2013《运筹学》考试题及其答案

2012-2013学年第1学期《运筹学》考试题答案

要求:第一题必做（50分），二三四题任选两题（每题各25分）。 一、 考虑下面线性规划问题

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+=++=0

,3322634133..4min 212121

2121x x x x x x x x t s x x z ）

（）

（）（ （1） 用图解法求解该问题； （2） 写出该问题的标准形式；

（3） 求出该问题的松弛变量和剩余变量的

值；

（4） 用单纯形法求解。 【解答】(1)图中阴影部分为此线性规划问题的

可行域,目标函数214x x z +=,即z x x +-=124是斜率为4-的一族平行直线,由线性规划的性质知,其最值在可行域的顶点取得,将直线214x x z +=沿其法线方向逐渐向上平移,直至A

点,A 点的坐标为(56,53),所以5

1856534min =+⨯=z

此线性规划问题有唯一解5

6

5321==x x ，。

(2)给等式（2）左端添加剩余变量3x ，给等式（3）左端添加松弛变量4x ，则得到该问题的标

准型为：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥=++=-+=+++--=0

,,,3,322,6341,

33..004max 4321421321214321x x x x x x x x x x x x t s x x x x z ）

（）（）（ （3）在上面标准型中令5

6

5321==x x ，，得到剩余变量3x =0，松弛变量4x =0。

（4）先在上面标准型中约束条件(1)、（2）中分别加入人工变量5x ,6x ，得到如下数学模型，

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥=++=+-+=++--++--=0

,,,,,3,322,6341,

33..004max 6543214216321521654321x x x x x x x x x x x x x x x x t s Mx Mx x x x x z ）

（）（）（ 由此列出单纯形表逐步迭代，用大M 法求解计算结果如下表所示。

表中所有检验数r j ≤0,根据最优解定理，问题存在唯一的最优解T )0,0,0,0,5

6

,53(X =，目标函

数的最优值5

18

56534max =+⨯=z 。

销量 6 2 7 7

【解答】：显然该问题是一个供需平衡问题，利用伏格法求出初始方案，如下表所示。

B1

B2

B3

B4

产量

A1 6 4 8 8 4 6 A2 9 2 5 6 2 3 4 A3

3

11

7

4

5 2

12 销量

6 2

7 7

用位势法求出各非基变量（即空格）的检验数，如下表所示。

B1

B2 B3

B4

i u

A1 6 4 (3) 8 (3) 8 (1) 4 1u =0 A2 (5) 9 2 5 (1) 6 2 3 2u =0 A3

3

(7)

11

7

4

5

2

3u =－1

j v

1v =4 2v =5 3v =5 4v 3

因为所有非基变量的检验数均为非负的，故表中的解为最优解。按照此种方案调运，最小费用为：6×4+2×5+2×3+0×3+7×4+5×2= 78

三、 用标号算法求解下图中从V 1到各点的最短路

【解答】：此为最短路问题，权数为正，用Dijksta 算法的计算步骤如下：

1v 2v 3v 4v 5v 6v 7v 8v 9v 10v 11v

初始值

T( ) {0}

∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

1

P( )+w ij 0+2 0+8

0+∞ 0+∞ 0+∞ 0+∞ 0+∞ 0+∞ 0+∞

0+∞

由上表的迭代过程可得： q S {1v ， 2v ，5v ，9v ，3v ，6v ，8v ， 7v ，4v ， 10v ，11v } d(1v ,2v )=2,最短路：（1v ,2v ）； d(1v ,5v )=3,最短路：（1v ,2v ,5v ）； d(1v ,9v )=4,最短路：（1v ,2v ,5v ,9v ）；d(1v ,6v )=10,最短路：（1v ,2v ,5v ,9v ,6v ）； d(1v ,3v )=8,最短路：（1v ,3v ）或（1v ,2v ,3v ）或（1v ,2v ,5v ,3v ）；

d(1v ,8v )=11,最短路：（1v ,2v ,5v ,9v ,8v ）；d(1v ,7v )=14最短路：（1v ,2v ,5v ,9v ,6v ,7v ）； d(1v ,4v )=15,最短路：（1v ,3v ,4v ）或（1v ,2v ,3v ,4v ）或（1v ,2v ,5v ,3v ,4v ）； d(1v ,10v )=15,最短路：（1v ,2v ,5v ,9v ,6v ,7v ,10v ）； d(1v ,11v )=19,最短路：（1v ,2v ,5v ,9v ,6v ,7v ,10v ,11v ）；

四、 某公司面对四种自然状态的三种备选行动方案收益表如下，假定状态概率未知，

试分别用悲观准则、等可能性准则、后悔值准则和乐观系数准则（α=0.6）进行决策。

【解答】：（1）应用悲观准则：

∵{}36,3,1-max ,12}min{1,4,10,3}min{4,14,8

,-6}min{15,8,0max ==⎪⎭

⎪

⎬⎫

⎪⎩⎪⎨⎧∴S 2为最佳方案。 (2)应用等可能性准则：∵4

17

)60815(41)(1=

-++=

A E , 429)38144(41)(2=

+++=A E , 427

)121041(41)(3=+++=A E , )(4

29}427,429,417max{2A E == ，∴S 2为最佳方案。

（3）应用后悔值准则：先求出后悔值矩阵

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=00101492011181060B ∵11}14,11,18{min }0,0,10,14max{}9,2,0,11max{}18,10,6,0max{min ==⎪

⎭⎪

⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧ ∴S 2为最佳方案。

(4)应用乐观系数准则（α=0.6）：先计算各个方案的折中益损值：

6.664.0156.0)(1=-⨯+⨯=）（A E ， 6.934.0146.0)(2=⨯+⨯=A E ， 6.714.0126.0)(3=⨯+⨯=A E ，

∵)(6.9}6.7,6.9,6.6{m 2A E ax == ∴S 2为最佳方案

已知下表为求解某目标函数为极大化线性规划问题的最终单纯形表，表中5

4,x x

(1)写出原线性规划问题；（4分） (2)写出原问题的对偶问题；（3分）

(3)直接由上表写出对偶问题的最优解。（1分）

四、用单纯形法解下列线性规划问题（16分）

3212max x x x Z +-=