证j △ ABC 竺△ AED ・ 18•已知J19•已知J 20•已知JACE 竺△ CBF ・如图，点E 在AABC 的外部，点D 在BC 边上，DE 交AC 于已若Z 1=Z 2=Z 3, 如图，AC. BD 相交于点 6 OA=OC, ABII CD.求证：A AOB^ △ COD. 如图，AB=CD, Z 1=Z 2, Z3=Z4・求证j A ABC^ DCB- 如图•在RtA ACB 中，Z ACB=90\ AC=BC,点D 是AB 边上一点，BF 丄CD 于点F,AE 丄CD 交CD 的延长线于点E. 求证：△21•已知：AC=AE.求证J A ABQ △ ADE.。

全等三角形模型：二次全等、截长补短、倍长中线、一线三等角、半角模型

全等三角形模型+例题【考纲要求】1. 了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3．会作角的平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明.【考点梳理】【全等三角形】知识点一、全等三角形的概念及表示1.两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形全等三角形是特殊的全等图形，同样的，判断两个三角形是否为全等三角形，主要看这两个三角形的形状和大小是否完全相同，与它们所处的位置无关.2.全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.3.全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”.在记两个三角形全等时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上，如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF.4.确定全等三角形对应关系的方法：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角）一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）.知识点二、全等三角形的性质1.最主要的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.2.其它性质：（1）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等；（2）全等三角形的周长相等，面积相等，但是，周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形.知识点三、全等变换在不改变图形的形状和大小的前提下，只改变图形的位置叫做全等变换.常见的全等变换有平移变换、翻折变换、旋转变换，如下图所示：【探索三角形全等的条件】边角边两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS ”.在△ABC与△A’B’C’中，已知角边角两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写“角边角”或“ASA ”.在△ABC与△A’B’C’中，已知角角边两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简称为“角角边”或“AAS ”. 在△ABC 与△A’B’C’中，已知边边边三边分别相等的两个三角形全等，简称为“边边边”或“SSS ”.在△ABC 与△A’B’C’中，已知.斜边、直角边斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简称为“斜边、直角边”或“HL ”在Rt △ABC 与Rt △A’B’C’中，，已知.1. 只有两边及其夹角分别对应相等，才能判定两个三角形全等，“边边角”不能判定三角形全等；2. 在书写过程中，要按照边角边对应顺序书写，即对应顶点的字母写在对应的位置上.探究SSA全等篇异侧半角模型1.如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45º，则BE ＋DF＝EF .简证：如图，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90º得到△ABG ，使得AD 与AB 重合，通过证明△AEF ≌△AEG 即可得到BE ＋DF ＝EF .2.如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45º，则AE 平分∠BEF ，AF 平分∠DFE .简证：如图，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90º得到△ABG ，使得AD 与AB 重合；将△ABE 绕点A 逆时针旋转90º得到△ADH ，使得AB 与AD 重合.3. 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45º，则.简证：通过上述的全等直接可以得到，不再证明.4.如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45º，过点A 作AH ⊥EF 交EF 于点H ，则AH ＝AB .简证：由上述结论可知AE 平分∠BEF ，又∵AB ⊥BC ，∴AH ＝AB . 5.如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45º，则.简证：由结论1可得EF ＝BE ＋DF ，则＝CE ＋CF ＋EF ＝CE ＋CF ＋BE ＋DF ＝2AB .6. 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45º，AE 、AF 分别与BD 相交于点M 、N ，则.简证：如图，将△AND 绕点A 顺时针旋90º得到△AGB ，连接GM .通过证明△AMG ≌△AMN 得MN ＝MG ，DN ＝BG ，∠GBE ＝90º，即可证.补充：等腰直角三角形与“半角模型”DCPBACDPB ADPCAB如图所示，在等腰直角三角形ABC中，若∠DCE＝45º，则.证明：如图，将△ACD绕着点C顺时针旋转90º得到△，连接.1.1二次全等证明1.已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E．2.求证：△BDF≌△CDE．3.4.5.已知：如图，点A，E，F，C在同一直线上，AE=CF，过点E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，连接AB，CD，BD，BD交AC于点G，AB=CD．6.求证：△DEG≌△BFG．7.3.已知：如图，在Rt△ACD中，∠ADC=90°，BE⊥AC于E，交CD于点F，AE=AD．求证：△CEF≌△BDF．4.已知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，BD平分∠ABC，E为BD上任意一点，连接AE，CE．求证：△ADE≌△CDE．5.已知：如图，在△ABC中，∠ACB=∠ABC=60°，∠EDF=60°，BD=CD，∠DBC=∠DCB=30°，∠BDC=120°，延长AC到点G，使CG=BE．6.求证：△EFD≌△GFD．7.6、已知：如图，点A，C在直线EF上，BC=AD，AB=CD，AE=CF．求证：∠E=∠F．7、已知，如图，AE=BF，AD=BC，CE=DF．求证：AO=BO．8、已知：如图，∠D=∠E，AM=ME=CN=DN．试猜想AB和BC的数量关系，并证明你的猜想．9、10、9.如图，在正方形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=CD=AD．E为BC边上一点，且AE=DE，AE与对角线BD交于点F，∠ABF=∠CBF，连接CF交DE于点G．求证：DE⊥CF．10.已知：如图，在等边△ABC中，△C=△ABD=60°，AB=BC=AC，点D，E分别为BC，AC边上一点且AE=CD，连接AD，BE 相交于点F．11.求证：△1=△2．12.1.2截长补短倍长中线例题1、如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．例题2、在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？例题3、八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．【探究与发现】（1）如图1，AD 是△ABC 的中线，延长AD 至点E ，使ED=AD ，连接BE ，写出图中全等的两个三角形______【理解与应用】（2）填空：如图2，EP 是△DEF 的中线，若EF=5，DE=3，设EP=x ，则x 的取值范围是______．（3）已知：如图3，AD 是△ABC 的中线，∠BAC=∠ACB ，点Q 在BC 的延长线上，QC=BC ，求证：AQ=2AD ．F E D CB AF EDC B A例题4、如图，在△ABC中，已知∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，CD与BM相交于点E，且点E是CD的中点，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．（1）求证：△DBN≌△DCM；（2）请探究线段NE、ME、CM之间的数量关系，并证明你的结论．例题5、阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．例题8、（1）如图，四边形ABPC中，AB AC∠=︒，求证：PB PC PABPC+=．=，60BAC∠=︒，120（2）如图，四边形ABCD中，AB BCAPC∠=︒，求证：ABC∠=︒，P为四边形ABCD内一点，且120=，60++≥．PA PC PD BDC 1A B C ED D E(C )B A C 1C 1A B C E D 1A B C E D1.3一线三等角例1：已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB =CD ，BC =DE ，⑴求证：AC ⊥CE ；⑵若将△CDE 沿CB 方向平移得到①②③④等不同情形，1AB C D ，其余条件不变，试判断AC ⊥C 1E 这一结论是否成立？若成立，给予证明；若不成立，请说明理由.① ② ③ ④例2：等腰直角△ABC ，其中AB=AC ，∠BAC=90°，过B 、C 作经过A 点直线L 的垂线，垂足分别为M 、N ．（1）你能找到一对三角形的全等吗？并说明．（2）BM ，CN ，MN 之间有何关系？若将直线l 旋转到如图2的位置，其他条件不变，那么上题的结论是否依旧成立？例3.（1）如图，已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明：DE ＝BD ＋CE ．（2）如图，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC ＝a，其中a为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD＋CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．(3) 拓展与应用：如图，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC 平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状．1.4半角模型1.在等腰Rt△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90º，O为AB的中点，∠EOF＝45º，交CA于F，交BC的延长线于E.（1）求证：EF＝CE＋AF；（2）如图2，当E在BC上，F在CA的反向延长线上时，探究线段AF、CE、EF之间的数量关系，并证明.2.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180º，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，求证：EF＝BE＋FD.3. 如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，∠BDC＝120º，以D为顶点作一个60º的角，使其两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，则△AMN的周长是多少？4.如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O，点E、F分别在线段AB、BC上，连接EO、FO，满足∠EOF＝60º，连接EF.（1）①求证：OB＝OC；②求∠BOC的度数；（2）求证：CF＝BE＋EF.5. 在四边形ABDC中，AC＝AB，DC＝DB，∠CAB＝60º，∠CDB＝120º，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE＝BF.（1）试说明：DE＝DF；（2）在图1中，若G在AB上且∠EDG＝60º，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明；（3）若题中条件“∠CAB＝60º，∠CDB＝120º”改为“∠CAB＝，∠CDB＝，G在AB上，那么∠EDG 满足什么条件时，（2）中的结论仍然成立？”（直接写结果，不需证明）.。

2021年沪科版数学八年级上册第5课时用HL判定直角三角形全等教案与反思

第5课时用HL判定直角三角形全等工欲善其事，必先利其器。

《论语·卫灵公》翰皓学校陈阵语【知识与技能】学会判定直角三角形全等的特殊方法，提升合情推理能力，并熟练运用判定两个直角三角形全等的方法.【过程与方法】通过探索直角三角形全等条件的过程，学会运用“HL”解决实际问题；熟练掌握两个三角形全等的判定方法.【情感与态度】感受数学思想，激发学生的求知欲，使学生体会到逻辑推理的应用价值.【教学重点】重点是掌握判定直角三角形全等的特殊方法.【教学难点】难点是应用“HL”解决直角三角形全等的问题；三角形全等判定方法的运用.一、回顾交流1.课堂演练已知如下图所示，BC=EF,AB⊥BE垂足为B,DE⊥BE垂足为E,AB=DE.求证：AC=DF【分析】要证AC=DF,必须寻找与AC,DF有关的三角形，然后证明它们全等，这里由已知条件分析可得∠ABC=∠FED=90°,AB=DE,BC=EF,利用SAS可证明出这两个直角三角形全等【证明】（学生板演）2.问题迁移如果将上题AB=DE改成AC=DF,其他条件不变，你能证明出AB=DE吗？引导：画一个任意Rt△ABC使得∠C=90°，然后画出△A1B1C1满足条件B1C1=BC，A1B1=AB,再把画好的Rt△A1B1C1剪下来看看是否能与Rt△ABC完全重合.3.作图已知Rt△ABC,其中∠C为直角，求作：Rt△A1B1C1,使∠C1为直角,A1C1=AC,A1B1=AB.作法：①作∠MC1N=∠C=90°；②在C1M上截取C1A1=CA；③以A1为圆心，AB长为半径画弧，交C1N于点B1,④连接A1B1，则Rt△A1B1C1就是所求作的直角三角形直角三角形全等判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.（记为“斜边，直角边”或“HL”）二、例题分析例1 (课本第108页例7)已知:如图∠BAC=∠CDB=90°,AC=DB，求证：AB=DC.【证明】∵∠BAC=∠CDB=90°（已知）∴△BAC,△CDB都是直角三角形又∵AC=DB（已知）BC=CB（公共边）∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）∴AB=DC（全等三角形的对应边相等）例2（课本第107页例8已知:如图AB=CD，BC=DA，E，F是AC上的两点，且AE=CF求证：BF=DE【分析】本题需要两次证明三角形全等，首先证明△ABC≌△CDA(SSS)，得出∠1=∠2，再由“边角边”定理证明△DAE≌△BCF，最后证出BF=DE【证明】在△ABC和△CDA中∵AB=CD(已知)BC=DA（已知）CA=AC（公共边）∴△ABC≌△CDA（SSS）∴∠1=∠2(全等三角形的对应角相等)在△BCF和△DAE中∵BC=DA(已知)∠1=∠2（已证）CF=AE（已知）△BCF≌△DAE(SAS)∴BF=DE(全等三角形的对应边相等)例3 （课本第110页例9）证明：全等三角形的对应边上的高相等.【分析】本题关键是写出已知，然后进行证明.已知:如图△ABC≌△A′B′C′,AD,A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，求证：AD=A′D′【证明】∵△ABC≌△A′B′C′（已知）∴AB=A′B′，∠B=∠B′（全等三角形的对应边、应角相等）∵AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，∴∠ADB=∠A′D′B′=90°（垂直的定义）在△ABD和△A′B′D′中∠B=∠B′(已证)∠ADB=∠A′D′B′（已证）AB=A′B′（已证）∴△ABD≌△A′B′D′(AAS)∴AD=A′D′（全等三角形的对应边相等）【教学说明】引导学生思考，证明直角三角形全等与证明普通三角形全等的区别三、运用新知，深化解1.课本第109页练习1、2.2.课本第110~111页练习1、3.四、师生互动，课堂小结1.直角三角形是特殊的三角形，一般三角形所具有的性质，直角三角形都具备，因此判定两个直角三角形全等时，完全可以用前面学过的判定方法：“SAS,ASA,AAS,SSS”，此外，还有“斜边、直角边”即“HL”；有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等..选择合适的判定定理证明相应的问题；以及将文字题转化为符号语言，并与图形结合，写出已知、求证.1.课本第109页练习第3题.2.课本第110~111页练习第2、4题.3.完成练习册中的相应作业.本节设计“回顾交流——例题分析——运用新知，深化理解——师生互动，课堂小结”四个环节，使学生学会判定直角三角形全等的特殊方法，发展合情推理能力，并熟练运用判定两个三角形全等的方法，经历探索直角三角形全等条件的过程，学会运用“HL”解决实际问题；熟练掌握两个三角形全等的判定方法，感受数学思想，激发学生的求知欲，使学生体会到逻辑推理的应用价值.【素材积累】海明威和他的“硬汉形象”美国作家海明威是一个极具进取精神的硬汉子。

专题16 全等三角形判定和性质问题(解析版)2021年中考数学必考34个考点高分三部曲

专题16 全等三角形判定和性质问题1．全等三角形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2．全等三角形的表示全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。

如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。

注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3．全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。

4．三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

5．直角三角形全等的判定：HL定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）【例题1】（2020•贵州省安顺市）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（）A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．BF＝EC【解答】选项A、添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；选项B、添加AC＝DF可用AAS进行判定，故本选项错误；选项C、添加AB＝DE可用AAS进行判定，故本选项错误；专题知识回顾专题典型题考法及解析选项D、添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．故选：A．【例题2】（2020•黑龙江省齐齐哈尔市）如图，已知在△ABC和△DEF中，△B＝△E，BF＝CE，点B、F、C、E在同一条直线上，若使△ABC△△DEF，则还需添加的一个条件是_________（只填一个即可）．【答案】AB＝DE．【解析】添加AB＝DE；△BF＝CE，△BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，△△ABC△△DEF（SAS）【例题3】（2020•铜仁）如图，AB＝AC，AB△AC，AD△AE，且△ABD＝△ACE．求证：BD＝CE．【答案】见解析。

三角形全等证明方法

三角形全等证明方法在几何学中，全等是指两个或多个几何体的大小、形状以及内部结构完全相同。

对于三角形而言，如果两个三角形的对应边长相等，对应的角度也相等，则它们是全等三角形。

在证明两个三角形全等时，有多种方法可以使用，本文将详细介绍其中的几种方法，并给出说明和举例。

【1. SSS (Side-Side-Side) 全等法】SSS全等法则是指如果两个三角形的三边分别相等，则它们是全等的。

这个证明方法简单直接，可以通过以下步骤来证明：Step 1: 确定两个三角形的三边分别相等；Step 2: 可以使用尺规作图工具在纸上绘制出两个三角形；Step 3: 通过测量确定两个三角形的三边分别相等；Step 4: 通过观察可以得出结论，即两个三角形是全等的。

例如，我们要证明△ABC ≡ △DEF。

我们已知AB = DE，BC = EF，AC = DF。

根据SSS全等法则，根据给定的条件可以得出结论，即△ABC ≡ △DEF。

【2. SAS (Side-Angle-Side) 全等法】SAS全等法则是指如果两个三角形的两个边和夹角分别相等，则它们是全等的。

这个证明方法也是常用的，可以通过以下步骤来证明：Step 1: 确定两个三角形的两个边和夹角分别相等；Step 2: 可以使用尺规作图工具在纸上绘制出两个三角形；Step 3: 通过测量确定两个三角形的两个边和夹角分别相等；Step 4: 通过观察可以得出结论，即两个三角形是全等的。

例如，我们要证明△ABC ≡ △DEF。

我们已知∠BAC = ∠EDF，AB = DE，AC = DF。

根据SAS 全等法则，根据给定的条件可以得出结论，即△ABC ≡ △DEF。

【3. ASA (Angle-Side-Angle) 全等法】ASA全等法则是指如果两个三角形的两个角和夹边分别相等，则它们是全等的。

这个证明方法也非常常用，可以通过以下步骤来证明：Step 1: 确定两个三角形的两个角和夹边分别相等；Step 2: 可以使用尺规作图工具在纸上绘制出两个三角形；Step 3: 通过测量确定两个三角形的两个角和夹边分别相等；Step 4: 通过观察可以得出结论，即两个三角形是全等的。

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