2013《运筹学》考试题及其答案

2012-2013学年第1学期《运筹学》考试题答案要求:第一题必做（50分），二三四题任选两题（每题各25分）。

一、 考虑下面线性规划问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+=++=0,3322634133..4min 2121212121x x x x x x x x t s x x z ）（）（）（ （1） 用图解法求解该问题； （2） 写出该问题的标准形式；（3） 求出该问题的松弛变量和剩余变量的值；（4） 用单纯形法求解。

【解答】(1)图中阴影部分为此线性规划问题的可行域,目标函数214x x z +=,即z x x +-=124是斜率为4-的一族平行直线,由线性规划的性质知,其最值在可行域的顶点取得,将直线214x x z +=沿其法线方向逐渐向上平移,直至A点,A 点的坐标为(56,53),所以51856534min =+⨯=z此线性规划问题有唯一解565321==x x ，。

(2)给等式（2）左端添加剩余变量3x ，给等式（3）左端添加松弛变量4x ，则得到该问题的标准型为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++=-+=+++--=0,,,3,322,6341,33..004max 4321421321214321x x x x x x x x x x x x t s x x x x z ）（）（）（ （3）在上面标准型中令565321==x x ，，得到剩余变量3x =0，松弛变量4x =0。

（4）先在上面标准型中约束条件(1)、（2）中分别加入人工变量5x ,6x ，得到如下数学模型，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++=+-+=++--++--=0,,,,,3,322,6341,33..004max 6543214216321521654321x x x x x x x x x x x x x x x x t s Mx Mx x x x x z ）（）（）（ 由此列出单纯形表逐步迭代，用大M 法求解计算结果如下表所示。

表中所有检验数r j ≤0,根据最优解定理，问题存在唯一的最优解T )0,0,0,0,56,53(X =，目标函数的最优值51856534max =+⨯=z 。

销量 6 2 7 7【解答】：显然该问题是一个供需平衡问题，利用伏格法求出初始方案，如下表所示。

B1B2B3B4产量A1 6 4 8 8 4 6 A2 9 2 5 6 2 3 4 A3311745 212 销量6 27 7用位势法求出各非基变量（即空格）的检验数，如下表所示。

B1B2 B3B4i uA1 6 4 (3) 8 (3) 8 (1) 4 1u =0 A2 (5) 9 2 5 (1) 6 2 3 2u =0 A33(7)1174523u =－1j v1v =4 2v =5 3v =5 4v 3因为所有非基变量的检验数均为非负的，故表中的解为最优解。

按照此种方案调运，最小费用为：6×4+2×5+2×3+0×3+7×4+5×2= 78三、 用标号算法求解下图中从V 1到各点的最短路【解答】：此为最短路问题，权数为正，用Dijksta 算法的计算步骤如下：1v 2v 3v 4v 5v 6v 7v 8v 9v 10v 11v初始值T( ) {0}∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞1P( )+w ij 0+2 0+80+∞ 0+∞ 0+∞ 0+∞ 0+∞ 0+∞ 0+∞0+∞由上表的迭代过程可得： q S {1v ， 2v ，5v ，9v ，3v ，6v ，8v ， 7v ，4v ， 10v ，11v } d(1v ,2v )=2,最短路：（1v ,2v ）； d(1v ,5v )=3,最短路：（1v ,2v ,5v ）； d(1v ,9v )=4,最短路：（1v ,2v ,5v ,9v ）；d(1v ,6v )=10,最短路：（1v ,2v ,5v ,9v ,6v ）； d(1v ,3v )=8,最短路：（1v ,3v ）或（1v ,2v ,3v ）或（1v ,2v ,5v ,3v ）；d(1v ,8v )=11,最短路：（1v ,2v ,5v ,9v ,8v ）；d(1v ,7v )=14最短路：（1v ,2v ,5v ,9v ,6v ,7v ）； d(1v ,4v )=15,最短路：（1v ,3v ,4v ）或（1v ,2v ,3v ,4v ）或（1v ,2v ,5v ,3v ,4v ）； d(1v ,10v )=15,最短路：（1v ,2v ,5v ,9v ,6v ,7v ,10v ）； d(1v ,11v )=19,最短路：（1v ,2v ,5v ,9v ,6v ,7v ,10v ,11v ）；四、 某公司面对四种自然状态的三种备选行动方案收益表如下，假定状态概率未知，试分别用悲观准则、等可能性准则、后悔值准则和乐观系数准则（α=0.6）进行决策。

【解答】：（1）应用悲观准则：∵{}36,3,1-max ,12}min{1,4,10,3}min{4,14,8,-6}min{15,8,0max ==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∴S 2为最佳方案。

(2)应用等可能性准则：∵417)60815(41)(1=-++=A E , 429)38144(41)(2=+++=A E , 427)121041(41)(3=+++=A E , )(429}427,429,417max{2A E == ，∴S 2为最佳方案。

（3）应用后悔值准则：先求出后悔值矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00101492011181060B ∵11}14,11,18{min }0,0,10,14max{}9,2,0,11max{}18,10,6,0max{min ==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧ ∴S 2为最佳方案。

(4)应用乐观系数准则（α=0.6）：先计算各个方案的折中益损值：6.664.0156.0)(1=-⨯+⨯=）（A E ， 6.934.0146.0)(2=⨯+⨯=A E ， 6.714.0126.0)(3=⨯+⨯=A E ，∵)(6.9}6.7,6.9,6.6{m 2A E ax == ∴S 2为最佳方案已知下表为求解某目标函数为极大化线性规划问题的最终单纯形表，表中54,x x(1)写出原线性规划问题；（4分） (2)写出原问题的对偶问题；（3分）(3)直接由上表写出对偶问题的最优解。

（1分）四、用单纯形法解下列线性规划问题（16分）3212max x x x Z +-=s. t. 3 x1 + x2 + x3≤60x 1- x 2 +2 x 3≤10x 1+x 2-x 3≤20x 1,x 2 ,x 3≥0五、求解下面运输问题。

（18分）某公司从三个产地A1、A2、A3将物品运往四个销地B1、B2、B3、B4，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如表所示：问：应如何调运，可使得总运输费最小?六、灵敏度分析（共8分）线性规划max z = 10x1 + 6x2 + 4x3s.t. x1 + x2 + x3 ≤10010x1 +4 x2 + 5 x3 ≤6002x1 +2 x2 + 6 x3 ≤300x1 , x2 , x3 ≥0(1)C1在何范围内变化，最优计划不变？(4分)(2)b1在什么范围内变化，最优基不变？(4分)七、试建立一个动态规划模型。

（共8分）某工厂购进100台机器，准备生产p1 , p2 两种产品。

若生产产品p1 ，每台机器每年可收入45万元，损坏率为65%；若生产产品p2 ，每台机器每年可收入35万元，损坏率为35%；估计三年后将有新的机器出现，旧的机器将全部淘汰。

试问每年应如何安排生产，使在三年内收入最多？八、求解对策问题。

（共10分）某种子商店希望订购一批种子。

据已往经验，种子的销售量可能为500，1000，1500或2000公斤。

假定每公斤种子的订购价为6元，销售价为9元，剩余种子的处理价为每公斤3元。

要求：（1）建立损益矩阵；（3分）（2）用悲观法决定该商店应订购的种子数。

（2分）（3）建立后悔矩阵，并用后悔值法决定商店应订购的种子数。

（5分） 九、求下列网络计划图的各时间参数并找出关键问题和关键路径。

（8分）二、建线性规划模型。

共计8分（酌情扣分）解：用321,,x x x 分别表示大豆、玉米、麦子的种植公顷数；54,x x 分别表示奶牛和鸡的饲养数；76,x x 分别表示秋冬季和春夏季的劳动力（人日）数，则有7654321252020900460041003000max x x x x x x x Z ++++++=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤≤≤+++++≤+++++≤+≤+++)7,,2,1(0)(1500)(200)(40003.0504017550)(35006.010*******)(150003400)(1005.154754321654321544321Λj x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j鸡舍限制牛栏限制劳动力限制劳动力限制资金限制土地限制三、对偶问题。

共计8分 解：（１）原线性规划问题：3211026max x x x z +-=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤+0,103522132122x x x x x x x ；……4分（２）原问题的对偶规划问题为：21105min y y w +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+-≥-≥0,1022632121212y y y y y y y ； ……3分（３）对偶规划问题的最优解为：)2,4(=*Y T 。

……1分 四、单纯形表求解线性规划。

共计16分 解：引入松弛变量x 4、 x 5、 x 6，标准化得，3212max x x x Z +-=s. t. 3 x 1 + x 2 + x 3+ x 4 = 60 x 1- x 2 +2 x 3 + x 5 = 10 x 1+ x 2- x 3 + x 6 = 0x 1, x 2 , x 3， x 4、 x 5、 x 6，≥0……………3分由最优单纯形表可知，原线性规划的最优解为： ( 15 , 5 , 0 )T …2分最优值为： z*=25。

………2分五、求解运输问题。

共计18分 解：（1）最小元素法：（也可以用其他方法，酌情给分） 设x ij 为由A i 运往B j 的运量（i=1,2,3; j=1,2,3,4）,分 所以，基本的初始可行解为：x 14 =25； x 22=20 ； x 24 =5 ；X 31 =15； x 33 =30； x 34=5其余的x ij=0。

…………3分（2）求最优调运方案：1会求检验数，检验解的最优性：σ11=2；σ12=2；σ13=3；σ21=1；σ23=5；σ32= - 1…………3分2分…3分3再次检验 …………2分 4能够写出正确结论解为：x 14=25 ； x 22 =15 ； x 24 =10 x 31 =15， x 32 =5 x 33=30其余的x ij=0。