人教版数学九上《圆的有关性质》(弧、弦、圆心角)参考教案

24.1.3 弧、弦、圆心角

教学目标：

1、理解圆的旋转不变性．

2、掌握圆心角的概念和圆心角定理．

3、通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及

概括问题的能力；

4、学生在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论的数学思想，

转化的数学思想解决问题．

教学重点：探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题．

教学难点：圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．

教学过程：

一、情境创设：

1、按下面的步骤做一做：

(1)在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下；

(2)在⊙O和⊙O′上分别作相等的角∠AOB和∠A′O′B′，如图1所示，圆心固定．

注意：在画∠AOB与∠A′O′B′时，要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与OA′重合时，OB与O′B′不能重合．

图1

(3)将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O′A′重合．

通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由．

二、新课讲授

1．定点在圆心的角叫做圆心角。如：∠AOB

2．如图1，由已知条件可知∠AOB＝∠A′O′B′；由两圆的半径相等，可以得到∠OAB＝∠OBA＝∠O′A′B′=∠O′B′A′；由△AOB≌△A′O′B′，可得到AB＝A′B′；由旋转法可知弧AB=弧A’B’.

定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．根据对上述定理的理解，你能证明下列命题是正确的吗？

推论：

（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；

（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等．

注意：（1）“同圆或等圆”的条件不能少；

若去掉这个前提，如图所示的是两个同心圆，弦AB与弦CD

相等吗?弧AB与弧CD相等吗? (显然不相等)

（2）定理的作用：在同圆或等圆中证：圆心角、弧、弦相等；

（3）“等弧对等弦”是假命题；

※（4）在同圆或等圆中，等弦的弦心距也相等；（记住结论，但解答题不可直接使用）

※（5）弧的度数等于它所对的圆心角的度数。（弧是圆中非常重要的桥梁）

三、例题讲解

，∠ACB＝60°，

例1．如图，在⊙O中，AB CD

求证：∠AOB=∠AOC=∠BOC．

AB BC CD DA=1：2：3：4，练习：点A、B、C、D为⊙O上四点，:::

则∠BOC= 72° .

例2．如图，已知AD=BC ，求证：AB=CD ． 分析：要证AB=CD ，只要证AB CD =.

例3．小林根据在一个圆中圆心角、弧、弦三个量之间的关系认为，

在如图中，若∠AOB=∠COD 则有2AB CD = AB=2CD ,你同意他的观

点吗？

试说说你的理由。

分析：作∠AOB 的平分线交⊙O 于点E,则∠AOE=∠EOB=∠COD

AE EB CD == 所以2AB CD =正确. 但AB=2CD 不正确..连接AE,BE

这时AE=BE=CD, 所以2CD=AE+BE 但因为AB ＜AE+BE 即AB ＜2CD 所以AB=2CD 不成立

四、课堂反馈 1．填空：

（1）⊙O 的半径为2cm ，弦

AB=，则∠AOB= 120° （2）弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 60° （3）半径为1

的弦所对的圆心角为 90°

2．如图，点C 、D 在⊙O 的直径AB 上，AC=BD ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ， 点E 、F 在⊙O 上. 求证：AE BF =. 提示：连接OE 、OF ，证∠A OE=∠B OF .

3．如图，在◇ABCD 中，以A 为圆心，AB 长为半径的圆分别交AD 、BC 于F 、G ，交BA 的延长线于E, 求证：EF FG = 提示：连接AG ,证明∠EAF=∠FAG

或连接E Ｆ、FG 证明△EAF ≅△GAF

B

A

B

E D

五、课堂小结

“等对等”：在同圆和等圆中

．．．．．．．，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．反之也成立.

“在同圆和等圆中”这个条件不可缺。

六、布置作业

思考题：如图A是半圆上一个三等分点，B是AN的中点，P是直径MN上一动点。

已知O半径为1，求AP+BP的最小值。