对称正定线性方程组的Cholesy分解方法
cholesky分解分块算法
Cholesky分解分块算法是一种用于对称正定矩阵进行分解的高效算法。
在科学计算和工程领域中，Cholesky分解分块算法被广泛应用于求解线性方程组、计算矩阵的逆、以及进行最小二乘拟合等问题。
1. Cholesky分解在矩阵分解中，Cholesky分解用于将一个对称正定矩阵分解为一个下三角矩阵和其转置矩阵的乘积。
对于一个n阶对称正定矩阵A，Cholesky分解可以表示为A=LL^T，其中L是一个下三角矩阵，L^T 表示L的转置矩阵。
2. 分块算法的优势Cholesky分解分块算法在处理大规模矩阵时具有明显的优势。
传统的Cholesky分解算法需要计算n^3/3次浮点运算，而分块算法则可以通过对矩阵进行分块处理，将计算复杂度降低到O(n^3/p)，其中p是分块的数量。
这样可以大大提高Cholesky分解的计算效率，并且使得算法更适合并行计算。
3. 分块算法的实现分块Cholesky分解的实现通常涉及通过分块矩阵乘法和分块矩阵求逆来完成。
通过适当选择分块的大小和形状，可以最大程度地发挥分块算法的优势。
分块Cholesky分解还可以结合多核并行计算和分布式计算，进一步提高算法的效率和可扩展性。
4. 应用领域Cholesky分解分块算法在求解大规模线性方程组时具有重要的应用价值。
在结构力学分析、地球物理勘探、信号处理和图像处理等领域，经常需要求解大规模稀疏矩阵的线性方程组，Cholesky分解分块算法可以为这些问题的高效求解提供技术支持。
Cholesky分解分块算法还可以用于计算协方差矩阵的逆和进行最小二乘拟合。
在统计学和机器学习中，这些问题经常需要对大规模数据进行分析和处理，Cholesky分解分块算法的高效性使其成为这些领域中不可或缺的工具。
5. 总结Cholesky分解分块算法作为对称正定矩阵分解的高效算法，在科学计算和工程领域中具有广泛的应用前景。
通过分块处理和并行计算，Cholesky分解分块算法可以在处理大规模矩阵时发挥其优势，为复杂的线性代数问题提供高效可靠的解决方案。
matlab 稀疏 cholesky 分解
MATLAB稀疏Cholesky分解1. 介绍MATLAB是一种常用的数学软件，其在矩阵运算和线性代数方面有着强大的功能。
稀疏矩阵是指大部分元素为零的矩阵，而Cholesky分解是一种用于解决对称正定矩阵的线性方程组的方法。
本文将探讨MATLAB中稀疏Cholesky分解的原理、使用方法以及其在实际应用中的意义。
2. 稀疏矩阵与Cholesky分解稀疏矩阵是指矩阵中大部分元素为零，只有少数非零元素。
在实际问题中，许多矩阵具有这种特性，比如网络数据传输矩阵、有限元法中的刚度矩阵等。
对于这种稀疏矩阵，传统的直接方法（如高斯消去法）效率较低，因此需要使用特殊的方法进行计算。
Cholesky分解是一种有效的方法，特别适用于对称正定矩阵。
对于一个对称正定矩阵A，Cholesky分解将该矩阵表示为A=LL^T，其中L为下三角矩阵。
与传统的LU分解相比，Cholesky分解能够减少一半的计算量，因此在求解线性方程组时具有更高的效率和稳定性。
3. MATLAB中的稀疏Cholesky分解在MATLAB中，稀疏矩阵可以使用sparse函数进行定义。
而Cholesky分解则可以通过chol函数进行求解。
对于稀疏矩阵A，可以使用[ch, p] = chol(A, 'lower')来进行Cholesky分解，其中ch为下三角矩阵，p为置换矩阵。
通过Cholesky分解后，可以得到A=ch*ch^T。
MATLAB中对稀疏矩阵进行Cholesky分解的函数使用非常方便，能够高效地处理大规模稀疏矩阵的计算问题。
MATLAB还提供了一系列的稀疏矩阵运算函数，如sparse乘法、转置、求逆等，为稀疏矩阵的计算提供了强大的支持。
4. 实际应用稀疏矩阵和Cholesky分解在实际应用中有着广泛的意义。
以金融衍生品定价为例，通常会涉及大规模的稀疏矩阵和线性方程组的求解。
Cholesky分解能够极大地提高计算效率，为复杂金融问题的求解提供了重要支持。
matlabcholesky分解 -回复
matlabcholesky分解-回复什么是Cholesky分解，以及它在Matlab中的应用。
Cholesky分解是一种矩阵分解的方法，它将一个对称正定矩阵分解为一个下三角矩阵与其转置的乘积形式。
这种分解方法非常有用，因为它可以用来解决线性系统，计算逆矩阵以及生成随机数。
在Matlab中，Cholesky 分解可以通过调用内置函数进行计算。
首先，让我们来了解一下什么是对称正定矩阵。
一个矩阵被称为对称的，如果它等于它的转置，即A = A^T。
如果一个矩阵A的特征值都大于零，那么它被称为正定矩阵。
如果一个矩阵不仅是对称的，而且它的特征值都大于零，那么它被称为对称正定矩阵。
接下来，让我们来看看如何使用Matlab进行Cholesky分解。
在Matlab 中，可以使用`chol()`函数来进行Cholesky分解。
下面是一个简单的例子：matlabA = [4, 12, -16; 12, 37, -43; -16, -43, 98];L = chol(A);在这个例子中，我们定义了一个对称正定矩阵A，并使用`chol()`函数将其进行分解。
分解得到的下三角矩阵L可以表示为A的转置与L相乘的形式。
Cholesky分解在线性系统的求解中非常有用。
考虑一个线性系统Ax = b，其中A是一个对称正定矩阵，x是未知变量向量，b是已知向量。
通过进行Cholesky分解，我们可以将线性系统转化为两个步骤：首先，用L解决方程Ly = b，然后用L^T解决方程L^Tx = y。
下面是一个示例：matlabA = [4, 12, -16; 12, 37, -43; -16, -43, 98];b = [1; 2; 3];L = chol(A);y = L\b;x = L'\y;通过以上代码，我们可以解出线性方程组的解x。
除了解决线性系统之外，Cholesky分解还可以用来计算矩阵的逆。
考虑一个对称正定矩阵A，它的逆矩阵可以通过Cholesky分解得到。
cholesky分解生成相关关系随机数
cholesky分解生成相关关系随机数Cholesky分解是一种常用的数值方法，用于生成符合特定相关关系的随机数。
在很多实际应用中，需要生成一组具有特定相关性的随机数，例如金融领域中的随机模拟、风险评估以及信号处理等。
而Cholesky分解提供了一种有效的方法来生成这样的随机数。
Cholesky分解是基于矩阵分解的方法，它将一个对称正定的矩阵分解为一个下三角矩阵和其转置的乘积。
具体而言，给定一个对称正定矩阵A，存在一个下三角矩阵L，使得A = LL^T。
其中，L被称为Cholesky分解的结果。
通过Cholesky分解，我们可以将原始的相关关系矩阵A转化为一个下三角矩阵L，进而生成符合特定相关关系的随机数。
在实际应用中，生成符合特定相关关系的随机数可以通过以下步骤完成：Step 1: 生成一个相关关系矩阵A。
相关关系矩阵是一个对称正定矩阵，它描述了随机变量之间的相关性。
可以根据具体应用的需求，构造一个合适的相关关系矩阵。
Step 2: 对矩阵A进行Cholesky分解，得到下三角矩阵L。
Cholesky分解是一个求解线性方程组的过程，可以使用各种数值方法来实现。
Step 3: 生成一个随机向量Z，其中每个分量都是独立同分布的标准正态分布随机变量。
Step 4: 计算随机向量X = LZ，其中L是Cholesky分解得到的下三角矩阵。
向量X即为符合特定相关关系的随机向量。
通过以上步骤，我们可以生成一组符合特定相关关系的随机数。
这些随机数可以用于各种应用，例如金融领域中的随机模拟。
在金融风险评估中，我们通常需要模拟不同资产的随机价格变动，并计算其对投资组合的影响。
通过生成符合特定相关关系的随机数，我们可以更准确地评估不同投资组合的风险。
另一个应用领域是信号处理。
在通信系统中，信号通常会受到各种干扰，而这些干扰往往具有一定的相关性。
通过生成符合特定相关关系的随机数，我们可以更好地模拟和处理这些干扰，提高通信系统的性能。
Cholesky分解（转）
Cholesky分解（转）Cholesky 分解是把⼀个对称正定的矩阵表⽰成⼀个下三⾓矩阵L和其转置的乘积的分解。
它要求矩阵的所有特征值必须⼤于零，故分解的下三⾓的对⾓元也是⼤于零的。
Cholesky分解法⼜称平⽅根法，是当A为实对称正定矩阵时，LU三⾓分解法的变形。
通过直接⽐较A=L*L^T两边的对应元素来计算L，其中L^T为L的转置。
思路如下：L为⼀实下三⾓矩阵，求L的步骤如下：1、Amn = Lm1*Ln1 + Lm2*Ln2 + ... + Lmx*Lnx其中x = min(m,n)2、Umn = Amn - sum(Lmk*Lnk) 其中k ~ (0, min(m,n))，Umn包含Lmn*Lnn3、当m < n时，由于是下三⾓矩阵，所以Umn为0，仅求m >= n的情况4、如果 m == n 时 Lmn = sqrt(Umn)，否则，Lmn = Umn / Lnn5、即求出Lmn的值根据此思路的代码实现如下：public class MyCholeskyDecomposition {/*** 2.0000000000 0.0000000000 0.0000000000* 0.5000000000 1.3228756555 0.0000000000* 0.5000000000 2.0788046016 1.1952286093* @param args*/public static void main(String[] args) {double[][] A = {{4.,1.,1.},{1.,2.,3.},{1.,3.,6.}};double[][] L = new double[3][3];for(int m = 0; m < A.length; m++){for(int n = 0; n <= m; n++){L[m][n] = A[m][n];for(int k = 0; k < n; k++){L[m][n] -= L[m][k] * L[n][k];}if(m == n){L[m][n] = Math.sqrt(L[m][n]);}else{L[m][n] = L[m][n] / L[n][n];}}for(int x = m + 1; x < A.length; x++){L[m][x] = 0.0;}}for(int i = 0; i < L.length; i++){for(int j = 0; j < L.length; j++){System.out.print(L[i][j] + " ");}System.out.println();}}}。
统计学第一二章
x 1.01 1
2 1 0 3
1 2 1 x 4
x 1.00 2
0 1 2 3
1.15x3 1.15
x3
1.00
21
平方根和改进的平方根方法的优点：
1.计算量是Gauss法的一半 2.无需选主元，是稳定的
事实上,有
若线性方程组Ax b的系数矩阵为严格对角占优 或对称正定矩阵，则Gauss消元法可以进行到底， 且是数值稳定的.
k 1
aik lijlkj
i k 1, n
lik
j 1
,
lkk
k 1, n
4
求对称正定矩阵的Cholesky分解： A L~L~T
计算顺序：
l11
l21 l22
L
lk1 lk2
lkk
ln1 ln2
lnk
lnn
依次求第1列，第2列， 第n列
每列自上而下计算
5
对称正定方程组的平方根法（Cholesky分解法）：
LD 2
,
则L~为下三角阵, 且A L~L~T .
2
求对称正定矩阵的Cholesky分解： A L~L~T
l11
l21 l22
l11
l21
lk1
ln1
l22
lk 2
ln2
L
LT
lk1 lk2
lkk
lkk
lnk
ln1 ln2
lnk
lnn
lnn
矩阵相乘比较得计算公式
第一列 l112 a11,
u1n
u11
u2n u22
u3n
u33
记D diag(u11, u22 , , unn )，
cholesky factorization method
cholesky factorization method
乔列斯基分解（Cholesky Factorization）是一种用于解决对称正定矩阵的线性方程组的方法。
它将一个对称正定矩阵表示为一个下三角矩阵和其转置的乘积。
给定一个对称正定矩阵A，乔列斯基分解将其表示为以下形式：
A = LL^T
其中L是一个下三角矩阵，L^T表示L的转置。
乔列斯基分解可以通过以下步骤实现：
1. 初始化L为一个全零的下三角矩阵。
2. 对于矩阵A的每一列j，从1到n（n为矩阵A的维度），依次进行以下计算：
- 计算L的第j行第j列元素：L(j, j) = sqrt(A(j, j) - Σ(L(j, k)^2)，其中k从1到j-1。
- 对于L的第i行（i > j）的第j列元素：L(i, j) = (A(i, j) - Σ(L(i, k)*L(j, k))) / L(j, j)，其中k从1到j-1。
3. 得到乔列斯基分解后的下三角矩阵L。
乔列斯基分解的优势在于它可以将求解对称正定线性方程组的复杂度降低为O(n^2)，相比于高斯消元法的O(n^3)具有更高的效率。
乔列斯基分解也可以用于一些其他应用，如最小二乘法和卡尔曼滤波等。
楚列斯基分解(Y)
1414 Mflops
301 Mflops
2115 Mflops
这一试验是在巨型计算机Cray YMP上进行的；LINPACK和LAPACK分别 是70年代后期和90年代初期研制完成的两个著名的数值线性代数软件包； Mflops表示106次浮点运算。 从表中可以看出，LINPACK的Cholesky分解子程序在此计算机上的运行 效率是非常低的，单个处理器时还不到计算机峰值的四分之一；八个处理 器时就更低，大约是峰值的四十分之一！而LAPACK却几乎接近于峰值。 其实两者的运算量是完全一样的，只是在运算次序上有所不同。
则பைடு நூலகம்
且L 的对角元
当然，由定理的证明可知，Cholesky分解可用不选主元的高斯 消去法来实现。然而，更简单而实用的方法是通过直接比较 A=LLT两边的对应元素来计算L。
用平方根算法解对称正定线性方程组时，计算对角元素需用到开方运算。为 了避免开方，我们可求 A=LDLT ，L是单位下三角矩阵， D对角均为正数 的对角矩阵。比较两边对应元素得
为了弄清为什么会出现这种情况，我们首先需要了解一下现代计算机的存储结构。 现代计算机大都采用多级存储的方式：寄存器（Register）、缓冲器（Cache）、主存 （Memory）、磁盘（Disk）和磁带（Tape）。 计算器直接与寄存器交换信息，计算时需将所需的数据逐级传递到寄存器，而计算结 束后需将寄存器内的数据再逐级传递出去。 从寄存器依次到磁带其传递信息的速度越来越慢，一般具有量级上的差别。造价也是 随着级别的下降而下降，寄存器十分昂贵，而磁盘和磁带则非常便宜。因而一般计算 机的磁盘和磁带的容量就很大，而缓冲器和寄存器的容量就很小。 基于计算机的这种存储结构，在编制软件时，就应考虑到尽可能地减少内外存及寄存 器和主存之间的数据的传输。 假定完全某种任务需要运算量为f，而需要存取数的次数为m，则我们用q=f/m来表示平 均每存取一次数可作的运算次数。这样，我们便有
对称正定线性方程组的两种解法及应用
对称正定线性方程组的两种解法及应用
对称正定线性方程组可以用两种方法求解：Cholesky分解和共
轭梯度法。
Cholesky分解是一种求解对称正定线性方程组的有效方法。
这
种方法首先进行矩阵的分解，然后用分解后的矩阵代入原方程组，
化为两个三角矩阵的乘积。
接着，分别对两个三角矩阵进行前、后
向代入即可求得方程组的解。
这种方法比较稳定，精度高，适合求
解较小的方程组。
共轭梯度法是一种迭代求解对称正定线性方程组的方法。
这种
方法具有快速、高效、精度高等优点，可以用于求解大型方程组。
它的基本思想是将方程组转化为求解最小化函数的问题，并通过不
断的迭代来优化求解。
相比于Cholesky分解，共轭梯度法在处理大
型方程组时更加高效。
对称正定线性方程组是科学计算领域中常见的问题，如物理建模、微分方程数值求解等。
通过对称正定线性方程组的研究与求解，可以提高数值计算的准确性和效率，进而为科技发展做出贡献。
基于MATLAB的Cholesky分解法解线性方程组
基于MATLAB的Cholesky分解法解线性方程组张错玲【摘要】[摘要] 本文首先介绍什么是Cholesky分解及分解注意的事项，然后对Cholesky分解算法进行描述，重点介绍如何用Cholesky分解法及改进的平方根法解线性方程组Ax=b，对两种算法进行了比较，针对实例分别用MATLAB程序实现，最后进行总结并对此课题未来研究作出展望。
【期刊名称】长春师范大学学报【年(卷),期】2014(000)010【总页数】5【关键词】[关键词] 对称正定矩阵；Cholesky分解；改进平方根法；MATLAB 若n阶方阵A的顺序主子式均不为零，则A有唯一的Doolittle分解，即A=LU，其中L是单位下三角阵，U为上三角阵.现在若A是n阶对称正定矩阵，则A也满足LU分解，且可以分解成一个下三角矩阵L和其转置矩阵LT的乘积，即A=LLT.(1)则称(1)为对称正定矩阵A的Cholesky分解.对于此分解有两点需要说明：第一，矩阵A必须是对称正定的，否则分解会出错；第二，下三角矩阵L不一定是单位下三角矩阵.1 Cholesky算法设对称正定矩阵，下三角矩阵和.第一步由公式(1)比较等式两边第1列对应的元素，可以得到.于是得到了矩阵L的第1列所有元素.即除了第1列第一个元素外，其他元素满足,n.第二步再比较公式(1)两边的第2列(对角线及以下)对应元素，即用L矩阵中从第2行开始至第n行元素分别乘以LT矩阵中的第2列元素，分别与矩阵A对应相等，得到.于是可以得到矩阵L第2列的所有元素.即除了第2行第2列的对角线元素外，第2列其余元素满足,i=2,3,…,n.第N步由此类推，依次比较公式(1)两边第j列(对角线及以下)对应元素，得到以下通式,n.(2),n.(3)(2)是计算矩阵L第j列主对角线元素，(3)是计算L的第j列第i行的所有元素.由(2)和(3)可以确定矩阵L的所有元素，这就是Cholesky算法.2 Cholesky分解法与改进的平方根法2.1 Cholesky分解法解线性方程组完成对称正定矩阵A的Cholesky分解后，则线性方程组Ax=b可以化解为两个三角方程组Ly=b,LTx=y，即,n.(4).(5)由(4)和(5)解对称正定线性方程组的方法称为Cholesky分解法或平方根法. 2.2 改进的平方根法解线性方程组由前面知识可知，对称正定矩阵A是满足A=LU分解的(L是单位下三角矩阵，U是上三角矩阵)，且分解是唯一的.现在令D=diag(u11，u22，…，unn)，T=D-1U,则U=DT，可推出A=LDT,AT=(LDT)T=TTDLT.因为A是对称的，所以AT=A，即TTDLT=LDT.由LU分解的唯一性知TT=L，所以得到A=LDLT.(6)(6)就是改进的平方根法.根据等式两边对应的元素得到以下通式通过这个通式可计算出对角矩阵D的所有元素(且每个元素均大于零)和单位下三角矩阵L除了主对角元素1外的其余元素.说明由于上面的通式相对复杂，给编程和计算带来不便，所以一般引入中间变换变量cik=likdk,k=1,2,…,n,i=k+1,…,n,则上述通式就变为如下形式：，n.j=1,2,…,i-1.根据改进的平方根法解线性方程组Ax=b，可以化为Ly=b和LTx=D-1y两个三角方程来解，即通过比较，以上两种算法各自的特点是：第一，Cholesky平方根法不需要选主元，算法稳定，计算量小，但需要进行开方运算；第二，改进的平方根法和Cholesky平方根法虽然在计算量上差不多，但其不需要进行开方运算，避免计算上的一些麻烦，且数据分解结果精度更高.下面就通过实例来进行验证.3 应用实例分别用Cholesky平方根法和改进的平方根法解方程组3.1 Cholesky平方根法解方程组的MATLAB程序function x=chol_pfg(A,b)n=length(A);L=zeros(n);for k=1:n delta=A(k,k); for j=1:k-1delta =delta-L(k,j)^2;endL(k,k)=sqrt(delta);for i=k+1:n L(i,k)=A(i,k); for j =1:n-1 L(i,k)=L(i,k)-L(i,j)*L(k,j);endL(i, k)=L(i,k)/L(k,k);endendLx=zeros(n,1);y=zeros(n,1);y(1)=b(1)/L(1,1);for i=2:n ly=0; for j= 1:i-1ly=ly+L(i,j)*y(j);endy(i)=(b(i)-ly)/L(i,i);endx(n)=y(n)/L(n,n);for i=n-1:-1:1 lx=0; for j=i +1:nlx=lx+L(j,i)*x(j);endx(i)=(y(i)-lx)/L(i,i);endy将以上文件保存为chol_pfg.m文件，然后在MATLAB的命令窗口输入：>> A=[1 2 -1;2 5 1;-1 1 14];b=[3;4;3];x=chol_pfg(A,b)则运行的结果为3.2 改进平方根法解方程组的MATLAB程序function x=chol_gai(A,b)n=length(A);L=eye(n);D=zeros(n);d=zeros(1,n);T=zeros(n);for k=1:n d(k)=A(k,k); for j=1: k-1 d(k)=d(k)-L(k,j)*T(k,j);endfor i=k+1:n T(i,k)=A(i,k); for j=1:k -1 T(i,k) =T(i,k)-T(i,j)*L(k,j);end L( i,k)=T(i,k)/d(k); endendD=diag(d);LDx=zeros(n,1);y=zeros(n,1);d1=zeros(n,1);d1=diag(D);y(1)=b(1);for i=2:n ly=0; for k=1 :i-1ly= ly+L(i,k)*y(k);end y(i)=b(i)-ly;endx(n)=y(n)/d1(n);for i =n-1:-1:1lx=0;for k=i +1:n lx= lx+L(k,i)*x(k); end x(i)=y(i)/d1(i)-lx;endy将以上文件保存为chol_gai.m文件，然后在MATLAB的命令窗口输入：>> A=[1 2 -1;2 5 1;-1 1 14];b=[3;4;3];x=chol_gai(A,b)则运行的结果为[参考文献][1]吕同富.数值计算方法[M].2版.北京:清华大学出版社,2013.[2]蔡旭晖,刘卫国,蔡立燕.MATLAB基础与应用教程[M].北京:人民邮电出版社,2013.[3]苏金明,王永利.MATLAB7.0实用指南(上册)[M].北京:电子工业出版社,2005.。
matlab实现cholesky分解解方程组
Matlab实现Cholesky分解解方程组一、Cholesky分解概述Cholesky分解是一种常用的矩阵分解方法，特别适用于对称正定矩阵。
它将一个对称正定矩阵分解为一个下三角矩阵与其转置的乘积。
Cholesky分解在数值计算中有着广泛的应用，尤其在线性方程组的求解过程中起着至关重要的作用。
二、Cholesky分解的原理对于一个对称正定矩阵A，Cholesky分解将其分解为下面的形式：\[A=LL^T\]其中，L是一个下三角矩阵。
Cholesky分解可以通过以下步骤实现：1. 对A进行因子分解，得到\[A=LL^T\]，其中L是一个下三角矩阵。
2. 利用分解后的矩阵A，解方程组Ax=b。
三、Matlab实现Cholesky分解在Matlab中，可以使用`chol`函数实现Cholesky分解。
该函数的基本用法如下：```matlabL = chol(A,'lower');```这里，`A`是要进行Cholesky分解的对称正定矩阵，`'lower'`表示返回一个下三角矩阵L。
四、Cholesky分解解方程组一般来说，Cholesky分解主要用于解决线性方程组Ax=b的问题。
其具体步骤如下：1. 对矩阵A进行Cholesky分解，得到下三角矩阵L。
2. 将方程组\[Ax=b\]转化为\[LL^Tx=b\]，令\[L^Tx=y\]，则可以得到\[Ly=b\]和\[L^Tx=y\]两个方程组。
3. 先用前向代换法（或称为向前替代）解\[Ly=b\]，再用后向代换法（或称为向后替代）解\[L^Tx=y\]，即可得到方程组\[Ax=b\]的解。
五、示例下面用一个具体的例子来展示Matlab如何实现Cholesky分解来解决方程组的求解问题。
假设有如下的线性方程组：\[2x_1 + x_2 + x_3 = 1\]\[x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 6\]\[x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 7\]我们需要将系数矩阵A进行Cholesky分解，得到下三角矩阵L。
matlabcholesky分解
一、什么是Cholesky分解Cholesky分解是一种将对称正定矩阵表示为下三角矩阵和其转置矩阵的乘积的方法。
它是数值线性代数中常用的技术之一，特别适合用来求解线性方程组、计算矩阵的逆以及进行最小二乘拟合等方面的计算。
二、Cholesky分解的原理在Cholesky分解中，我们首先将对称正定矩阵A表示为下三角矩阵L 和其转置矩阵L^T的乘积，即A=LL^T。
其中，L是一个n阶下三角矩阵，其对角线元素都大于0。
Cholesky分解的主要思想是通过对矩阵A进行一系列的特征分解和分解操作，将A分解为L和L^T的乘积形式。
这样一来，原本复杂的矩阵计算问题就可以简化为两个较为简单的矩阵的乘积问题，大大提高了计算的效率。
三、Cholesky分解的应用Cholesky分解在实际问题中有着广泛的应用。
在数值计算领域，Cholesky分解被广泛应用于求解线性方程组、计算矩阵的逆以及进行最小二乘拟合等问题。
由于Cholesky分解能够将对称正定矩阵表示为下三角矩阵和其转置矩阵的乘积，这样一来，我们可以轻松地对矩阵进行分解和计算，大大提高了计算的效率。
Cholesky分解还在统计学和金融学等领域有着重要的应用。
在统计学中，Cholesky分解常用于生成服从多元正态分布的随机数，而在金融学中，Cholesky分解则被广泛应用于金融风险的计算和分析中。
四、Cholesky分解的实现在MATLAB中，计算矩阵的Cholesky分解非常简单。
我们可以直接使用“chol”命令来实现对矩阵的Cholesky分解。
假设我们有一个对称正定矩阵A，我们可以使用以下命令来进行Cholesky分解：L = chol(A);这样一来，MATLAB会直接计算出矩阵A的Cholesky分解，将下三角矩阵L返回给我们。
这极大地简化了Cholesky分解的计算过程，使得我们可以更加专注于实际问题的研究和应用。
五、Cholesky分解的优势与局限Cholesky分解作为一种矩阵分解的方法，具有其独特的优势与局限。
改进的cholesky分解法求解方程组
改进的cholesky分解法求解方程组摘要：1.介绍Cholesky 分解法2.阐述改进的Cholesky 分解法3.说明改进的Cholesky 分解法在求解方程组中的应用4.总结与展望正文：一、介绍Cholesky 分解法Cholesky 分解法是一种求解线性方程组的迭代算法，它是由挪威数学家Cholesky 在19 世纪末提出的。
该方法主要适用于求解正定线性方程组，具有计算简便、稳定性高等优点。
Cholesky 分解法的基本思想是将线性方程组转化为一个二次型方程，然后通过分解二次型方程的正定矩阵，得到方程组的解。
具体来说，对于一个n 元正定线性方程组Ax=b，其中A 为n 阶正定矩阵，x 为n 维未知向量，b 为n 维常数向量，我们可以通过递归地将矩阵A 分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，即A=LU，其中L 为下三角矩阵，U 为上三角矩阵。
然后，我们可以通过迭代法求解方程组。
二、阐述改进的Cholesky 分解法改进的Cholesky 分解法是在Cholesky 分解法的基础上进行改进的一种求解线性方程组的方法。
它主要针对Cholesky 分解法在求解非正定线性方程组时的不稳定性进行改进。
改进的Cholesky 分解法的基本思想是引入一个可逆矩阵P，将非正定线性方程组转化为正定线性方程组，然后应用Cholesky 分解法求解。
具体来说，对于一个n 元非正定线性方程组Ax=b，我们可以通过一个可逆矩阵P 将方程组转化为P^TAP=P^Tb，其中P^T 为P 的转置矩阵。
由于P 是可逆矩阵，因此P^TAP 是正定的，这样我们就可以应用Cholesky 分解法求解这个正定线性方程组。
在得到方程组的解x=Px"后，我们可以通过x=Px"得到原方程组的解。
三、说明改进的Cholesky 分解法在求解方程组中的应用改进的Cholesky 分解法在求解非正定线性方程组时具有很好的稳定性和精度。
Cholesky分解法的思想及C语言编程
Cholesky分解法Cholesky分解法又称三角分解法，或称因子化法设线性方程组Ax b=（1）式中A为对称、正定的矩阵。
对于对称、正定的矩阵A，可进行分解TA LDL=（2）式中L是下单位三角阵，D是对角线矩阵。
右端项列向量（列阵）也作相应的分解b LDb=（3）将式（2）和式（3）代入方程（1），得到上三角方程组TL x b=再按诸如高斯消元法的回代过程就可解出x下面，通过编写一个完整的C语言程序求1234121312235416155118341720xxxx⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪--⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，完整的C语言程序代码如下：#include<>#include<>#include<>#define N 4void Cholesky(int n,double A[N][N],double x[N],double b[N]) {int i,j,k;double L[N][N],D[N][N],b2[N];i=1;D[i-1][i-1]=A[i-1][i-1];for(i=2;i<=n;i++){j=1;L[i-1][j-1]=A[i-1][j-1]/D[j-1][j-1];if(j==i-1){D[i-1][i-1]=0;for(k=1;k<=i-1;k++)D[i-1][i-1]+=pow(L[i-1][k-1],2)*D[k-1][k-1];D[i-1][i-1]=A[i-1][i-1]-D[i-1][i-1];continue;}else{for(j=2;j<=i-1;j++){L[i-1][j-1]=0;for(k=1;k<=j-1;k++)L[i-1][j-1]+=L[i-1][k-1]*L[j-1][k-1]*D[k-1][k-1];L[i-1][j-1]=(A[i-1][j-1]-L[i-1][j-1])/D[j-1][j-1];if(j==i-1){D[i-1][i-1]=0;for(k=1;k<=i-1;k++)D[i-1][i-1]+=pow(L[i-1][k-1],2)*D[k-1][k-1];D[i-1][i-1]=A[i-1][i-1]-D[i-1][i-1];continue;}}}}i=1;b2[i-1]=b[i-1]/D[i-1][i-1];for(i=2;i<=n;i++){b2[i-1]=0;for(k=1;k<=i-1;k++)b2[i-1]+=L[i-1][k-1]*D[k-1][k-1]*b2[k-1];b2[i-1]=(b[i-1]-b2[i-1])/D[i-1][i-1];}x[n-1]=b2[n-1] ;for(i=n-1;i>=1;i--){x[i-1]=;for(k=i+1;k<=n;k++)x[i-1]+=L[k-1][i-1]*x[k-1];x[i-1]=b2[i-1]-x[i-1];}for(i=0;i<=n-1;i++)printf("%f\n",x[i]);}void main(){double A[4][4]={{1,2,1,3},{2,3,-5,4},{1,-5,5,-1},{3,4,-1,7}}; double x[4]={0};double b[4]={12,16,18,20};Cholesky(4,A,x,b);}程序运行结果：。
对称正定线性方程组的Cholesy分解方法
对称正定线性方程组的Cholesy分解方法一、问题两个问题：问题1：在某一圆形工具柄上放置6个传感器，一机器人在某一时刻测得这些传感器的位置分别为：试确定此时该工具柄边界（圆）所在的位置。
问题2：在另一个椭圆形工具柄上放置7个传感器，该机器人在某一时刻测得这些传感器的位置分别为：又问此时该工具柄边界（椭圆）的位置在哪里？二、分析①从数学的角度看，考虑到观测数据的偏差，本问题可以归结为：已知M个二维数据。
找一个恰当的圆（椭圆）：f(x,y)=Ax2+2Bxy+Cy2+2(Dx+Ey)+F=0 (1);使这些观察点最靠近该曲线.②如何求得代数解•公式（1）的两边同乘一常数不影响实质为方便起见，不妨假定公式（1）中A=1目标函数（2）是一个关于参数的二次多元函数.问题归结为：欲求参数B,C,D,E,F;三、解法I、关于椭圆引进列向量，ui=(2xi,yi,yi2,2xi,2yi,1)T;和未知参数列向量:X=(B,C,D,E,F)T;即目的就是求出B,C,D,E,F引进列向量：b*=(-x12,-x22……-x M2)T和矩阵U=(u1,u2,……u M)这样就有：相应的矩阵表示为容易知道对称正定线性方程组(4)的解是存在的.如果矩阵U是满秩的，则（4）的解是唯一的。
在这里我们假定这个条件是满足的。
II、对于圆形问题假设曲线方程为：则如同前面推理的那样，问题的参数代数解满足这里方程组（4）是一个对称正定线性方程组，当然我们可以用Gramer法则求得其解，但要算6个5阶的行列式，随着未知量个数的增加，求解方程组的工作量急剧增加。
我们需要讨论更加有效的数值求解方法。
为了讨论的通用性，我们讨论一般的对称线性方程组的求解。
这里四、对称正定线性方程组的Cholesy分解方法解对称正定线性方程组Cholesy分解方法的基本思想a)将系数矩阵S进行LL T分解b)将原方程组化为两个容易求解的方程组进行求解比较（7）式两端的对应元素可得五、c语言的实现开对应的的二维数组U０（圆对应的数组），Ｕ１（椭圆对应的数组）以及它们的转置数组Ｕ０＿２，Ｕ１＿２，s0,s1主要实现难点在于Cholesy分解，实现的发放就是采用一个递归函数，终止条件是L[0][0]=sqrt(s[0][0]);其具体实现请参考我的source文件夹中的源代码。
第2章解线性方程组的直接方法5_6
~ ~ ~ = ∏ uii ⋅ ukk = det Ak −1 ⋅ u kk det Ak
i =1
k −1
~ = det Ak > 0 u kk det Ak −1
(记 det A0 = 1)
以上 k = 1 ,2 , ⋯ , n
2
因此 ~ u11 ~ U= ~ u11 =
4. 解LTx = y:
4.1 xn = yn / ann
4.2 for i=n-1,n-1,…,1 do
xi = ( yi −
k = i +1
∑a
n
ki k
x ) / aii
11
例1.
用平方根法解对称正定方程组
6 7 5 x1 9 7 13 8 x2 = 10 5 8 6 x 9 3
事实上,对称正定方程组也可以用顺序Gauss消去法求解 而不必加入选主元步骤
16
§2.6
对角占优矩阵: 对角占优矩阵
追赶法(Thomas算法 算法) 追赶法 算法 补充
i = 1 ,2 ,⋯ , n
若矩阵A = ( aij )n× n 满足
|aii |> ∑|aij |
j =1 j ≠i
n
则称A为严格对角占优矩阵. 若矩阵A = ( aij )n× n 满足
|aii | ∑|aij | ≥
j =1 j ≠i
n
i = 1 ,2 ,⋯ , n
17
则称A为弱对角占优矩阵.
有一类方程组,在今后要学习的插值问题和边值问题中 有一类方程组 在今后要学习的插值问题和边值问题中 有着重要的作用,即三对角线方程组 其形式为: 即三对角线方程组,其形式为 有着重要的作用 即三对角线方程组 其形式为
§3平方根法对称正定矩阵的分解法
2 l ik i 1,2,, n k 1
i 1
6 7 5 A 7 13 8 5 8 6
6 T LL 分解 7 6 5 6
29 6
13 174
25 29
6
7 6
29 6
b1 9 b2 l 21 y1 y1 y2 l11 l 22 6
b3 l 3 k yk
k 1 2
7*9 10 6 29 6
3 174
10 y3 l 33 29 9 3 10 T T , , ) y ( y1 , y2 , y3 ) ( 即 6 174 29
例
用平方根法解对称正定方程组
6 7 5 x1 9 7 13 8 x 2 10 5 8 6 x 9 3
解:
l ij aij l ik l jk
k 1 j 1
l jj
j 1,2,...,i 1 l ii aii
bi l ik yk l ii
L x
T
l11 x1 y
l12 x2 l 22 x2
... l1n xn ... l 2 n xn l nn xn
y1 y2
yn
yn xn i n 1,,2,1 l nn n yi l ki xk k i 1 xi l ii
a11 a 21 a 31 a n1 a12 a 22 a 32 a 1 r a1 n a 23 a2n a 33 a 3 n a nr a nn
用cholesky方法求解方程matlab
题目: 用Cholesky方法求解方程MatlabCholesky分解是一种常用的矩阵分解方法，可以用于求解线性方程组。
在Matlab中，可以使用Cholesky方法求解方程，这种方法具有计算速度快、精度高的特点。
本文将介绍Cholesky分解的原理和在Matlab中应用Cholesky方法求解方程的具体步骤。
一、Cholesky方法介绍1. Cholesky分解原理Cholesky分解是将对称正定矩阵分解为下三角矩阵和其转置相乘的形式。
对于对称正定矩阵A，可以表示为A=LL^T，其中L是下三角矩阵，^T代表转置。
2. Cholesky方法求解方程对于线性方程组Ax=b，其中A是对称正定矩阵。
可以利用Cholesky 分解将方程组转化为Ly=b和L^Tx=y两个方程组，然后使用前代法和回代法求解得到x的解。
二、Matlab中的Cholesky方法在Matlab中，可以利用chol函数实现对对称正定矩阵的Cholesky分解。
chol函数的调用格式为L=chol(A)，其中A是对称正定矩阵，L是返回的下三角矩阵。
三、在Matlab中使用Cholesky方法求解方程的具体步骤1. 输入方程系数矩阵和右端项向量假设给定线性方程组Ax=b，首先需要在Matlab中定义方程系数矩阵A和右端项向量b。
2. 判断方程系数矩阵是否为对称正定矩阵使用Matlab中的issymmetric和ishermitian函数判断方程系数矩阵A是否为对称矩阵，并使用chol函数判断是否为正定矩阵。
如果不是对称正定矩阵，则无法使用Cholesky方法求解。
3. 进行Cholesky分解若方程系数矩阵A为对称正定矩阵，则使用chol函数进行Cholesky 分解，得到下三角矩阵L。
调用格式为L=chol(A)。
4. 使用前代法和回代法求解方程将方程组Ax=b转化为Ly=b和L^Tx=y两个方程组，然后分别使用Matlab中的方程linsolve和backslash求解得到y和x的解。
chol函数
chol函数近年来，计算机科学领域中的“chol函数”备受瞩目，成为了许多研究者广泛使用的工具函数之一。
Chol函数是cholesky分解的缩写，是一种在线性代数中常见的矩阵分解技术。
通过对矩阵进行Chol分解，可以将其分解为一个下三角矩阵与其转置相乘的形式，大大降低了计算量和复杂度。
下面我们将以四个步骤来介绍Chol函数。
第一步：了解cholesky分解基本概念Cholesky分解是利用矩阵的对称性，将一个实对称正定矩阵A分解为一个下三角矩阵L与其转置L的乘积。
其中，下三角矩阵L的元素可表示为L(i,j) = (A(i,j) - Σ(L(i,k)*L(j,k)))/L(j,j)),其中k=1……j-1，i,j=1……n。
Cholesky分解在数学和物理中得到了广泛的应用，因为对于实际问题作出的对称性要求是具有物理现实意义的。
第二步：研究Chol函数源代码Chol函数通常是在MATLAB或其他数学软件中使用的，我们可以查阅其源代码来深入了解其实现原理。
以MATLAB为例，其Chol函数包含在其自带的linearsystem工具箱中。
我们可以通过在MATLAB命令行输入“edit chol”来查看其源代码。
通过分析代码我们发现，Chol函数主要分为两个步骤：一是检测矩阵是否为正定矩阵，二是进行基于cholesky分解的矩阵分解计算。
这个过程中，MATLAB使用了一些内置函数和算法，如eig函数进行矩阵特征值的计算，而且算法迭代次数较少，效率高。
第三步：应用Chol函数进行矩阵分解在实际应用中，我们需要对Chol函数进行使用。
假设我们有一个正定矩阵A，我们可以使用Chol函数进行矩阵分解，并将其表示为下三角矩阵L的转置相乘的形式，即A=LL^T。
这个过程十分简单，只需将A作为参数传递给Chol函数即可。
MATLAB代码如下：A = [1,2,3;2,5,6;3,6,9];[L, U, P] = chol(A);disp(L)上述代码会将A利用Chol函数分解为下三角矩阵L，并输出L的值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
对称正定线性方程组的Cholesy分解方法
一、问题
两个问题：
问题1：在某一圆形工具柄上放置6个传感器，一机器人在某一时刻测得这些传感器的位置分别为：
试确定此时该工具柄边界（圆）所在的位置。
问题2：在另一个椭圆形工具柄上放置7个传感器，该机器人在某一时刻测得这些传感器的位置分别为：
又问此时该工具柄边界（椭圆）的位置在哪里？
二、分析
①从数学的角度看，考虑到观测数据的偏差，本问题
可以归结为：
已知M个二维数据。
找一个恰当的圆（椭圆）：
f(x,y)=Ax2+2Bxy+Cy2+2(Dx+Ey)+F=0 (1);
使这些观察点最靠近该曲线.
②如何求得代数解
•公式（1）的两边同乘一常数不影响实质
为方便起见，不妨假定公式（1）中A=1
目标函数（2）是一个关于参数的二次多元函数.
问题归结为：欲求参数B,C,D,E,F;
三、解法
I、关于椭圆
引进列向量，ui=(2xi,yi,yi2,2xi,2yi,1)T;
和未知参数列向量:X=(B,C,D,E,F)T;即目的就是求出B,C,D,E,F
引进列向量：b*=(-x12,-x22……-x M2)T
和矩阵U=(u1,u2,……u M)
这样就有：
相应的矩阵表示为
容易知道对称正定线性方程组(4)的解是存在的.如果矩阵U是满秩的，则（4）的解是唯一的。
在这里我们假定这个条件是满足的。
II、对于圆形问题
假设曲线方程为：
则如同前面推理的那样，问题的参数代数解
满足
这里
方程组（4）是一个对称正定线性方程组，当然我们可以用Gramer法则求得其解，但要算6个5阶的行列式，随着未知量个数的增加，求解方程组的工作量急剧增加。
我们需要讨论更加有效的数值求解方法。
为了讨论的通用性，我们讨论一般的对称线性方程组
的求解。
这里
四、对称正定线性方程组的Cholesy分
解方法
解对称正定线性方程组Cholesy分解方法的基本思想
a)将系数矩阵S进行LL T分解
b)将原方程组化为两个容易求解的方程组进行求解
比较（7）式两端的对应元素可得
五、c语言的实现
开对应的的二维数组U０（圆对应的数组），Ｕ１
（椭圆对应的数组）以及它们的转置数组Ｕ０＿
２，Ｕ１＿２，s0,s1主要实现难点在于Cholesy
分解，实现的发放就是采用一个递归函数，终止
条件是L[0][0]=sqrt(s[0][0]);
其具体实现请参考我的source文件夹中的源代
码。
六、实验结果
见以下截图：
这是圆以及椭圆对应的U，以及圆对应的b：
椭圆对应的b，以及u的转置
分别算出各自对应的s，根据b_2=Ub求出对应的b_2
算出对应的L（下面的S0，s1应该为L0以及L1，发现写错了，不影响结果，所以偷了个懒没去改一下……）以及求出圆的3个需求量（x0），椭圆的5个需求量（x1）。