34生活中的优化问题举例
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（－x，0）、（x，0），其中0＜ x ＜2．
设矩形的面积为S，则S ＝2 x（4－x2），0＜ x ＜2．
2 由S′＝8－6 x2＝0，得唯一的极值点x ＝ 3 3，
2
由 V (x) 60x 3 x2 0 2
解得 x1=0 (舍), x2=40.
h x
解: 设箱底边长为 x, 箱子容积为h 60 x
V (x) x2(60 x) (0 x 60) 2
2
由 V (x) 60x 3 x2 0
解得
x1=0
(舍),
2
x2=40.
当x∈(0,40)时,V'(x)>0;当x∈(40,60)时,V'(x)<0.
解:设宾馆定价为(180＋10x)元时，宾馆的利润Ｗ最大
W (180 10x)(50 x) (50 x) 20
10x2 340x 8000
令W '(x) 0,求得x 17 当W '(x) 0时, x 17 ；当W '(x) 0时, x 17
x 17，利W 最大 房价：180 1017 350（元）
x
求导数，有
S'( x)
2
512 x2 ,
令s'(
x)
2
512 x2
0,
解得，x=16 (x=-16舍去）于是宽为128 128 8
x 16
当x (0,16)时, s'( x) 0; 当x (16,)时, s'( x) 0;
因此，x=16是函数s(x)的极小值点，也 是最小值点。所以，当版心高为16dm,宽 为8dm时，能使四周空白面积最小。
3
令 f '(r) 0.8 (r 2 2r) 0
当r 2时, f '(r) 0. 当r (0,2)时, f '(r) 0; 当r (2,6) 时, f '(r) 0. 因此,当r<2时，f’(r)<0,它表示f(r)单调递减，即 半径越大，利润越低。
当r>2时，f’(r)>0,它表示f(r)单调递增，即 半径越大，利润越高； （1）半径为2时，利润最小。这时f(2)<0,表示此种瓶 内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值；
练习 6：在二次函数 f ( x) 4 x2 的图象与 x 轴所围成 的图形中有一个内接矩形 ABCD ，设点 B 的坐标为 ( x, 0) ，问 x 取何值时，矩形的面积最大？
解:设位于抛物线上的矩形的一个顶点为（x，y）,且x ＞0，y ＞0，
则另一个在抛物线上的顶点为（－x，y），在x轴上的两个顶点为
现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面 积为128dm2,上下边各空2dm,左右空1dm,如何设计海报 的尺寸，才能使四周空白面积最小？
解：设版心的高为xcm,则宽为 128 dm,
x
此时四周空白面积为：
128
s( x) ( x 4)(
2) 128
512 x
2x
8, x 0
1.4 生活中的优化问题举例
生活中经常遇到求利润最大、用 料最省、效率最高等问题，这些问题 通常称为优化问题，通过前面的学习， 知道，导数是求函数最大（小）值的 有力工具，本节我们运用导数，解决 一些生活中的优化问题。
问题1:海报版面尺寸的设计
例1 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，
解：由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利
润为：y
4r 3
f (r) 0.2
令
3
f '(r) 0.8 (r 2
0.8r 2
2r)
0
0
r
6
当r 2时, f '(r) 0. 当r (0,2)时, f '(r) 0;
当r (2,6) 时, f '(r) 0.
解： 由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利 润为： y f (r) 0.2 4r 3 0.8r 2 (0 r 6)
• 是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?
知识背景
某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子制造成 本是0.8πr2分.其中r是瓶子的半径,单位是厘米.已知每出 售1mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制造的瓶 子的最大半径为6cm.
（１）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
∴函数V (x)在x=40处取得极大值,这个 极大值就是函数V (x)的最大值.
V (40) 402 (60 40) 16000(cm)3 答 :当箱箱底边长为2 40cm时,箱子容积最大,
最大值为16000cm3
h x
说明
1、设出变量找出函数关系式；确定出定义域； 所得结果符合问题的实际意义
答：当版心高为16dm,宽为8dm时，海报 四周空白面积最小。
练习1、一条长为l的铁丝截成两段，分别弯 成两个正方形，要使两个正方形的面积和最 小，两段铁丝的长度分别是多少？
解:设两段铁丝的长度分别为x,l-x, 其中0<x<l
则两个正方形面积和为
S
s1
s2
( x)2 4
(l
x)2 4
1 (2x2 2lx l 2 )
2、若函数 f ( x )在定义域内只有一个极值点x0 ， 则不需与端点比较， f ( x0 )即是所求的最大值或 最小值.
(所说区间的也适用于开区间或题
用函数表示的数学问题
优化问题的答案
用导数解决数学问题
练习3:某宾馆有５０个房间供游客居住，当每个房间 每天的定价为１８０元时，房间会全部住满；房间的 单价每增加１０元，就会有一个房间空闲．如果游客 居住房间，宾馆每天每间需花费２０元的各种维修 费．房间定价多少时，宾馆的利润最大？
16
S 1 (4x 2l) 1 (2x l)
16
8
令S 0,得x l 2
由问题的实际意义可知：
当x l 时, S取最小值. 最小值为 l 2 .
2
32
问题2:饮料瓶大小对饮料公司 利润有影响吗?
• 你是否注意过,市场上等量的小包装的物品 一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道 它的道理吗?
（2）半径为6时，利润最大。
练习2:在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长
相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个
无盖的方底铁皮箱.箱底边长为多少时,箱子容积最大?
最大容积是多少? 解: 设箱底边长为 x,则箱高为
h
60
x
箱子容积
V (x) x2(60 x)
2 (0 x 60)
设矩形的面积为S，则S ＝2 x（4－x2），0＜ x ＜2．
2 由S′＝8－6 x2＝0，得唯一的极值点x ＝ 3 3，
2
由 V (x) 60x 3 x2 0 2
解得 x1=0 (舍), x2=40.
h x
解: 设箱底边长为 x, 箱子容积为h 60 x
V (x) x2(60 x) (0 x 60) 2
2
由 V (x) 60x 3 x2 0
解得
x1=0
(舍),
2
x2=40.
当x∈(0,40)时,V'(x)>0;当x∈(40,60)时,V'(x)<0.
解:设宾馆定价为(180＋10x)元时，宾馆的利润Ｗ最大
W (180 10x)(50 x) (50 x) 20
10x2 340x 8000
令W '(x) 0,求得x 17 当W '(x) 0时, x 17 ；当W '(x) 0时, x 17
x 17，利W 最大 房价：180 1017 350（元）
x
求导数，有
S'( x)
2
512 x2 ,
令s'(
x)
2
512 x2
0,
解得，x=16 (x=-16舍去）于是宽为128 128 8
x 16
当x (0,16)时, s'( x) 0; 当x (16,)时, s'( x) 0;
因此，x=16是函数s(x)的极小值点，也 是最小值点。所以，当版心高为16dm,宽 为8dm时，能使四周空白面积最小。
3
令 f '(r) 0.8 (r 2 2r) 0
当r 2时, f '(r) 0. 当r (0,2)时, f '(r) 0; 当r (2,6) 时, f '(r) 0. 因此,当r<2时，f’(r)<0,它表示f(r)单调递减，即 半径越大，利润越低。
当r>2时，f’(r)>0,它表示f(r)单调递增，即 半径越大，利润越高； （1）半径为2时，利润最小。这时f(2)<0,表示此种瓶 内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值；
练习 6：在二次函数 f ( x) 4 x2 的图象与 x 轴所围成 的图形中有一个内接矩形 ABCD ，设点 B 的坐标为 ( x, 0) ，问 x 取何值时，矩形的面积最大？
解:设位于抛物线上的矩形的一个顶点为（x，y）,且x ＞0，y ＞0，
则另一个在抛物线上的顶点为（－x，y），在x轴上的两个顶点为
现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面 积为128dm2,上下边各空2dm,左右空1dm,如何设计海报 的尺寸，才能使四周空白面积最小？
解：设版心的高为xcm,则宽为 128 dm,
x
此时四周空白面积为：
128
s( x) ( x 4)(
2) 128
512 x
2x
8, x 0
1.4 生活中的优化问题举例
生活中经常遇到求利润最大、用 料最省、效率最高等问题，这些问题 通常称为优化问题，通过前面的学习， 知道，导数是求函数最大（小）值的 有力工具，本节我们运用导数，解决 一些生活中的优化问题。
问题1:海报版面尺寸的设计
例1 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，
解：由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利
润为：y
4r 3
f (r) 0.2
令
3
f '(r) 0.8 (r 2
0.8r 2
2r)
0
0
r
6
当r 2时, f '(r) 0. 当r (0,2)时, f '(r) 0;
当r (2,6) 时, f '(r) 0.
解： 由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利 润为： y f (r) 0.2 4r 3 0.8r 2 (0 r 6)
• 是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?
知识背景
某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子制造成 本是0.8πr2分.其中r是瓶子的半径,单位是厘米.已知每出 售1mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制造的瓶 子的最大半径为6cm.
（１）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
∴函数V (x)在x=40处取得极大值,这个 极大值就是函数V (x)的最大值.
V (40) 402 (60 40) 16000(cm)3 答 :当箱箱底边长为2 40cm时,箱子容积最大,
最大值为16000cm3
h x
说明
1、设出变量找出函数关系式；确定出定义域； 所得结果符合问题的实际意义
答：当版心高为16dm,宽为8dm时，海报 四周空白面积最小。
练习1、一条长为l的铁丝截成两段，分别弯 成两个正方形，要使两个正方形的面积和最 小，两段铁丝的长度分别是多少？
解:设两段铁丝的长度分别为x,l-x, 其中0<x<l
则两个正方形面积和为
S
s1
s2
( x)2 4
(l
x)2 4
1 (2x2 2lx l 2 )
2、若函数 f ( x )在定义域内只有一个极值点x0 ， 则不需与端点比较， f ( x0 )即是所求的最大值或 最小值.
(所说区间的也适用于开区间或题
用函数表示的数学问题
优化问题的答案
用导数解决数学问题
练习3:某宾馆有５０个房间供游客居住，当每个房间 每天的定价为１８０元时，房间会全部住满；房间的 单价每增加１０元，就会有一个房间空闲．如果游客 居住房间，宾馆每天每间需花费２０元的各种维修 费．房间定价多少时，宾馆的利润最大？
16
S 1 (4x 2l) 1 (2x l)
16
8
令S 0,得x l 2
由问题的实际意义可知：
当x l 时, S取最小值. 最小值为 l 2 .
2
32
问题2:饮料瓶大小对饮料公司 利润有影响吗?
• 你是否注意过,市场上等量的小包装的物品 一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道 它的道理吗?
（2）半径为6时，利润最大。
练习2:在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长
相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个
无盖的方底铁皮箱.箱底边长为多少时,箱子容积最大?
最大容积是多少? 解: 设箱底边长为 x,则箱高为
h
60
x
箱子容积
V (x) x2(60 x)
2 (0 x 60)