2006年全国中考数学压轴题集锦

2006年全国中考数学压轴题集锦

1、（2006浙江金华）如图,平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于

A (3,0),

B (0,3)两点, ,点

C 为线段AB 上的一动点,过点

C 作C

D ⊥x 轴于点D .

(1)求直线AB 的解析式;

(2)若S 梯形OBCD ＝

3

,求点C 的坐标; (3)在第一象限内是否存在点P ,使得以P,O,B 为顶点的 三角形与△OBA 相似.若存在,请求出所有符合条件 的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.

[解] （1）直线AB 解析式为：y=3

3

-

x+3． （2）方法一：设点Ｃ坐标为（x ，33-

x+3），那么OD ＝x ，CD ＝3

3-x+3． ∴OBCD S 梯形＝

()2

CD CD OB ⨯+＝36

32

+-

x ． 由题意：3632+-

x ＝3

34，解得4,221==x x （舍去） ∴ Ｃ（２，

3

3

） 方法二：∵ 23321=

⨯=

∆OB OA S AOB ,OBCD S 梯形＝334，∴6

3

=∆ACD S ． 由OA=3OB ，得∠BAO ＝30°，AD=3CD ．

∴ ACD S ∆＝

21CD ×AD ＝223CD ＝63．可得CD ＝3

3

．

∴ AD=１，OD ＝２．∴C （２，

3

3

）． （３）当∠OBP ＝Rt ∠时，如图

①若△BOP ∽△OBA ，则∠BOP ＝∠BAO=30°，BP=3OB=3，

∴1P （3，

3

3

）． ②若△BPO ∽△OBA ，则∠BPO ＝∠BAO=30°,OP=

3

3

OB=1． ∴2P （1，3）．

当∠OPB ＝Rt ∠时

③ 过点P 作OP ⊥BC 于点P(如图)，此时△PBO ∽△OBA ，∠BOP ＝∠BAO ＝30° 过点P 作PM ⊥OA 于点M ．

方法一： 在Rt △PBO 中，BP ＝

21OB ＝2

3，OP ＝3BP ＝23． ∵ 在Rt △P ＭO 中，∠OPM ＝30°， ∴ OM ＝

21OP ＝43；PM ＝3OM ＝43

3．∴3P （43，4

33）． 方法二：设Ｐ（x ，33-

x+3），得OM ＝x ，PM ＝3

3

-x+3 由∠BOP ＝∠BAO,得∠POM ＝∠ABO ．

∵tan ∠POM==

OM

PM =x x 3

33

+-

，tan ∠ABOC=OB

OA =3．

∴33

-

x+3＝3x ，解得x ＝43．此时，3P （43，4

33）．

④若△POB ∽△OBA(如图)，则∠OBP=∠BAO ＝30°，∠POM ＝30°． ∴ PM ＝

33OM ＝4

3

． ∴ 4P （

43，4

3）（由对称性也可得到点4P 的坐标）． 当∠OPB ＝Rt ∠时，点P 在ｘ轴上,不符合要求.

综合得，符合条件的点有四个，分别是：

1P （3，

33），2P （1，3），3P （43，433），4P （43，4

3

）．

2、（2006重庆）如图1所示，一张三角形纸片ABC ，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB 的中线CD 把这张纸片剪成11AC D ∆和22BC D ∆两个三角形（如图2所示）.将纸片11AC D ∆沿直线2D B （AB ）方向平移（点12,,,A D D B 始终在同一直线上），当点1D 于点B 重合时，停止平移.在平移过程中，11C D 与2BC 交于点E,1AC 与222C D BC 、分别交于点F 、P. (1) 当11AC D ∆平移到如图3所示的位置时，猜想图中的1D E 与2D F 的数量关系，并证明

你的猜想；

(2) 设平移距离21D D 为x ，11AC D ∆与22BC D ∆重叠部分面积为y ，请写出y 与x 的函数

关系式，以及自变量的取值范围；

（3）对于（2）中的结论是否存在这样的x 的值，使重叠部分的面积等于原ABC ∆面积的1

4

. 若存在，求x 的值；若不存在，请说明理由.

[解]

（1）12D E D F =.因为1122C D C D ∥，所以

12C AFD ∠=∠.

又因为90ACB ∠=︒，CD 是斜边上的中线，

所以，DC DA DB ==，即112221C D C D BD AD === 所以，1C A ∠=∠，所以2AFD A ∠=∠ 所以，22AD D F =.同理：11BD D E =.

又因为12AD BD =，所以21AD BD =.所以12D E D F =

（2）因为在Rt ABC ∆中，8,6AC BC ==，所以由勾股定理，得10.AB = 即1211225AD BD C D C D ====

又因为21D D x =，所以11225D E BD D F AD x ====-.所以21C F C E x ==

C

B D A 图

1

1

2

2

图3

C 2

D 2C 1B

D 1A 图2

P