山东省高考数学备考复习(文科)专题七：平面向量
山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-平面向量的概念及线性运算含答案解析
第1讲平面向量的概念及线性运算[考纲解读] 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示．2．掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义．(重点)3．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义，了解向量线性运算的性质及其几何意义．(难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲一般不直接考查．预测2021年高考中，平面向量的线性运算是考查的热点，常以客观题的形式呈现，属中、低档试题.1.向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量向量的模向量a的□01大小，也就是表示向量a的有向线段AB→的□02长度(或称模)□03|a|或□04|AB→| 零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作□050单位向量长度等于1个单位的向量与非零向量a共线的单位向量为±a|a|平行向量方向□06相同或□07相反的非零向量0与任一向量□08平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度□09相等且方向□10相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度□11相等且方向□12相反的向量0的相反向量为0向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝□01b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝□02a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝□03|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向□04相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向□05相反；当λ＝0时，λa＝□060λ(μa)＝□07λμa；(λ＋μ)a＝□08λa＋μa；λ(a＋b)＝□09λa＋λb 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得□01b＝λa.1．概念辨析(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．()(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.()(3)向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．() (4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．()答案(1)√(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)下列命题正确的是()A．若|a|＝|b|，则a＝b B．若|a|>|b|，则a>bC ．若a ＝b ，则a ∥bD ．若|a |＝0，则a ＝0答案 C解析 A 错误，模相等，方向相同的向量才是相等向量；B 错误，向量不能比较大小；C 正确，若a ＝b ，则a 与b 方向相同，故a ∥b ；D 错误，若|a |＝0，则a ＝0.(2)设a ，b 是不共线的两个向量，已知BA →＝a ＋2b ，BC →＝4a －4b ，CD →＝－a ＋2b ，则( )A ．A ，B ，D 三点共线 B ．A ，C ，D 三点共线 C ．A ，B ，C 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线答案 B解析 因为BA→＝a ＋2b ，所以AB →＝－a －2b ，所以AC →＝AB →＋BC →＝(－a －2b )＋(4a －4b )＝3a －6b ＝－3(－a ＋2b )＝－3CD →.所以AC →∥CD →，所以A ，C ，D 三点共线．(3)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC→＝________(用a ，b 表示)．答案 b －a －a －b解析 因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以DC→＝AB →，OC →＝－OA →＝－a ， 所以DC→＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ， BC→＝OC →－OB →＝－a －b .题型 一 平面向量的基本概念1．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 D解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.2．下列叙述错误的是________(填序号)．①已知向量a ∥b ，且|a |>|b |>0，则向量a ＋b 的方向与向量a 的方向相同； ②|a |＋|b |＝|a ＋b |⇔a 与b 方向相同；③向量b 与向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa ； ④AB→＋BA →＝0； ⑤若λa ＝λb ，则a ＝b . 答案 ②③④⑤解析 对于①，当a 和b 方向相同，则它们的和的方向应该与a (或b )的方向相同；当a 和b 方向相反，而a 的模大于b 的模，则它们的和的方向与a 的方向相同．对于②，当a ，b 之一为零向量时结论不成立．对于③，当a ＝0且b ＝0时，λ有无数个值；当a ＝0但b ≠0时，λ不存在． 对于④，由于两个向量之和仍是一个向量，所以AB→＋BA →＝0.对于⑤，当λ＝0时，无论a 与b 的大小与方向如何，都有λa ＝λb ，此时不一定有a ＝b .故②③④⑤均错误．有关平面向量概念的六个注意点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a |a |是与a 同方向的单位向量，－a|a |是与a 反方向的单位向量．(5)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．(6)表示两平行向量的有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．1.给出下列说法：①若A ，B ，C ，D 是不共线的四个点，则AB→＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA→相等；④若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .其中正确说法的序号是( ) A.①④ B ．③④ C ．②③ D ．①②答案 A解析 ①④正确；②错误，因为a ，b 的方向不一定相同；③错误，AB →＝－BA →.2.下列命题中，正确的个数是( )①若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ； ③若λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． A.0 B ．1 C ．2 D ．3答案 A解析 ①错误，如在▱ABCD 中，AD→＝BC →，但是这两个向量的起点和终点分别不重合；②错误，模相等的两个向量，方向关系不确定；③错误，若λa ＝0(λ为实数)，则λ＝0或a ＝0；④错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，但a 与b 不一定共线.题型 二 向量的线性运算1.下列四个结论： ①AB→＋BC →＋CA →＝0； ②AB→＋MB →＋BO →＋OM →＝0；③AB →－AC →＋BD →－CD →＝0； ④NQ→＋QP →＋MN →－MP →＝0. 其中一定正确的结论个数是( ) A.1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 ①正确；②错误，AB→＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →＋BO →＋OM →＋MB →＝AB →≠0；③正确，AB →－AC →＋BD →－CD →＝(AB →－AC →)＋(BD →＋DC →)＝CB →＋BC →＝0；④正确，NQ →＋QP→＋MN →－MP →＝(NQ →＋QP →)＋(MN →－MP →)＝NP →＋PN →＝0. 2.(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( )A.34AB →－14AC →B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC → 答案 A解析 根据向量的运算法则，可得EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－14(AB →＋AC →)＝34AB →－14AC →，故选A.3.在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足2CE →＋BE →＝0，则AE →＝________(用A B →，C D →表示)．答案 23 AB →－23 CD →解析 因为D 为AB 的中点， 所以CD →＝CA →＋AD →＝－AC →＋12AB →，所以AC →＝12AB →－CD →. 又因为2CE→＋BE →＝0，所以2(AE→－AC →)＋(AE →－AB →)＝0，所以3AE→＝2AC →＋AB →， 所以AE→＝23AC →＋13AB → ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →－CD →＋13AB →＝23AB →－23CD →.1.平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2.向量线性运算的两个常用结论(1)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，则AD→＝12(AC →＋AB →)，如举例说明2. (2)O 为△ABC 的重心的充要条件是OA→＋OB →＋OC →＝0.1.在△ABC 中，若点D 满足CD →＝2DB →，点M 为AC 的中点，则MD →＝( )A.23AB →－16AC →B.13AB →－16AC →C.23AB →－13AC →D.23AB →＋16AC →答案 A解析 MD→＝MC →＋CD →＝12AC →＋23CB →＝12AC →＋23(AB →－AC →)＝23AB →－16AC →. 2．(2019·衡水模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且AE→＝2EO →，则ED →＝( )A.13AD →－23AB →B.23AD →＋13AB →C.23AD →－13AB →D.13AD →＋23AB →答案 C解析 因为AE→＝2EO →，所以AE →＝23AO →，又因为AO →＝12AC →，所以EA →＝－13AC →，所以ED→＝EA →＋AD →＝－13AC →＋AD →＝－13(AD →＋AB →)＋AD →＝23AD →－13AB →.题型 三 共线向量定理的应用角度1 证明向量共线或三点共线1.已知平面内一点P 及△ABC ，若P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的位置关系是( )A.点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段BC 上 C.点P 在线段AC 上 D ．点P 在△ABC 外部答案 C解析 因为P A →＋PB →＋PC →＝AB →＝PB →－P A →，所以PC →＝－2P A →，所以A ，P ，C 三点共线，且P 是线段AC 的三等分点(靠近A ).角度2 由向量共线求参数的值2．(2019·安徽合肥一中高考模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，且AM→＝45AB →，连接AC ，MN 交于点P ，若AP →＝411AC →，则点N 在AD 上的位置为( )A.AD 中点B.AD 上靠近点D 的三等分点C.AD 上靠近点D 的四等分点D.AD 上靠近点D 的五等分点 答案 B解析 设AD →＝λAN →，因为AP →＝411AC →＝411(AB →＋AD →)＝411⎝ ⎛⎭⎪⎫54AM →＋λAN →＝511AM →＋4λ11AN →，又M ，N ，P 三点共线，所以511＋4λ11＝1，解得λ＝32，所以AN →＝23AD →，所以点N 在AD 上靠近点D 的三等分点.求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．如举例说明2.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(4)直线的向量式参数方程，A ，P ，B 三点共线⇔OP →＝(1－t )OA →＋tOB →(O 为平面内任一点，t ∈R )．OA→＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.1.在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )A.矩形 B ．平行四边形 C.梯形 D ．以上都不对答案 C解析 AD→＝AB →＋BC →＋CD →＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b )＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC→，所以AD ∥BC ，且AD ≠BC ，所以四边形ABCD 是梯形.2.设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e1－e 2.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值． 解 (1)证明：由已知得BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB →＝2e 1－8e 2， ∴AB→＝2BD →. 又A B →与B D →有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)由(1)可知BD →＝e 1－4e 2， ∵BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线， ∴BF→＝λBD →(λ∈R )， 即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2， ∴⎩⎨⎧λ＝3，－k ＝－4λ.解得k ＝12.组 基础关1.设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是( ) A.a ＝2b B ．a ∥b C.a ＝－13b D ．a ·b ＝0答案 C解析 使a |a |＋b|b |＝0成立，需向量a 与b 反向．故选C.2.已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 反向共线，则实数λ的值为( )A.1 B ．－12 C.1或－12D ．－1或－12答案 B解析 由于c 与d 反向共线，则存在实数k 使c ＝k d (k <0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]．整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎨⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又k <0，所以λ<0，故λ＝－12.3.已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA→，则( ) A.点P 在线段AB 上B.点P 在线段AB 的反向延长线上C.点P 在线段AB 的延长线上D.点P 不在直线AB 上 答案 B解析 因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B.4.已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP →＝( )A.λ(AB→＋AD →)，λ∈(0,1) B.λ(AB→＋BC →)，λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 C.λ(AB→－AD →)，λ∈(0,1)D.λ(AB→－BC →)，λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 答案 A解析 根据向量的平行四边形法则，得AC→＝AB →＋AD →.因为点P 在对角线AC上(不包括端点A ，C )，所以AP →与AC →共线，所以AP →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)，λ∈(0,1)，故选A.5.(2019·湖北省“四地七市”联考)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若向量λa ＋b 与c 共线，则实数λ＝( )A.－2 B ．－1 C.1 D ．2答案 D解析 由图可知2a ＋b ＝c ，若向量λa ＋b 与c 共线，则λ＝2.故选D. 6．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝π2，AC ＝2AB ，∠BAC 的平分线交△ABC的外接圆于点D .设AB→＝a ，AC →＝b ，则向量AD →＝( )A.a ＋bB.12a ＋b C.a ＋12bD ．a ＋23b答案 C解析 由题意知，AC 为△ABC 的外接圆的直径．设△ABC 的外接圆圆心为O ，如图，连接OD ，BD ，则AB ＝OA ＝OD .又易得AB ∥OD ，所以四边形ABDO 是平行四边形，所以AD→＝AB →＋AO →＝AB →＋12AC →＝a ＋12b .故选C.7．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC →＝3EC→，F 为AE 的中点，则BF →＝( )A.23AB →－13AD →B.13AB →－23AD →C.－23AB →＋13AD → D ．－13AB →＋23AD →答案 C解析 BF→＝BA →＋AF →＝BA →＋12AE →＝－AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＋CE →＝－AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＋13CB →＝－AB →＋12AD →＋14AB →＋16(CD →＋DA →＋AB →)＝－23AB →＋13AD →. 8.(2019·河南三市联考)若AP→＝12PB →，AB →＝(λ＋1)BP →，则λ＝________.答案 －52解析 ∵AP→＝12PB →，∴AP →＋PB →＝AB →＝32PB →＝－32BP →.∴λ＋1＝－32，λ＝－52.9.给出下列四个命题：①若a ＋b 与a －b 是共线向量，则a 与b 也是共线向量； ②若|a |－|b |＝|a －b |，则a 与b 是共线向量； ③若|a －b |＝|a |＋|b |，则a 与b 是共线向量；④若||a |－|b ||＝|a |＋|b |，则b 与任何向量都共线． 其中是真命题的有________(填上序号)． 答案 ①②③解析 ①由向量的平行四边形法则可知，若a ＋b 与a －b 是共线向量，则必有a 与b 也是共线向量，所以①是真命题；②若|a |－|b |＝|a －b |，则a 与b 同向，或b 是零向量，或a ，b 均为零向量，所以a 与b 是共线向量，所以②是真命题；③若|a －b |＝|a |＋|b |，则a 与b 方向相反，或a ，b 中至少有一个零向量，所以a 与b 是共线向量，所以③是真命题；④当a 是零向量，b 是非零向量时，||a |－|b ||＝|a |＋|b |成立，而b 不能与任何向量都共线，所以④是假命题.10.(2019·青岛质检)已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC→＝a ，CA →＝b ，给出下列命题：①AD→＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0. 其中正确命题的序号为________．答案 ②③④解析 AD→＝CD →－CA →＝－12BC →－CA →＝－12a －b ，所以①错误；BE →＝BC →＋CE →＝BC→＋12CA →＝a ＋12b ，故②正确；CF →＝12(CA →＋CB →)＝12(b －a )＝－12a ＋12b ，故③正确；综上知AD→＋BE →＋CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a －b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b ＝0，故④正确. 组 能力关1.已知点O 为△ABC 的外接圆的圆心，且OA →＋OB →－OC →＝0，则△ABC 的内角A 等于( )A.30° B ．60° C ．90° D ．120°答案 A解析 因为OA→＋OB →－OC →＝0，所以OC →＝OA →＋OB →.所以四边形OACB 是平行四边形，又因为|OA→|＝|OB →|＝|OC →|，所以四边形OACB 是菱形，△OAC 是等边三角形．所以∠BAC ＝12∠OAC ＝30°.2.在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC→＝3CD →，点O 在线段CD上(与点C ，D 不重合)，若AO→＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 答案 D解析 设CO →＝yBC →，∵AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →)＝－yAB →＋(1＋y )AC →.∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，∴y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，∵AO→＝xAB →＋(1－x )AC →，∴x ＝－y ，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0.3.点O 是△ABC 内一点，满足条件OA →＝2BO →＋3CO →，延长BO 交AC 于点D ，则S △CODS △AOD的值为( ) A.23 B.13 C.12 D.34答案 B解析 解法一：如图(1)，分别取BC ，AC 的中点为E ，F ，连接EF .∵OA →＝2BO→＋3CO →，∴OA →－CO →＝2(BO →＋CO →)，即OA →＋OC →＝－2(OB →＋OC →)，∴2OF →＝－2·2OE→，∴OF →＝－2OE →.故O 在△ABC 的中位线EF 上，且OF ＝2OE .过点E 作EH ∥CD ，交BD 于点H ，则H 为BD 的中点，EH ＝12CD ＝12DF ，因此CD ＝DF ，CD ∶AD ＝1∶3，∴S △COD S △AOD＝CD AD ＝13.故选B.解法二：∵OA →＋2OB →＋3OC →＝0，令2OB →＝OB ′→，3OC →＝OC ′→，∴OA →＋OB ′→＋OC ′→＝0，∴O 是△AB ′C ′的重心，如图(2)，延长B ′O 交AC ′于点F ，则AF ＝FC ′.过点C 作CE ∥AC ′，交BF 于点E ，∴CD AD ＝CE AF ＝CE C ′F ＝OC OC ′＝13，∴S △COD S △AOD ＝CD AD ＝13.故选B.4．在平面向量中有如下定理：设点O ，P ，Q ，R 为同一平面内的点，则P ，Q ，R 三点共线的充要条件是：存在实数t ，使OP→＝(1－t )OQ →＋tOR →.试利用该定理解答下列问题：如图，在△ABC 中，点E 为AB 边的中点，点F 在AC 边上，且CF ＝2F A ，BF 交CE 于点M ，设AM →＝xAE →＋yAF →，则x ＋y ＝________.答案 75解析 因为B ，M ，F 三点共线，所以存在实数t ，使得AM →＝(1－t )·AB →＋tAF →，又AB→＝2AE →，AF →＝13AC →，所以AM →＝2(1－t )AE →＋13tAC →.又E ，M ，C 三点共线，所以2(1－t )＋13t ＝1，得t ＝35.所以AM→＝2(1－t )AE →＋tAF →＝45AE →＋35AF →，所以x ＝45，y ＝35，所以x ＋y ＝75.。
山东省实验中学高考平面向量及其应用专题及答案百度文库
一、多选题1．已知非零平面向量a ，b ,c ,则（ ）A ．存在唯一的实数对,m n ，使c ma nb =+B ．若0⋅=⋅=a b a c ，则//b cC ．若////a b c ，则a b c a b c =++++D ．若0a b ⋅=，则a b a b +=- 2．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ）A ．()a cbc a b c ⋅-⋅=-⋅ B ．()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 不垂直 C ．a b a b -<-D ．()()22323294a b a b a b +⋅-=-3．在△ABC 中，点E ，F 分别是边BC 和AC 上的中点，P 是AE 与BF 的交点，则有（ ）A ．1122AE AB AC →→→=+B ．2AB EF →→=C ．1133CP CA CB →→→=+D ．2233CP CA CB →→→=+4．设P 是ABC 所在平面内的一点，3AB AC AP +=则（ ） A ．0PA PB += B ．0PB PC += C ．PA AB PB +=D ．0PA PB PC ++=5．下列结论正确的是（ ）A ．已知a 是非零向量，b c ≠，若a b a c ⋅=⋅，则a ⊥（-b c ）B ．向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a 在b 上的投影向量为12b C ．点P 在△ABC 所在的平面内，满足0PA PB PC ++=，则点P 是△ABC 的外心 D ．以（1，1），（2，3），（5，﹣1），（6，1）为顶点的四边形是一个矩形 6．在RtABC 中，BD 为斜边AC 上的高，下列结论中正确的是（ ）A ．2AB AB AC B ．2BC CB AC C ．2ACAB BDD ．2BDBA BDBC BD7．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()()()::9:10:11a b a c b c +++=，则下列结论正确的是（ ）A ．sin :sin :sin 4:5:6ABC = B ．ABC ∆是钝角三角形C ．ABC ∆的最大内角是最小内角的2倍D ．若6c =，则ABC ∆ 8．设向量a ，b 满足1a b ==，且25b a -=，则以下结论正确的是（ ） A ．a b ⊥B ．2a b +=C ．2a b -=D ．,60a b =︒9．给出下列命题正确的是（ ） A ．一个向量在另一个向量上的投影是向量 B ．a b a b a +=+⇔与b 方向相同 C ．两个有共同起点的相等向量，其终点必定相同D ．若向量AB 与向量CD 是共线向量，则点,,,A B C D 必在同一直线上 10．设a 为非零向量，下列有关向量||aa 的描述正确的是（ ） A ．||1||a a =B ．//||a a aC ．||a a a =D ．||||a a a a ⋅=11．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λa bB ．若a b ⊥，则a b a b +=-C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为aD ．若存在实数λ使得λab ，则a b a b +=-12．已知正三角形ABC 的边长为2，设2AB a =，BC b =，则下列结论正确的是（ ） A ．1a b +=B ．a b ⊥C ．()4a b b +⊥D ．1a b ⋅=-13．已知实数m ，n 和向量a ，b ，下列说法中正确的是（ ） A ．()m a b ma mb -=- B ．()m n a ma na -=-C ．若ma mb =，则a b =D ．若()0ma na a =≠，则m n =14．化简以下各式,结果为0的有( )A ．AB BC CA ++ B ．AB AC BD CD -+-C ．OA OD AD -+D ．NQ QP MN MP ++-15．题目文件丢失！二、平面向量及其应用选择题16．如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角为45︒，沿倾斜角为30的山坡向山顶走1000米到达S 点，又测得山顶的仰角为75︒，则山高BC =（ ）A ．500米B ．1500米C ．1200米D ．1000米17．已知ABC 所在平面内的一点P 满足20PA PB PC ++=，则::PAB PAC PBC S S S =△△△（ ）A ．1∶2∶3B ．1∶2∶1C ．2∶1∶1D ．1∶1∶218．O 为ABC ∆内一点内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，且tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=，若3a =边BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长为（ ）A ．23π B ．43π C ．6πD ．3π19．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若lg lg lg sin 2a c B -==-，且0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ABC 的形状是（ ）A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形20．ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a b c ，，.①若A B >，则sin sin A B >；②若sin 2sin 2A B =，则ABC 一定为等腰三角形；③若cos cos a B b A c -=，则ABC 一定为直角三角形；④若3B π=，2a =，且该三角形有两解，则b 的范围是)3+∞.以上结论中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个21．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若22sin cos sin a b cA B B===ABC ∆的面积为（ ） A ．2B ．4C 2D ．2222．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是△ABC 的外心、垂心，且M 为BC 中点，则 （ ）A ．33AB AC HM MO +=+ B ．33AB AC HM MO +=- C ．24AB AC HM MO +=+D ．24AB AC HM MO +=- 23．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC 的形状一定是（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形24．在ABC ∆中，已知2AB =，4AC =，若点G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心，则()AG AW BC +⋅=（ ）A ．4B ．6C ．10D ．1425．在ABC ∆中，601ABC A b S ∆∠=︒=，，则2sin 2sin sin a b cA B C-+-+的值等于（ ）A ．3B C D ．26．设ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO OD =，则OC =（ ）A ．1233AB AC -+ B ．2133AB AC -C ．1233AB AC -D ．2133AB AC -+27．在ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若()22S a b c +=+，则cos A 等于（ ）A ．45B ．45-C ．1517D ．1517-28．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()()(2a b c a c b ac +++-=+，则cos sin A C +的取值范围为A ．3)2B ．C ．3(2D ．3(229．奔驰定理：已知O 是ABC ∆内的一点，BOC ∆，AOC ∆，AOB ∆的面积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O 是锐角ABC ∆内的一点，A ，B ，C 是ABC ∆的三个内角，且点O 满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则必有（ ）A ．sin sin sin 0A OAB OBC OC ⋅+⋅+⋅= B ．cos cos cos 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅= C ．tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=D ．sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=30．已知平面向量a ，b ，c 满足2a b ==，()()20c a c b ⋅--=，则b c ⋅的最大值为（ ）A ．54B ．2C ．174D ．431．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()226,c a b =-+3C π=，则ABC 的面积为（ ）A ．6B ．33C ．33D ．3 32．ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，30B ∠=︒，ABC 的面积为32，那么b 等于（ ）A ．132+ B ．13+C ．223+ D ．23+33．在ABC 中，若sin 2sin cos B A C =，那么ABC 一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等边三角形34．如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进50 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于（ ）A ．32B ．22C ．312D ．212-35．在ABC 中，CB a =，CA b =，且sin sin a b OP OC m a B b A ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭，m R ∈，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（ ） A ．重心B ．内心C ．外心D ．垂心【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．BD 【分析】假设与共线，与，都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】A 选项，若与共线，与，都 解析：BD 【分析】假设a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】A 选项，若a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，则ma nb +与c 不可能共线，故A 错；B 选项，因为a ，b ,c 是非零平面向量,若0⋅=⋅=a b a c ，则a b ⊥，a c ⊥，所以//b c ，即B 正确；C 选项，因为向量共线可以是反向共线，所以由////a b c 不能推出a b c a b c =++++；如a 与b 同向，c 与a 反向，且a b c +>，则a b c a b c =+-++，故C 错；D 选项，若0a b ⋅=，则()222222a b a ba b a b a b+=+=++⋅=+，()222222a b a b a b a b a b -=-=+-⋅=+，所以a b a b +=-，即D 正确.故选：BD. 【点睛】本题主要考查共线向量的有关判定，以及向量数量积的相关计算，属于基础题型.2．ACD 【分析】A ，由平面向量数量积的运算律可判断；B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C ，由与不共线，可分两类考虑：①若，则显然成立；②若，由、、构成三角形的三边可进行判断；D ，由平解析：ACD 【分析】A ，由平面向量数量积的运算律可判断；B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C ，由a 与b 不共线，可分两类考虑：①若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；②若a b >，由a 、b 、a b -构成三角形的三边可进行判断；D ，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解. 【详解】选项A ，由平面向量数量积的运算律，可知A 正确； 选项B ，()()()()()()()()0b c a c a b c b c a c c a b c b c a c b c c a ⎡⎤⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⎣⎦， ∴()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 垂直，即B 错误；选项C ，∵a 与b 不共线，∴若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；若a b >，由平面向量的减法法则可作出如下图形：由三角形两边之差小于第三边，可得a b a b -<-.故C 正确；选项D ，()()22223232966494a b a b a a b a b b a b +⋅-=-⋅+⋅-=-，即D 正确. 故选：ACD 【点睛】本小题主要考查向量运算，属于中档题.3．AC 【分析】由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可.如图：根据三角形中线性质和平行四边形法则知， , A 是正确的；因为EF 是中位线，所以B 是正确的； 根据三角形重心解析：AC 【分析】由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可. 【详解】 如图：根据三角形中线性质和平行四边形法则知，111()()222AE AB BE AB BC AB AC AB AC AB →→→→→→→→→→=+=+=+-=+, A 是正确的；因为EF 是中位线，所以B 是正确的；根据三角形重心性质知，CP =2PG ，所以22113323CP CG CA CB CA CB →→→→→→⎛⎫⎛⎫==⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 是正确的，D 错误. 故选：AC 【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的简单应用，熟记一些基本结论是求解问题的关键，属于中档题.4．CD 【分析】转化为，移项运算即得解 【详解】 由题意： 故 即 , 故选：CD本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.解析：CD 【分析】转化3AB AC AP +=为())(AB AP AC AP AP +=--，移项运算即得解 【详解】由题意：3AB AC AP += 故())(AB AP AC AP AP +=-- 即PB PC AP +=0C PA PB P ++=∴,PA AB PB +=故选：CD 【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.5．ABD 【分析】利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择. 【详解】对：因为，又，故可得， 故，故选项正确；对：因为||＝1，||＝2，与的夹角为解析：ABD 【分析】利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择. 【详解】对A ：因为()a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅，又a b a c ⋅=⋅，故可得()0a b c ⋅-=， 故()a b c ⊥-，故A 选项正确；对B ：因为|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，故可得1212a b ⋅=⨯=. 故a 在b 上的投影向量为12a b b b b ⎛⎫⋅⎪= ⎪⎝⎭，故B 选项正确； 对C ：点P 在△ABC 所在的平面内，满足0PA PB PC ++=，则点P 为三角形ABC 的重心，故C 选项错误；对D ：不妨设()()()()1,1,2,3,6,1,5,1A B C D -，则()()()1,24,25,0AB AD AC +=+-==，故四边形ABCD 是平行四边形； 又()14220AB AD ⋅=⨯+⨯-=，则AB AD ⊥，故四边形ABCD 是矩形. 故D 选项正确；综上所述，正确的有：ABD . 故选：ABD . 【点睛】本题考查向量数量积的运算，向量的坐标运算，向量垂直的转化，属综合中档题.6．AD 【分析】根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】对于A ，，故A 正确； 对于B ，，故B 错误； 对于C ，,故C 错误； 对于D ，, ,故D 正确. 故选：AD. 【点睛】 本题考查三角形解析：AD 【分析】根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】 对于A ，2cos AB AB AC AB AC A AB ACAB AC，故A 正确；对于B ，2cos cos CB CB AC CB AC C CB AC C CB ACCB AC，故B 错误； 对于C ，2cos cos BD AB BD AB BD ABD AB BD ABD AB BDBDAB,故C 错误； 对于D ，2cos BD BA BDBA BD ABD BA BD BD BA,2cos BD BC BDBC BD CBD BC BDBD BC,故D 正确.故选：AD. 【点睛】本题考查三角形中的向量的数量积问题，属于基础题.7．ACD 【分析】先根据已知条件求得，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可. 【详解】 因为所以可设：（其中），解得： 所以，所以A 正确；由上可知：边最大，所以三角形中角最大， 又 ，所以角为解析：ACD 【分析】先根据已知条件求得::4:5:6a b c =，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可. 【详解】因为()()()::9:10:11a b a c b c +++=所以可设：91011a b x a c x b c x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩（其中0x >），解得：4,5,6a x b x c x ===所以sin :sin :sin ::4:5:6A B C a b c ==，所以A 正确； 由上可知：c 边最大，所以三角形中C 角最大，又222222(4)(5)(6)1cos 022458a b c x x x C ab x x +-+-===>⨯⨯ ，所以C 角为锐角，所以B 错误；由上可知：a 边最小，所以三角形中A 角最小，又222222(6)(5)(4)3cos 22654c b a x x x A cb x x +-+-===⨯⨯，所以21cos22cos 18A A =-=，所以cos2A cosC = 由三角形中C 角最大且C 角为锐角,可得：()20,A π∈，0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以2A C =，所以C 正确； 由正弦定理得：2sin c R C =，又sin 8C ==所以28R =，解得：7R =，所以D 正确. 故选:ACD. 【点睛】本题考查了正弦定理和与余弦定理，属于基础题.8．AC 【分析】由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可. 【详解】，且,平方得，即，可得，故A 正确； ，可得，故B 错误； ，可得，故C 正确； 由可得，故D 错误; 故选：AC 【点睛】解析：AC 【分析】由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可. 【详解】1a b ==，且25b a -=,平方得22445b a a b +-⋅=，即0a b ⋅=，可得a b ⊥，故A正确；()22222a ba b a b +=++⋅=，可得2a b +=，故B 错误； ()22222a b a b a b -=+-⋅=，可得2a b -=，故C 正确；由0a b ⋅=可得,90a b =︒，故D 错误; 故选：AC【点睛】本题考查向量数量积的性质以及向量的模的求法，属于基础题.9．C 【分析】对A ，一个向量在另一个向量上的投影是数量； 对B ，两边平方化简；对C ，根据向量相等的定义判断； 对D ，根据向量共线的定义判断. 【详解】A 中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A解析：C 【分析】对A ，一个向量在另一个向量上的投影是数量； 对B ，两边平方化简a b a b +=+； 对C ，根据向量相等的定义判断； 对D ，根据向量共线的定义判断. 【详解】A 中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A 错误；B 中，由a b a b +=+，得2||||2a b a b ⋅=⋅，得||||(1cos )0a b θ⋅-=， 则||0a =或||0b =或cos 1θ=，当两个向量一个为零向量，一个为非零向量时，a 与b 方向不一定相同，B 错误；C 中，根据向量相等的定义，且有共同起点可得，其终点必定相同，C 正确；D 中，由共线向量的定义可知点,,,A B C D 不一定在同一直线上，D 错误. 故选：C 【点睛】本题考查了对向量共线，向量相等，向量的投影等概念的理解，属于容易题.10．ABD 【分析】首先理解表示与向量同方向的单位向量，然后分别判断选项. 【详解】表示与向量同方向的单位向量，所以正确，正确，所以AB 正确，当不是单位向量时，不正确， ，所以D 正确. 故选：ABD解析：ABD 【分析】首先理解aa表示与向量a 同方向的单位向量，然后分别判断选项.【详解】a a 表示与向量a 同方向的单位向量，所以1a a=正确，//a a a 正确，所以AB 正确，当a 不是单位向量时，aa a=不正确， cos 0a a aa a a a a a a⋅==⨯=，所以D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题重点考查向量a a 的理解，和简单计算，应用，属于基础题型，本题的关键是理解a a表示与向量a 同方向的单位向量.11．AB 【分析】根据向量模的三角不等式找出和的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】当时，则、方向相反且，则存在负实数解析：AB 【分析】根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa b ，A选项正确，D 选项错误；若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误； 若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确. 故选：AB. 【点睛】本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.【分析】分析知，，与的夹角是，进而对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】分析知，，与的夹角是. 由，故B 错误，D 正确； 由，所以，故A 错误； 由，所以，故C 正确. 故选：CD 【点睛】解析：CD 【分析】分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒，进而对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒.由12cos12010a b ︒⋅=⨯⨯=-≠，故B 错误，D 正确；由()22221243a ba ab b +=+⋅+=-+=，所以3a b +=，故A 错误；由()()2144440a b b a b b+⋅=⋅+=⨯-+=，所以()4a b b +⊥，故C 正确.故选：CD 【点睛】本题考查正三角形的性质，考查平面向量的数量积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.13．ABD 【分析】根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性，通过的特殊情况判断C 选项的正确性，根据向量运算判断D 选项的正确性. 【详解】根据向量数乘的运算可知A 和B 正确；C 中，当时，，但与不一定相等，解析：ABD 【分析】根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性，通过m 的特殊情况判断C 选项的正确性，根据向量运算判断D 选项的正确性. 【详解】根据向量数乘的运算可知A 和B 正确；C 中，当0m =时，0ma mb ==，但a 与b 不一定相等，故C 不正确；D 中，由ma na =，得()0m n a -=，因为0a ≠，所以m n =，故选：ABD 【点睛】本小题主要考查向量数乘运算，属于基础题.14．ABCD 【分析】根据向量的线性运算逐个选项求解即可. 【详解】 ; ; ; .故选：ABCD 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.解析：ABCD 【分析】根据向量的线性运算逐个选项求解即可. 【详解】0AB BC CA AC CA ++=+=;()()0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-=; ()0OA OD AD OA AD OD OD OD -+=+-=-=;0NQ QP MN MP NP PM MN NM NM ++-=++=-=.故选：ABCD 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.15．无二、平面向量及其应用选择题16．D 【分析】作出图形，过点S 作SE AC ⊥于E ，SH AB ⊥于H ，依题意可求得SE 在BDS ∆中利用正弦定理可求BD 的长，从而可得山顶高BC ． 【详解】解：依题意，过S 点作SE AC ⊥于E ，SH AB ⊥于H ，30SAE ∠=︒，1000AS =米，sin30500CD SE AS ∴==︒=米，依题意，在Rt HAS ∆中，453015HAS ∠=︒-︒=︒，sin15HS AS ∴=︒， 在Rt BHS ∆中，30HBS ∠=︒，22000sin15BS HS ∴==︒， 在Rt BSD ∆中，sin75BD BS =︒2000sin15sin75=︒︒2000sin15cos15=︒︒1000sin30=⨯︒500=米， 1000BC BD CD ∴=+=米，故选：D ． 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，考查作图与计算的能力，属于中档题． 17．B 【分析】延长PB 至D ，可得出点P 是ADC 的重心，再根据重心的性质可得出结论。
山东省师大附中高三平面向量及其应用复习专题百度文库
一、多选题1．下列说法中正确的是（ ）A ．对于向量,,a b c ，有()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅B ．向量()11,2e =-，()25,7e =能作为所在平面内的一组基底C ．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0m n ⋅<”的充分而不必要条件D ．在ABC 中，设D 是BC 边上一点，且满足2CD DB =，CD AB AC λμ=+，则0λμ+=2．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭3．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知cos cos 2B bC a c=-，4ABC S =△，且b = ）A ．1cos 2B =B ．cos 2B =C ．a c +=D ．a c +=4．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）A ．//PB CQ B ．2133BP BA BC =+ C ．0PA PC ⋅<D ．2S =5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的有（ ）A ．::sin :sin :sin a b c ABC = B ．若sin 2sin 2A B =，则a b = C ．若sin sin A B >，则A B >D ．sin sin sin +=+a b c A B C6．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ）A ．()a cbc a b c ⋅-⋅=-⋅B ．()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 不垂直 C ．a b a b -<-D ．()()22323294a b a b a b +⋅-=-7．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（ ） A ．()25,4a b += B ．2b = C ．a 与b 的夹角为45°D ．()//2a a b +8．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）A ．1AB CE ⋅=- B ．0OE OC +=C ．32OA OB OC ++=D ．ED 在BC 方向上的投影为769．在△ABC 中,若cos cos a A b B =,则△ABC 的形状可能为( ) A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形10．在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，则以下结论正确的是（ ） A ．BD AD AB -= B ．1()2AD AB AC =+ C ．8BA BC ⋅=D ．AB AC AB AC +=-11．下列命题中，正确的是（ ） A ．在ABC ∆中，A B >，sin sin A B ∴> B ．在锐角ABC ∆中，不等式sin cos A B >恒成立C ．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC ∆必是等腰直角三角形D ．在ABC ∆中，若060B =，2b ac =，则ABC ∆必是等边三角形12．在ABCD 中，设AB a =，AD b =，AC c =，BD d =，则下列等式中成立的是（ ） A ．a b c +=B ．a d b +=C ．b d a +=D ．a b c +=13．给出下面四个命题，其中是真命题的是（ ） A ．0ABBA B ．AB BC AC C ．AB AC BC += D ．00AB +=14．设,a b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若||||||a b a b +=-，则存在实数λ使得a b λ= B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-C ．若||||||a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影为||bD ．若存在实数λ使得a b λ=，则||||||a b a b +=-15．下列命题中正确的是( )A ．对于实数m 和向量,a b ,恒有()m a b ma mb -=-B ．对于实数,m n 和向量a ,恒有()m n a ma na -=-C ．若()ma mb m =∈R ,则有a b =D ．若(,,0)ma na m n a =∈≠R ,则m n =二、平面向量及其应用选择题16．在△ABC 中，AB ＝a ，BC ＝b ，且a b ⋅>0，则△ABC 是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形17．O 为ABC ∆内一点内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，且tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=，若a =边BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长为（ ） A ．23π B ．43π C ．6π D ．3π 18．若O 为ABC 所在平面内任意一点，且满足()20BC OB OC OA ⋅+-=，则ABC 一定为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形19．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为ABC ∆的面积，满足cos cos b A a B =，且角B 是角A 和角C 的等差中项，则ABC ∆的形状为（ ） A ．不确定 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形20．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC 的面积为1)，则b c +=（ ）A ．5B ．C ．4D ．1621．三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，那么点P 是三角形ABC 的（ ） A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心22．设θ为两个非零向量,a b →→的夹角，已知对任意实数t ，||b t a →→-的最小值为1，则（ ）A ．若θ确定，则||a →唯一确定 B ．若θ确定，则||b →唯一确定 C ．若||a →确定，则θ唯一确定D ．若||b →确定，则θ唯一确定23．在三角形ABC 中，若三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，1a =，c =45B =︒，则sin C 的值等于（ ）A ．441B ．45C ．425D ．4124．在ABC ∆中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，P 为EF 上的任一点，实数x ，y 满足0PA xPB yPC ++=，设ABC ∆、PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的面积分别为S 、1S 、2S 、3S ，记ii S Sλ=（1,2,3i =），则23λλ⋅取到最大值时，2x y +的值为（ ） A ．－1B ．1C ．32-D ．3225．在ABC 中，若A B >，则下列结论错误的是（ ） A ．sin sin A B > B ．cos cos A B <C ．sin2sin2A B>D ．cos2cos2A B <26．题目文件丢失！27．在△ABC 中，M 为BC 上一点，60,2,||4ACB BM MC AM ∠=︒==，则△ABC 的面积的最大值为（ ） A ．123B ．63C ．12D ．18328．已知ABC 的面积为30，且12cos 13A =，则AB AC ⋅等于（ ） A ．72B ．144C ．150D ．30029．在ABC ∆中||||AB AC AB AC +=-,3,4,AB AC ==则BC 在CA 方向上的投影为（ ）． A ．4B ．3C ．-4D ．530．如图，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足12BD DC =，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N 若AM mAB =，AN nAC =，则（ ）A ．m n +是定值，定值为2B ．2m n +是定值，定值为3C ．11m n +是定值，定值为2 D ．21m n+是定值，定值为3 31．若两个非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=，则向量a b +与a 的夹角为( ) A ．3π B ．23π C ．56π D ．6π 32．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()226,c a b =-+3C π=，则ABC 的面积为（ ）A ．6B 33C ．33D 333．在ABC 中，AB AC BA BC CA CB →→→→→→⋅=⋅=⋅，则ABC 的形状为（ ）． A ．钝角三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．不确定 34．在ABC 中，若sin 2sin cos B A C =，那么ABC 一定是（ ）A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等边三角形35．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，302CD m =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB 为( )A ．302mB ．203mC ．60mD ．20m【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．BCD 【分析】．向量数量积不满足结合律进行判断 ．判断两个向量是否共线即可 ．结合向量数量积与夹角关系进行判断 ．根据向量线性运算进行判断 【详解】解：．向量数量积不满足结合律，故错误， ．，解析：BCD 【分析】A ．向量数量积不满足结合律进行判断B ．判断两个向量是否共线即可C ．结合向量数量积与夹角关系进行判断D ．根据向量线性运算进行判断 【详解】解：A ．向量数量积不满足结合律，故A 错误，B ．1257-≠，∴向量1(1,2)e =-，2(5,7)e =不共线，能作为所在平面内的一组基底，故B 正确，C ．存在负数λ，使得m n λ=，则m 与n 反向共线，夹角为180︒，此时0m n <成立，当0m n <成立时，则m 与n 夹角满足90180θ︒<︒，则m 与n 不一定反向共线，即“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n <”的充分而不必要条件成立，故C 正确，D ．由23CD CB =得2233CD AB AC =-，则23λ=，23μ=-，则22033λμ+=-=，故D 正确故正确的是BCD ，故选：BCD ． 【点睛】本题主要考查向量的有关概念和运算，结合向量数量积，以及向量运算性质是解决本题的关键，属于中档题．2．AC 【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知解析：AC 【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确，对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确；对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角， 可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53λ>-， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时53λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC. 【点睛】本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.3．AD 【分析】利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简，结合，可求，结合范围，可求，进而根据三角形的面积公式和余弦定理可得. 【详解】 ∵，整理可得：， 可得，∵A 为三角形内角，， ∴，故A 正确解析：AD 【分析】利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简cos cos 2B bC a c=-，结合sin 0A ≠，可求1cos 2B =，结合范围()0,B π∈，可求3B π=，进而根据三角形的面积公式和余弦定理可得a c += 【详解】 ∵cos sin cos 22sin sin B b BC a c A C==--， 整理可得：sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-，可得()sin cos sin cos sin sin 2sin cos B C C B B C A A B +=+==， ∵A 为三角形内角，sin 0A ≠， ∴1cos 2B =，故A 正确，B 错误， ∵()0,B π∈， ∴3B π=，∵334ABC S =△，且3b =， ∴331133sin 22ac B a c ac ==⨯⨯⨯=， 解得3ac =，由余弦定理得()()2222939a c ac a c ac a c =+-=+-=+-， 解得a c 32+=，故C 错误，D 正确. 故选：AD. 【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理以及两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.4．BCD 【分析】本题先确定B 是的中点，P 是的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确； 再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出，故选项D 正确. 【详解】 解：因为，，所以B 是的中点，P 是的解析：BCD 【分析】本题先确定B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确； 再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出2APQ S =△，故选项D 正确. 【详解】解：因为20PA PC +=，2QA QB =，所以B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，如图：故选项A 错误，选项C 正确；因为()121333BP BA AP BA BC BA BA BC =+=+-=+，故选项B 正确；因为112223132APQ ABCAB hS S AB h ⨯⨯==⋅△△，所以，2APQ S =△，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.5．ACD 【分析】根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】对于A ，在，由正弦定理得，则，故A 正确； 对于B ，若，则或，所以和不一定相等，故B 错误； 对于C ，若，由正弦定理知，由于三角形中，大边对大角解析：ACD 【分析】根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】对于A ，在ABC ，由正弦定理得2sin sin sin a b cR A B C===，则::2sin :2sin :2sin sin :sin :sin a b c R A R B R C A B C ==，故A 正确；对于B ，若sin 2sin 2A B =，则A B =或2A B π+=，所以a 和b 不一定相等，故B 错误；对于C ，若sin sin A B >，由正弦定理知a b >，由于三角形中，大边对大角，所以A B >，故C 正确；对于D ，由正弦定理得2sin sin sin a b cR A B C===，则2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R CR B C B C ++==++，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题. 6．ACD【分析】A ，由平面向量数量积的运算律可判断；B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C ，由与不共线，可分两类考虑：①若，则显然成立；②若，由、、构成三角形的三边可进行判断；D ，由平解析：ACD 【分析】A ，由平面向量数量积的运算律可判断；B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C ，由a 与b 不共线，可分两类考虑：①若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；②若a b >，由a 、b 、a b -构成三角形的三边可进行判断；D ，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解. 【详解】选项A ，由平面向量数量积的运算律，可知A 正确； 选项B ，()()()()()()()()0b c a c a b c b c a c c a b c b c a c b c c a ⎡⎤⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⎣⎦， ∴()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 垂直，即B 错误；选项C ，∵a 与b 不共线，∴若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；若a b >，由平面向量的减法法则可作出如下图形：由三角形两边之差小于第三边，可得a b a b -<-.故C 正确；选项D ，()()22223232966494a b a b a a b a b b a b +⋅-=-⋅+⋅-=-，即D 正确. 故选：ACD 【点睛】本小题主要考查向量运算，属于中档题.7．AC 【分析】利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】 由向量，，则，故A 正确； ，故B 错误；解析：AC 【分析】利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】由向量()1,0a =，()2,2b =，则()()()21,022,25,4a b +=+=，故A 正确；222b =+=，故B 错误；2cos ,21a b a b a b⋅<>===⋅+，又[],0,a b π<>∈，所以a 与b 的夹角为45°，故C 正确； 由()1,0a =，()25,4a b +=，140540⨯-⨯=≠，故D 错误. 故选：AC 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题.8．BCD 【分析】以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可. 【详解】由题E 为AB 中点，则，以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示： 所以，，解析：BCD 【分析】以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可. 【详解】由题E 为AB 中点，则CE AB ⊥，以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：所以，123(0,0),(1,0),(1,0),3),()3E A B C D -， 设123(0,),3),(1,),(,33O y y BO y DO y ∈==--，BO ∥DO ， 所以2313y y =-，解得：3y =， 即O 是CE 中点，0OE OC +=，所以选项B 正确；322OA OB OC OE OC OE ++=+==，所以选项C 正确； 因为CE AB ⊥，0AB CE ⋅=，所以选项A 错误；123(3ED =，(1,3)BC =，ED 在BC 方向上的投影为127326BC BCED +⋅==，所以选项D 正确.故选：BCD 【点睛】此题考查平面向量基本运算，可以选取一组基底表示出所求向量的关系，对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系，利于计算.9．ABCD 【分析】应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有即或，进而有△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形 【详解】 根据正弦定理 , 即. ,或. 即或解析：ABCD 【分析】应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有sin 2sin 2A B =即A B =或2A B π+=，进而有△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形 【详解】根据正弦定理sin sin a b A B= cos cos a A b B =sin cos sin cos A A B B =, 即sin 2sin 2A B =. 2,2(0,2)A B π∈,22A B =或22A B π+=. 即A B =或2A B π+=,△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形. 故选：ABCD 【点睛】本题考查了正弦定理的边化角，二倍角公式解三角形判断三角形的形状，注意三角形内角和为180°10．BC 【分析】根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】对于A 选项：，故A 错；对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，，故B 正确； 对于C 选项：，故正确； 对于D 选项：，而，故解析：BC 【分析】根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】对于A 选项：BD AD BD DA BA -=+=，故A 错； 对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，()111++++()222AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC ====+，故B 正确；对于C 选项：cos 248BD BA BC BA BC B BA BC BA⋅=⋅⋅∠=⋅⋅=⨯=，故正确；对于D 选项：2,AB AC AD AB AC CB +=-=，而2AD CB ≠，故D 不正确. 故选：BC. 【点睛】本题考查向量的线性运算和向量的数量积运算，属于基础题.11．ABD 【分析】对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得解析：ABD 【分析】对于选项A 在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，即可判断出正误；对于选项B 在锐角ABC ∆中，由022A B ππ>>->，可得sin sin()cos 2A B B π>-=，即可判断出正误；对于选项C 在ABC ∆中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin 2sin 2A B =，得到22A B =或222A B π=-即可判断出正误；对于选项D 在ABC ∆中，利用余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-，代入已知可得a c =，又60B =︒，即可得到ABC ∆的形状，即可判断出正误. 【详解】对于A ，由A B >，可得：a b >，利用正弦定理可得：sin sin A B >，正确； 对于B ，在锐角ABC ∆中，A ，(0,)2B π∈，2A B π+>，∴022A B ππ>>->，sin sin()cos 2A B B π∴>-=，因此不等式sin cos A B >恒成立，正确；对于C ，在ABC ∆中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin cos sin cos A A B B =， sin 2sin 2A B ∴=， A ，(0,)B π∈，22A B ∴=或222A B π=-，A B ∴=或2A B π+=，ABC ∆∴是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C 错误.对于D ，由于060B =，2b ac =，由余弦定理可得：222b ac a c ac ==+-，可得2()0a c -=，解得a c =，可得60A C B ===︒，故正确.故选：ABD . 【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.12．ABD 【分析】根据平行四边形及向量的加法法则即可判断. 【详解】由向量加法的平行四边形法则，知成立， 故也成立；由向量加法的三角形法则，知成立，不成立. 故选：ABD 【点睛】 本题主要考查解析：ABD 【分析】根据平行四边形及向量的加法法则即可判断. 【详解】由向量加法的平行四边形法则，知a b c +=成立， 故a b c +=也成立；由向量加法的三角形法则，知a d b +=成立，b d a +=不成立. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了向量加法的运算，数形结合，属于容易题.13．AB 【解析】 【分析】根据向量加法化简即可判断真假. 【详解】 因为，正确；，由向量加法知正确； ，不满足加法运算法则，错误； ，所以错误. 故选：A B.【点睛】本题主要考查了向量加法的解析：AB 【解析】 【分析】根据向量加法化简即可判断真假. 【详解】 因为0ABBA AB AB，正确；AB BCAC ，由向量加法知正确；AB AC BC +=，不满足加法运算法则，错误；0,AB AB +=，所以00AB +=错误.故选：A B . 【点睛】本题主要考查了向量加法的运算，属于容易题.14．AB 【分析】若，则反向，从而； 若，则，从而可得；若，则同向，在方向上的投影为若存在实数使得，则共线，但是不一定成立. 【详解】对于选项A ，若，则反向，由共线定理可得存在实数使得； 对于选解析：AB 【分析】若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，从而a b λ=； 若a b ⊥，则0a b ⋅=，从而可得||||a b a b +=-；若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立. 【详解】对于选项A ，若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，由共线定理可得存在实数λ使得a b λ=；对于选项B ，若a b ⊥，则0a b ⋅=，222222||2,||2a b a a b b a b a a b b +=+⋅+-=-⋅+,可得||||a b a b +=-；对于选项C ，若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a ;对于选项D ，若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立. 故选：AB. 【点睛】本题主要考查平面向量的性质及运算，明确向量的性质及运算规则是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.15．ABD 【详解】解：对于：对于实数和向量、，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：，故正确．对于：对于实数，和向量，根据向量的数乘运算律，恒有，故 正确． 对于：若，当 时，无法得到，故不正确． 对解析：ABD 【详解】解：对于A ：对于实数m 和向量a 、b ，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：()m a b ma mb -=-，故A 正确．对于B ：对于实数m ，n 和向量a ，根据向量的数乘运算律，恒有()m n a ma na -=-，故 B 正确．对于C ：若()ma mb m =∈R ，当 0m =时，无法得到a b =，故C 不正确． 对于D ：若(,,0)ma na m n a =∈≠R ，则m n =成立，故D 正确． 故选：ABD ． 【点睛】本题考查相等的向量，相反的向量的定义，向量的数乘法则以及其几何意义，注意考虑零向量的情况．二、平面向量及其应用选择题16．D 【分析】由数量积的定义判断B 角的大小，得三角形形状． 【详解】由题意cos()0a b a b B π⋅=->，∴cos()0B π->，cos 0B ->，cos 0B <，又B 是三角形内角，∴2B ππ<<．∴ABC 是钝角三角形． 故选：D ．【点睛】本题考查考查三角形形状的判断，解题关键是掌握数量积的定义．向量夹角的概念． 17．A 【分析】 根据题意得出tan tan tan A B Ca b c==，利用正弦定理边化角思想和切化弦思想得出A B C ==，从而可得知ABC ∆为等边三角形，进而可求得BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长. 【详解】0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，a bOC OA OB c c∴=--，同理可得tan tan tan tan A B OC OA OB C C =--，tan tan tan tan a A c Cb Bc C ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪-=-⎪⎩，tan tan tan A B Ca b c∴==， 由正弦定理得tan tan tan sin sin sin A B C A B C ==，所以，111cos cos cos A B C==， cos cos cos A B C ∴==，由于余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，所以，3A B C π===， 设ABC ∆的外接圆半径为R，则22sin 2aR A===，1R ∴=， 所以，边BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长为222133R A ππ⨯=⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查弧长的计算，涉及正弦定理边角互化思想、切化弦思想以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 18．C 【分析】由向量的线性运算可知2OB OC OA AB AC +-=+，所以()0BC AB AC ⋅+=，作出图形，结合向量加法的平行四边形法则，可得BC AD ⊥，进而可得AB AC =，即可得出答案. 【详解】由题意，()()2OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+，所以()0BC AB AC ⋅+=，取BC 的中点D ，连结AD ，并延长AD 到E ，使得AD DE =，连结BE ，EC ，则四边形ABEC 为平行四边形，所以AB AC AE +=. 所以0BC AE ⋅=，即BC AD ⊥， 故AB AC =，ABC 是等腰三角形. 故选：C.【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查平面向量的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 19．D 【分析】先根据cos cos b A a B =得到,A B 之间的关系，再根据B 是,A C 的等差中项计算出B 的大小，由此再判断ABC 的形状. 【详解】因为cos cos b A a B =，所以sin cos sin cos =B A A B ， 所以()sin 0B A -=，所以A B =， 又因为2B A C B π=+=-，所以3B π=，所以3A B π==，所以ABC 是等边三角形.故选：D. 【点睛】本题考查等差中项以及利用正弦定理判断三角形形状，难度一般.（1）已知b 是,a c 的等差中项，则有2b a c =+；（2）利用正弦定理进行边角互化时，注意对于“齐次”的要求. 20．C【分析】根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4A π=,再根据面积公式可求得6(2bc =,再代入余弦定理求解即可. 【详解】ABC 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈, ∴4A π=.∵1sin 1)2ABCSbc A ===-, ∴bc=6(2,∵2a =,∴由余弦定理可得22()22cos a b c bc bc A =+--,∴2()4(2b c bc +=++4(26(216=++⨯-=,可得4b c +=.故选：C 【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题. 21．B 【分析】先化简得0,0,0PA CB PB CA PC AB ⋅=⋅=⋅=，即得点P 为三角形ABC 的垂心. 【详解】由于三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅， 则()()()0,0,0PA PB PC PB PA PC PC PB PA ⋅-=⋅-=⋅-= 即有0,0,0PA CB PB CA PC AB ⋅=⋅=⋅=， 即有,,PA CB PB CA PC AB ⊥⊥⊥， 则点P 为三角形ABC 的垂心. 故选：B. 【点睛】本题主要考查向量的运算和向量垂直的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 22．B 【分析】2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+，令222()2f t b a bt a t =-⋅+，易得2cos b a b t a aθ⋅==时，222min 244()()14a b a b f t a-⋅==，即222||cos 1b b θ-=，结合选项即可得到答案. 【详解】2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+，令222()2f t b a bt a t =-⋅+，因为t R ∈，所以当2cos b a b t a aθ⋅==时，222min 244()()4a b a b f t a -⋅=，又||b t a →→-的最小值为1， 所以2||b ta -的最小值也为1，即222min 244()()14a b a b f t a-⋅==，222||cos 1b b θ-=， 所以22||sin 1(0)b b θ=≠，所以1sin b θ=，故若θ确定，则||b →唯一确定. 故选：B【点睛】本题考查向量的数量积、向量的模的计算，涉及到二次函数的最值，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题.23．B【分析】在三角形ABC 中，根据1a =，c =45B =︒，利用余弦定理求得边b ,再利用正弦定理sin sinb c B C=求解. 【详解】 在三角形ABC 中， 1a =，c =45B =︒，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，13221252=+-⨯⨯=， 所以5b =， 由正弦定理得：sin sin bc B C=， 所以2sin 42sin 55c B C b ===，故选：B 【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，所以考查了运算求解的能力，属于中档题. 24．D【分析】根据三角形中位线的性质，可得P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半，从而得到12312S S S S ==+，由此结合基本不等式求最值，得到当23λλ⋅取到最大值时，P 为EF 的中点，再由平行四边形法则得出11022PA PB PC ++=，根据平面向量基本定理可求得12x y ==，从而可求得结果. 【详解】如图所示：因为EF 是△ABC 的中位线，所以P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半，所以12312S S S S ==+， 由此可得22232322322()1216S S S S S S S S S S λλ+=⨯=≤=， 当且仅当23S S =时，即P 为EF 的中点时，等号成立，所以0PE PF +=，由平行四边形法则可得2PA PB PE +=，2PA PC PF +=，将以上两式相加可得22()0PA PB PC PE PF ++=+=， 所以11022PA PB PC ++=， 又已知0PA xPB yPC ++=，根据平面向量基本定理可得12x y ==， 从而132122x y +=+=. 故选：D【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了平面向量基本定理的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题.25．C【分析】由正弦定理结合三角形中的大边对大角得sin sin A B >，由余弦函数性质判断B ，然后结合二倍角公式判断CD ．【详解】设ABC 三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，由A B >，则,a b >∴sin sin 0A B >>，A 正确；由余弦函数性质知cos cos A B <，B 正确；sin 22sin cos A A A =，sin 22sin cos B B B =，当A 为钝角时就有sin 2sin 2A B <，C 错误，；2cos 212sin A A =-，2cos 212sin B B =-，∴cos2cos2A B <，D 正确． 故选：C ．【点睛】本题考查三角形内角和定理，考查正弦定理、余弦函数性质，考查正弦、余弦的二倍角公式，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题．26．无27．A【分析】由已知条件，令||AC a =，||BC b =，则在△ACM 中结合余弦定理可知48ab ≤，根据三角形面积公式即可求最大值【详解】由题意，可得如下示意图令||AC a =，||BC b =，又2BM MC =，即有1||||33b CM CB == ∴由余弦定理知：222||||||2||||cos AM CA CM CA CM ACB =+-∠2221216()332333a ab ab ab ab b =+-⨯≥-=，当且仅当3a b =时等号成立 ∴有48ab ≤ ∴113sin 48123222ABC S ab C ∆=≤⨯⨯=故选：A【点睛】本题考查了正余弦定理，利用向量的知识判断线段的长度及比例关系，再由余弦定理并应用基本不等式求三角形两边之积的范围，进而结合三角形面积公式求最值28．B【分析】首先利用三角函数的平方关系得到sin A ，然后根据平面向量的数量积公式得到所求．【详解】解：因为ABC 的面积为30，且12cos 13A =，所以5sin 13A =，所以1||||sin 302AB AC A ⨯=，得到||||626AB AC ⨯=⨯， 所以12|||||cos 62614413AB AC AB AC A =⨯=⨯⨯=； 故选：B ．【点睛】 本题考查了平面向量的数量积以及三角形的面积；属于中档题．29．C【分析】 先对等式AB AC AB AC +=-两边平方得出AB AC ⊥，并计算出BC CA ⋅，然后利用投影的定义求出BC 在CA 方向上的投影．【详解】 对等式AB AC AB AC +=-两边平方得，222222AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅=+-⋅，整理得，0AB AC ⋅=，则AB AC ⊥， ()216BC CA AC AB CA AC CA AB CA AC ∴⋅=-⋅=⋅-⋅=-=-，设向量BC 与CA 的夹角为θ，所以，BC 在CA 方向上的投影为16cos 44BC CA BC CA BC BC BC CA CA θ⋅⋅-⋅=⋅===-⋅， 故选C ．【点睛】本题考查平面向量投影的概念，解本题的关键在于将题中有关向量模的等式平方，这也是向量求模的常用解法，考查计算能力与定义的理解，属于中等题．30．D【分析】过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E ，结合题设条件和三角形相似可得出21312AM n n n AB n n ==--+，再根据AM mAB =可得231n m n =-，整理可得213m n +=，最后选出正确答案即可.【详解】如图，过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E ，由AN nAC =可得1AC AN n =，所以11AE ACEM CN n ==-，由12BD DC =可得12BM ME =，所以21312AM n n n AB n n ==--+，因为AM mAB =，所以231n m n =-， 整理可得213m n+=.故选：D .【点睛】本题考查向量共线的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.31．D【分析】根据条件利用平方法得到向量数量积的数值，结合向量数量积与夹角之间的关系进行求解即可．【详解】∵非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=， ∴平方得22a b a b +=-，即2222||2||2a b a b a b a b ++⋅=+-⋅ ， 则0a b ⋅=，由2a b b +=， 平方得222||24||a b a b b ++⋅=，得223a b =，即3a b =则2a b b +=，22|3|a b a a a b b +⋅=+⋅=（），则向量a b +与a 的夹角的余弦值23||3223a b a b cos a b a b bθ+⋅===+⋅⋅（）， ，0.6πθπθ≤≤∴=， ，故选D.【点睛】本题主要考查向量数量积的应用，求解向量数量积的大小是解决本题的关键． 32．B【分析】由条件和余弦定理得到6ab =，再根据三角形的面积公式计算结果.由条件可知：22226c a b ab =+-+，①由余弦定理可知：222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-，②所以由①②可知，62ab ab -=-，即6ab =，则ABC 的面积为11sin 622S ab C ==⨯=. 故选：B【点睛】本题考查解三角形，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型.33．B【分析】根据向量运算可知三角形中中线与垂线重合，可知三角形为等腰三角形，即可确定三角形形状.【详解】因为AB AC BA BC →→→→⋅=⋅，所以0AB AC BC →→→⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭， 即0AB CA CB →→→⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭， 所以在ABC 中，AB 与AB 边上的中线垂直，则CA CB →→=，同理0BC AC AB →→→⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，AC AB →→=， 所以AC AB CB →→→==，ABC 是等边三角形．故选：B【点睛】本题主要考查了向量的数量积，向量垂直，考查了运算能力，属于中档题.34．B【分析】利用两角和与差公式化简原式，可得答案．【详解】因为sin 2sin cos B A C =，所以sin()2sin cos A C A C +=所以sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C +=所以sin cos cos sin 0A C A C -=所以sin()0A C -=,所以0A C -=,所以三角形是等腰三角形.故选：B.【点睛】本题考查三角恒等变换在解三角形中的应用，考查两角和与差公式以及两角和与差公式的逆用，考查学生计算能力，属于中档题．35．D【分析】由正弦定理确定BC 的长，再tan30AB BC 求出AB ．【详解】 15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒120CBD由正弦定理得：sin120sin 45BC 302sin 45203sin120BC 3tan 3020320ABBC故选D 【点睛】本题是正弦定理的实际应用，关键是利用正弦定理求出BC ，属于基础题．。
山东高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第1讲平面向量的概念及其线性运算课件
1 6．(2015·新课标 2)设向量 a，b 不平行，向量 λa＋b 与 a＋2b 平行，则实数 λ＝ __2____.
[解析] ∵a、b 不平行，∴a＋2b≠0，由题意可知存在唯一实数 m，使得 λa＋b
复习课件
山东高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第1讲平面向量的概念及其线性运算课 件
2021/4/17
山东高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的
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引入第1讲平面向量的概念及其线性运算课件
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第一讲 平面向量的概念及 其线性运算
1 知识梳理 • 双基自测 2 考点突破 • 互动探究 3 名师讲坛 • 素养提升
考点二 向量的线性运算——师生共研
例 2 (1)(2020·武汉调研)设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行 四边形 ABCD 所在平面内的任意一点，则O→A＋O→B＋O→C＋O→D等于( D )
A．O→M
B．2O→M
C．3O→M
D．4O→M
(2)(2020·福建高三质检)庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象
＝m(a＋2b)，即(λ－m)a＝(2m－1)b，∴λ2－m－m＝1＝00 ，解得 λ＝12.
考点突破 • 互动探究
考点一 向量的基本概念——自主练透
例 1 (1)(多选题)给出下列命题不正确的是( ACD ) A．单位向量都相等 B．若 A，B，C，D 是不共线的四点，且A→B＝D→C，则 ABCD 为平行四边形
D．A→T＋B→Q＝
山东省春季高考平面向量部分知识点梳理及历年真题分析
������ + 3 b
1
B.3 ������ + 3 b
1
2
C.
2 3
������ + 3 b
2 2 3
1
D.3 ������ + 3 b （OA − OB）=3（a-b） ，
2
Hale Waihona Puke 22解析：先将OP表示出来，OP=OB + BP，BP=3 BA= 所以 OP=OB + BP=b+ （a-b）= a+ b，答案选 C
7.向量平行和垂直关系的总结 平行关系：如果两个向量平行，那么这两个向量应存在������ = ������������，例如������=(4,2),������=（2,1）是平 行向量 垂直关系：如果两个向量垂直，那么这两个向量的余弦值应该是 0，所以������ ∙ ������=0
2014 年春考真题第 4 题 4.直线 2x-3y+4=0 的一个方向向量为 A. (2, -3) B. (2, 3) C. (1, )
3.平行四边形法则：
4.向量的坐标表示法
5.向量的坐标运算 若������=(x1,y1),������=(x2,y2),则������ ± ������=( x1± x2, y1± y2) 例如：������=(2,3),������=(7,4)，则������ + ������=（9,7）������ − ������=（-5，-1） 若点 A(x1,y1)，点 B(x2,y2)，则������������=������������—������������=(x2-x1,y2-y1) 例如：A（3,2） ，B（7,1） ，则������������=（4，-1） 若������=(x1,y1)，则������������=(������x1, ������y1) 例如������=(3,5)，则������ ������ = （ ������ ， ������ ）
专题07 平面向量-2022年高考真题和模拟题数学分类汇编(解析版)
专题07 平面向量1．【2022年全国乙卷】已知向量a ⃑=(2,1)，b ⃑⃑=(−2,4)，则|a ⃑−b ⃑⃑|（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】 【分析】先求得a ⃑−b ⃑⃑，然后求得|a ⃑−b ⃑⃑|. 【详解】因为a ⃑−b ⃑⃑=(2,1)−(−2,4)=(4,−3)，所以|a ⃑−b ⃑⃑|=√42+(−3)2=5. 故选：D2．【2022年全国乙卷】已知向量a ⃑,b ⃑⃑满足|a ⃑|=1,|b ⃑⃑|=√3,|a ⃑−2b ⃑⃑|=3，则a ⃑⋅b ⃑⃑=（ ） A ．−2 B ．−1 C ．1 D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】解：∵|a ⃗−2b ⃑⃗|2=|a ⃗|2−4a ⃗⋅b ⃑⃗+4|b ⃑⃗|2， 又∵|a ⃗|=1,|b ⃑⃗|=√3,|a ⃗−2b ⃑⃗|=3, ∴9=1−4a ⃗⋅b ⃑⃗+4×3=13−4a ⃗⋅b ⃑⃗， ∴a ⃗⋅b ⃑⃗=1 故选：C.3．【2022年新高考1卷】在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD =2DA ．记CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=m ⃑⃑⃗，CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=n ⃑⃗，则CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=（ ） A ．3m ⃑⃑⃗−2n ⃑⃗ B ．−2m ⃑⃑⃗+3n ⃑⃗C ．3m ⃑⃑⃗+2n ⃑⃗D ．2m ⃑⃑⃗+3n ⃑⃗【答案】B 【解析】【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出． 【详解】因为点D 在边AB 上，BD =2DA ，所以BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，即CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2(CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)， 所以CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑= 3CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−2CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3n ⃑⃑−2m ⃑⃑⃑ =−2m ⃑⃑⃗+3n ⃑⃗． 故选：B ．4．【2022年新高考2卷】已知向量a ⃑=(3,4),b ⃑⃑=(1,0),c ⃑=a ⃑+tb ⃑⃑，若<a ⃑,c ⃑>=<b ⃑⃑,c ⃑>，则t =（ ） A ．−6 B ．−5 C ．5 D ．6【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 【详解】解：c ⃗=(3+t,4),cos 〈a ⃗,c ⃗〉=cos 〈b,c ⃗〉,即9+3t+165|c⃗|=3+t|c ⃗|,解得t =5,故选：C5．【2022年北京】在△ABC 中，AC =3,BC =4,∠C =90°．P 为△ABC 所在平面内的动点，且PC =1，则PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的取值范围是（ ） A ．[−5,3] B ．[−3,5]C ．[−6,4]D ．[−4,6]【答案】D 【解析】 【分析】依题意建立平面直角坐标系，设P (cosθ,sinθ)，表示出PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则C (0,0)，A (3,0)，B (0,4)，因为PC =1，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动， 设P (cosθ,sinθ)，θ∈[0,2π]，所以PA⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(3−cosθ,−sinθ)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(−cosθ,4−sinθ)， 所以PA⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(−cosθ)×(3−cosθ)+(4−sinθ)×(−sinθ) =cos 2θ−3cosθ−4sinθ+sin 2θ=1−3cosθ−4sinθ=1−5sin (θ+φ)，其中sinφ=35，cosφ=45，因为−1≤sin (θ+φ)≤1，所以−4≤1−5sin (θ+φ)≤6，即PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑∈[−4,6]； 故选：D6．【2022年全国甲卷】已知向量a ⃑=(m,3),b ⃑⃑=(1,m +1)．若a ⃑⊥b ⃑⃑，则m =______________．【答案】−34##−0.75 【解析】 【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】由题意知：a ⃑⋅b ⃑⃑=m +3(m +1)=0，解得m =−34.故答案为：−34.7．【2022年全国甲卷】设向量a ⃑，b ⃑⃑的夹角的余弦值为13，且|a ⃑|=1，|b ⃑⃑|=3，则(2a ⃑+b ⃑⃑)⋅b ⃑⃑=_________． 【答案】11 【解析】 【分析】设a ⃑与b ⃑⃑的夹角为θ，依题意可得cosθ=13，再根据数量积的定义求出a ⃑⋅b ⃑⃑，最后根据数量积的运算律计算可得． 【详解】解：设a ⃑与b ⃑⃑的夹角为θ，因为a ⃑与b ⃑⃑的夹角的余弦值为13，即cosθ=13， 又|a ⃑|=1，|b ⃑⃑|=3，所以a ⃑⋅b ⃑⃑=|a ⃑|⋅|b ⃑⃑|cosθ=1×3×13=1， 所以(2a ⃑+b ⃑⃑)⋅b ⃑⃑=2a ⃑⋅b ⃑⃑+b ⃑⃑2=2a ⃑⋅b ⃑⃑+|b ⃑⃑|2=2×1+32=11． 故答案为：11．8．【2022年浙江】设点P 在单位圆的内接正八边形A 1A 2⋯A 8的边A 1A 2上，则PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑12+PA 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑2+⋯+PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑82的取值范围是_______． 【答案】[12+2√2,16] 【解析】 【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，A 7A 3所在直线为x 轴，A 5A 1所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设P(x,y)，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗12+PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗22+⋯+PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗82=8(x 2+y 2)+8，然后利用cos22.5∘≤|OP|≤1即可解出． 【详解】以圆心为原点，A 7A 3所在直线为x 轴，A 5A 1所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示：则A 1(0,1),A 2(√22,√22),A 3(1,0),A 4(√22,−√22),A 5(0,−1),A 6(−√22,−√22),A 7(−1,0),A 8(−√22,√22)，设P(x,y),于是PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗12+PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗22+⋯+PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗82=8(x 2+y 2)+8，因为cos22.5∘≤|OP|≤1，所以1+cos45∘2≤x 2+y 2≤1，故PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗12+PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗22+⋯+PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗82的取值范围是[12+2√2,16].故答案为：[12+2√2,16]．1．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中的三点(),3M m ，()4,N n ，()2,2E -，若向量OM 与ON 在向量OE 方向上的投影相等，则m 与n 的关系为（ ）A ．7m n +=B ．3m n -=C ．m n =D ．m n =-【答案】A 【解析】 【分析】根据向量在向量上的投影的定义列式可求出结果. 【详解】(),3OM m =,(4,)ON n =,(2,2)OE =-,向量OM 在向量OE 方向上的投影为||OM OE OE ⋅==向量ON 在向量OE 方向上的投影为8||ON OE OE ⋅=，=7m n +=. 故选：A.2．（2022·山东潍坊·三模）已知a ，b 是平面内两个不共线的向量，AB a b λ=+，AC a b μ=+，λ，μ∈R ，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是（ ）A ．1λμ-=B ．2λμ+=C ．1λμ=D ．1λμ= 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量共线的充要条件有AB mAC =且R m ∈，即可得答案. 【详解】由A ，B ，C 三点共线的充要条件是AB mAC =且R m ∈，所以1m mμλ=⎧⎨=⎩，故1λμ=.故选：C3．（2022·江苏苏州·模拟预测）在ABC 中，π3A =，点D 在线段AB 上，点E 在线段AC 上，且满足22,2AD DB AE EC ====，CD 交BE 于F ，设AB a =，AC b =，则AF BC ⋅=（ ）A ．65B ．175C ．295D ．325【答案】B 【解析】 【分析】根据平面共线向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质、平面向量数量积的定义、平面向量的加法的几何意义进行求解即可. 【详解】设DF DC λ=，EF EB μ=，因为11111()(),33333AF AD DF AB DC AB DA AC AB AB AC AB AC λλλλλ-=+=+=++=+-+=+11111()(),22222AF AE EF AC EB AC EA AB AC AC AB AC AB μμμμμ-=+=+=++=+-+=+所以有21531152λλμμμλ-⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨-⎪⎪==⎪⎪⎩⎩，因此AF BC ⋅=2212121()()55555+-+=-+-⋅AB AC AB AC AB AC AC AB ，因为π3A =，3AB =，4AC =，所以AF BC ⋅=1211179163455525⋅=-⨯+⨯-⨯⨯⨯=AF BC ，故选：B4．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））若(2,3a =-，(2sin ,2cos)66b ππ=，下列正确的是（ ） A ．//()b a b -B ．()b a b ⊥-C ．a 在b 方向上的投影是12-D ．()a b a b +⊥-（）【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示判断A ，根据向量垂直的坐标表示判断BC ，根据向量的投影的定义判断C. 【详解】由已知(2,3a =-，(1,3)b =，所以(((2,3=1,a b -=---，((()2,3=3,0a b+=-+， 因为1(10⨯-≠，所以b ab -，不平行，A 错， 因为(10⨯-≠，所以b a b -，不垂直，B 错，因为a 在b 方向上的投影为2211cos ,=21a b a a b b ⋅⨯-==-+，C 对，因为(13+00⨯-⨯≠，所以a b a b +-，不垂直，D 错， 故选：C.5．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））若向量a ，b 满足1a =，2b =，()235a a b ⋅+=，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的运算律得到a b ⋅，再根据cos a b a bθ⋅=⋅计算可得；【详解】解：因为1a =，2b =，()235a a b ⋅+=，所以2235a a b +⋅=，即2235a a b +⋅=，所以1a b ⋅=，设a 与b 的夹角为θ， 则1cos 2a b a bθ⋅==⋅，因为[]0,θπ∈，所以3πθ=； 故选：B6．（2022·北京·潞河中学三模）已知菱形ABCD 的边长为,60a ABC ∠=，则DB CD ⋅=（ ） A ．232a -B ．234a -C ．234aD ．232a【答案】A 【解析】 【分析】将,DB CD 分别用,BA BC 表示，再根据数量积的运算律即可得出答案. 【详解】解：,DB DA AB BC BA CD BA =+=--=，则()22221322DB CD BC BA BA BC BA BA a a a ⋅=--⋅=-⋅-=--=-.故选：A.7．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）已知向量(,3)a m =，(1,)b m =，若a 与b 反向共线，则3a b -的值为（ ）A ．0B ．48C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】由向量反向共线求得m =3a b -. 【详解】由题意23m =，得m =又a 与b 反向共线，故m =3(23,6)a b -=-， 故3=43a b -. 故选：C.8．（2022·山东淄博·三模）如图在ABC 中，90ABC ∠=︒，F 为AB 中点，3CE =，8CB =，12AB =，则EA EB ⋅=（ ）A ．15-B ．13-C ．13D ．15【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求出平面向量的数量积； 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系， 则(12,0)A ，(0,0)B ，(0,8)C ，(6,0)F ， 又3CE =，8CB =，12AB =，则10CF ， 即310CE FC =，即710FE FC =， 则()()9286,67710100,8,55BE BF FC ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭， 则,552851EA ⎛⎫=-⎪⎝⎭，928,55EB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 则25281355951EA EB ⎛⎫⎛⎫⋅=⨯-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故选：C ．9．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点,,O G H 分别为任意ABC 的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（ ）A ．12OG OH =B ．23OH GH =C ．23AO AHAG +=D ．23BO BHBG +=【答案】D 【解析】 【分析】根据三点共线和长度关系可知AB 正误；利用向量的线性运算可表示出,AG BG ，知CD 正误. 【详解】,,O G H 依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，12OG GH ∴=，13OG OH ∴=，32OH GH =，A 错误，B 错误；()112333AO AHAG AO OG AO OH AO AH AO +=+=+=+-=，C 错误； ()112333BO BHBG BO OG BO OH BO BH BO +=+=+=+-=，D 正确. 故选：D.10．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）已知,,OA OB OC 均为单位向量，且满足102OA OB OC ++=，则AB AC ⋅的值为（ ） A ．38B ．58C ．78D ．198【答案】B 【解析】 【分析】通过向量的线性运算进行化简求值即可. 【详解】()2,32AO OB OC AB OB OC =+=+，同理23AC OB OC =+()()2274(),,32238AO OB OC OB OC AB AC OB OC OB OC =+∴⋅=-⋅=++2291566136688OB OC OB OC =++⋅=+-=． 故选：B.11．（2022·辽宁沈阳·三模）已知椭圆()22:40C x y m m +=>的两个焦点分别为12,F F ，点P是椭圆上一点，若12PF PF ⋅的最小值为1-，则12PF PF ⋅的最大值为（ ） A ．4 B ．2C ．14D ．12【答案】D 【解析】 【分析】设00(,)P x y ，求出焦点坐标，利用向量的坐标运算得出12PF PF ⋅，再根据椭圆的范围利用二次函数求最值即可得解. 【详解】设00(,)P x y ，由()22:40C x y m m +=>可知1(F ，2F ，100(,)PF x y ∴=---，0023(,)2PF x y =--， 22222012000033311(4)44442x m m PF PF x y x m x m ∴⋅=-++=-++-=-，0m x -≤≤00x ∴=时，12PF PF ⋅的最小值为112m -=-，解得2m =.当0x =12PF PF ⋅的最大值为312142⨯-=.故选：D12．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））非零向量,a b 满足2a b a b a +=-=，则a b -与a 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出a b ⋅，再利用向量夹角公式计算作答. 【详解】由a b a b +=-得：22()()a b a b +=-，即222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，解得0a b ⋅=，因此，22()1cos ,2||||2||a b a a a b a b a a b a a -⋅-⋅〈-〉===-，而,[0,π]a b a 〈-〉∈，解得π,3a b a 〈-〉=，所以a b -与a 的夹角为3π. 故选：B13．（2022·浙江省江山中学模拟预测）在ABC 中，E ，F 分别为,AC BC 的中点，点D 是线段AF （不含端点）内的任意一点，AD mAB nAE =+，则（ ） A ．(0,1)m ∈ B ．(0,2)n ∈ C ．2n m = D ．1m n +=【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算的定义和平面向量基本定理确定,m n 的关系和范围. 【详解】因为点D 是线段AF （不含端点）内的任意一点， 所以可设(01)AD AF λλ=<<， 因为E ，F 分别为,AC BC 的中点，所以11112222AF AB BF AB BC AB AC AB AE =+=+=+=+，所以2AD AB AE λλ=+，又AD mAB nAE =+，所以10,22m λ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，()0,1n λ=∈，2n m =，32m n λ+=， 所以A ，B ，D 错误，C 正确， 故选：C.14．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））已知向量(1,0)a =，(1,1)b =，向量a b 与a 垂直，则实数λ的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．1- D ．1【答案】C 【解析】 【分析】由题得()0λ+⋅=a b a 化简即得解. 【详解】 因为ab 与a 垂直，所以()20,0λλ+⋅=∴+⋅=a b a a a b ， 所以1+(10)0,1λλ⨯+=∴=-. 故选：C.15．（2022·海南华侨中学模拟预测）已知不共线的平面向量,,a b c 两两所成的角相等，且1,4,7a b a b c ==++=，则c =（ ）A B ．2 C ．3 D ．2或3【答案】D 【解析】 【分析】 先求出23πθ=，转化2()7a b c a b c ++=++=，列方程即可求出. 【详解】由不共线的平面向量a ，b ，c 两两所成的角相等，可设为θ，则23πθ=.设|c |=m. 因为147a b a b c ==++=，，，所以27a b c ++=， 即2222227a a b b b c a c c +⋅++⋅+⋅+=，所以2222221214cos424cos 21cos 7333m m m πππ+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+= 即2560m m -+=，解得：2m =或3. 所以|c |=2或3 故选：D16．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））已知()1,2a =，()2,1b =-，()1,c λ=，且()c a b ⊥+，则λ=______． 【答案】3- 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示计算可得． 【详解】由题意()()3,1a b +=，又()c a b ⊥+，则()()()1,3,130c a b λλ⋅+=⋅=+=，故3λ=-． 故答案为：3-．17．（2022·河北·沧县中学模拟预测）已知向量,a b 的夹角为23π，4a =，3b =，则a b +=___________．【解析】 【分析】根据2222a b a a b b +=+⋅+求解即可. 【详解】 21cos43632a b a b π⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭， 则()222222426313a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+=， 则13a b +=．18．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））已知向量||1b =，向量(1,3)a =，且|2|6a b -=，则向量,a b 的夹角为___________.【答案】2π##90 【解析】 【分析】由|2|6a b -=两边平方，结合数量积的定义和性质化简可求向量,a b 的夹角 【详解】因为(1,3)a =，所以(21+a =因为|2|6a b -=，所以2222+26a ab b -=，又||1b =，所以426b -⋅+=，所以0a b ⋅=， 向量,a b 的夹角为θ,则cos 0a b θ⋅= 所以cos 0θ=，则2πθ=.故答案为：2π. 19．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））已知在平行四边形ABCD 中，11,,2,622DE EC BF FC AE AF ====AC DB ⋅值为__________． 【答案】94##2.25【解析】 【分析】由向量加法的几何意义及数量积运算律有22D AC DB C CB ⋅=-，再由1313AE BC DC AF DC BC⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩结合数量积运算律，即可得结果. 【详解】由题设可得如下图：,AC AD DC DB DC CB =+=+，而AD CB =-，所以22D AC DB C CB ⋅=-， 又11,,2,622DE EC BF FC AE AF ==== 所以1313AE AD DE BC DC AF AB BF DC BC ⎧=+=+⎪⎪⎨⎪=+=+⎪⎩，则22222143921639BC BC DC DC DC BC DC BC ⎧+⋅+=⎪⎪⎨⎪+⋅+=⎪⎩，故228()29DC BC -=，可得2294DC BC -=，即94AC DB =⋅. 故答案为：9420．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）设,a b 为不共线的向量，满足,342(,R)c a b λμλμλμ=++=∈，且c a c b c --==，若3a b -=，则()22()⋅⋅-a ba b 的最大值为________． 【答案】324【解析】 【分析】采用建系法，令,,a OA b OB c OC ===，将各个点用坐标表示，然后表达出OAB 面积的最大值，进而求得()22()⋅⋅-a b a b 的最大值；【详解】令,,a OA b OB c OC ===，又因为c a c b c --==， 即==OC CA CB ，则点C 为OAB 的外心，因为3-==a b AB ， 设33,0,,0,(0,)22⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B AC m ，不妨取0m >则点()00,O x y 在圆2229:()4+-=+C x y m m 上， 由OC OA OB λμ=+，代入坐标，()00000033,,,22λμ⎛⎫⎛⎫---=--+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x m y x y x y ，解得003(),211-+=⋅-=----mx y m μλμλλμλμ，联立342+=u λ和2229:()4+-=+C x y m m ，解得12λ⎫<⎪⎭m，故0()1μλλμ+=+--m y m622λ=≤-+ ⎪⎝⎭，1λ=-时取“=”. 故01||92=⋅≤OABSAB y ，于是 ()22222max max(||||)()||||1cos a b a b OA OB AOB ⎡⎤⎡⎤⋅-⋅=⋅⋅-∠⎣⎦⎣⎦ ()2222maxmax||||sin 4324OAB OA OB AOB S ⎡⎤=⋅⋅∠==⎣⎦△.故答案为：324 【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．。
高考文科平面向量知识点
高考文科平面向量知识点高考是对学生多年来所学知识的综合考察，而数学是文科生必考的一门科目。
在数学中，平面向量是一个重要的知识点，也是考试中常常涉及的内容。
下面，将介绍高考文科平面向量的知识点，帮助考生更好地理解和掌握这一部分内容。
一、向量的概念和运算向量是表示有大小和方向的量，常用箭头表示。
在平面上，向量通常用一个有序数对表示，如AB向量可以表示为a = (x, y)。
向量的长度是指从起点到终点的距离，记作|a|。
向量的加法和减法可以通过对应坐标的加减实现，如a + b = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)。
二、向量的数量积向量的数量积也称点积，是指两个向量间的乘积结果，记作a·b。
计算公式为：a·b = |a| |b| cosθ。
其中，θ表示两个向量之间的夹角。
数量积的结果为一个实数，具有求模、交换律以及分配律等性质。
三、向量的向量积向量的向量积也称叉积，是指两个向量间的乘积结果，记作a × b。
计算公式为：a × b = |a| |b| sinθ n。
其中，θ表示两个向量之间的夹角，n表示垂直于两个向量所在平面的单位法向量。
向量积的结果为一个向量，其方向遵循右手法则，模长为|a| |b| sinθ。
四、向量的共线与线性运算在平面向量中，如果存在一个实数k，使得a = kb，那么向量a与向量b就是共线的。
共线的向量也叫线性相关向量。
线性运算是指对多个向量进行加法、减法和数量乘法的运算。
线性相关的向量之间可以进行代入消元等操作，进而解出线性方程组。
五、向量的应用平面向量广泛应用于各个学科和职业领域，如物理学、力学、工程、计算机图形学等。
在解决实际问题时，我们可以利用向量进行几何推理、计算机模拟、数据分析等。
例如，在解决运动问题时，可以将速度、加速度等物理量抽象为向量，简化计算过程。
六、习题和应用题为了更好地理解和掌握平面向量的知识，考生可以进行大量的习题和应用题的训练。
高考数学压轴专题济南备战高考《平面向量》图文答案
新数学《平面向量》专题解析一、选择题1．在ABC V 中，D 为边AC 上的点，若2133BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r ，AD DC λ=u u u v u u u v，则λ=（ ）A ．13B ．12C ．3D ．2【答案】B 【解析】 【分析】根据2133BD BA BC =+u u u v u u u v u u u v ，将,AD DC u u u r u u u r 都用基底()BABC u u u r u u u r ，表示，再根据AD DC λ=u u u v u u u v 求解. 【详解】因为2133BD BA BC =+u u u v u u u v u u u v ，所以1122,+3333AD BD BA BA BC DC BC BD BA BC =-=-+=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u uu r u u u r ，因为AD DC λ=u u u v u u u v ，所以λ= 12， 故选：B 【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理和共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.2．已知向量a v ，b v 满足a b a b +=-r rv v ，且||a =v ||1b =r ，则向量b v 与a b -v v 的夹角为（ ） A ．3πB ．23π C ．6π D ．56π 【答案】B 【解析】 【分析】对a b a b +=-v v v v 两边平方，求得0a b ⋅=v v ，所以a b ⊥v v .画出图像，根据图像确定b v 与a b -vv 的夹角，并根据它补角的正切值求得对应的角的大小.【详解】因为a b a b +=-v v v v ，所以222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+v v v v v v v v ，即0a b ⋅=v v ，所以a b ⊥v v .如图，设AB a =u v v ，AD b =u u u v v，则向量b v 与a b -v v 的夹角为BDE ∠，因为tan 3BDA∠=，所以3BDA π∠=，23BDE π∠=.故选B.【点睛】本题考查平面向量的模以及夹角问题，考查运算求解能力，考查数形结合的数学思想方法.属于中档题.3．在ABC V 中，312AB AC ==，D 是AC 的中点，BD u u u r 在AC u u ur 方向上的投影为4-，则向量BA u u u r 与AC u u ur 的夹角为（ ）A ．45°B ．60°C ．120°D ．150°【答案】C 【解析】 【分析】设BDC α∠=，向量BA u u u r 与AC u u u r 的夹角为θ，BD u u u r 在AC u u u r方向上的投影为cos =4BD α-u u u r，利用线性代换并结合向量夹角公式即可求出夹角．【详解】312AB AC ==，D 是AC 的中点，则4AC =，2AD DC ==， 向量BD u u u r 在AC u u u r方向上的投影为4-， 设BDA α∠=，向量BA u u u r 与AC u u u r的夹角为θ，则cos =4BD α-u u u r，∴()cos ===BD DA AC BA AC BD AC DA ACBA AC BA AC BA AC θ+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()cos cos180444211===1242BD AC DA AC AB ACα⋅+⋅⨯+-⨯-⨯︒⨯⋅-u u u u u r u u u r u u u u r u u u ru ur r u， 故夹角为120°， 故选：C . 【点睛】本题考查向量的投影，利用数量积求两个向量的夹角，属于中等题.4．延长线段AB 到点C ，使得2AB BC =u u u r u u u r ，O AB ∉，2OD OA =u u u v u u u v，则（ ）A ．1263BD OA OC =-u u u v u u u v u u u vB ．5263BD OA OC =-u u u v u u u v u u u vC ．5163BD OA OC =-u u u v u u u v u u u vD ．1163BD OA OC =+u u u v u u u v u u u v【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的加法、减法的几何意义，即可得答案；【详解】Q BD OD OB =-u u u v u u u v u u u v ，()22123333OB OA AC OA OC OA OA OC =+=+-=+u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，12OD OA =u u u v u u u v ，∴1263BD OA OC =-u u u v u u u v u u u v ，故选：A. 【点睛】本题考查向量的线性运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.5．已知a =r 2b =r ，且()(2)b a a b -⊥+r r r r ，则向量a r 在向量b r 方向上的投影为（ ） A ．-4 B ．-2C ．2D ．4【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直，数量积为0，求出a b r r g ，即求向量a r 在向量b r方向上的投影a b b ⋅r rr .【详解】()(2),()(2)0b a a b b a a b -⊥+∴-+=r r r r r r r r Q g ， 即2220b a a b -+=r r r r g .2,8a b a b ==∴=r r r r Q g ，所以a r 在b r方向上的投影为4a b b⋅=r r r .故选：D . 【点睛】本题考查向量的投影，属于基础题.6．已知单位向量a r ，b r 的夹角为3π，(),c a b R μλμ+=λ+∈r u u r u u r ，若2λμ+=，那么c r 的最小值为（ ）A BC ．2D 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的数量积的运算公式，求得12a b ⋅=r r ，再利用模的公式和题设条件，化简得到24c λμ=-u r ，最后结合基本不等式，求得1λμ≤，即可求解．【详解】由题意，向量,a b r r 为单位向量，且夹角为3π，所以11cos 11322a b a b π⋅=⋅=⨯⨯=r r r r ，又由(),c a b μλμ=λ+∈R r u u r u u r，所以()22222222()4c a b a b λμλμλμλμλμλμλμλμ=+=++⋅=++=+-=-u r r r r r ，因为,R λμ+∈时，所以222()122λμλμ+⎛⎫≤== ⎪⎝⎭，当且仅当λμ=时取等号，所以23c ≥u r ，即c ≥u r故选：D ． 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，以及向量的模的计算，其中解答中熟记向量的数量积和模的计算公式，以及合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．7．若向量(1,1)a =r ，(1,3)b =-r ，(2,)c x =r 满足(3)10a b c +⋅=r r r，则x =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算，求得(3)(2,6)a b +=rr ，再根据向量的数量积的坐标运算，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，向量(1,1)a =r，(1,3)b =-r ，(2,)c x =r ，则向量(3)3(1,1)(1,3)(2,6)a b +=+-=rr ，所以(3)(2,6)(2,)22610a b c x x +⋅=⋅=⨯+=r r r，解得1x =，故选A.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，及向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.8．已知向量(sin ,cos )a αα=r，(1,2)b =r ， 则以下说法不正确的是（ ）A ．若//a b rr，则1tan 2α=B ．若a b ⊥rr，则1tan 2α=C ．若()f a b α=⋅rr 取得最大值，则1tan 2α= D ．||a b -rr 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量平行、垂直、模以及向量的数量积的坐标运算即可判断. 【详解】A 选项，若//a b r r，则2sin cos αα=，即1tan 2α=，A 正确. B 选项，若a b ⊥r r，则sin 2cos 0αα+=，则tan 2α=-，B 不正确.C 选项，若()f a b α=⋅r r取得最大值时，则())f ααϕ=+，取得最大值时，()sin 1αϕ+=，2,2k k Z παϕπ+=+∈，又tan 2ϕ=，则1tan 2α=，则C 正确.D 选项，||a b -==r r的最大值为1=，选项D 正确.故选：B . 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及模的求法，掌握向量平行、垂直、数量积的坐标运算是解题的关键，是基础题.9．设a r ，b r 不共线，3AB a b =+u u u r r r ，2BC a b =+u u u r r r ，3CD a mb =+u u u r r r，若A ，C ，D 三点共线，则实数m的值是（）A．23B．15C．72D．152【答案】D【解析】【分析】计算25AC a b=+u u u r r r，得到()253a b a mbλ+=+r r r r，解得答案.【详解】∵3AB a b=+u u u r r r，2BC a b=+u u u r r r，∴25AC AB BC a b=+=+u u u r u u u r u u u r r r，∵A，C，D三点共线，∴AC CDλ=u u u r u u u r，即()253a b a mbλ+=+r r r r，∴235mλλ=⎧⎨=⎩，解得23152mλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故选：D.【点睛】本题考查了根据向量共线求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.10．如图，已知1OA OB==u u u v u u u v，2OC=u u u v，4tan3AOB∠=-，45BOC∠=︒，OC mOA nOBu u u v u u u v u u u v=+，则mn等于（）A．57B．75C．37D．73【答案】A【解析】【分析】依题意建立直角坐标系，根据已知角，可得点B、C的坐标，利用向量相等建立关于m、n 的方程，求解即可．【详解】以OA所在的直线为x轴，过O作与OA垂直的直线为y轴，建立直角坐标系如图所示：因为1OA OB ==u u u r u u u r ，且4tan 3AOB ∠=-，∴34cos sin 55AOB AOB ∠=-∠=，，∴A （1，0），B （3455-，），又令θAOC ∠=，则θ=AOB BOC ∠-∠，∴413tan θ413--=-=7，又如图点C 在∠AOB 内，∴cos θ2，sin θ72,又2OC u u u v =C （1755，）， ∵OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r ，（m ，n ∈R ），∴（1755，）=（m,0）+（3455n n -，）=(m 35n -，45n ） 即15= m 35n -，7455n =，解得n=74，m=54，∴57m n =， 故选A ． 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，建立直角坐标系，利用坐标解决问题是常用的处理向量运算的方法，涉及到三角函数的求值，属于中档题．11．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE DF ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．134-B ．54C ．5D ．154【答案】B 【解析】 【分析】据题意以菱形对角线交点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出,DE DF u u u r u u u r，再根据坐标形式下向量的数量积运算计算出结果. 【详解】设AC 与BD 交于点O ，以O 为原点，BD u u u r 的方向为x 轴，CA u u u r的方向为y 轴，建立直角坐标系，则1,12E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,12F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(1,0)D ，3,12DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，3,12DF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，所以95144DE DF ⋅=-=u u u r u u u r .故选：B.【点睛】本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题，难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题，如果直接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解.12．设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线交两渐近线于,A B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，225+=8λμ，则双曲线的离心率为（ ）A ．233B 35C ．322D ．98【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知求出,u λ，再代入225+=8λμ求出双曲线的离心率. 【详解】由题得双曲线的渐近线方程为b y x a =±，设F(c,0)，则2(,),(,),(,),bc bc b A c B c P c a a a-因为(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，所以2(,)((),())b bc c u c u a aλλ=+-.所以,,bu c u cλλ+=-= 解之得,.22b c c bu c cλ+-==因为225+=8λμ，所以225()(),228b c c b c e c c a +-+=∴=∴= 故答案为A 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和离心率的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.解答本题的关键是根据(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v求出,u λ.13．已知向量(b =r ，向量a r 在b r方向上的投影为6-，若()a b b λ+⊥r r r ，则实数λ的值为（ ） A ．13B ．13-C ．23D ．3【答案】A 【解析】 【分析】设(),a x y =r ，转化条件得62x +=-，()4x λ=-，整体代换即可得解.【详解】 设(),a x y =r，Q a r 在b r方向上的投影为6-，∴6a b b⋅==-r rr 即12x +=-.又 ()a b b λ+⊥r r r，∴()0a b b λ+⋅=r r r 即130x y λ++=，∴()4x λ+=-即124λ-=-，解得13λ=. 故选：A. 【点睛】本题考查了向量数量积的应用，属于中档题.14．如图，在ABC V 中，已知D 是BC 边延长线上一点，若2B C C D =u u u v u u u v，点E 为线段AD 的中点，34AE AB AC λ=+u u u v u u u v u u u v，则λ=（ ）A ．14B ．14-C ．13D ．13-【答案】B 【解析】 【分析】由12AE AD =u u u r u u u r ，AD BD BA =-u u u r u u u r u u u r ，AC BC BA =-u u ur u u u r u u u r ，32BD BC =u u u r u u u r ，代入化简即可得出．【详解】 13,,,22AE AD AD BD BA BD BC BC AC AB ==-==-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，带人可得()13132244AE AC AB AB AB AC ⎡⎤=-+=-+⎢⎥⎣⎦u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，可得14λ=-，故选B. 【点睛】本题考查了向量共线定理、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．在ABC V 中，若2AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，则AB BC=u u u vu u u v （ ） A ．1 B ．22C ．32D ．62【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由AB BC BC CA ⋅=⋅uu u v uu u v uu u v uu v可以推得AB AC =，再利用向量运算的加法法则，即可求得结果． 【详解】由题意得，AB BC BC CA ⋅=⋅uu u v uu u v uu u v uu v ，即A A =0+BC B C ⋅uu u v uu u v uuu v（），设BC 的中点为D ，则AD BC ⊥，即ABC V 为等腰三角形，B=C AB AC =∠∠，又因为2BC CA CA AB ⋅=⋅uu u v uu v uu v uu u v即2222222C C cos 2C 2C cos 112C +22232C 2AB BC CA A B AB BC B A CA B C BC A BC A BC⋅=⋅-=-+-=-+⨯=uu u v uu u v uu v uu u v uuv uu u v uu u v uu u v uu v uuvuu u v uu u v uu u v uu u v uu u v （）所以2AB BC=uu u v uu u v ． 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算．16．已知平面向量,,a b c r r r满足()()2,21a b a b a c b c ==⋅=-⋅-=r r r r r r r r ，则b c -r r 的最小值为（ ） AB．2C．2-D【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，易知a r 与b r的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r ，由()()21a c b c -⋅-=r r r r，可得221202x y x +-+=，所以原问题等价于，圆221202x y x +-+=上一动点与点()20，之间距离的最小值， 利用圆心和点()20，的距离与半径的差，即可求出结果. 【详解】因为2a b a b ==⋅=r r r r ，所以a r 与b r的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r， 因为()()21a c b c -⋅-=r r r r，所以221202x y x +-+=， 又b c -=r r所以原问题等价于，圆221202x y x +-+=上一动点与点()20，之间距离的最小值，又圆2212302x y x y +--+=的圆心坐标为31⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，半径为5，所以点()20，与圆2212302x y x y +--+=上一动点距离的最小值为()22357521222⎛⎫--+-= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查向量的模的最值的求法，考查向量的数量积的坐标表示，考查学生的转换思想和运算能力，属于中档题．17．如图，向量a b -r r等于A ．1224e e --u r u u rB ．1242e e --u r u u rC ．123e e -r u u rD ．123e e -+r u u r【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】由向量减法的运算法则可得123a e b e -=-+r r r u u r，18．已知向量OA u u u r 与OB uuu r的夹角为θ，2OA =u u u r ，1OB =uu u r ，=u u u r u u u r OP tOA ，()1OQ t OB =-u u u r u u u r ，PQ u u u r 在t t =0时取得最小值，则当0105t <<时，夹角θ的取值范围为（ ）A ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】 【分析】根据向量的数量积运算和向量的线性表示可得，()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++u u u r u u u r ，根据二次函数的最值可得出012cos 54cos t θθ+=+，再由0105t <<，可求得夹角θ的取值范围.【详解】因为2cos OA OB θ⋅=u u u r u u u r，()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++u u u r u u u r ， ∵PQ u u u r 在t t =0时取得最小值，所以012cos 54cos t θθ+=+，又0105t <<，则12cos 1054cos 5θθ+<<+，得1cos 02θ-<<，∵0θπ≤≤，所以223ππθ<<，故选：C. 【点睛】 本题考查向量的数量积运算和向量的线性表示，以及二次函数的最值和分式不等式的求解，关键在于由向量的模的平方等于向量的平方，得到关于角度的三角函数的不等式，属于中档题.19．在OAB ∆中，已知OB =u u u v 1AB u u u v=，45AOB ∠=︒，点P 满足(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u v u u u v u u u v ，其中λ，μ满足23λμ+=，则OP u u u v的最小值为（ ）A ．5B C ．3D ．2【答案】A 【解析】 【分析】根据OB =u u u r,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒,由正弦定理可得OAB ∆为等腰直角三角形,进而求得点A 坐标.结合平面向量的数乘运算与坐标加法运算,用λ,μ表示出OP u u u r.再由23λμ+=,将OP u u u r 化为关于λ的二次表达式,由二次函数性质即可求得OP u u u r的最小值.【详解】在OAB ∆中,已知OB =u u u r,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒由正弦定理可得sin sin AB OB AOBOAB=∠∠u u u r u u u r代入2sin 2OAB =∠,解得sin 1OAB ∠=即2OAB π∠=所以OAB ∆为等腰直角三角形以O 为原点,OB 所在直线为x 轴,以OB 的垂线为y 轴建立平面直角坐标系如下图所示:则点A 坐标为22⎝⎭所以22OA =⎝⎭u u u r ,)2,0OB =u u u r因为(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r则)222,022OP λμ⎛ =+ ⎝⎭u u u r 222,22λμλ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭= 则2222222OP λμλ⎛⎫=++⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r 2222λλμμ=++因为23λμ+=,则32μλ=- 代入上式可得()()22322232λλλλ+-+-218518λλ-=+299555λ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所以当95λ=时, min OP ==u u u r 故选:A 【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用,正弦定理判断三角形形状,平面向量的坐标运算,属于中档题.20．在ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且||1,||2AB AC ==u u u r u u u r，120BAC ∠=︒，则||EB =u u u r（ ）A ．4B C ．2D ．4【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得3144EB AB AC =-u u u r u u u r u u u r ,利用22||B EB E =u u r u u u r u 及||1,||2AB AC ==u u u r u u u r ，120BAC ∠=︒计算即可.【详解】因为11131()22244EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-⨯++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以22229311216441||6EB AB AB B AC AC E =-⨯=⨯⋅+u u u r u u u r u u ur u u u r u u r u u u r u 229311112()2168216=⨯-⨯⨯⨯-+⨯ 1916=，所以||4EB =u u u r ，故选：A 【点睛】 本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.。
高三数学平面向量知识点与题型总结(文科)(K12教育文档)
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知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念：①向量:既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量,记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行③单位向量：模为1个单位长度的向量④平行向量（共线向量）:方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法：设,AB a BC b ==,则a+b =AB BC +=AC（1）a a a=+=+00;（2）向量加法满足交换律与结合律；AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连"．3、向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量,叫做a的相反向量②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a与b 的差,③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）4、实数与向量的积:实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下:（Ⅰ）a a⋅=λλ； （Ⅱ)当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同;当0<λ时，λa的方向与a的方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ6、平面向量的基本定理：如果21,e e是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使:2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二。
【配套新教材】高考数学复习人教版课本同步课件：专题七 平面向量 第一讲 平面向量的概念及线性运算
第二轮复习，即专题强化复习阶段
一般从三月份到四月底，由于第一轮复习是以各知识板块为主，横向联 系不多，因此在第二轮复习中应重点突出在知识网络交汇点处的复习。
高考中一般有下面几个专题，即：函数与导函数专题；平面向量与三角 函数专题；平面向量与解析几何专题；空间向量与立体几何专题；概率与统 计专题；数列与不等式专题等；通过这几个版块的复习目标在于提高学生解 答高考解答题的能力。此阶段学生不应沉迷于套卷演练，而应以典型例题为 载体，以数学思想方法的灵活运用为线索，讲求解题策略，使自己在第一轮 复习的基础上，数学素质得以明显提升。值得注意的是在这个阶段当年的《 考试大纲》已经下发了，考生应该仔细阅读《考试大纲》，针对前期的复习 来查漏补缺，特别是对于《大纲》中与往年变动的地方我们一定高度重视， 重点复习，争取在高考复习中面面俱到，不留死角。
这个阶段的复习是整个高考复习中最关键的环节，一般从8月份到第二年的 三月份，历时8个月，这一阶段的复习效果直接影响整个高考的成败，因此同学 们应该高度重视，在第一轮复习中我们必须严格按照《复习大纲》的要求，把 《大纲》中所有的考点逐个进行突破，全面落实，形成完整的知识体系。这就 需要考生要对课本中的基本概念，基本公式，基本方法重点掌握，在复习中应 淡化特殊技巧的训练，重视数学思想和方法的作用。
(a) ()a
乘 向量 a 的积 （2）当 0 来自，a 与 ( )a a a的运算
a 的方向相反；
(a b) a b
当 0 时， a 0
2.共线向量定理 如果向量 （ a a 0）与 b 共线，那么存在唯一一个实数 使得 b=a .
[典型例题]
1. 在平行四边形 ABCD 中,M 为 AB 上任一点,则 AM DM DB 等于( B )
精编2019年高考数学(文科)一轮复习通用版：第七单元 平面向量
第七单元平面向量教材复习课“平面向量”相关基础知识一课过(对应学生用书P59)1．若向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量解析：选C若a与b都是零向量，则a＝b，故选项C正确．2．关于平面向量，下列说法正确的是()A．零向量是唯一没有方向的向量B．平面内的单位向量是唯一的C．方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量D．共线向量就是相等向量解析：选C对于A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A不正确；对于B，单位向量的模为1，其方向可以是任意方向，故B不正确；对于C，方向相反的向量一定是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量，故C正确；对于D，由共线向量和相等向量的定义可知D不正确，故选C.3．下列命题中，正确的个数是()①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；③若a ，b 满足|a |>|b |且a 与b 同向，则a >b ； ④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A 对于①，单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误； 对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误； 对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误；对于④，向量是可以平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故④错误．综上，正确的命题个数是0.[清易错]1．对于平行向量易忽视两点： (1)零向量与任一向量平行．(2)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件． 2．单位向量的定义中只规定了长度没有方向限制． 1．若m ∥n ，n ∥k ，则向量m 与向量k ( ) A ．共线 B ．不共线 C ．共线且同向D ．不一定共线解析：选D 可举特例，当n ＝0时，满足m ∥n ，n ∥k ，故A 、B 、C 选项都不正确，故D 正确．2．设a ，b 都是非零向量，下列四个选项中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是( )A ．a ＝2bB ．a ∥bC ．a ＝－13bD ．a ⊥b解析：选C “a |a|＋b|b|＝0，且a ，b 都是非零向量”等价于“非零向量a ，b 共线且反向”，故答案为C.向量共线定理及平面向量基本定理 1．向量共线定理向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa . 2．平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． [小题速通]1．已知a ，b 是不共线的向量，AB ―→＝λa ＋b ，AC ―→＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1解析：选D ∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB ―→∥AC ―→，设AB ―→＝m AC ―→(m ≠0)，即λa ＋b ＝m a ＋mμb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝m ，1＝mμ，∴λμ＝1. 2．(2018·南宁模拟)已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0，若a ∥b ，则mn 的值为( )A ．－12B.12 C ．－2D ．2解析：选C ∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即m e 1＋2e 2＝λ(n e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m ，－λ＝2，故mn ＝－2.3．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC ―→＝2AE ―→，则EM ―→＝( ) A.12AC ―→＋13AB ―→ B.12AC ―→＋16AB ―→C.16AC ―→＋12AB ―→D.16AC ―→＋32AB ―→ 解析：选C 如图，∵EC ―→＝2AE ―→，∴EM ―→＝EC ―→＋CM ―→＝23AC ―→＋12CB ―→＝23AC ―→＋12(AB ―→－AC ―→)＝16AC ―→＋12AB ―→.[清易错]1．在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． 2．平面向量基本定理指出：平面内任何一个非零向量都可以表示为沿两个不共线的方向分离的两个非零向量的和，并且一旦分解方向确定后，这种分解是唯一的．这一点是易忽视的．1．(2018·大连双基测试)给出下列四个命题： ①两个具有公共终点的向量一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中假命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C ①错误，两向量是否共线是要看其方向而不是起点或终点；②正确，因为向量既有大小，又有方向，故向量不能比较大小，但向量的模均为实数，故可以比较大小；③错误，当a ＝0时，不论λ为何值，都有λa ＝0；④错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ，此时a 与b 可以是任意向量．2.如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP ―→＝x OA ―→＋yOB ―→，且BP ―→＝2PA ―→，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14解析：选A 由题意知OP ―→＝OB ―→＋BP ―→，又BP ―→＝2PA ―→，所以OP ―→＝OB ―→＋23BA ―→＝OB―→＋23(OA ―→－OB ―→)＝23OA ―→＋13OB ―→，所以x ＝23，y ＝13.平面向量的运算1．向量的线性运算向量运算定义 法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ； (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )(1)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． (2)平面向量的坐标运算①向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)， λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.②向量坐标的求法设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB ―→|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. [小题速通]1．(2018·嘉兴测试)在△ABC 中，已知M 是BC 边的中点，设CB ―→＝a ，CA ―→＝b ，则AM ―→＝( )A.12a －b B.12a ＋b C ．a －12bD ．a ＋12b解析：选A AM ―→＝AC ―→＋CM ―→＝－CA ―→＋12CB ―→＝－b ＋12a .2．设D 是线段BC 的中点，且AB ―→＋AC ―→＝4AE ―→，则( )A ．AD ―→＝2AE ―→B ．AD ―→＝4AE ―→C ．AD ―→＝2EA ―→D ．AD ―→＝4EA ―→解析：选A ∵D 是线段BC 的中点， ∴AB ―→＋AC ―→＝2AD ―→， ∵AB ―→＋AC ―→＝4AE ―→， ∴AD ―→＝2AE ―→.3．已知AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，AB ―→＝(2,4)，AC ―→＝(1,3)，则AD ―→＝( ) A ．(－1，－1) B ．(3,7) C ．(1,1)D ．(2,4)解析：选A 由题意可得AD ―→＝BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)． 4．已知A (2,3)，B (4，－3)，且AP ―→＝3AB ―→，则点P 的坐标为________． 解析：设P (x ，y )，∵A (2,3)，B (4，－3)，且AP ―→＝3AB ―→， ∴(x －2，y －3)＝3(2，－6)＝(6，－18)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝6，y －3＝－18，解得x ＝8，y ＝－15， ∴点P 的坐标为(8，－15)． 答案：(8，－15)5．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2,1)，c ＝(3,2)．若向量c 与向量k a ＋b 共线，则实数k ＝________.解析：k a ＋b ＝k (1,3)＋(－2,1)＝(k －2,3k ＋1)， 因为向量c 与向量k a ＋b 共线，所以2(k －2)－3(3k ＋1)＝0，解得k ＝－1. 答案：－16．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA ―→＋OB ―→＋2OC ―→＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为________．解析：∵D 为AB 的中点，∴OA ―→＋OB ―→＝2OD ―→， ∵OA ―→＋OB ―→＋2OC ―→＝0， ∴OC ―→＝－OD ―→， ∴O 是CD 的中点，∴S △AOC ＝S △AOD ＝12S △AOB ＝14S △ABC .答案：4[清易错]1．向量坐标不是向量的终点坐标，与向量的始点、终点有关系．2．数乘向量仍为向量，只是模与方向发生变化，易误认为数乘向量为实数． 3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.1．若向量AB ―→＝(1,2)，BC ―→＝(3,4)，则AC ―→＝( ) A ．(2,2) B ．(－2，－2) C ．(4,6)D ．(－4，－6)解析：选C AC ―→＝AB ―→＋BC ―→＝(4,6)．2．已知向量a ，b 不共线，若AB ―→＝a ＋2b ，BC ―→＝－4a －b ，CD ―→＝－5a －3b ，则四边形ABCD 是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．菱形解析：选A 因为AB ―→＝a ＋2b ，BC ―→＝－4a －b ，CD ―→＝－5a －3b ， 所以AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝－8a －2b ， 所以AD ―→＝2BC ―→，即直线AD 与BC 平行，而向量AB ―→与CD ―→不共线，即直线AB 与CD 不平行， 故四边形ABCD 是梯形．3．(2018·河北联考)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，若a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A ．(－5，－10) B ．(－2，－4) C ．(－3，－6)D ．(－4，－8)解析：选D 由a ∥b ，得m ＋4＝0，即m ＝－4，所以2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．平面向量的数量积[过双基]1．向量的夹角 定义图示范围共线与垂直2．平面向量的数量积3．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉.1．设向量e1，e2是两个互相垂直的单位向量，且a＝2e1－e2，b＝e2，则|a＋2b|＝() A．2 2 B. 5C．2 D．4解析：选B∵向量e1，e2是两个互相垂直的单位向量，∴|e1|＝1，|e2|＝1，e1·e2＝0，∵a＝2e1－e2，b＝e2，∴a＋2b＝2e1＋e2，∴|a＋2b|2＝4e21＋4e1·e2＋e22＝5，∴|a＋2b|＝ 5.2．(2018·云南检测)设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( )A ．－72B ．－12C.32D.52解析：选D 因为a ＋2b ＝(－1＋2m,4)，2a －b ＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以a ·b ＝－1×⎝⎛⎭⎫－12＋2×1＝52. 3．已知|a |＝1，|b |＝2，a ·(a －b )＝3，则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.π6 C.π2D ．π解析：选D 设a 与b 的夹角为θ，由题意知|a |＝1，|b |＝2， ∵a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝12－1×2×c os θ＝3， ∴c os θ＝－1. 又θ∈[0，π]， ∴a 与b 的夹角为π.4．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π3，则|a ＋2b |＝________.解析：∵(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×⎝⎛⎭⎫－12＋4＝4，∴|a ＋2b |＝2. 答案：25．(2018·衡水中学检测)在直角三角形ABC 中，C ＝90°，AB ＝2，AC ＝1，若AD ―→＝32AB ―→，则CD ―→·CB ―→＝________.解析：∵AD ―→＝32AB ―→，∴CD ―→·CB ―→＝(CA ―→＋AD ―→)·CB ―→＝⎝⎛⎭⎫CA ―→＋32 AB ―→·CB ―→＝⎝⎛⎭⎫32CB ―→－12CA ―→·CB ―→＝32CB ―→2， 又∵C ＝90°，AB ＝2，AC ＝1， ∴CB ＝3，∴CD ―→·CB ―→＝92.答案：926．(2018·东北三校联考)已知正方形ABCD 的边长为2，DE ―→＝2EC ―→，DF ―→＝12(DC ―→＋DB ―→)，则BE ―→·DF ―→＝________.解析：如图，以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系．则B (0,0)，E ⎝⎛⎭⎫2，23，D (2,2)． 由DF ―→＝12(DC ―→＋DB ―→)，知F 为BC 的中点，所以F (1,0)，故BE―→＝⎝⎛⎭⎫2，23，DF ―→＝(－1，－2)， ∴BE ―→·DF ―→＝－2－43＝－103.答案：－103[清易错]1．0与实数0的区别：0a ＝0≠0，a ＋(－a )＝0≠0，a ·0＝0≠0. 2．a ·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b . 3．在运用向量夹角时，注意其取值范围为[0，π]． 1．有下列说法：①向量b 在向量a 方向上的投影是向量；②若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角，若a ·b <0，则a 和b 的夹角为钝角； ③(a ·b )c ＝a (b ·c )；④若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0. 其中正确的说法个数为( ) A ．0 B ．3 C ．4 D ．2答案：A2．已知a ＝(1,3)，b ＝(2＋λ，1)，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________． 解析：由题意可得a ·b >0，且a ，b 不共线， 即⎩⎪⎨⎪⎧2＋λ＋3>0，2＋λ1≠13，解得λ>－5，且λ≠－53.答案：⎝⎛⎭⎫－5，－53∪⎝⎛⎭⎫－53，＋∞ 3．已知向量a ，b 满足a ＝(2,0)，|b |＝1，若|a ＋b |＝7，则a 与b 的夹角是________． 解析：由|a ＋b |＝7，得(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝4＋2a ·b ＋1＝7，∴a ·b ＝1，∴|a |·|b |·c os 〈a ，b 〉＝1，∴c os 〈a ，b 〉＝12.又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a ，b 的夹角为π3.答案：π3一、选择题1．(2018·常州调研)已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，则下列结论正确的是( )A ．OA ―→＝13AB ―→＋23BC ―→B ．OA ―→＝23AB ―→＋13BC ―→C ．OA ―→＝13AB ―→－23BC ―→D ．OA ―→＝－23AB ―→－13BC ―→解析：选D ∵OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0， ∴O 为△ABC 的重心，∴OA ―→＝－23×12(AB ―→＋AC ―→)＝－13(AB ―→＋AC ―→)＝－13(AB ―→＋AB ―→＋BC ―→)＝－13(2AB ―→＋BC ―→)＝－23AB ―→－13BC ―→.2．(2018·合肥质检)已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2AC ―→＋CB ―→＝0，则向量OC ―→等于( )A.23OA ―→－13OB ―→ B ．－13OA ―→＋23OB ―→C ．2OA ―→－OB ―→D ．－OA ―→＋2OB ―→解析：选C 因为AC ―→＝OC ―→－OA ―→，CB ―→＝OB ―→－OC ―→， 所以2AC ―→＋CB ―→＝2(OC ―→－OA ―→)＋(OB ―→－OC ―→) ＝OC ―→－2OA ―→＋OB ―→＝0， 所以OC ―→＝2OA ―→－OB ―→.3．已知向量a 与b 的夹角为30°，且|a |＝3，|b |＝2，则|a －b |的值为( )A ．1 B.13 C ．13D.7－2 3解析：选A 由向量a 与b 的夹角为30°，且|a |＝3，|b |＝2， 可得a ·b ＝|a |·|b |·c os 30°＝3×2×32＝3， 所以|a －b |＝(a －b )2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝3＋4－2×3＝1.4．(2018·成都一诊)在边长为1的等边△ABC 中，设BC ―→＝a ，CA ―→＝b ，AB ―→＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝( )A ．－32B ．0 C.32D ．3解析：选A 依题意有a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫－12＝－32. 5．已知非零向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝3，且a 与a ＋b 的夹角为π4，则|b |＝( )A ．6B ．3 2C ．2 2D ．3解析：选D 由非零向量a ，b 满足a ·b ＝0，可知两个向量垂直，由|a |＝3，且a 与a ＋b 的夹角为π4，说明以向量a ，b 为邻边，a ＋b 为对角线的平行四边形是正方形，所以|b |＝3.6．(2017·青岛二模)在平面直角坐标系中，已知向量a ＝(1,2)，a －12b ＝(3,1)，c ＝(x,3)，若(2a ＋b )∥c ，则x ＝( )A ．－2B ．－4C ．－3D ．－1解析：选D 依题意得b ＝2⎣⎡⎦⎤a －⎝⎛⎭⎫a －12b ＝(－4,2)，所以2a ＋b ＝(－2,6)，所以6x ＝－2×3＝－6，x ＝－1.7．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点，且∠AOC ＝π4，且|OC ―→|＝2，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，则λ＋μ＝( )A ．2 2 B. 2 C ．2D ．4 2解析：选A 因为|OC ―→|＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)， 又OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)， 所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.8.已知函数f (x )＝A sin(πx ＋φ)的部分图象如图所示，点B ，C 是该图象与x 轴的交点，过点C 的直线与该图象交于D ，E 两点，则(BD ―→＋BE ―→)·(BE ―→－CE ―→)的值为( )A ．－1B ．－12C.12D ．2解析：选D 注意到函数f (x )的图象关于点C 对称，因此C 是线段DE 的中点，BD ―→＋BE ―→＝2BC ―→.又BE ―→－CE ―→＝BE ―→＋EC ―→＝BC ―→， 且|BC ―→|＝12T ＝12×2ππ＝1，因此(BD ―→＋BE ―→)·(BE ―→－CE ―→)＝2BC ―→2＝2. 二、填空题9．(2018·洛阳一模)若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．解析：∵AB ―→＝(a －1,3)，AC ―→＝(－3,4)， 据题意知AB ―→∥AC ―→， ∴4(a －1)＝3×(－3)， 即4a ＝－5， ∴a ＝－54.答案：－5410．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则DC ―→＝________，BC ―→＝________.(用a ，b 表示)解析：如图，DC ―→＝AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝b －a ，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝－OA ―→－OB ―→＝－a －b .答案：b －a －a －b11．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________．解析：∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3. 答案：－312．若向量a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，a ＋c ＝0，则c 在b 方向上的投影为________． 解析：∵a ＋c ＝0， ∴c ＝－a ＝(－2，－3)，∴c ·b ＝8－21＝－13，且|b |＝65， ∴c 在b 方向上的投影为|c |c os 〈c ，b 〉＝|c |·c ·b |c ||b |＝c ·b |b |＝－1365＝－655.答案：－655三、解答题13．已知向量a ＝(3,0)，b ＝(－5,5)，c ＝(2，k )． (1)求向量a 与b 的夹角； (2)若b ∥c ，求k 的值； (3)若b ⊥(a ＋c )，求k 的值． 解：(1)设向量a 与b 的夹角为θ， ∵a ＝(3,0)，b ＝(－5,5)，∴a ·b ＝3×(－5)＋0×5＝－15，|a |＝3，|b |＝(－5)2＋52＝52， ∴c os θ＝a ·b |a |·|b |＝－153×52＝－22. 又∵θ∈[0，π]， ∴θ＝3π4. (2)∵b ∥c ，∴－5k ＝5×2，∴k ＝－2. (3)∵a ＋c ＝(5，k )，又b ⊥(a ＋c )， ∴b ·(a ＋c )＝0，∴－5×5＋5×k ＝0， ∴k ＝5.14．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，c os x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解：(1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0. 由向量数量积的坐标公式得22sin x －22c os x ＝0， ∴t a n x ＝1.(2)∵m 与n 的夹角为π3，∴m ·n ＝|m |·|n |c os π3，即22sin x －22c os x ＝12， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12. 又∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4， ∴x －π4＝π6，即x ＝5π12.高考研究课(一) 平面向量的基本运算[典例] (1)(2018·济南模拟)在△ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB ＝a ，CA ―→＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD ―→＝( )A.13a －13b B.23a －23b C.35a －35b D.45a －45b(2)在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，则λ＋μ＝________.[解析] (1)∵a ·b ＝0，∴∠ACB ＝90°， ∴AB ＝5，CD ＝255， ∴BD ＝55，AD ＝455，∴AD ∶BD ＝4∶1. ∴AD ―→＝45AB ―→＝45(CB ―→－CA ―→)＝45a －45b .(2)法一：由AB ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，得AB ―→＝λ·12(AD ―→＋AC ―→)＋μ·12(AC ―→＋AB ―→)，则⎝⎛⎭⎫μ2－1AB ―→＋λ2AD ―→＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μ2AC ―→＝0， 得⎝⎛⎭⎫μ2－1AB ―→＋λ2AD ―→＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μ2⎝⎛⎭⎫AD ―→＋12AB ―→ ＝0， 得⎝⎛⎭⎫14λ＋34μ－1AB ―→＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2AD ―→＝0. 因为AB ―→，AD ―→不共线，所以由平面向量基本定理得⎩⎨⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎨⎧λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ＝45.法二：连接MN 并延长交AB 的延长线于T ， 由已知易得AB ＝45AT ，则45AT ―→＝AB ―→＝λAM ―→＋μAN ―→， 即AT ―→＝54λAM ―→＋54μAN ―→，因为T ，M ，N 三点共线，所以54λ＋54μ＝1.故λ＋μ＝45.[答案] (1)D (2)45[方法技巧](1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．[即时演练]1．向量e 1，e 2，a ，b 在正方形网格中的位置如图所示，则a －b ＝( )A ．－4e 1－2e 2B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2解析：选C 结合图形易得，a ＝－e 1－4e 2，b ＝－2e 1－e 2，故a －b ＝e 1－3e 2.2.如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，则λ＋μ的值为( )A.12 B ．－12C ．1D ．－1解析：选A 法一：由题意得AE ―→＝AD ―→＋12AB ―→＝BC ―→＋AB ―→－12AB ―→＝AC ―→－12AB ―→，∴λ＝－12，μ＝1，∴λ＋μ＝12，故选A.法二：利用坐标法，以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，设正方形的边长为1，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，E ⎝⎛⎭⎫12，1，∴AE ―→＝⎝⎛⎭⎫12，1，AB ―→＝(1,0)，AC ―→＝(1,1)，则⎝⎛⎭⎫12，1＝λ(1,0)＋μ(1，1)，∴λ＋μ＝12.平面向量的坐标运算[典例] (1)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若PA ―→＝(4,3)，PQ ―→＝(1,5)，则BC ―→等于( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21)(2)(2018·绍兴模拟)已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN ―→＝－3a ，则点N 的坐标为( )A ．(2,0)B ．(－3,6)C ．(6,2)D ．(－2,0)[解析] (1)由题意，AC ―→＝2AQ ―→＝2(PQ ―→－PA ―→)＝2(－3,2)＝(－6,4)，PC ―→＝AC ―→－AP ―→＝(－6,4)－(－4，－3)＝(－2,7)，∵BP ―→＝2PC ―→，∴BC ―→＝3PC ―→＝(－6,21)．(2)MN ―→＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3,6)， 设N (x ，y )，则MN ―→＝(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －5＝－3，y ＋6＝6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.[答案] (1)B (2)A [方法技巧]向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．[即时演练]1．若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c ＝( ) A ．－12a ＋32bB.12a －32b C.32a －12b D ．－32a ＋12b解析：选B 设c ＝λ1a ＋λ2b ，则(－1,2)＝λ1(1,1)＋λ2(1，－1)＝(λ1＋λ2，λ1－λ2)，所以λ1＋λ2＝－1，λ1－λ2＝2，解得λ1＝12，λ2＝－32，所以c ＝12a －32b .2．已知向量a ＝(1,1)，点A (3,0)，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点．若AB ―→∥a ，则点B 的坐标为________．解析：设B (x,2x )，AB ―→＝(x －3,2x )． ∵AB ―→∥a ，∴x －3－2x ＝0，解得x ＝－3，∴B (－3，－6)． 答案：(－3，－6)共线向量定理及应用平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，难度较小，属低档题.,常见的命题角度有：(1)利用向量共线求参数或点的坐标； (2)利用向量共线解决三点共线问题. 1．若向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x,6)共线，则实数x ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．6解析：选B ∵a ∥b ，∴2×6－4x ＝0，解得x ＝3.2．已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1，2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．解析：∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ，∴DC ―→＝2AB ―→.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC ―→＝(4－x ，2－y )，AB ―→＝(1，－1)，∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)． 答案：(2,4)3．已知平面向量a ＝(1，m )，b ＝(2,5)，c ＝(m,3)，且(a ＋c )∥(a －b )，则m ＝________. 解析：因为a ＝(1，m )，b ＝(2,5)，c ＝(m,3)， 所以a ＋c ＝(1＋m ，m ＋3)，a －b ＝(－1，m －5)． 又(a ＋c )∥(a －b )，所以(1＋m )(m －5)＋(m ＋3)＝0，即m 2－3m －2＝0， 解得m ＝3＋172或m ＝3－172. 答案：3±172[方法技巧]1．利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．2．利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．角度二：利用向量共线解决三点共线问题4．(2018·南阳五校联考)已知向量OA ―→＝(1，－3)，OB ―→＝(2，－1)，OC ―→＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则k ＝________.解析：若点A ，B ，C 不能构成三角形，则向量AB ―→，AC ―→共线， ∵AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC ―→＝OC ―→－OA ―→＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)， ∴1×(k ＋1)－2k ＝0，解得k ＝1. 答案：15．设两个非零向量a 与b 不共线，若AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线．证明：因为AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3(a －b )， 所以BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝5(a ＋b )＝5AB ―→. 所以AB ―→，BD ―→共线．又它们有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线． [方法技巧]三点共线问题的求解策略解决点共线或向量共线问题时，要结合向量共线定理进行，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两个向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．1．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5D ．2解析：选A 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，D (0,2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，点C 到直线BD 的距离为222＋12＝25，所以圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝45.因为P 在圆C 上，所以P ⎝⎛⎭⎫1＋255cos θ，2＋255sin θ.又AB ―→＝(1,0)，AD ―→＝(0,2)，AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→＝(λ，2μ)，所以⎩⎨⎧1＋255cos θ＝λ，2＋255sin θ＝2μ，λ＋μ＝2＋255c os θ＋55sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.2．(2015·全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ―→＝3CD ―→，则( ) A ．AD ―→＝－13AB ―→＋43AC ―→B ．AD ―→＝13AB ―→－43AC ―→C ．AD ―→＝43AB ―→＋13AC ―→D ．AD ―→＝43AB ―→－13AC ―→解析：选A AD ―→＝AC ―→＋CD ―→＝AC ―→＋13BC ―→＝AC ―→＋13(AC ―→－AB ―→)＝43AC ―→－13AB ―→＝－13AB ―→＋43AC ―→.3．(2015·全国卷Ⅰ)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC ―→＝(－4，－3)，则向量BC ―→＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4)D ．(1,4)解析：选A 法一：设C (x ，y )， 则AC ―→＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC ―→＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)． 法二：AB ―→＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．4．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. 解析：∵|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2， ∴a ·b ＝0.又a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，∴m ＋2＝0，∴m ＝－2.答案：－25．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 解析：∵a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ， ∴－2m －4×3＝0，∴m ＝－6. 答案：－66．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________. 解析：∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎨⎧λ＝12，t ＝12.答案：127．(2014·全国卷Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，则AB ―→与AC―→的夹角为________．解析：由AO ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，可得O 为BC 的中点，故BC 为圆O 的直径，所以AB ―→与AC ―→的夹角为90°.答案：90°一、选择题1.(2018·长春模拟)如图所示，下列结论正确的是( ) ①PQ ―→＝32a ＋32b ；②PT ―→＝32a －b ；③PS ―→＝32a －12b ；④PR ―→＝32a ＋b .A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④解析：选C ①根据向量的加法法则，得PQ ―→＝32a ＋32b ，故①正确；②根据向量的减法法则，得PT ―→＝32a －32b ，故②错误；③PS ―→＝PQ ―→＋QS ―→＝32a ＋32b －2b ＝32a －12b ，故③正确；④PR ―→＝PQ ―→＋QR ―→＝32a ＋32b －b ＝32a ＋12b ，故④错误，故选C.2．(2018·长沙一模)已知向量OA ―→＝(k,12)，OB ―→＝(4,5)，OC ―→＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A ．－23B.43C.12D.13解析：选A AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝(4－k ，－7)， AC ―→＝OC ―→－OA ―→＝(－2k ，－2)． ∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB ―→，AC ―→共线，∴－2×(4－k )＝－7×(－2k )， 解得k ＝－23.3．(2018·嘉兴调研)已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA ―→＋OB ―→＋CO ―→＝0，则△ABC 的内角A 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选A 由OA ―→＋OB ―→＋CO ―→＝0得，OA ―→＋OB ―→＝OC ―→，由O 为△ABC 外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知，四边形OACB 为菱形，且∠CAO ＝60°，故A ＝30°.4．若OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，a 与b 不共线，则∠AOB 平分线上的向量OM ―→为( ) A.a |a |＋b |b | B.a ＋b |a ＋b | C.|b |a －|a |b |a |＋|b |D ．λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a |a |＋b |b |，λ由OM ―→确定解析：选D 以OM 为对角线，以OA ―→，OB ―→方向为邻边作平行四边形OCMD ，∵OM 平分∠AOB ，∴平行四边形OCMD 是菱形．设OC ＝OD ＝λ， 则OC ―→＝λa |a |，OD ―→＝λb |b |，∴OM ―→＝OC ―→＋OD ―→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a |a |＋b |b |，且λ由OM ―→确定．5．设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC ―→＝2BD ―→，CE ―→＝2EA ―→，AF ―→＝2FB ―→，则AD ―→＋BE ―→＋CF ―→与BC ―→( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直解析：选A 由题意得AD ―→＝AB ―→＋BD ―→＝AB ―→＋13BC ―→，BE ―→＝BA ―→＋AE ―→＝BA ―→＋13AC ―→，CF ―→＝CB ―→＋BF ―→＝CB ―→＋13BA ―→，因此AD ―→＋BE ―→＋CF ―→＝CB ―→＋13(BC ―→＋AC ―→－AB ―→)＝CB ―→＋23BC ―→＝－13BC ―→，故AD ―→＋BE ―→＋CF ―→与BC ―→反向平行．6.如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM ―→＝x AB ―→，AN ―→＝y AC ―→，则xy x ＋y 的值为( )A ．3 B.13 C ．2D.12解析：选B 利用三角形的性质，过重心作平行于底边BC 的直线，易得x ＝y ＝23，则xy x ＋y ＝13. 7．(2018·兰州模拟)已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角θ＝( )A.π6 B.π4 C.π3D.5π12解析：选B 因为a ∥b ，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×12＝0，得sin 2θ＝12，所以sin θ＝±22，故锐角θ＝π4.8．已知△ABC 是边长为4的正三角形，D ，P 是△ABC 内的两点，且满足AD ―→＝14(AB―→＋AC ―→)，AP ―→＝AD ―→＋18BC ―→，则△APD 的面积为( )A.34B.32C. 3 D ．2 3解析：选A 法一：取BC 的中点E ，连接AE ，由于△ABC 是边长为4的正三角形，则AE ⊥BC ，AE ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，又AD ―→＝14(AB ―→＋AC ―→)，所以点D 是AE 的中点，AD ＝ 3.取AF ―→＝18BC ―→，以AD ，AF 为邻边作平行四边形，可知AP ―→＝AD ―→＋18BC ―→＝AD ―→＋AF ―→.而△APD 是直角三角形，AF ＝12，所以△APD 的面积为12×12×3＝34.法二：以A 为原点，以BC 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．∵等边三角形ABC 的边长为4， ∴B (－2，－23)，C (2，－23)，由题知AD ―→＝14(AB ―→＋AC ―→)＝14[(－2，－23)＋(2，－23)]＝(0，－3)，AP ―→＝AD ―→＋18BC ―→＝(0，－3)＋18(4,0)＝⎝⎛⎭⎫12，－3， ∴△ADP 的面积为S ＝12|AD ―→|·|DP ―→|＝12×3×12＝34.二、填空题9．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC ―→＝5e 1，DC ―→＝3e 2，则OC ―→＝________.(用e 1，e 2表示)解析：在矩形ABCD 中，因为O 是对角线的交点，所以OC ―→＝12AC ―→＝12(AB ―→＋AD ―→)＝12(DC ―→＋BC ―→)＝12(5e 1＋3e 2)＝52e 1＋32e 2.答案：52e 1＋32e 210．已知S 是△ABC 所在平面外一点，D 是SC 的中点，若BD ―→＝x AB ―→＋y AC ―→＋z AS ―→，则x ＋y ＋z ＝________.解析：依题意得BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝12(AS ―→＋AC ―→)－AB ―→＝－AB ―→＋12AC ―→＋12AS ―→，因此x＋y ＋z ＝－1＋12＋12＝0.答案：011．(2018·贵阳模拟)已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(1,1)，且a ∥b ，则向量a 的坐标是________．解析：设a ＝(x ，y )，∵平面向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(1,1)，且a ∥b ， ∴x 2＋y 2＝1，且x －y ＝0，解得x ＝y ＝±22.∴a ＝⎝⎛⎭⎫22，22或⎝⎛⎭⎫－22，－22.答案：⎝⎛⎭⎫22，22或⎝⎛⎭⎫－22，－2212.在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝1，AB＝2，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 上变动(如图所示)，若AP ―→＝λED ―→＋μAF ―→，其中λ，μ∈R ，则2λ－μ的取值范围是________．解析：以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，E (1，0)，D (0,1)，F ⎝⎛⎭⎫32，12，设P (c os α，sin α)(0°≤α≤90°)， ∵AP ―→＝λED ―→＋μAF ―→，∴(c os α，sin α)＝λ(－1,1)＋μ⎝⎛⎭⎫32，12 ＝⎝⎛⎭⎫－λ＋32μ，λ＋μ2， ∴c os α＝－λ＋32μ，sin α＝λ＋μ2，∴λ＝14(3sin α－c os α)，μ＝12(c os α＋sin α)，∴2λ－μ＝sin α－c os α＝2sin(α－45°)， ∵0°≤α≤90°， ∴－45°≤α－45°≤45°， ∴－22≤sin(α－45°)≤22， ∴－1≤2sin(α－45°)≤1，∴2λ－μ的取值范围是[－1,1]． 答案：[－1,1] 三、解答题13.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ―→＝23AD ―→，AB ―→＝a ，AC ―→＝b . (1)用a ，b 表示向量AD ―→，AE ―→，AF ―→，BE ―→，BF ―→； (2)求证：B ，E ，F 三点共线． 解：(1)延长AD 到G ，使AD ―→＝12AG ―→，连接BG ，CG ，得到平行四边形ABGC ，所以AG ―→＝a ＋b ， AD ―→＝12AG ―→＝12(a ＋b )，AE ―→＝23AD ―→＝13(a ＋b )，AF ―→＝12AC ―→＝12b ，BE ―→＝AE ―→－AB ―→＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )，BF ―→＝AF ―→－AB ―→＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)证明：由(1)可知BE ―→＝23BF ―→，又因为BE ―→，BF ―→有公共点B ， 所以B ，E ，F 三点共线．14．(2018·郑州模拟)平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4,1)． (1)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k 的值；(2)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d 的坐标． 解：(1)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， 由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－1613.(2)设d ＝(x ，y )，则d －c ＝(x －4，y －1)， 又a ＋b ＝(2,4)，|d －c |＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4(x －4)－2(y －1)＝0，(x －4)2＋(y －1)2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3. ∴d 的坐标为(3，－1)或(5,3)．15.如图，在△OAB 中，OC ―→＝14OA ―→，OD ―→＝12OB ―→，AD 与BC 交于点M ，设OA ―→＝a ，OB ―→＝b .(1)用a ，b 表示OM ―→；(2)在线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过M 点，设OE ―→＝p OA ―→，OF ―→＝qOB ―→，求证：17p ＋37q＝1.解：(1)设OM ―→＝x a ＋y b ，由OC ―→＝14OA ―→，得OM ―→＝4x OC ―→＋y b ，∵C ，M ，B 三点共线， ∴4x ＋y ＝1.①由OD ―→＝12OB ―→，得OM ―→＝x a ＋2y OD ―→，∵A ，M ，D 三点共线， ∴x ＋2y ＝1，②联立①②得，x ＝17，y ＝37.∴OM ―→＝17a ＋37b .(2)证明：∵OE ―→＝p OA ―→，OF ―→＝qOB ―→， ∴OA ―→＝1p OE ―→，OB ―→＝1q OF ―→， ∴OM ―→＝17·1p OE ―→＋37·1q OF ―→.∵E ，M ，F 三点共线， ∴17p ＋37q＝1.1．已知点P 是△ABC 的中位线EF 上任意一点，且EF ∥BC ，实数x ，y 满足PA ―→＋x PB ―→＋y PC ―→＝0，设△ABC ，△PBC ，△PCA ，△PAB 的面积分别为S ，S 1，S 2，S 3，记S 1S ＝λ1，S 2S ＝λ2，S 3S＝λ3，则λ2·λ3取最大值时，3x ＋y 的值为( ) A.12 B.32 C ．1D ．2解析：选D 由题意可知λ1＋λ2＋λ3＝1.∵P 是△ABC 的中位线EF 上任意一点，且EF ∥BC ， ∴λ1＝12，∴λ2＋λ3＝12，∴λ2λ3≤⎝⎛⎭⎫λ2＋λ322＝116， 当且仅当λ2＝λ3＝14时取等号，∴λ2·λ3取最大值时，P 为EF 的中点． 延长AP 交BC 于M ，则M 为BC 的中点， ∴PA ＝PM ，∴PA ―→＝－PM ―→＝－12(PB ―→＋PC ―→)，又∵PA ―→＋x PB ―→＋y PC ―→＝0， ∴x ＝y ＝12，∴3x ＋y ＝2.2.如图，在Rt △ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足BP ―→＝12PC ―→，点M ，N 在过点P 的直线上，若AM ―→＝λAB ―→，AN ―→＝μAC ―→(λ>0，μ>0)，则λ＋2μ的最小值为( )A ．2 B.83 C ．3D.103解析：选B ∵AM ―→＝λAB ―→，AN ―→＝μAC ―→(λ>0，μ>0)， ∴MB ―→＝MP ―→＋PB ―→＝(1－λ)AB ―→. ∵M ，P ，N 三点共线，∴存在实数k ，使MP ―→＝kMN ―→＝k (AN ―→－AM ―→)＝－kλAB ―→＋kμAC ―→. ∵BP ―→＝12PC ―→，∴PB ―→＝13CB ―→＝13AB ―→－13AC ―→.∴MP ―→＋PB ―→＝⎝⎛⎭⎫13－kλAB ―→＋⎝⎛⎭⎫kμ－13AC ―→＝(1－λ)AB ―→， ∴⎩⎨⎧13－kλ＝1－λ， ①kμ－13＝0， ②由②得，k ＝13μ代入①得，13－λ3μ＝1－λ，∴μ＝λ3λ－2，∴λ＋2μ＝λ＋2λ3λ－2.设f (λ)＝λ＋2λ3λ－2，λ>0， ∴f ′(λ)＝9λ2－12λ(3λ－2)2，令f ′(λ)＝0，得λ＝0或λ＝43. 当λ∈⎝⎛⎭⎫0，43时，f ′(λ)<0，当λ∈⎝⎛⎭⎫43，＋∞时，f ′(λ)>0. ∴λ＝43时，f (λ)取极小值，也是最小值，又f ⎝⎛⎭⎫43＝83，∴f (λ)的最小值为83， 即λ＋2μ的最小值为83.高考研究课(二) 平面向量的数量积及应用 [全国卷5年命题分析][典例] (1)已知等边△ABC 的边长为2，若BC ＝3BE ，AD ＝DC ，则BD ―→·AE ―→等于( )A ．－2B ．－103C ．2D.103(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ―→·CB ―→的值为______；DE ―→·DC ―→的最大值为________．[解析] (1)如图所示，BD ―→·AE ―→＝(AD ―→－AB ―→)·(AB ―→＋BE ―→)＝⎝⎛⎭⎫12AC ―→－AB ―→ ·⎝⎛⎭⎫AB ―→＋13 AC ―→－13AB ―→＝⎝⎛⎭⎫12AC ―→－AB ―→·⎝⎛⎭⎫13AC ―→＋23AB ―→＝16AC ―→2－23AB ―→2＝16×4－23×4＝－2. (2)法一：如图，DE ―→·CB ―→＝(DA ―→＋AE ―→)·CB ―→＝DA ―→·CB ―→＋AE ―→·CB ―→＝DA ―→2＝1， DE ―→·DC ―→＝(DA ―→＋AE ―→)·DC ―→ ＝DA ―→·DC ―→＋AE ―→·DC ―→＝AE ―→·DC ―→＝|AE ―→|·|DC ―→|≤|DC ―→|2＝1，故DE ―→·DC ―→的最大值为1.法二：以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1，0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (t,0)，t ∈[0,1]，则DE ―→＝(t ，－1)，CB ―→＝(0，－1)，所以DE ―→·CB ―→＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC ―→＝(1,0)，所以DE ―→·DC ―→＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1， 故DE ―→·DC ―→的最大值为1. 法三：由图知，无论E 点在哪个位置，DE ―→在CB ―→方向上的投影都是CB ＝1， ∴DE ―→·CB ―→＝|CB ―→|·1＝1.当E 运动到B 点时，DE ―→在DC ―→方向上的投影最大，即为DC ＝1， ∴(DE ―→·DC ―→)m a x ＝|DC ―→|·1＝1. [答案] (1)A (2)1 1 [方法技巧]平面向量数量积的2种运算方法1．(2016·天津高考)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF ―→·BC ―→的值为( )A ．－58B.18C.14D.118解析：选B 如图所示，AF ―→＝AD ―→＋DF ―→. 又D ，E 分别为AB ，BC 的中点， 且DE ＝2EF ，所以AD ―→＝12AB ―→，DF ―→＝12AC ―→＋14AC ―→＝34AC ―→，所以AF ―→＝12AB ―→＋34AC ―→.又BC ―→＝AC ―→－AB ―→，则AF ―→·BC ―→＝⎝⎛⎭⎫12AB ―→＋34AC ―→·(AC ―→－AB ―→)＝12AB ―→·AC ―→－12AB ―→2＋34AC ―→2－34AC ―→·AB ―→ ＝34AC ―→2－12AB ―→2－14AC ―→·AB ―→. 又|AB ―→|＝|AC ―→|＝1，∠BAC ＝60°， 故AF ―→·BC ―→＝34－12－14×1×1×12＝18.2．(2018·豫东名校联考)如图，BC 是单位圆A 的一条直径，F 是线段AB 上的点，且BF ―→＝3FA ―→，若DE 是圆A 中绕圆心A 运动的一条直径，则FD ―→·FE ―→的值是________．解析：FD ―→·FE ―→＝(FA ―→＋AD ―→)·(FA ―→＋AE ―→)＝(FA ―→＋AD ―→)·(FA ―→－AD ―→)＝FA ―→2－AD ―→2＝⎝⎛⎭⎫142－1＝－1516. 答案：－15161．(2017·浙江高考)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________．解析：法一：由向量三角不等式得，|a ＋b |＋|a －b |≥|(a ＋b )－(a －b )|＝|2b |＝4. 又|a ＋b |＋|a －b |2≤(a ＋b )2＋(a －b )22＝a 2＋b 2＝5，∴|a ＋b |＋|a －b |的最大值为2 5.法二：设a ，b 的夹角为θ. ∵|a |＝1，|b |＝2，∴|a ＋b |＋|a －b |＝a 2＋b 2＋(a －b )2 ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ. 令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ， 则y 2＝10＋225－16cos 2θ.∵θ∈[0，π]，∴c os 2θ∈[0,1]，∴y 2∈[16,20]，∴y ∈[4,2 5 ]，即|a ＋b |＋|a －b |的最小值为4，最大值为2 5. 答案：4 2 52．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，设向量c 满足(2a －c )·(3b －c )＝0，则|c |的最大值为________．解析：设c ＝(x ，y )，2a －c ＝(2－x,2－y )，3b －c ＝(－3－x,3－y )，则由题意得(2－x )·(－3－x )＋(2－y )·(3－y )＝0，即⎝⎛⎭⎫x ＋122＋⎝⎛⎭⎫y －522＝132，表示以⎝⎛⎭⎫－12，52为圆心，262为半径的圆，所以|c |的最大值为26.答案：26 [方法技巧]利用数量积求解长度问题的处理方法(1)a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a·a . (2)|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a·b ＋b 2. (3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.[提醒] 与模有关的最值或范围问题要注意抓住模的几何意义及数形结合思想的应用． 角度二：平面向量的夹角3．已知单位向量e 1与e 2的夹角为60°，则|e 1－2e 2|＝________. 解析：∵单位向量e 1与e 2的夹角为60°， ∴|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|·c os 60°＝12，∴|e 1－2e 2|＝e 21－4e 1e 2＋4e 22＝1－2＋4＝ 3.答案： 34．(2018·洛阳期末)已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．解：∵a 与a ＋λb 均为非零向量，且夹角为锐角， ∴a ·(a ＋λb )>0，即(1,2)·(1＋λ，2＋λ)>0. ∴(1＋λ)＋2(2＋λ)>0. ∴λ>－53.当a 与a ＋λb 共线时， 存在实数m ，使a ＋λb ＝m a ， 即(1＋λ，2＋λ)＝m (1,2)，。
2023年高考数学(文科)一轮复习课件——平面向量基本定理及坐标表示
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( × )
(2)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋
μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )
(3)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件可以表示成xx12＝yy12.( × )
索引
5.(易错题)已知 A(－1，3)，B(2，－1)，则与向量A→B共线的单位向量是 ___±__35_，__－__54________. 解析 ∵A→B＝(2，－1)－(－1，3)＝(3，－4)， ∴|A→B|＝5.故与向量A→B共线的单位向量坐标为±35，－54.
索引
8 6.(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝____5____.
1.(2021·西安调研)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，O→A＝ 23，21，若O→A绕
点 O 逆时针旋转 60°得到向量O→B，则O→B＝( A )
A.(0，1)
B.(1，0)
C. 23，－12
D.12，－
3 2
解析 ∵O→A＝ 23，12，∴O→A与 x 轴的夹角为 30°，
依题意，向量O→B与 x 轴的夹角为 90°，
索引
感悟提升
1.两平面向量共线的充要条件有两种形式： (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0； (2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb. 2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当 两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.
索引
(山东专用)高考数学总复习 (教材回扣夯实双基+考点探究+把脉高考)第四章第2课时 平面向量的基
(1,2)， → → → BD ＝AD －AB＝(1,2)－(1,3)＝(0，－1)．
答案：(1,2)
(0，－1)
4．(2011· 高考湖南卷 )设向量 a，b 满足|a| ＝2 5，b＝(2,1)，且 a 与 b 的方向相反， 则 a 的坐标为________．
解析：∵ a 与 b 方向相反， ∴可设 a＝λb(λ<0)， ∴a＝λ(2,1)＝ (2λ， λ)． 由|a|＝ 5λ2＝ 2 5， 解得 λ＝－ 2，故 a＝(－4，－2)．
点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说
法错误的是( )
→ → → A.AC＝ AB＋AD → → → B.BD ＝AD －AB → 1→ 1→ C.AO ＝ AB＋ AD 2 2 → 5→ → D.AE＝ AB＋AD 3
【解析】
由向量加法的三角形法则知：
→ → → → → → → → AC＝AB＋ BC＝AB＋AD ，BD ＝ AD －AB 都正确，排除 A、 B； 由向量加法的平行四边形法则知： → 1→ 1→ 1 → AO ＝ AC＝ AB＋ AD ，排除 C.故选 D. 2 2 2
是相等的向量；
②向量的坐标与表示该向量的有向线段的始 点、终点的具体位置无关，只与其相对位置 有关系．
3．平面向量的坐标运算 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝ x1±x2，y1±y2 ； (______________)
→ (2)若 A(x1， y1)， B(x2，y2)，则AB＝ (
第2课时
平面向量的基本定理及坐标 表示
教材回扣夯实双基
基础梳理
1．平面向量的基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，
那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中不共线的 向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一 组基底．
济南市高考数学备考复习(文科)专题七：平面向量A卷
济南市高考数学备考复习（文科）专题七：平面向量 A 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 18 题；共 36 分)1. （ 2 分 ） 如 图 ， 平 行 六 面 体 ABCD-A1B1C1D1 中 ， 侧 棱 B1B 长 为 3 ， 底 面 是 边 长 为 2 的 菱 形 ， 点 E 在棱 B1B 上,则 AE+C1E 的最小值为（ ）A. B.5 C. D.7 2. （2 分） (2019 高三上·凉州期中) 已知点 上的投影为（ ），则向量 在 方向A. B.C.D. 3. （2 分） 向量( ＋)＋(＋)＋等于（ ）第 1 页 共 14 页A.B.C.D.4. （ 2 分 ） 设 向 量 与 的 夹 角 为 ， 定 义 与 的 “ 向 量 积 ” ：，若，则=（ ）是一个向量，它的模A. B.2C. D.45. （2 分） 已知平面上不共线的四点 O,A,B,C,若则（）A.B. C.1 D.26. （2 分） (2018 高一上·石家庄月考) 在 则 （）中，若点 满足A.第 2 页 共 14 页，且，B.C.D. 7. （2 分） (2017 高一上·辛集期末) 已知向量 =（1，0）， =（0，1）， =k + （k∈R）， = ﹣ ，如果 ∥ ，那么（ ） A . k=1 且 c 与 d 同向 B . k=1 且 c 与 d 反向 C . k=﹣1 且 c 与 d 同向 D . k=﹣1 且 c 与 d 反向 8. （2 分） 向量 =（1，2，3），则| |=（ ）A.B.C.D.9. （2 分） 在所在的平面内，点， 则（ ）满足A.B.C.D.第 3 页 共 14 页， 且对于任意实数 ， 恒有10. （2 分） (2016 高三上·思南期中) 在△ABC 中，AB=2，AC=1， = ，则 • 的值为（ ）A.B.C.D. 11. （2 分） 若平面向量 a＝(1，x)和 b＝(2x＋3，－x)互相平行，其中 x∈R，则|a－b|＝（ ）A.2B . 2或2C . －2 或 0D . 2 或 1012. （2 分） 、 、 为非零向量，λ、μ 为实数，则命题：① =λ ⇒ 、 共线； ② ∥ ⇒ =λ ； ③ 、 、 在一个平面内⇒ =λ +μ ． 其中真命题的个数为（ ）A.0B.1C.2D.313. （2 分） 若 =2 ，=﹣3 ，| |=| |，则四边形 ABCD 是（ ）第 4 页 共 14 页A . 平行四边形 B . 梯形 C . 等腰梯形 D . 菱形14. （2 分） (2017 高三上·连城开学考) 已知 夹角为锐角，则 p 是 q 成立的（ ）A . 充要条件 B . 充分而不必要的条件 C . 必要而不充分的条件 D . 既不充分也不必要的条件 15. （2 分） 以下命题：均为非零向量，条件 p：，条件 q： 与 的①如果向量 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么 的关系是不共线；②O,A,B,C 为空间四点，且向量 是空间的一个基底，则向量不构成空间的一个基底，那么点 O,A,B,C 一定共面；③已知向量 也是空间的一个基底.其中正确的命题是（ ）A . ①②B . ①③C . ②③D . ①②③16. （2 分） (2020·河南模拟) 如图，在等腰直角中， ， 分别为斜边近点 ），过 作 的垂线，垂足为 ，则（）第 5 页 共 14 页的三等分点（ 靠A. B.C.D.17. （2 分） 设 是已知的平面向量且， 关于向量 的分解，有如下四个命题：①给定向量 ， 总存在向量 ， 使；②给定向量 和 ， 总存在实数 和 ， 使；③给定单位向量 和正数 ， 总存在单位向量 和实数 ， 使；④给定正数 和 ， 总存在单位向量 和单位向量 ， 使；上述命题中的向量 ， 和 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.418. （2 分） 已知向量 =（1，2）， =（1，0）， =（3，4）．若 λ 为实数，（ +λ ）∥ ， 则 λ=（ ）第 6 页 共 14 页A.B. C.1 D.2二、 填空题 (共 6 题；共 6 分)19. （1 分） (2016 高一下·赣榆期中) 化简：20. （1 分） 已知，，=________．，且，则 m+n=________．21. （1 分） (2017·杭州模拟) 在△ABC 和△AEF 中，B 是 EF 的中点，AB=EF=1，BC=6， ，则 与 的夹角的余弦值等于________．，若22.（1 分）(2018 高三上·广东月考) 已知向量 ________.，若且方向相反，则23. （1 分） (2016 高二下·汕头期末) 设 O 点在△ABC 内部，且有 △AOC 的面积的比值为________．，则△ABC 的面积与24. （1 分） (2016 高一上·镇海期末) 在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是 CD 和 BC 的中点，若 =x +y （x，y∈R），则 2x+y=________；若 =λ +μ （λ，μ∈R），则 3λ+3μ=________．三、 综合题 (共 5 题；共 55 分)25. （10 分） (2019 高三上·大庆期中) 如图，已知椭圆 ：左顶点为 ，上顶点为 ，点 在椭圆上，且的周长为.的离心率为 ， 的第 7 页 共 14 页（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设是椭圆 上两不同点，，求的取值范围.，直线与 轴， 轴分别交于两点，且26. （15 分） (2018 高一上·佛山期末) 如图，已知矩形，，点，且，设.，点 为矩形内一（1） 当时，求的值；（2） 求的最大值.27. （10 分） (2016 高二上·东莞开学考) 计算题（1） 已知 cos（ +x）= ，（＜x＜ ），求的值．（2） 若 ， 是夹角 60°的两个单位向量，求 =2 + 与 =﹣3 +2 的夹角．28. （10 分） (2016 高一下·抚顺期末) 设连续掷两次骰子得到的点数分别为 m、n，令平面向量，．（1） 求使得事件“”发生的概率；第 8 页 共 14 页（2） 求使得事件“”发生的概率；（3） 使得事件“直线与圆（x﹣3）2+y2=1 相交”发生的概率．29. （10 分） 已知 A（2，﹣4），B（﹣1，3），C（3，4），若 =2 +3 ， 求点 M 的坐标．第 9 页 共 14 页一、 单选题 (共 18 题；共 36 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、 13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 10 页 共 14 页16-1、17-1、18-1、二、填空题 (共6题；共6分) 19-1、20-1、21-1、22-1、23-1、24-1、三、综合题 (共5题；共55分)25-1、26-1、26-2、27-1、27-2、28-1、28-2、28-3、29-1、。
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山东省高考数学备考复习（文科）专题七：平面向量
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 单选题 (共 18 题；共 36 分)
1. （2 分） (2019 高三上·山西月考) 在
中，
为
边上的中线，点 满足
，
则
（）
A.
B.
C.
D. 2. （2 分） 已知 夹角范围（ ）
A.
， 且关于 x 的函数
在 R 上有极值，则 与 的
B.
C.
D. 3. （2 分） 下列命题中正确的是（ ） A.
B.
C.
第 1 页 共 12 页
D.
4. （2 分） (2019 高一上·株洲月考) 设 ， 是平面内的两个单位向量，且夹角为
，则
等于（ ）
A.
B. C.1 D.5 5. （2 分） (2018 高一下·北京期中) 下列向量的线性运算正确的是（ ） A. B. C. D.
6. （2 分） (2019 高一下·揭阳期中) 若向量
，
，则 等于（ ）
A.
B.
C.
D. 7. （2 分） 若 , 为单位向量，则下面各式中，正确的是（ ）
A . =1
B . 2= 2
第 2 页 共 12 页
C . - =0
D . | |-| |= 8. （2 分） (2019 高三上·新洲月考) 若在直线 上存在不同的三点
有解（ ） ，则方程解集为（ ） A. B . {-1} C.
，使得关于 的方程
D.
9. （2 分） (2018 高三上·深圳月考) 已知平面向量 , 的夹角为 ,且
,
,则
（）
A.1
B.2
C. D.3 10. （2 分） 在四边形 ABCD 中，若 = ， 则四边形 ABCD 是（ ） A . 矩形 B . 菱形 C . 正方形 D . 平行四边形 11. （2 分） 已知向量 = (1,2 ), = (2,-3 )，若向量 满足( + )// , ⊥( + ),则 =（ ）
第 3 页 共 12 页
A.( , )
B . (- ,- )
C.( , )
D . (- ,- )
12. （2 分） (2020·日照模拟) 设 m，n 为非零向量，则“存在正数 ，使得 的（ ）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充分必要条件
D . 既不充分也不必要条件
13. （2 分） (2020 高三上·泸县期末)
中所在的平面上的点 满足
”是“
”
，则
（）
A.
B. C.
D.
14. （2 分） 在
中，
,
，则
面积为（ ）
A. B. C.
第 4 页 共 12 页
D. 15. （2 分） (2016 高一下·南沙期末) 设平面向量 =（1，2）， =（﹣2，y），若 ∥ ，则|2 ﹣ |等于（ ） A.4 B.5 C. D. 16. （2 分） D 是△ABC 的边 BC 上的一点，且 BD= BC，设 = ， = ，则 等于（ ） A. （ ﹣ ） B. （ ﹣ ） C . （2 + ） D . （2 ﹣ ） 17. （2 分） (2017 高一上·武汉期末) 一质点受到平面上的三个力 F1 ， F2 ， F3（单位：牛顿）的作用而 处于平衡状态．已知 F1 ， F2 成 60°角，且 F1 ， F2 的大小分别为 2 和 4，则 F3 的大小为（ ） A.6 B.2 C.2 D.2 18. （2 分） A 是△ABC 的一个内角， =（2sinA，1）， =（cosA，3），若 ∥ ，则 tanA=（ ） A.6
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B.
C.
D.
二、 填空题 (共 6 题；共 6 分)
19. （1 分） (2020 高一下·北京期中) 设 为
的边 的中点，
，则
________．
20. （1 分） 设 e1、e2 是两个不共线的向量， 则 k＝________.
＝2e1＋ke2 ，
＝e1＋3e2 ， 若 A、B、C 三点共线，
21. （1 分） (2019·全国Ⅲ卷理) 已知 a，b 为单位向量，且 a-b=0，若 c=2a- b，则 cos<a，c>=________。
22. （1 分） (2019 高三上·吴中月考) 设向量 ________．
，若
，则实数 的值为
23. （1 分） (2016 高二上·上海期中) 若向量 、 满足| |=2，且 与 的夹角为 方向上的投影为________．
，则 在
24. （1 分） (2017 高一上·红桥期末) 在△ABC 中，点 M，N 满足
=2
，=
．若
=x
+y ，则 x+y=________．
三、 综合题 (共 5 题；共 55 分)
25. （10 分） (2017 高二上·如东月考) 在平面直角坐标系
中，椭圆 的焦点为
，
，且经过点
.
（1） 求椭圆 的标准方程；
（2） 若点 在椭圆上，且
，求 的值.
26. （15 分） (2020·淄博模拟) 已知椭圆
第 6 页 共 12 页
的短轴长为
，左右焦点分别为
， ，点 B 是椭圆上位于第一象限的任一点，且当
时，
.
（1） 求椭圆 C 的标准方程；
（2） 若椭圆 C 上点 A 与点 B 关于原点 O 对称，过点 B 作 于另一点 M，交 y 轴于点 N.
垂直于 x 轴，垂足为 D，连接
并延长交
（ⅰ）求
面积最大值；
（ⅱ）证明：直线 与
斜率之积为定值.
27. （10 分） 已知向量 ， 的夹角为 120°，且
．
（Ⅰ）当 （Ⅱ）当
时，求实数 m 的值； 时，求向量 和 的夹角．
28. （10 分） (2020 高一下·永济期中) 在四边形
中，已知
，
，
，
.
（1） 判断四边形
的形状；
（2） 若
，求向量 与
夹角的余弦值.
29. （10 分） (2019 高一上·北碚月考) 已知
．
（1） 求
的值；
（2） 若
，求
．
第 7 页 共 12 页
一、 单选题 (共 18 题；共 36 分)
1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、 13-1、 14-1、 15-1、 16-1、
参考答案
第 8 页 共 12 页
17-1、 18-1、
二、 填空题 (共 6 题；共 6 分)
19-1、 20-1、 21-1、 22-1、 23-1、 24-1、
三、 综合题 (共 5 题；共 55 分)
25-1、
25-2、
第 9 页 共 12 页
26-1、
26-2、
第 10 页 共 12 页
27-1、28-1、
28-2、29-1、
29-2、。