高中数学-圆的方程测试题
人教A版高中数学必修2第四章《圆与方程》测试题(含答案)
由于 ，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而 .
因为ON的斜率为3，所以 的斜率为 ，故 的方程为 .
又 ，O到 的距离为 ， ，所以 的面积为 .
21．(1).由已知得过点 的圆的切线斜率的存在,
设切线方程为 ,即 .
则圆心 到直线的距离为 ,
A． B．
C． D．
5．一条光线从点 射出，经 轴反射后与圆 相切，则反射光线所在直线的斜率为（）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
6．已知圆 截直线 所得线段的长度是 ，则圆 与圆 的位置关系是（ ）
A．内切B．相交C．外切D．相离
7．已知方程 ，则 的最大值是（ ）
A．14－ B．14＋ C．9D．14
A．4B．6C． D．
12．已知直线 ： 是圆 的对称轴.过点 作圆 的一条切线，切点为 ，则 （ ）
A．2B． C．6D．
二、填空题
13．已知两点 ，以线段 为直径的圆的方程为________________.
14．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是_______
15．已知 为直线 上一点，过 作圆 的切线，则切线长最短时的切线方程为__________．
当 的斜率不存在， 的斜率等于0时， 与圆 不相交， 与圆 不相交.
当 、 的斜率存在且都不等于0，两条直线分别与两圆相交时，设 、 的方程分别为 ，即 .
因为 到 的距离 ，
到 的距离 ，所以 到 的距离与 到 的距离相等.
所以圆 与圆 的半径相等，所以 被圆 截得的弦长与 被圆 截得的弦长恒相等.
综上所述，过点 任作互相垂直的两条直线分别与两圆相交，所得弦长恒相等.
高中数学必修2圆的方程单元检测题
高中数学必修2圆的方程单元检测题一、 知识要点1、 圆心为),(b a C ，半径为r 的圆的标准方程为：2、 .特殊地，当0==b a 时，圆心在原点的圆的方程为： .3、 圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x ，圆心为点 ，半径r = ，其中0422>-+F E D .4、 二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax ，表示圆的方程的充要条件是：5、设圆222)()(γ=-+-b y a x ；直线0=++C By Ax判断直线与圆的位置关系的两种方法分别是 ；6、设两圆的半径分别为R ，γ)(γ>R 、圆心距为d ，判断两圆的位置关系的两种方法分别是 ；7、过圆1C ：011122=++++F y E x D y x 和直线0=++C By Ax 的交点的圆系方程是8、过圆1C ：011122=++++F y E x D y x 和圆2C ：022222=++++F y E x D y x 的交点的圆系方程是 11122F y E x D y x +++++0)(22222=++++F y E x D y x λ)1(-≠λ，1-≠λ时，消去22,y x 得过两圆交点的直线方程．基础训练1.以两点A(-3,-1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是（ ）A 、100)2()1(22=++-y xB 、100)2()1(22=-+-y xC 、25)2()1(22=-+-y xD 、25)2()1(22=+++y x2.0≠=C A 且0=B 是方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的（ ）A.充分非必要条件 B 、必要非充分条件C 、充要条件D 、既非充分也非必要条件3.圆心为(1,2)且与直线51270x y --=相切的圆的方程为 ． 4.圆1)1()2(22=-+-y x 关于A (1,2)对称的圆的方程为 。
高中数学同步练习 圆的一般方程
第四章 4.1.2A 级 基础巩固一、选择题1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( D ) A ．(2,3) B ．(－2,3) C ．(－2,－3)D ．(2,－3)[解析] 圆的一般程化成标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13,可知圆心坐标为(2,－3)．2．(2018·本溪市高一期中)若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称,则k,b 的值分别为( A )A ．12,－4 B ．－12,4C ．12,4 D ．－12,－4[解析] 由题意知直线y ＝kx 与2x ＋y ＋b ＝0垂直,且直线2x ＋y ＋b ＝0过圆心,∴⎩⎪⎨⎪⎧k·－2＝－1，2×2＋0＋b ＝0,解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12b ＝－4.3．(2018～2019·长沙高一检测)已知圆C 过点M(1,1),N(5,1),且圆心在直线y ＝x －2上,则圆C 的方程为( A )A ．x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0 B ．x 2＋y 2＋6x －2y ＋6＝0 C ．x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋6＝0 D ．x 2＋y 2－2x －6y ＋6＝0[解析] 由条件知,圆心C 在线段MN 的中垂线x ＝3上,又在直线y ＝x －2上,∴圆心C(3,1),半径r ＝|MC|＝2.方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4,即x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0. 故选A ．4．(2018·大连期末)圆心是C(2,－3),且经过原点的圆的方程为( D ) A ．x 2＋y 2＋4x －6y ＋1＝0 B ．x 2＋y 2－4x ＋6y ＋1＝0 C ．x 2＋y 2＋4x －6y ＝0 D ．x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0[解析] 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0,因为圆C 经过原点,所以F ＝0,又圆心为(2,－3),所以D＝－4,E ＝6.因此,所求圆的方程是x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0.5．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22,则a 的值为( C ) A ．－2或2 B ．12或32 C ．2或0D ．－2或0[解析] 化圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5,则由圆心(1,2)到直线x －y ＋a ＝0距离为22,得|1－2＋a|2＝22,∴a ＝2或0. 6．圆x 2＋y 2－2y －1＝0关于直线y ＝x 对称的圆的方程是( A ) A ．(x －1)2＋y 2＝2 B ．(x ＋1)2＋y 2＝2 C ．(x －1)2＋y 2＝4D ．(x ＋1)2＋y 2＝4[解析] 圆x 2＋y 2－2y －1＝0的圆心坐标为(0,1),半径r ＝2,圆心(0,1)关于直线y ＝x 对称的点的坐标为(1,0),故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.二、填空题7．(2018·山东省潍坊市期中)若点(1,2)在圆x 2＋y 2－ax －2y ＋2＝0外,则实数a 的取值范围是(－∞,－2)∪(2,3).[解析] 若x 2＋y 2－ax －2y ＋2＝0表示圆,则(－a 2)＋(－2)2－4×2＞0,解得a ＜－2或a ＞2.若点(1,2)在圆x 2＋y 2－ax －2y ＋2＝0外,则12＋22－a －2×2＋2＞0,解得a ＜3,所以实数a 的取值范围为(－∞,－2)∪(2,3)．8．圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋39＝0关于直线3x －4y ＋5＝0对称的圆的一般方程是x 2＋y 2－8x ＋4y ＋19＝0.[解析] 圆C 的方程可化为(x ＋2)2＋(y －6)2＝1,易知圆心C(－2,6),半径r ＝1.设所求的对称圆为圆C′：(x －a)2＋(y －b)2＝1,则⎩⎪⎨⎪⎧b －6a ＋2＝－43，3×a －22－4×b ＋62＋5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－2，所以圆C′的方程为(x －4)2＋(y ＋2)2＝1,即x 2＋y 2－8x ＋4y ＋19＝0.三、解答题9．判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆,若能表示圆,求出圆心和半径． [解析] 解法一：由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0, 可知D ＝－4m,E ＝2m,F ＝20m －20,∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2,因此,当m ＝2时,D 2＋E 2－4F ＝0,它表示一个点,当m≠2时,D 2＋E 2－4F>0,原方程表示圆的方程,此时,圆的圆心为(2m,－m),半径为r ＝12D 2＋E 2－4F ＝5|m －2|.解法二：原方程可化为(x －2m)2＋(y ＋m)2＝5(m －2)2,因此,当m ＝2时,它表示一个点, 当m≠2时,原方程表示圆的方程．此时,圆的圆心为(2m,－m),半径为r ＝5|m －2|. 10．求过点A(－1,0)、B(3,0)和C(0,1)的圆的方程． [解析] 解法一：设圆的方程为 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(*)把A 、B 、C 三点坐标代入方程(*)得 ⎩⎪⎨⎪⎧1－D ＋F ＝09＋3D ＋F ＝01＋E ＋F ＝0,∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2E ＝2F ＝－3.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0解法二：线段AB 的中垂线方程为x ＝1,线段AC 的中垂线方程为x ＋y ＝0,由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x ＋y ＝0,得圆心坐标为M(1,－1),半径r ＝|MA|＝5,∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝5.B 级 素养提升一、选择题1．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限,那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( D ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] 圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为(a,－32b),则a<0,b>0.直线y ＝－1a x －b a ,其斜率k ＝－1a >0,在y 轴上的截距为－ba >0,所以直线不经过第四象限,故选D ．2．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD,则四边形ABCD 的面积为( B )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2[解析] 圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0化成标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10,则圆心坐标为M(1,3),半径长为10.由圆的几何性质可知：过点E 的最长弦AC 为点E 所在的直径,则|AC|＝210.BD 是过点E 的最短弦,则点E 为线段BD 的中点,且AC ⊥BD,E 为AC 与BD 的交点,则由垂径定理可是|BD|＝2|BM|2－|ME|2＝210－[1－02＋3－12]＝2 5.从而四边形ABCD 的面积为12|AC||BD|＝12×210×25＝10 2.3．已知圆C ：(x －a)2＋(y －b)2＝1过点A(1,0),则圆C 的圆心的轨迹是( D ) A ．点 B ．直线 C ．线段D ．圆[解析] ∵圆C ：(x －a)2＋(y －b)2＝1过点A(1,0),∴(1－a)2＋(0－b)2＝1,即(a －1)2＋b 2＝1,故圆C 的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心,1为半径的圆．4．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长,则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( B )A ． 5B ．5C ．2 5D ．10[解析] 由题意,得直线l 过圆心M(－2,－1), 则－2a －b ＋1＝0,则b ＝－2a ＋1,所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5, 所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.二、填空题5．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上,则a ＝－2.[解析] 由题意可知直线l ：x －y ＋2＝0过圆心, ∴－1＋a2＋2＝0,∴a ＝－2.6．若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0,则x 2＋y 2的最大值是5＋3.[解析] 关键是搞清式子x 2＋y 2的意义．实数x,y 满足方程x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0,所以(x,y)为方程所表示的曲线上的动点.x 2＋y 2＝x －02＋y －02,表示动点(x,y)到原点(0,0)的距离．对方程进行配方,得(x ＋2)2＋(y －1)2＝9,它表示以C(－2,1)为圆心,3为半径的圆,而原点的圆内．连接CO 交圆于点M,N,由圆的几何性质可知,MO 的长即为所求的最大值．7．(2018·天津)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.[解析] 方法一 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0),则⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝0，即圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.方法二 设圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2,则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝r 2①1－a 2＋1－b 2＝r 2 ②2－a 2＋b 2＝r 2 ③，,由①－③,得a＝1,代入②,得(1－b)2＝r 2,结合①,得b ＝0,所以r 2＝1,故圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1,即x 2＋y 2－2x ＝0.方法三 记A(0,0),B(2,0),C(1,1),连接AB,由圆过点A(0,0),B(2,0),知AB 的垂直平分线x ＝1必过圆心．连接BC,又圆过点C(1,1),BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12,BC 所在直线的斜率k BC ＝－1,所以BC 的垂直平分线为直线y ＝x －1,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，x ＝1，得圆心的坐标为(1,0),半径为1,故圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1,即x 2＋y 2－2x ＝0.三、解答题8．设圆的方程为x 2＋y 2＝4,过点M(0,1)的直线l 交圆于点A 、B,O 是坐标原点,点P 为AB 的中点,当l 绕点M 旋转时,求动点P 的轨迹方程．[解析] 设点P 的坐标为(x,y)、A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)． 因为A 、B 在圆上,所以x 21＋y 21＝4,x 22＋y 22＝4, 两式相减得x 21－x 22＋y 21－y 22＝0,所以(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 当x 1≠x 2时,有x 1＋x 2＋(y 1＋y 2)·y 1－y 2x 1－x 2＝0,①并且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22，y －1x ＝y 1－y 2x 1－x 2，②将②代入①并整理得x 2＋(y －12)2＝14.③当x 1＝x 2时,点A 、B 的坐标为(0,2)、(0,－2),这时点P 的坐标为(0,0)也满足③. 所以点P 的轨迹方程为x 2＋(y －12)2＝14.9．已知方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4＋9＝0表示一个圆． (1)求实数m 的取值范围； (2)求该圆的半径r 的取值范围； (3)求圆心C 的轨迹方程． [解析] (1)要使方程表示圆,则 4(m ＋3)2＋4(1－4m 2)2－4(16m 4＋9)＞0, 即4m 2＋24m ＋36＋4－32m 2＋64m 4－64m 4－36＞0, 整理得7m 2－6m －1＜0,解得－17＜m ＜1.(2)r ＝124m ＋32＋41－4m 22－416m 4＋9＝－7m 2＋6m ＋1＝－7m －372＋167. ∴0＜r≤477.(3)设圆心坐标为(x,y),则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋3y ＝4m 2－1.消去m 可得(x －3)2＝14(y ＋1)．∵－17＜m ＜1,∴207＜x ＜4.故圆心C 的轨迹方程为(x －3)2＝14(y ＋1)(207＜x ＜4)．。
高中数学高考总复习圆的方程习题及详解
高中数学高考总复习圆的方程习题及详解一、选择题1．(文)(2010·山东潍坊)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋⎝⎛⎭⎫y －732＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D.⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －1)2＝1 [答案] B[解析] 依题意设圆心C (a,1)(a >0)，由圆C 与直线4x －3y ＝0相切得，|4a －3|5＝1，解得a ＝2，则圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1，故选B.(理)(2010·厦门三中阶段训练)以双曲线x 26－y 23＝1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－23x ＋2＝0B ．(x －3)2＋y 2＝9C ．x 2＋y 2＋23x ＋2＝0D ．(x －3)2＋y 2＝3[答案] D[解析] 双曲线右焦点F (3,0)，渐近线方程y ＝±22x ，故圆半径r ＝3，故圆方程为(x－3)2＋y 2＝3.2．已知两点A (－1,0)，B (0,2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△P AB 面积的最大值与最小值分别是( )A ．2，12(4－5)B.12(4＋5)，12(4－5) C.5，4－ 5D.12(5＋2)，12(5－2) [答案] B[解析] 如图圆心(1,0)到直线AB ：2x －y ＋2＝0的距离为d ＝45，故圆上的点P 到直线AB 的距离的最大值是45＋1，最小值是45－1.又|AB |＝5，故△P AB 面积的最大值和最小值分别是2＋52，2－52.3．(文)(2010·延边州质检)已知圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝1上一点P 到直线3x －4y －3＝0距离为d ，则d 的最小值为( )A ．1 B.45 C.25D ．2[答案] A[解析] ∵圆心C (－1,1)到直线3x －4y －3＝0距离为2，∴d min ＝2－1＝1.(理)(2010·安徽合肥六中)已知圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －2y ＋1＝0，当圆心C 到直线kx ＋y ＋4＝0的距离最大时，k 的值为( )A.13B.15 C ．－13D ．－15[答案] D[解析] 圆C 的方程可化为(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，所以圆心C 的坐标为(－1,1)，又直线kx ＋y ＋4＝0恒过点A (0，－4)，所以当圆心C 到直线kx ＋y ＋4＝0的距离最大时，直线CA 应垂直于直线kx ＋y ＋4＝0，直线CA 的斜率为－5，所以－k ＝15，k ＝－15.4．方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示的圆的充要条件是( ) A.14<m <1 B ．m >1 C ．m <14D ．m <14或m >1[答案] D[解析] ∵方程表示圆∴16m 2＋4－20m >0，∴m <14或m >1.5．已知f (x )＝(x －1)(x ＋2)的圆象与x 轴、y 轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点．则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是( )A ．(0,1)B ．(0，－1)C ．(0，2)D ．(0，22) [答案] A[解析] f (x )的图象与x 轴交于点A (1,0)，B (－2,0)，与y 轴交于点C (0，－2)，设过A 、B 、C 三点的圆与y 轴另一个交点为D (0，a )，易知a ＝1.6．(2010·北京海淀区)已知动圆C 经过点F (0,1)，并且与直线y ＝－1相切，若直线3x －4y ＋20＝0与圆C 有公共点，则圆C 的面积( )A ．有最大值πB ．有最小值πC ．有最大值4πD ．有最小值4π[答案] D[解析] 由于圆经过点F (0,1)且与直线y ＝－1相切，所以圆心C 到点F 与到直线y ＝－1的距离相等，由抛物线的定义知点C 的轨迹方程为x 2＝4y ，设C 点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，x 024，∵⊙C 过点F ，∴半径r ＝|CF |＝(x 0－0)2＋⎝⎛⎭⎫x 024－12＝x024＋1，直线3x －4y ＋20＝0与圆C 有公共点，即转化为点⎝⎛⎭⎫x 0，x 024到直线3x －4y ＋20＝0的距离d ＝|3x 0－4×x 024＋20|5≤x 024＋1，解得x 0≥103或x 0≤－2，从而得圆C 的半径r ＝x 024＋1≥2，故圆的面积有最小值4π. 7．(文)已知a ≠b ，且a 2sin θ＋a cos θ－π4＝0，b 2sin θ＋b cos θ－π4＝0，则连结(a ，a 2)，(b ，b 2)两点的直线与单位圆的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定[答案] A[解析] ∵A (a ，a 2)，B (b ，b 2)都在直线x cos θ＋y sin θ－π4＝0上，原点到该直线距离d ＝⎪⎪⎪⎪－π4sin 2θ＋cos 2θ＝π4<1，故直线AB 与单位圆相交．(理)(2010·温州中学)设圆过双曲线x 29－y 216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离为( )A ．4 B.163 C.473D ．5[答案] B[解析] 由题意知圆心在双曲线顶点和焦点连线的垂直平分线上，顶点A 1(－3,0)，A 2(3,0)，焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)，A 1F 1的垂直平分线x ＝－4，代入双曲线方程中得，y ＝±473，∴圆心⎝⎛⎭⎫－4，473到双曲线中心距离为d ＝(－4－0)2＋⎝⎛⎭⎫473－02＝163，A 1F 2的中垂线x＝1与双曲线无交点，故选B.8．(2010·吉林省质检)圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，0)C ．(－4，＋∞)D ．(4，＋∞)[答案] A[解析] ∵方程x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0表示圆， ∴4＋36－20a >0，∴a <2，又圆关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形， ∴圆心(1，－3)在直线上，∴－3＝1＋2b ，∴b ＝－2，∴a －b <4. 9．(文)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0x ＋2y －4≤0表示的平面区域恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝5B ．(x －2)2＋(y －1)2＝8C ．(x －4)2＋(y －1)2＝6D ．(x －2)2＋(y －1)2＝5 [答案] D[解析] 由题意知此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)为顶点的三角形及其内部，且△OPQ 是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是(2,1)，半径是5，所以圆C 的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝5.(理)(2010·北京东城区)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1x －y ≥－1y ≥0表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx－3k 与平面区域M 有公共点，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－13，0B.⎝⎛⎦⎤－∞，13 C.⎝⎛⎦⎤0，13 D.⎝⎛⎦⎤－∞，－13 [答案] A[解析] 画出可行域如图，直线y ＝kx －3k 过定点(3,0)，由数形结合知该直线的斜率的最大值为k ＝0，最小值为k ＝0－13－0＝－13.10．已知点P (x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，当2x ＋4y 取最小值时，过点P (x ，y )引圆C ：⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y ＋142＝12的切线，则此切线长等于( )A.12B.32C.62D.32[答案] C[解析] 由于点P (x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，得x ，y 满足x ＋2y ＝3，又2x ＋4y ＝2x＋22y ≥22x＋2y＝42，取得最小值时x ＝2y ，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，34.由于点P 到圆心C ⎝⎛⎭⎫12，－14的距离为d ＝⎝⎛⎭⎫32－122＋⎝⎛⎭⎫34＋142＝2，而圆C 的半径为r ＝22，那么切线长为d 2－r 2＝2－12＝62，故选C. 二、填空题11．(文)(2010·金华十校)圆C 的半径为1，圆心在第一象限，与y 轴相切，与x 轴相交于A 、B ，|AB |＝3，则该圆的标准方程是________．[答案] (x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1 [解析] 设圆心C (a ，b )，由条件知a ＝1，取弦AB 中点D ，则CD ＝AC 2－AD 2＝12－⎝⎛⎭⎫322＝12，即b ＝12，∴圆方程为(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1.(理)已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线y 2＝2x 上，其中O 为坐标原点，则△OAB 的外接圆的方程是________________．[答案] (x －4)2＋y 2＝16[解析] 由抛物线的性质知，A ，B 两点关于x 轴对称，所以△OAB 外接圆的圆心C 在x 轴上．设圆心坐标为(r,0)，并设A 点在第一象限，则A 点坐标为⎝⎛⎭⎫32r ，32r ，于是有⎝⎛⎭⎫32r 2＝2×32r ，解得r ＝4，所以圆C 的方程为(x －4)2＋y 2＝16.12．(2010·南京师大附中)定义在(0，＋∞)上的函数f (x )的导函数f ′(x )<0恒成立，且f (4)＝1，若f (x 2＋y 2)≤1，则x 2＋y 2＋2x ＋2y 的最小值是________．[答案] 6－4 2[解析] 依题意得，f (x )在(0，＋∞)上单调递减， ∵f (x 2＋y 2)≤1，f (4)＝1，∴f (x 2＋y 2)≤f (4)， ∴x 2＋y 2≥4，又因为x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2－2，(x ＋1)2＋(y ＋1)2可以看作是点(x ，y )到点(－1，－1)的距离的平方．由圆的知识可知，最小值为(r －|OC |)2＝(2－2)2＝6－4 2.13．(文)(2010·浙江杭州市质检)已知A 、B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6，若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________．[答案] (x －1)2＋(y ＋1)2＝9[解析] ∵M 是以AB 为直径的圆的圆心，|AB |＝6，∴半径为3， 又⊙M 经过点C ，∴|CM |＝12|AB |＝3，∴点M 的轨迹方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝9.(理)(2010·胶州三中)以椭圆x 241＋y 216＝1的右焦点为圆心，且与双曲线x 29－y 216＝1的渐近线相切的圆的方程为________．[答案] (x －5)2＋y 2＝16[解析] 由c 2＝41－16＝25得c ＝5，∴椭圆右焦点F 2(5,0)，又双曲线渐近线方程为y ＝±43x ，∴圆半径r ＝|4×5＋0|42＋32＝4，∴圆方程为(x －5)2＋y 2＝16. 14．(文)(2010·天津文，14)已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为__________．[答案] (x ＋1)2＋y 2＝2[解析] 在直线方程x －y ＋1＝0中，令y ＝0得，x ＝－1，∴圆心坐标为(－1,0)， 由点到直线的距离公式得圆的半径 R ＝|－1＋0＋3|2＝2，∴圆的标准方程为(x ＋1)＋y 2＝2.(理)(2010·瑞安中学)已知圆x 2＋y 2＝r 2在曲线|x |＋|y |＝4的内部(含边界)，则半径r 的范围是______．[答案] (0,22][解析] 如图，曲线C ：|x |＋|y |＝4为正方形ABCD ，∵圆x 2＋y 2＝r 2在曲线C 的内部(含边界) ∴0<r ≤|OM |＝2 2. 三、解答题15．(2010·广东华南师大附中)已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3,5)，求： (1)过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连结OA ，OC ，求△AOC 的面积S . [解析] (1)⊙C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1.当切线的斜率不存在时，过点A 的直线方程为x ＝3，C (2,3)到直线的距离为1，满足条件．当k 存在时，设直线方程为y －5＝k (x －3)， 即kx －y ＋5－3k ＝0，由直线与圆相切得， |－k ＋2|k 2＋1＝1，∴k ＝34.∴过点A 的圆的切线方程为x ＝3或y ＝34x ＋114.(2)|AO |＝9＋25＝34，过点A 的圆的切线OA ：5x －3y ＝0， 点C 到直线OA 的距离d ＝134， S ＝12·d ·|AO |＝12. 16．(文)(2010·烟台诊断)已知圆C 的圆心为C (m,0)，m <3，半径为5，圆C 与椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有一个公共点A (3,1)，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点．(1)求圆C 的标准方程；(2)若点P 的坐标为(4,4)，试探究斜率为k 的直线PF 1与圆C 能否相切，若能，求出椭圆E 和直线PF 1的方程；若不能，请说明理由．[解析] (1)由已知可设圆C 的方程为(x －m )2＋y 2＝5(m <3) 将点A 的坐标代入圆C 的方程得，(3－m )2＋1＝5 即(3－m )2＝4，解得m ＝1，或m ＝5 ∵m <3，∴m ＝1∴圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝5. (2)直线PF 1能与圆C 相切依题意设直线PF 1的方程为y ＝k (x －4)＋4， 即kx －y －4k ＋4＝0若直线PF 1与圆C 相切，则|k －0－4k ＋4|k 2＋1＝ 5 ∴4k 2－24k ＋11＝0，解得k ＝112，或k ＝12当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为3611，不合题意，舍去当k ＝12时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为－4，∴c ＝4，F 1(－4,0)，F 2(4,0) ∴由椭圆的定义得： 2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝(3＋4)2＋12＋(3－4)2＋12 ＝52＋2＝6 2∴a ＝32，即a 2＝18，∴b 2＝a 2－c 2＝2直线PF 1能与圆C 相切，直线PF 1的方程为x －2y ＋4＝0，椭圆E 的方程为x 218＋y 22＝1.(理)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限、半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .椭圆x 2a 2＋y 29＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.(1)求圆C 的方程；(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．[解析] (1)设圆C 的圆心为A (p ，q )，则圆C 的方程为(x －p )2＋(y －q )2＝8. ∵直线y ＝x 与圆C 相切于坐标原点O ， ∴O 在圆C 上，且直线OA 垂直于直线y ＝x .于是有⎩⎪⎨⎪⎧p 2＋q 2＝8p q＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝2q ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－2q ＝2. 由于点C (p ，q )在第二象限，故p <0. 所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.(2)∵椭圆x 2a 2＋y 29＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点距离之和为10，∴2a ＝10，∴a ＝5.故椭圆右焦点为F (4,0)．若圆C 上存在异于原点的点Q (x 0，y 0)到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长，则有|QF |＝|OF |，于是(x 0－4)2＋y 02＝42，且x 02＋y 02≠0①由于Q (x 0，y 0)在圆上，故有(x 0＋2)2＋(y 0－2)2＝8.②解①和②得⎩⎨⎧x 0＝45y 0＝125，故圆C 上存在满足条件的点Q ⎝⎛⎭⎫45，125.17．(文)设O 点为坐标原点，曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上有两点P 、Q 关于直线x ＋my ＋4＝0对称，且OP →·OQ →＝0.(1)求m 的值； (2)求直线PQ 的方程．[解析] (1)曲线方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，表示圆心为(－1,3)，半径为3的圆． ∵点P ，Q 在圆上且关于直线x ＋my ＋4＝0对称． ∴圆心(－1,3)在直线上，代入直线方程得m ＝－1. (2)∵直线PQ 与直线y ＝x ＋4垂直，∴设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 方程为y ＝－x ＋b . 将y ＝－x ＋b 代入圆方程得， 2x 2＋2(4－b )x ＋b 2－6b ＋1＝0. Δ＝4(4－b )2－8×(b 2－6b ＋1)>0， ∴2－32<b <2＋32， 由韦达定理得，x 1＋x 2＝b －4，x 1·x 2＝b 2－6b ＋12，y 1·y 2＝(－x 1＋b )(－x 2＋b )＝b 2－b (x 1＋x 2)＋x 1·x 2＝b 2＋2b ＋12，∵OP →·OQ →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0， 即b 2－6b ＋12＋b 2＋2b ＋12＝0.解得b ＝1∈(2－32，2＋32)． ∴所求的直线PQ 方程为y ＝－x ＋1.(理)已知动圆P 与定圆B ：x 2＋y 2＋25x －31＝0内切，且动圆P 经过一定点A (5，0)． (1)求动圆圆心P 的轨迹E 的方程；(2)若已知点D (0,3)，M 、N 在曲线E 上，且DM →＝λDN →，求实数λ的取值范围． [解析] (1)定圆B 的圆心B (－5，0)，半径r ＝6， ∵动圆P 与定圆B 内切，且过A (5，0)， ∴|P A |＋|PB |＝6.∴动圆圆心P 的轨迹E 是以B 、A 为焦点，长轴长为6的椭圆． 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则2a ＝6，a ＝3，c ＝5，∴b 2＝a 2－c 2＝4. ∴椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由DM →＝λDN →，可得(x 1，y 1－3)＝λ(x 2，y 2－3)，故⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝λx 2y 1＝λ(y 2－3)＋3.∵M ，N 在动点P 的轨迹上，∴⎩⎨⎧(λx 2)29＋(λy 2＋3－3λ)24＝1x 229＋y224＝1，消去x 2得，(λy 2＋3－3λ)2－λ2y 224＝1－λ2.解得y 2＝13λ－56λ(λ≠1)或λ＝1.①当λ＝1时，M 与N 重合，DM →＝DN →，满足条件．高考总复习含详解答案 ②当λ≠1时，∵|y 2|≤2，∴⎪⎪⎪⎪13λ－56λ≤2，解得15≤λ≤5，且λ≠1. 综上可得λ的取值范围是⎣⎡⎦⎤15，5.。
高中数学必修圆的一般方程-精选文档
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
问：是不是任何一个形如
x2 ＋y 2＋Evaluation Dx＋Ey＋only. F＝0 方程表示
ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 的曲线是圆呢？ Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.
请举例
把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 2 2 D E D E 4 F 2 2 配方可得： ( x ) ( y )= 2 2 4
（1）当D2+E2-4F>0时，表示以（ 为圆心，以(
1 2 2 D E 4 F) 2
D E , 2 2
）
为半径的圆
Evaluation only. （2）当D2+E2-4F=0 时，方程只有一组解 X=-D/2 D 3.5 EClient Profile 5.2 ted with Aspose.Slides for .NET y=-E/2，表示一个点（ 2 , 2 ） Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.
不表示任何图形。
（3）当D2+E2-4F＜0时，方程（1）无实数解，所以
所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0） 可表示圆的方程
圆的一般方程：
x2 ＋y
2＋Dx＋Ey＋F＝0
（D2+E2-4F>0）
圆的一般方程与标准方程的关系：
1 2 2 D E 4 F （1）a=-D/2，b=-E/2 ，r= Evaluation only. 2 ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 （ 2）标准方程易于看出圆心与半径 Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 一般方程突出形式上的特点：
高中数学必修二-圆的方程
圆的方程知识集结知识元圆的标准方程知识讲解一：圆的标准方程，其中为圆心，为半径.注意：1.如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点：2.圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点.3.标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.例题精讲圆的标准方程例1.'求下列各圆的标准方程：（1）圆心在直线y=0上，且圆过两点A（1，4），B（3，2）；（2）圆心在直线2x+y=0上，且圆与直线x+y―1=0切于点M（2，―1）．'例2.'已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x－1被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程．'例3.'已知一圆经过点A（2，―3）和B（―2，―5），且圆心C在直线l：x―2y―3=0上，求此圆的方程．'圆的一般方程知识讲解一：圆的一般方程当时，方程叫做圆的一般方程.为圆心，为半径.注意：由方程得(1)当时，方程只有实数解.它表示一个点.(2)当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆.二：几种特殊位置的圆的方程条件方程形式标准方程一般方程圆心在原点过原点圆心在x轴上圆心在y轴上圆心在x轴上且过原点圆心在y轴上且过原点与x轴相切与y轴相切例题精讲圆的一般方程例1.若方程x 2+y 2+2λx +2λy +2λ2―λ+1=0表示圆，则λ的取值范围是（）A ．（1，+∞）B ．C ．D ．R例2.方程所表示的曲线是（）A ．一个圆B ．圆C ．半个圆D ．四分之一个圆例3.方程表示圆，则a 的取值范围是_________.A ．或B ．C ．D ．点与圆的的位置关系知识讲解点和圆的位置关系如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有(1)若点在圆上(2)若点在圆外(3)若点在圆内例题精讲点与圆的的位置关系例1.点（a+1，a―1）在圆的内部，则a的取值范围是________．例2.点P（，10）与圆的位置关系是（）A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．与的值有关例3.过点C（―1，1）和点D（1，3）且圆心在x轴上的圆的方程是（）A．x2+(y―2)2=10B．x2+(y+2)2=10C．(x+2)2+y2=10D．(x―2)2+y2=10例4.若点（1，1）在圆(x－a)2+(y+a)2=4的内部，则实数a的取值范围是________．轨迹问题知识讲解一：用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程.(2)根据已知条件，建立关于或的方程组.(3)解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.二：轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程．1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．3．求轨迹方程的步骤：（1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标；（2）列出关于的方程；（3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；（5）作答．例题精讲轨迹问题例1.点P（4，―2）与圆x2+y2=4上任一点连结的中点轨迹方程是（）A．(x―2)2+(y+1)2=1B．(x―2)2+(y―1)2=4C．(x―4)2+(y―2)2=1D．(x―2)2+(y―1)2=1例2.'已知曲线C上任意一点到原点的距离与到A（3，―6）的距离之比均为．（1）求曲线C的方程．（2）设点P（1，―2），过点P作两条相异直线分别与曲线C相交于B，C两点，且直线PB 和直线PC的倾斜角互补，求证：直线BC的斜率为定值．'例3.'已知定点A（2，0），点Q是圆x2+y2=1上的动点，∠AOQ的平分线交AQ于M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程．'例4.'点P是圆上的任意一点，PC的中点是M，试求动点M的轨迹方程.'备选题库知识讲解本题库作为知识点“圆的方程”的题目补充.例题精讲备选题库已知圆C与直线x+y+3=0相切，直线mx+y+1=0始终平分圆C的面积，则圆C方程为（）A．x2+y2-2y=2B．x2+y2+2y=2C．x2+y2-2y=1D．x2+y2+2y=1例2.圆x2+（y-2）2=9的半径是（）A．3B．2C．9D．6例3.已知圆C与y轴相切于点（0，5），半径为5，则圆C的标准方程是（）A．（x-5）2+（y-5）2=25B．（x+5）2+（y-5）2=25C．（x-5）2+（y-5）2=5或（x+5）2+（y-5）2=5D．（x-5）2+（y-5）2=25或（x+5）2+（y-5）2=25例4.以A（-2，1），B（1，5）为半径两端点的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y-1）2=25B．（x-1）2+（y-5）2=25C．（x+2）2+（y-1）2=25或（x-1）2+（y-5）2=25D．（x+2）2+（y-1）2=5或（x-1）2+（y-5）2=5当堂练习单选题练习1.圆x2-6x+y2-16=0的周长是（）A．25πB．10πC．8πD．5π若直线2x+y+m=0过圆x2+y2-2x+4y=0的圆心，则m的值为（）A．2B．-1C．-2D．0练习3.已知点M（3，1）在圆C：x2+y2-2x+4y+2k+4=0外，则k的取值范围（）A．B．C．k>-6D．练习4.已知x，y满足x2-4x-4+y2=0，则x2+y2的最大值为（）A．12+8B．12-8C．12D．8练习5.方程x2+y2+mx-2y+3=0表示圆，则m的范围是（）A．B．C．D．）练习6.圆心在（-1，0），半径为的圆的方程为（）A．（x+1）2+y2=5B．（x+1）2+y2=25C．D．（x-1）2+y2=25填空题练习1.质点P的初始位置为P1（，1），它在以原点为圆心，半径为2的圆上逆时针旋转150°到_，点P2的坐标为________（用数字表示）．达点P2，则质点P经过的弧长为__练习2.已知圆C经过点A（1，3）、B（2，2），并且直线m：3x-2y=0平分圆C．则圆C的方程为_________________．练习3.若圆x2+y2+Dx+Ey+F=0关于直线Dx+Ey+2F+8=0对称，则该圆的半径为___练习4.已知圆心在直线y=x上的圆与直线x+y=0及x+y+4=0都相切，则圆的方程为_________________．练习5.已知点A（2，0），B（0，4），O为坐标原点，则△AOB外接圆的标准方程是_________________．解答题练习1.'已知点A（4，1），B（-6，3），C（3，0）．（1）求△ABC中BC边上的高所在直线的方程；（2）求过A，B，C三点的圆的方程．'练习2.'求过三点P（2，2），M（5，3），N（3，-1）的圆的方程．'练习3.'△ABC的三个顶点分别为A（-1，5），（-2，-2），（5，5），求其外接圆方程．'练习4.'已知圆C过点A（3，1），B（5，3），圆心在直线y=x上．（1）求圆C的方程；（2）过圆O1：x2+（y+1）2=1上任一点P作圆C的两条切线，切点分别为Q，T，求四边形PQCT面积的取值范围．'。
高中数学第四章圆与方程检测试题含解析新人教A版必修2
第四章圆与方程检测试题(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C,且与直线x+y=0垂直的直线方程是( C )(A)x+y+1=0 (B)x+y-1=0(C)x-y+1=0 (D)x-y-1=0解析:易知点C为(-1,0),因为直线x+y=0的斜率是-1,所以与直线x+y=0垂直直线的斜率为1,所以要求直线方程是y=x+1,即x-y+1=0.2.空间直角坐标系Oxyz中的点P(1,2,3)在xOy平面内射影是Q,则点Q的坐标为( A )(A)(1,2,0) (B)(0,0,3)(C)(1,0,3) (D)(0,2,3)解析:因为空间直角坐标系Oxyz中,点P(1,2,3)在xOy平面内射影是Q,所以点Q的坐标为(1,2,0).3.若方程x2+y2-x+y+m=0表示圆,则实数m的取值范围是( A )(A)m< (B)m>(C)m<0 (D)m≤解析:由题意得1+1-4m>0,得m<.4.圆O1:x2+y2-4x-6y+12=0与圆O2:x2+y2-8x-6y+16=0的位置关系是( D )(A)相交 (B)相离 (C)内含 (D)内切解析:把圆O1:x2+y2-4x-6y+12=0与圆O2:x2+y2-8x-6y+16=0分别化为标准式为(x-2)2+(y-3)2=1和(x-4)2+(y-3)2=9,两圆心间的距离d==2=|r1-r2|,所以两圆的位置关系为内切,故选D.5.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为,则a的值为( C )(A)-2或2 (B)或(C)2或0 (D)-2或0解析:圆x2+y2-2x-4y=0的圆心是(1,2).点(1,2)到直线x-y+a=0的距离是=,所以|a-1|=1,所以a=2或a=0.选C.6.若直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k,b的值分别为( D )(A)-,4 (B),4(C)-,-4 (D),-4解析:直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则直线2x+y+b=0一定过圆(x-2)2+y2=1的圆心(2,0),代入得b=-4,同时直线y=kx与直线2x+y+b=0垂直,可得-2×k=-1,解得k=,故选D.7.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是( A )(A)(x-2)2+(y+1)2=1 (B)(x-2)2+(y+1)2=4(C)(x+4)2+(y-2)2=1 (D)(x+2)2+(y-1)2=1解析:设圆上任意一点坐标为(x1,y1),其与点P所连线段的中点坐标为(x,y),则即代入x2+y2=4,得(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.故选A.8.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是( A )(A) (B)1 (C) (D)解析:如图所示,当直线l上恰好只存在一个圆与圆C相切时,直线l的斜率最大,此时,点C(4,0)到直线l的距离是2.即=2.解得k=或k=0.所以k的最大值是.9.过点P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为( A )(A)x+y-2=0 (B)y-1=0(C)x-y=0 (D)x+3y-4=0解析:欲使两部分的面积之差最大,需直线与OP垂直,因为k OP=1,所以所求的直线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.10.过点P(-4,0)作直线l与圆x2+y2+2x-4y-20=0交于A,B两点,若|AB|=8,则直线l的方程为( C )(A)5x+12y+20=0(B)5x-12y+20=0(C)5x+12y+20=0或x+4=0(D)5x-12y+20=0或x+4=0解析:x2+y2+2x-4y-20=0可化为(x+1)2+(y-2)2=25,当直线l的斜率不存在时,符合题意;当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=k(x+4),由题意得==3,得k=-.所以直线l的方程为y=-(x+4),即5x+12y+20=0,综上,符合条件的直线l的方程为5x+12y+20=0或x+4=0.二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分)11.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是,半径是.解析:圆的方程可化为(x-2)2+(y+3)2=13,所以圆心坐标是(2,-3),半径为.答案:(2,-3)12.如图所示,在单位正方体ABCDA1B1C1D1中,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A1C和A1C1的长度分别为, .解析:易得A1(1,0,1),C(0,1,0),C1(0,1,1),所以|A1C|==,|A1C1|==.答案:13.圆x2+y2+Dx+Ey+F=0关于直线l1:x-y+4=0与直线l2:x+3y=0都对称,则D= ,E= .解析:由题设知直线l1,l2的交点为已知圆的圆心.由得所以-=-3,D=6,-=1,E=-2.答案:6 -214.若直线mx+2ny-4=0(m,n∈R)始终平分圆x2+y2-4x-2y-4=0的周长,则m+n的值等于,mn的取值范围是.解析:圆心(2,1),则m×2+2n×1-4=0,即m+n=2,m=2-n,于是mn=(2-n)n=-n2+2n=-(n-1)2+1≤1,故mn的取值范围是(-∞,1].答案:2 (-∞,1]15.若直线y=x+b与曲线x=恰有一个公共点,则实数b的取值范围是.解析:将曲线x=变为x2+y2=1(x≥0).如图所示,当直线y=x+b与曲线x2+y2=1相切时,则满足=1,|b|=,b=±.观察图象,可得当b=-,或-1<b≤1时,直线与曲线x=有且只有一个公共点.答案:(-1,1]∪{-}16.若集合A={(x,y)|x2+y2≤16},B={(x,y)|x2+(y-2)2≤a-1},且A∩B=B,则a的取值范围是.解析:A∩B=B等价于B⊆A.当a>1时,集合A和B中的点的集合分别代表圆x2+y2=16和圆x2+(y-2)2=a-1的内部,如图,容易看出当B对应的圆的半径小于2时符合题意.由0<a-1≤4,得1<a≤5;当a=1时,满足题意;当a<1时,集合B为空集,也满足B⊆A,所以当a≤5时符合题意.答案:(-∞,5]17.已知直线l1:x+y-=0,l2:x+y-4=0,☉C的圆心到l1,l2的距离依次为d1,d2且d2=2d1,☉C与直线l2相切,则直线l1被☉C所截得的弦长为.解析:当圆心C在直线l1:x+y-=0与l2:x+y-4=0之间时,d1+d2=3且d2=2d1,☉C与直线l2相切,此时r=d2=2,d1=1,则直线l1被☉C所截得的弦长为2=2=2;同理,当圆心C不在直线l1:x+y-=0与l2:x+y-4=0之间时,则d2-d1=3且d2=2d1,☉C与直线l2相切,此时r=d2=6,d1=3,则直线l1被☉C所截得的弦长为2=2=6.故直线l1被☉C所截得的弦长为2或6.答案:2或6三、解答题(本大题共5小题,共74分)18.(本小题满分14分)一直线 l 过直线 l1:2x-y=1 和直线 l2:x+2y=3 的交点 P,且与直线 l3:x-y+1=0 垂直.(1)求直线 l 的方程;(2)若直线 l 与圆 C:(x-a)2+y2=8 (a>0)相切,求 a.解:(1)由解得P(1,1),又直线l与直线l3:x-y+1=0垂直,故l的斜率为-1,所以l:y-1=-(x-1),即直线l的方程为x+y-2=0.(2)由题设知C(a,0),半径r=2,因为直线l与圆C:(x-a)2+y2=8(a>0)相切,所以C到直线l的距离为2,所以=2,又a>0,得a=6.19.(本小题满分15分)已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且|CD|=4.(1)求直线CD的方程;(2)求圆P的方程.解:(1)直线AB的斜率k=1,AB的中点坐标为(1,2),所以直线CD的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.(2)设圆心P(a,b),则由P在CD上得a+b-3=0.①又直径|CD|=4,所以|PA|=2,所以(a+1)2+b2=40,②由①②解得或所以圆心P(-3,6)或P(5,-2),所以圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.20.(本小题满分15分)已知圆C:x2+y2+4x-4ay+4a2+1=0,直线l:ax+y+2a=0.(1)当a=时,直线l与圆C相交于A,B两点,求弦AB的长;(2)若a>0且直线l与圆C相切,求圆C关于直线l的对称圆C′的方程.解:(1)因为圆C:(x+2)2+(y-2a)2=()2,又a=,所以圆心C为(-2,3),直线l:3x+2y+6=0,圆心C到直线l的距离d==,所以|AB|=2=.(2)将y=-ax-2a代入圆C的方程化简得(1+a2)x2+4(1+2a2)x+16a2+1=0,(*)所以Δ=[4(1+2a2)]2-4(1+a2)(16a2+1)=4(3-a2)=0,因为a>0,所以a=,所以方程(*)的解为x=-,所以切点坐标为(-,),根据圆关于切线对称的性质可知切点为CC′的中点,故圆心C′的坐标为(-5,),所以圆C′的方程为(x+5)2+(y-)2=3.21.(本小题满分15分)已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.(1)若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等,求切线的方程;(2)从圆C外一点P(x1,y1)向圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使|PM|最小的点P的坐标.解:(1)由方程x2+y2+2x-4y+3=0知,圆心为(-1,2),半径为.当切线过原点时,设切线方程为y=kx,则=.所以k=2±,即切线方程为y=(2±)x.当切线不过原点时,设切线方程为x+y=a,则=.所以a=-1或a=3,即切线方程为x+y+1=0或x+y-3=0.所以切线方程为y=(2±)x或x+y+1=0或x+y-3=0.(2)设P(x1,y1).因为|PM|2+r2=|PC|2,即|PO|2+r2=|PC|2,所以++2=(x1+1)2+(y1-2)2,即2x1-4y1+3=0.要使|PM|最小,只要|PO|最小即可.当直线PO垂直于直线2x-4y+3=0时,即直线PO的方程为2x+y=0时,|PM|最小,此时P点即为两直线的交点,得P点坐标(-,).22.(本小题满分15分)圆C:x2+y2+2x-3=0内有一点P(-2,1),AB为过点P且倾斜角为α的弦.(1)当α=135°时,求AB的长;(2)当弦AB被点P平分时,写出直线AB的方程;(3)若圆C上的动点M与两个定点O(0,0),R(a,0)(a≠0)的距离之比恒为定值λ(λ≠1),求实数a的值.解:(1)由题意知,圆心C(-1,0),半径r=2,直线AB的方程为x+y+1=0,直线AB过圆心C,所以弦长AB=2r=4.(2)当弦AB被点P平分时,AB⊥PC,k AB·k PC=-1,又k PC=-1, 所以k AB=1,直线AB的方程为x-y+3=0.(3)设M(x0,y0),则满足++2x0-3=0, ①由题意得,=λ,即=λ.整理得+=λ2[-2ax0+a2+], ②由①②得,3-2x0=λ2[3-2x0-2ax0+a2]恒成立,所以又a≠0,λ>0,λ≠1,解之得a=3.。
高中圆的方程基础练习题及讲解
高中圆的方程基础练习题及讲解### 高中圆的方程基础练习题及讲解#### 练习题一题目：已知圆心在原点的圆的方程为 \(x^2 + y^2 = r^2\)，求半径为3的圆的方程。
解答：将 \(r = 3\) 代入圆的标准方程，我们得到：\[ x^2 + y^2 = 3^2 \]\[ x^2 + y^2 = 9 \]这就是半径为3的圆的方程。
#### 练习题二题目：圆 \(x^2 + y^2 + 6x - 8y + 20 = 0\) 与直线 \(x + y - 1 = 0\) 相切。
求圆的半径。
解答：首先，将圆的方程化为标准形式：\[ (x + 3)^2 + (y - 4)^2 = r^2 \]\[ x^2 + 6x + y^2 - 8y + 20 = r^2 \]\[ x^2 + y^2 + 6x - 8y = r^2 - 20 \]由于圆与直线相切，圆心到直线的距离等于圆的半径。
圆心坐标为\((-3, 4)\)，直线方程可以写成 \(y = -x + 1\)。
使用点到直线距离公式：\[ \text{距离} = \frac{|-3 + 4 - 1|}{\sqrt{2}} \]将距离等于半径代入：\[ r = \frac{|-3 + 4 - 1|}{\sqrt{2}} \]\[ r = \frac{1}{\sqrt{2}} \]#### 练习题三题目：已知圆 \(x^2 + y^2 = 1\) 与直线 \(y = x + b\) 相切，求\(b\) 的值。
解答：由于圆与直线相切，圆心到直线的距离等于圆的半径，即1。
圆心坐标为 \((0, 0)\)，直线方程可以写成 \(x - y + b = 0\)。
使用点到直线距离公式：\[ 1 = \frac{|0 - 0 + b|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} \]\[ 1 = \frac{|b|}{\sqrt{2}} \]解得：\[ b = \pm \sqrt{2} \]#### 练习题四题目：求圆 \(x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0\) 的圆心坐标和半径。
高中数学 圆的方程测试题及答案
圆的方程专项测试题一、选择题1.若直线4x-3y -2=0与圆x 2+y 2-2ax+4y +a 2-12=0总有两个不同交点，则a 的取值范围是( )A.-3＜a ＜7B.-6＜a ＜4C.-7＜a ＜3D.-21＜a ＜192.圆(x-3)2+(y -3)2=9上到直线3x+4y -11=0的距离等于1的点有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.使圆(x-2)2+(y +3)2=2上点与点(0，-5)的距离最大的点的坐标是( ) A.(5，1) B.(3，-2)C.(4，1)D.(2 +2，2-3)4.若直线x+y =r 与圆x 2+y 2=r(r ＞0)相切，则实数r 的值等于( ) A.22B .1C.2D.25．若曲线x 2+y 2+a 2x +(1–a 2)y –4=0关于直线y –x =0的对称曲线仍是其本身，则实数a =（ B ）A ．21± B ．22± C ．2221-或 D ．2221或-6.直线x-y +4=0被圆x 2+y 2+4x-4y +6=0截得的弦长等于( ) A.8B.4C.22D.427．圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线3 x + 4y －11=0的距离等于1的点有（ C ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8.圆(x-3)2+(y +4)2=2关于直线x+y =0的对称圆的标准方程是( ) A.(x+3)2+(y -4)2=2 B.(x-4)2+(y +3)2=2 C.(x+4)2+(y -3)=2 D.(x-3)2+(y -4)2=29.点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y 2=1的内部，则实数a 的取值范围是( ) A.｜a ｜＜1B.｜a ｜＜51 C.｜a ｜＜121D.｜a ｜＜131 10.关于x,y 的方程Ax 2+Bx y +C y 2+Dx+E y +F=0表示一个圆的充要条件是( ) A.B=0，且A=C≠0 B.B=1且D 2+E 2-4AF ＞0 C.B=0且A=C≠0，D 2+E 2-4AF≥0 D.B=0且A=C≠0,D 2+E 2-4AF ＞0 11.过点P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆心坐标是( ) A.(314，5) B.(5，1) C.(0，0) D.(5，-1)12.若两直线y =x+2k 与y =2x+k+1的交点P 在圆x 2+2=4的内部，则k 的范围是( ) A.-51＜k ＜-1B.-51＜k ＜1C.-31＜k ＜1 D.-2＜k ＜2二、填空题13.圆x 2+y 2+ax=0(a≠0)的圆心坐标和半径分别是 .14.若实数x,y 满足x 2+y 2-2x+4y =0，则x-2y 的最大值是 .15.若集合A={(x 、y )｜y =-｜x ｜-2}，B={(x,y )｜(x-a)2+y 2=a 2}满足A∩B=ϕ，则实数a 的取值范围是 .16.过点M(3，0)作直线l 与圆x 2+y 2=16交于A 、B 两点，当θ= 时，使△AOB 的面积最大，最大值为 (O 为原点).三、解答题17.求圆心在直线2x-y -3=0上，且过点(5，2)和(3，-2)的圆的方程.18. 过圆(x －1)2+（y －1）2=1外一点P(2,3),向圆引两条切线切点为A 、B. 求经过两切点的直线l 方程.19. 已知圆02422=++-+m y x y x 与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若︒=∠90APB . 求m 的值．20.已知直角坐标平面内点Q(2，0)，圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与｜MQ ｜的比等于常数λ(λ＞0)，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.21. 自点A （－3，3）发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线m 所在直线与圆C ：x 2 + y 2 －4x －4y +7 = 0相切，求光线L 、m 所在的直线方程．22. 已知圆C ：044222=-+-+y x y x ，是否存在斜率为1的直线L ，使L 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线L 的方程，若不存在说明理由．参考答案：1.B2.C3.B4.D5.B6.C7.C8.B9.D 10.D 11.D 12.B 13.(-2a ,0), 2a 14.10 15.-2(2+1)＜a ＜2(2+1)16.θ=arccot22 或π-arccot22, 817.(x-2)2+(y -1)2=10 10.3x+4y +1=0或4x+3y -1=0 ；18. 解：设圆(－1)2+(y －1)2=1的圆心为1O ，由题可知,以线段P 1O 为直径的圆与与圆1O 交于AB 两点,线段AB 为两圆公共弦,以P 1O 为直径的圆方程5)20()23(22=-+-y x △已知圆1O 的方程为(x-1)2+(y -1)2=1 △ △△作差得x+2y -41=0， 即为所求直线l 的方程。
高中数学必修2圆的方程练习题(基础训练)
专题：直线与圆1．圆C 1 : x 2＋y 2＋2x ＋8y －8＝0与圆C 2 : x 2＋y 2－4x ＋4y －2＝0的位置关系是( )． A ．相交B ．外切C ．内切D ．相离2．两圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0的公共切线有( )． A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3．若圆C 与圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1关于原点对称，则圆C 的方程是( )． A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝14．与直线l : y ＝2x ＋3平行，且与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相切的直线方程是( )． A ．x －y ±5＝0 B ．2x －y ＋5＝0 C ．2x －y －5＝0D ．2x －y ±5＝05．直线x －y ＋4＝0被圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0截得的弦长等于( )． A ．2B ．2C ．22D ．426．一圆过圆x 2＋y 2－2x ＝0与直线x ＋2y －3＝0的交点，且圆心在y 轴上，则这个圆的方程是( )．A ．x 2＋y 2＋4y －6＝0B ．x 2＋y 2＋4x －6＝0C ．x 2＋y 2－2y ＝0D ．x 2＋y 2＋4y ＋6＝07．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )． A ．30B ．18C ．62D ．528．两圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2和(x －b )2＋(y －a )2＝r 2相切，则( )． A ．(a －b )2＝r 2 B ．(a －b )2＝2r 2 C ．(a ＋b )2＝r 2D ．(a ＋b )2＝2r 29．若直线3x －y ＋c ＝0，向右平移1个单位长度再向下平移1个单位，平移后与圆x 2＋y 2＝10相切，则c 的值为( )． A ．14或－6B ．12或－8C ．8或－12D ．6或－1410．设A (3，3，1)，B (1，0，5)，C (0，1，0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM | ＝( )． A ．453B ．253 C ．253 D ．21311．若直线3x －4y ＋12＝0与两坐标轴的交点为A ，B ，则以线段AB 为直径的圆的一般方程为____________________．12．已知直线x ＝a 与圆(x －1)2＋y 2＝1相切，则a 的值是_________． 13．直线x ＝0被圆x 2＋y 2―6x ―2y ―15＝0所截得的弦长为_________．14．若A(4，－7，1)，B(6，2，z)，|AB|＝11，则z＝_______________．15．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，P A，PB是圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形P ACB面积的最小值为．三、解答题16．求下列各圆的标准方程：(1)圆心在直线y＝0上，且圆过两点A(1，4)，B(3，2)；(2)圆心在直线2x＋y＝0上，且圆与直线x＋y－1＝0切于点M(2，－1)．17．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是BB1的中点，G是AB1的中点，试建立适当的坐标系，并确定E，F，G三点的坐标．18．圆心在直线5x―3y―8＝0上的圆与两坐标轴相切，求此圆的方程．19．已知圆C :(x－1)2＋(y－2)2＝2，点P坐标为(2，－1)，过点P作圆C的切线，切点为A，B．(1)求直线P A，PB的方程；(2)求过P点的圆的切线长；(3)求直线AB的方程．20．求与x轴相切，圆心C在直线3x－y＝0上，且截直线x－y＝0得的弦长为27的圆的方程．参考答案一、选择题 1．A解析：C 1的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋4)2＝52，半径r 1＝5；C 2的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝(10)2，半径r 2＝10．圆心距d ＝224 － 2＋ 1 ＋ 2)()(＝13． 因为C 2的圆心在C 1内部，且r 1＝5＜r 2＋d ，所以两圆相交． 2．C解析：因为两圆的标准方程分别为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，(x ＋2)2＋(y －2)2＝9， 所以两圆的圆心距d ＝222 － 1 －＋ 2 ＋ 2)()(＝5． 因为r 1＝2，r 2＝3，所以d ＝r 1＋r 2＝5，即两圆外切，故公切线有3条． 3．A解析：已知圆的圆心是(－2，1)，半径是1，所求圆的方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝1． 4．D解析：设所求直线方程为y ＝2x ＋b ，即2x －y ＋b ＝0．圆x 2＋y 2―2x ―4y ＋4＝0的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝1．由221＋ 2 ＋ 2 － 2 b ＝1解得b ＝±5．故所求直线的方程为2x －y ±5＝0． 5．C解析：因为圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝2，显然直线x －y ＋4＝0经过圆心． 所以截得的弦长等于圆的直径长．即弦长等于22． 6．A解析：如图，设直线与已知圆交于A ，B 两点，所求圆的圆心为C ． 依条件可知过已知圆的圆心与点C 的直线与已知直线垂直． 因为已知圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆心为(1，0)， 所以过点(1，0)且与已知直线x ＋2y －3＝0垂直的直线方程为y ＝2x －2．令x ＝0，得C (0，－2)．联立方程x 2＋y 2－2x ＝0与x ＋2y －3＝0可求出交点A (1，1)．故所求圆的半径r ＝|AC |＝223 ＋ 1＝10．所以所求圆的方程为x 2＋(y ＋2)2＝10，即x 2＋y 2＋4y －6＝0．(第6题)解析：因为圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝(32)2，所以圆心为(2，2)，r ＝32． 设圆心到直线的距离为d ，d ＝210＞r ，所以最大距离与最小距离的差等于(d ＋r )－(d －r )＝2r ＝62． 8．B解析：由于两圆半径均为|r |，故两圆的位置关系只能是外切，于是有 (b －a )2＋(a －b )2＝(2r )2． 化简即(a －b )2＝2r 2． 9．A解析：直线y ＝3x ＋c 向右平移1个单位长度再向下平移1个单位． 平移后的直线方程为y ＝3(x －1)＋c －1，即3x －y ＋c －4＝0． 由直线平移后与圆x 2＋y 2＝10相切，得221＋ 34 － ＋ 0 － 0 c ＝10，即|c －4|＝10，所以c ＝14或－6． 10．C解析：因为C (0，1，0)，容易求出AB 的中点M ⎪⎭⎫ ⎝⎛3 ，23 ，2， 所以|CM |＝2220 － 3 ＋ 1 －23 ＋ 0 － 2)()(⎪⎭⎫⎝⎛＝253． 二、填空题11．x 2＋y 2＋4x －3y ＝0．解析：令y ＝0，得x ＝－4，所以直线与x 轴的交点A (－4，0)． 令x ＝0，得y ＝3，所以直线与y 轴的交点B (0，3)． 所以AB 的中点，即圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛23 2， －． 因为|AB |＝223 ＋ 4＝5，所以所求圆的方程为(x ＋2)2＋223 － ⎪⎭⎫ ⎝⎛y ＝425．即x 2＋y 2＋4x －3y ＝0． 12．0或2．解析：画图可知，当垂直于x 轴的直线x ＝a 经过点(0，0)和(2，0)时与圆相切， 所以a 的值是0或2．解析：令圆方程中x ＝0，所以y 2―2y ―15＝0．解得y ＝5，或y ＝－3． 所以圆与直线x ＝0的交点为(0，5)或(0，－3)．所以直线x ＝0被圆x 2＋y 2―6x ―2y ―15＝0所截得的弦长等于5－(－3)＝8． 14．7或－5．解析：由2221 － ＋ 7 ＋ 2 ＋ 4 － 6)()()(z ＝11得(z －1)2＝36．所以z ＝7，或－5． 15．22．解析：如图，S 四边形P ACB ＝2S △P AC ＝21|P A |·|CA |·2＝|P A |，又|P A |＝12－||PC ，故求|P A |最小值，只需求|PC |最小值，另|PC |最小值即C 到直线3x ＋4y ＋8＝0的距离，为2243843＋|＋＋|＝3．于是S 四边形P ACB 最小值为132－＝22． 三、解答题16．解：(1)由已知设所求圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2，于是依题意，得⎪⎩⎪⎨⎧．＝＋)(，＝＋)(2222 4 － 3 16 － 1r a r a 解得⎪⎩⎪⎨⎧．，－20 ＝ 1 ＝ 2r a 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝20．(2)因为圆与直线x ＋y －1＝0切于点M (2，－1)，所以圆心必在过点M (2，－1)且垂直于x ＋y －1＝0的直线l 上． 则l 的方程为y ＋1＝x －2，即y ＝x －3． 由⎪⎩⎪⎨⎧．＝＋，－＝023 y x x y 解得⎪⎩⎪⎨⎧．－ ＝，＝2 1 y x 即圆心为O 1(1，－2)，半径r ＝222 ＋ 1 －＋ 1 － 2)()(＝2． 故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2．17．解：以D 为坐标原点，分别以射线DA ，DC ，DD 1的方向为正方向，以线段DA ，DC ，DD 1的长为单位长，建立空间直角坐标系Dxyz ，E 点在平面xDy 中，且EA ＝21． 所以点E 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0 ，21 ，1， (第15题)又B 和B 1点的坐标分别为(1，1，0)，(1，1，1)，所以点F 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛21 ，1 ，1，同理可得G 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛21 21 1，，． 18．解：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 因为圆与两坐标轴相切，所以圆心满足|a |＝|b |，即a －b ＝0，或a ＋b ＝0． 又圆心在直线5x ―3y ―8＝0上，所以5a ―3b ―8＝0．由方程组⎪⎩⎪⎨⎧，＝－，＝－－00835b a b a 或⎪⎩⎪⎨⎧，＝＋，＝－－00835b a b a解得⎪⎩⎪⎨⎧，＝，44b a ＝或⎪⎩⎪⎨⎧．＝－，11＝b a 所以圆心坐标为(4，4)，(1，－1)．故所求圆的方程为(x －4)2＋(y －4)2＝16，或(x －1)2＋(y ＋1)2＝1．19．解：(1)设过P 点圆的切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx ―y ―2k ―1＝0． 因为圆心(1，2)到直线的距离为2，1＋ 3 － － 2k k ＝2， 解得k ＝7，或k ＝－1．故所求的切线方程为7x ―y ―15＝0，或x ＋y －1＝0．(2)在Rt △PCA 中，因为|PC |＝222 － 1 －＋ 1 － 2)()(＝10，|CA |＝2， 所以|P A |2＝|PC |2－|CA |2＝8．所以过点P 的圆的切线长为22．(3)容易求出k PC ＝－3，所以k AB ＝31．如图，由CA 2＝CD ·PC ，可求出CD ＝PC CA 2＝102．设直线AB 的方程为y ＝31x ＋b ，即x －3y ＋3b ＝0．由102＝23 ＋ 1 3 ＋ 6 － 1 b 解得b ＝1或b ＝37(舍)．所以直线AB 的方程为x －3y ＋3＝0．(3)也可以用联立圆方程与直线方程的方法求解．20．解：因为圆心C 在直线3x －y ＝0上，设圆心坐标为(a ，3a )， 圆心(a ，3a )到直线x －y ＝0的距离为d ＝22 － a ．又圆与x 轴相切，所以半径r ＝3|a |，(第19题)设圆的方程为(x －a )2＋(y －3a )2＝9a 2， 设弦AB 的中点为M ，则|AM |＝7． 在Rt △AMC 中，由勾股定理，得 22 2 － ⎪⎪⎭⎫⎝⎛a ＋(7)2＝(3|a |)2． 解得a ＝±1，r 2＝9．故所求的圆的方程是(x －1)2＋(y －3)2＝9，或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9．。
高中数学必修二同步练习题库：圆的方程(简答题：一般)
圆的方程（简答题：一般）1、求圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程。
2、（1）求过点且在两个坐标轴上截距相等的直线方程。
（2）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，求圆心为的圆的标准方程．3、（1）已知圆的圆心是与轴的交点，且与直线相切，求圆的标准方程. （2）若点在圆上，求的最大值.4、已知为圆上的动点,，为定点.（1）求线段中点M的轨迹方程；（2）若，求线段中点N的轨迹方程.5、求圆心在直线上，且过两圆，交点的圆的方程．6、已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.(1)求的轨迹方程；(2)当时，求的方程及的面积7、已知圆过，，且圆心在直线上．（Ⅰ）求此圆的方程．（Ⅱ）求与直线垂直且与圆相切的直线方程．（Ⅲ）若点为圆上任意点，求的面积的最大值．8、已知直线与相较于点，直线.（1）若点在直线上，求的值；（2）若直线交直线分别为点和点，且点的坐标为，求的外接圆的标准方程。
9、已知圆的圆心在直线上，且圆在轴、轴上截得的弦长和分别为和.（1）求圆的方程；（2）若圆心位于第四象限，点是圆内一动点，且，满足，求的范围.10、已知圆经过，两点，且圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）动直线：过定点，斜率为的直线过点，直线和圆相交于，两点，求的长度.11、已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点，（1）求圆方程；（2）是否存在过点的直线与圆交于两点，且的面积是（为坐标原点），若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.12、(1)求与圆心在直线上，且过点A(2，-3),B(-2，-5)的圆C的方程.(2)设是圆C上的点，求的最大值和最小值.13、已知方程表示一个圆.（1）求实数的取值范围；（2）求该圆半径的取值范围；（3）求该圆心的纵坐标的最小值.14、如图，经过点作两条互相垂直的直线和，直线交轴正半轴于点，直线交轴正半轴于点．（1）如果，求点的坐标．（2）试问是否总存在经过，，，四点的圆？如果存在，求出半径最小的圆的方程；如果不存在，请说明理由．15、已知为圆上任一点，且点．（1）若在圆上，求线段的长及直线的斜率．（2）求的最大值和最小值．（3）若，求的最大值和最小值．16、求圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程．17、若直线与两坐标轴的交点分别为，，求以为直径的圆的方程．18、已知圆过点，圆心在直线上且圆心在第一象限，圆被轴截得的弦长为．（I）求圆的方程．（II）过点作圆的切线，求切线的方程．19、在平面直角系中，已知两点，，直线关于直线对称．（）求直线的方程．（）圆的圆心在直线上，且与轴相切于点，求圆的方程．20、已知圆的半径为，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切．（Ⅰ）求圆的方程．（Ⅱ）过的直线与圆相交所得的弦长为，求直线的方程．21、求半径为2，圆心在直线上，且被直线：所截弦的长为的圆的方程.22、如图，l1，l2是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连结M、N两地之间的铁路线是圆心在l2上的一段圆弧．若点M在点O正北方向，且|MO|＝3 km，点N到l1，l2的距离分别为4 km和5 km.(1)建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；(2)若该城市的某中学拟在点O正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4 km，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于km，求该校址距点O的最近距离．(注：校址视为一个点)23、如图，已知矩形四点坐标为A（0，-2），C（4，2），B（4，-2），D（0，2）．（1）求对角线所在直线的方程；（2）求矩形外接圆的方程；（3）若动点为外接圆上一点，点为定点，问线段PN中点的轨迹是什么，并求出该轨迹方程。
高中数学必修2：第四章-圆与方程测试(含解析)
第四章测试(时间：120分钟总分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知两圆的方程是x2＋y2＝1和x2＋y2－6x－8y＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是()A．相离B．相交C．外切D．内切解析将圆x2＋y2－6x－8y＋9＝0，化为标准方程得(x－3)2＋(y－4)2＝16.∴两圆的圆心距(0－3)2＋(0－4)2＝5，又r1＋r2＝5，∴两圆外切．答案 C2．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为()A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋1＝0解析依题意知所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程，得y＋2 1＋2＝x－12－1，即3x－y－5＝0.答案 A3．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为() A．1，－1 B．2，－2C ．1D ．－1解析 圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心C (1,0)，半径为1，依题意得|1＋a ＋0＋1|(1＋a )2＋1＝1，即|a ＋2|＝(a ＋1)2＋1，平方整理得a ＝－1.答案 D4．经过圆x 2＋y 2＝10上一点M (2，6)的切线方程是( ) A ．x ＋6y －10＝0 B.6x －2y ＋10＝0 C ．x －6y ＋10＝0D ．2x ＋6y －10＝0解析 ∵点M (2，6)在圆x 2＋y 2＝10上，k OM ＝62， ∴过点M 的切线的斜率为k ＝－63. 故切线方程为y －6＝－63(x －2)． 即2x ＋6y －10＝0. 答案 D5．垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0解析 由题意可设所求的直线方程为y ＝－x ＋k ，则由|k |2＝1，得k ＝±2.由切点在第一象限知，k ＝ 2.故所求的直线方程y ＝－x ＋2，即x ＋y －2＝0.答案 A6．关于空间直角坐标系O －xyz 中的一点P (1,2,3)有下列说法： ①点P 到坐标原点的距离为13； ②OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫12，1，32；③与点P关于x轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)；④与点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)；⑤与点P关于坐标平面xOy对称的点的坐标为(1,2，－3)．其中正确的个数是()A．2 B．3C．4 D．5解析点P到坐标原点的距离为12＋22＋32＝14，故①错；②正确；点P关于x轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故③错；点P关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故④错；⑤正确．答案 A7．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1处，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定解析∵点M(a，b)在圆x2＋y2＝1外，∴a2＋b2>1，又圆心(0,0)到直线ax＋by＝1的距离d＝1a2＋b2<1＝r，∴直线与圆相交．答案 B8．与圆O1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆O2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线条数是()A．4 B．3C．2 D．1解析两圆的方程配方得，O1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1，O2：(x－2)2＋(y－5)2＝16，圆心O1(－2,2)，O2(2,5)，半径r1＝1，r2＝4，∴|O1O2|＝(2＋2)2＋(5－2)2＝5，r1＋r2＝5.∴|O1O2|＝r1＋r2，∴两圆外切，故有3条公切线．答案 B9．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程是()A．2x－y＝0 B．2x－y－2＝0C．x＋2y－3＝0 D．x－2y＋3＝0解析依题意知直线l过圆心(1,2)，斜率k＝2，∴l的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.答案 A10．圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆的面积为()A．9π B．πC．2π D．由m的值而定解析∵x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0，∴[x－(2m＋1)]2＋(y－m)2＝m2.∴圆心(2m＋1，m)，半径r＝|m|.依题意知2m＋1＋m－4＝0，∴m＝1.∴圆的面积S＝π×12＝π.答案 B11．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连结线段PQ的中点的轨迹方程是()A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝1解析 设P (x 1，y 1)，Q (3,0)，设线段PQ 中点M 的坐标为(x ，y )， 则x ＝x 1＋32，y ＝y 12，∴x 1＝2x －3，y 1＝2y . 又点P (x 1，y 1)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴(2x －3)2＋4y 2＝1.故线段PQ 中点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1. 答案 C12．曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，512) B ．(512，＋∞) C ．(13，34]D ．(512，34] 解析 如图所示，曲线y ＝1＋4－x 2变形为x 2＋(y －1)2＝4(y ≥1)， 直线y ＝k (x －2)＋4过定点(2,4)， 当直线l 与半圆相切时，有 |－2k ＋4－1|k 2＋1＝2，解得k ＝512. 当直线l 过点(－2,1)时，k ＝34. 因此，k 的取值范围是512<k ≤34. 答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．圆x 2＋y 2＝1上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离最小值为____________．解析 圆心(0,0)到直线3x ＋4y －25＝0的距离为5， ∴所求的最小值为4. 答案 414．圆心为(1,1)且与直线x ＋y ＝4相切的圆的方程是________． 解析 r ＝|1＋1－4|2＝2，所以圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.答案 (x －1)2＋(y －1)2＝215．方程x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0表示的圆，①关于直线y ＝x 对称；②关于直线x ＋y ＝0对称；③其圆心在x 轴上，且过原点；④其圆心在y 轴上，且过原点，其中叙述正确的是__________．解析 已知方程配方，得(x ＋a )2＋(y －a )2＝2a 2(a ≠0)，圆心坐标为(－a ，a )，它在直线x ＋y ＝0上，∴已知圆关于直线x ＋y ＝0对称．故②正确．答案 ②16．直线x －2y －3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9相交于A ，B 两点，则△AOB (O 为坐标原点)的面积为________．解析 圆心坐标(2，－3)，半径r ＝3，圆心到直线x －2y －3＝0的距离d ＝5，弦长|AB |＝2r 2－d 2＝4.又原点(0,0)到AB 所在直线的距离h ＝35，所以△AOB 的面积为S ＝12×4×35＝655.答案 655三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程． 解 解法1：连接OP ，则OP ⊥BC ，设P (x ，y )，当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即y x ·yx －4＝－1.即x2＋y2－4x＝0.①当x＝0时，P点坐标为(0,0)是方程①的解，∴BC中点P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0(在已知圆内)．解法2：由解法1知OP⊥AP，取OA中点M，则M(2,0)，|PM|＝12|OA|＝2，由圆的定义，知P点轨迹方程是以M(2,0)为圆心，2为半径的圆．故所求的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4(在已知圆内)．18．(12分)已知圆M：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－1＝0与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0相交于A，B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心坐标．解由圆M与圆N的方程易知两圆的圆心分别为M(m，－2)，N(－1，－1)．两圆的方程相减得直线AB的方程为2(m＋1)x－2y－m2－1＝0.∵A，B两点平分圆N的圆周，∴AB为圆N的直径，∴AB过点N(－1，－1)．∴2(m＋1)×(－1)－2×(－1)－m2－1＝0.解得m＝－1.故圆M的圆心M(－1，－2)．19．(12分)点M在圆心为C1的方程x2＋y2＋6x－2y＋1＝0上，点N在圆心为C2的方程x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0上，求|MN|的最大值．解把圆的方程都化成标准形式，得(x＋3)2＋(y－1)2＝9，(x＋1)2＋(y＋2)2＝4.如图所示，C 1的坐标是(－3,1)，半径长是3；C 2的坐标是(－1，－2)，半径长是2.所以，|C 1C 2|＝(－3＋1)2＋(1＋2)2＝13.因此，|MN |的最大值是13＋5.20．(12分)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0，从圆C 外一点P 向圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求|PM |的最小值．解 如图：PM 为圆C 的切线，则CM ⊥PM ，∴△PMC 为直角三角形，∴|PM |2＝|PC |2－|MC |2.设P (x ，y )，C (－1,2)，|MC |＝ 2. ∵|PM |＝|PO |，∴x 2＋y 2＝(x ＋1)2＋(y －2)2－2.化简得点P 的轨迹方程为2x －4y ＋3＝0.求|PM |的最小值，即求|PO |的最小值，即求原点O 到直线2x －4y ＋3＝0的距离，代入点到直线的距离公式可求得|PM |最小值为3510.21．(12分)已知圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0及点Q (－2，3)， (1)若点P (m ，m ＋1)在圆C 上，求PQ 的斜率；(2)若点M 是圆C 上任意一点，求|MQ |的最大值、最小值；(3)若N (a ，b )满足关系：a 2＋b 2－4a －14b ＋45＝0，求出t ＝b －3a ＋2的最大值．解 圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0可化为(x －2)2＋(y －7)2＝8. (1)点P (m ，m ＋1)在圆C 上，所以m 2＋(m ＋1)2－4m －14(m ＋1)＋45＝0，解得m ＝4，故点P (4,5)．所以PQ 的斜率是k PQ ＝5－34＋2＝13；(2)如图，点M 是圆C 上任意一点，Q (－2,3)在圆外， 所以|MQ |的最大值、最小值分别是 |QC |＋r ，|QC |－r . 易求|QC |＝42，r ＝22， 所以|MQ |max ＝62，|MQ |min ＝2 2.(3)点N 在圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上，t ＝b －3a ＋2表示的是定点Q (－2,3)与圆上的动点N 连线l 的斜率． 设l 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0. 当直线和圆相切时，d ＝r ，即|2k －7＋2k ＋3|k 2＋1＝22，解得k ＝2±3.所以t ＝b －3a ＋2的最大值为2＋ 3.22．(12分)已知曲线C ：x 2＋y 2＋2kx ＋(4k ＋10)y ＋10k ＋20＝0，其中k ≠－1. (1)求证：曲线C 表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上； (2)证明曲线C 过定点；(3)若曲线C 与x 轴相切，求k 的值．解 (1)证明：原方程可化为(x ＋k )2＋(y ＋2k ＋5)2＝5(k ＋1)2. ∵k ≠－1，∴5(k ＋1)2>0.故方程表示圆心为(－k ，－2k －5)，半径为5|k ＋1|的圆．设圆心的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝－k ，y ＝－2k －5.消去k ，得2x －y －5＝0.∴这些圆的圆心都在直线2x －y －5＝0上． (2)证明：将原方程变形为(2x ＋4y ＋10)k ＋(x 2＋y 2＋10y ＋20)＝0， ∵上式对于任意k ≠－1恒成立，∴⎩⎨⎧2x ＋4y ＋10＝0，x 2＋y 2＋10y ＋20＝0.解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－3.∴曲线C 过定点(1，－3)． (3)∵圆C 与x 轴相切，∴圆心(－k ，－2k －5)到x 轴的距离等于半径． 即|－2k －5|＝5|k ＋1|.两边平方，得(2k ＋5)2＝5(k ＋1)2. ∴k ＝5±3 5.。
高中数学必修二同步练习题库：圆的方程(选择题：较易)
圆的方程（选择题：较易）1、若圆与轴相切于点，与轴的正半轴交于两点，且，则圆的标准方程是（）A． B．C． D．2、方程表示一个圆，则的范围是（）A． B．C． D．3、与圆同圆心，且过的圆的方程是（）A． B．C． D．4、已知圆的圆心与点关于直线对称．直线与圆相交于两点，且，则圆的方程为A． B．C． D．5、在平面直角坐标系中，动点的坐标满足方程，则点的轨迹经过（）A．第一、二象限 B．第二、三象限C．第三、四象限 D．第一、四象限6、圆的圆心坐标和半径分别为（）A．（0,2），2 B．（2,0），2 C．（-2,0），4 D．（2,0），47、以为圆心，且与两条直线与同时相切的圆的标准方程为（）A． B．C． D．8、圆心为且过点的圆的方程是（）A． B．C． D．9、点A（1,0）在圆上，则a的值为（）A．1 B．-2 C．1或-2 D．2或-210、方程表示的圆（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线对称D．关于直线对称11、已知点P（x，y）为圆C：x2+y2﹣6x+8=0上的一点，则x2+y2的最大值是（）A．2 B．4 C．9 D．1612、圆心在轴上，半径为1，且过点（1,2）的圆的方程是（）A． B．C． D．13、圆:与圆:的位置关系是( )A．相交 B．外切 C．内切 D．相离14、已知圆的圆心为（-2,1），其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（）A． B．C． D．15、圆的圆心坐标和半径分别是（）A． B． C． D．16、由曲线围成的图形的面积为（）A． B． C． D．17、点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A．(x-2)2+(y+1)2=1 B．(x-2)2+(y+1)2=4C．(x+4)2+(y-2)2=4 D．(x+2)2+(y-1)2=118、若直线过圆的圆心，则实数的值为（）A． B． C． D．19、圆，那么与圆有相同的圆心，且经过点的圆的方程是（）．A． B．C． D．20、圆的方程为，则其圆心坐标及半径分别为（）．A．， B．， C．， D．，21、若圆与圆关于原点对称，则圆的方程为（）．A． B．C． D．22、圆的圆心坐标与半径是（）A． B．C． D．23、已知A(－4，－5)、B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程( )A．(x＋1)2＋(y－3)2＝29 B．(x－1)2＋(y＋3)2＝29C．(x＋1)2＋(y－3)2＝116 D．(x－1)2＋(y＋3)2＝11624、若表示圆，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．25、对于，直线恒过定点，则以为圆心，2为半径的圆的方程是（）A． B．C． D．26、已知圆：，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（）A． B．C． D．27、已知圆的方程为，则圆的半径为（）A．3 B．9 C． D．28、已知圆心，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（）A． B．C． D．29、圆的圆心坐标与半径是（）A． B．C． D．30、经过圆x2+y2+2y=0的圆心C，且与直线2x+3y-4=0平行的直线方程为（）A．2x+3y+3=0 B．2x+3y-3=0 C．2x+3y+2=0 D．3x-2y-2=031、以点A为圆心，且与轴相切的圆的方程为（）A． B．C． D．32、方程x2＋y2＋x＋y－m＝0表示一个圆，则m的取值范围是()．A．m>－ B．m<－ C．m≤－ D．m≥－33、在平面直角坐标系中,以点为圆心且与直线相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为（）A． B． C． D．34、圆的圆心坐标和半径分别为A．圆心 B．圆心C．圆心 D．圆心35、过点P(2 ，1)且被圆C：x 2＋y2– 2x＋4y =" 0" 截得弦长最长的直线l的方程是（）A．3x – y– 5 = 0 B．3x ＋y– 7 = 0C．x –3y＋5 = 0 D．x ＋3y– 5 = 036、过点、点且圆心在直线上的圆的方程是（）A．B．C．D．37、圆关于直线对称的圆的方程为()A． B．C． D．38、已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为（）A． B． C． D．39、若直线（，），经过圆的圆心，则的最小值是（）A． B． C． D．40、抛物线与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为（）A． B．C． D．41、圆与轴相切于，与轴正半轴交于两点，且，则圆的标准方程为（）A．B．C．D．42、过，圆心在轴上的圆的方程为（）A． B．C． D．43、方程x2＋y2＋4x－2y＋5＝0表示的曲线是（）A．两直线 B．圆 C．一点 D．不表示任何曲线44、如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F>0）所表示的曲线关于y＝x对称，则必有（）A．D＝E B．D＝F C．F＝E D．D＝E＝F45、圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为（）A．（4，－6），r＝16 B．（2，－3），r＝4C．（－2，3），r＝4 D．（2，－3），r＝1646、若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是（）A．R B．（－∞，1） C．（－∞，1] D．[1，＋∞）47、已知圆的方程为，过点的该圆的所有弦中，最短的弦长为（）A． B． C．2 D．448、若圆始终平分圆的周长，则满足的关系是（）A． B．C． D．49、已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0)，B(5,0)，此圆的标准方程为( ) A．(x－3)2＋y2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝450、已知点P(a，a＋1)在圆x2＋y2＝25内部，那么a的取值范围是( )A．－4<a<3 B．－5<a<4 C．－5<a<5 D．－6<a<451、圆心是(4，－1)，且过点(5,2)的圆的标准方程是( )A．(x－4)2＋(y＋1)2＝10B．(x＋4)2＋(y－1)2＝10C．(x－4)2＋(y＋1)2＝100D．(x－4)2＋(y＋1)2＝52、点P(a,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．不确定53、圆和圆的公共弦长为（）A． B．C． D．54、方程表示的曲线为（）A．一条直线和一个圆 B．一条线段与半圆C．一条射线与一段劣弧 D．一条线段与一段劣弧55、已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则=（）A．2 B．C．6 D．56、已知圆，圆，圆与圆的位置关系为（）A．外切 B．内切C．相交 D．相离57、设圆的方程是，若，则原点与圆的位置关系是（）A．原点在圆上 B．原点在圆外C．原点在圆内 D．不确定58、已知圆，直线上至少存在一点，使得以点为圆心，半径为的圆与圆有公共点，则的最小值是（）A． B．C． D．59、过两点的面积最小的圆的方程为（）A．B．C．D．60、已知两圆的圆心距=" 3" ，两圆的半径分别为方程的两根，则两圆的位置关系是（）A．相交 B．相离 C．相切 D．内含61、与圆及圆都外切的圆的圆心在（）A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上C．一条抛物线上 D．一个圆上62、圆与圆的位置关系是（）A．相交 B．外切C．内切 D．相离63、已知圆的方程为是该圆内一点，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积是（）A． B．C． D．64、已知圆的方程为是该圆内一点，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积是（）A． B．C． D．65、已知圆心，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（）A． B．C． D．66、以为圆心，4为半径的圆的方程为（）A． B．C． D．67、两圆与的位置关系为（）A．内切 B．外切C．相交 D．相离68、过点且圆心在直线上的圆的方程是（）A．B．C．D．69、若圆与圆的公共弦的长为，则（）A．2 B．1C． D．70、动点与定点的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程是（）A．B．C．D．参考答案1、C2、A3、B4、A5、A.6、B7、A8、D9、B10、D11、D12、A13、A14、C15、D16、B17、A18、A19、B20、D21、A22、D23、B24、B25、A26、B27、A28、B29、D30、A31、A32、A33、B34、B35、A36、C37、D38、C39、B40、D41、A42、D43、C44、A45、C46、B47、C48、C49、A50、A51、A52、A53、A54、D55、C56、C57、B58、A59、A60、D61、B62、D63、D64、D65、D66、C67、D68、C69、B70、C【解析】1、设中点为，则∴故选C．2、试题分析：由圆的一般式方程可知考点：圆的方程3、试题分析：把原圆的方程写成标准方程为，由于两圆共圆心，可设另一个圆方程为：，把代入所设方程，得：，所以所求的圆的方程为，化简为：，故选B.考点：1、圆的一般式方程；2、圆的标准方程的.4、试题分析：易知关于直线的对称点为，即，圆心到直线的距离为，所以，圆方程为．故选A．考点：圆的标准方程．5、试题分析：由题意得，点在以为圆心，为半径的圆上，如下图所示，故可知点在第一、二象限，故选A.考点：圆的标准方程.6、试题分析：，所以圆心坐标和半径分别为（2,0）和2，选B.考点：圆标准方程7、试题分析：因为两条直线与的距离为，所以所求圆的半径为，所以圆心到直线的距离为即或，又因为圆心到直线的距离也为，所以，所以所求的标准方程为，故应选.考点：直线与圆的位置关系.8、试题分析：由圆的标准方程可知所求圆为考点：圆的方程9、试题分析：因为点在圆上，故解得.考点：圆的一般方程.10、试题分析：圆心，即圆心坐标满足方程，所以圆关于直线对称，考点：圆的性质11、试题分析：将圆C化为标准方程，找出圆心与半径，作出相应的图形，所求式子表示圆上点到原点距离的平方，根据图形得到当P与A重合时，离原点距离最大，求出所求式子的最大值即可．解：圆C化为标准方程为（x﹣3）2+y2=1，根据图形得到P与A（4，0）重合时，离原点距离最大，此时x2+y2=42=16．故选D考点：圆的一般方程．12、试题分析：设圆的标准方程为，由题可知，a=0，r=1，将（1,2）代入方程，可求得b=2，因此圆的标准方程为。
高中数学圆与方程精选题目(附答案)
高中数学圆与方程精选题目（附答案）1．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)关于yOz平面对称的点的坐标为()A．(－3,4,5)B．(－3，－4,5)C．(3，－4，－5) D．(－3,4，－5)解析：选A纵、竖坐标相同．故点P(3,4,5)关于yOz平面对称的点的坐标为(－3,4,5)．2．已知圆O以点(2，－3)为圆心，半径等于5，则点M(5，－7)与圆O的位置关系是() A．在圆内B．在圆上C．在圆外D．无法判断解析：选B点M(5，－7)到圆心(2，－3)的距离d＝(5－2)2＋(－7＋3)2＝5，故点M 在圆O上．3．直线x＋y－1＝0被圆(x＋1)2＋y2＝3截得的弦长等于()A. 2 B．2C．2 2 D．4解析：选B由题意，得圆心为(－1,0)，半径r＝3，弦心距d＝|－1＋0－1|12＋12＝2，所以所求的弦长为2r2－d2＝2，选B.4．若点P(1,1)为圆x2＋y2－6x＝0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为() A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝0解析：选D由题意，知圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝9，圆心为A(3,0)．因为点P(1,1)为弦MN的中点，所以AP⊥MN.又AP的斜率k＝1－01－3＝－12，所以直线MN的斜率为2，所以弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.5．已知圆M：x2＋y2＝2与圆N：(x－1)2＋(y－2)2＝3，那么两圆的位置关系是() A．内切B．相交C．外切D．外离解析：选B∵圆M：x2＋y2＝2的圆心为M(0,0)，半径为r1＝2；圆N：(x－1)2＋(y－2)2＝3的圆心为N(1,2)，半径为r2＝3；|MN|＝12＋22＝5，且3－2＜5＜2＋3，∴两圆的位置关系是相交．6．(2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()A．－43B．－34C. 3 D ．2解析：选A 因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.7．半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为( ) A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6 B ．(x ±4)2＋(y －6)2＝6 C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36D ．(x ±4)2＋(y －6)2＝36解析：选D ∵半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b )，则b ＝6.再由a 2＋32＝5，可以解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.8．经过点M (2,1)作圆x 2＋y 2＝5的切线，则切线方程为( ) A.2x ＋y －5＝0 B.2x ＋y ＋5＝0 C ．2x ＋y －5＝0D ．2x ＋y ＋5＝0解析：选C ∵M (2,1)在圆上，∴切线与MO 垂直． ∵k MO ＝12，∴切线斜率为－2.又过点M (2,1)，∴y －1＝－2(x －2)，即2x ＋y －5＝0.9．把圆x 2＋y 2＋2x －4y －a 2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x －4y －4＝0相切，则实数a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－3或3D ．以上都不对解析：选C 圆的方程可变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝a 2＋7，圆心为(－1,2)，半径为a 2＋7，由题意得|－1×3－4×2－4|(－3)2＋42＝a 2＋7－1，解得a ＝±3. 10.如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为( )A ．14米B ．15米 C.51米D ．251米解析：选D 如图，以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x 轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y 轴，建立平面直角坐标系．设圆心为C ，水面所在弦的端点为A ，B ， 则由已知可得A (6，－2)， 设圆的半径长为r ，则C (0，－r )， 即圆的方程为x 2＋(y ＋r )2＝r 2.将点A 的坐标代入上述方程可得r ＝10， 所以圆的方程为x 2＋(y ＋10)2＝100，当水面下降1米后，水面弦的端点为A ′，B ′，可设A ′(x 0，－3)(x 0>0)，代入x 2＋(y ＋10)2＝100，解得x 0＝51， ∴水面宽度|A ′B ′|＝251米．11．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：选A 设点P (3,1)，圆心C (1,0)．已知切点分别为A ，B ，则P ，A ，C ，B 四点共圆，且PC 为圆的直径．故四边形PACB 的外接圆圆心坐标为⎝⎛⎭⎫2，12，半径长为12(3－1)2＋(1－0)2＝52.故此圆的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝54.① 圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.②①－②得2x ＋y －3＝0，此即为直线AB 的方程．12．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 的面积为( )A ．1B.2 C ．2 D ．2 2解析：选A 由题意，得圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r ＝2.因为直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率为－1，方程为y －0＝－(x －1)，即为x ＋y －1＝0.又圆心(0，－1)到直线l 的距离d ＝|0－1－1|2＝2，所以弦长|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2.又坐标原点O 到弦AB 的距离为|0＋0－1|2＝12，所以△OAB 的面积为12×22×12＝1.故选A.13．已知圆M 与直线x －y ＝0及x －y ＋4＝0都相切，圆心在直线y ＝－x ＋2上，则圆M 的标准方程为____________________．解析：由圆心在y ＝－x ＋2上，设圆心为(a,2－a )， ∵圆M 与直线x －y ＝0及x －y ＋4＝0都相切，∴圆心到直线x －y ＝0的距离等于圆心到直线x －y ＋4＝0的距离， 即|2a －2|2＝|2a ＋2|2，解得a ＝0， ∴圆心坐标为(0,2)，r ＝|2a －2|2＝2，∴圆M 的标准方程为x 2＋(y －2)2＝2. 答案：x 2＋(y －2)2＝214．已知空间直角坐标系中三点A ，B ，M ，点A 与点B 关于点M 对称，且已知A 点的坐标为(3,2,1)，M 点的坐标为(4,3,1)，则B 点的坐标为______________．解析：设B 点的坐标为(x ，y ，z )，则有x ＋32＝4，y ＋22＝3，z ＋12＝1，解得x ＝5，y ＝4，z ＝1，故B 点的坐标为(5,4,1)． 答案：(5,4,1)15．圆O ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的动点Q 到直线l ：3x ＋4y ＋8＝0的距离的最大值是________．解析：∵圆O 的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心(1,1)到直线l 的距离为|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3>1，∴动点Q 到直线l 的距离的最大值为3＋1＝4.答案：416．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．解析：圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程为x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，因为|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a ，即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2，由勾股定理得⎝⎛⎭⎫2322＋⎝⎛⎭⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π. 答案：4π17．(本小题满分10分)已知正四棱锥P -ABCD 的底面边长为4，侧棱长为3，G 是PD 的中点，求|BG |.解：∵正四棱锥P -ABCD 的底面边长为4，侧棱长为3， ∴正四棱锥的高为1.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB ，BC 所在的直线分别为y 轴、x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥的顶点B ，D ，P 的坐标分别为B (2,2,0)，D (－2，－2,0)，P (0,0,1)．∴G 点的坐标为G ⎝⎛⎭⎫－1，－1，12 ∴|BG |＝32＋32＋14＝732.18．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心为(2,1)，若圆C 与圆O ：x 2＋y 2－3x ＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，求圆C 的方程．解：设圆C 的半径长为r ，则圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2，即x 2＋y 2－4x －2y ＋5＝r 2，圆C 与圆O 的方程相减得公共弦所在直线的方程为x ＋2y －5＋r 2＝0，因为该直线过点(5，－2)，所以r 2＝4，则圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.19．(本小题满分12分)已知从圆外一点P (4,6)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B.(1)求以OP 为直径的圆的方程； (2)求直线AB 的方程．解：(1)∵所求圆的圆心为线段OP 的中点(2,3)， 半径为12|OP |＝ 12(4－0)2＋(6－0)2＝13，∴以OP 为直径的圆的方程为(x －2)2＋(y－3)2＝13.(2)∵PA ，PB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线， ∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴A ，B 两点都在以OP 为直径的圆上．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，(x －2)2＋(y －3)2＝13，得直线AB 的方程为4x ＋6y －1＝0. 20．(本小题满分12分)已知圆过点A (1，－2)，B (－1,4)． (1)求周长最小的圆的方程；(2)求圆心在直线2x －y －4＝0上的圆的方程．解：(1)当线段AB 为圆的直径时，过点A ，B 的圆的半径最小，从而周长最小， 即以线段AB 的中点(0,1)为圆心，r ＝12|AB |＝10为半径．则所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10. (2)法一：直线AB 的斜率k ＝4－(－2)－1－1＝－3，则线段AB 的垂直平分线的方程是y －1＝13x即x －3y ＋3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋3＝0，2x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即圆心的坐标是C (3,2)．∴r 2＝|AC |2＝(3－1)2＋(2＋2)2＝20. ∴所求圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝20. 法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝R 2.则⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(－2－b )2＝R 2，(－1－a )2＋(4－b )2＝R 2，2a －b －4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，R 2＝20.∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝20.21．(本小题满分12分)已知圆x 2＋y 2－4ax ＋2ay ＋20a －20＝0. (1)求证：对任意实数a ，该圆恒过一定点； (2)若该圆与圆x 2＋y 2＝4相切，求a 的值．解：(1)证明：圆的方程可整理为(x 2＋y 2－20)＋a (－4x ＋2y ＋20)＝0， 此方程表示过圆x 2＋y 2－20＝0和直线－4x ＋2y ＋20＝0交点的圆系．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－20＝0，－4x ＋2y ＋20＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2.∴已知圆恒过定点(4，－2)．(2)圆的方程可化为(x －2a )2＋(y ＋a )2＝5(a －2)2. ①当两圆外切时，d ＝r 1＋r 2， 即2＋5(a －2)2＝5a 2， 解得a ＝1＋55或a ＝1－55(舍去)； ②当两圆内切时，d ＝|r 1－r 2|， 即|5(a －2)2－2|＝5a 2， 解得a ＝1－55或a ＝1＋55(舍去)． 综上所述，a ＝1±55.22．(本小题满分12分)(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)，当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． 解：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下： 设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2. 又C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：由(1)知BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22. 由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎨⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22，x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎨⎧x ＝－m2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝⎛⎭⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．。
高中数学圆的方程典型例题
高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1求过两点)4,1(A、)2,3(B且圆心在直线0=y上的圆的标准方程并判断点)4,2(P与圆的关系．例2求半径为4，与圆042422=---+y某y某相切，且和直线0=y相切的圆的方程．例3求经过点)5,0(A，且与直线02=-y某和02=+y某都相切的圆的方程．例4、设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2；(2)被某轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y某l：的距离最小的圆的方程．类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5已知圆422=+y某O：，求过点()42，P与圆O相切的切线．例6两圆0111221=++++FyE某Dy某C：与0222222=++++FyE某Dy某C：相交于A、B两点，求它们的公共弦AB所在直线的方程．例7、过圆122=+y某外一点)3,2(M，作这个圆的两条切线MA、MB，切点分别是A、B，求直线AB的方程。
练习：1．求过点(3,1)M，且与圆22(1)4某y-+=相切的直线l的方程．2、过坐标原点且与圆0252422=++-+y某y某相切的直线的方程为3、已知直线0125=++ay某与圆0222=+-y某某相切，则a的值为.类型三：弦长、弧问题例8、求直线063:=--y某l被圆042:22=--+y某y某C截得的弦AB 的长.例9、直线0323=-+y某截圆422=+y某得的劣弧所对的圆心角为例10、求两圆0222=-+-+y某y某和522=+y某的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系例11、已知直线0323=-+y某和圆422=+y某，判断此直线与已知圆的位置关系.例12、若直线m某y+=与曲线24某y-=有且只有一个公共点，求实数m的取值范围.例13圆9)3()3(22=-+-y某上到直线01143=-+y某的距离为1的点有几个？练习1：直线1=+y某与圆)0(0222>=-+aayy某没有公共点，则a的取值范围是练习2：若直线2+=k某y与圆1)3()2(22=-+-y某有两个不同的交点，则k的取值范围是.3、圆034222=-+++y某y某上到直线01=++y某的距离为2的点共有（）．（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个4、过点()43--，P作直线l，当斜率为何值时，直线l与圆()()42122=++-y某C：有公共点，如图所示．类型五：圆与圆的位置关系问题导学四：圆与圆位置关系如何确定？例14、判断圆02662:221=--++y某y某C与圆0424:222=++-+y某y某C的位置关系，例15：圆0222=-+某y某和圆0422=++yy某的公切线共有条。
高中数学圆的方程典型例题(含答案)
高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(ra r a解之得：1-=a ，202=r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外．例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(r b y a x C =-+-：． 圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆042422=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3．若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ．(1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ． ∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．(2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ． ∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ．说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线0=y 相切且半径为4，则圆心坐标为)4,(a C ，且方程形如2224)4()(=-+-y a x ．又圆042422=---+y x y x ，即2223)1()2(=-+-y x ，其圆心为)1,2(A ，半径为3．若两圆相切，则34+=CA ．故2227)14()2(=-+-a ，解之得1022±=a ．所以欲求圆的方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．上述误解只考虑了圆心在直线0=y 上方的情形，而疏漏了圆心在直线0=y 下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切， ∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等．∴5252y x y x +=-．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ． 又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上． 设圆心)3,(t t C∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ，∴22)53(532-+=+t t t t ．化简整理得0562=+-t t ．解得：1=t 或5=t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55． ∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x ．说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．例4、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ． 则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ．由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2． ∴222b r =又圆截y 轴所得弦长为2． ∴122+=a r ．又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为52b a d -=∴2225b a d -=ab b a 4422-+= )(242222b a b a +-+≥ 1222=-=a b当且仅当b a =时取“=”号，此时55min =d ． 这时有⎩⎨⎧=-=1222a b b a ∴⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 又2222==b r故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x 解法二：同解法一，得52b a d -=．∴d b a 52±=-．∴2225544d bd b a +±=． 将1222-=b a 代入上式得：01554222=++±d bd b ．上述方程有实根，故0)15(82≥-=∆d ，∴55≥d ． 将55=d 代入方程得1±=b ． 又1222+=a b ∴1±=a ． 由12=-b a 知a 、b 同号．故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ． 说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线． 解：∵点()42，P 不在圆O 上， ∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d =∴21422=++-kk解得 43=k 所以 ()4243+-=x y即 01043=+-y x因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．例6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有：0101012020=++++F y E x D y x ① 0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得：0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． ∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程． 又过A 、B 两点的直线是唯一的．∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．说明：上述解法中，巧妙地避开了求A 、B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．例7、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。
高中数学必修第章《圆的方程》综合检测题
第4章《圆的方程》综合检测题时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是( ) A ．－3或4 B ．6或24．直线l ：y ＝k (x ＋12)与圆C ：x 2＋y 2＝1的位置关系是( )A ．相交或相切B ．相交或相离C ．相切D ．相交[答案] D[解析] 方法一：圆C 的圆心(0,0)到直线y ＝k (x ＋12)的距离d ＝|12k |k 2＋1，∵d 2＝14k 2k 2＋1＜14＜1，∴所判断的位置关系为相交．方法二：直线l ：y ＝k (x ＋12)过定点(－12，0)，而点(－12，0)在圆C ：x 2＋y 2＝1内部，故直线l与圆C 相交．5．直线x －2y ＋3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E ，F 两点，则△EOF (O 是原点)的面积为( )∴切线方程为x －3y ＋2＝0.7．若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( ) A ．－1或 3 B ．1或3 C ．－2或6 D ．0或4 [答案] D[解析] 由半径、半弦长、圆心到直线的距离d 所形成的直角三角形，可得d ＝2，故?a －2?2＝2，解得a ＝4，或a ＝0.8．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P ，Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为原点)，则k 的值为( )A ．－3或 3B ． 3C ．－2或 2D ． 2[答案] A[解析] 方法1：∵|PQ |＝2×1×sin60°＝3，圆心到直线的距离d ＝1－?32?2＝12，( ) 2，所垂直，．12[答案] C[解析] 易知点P (2,2)在圆上，由切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，得过点P (2,2)与圆心(1,0)的直线与直线ax －y ＋1＝0平行，所以2－02－1＝a ，解得a ＝2.11．(2013·山东)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0[答案] A[解析] 根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是－2，只有选项A 中直线的斜率为－2.12．若圆C ：x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：x －y ＋c ＝0的距离为22，则c 的取值范围是( )A ．[－22，22]B ．(－22，22)． 的公共弦的长为23，则a ＝________.[答案] 1[解析] 由(x 2＋y 2＋2ay －6)－(x 2＋y 2－4)＝0得两圆公共弦方程为ay －1＝0，又因公共弦长为23，所以圆心(0,0)到该公共弦的距离为1，即|0－1|a 2＝1.又a ＞0，所以a ＝1.15．已知圆C 的方程为x 2＋y 2－2y －3＝0，过点P (－1,2)的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若使|AB |最小，则直线l 的方程是________．[答案] x －y ＋3＝0[解析] ∵(－1)2＋22－2×2－3＝－2<0， ∴点P 在圆内，∴当AB ⊥CP 时，|AB |最小． ∵k CP ＝－1，∴k l ＝1，则y －2＝x ＋1，即x －y ＋3＝0.16．由直线y ＝x ＋1上一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为________． [答案]7[解析] 当直线上的点到圆心的距离最小切线长最短，直线y ＝x ＋1上的点到(3,0)的最短距离) a ，则B (a ，a,0)，A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )，D 1(0,0，a )．由于M 为BD 1的中点，所以M (a 2，a 2，a 2)，取A 1C 1中点O 1，则O 1(a 2，a2，a )，因为|A 1N |＝3|NC 1|，所以N 为O 1C 1的中点， 故N (a 4，34a ，a )．由两点间的距离公式可得：|MN |＝?a 2－a 4?2＋?a 2－34a ?2＋?a2－a ?2 ＝64a . 19．(本小题满分12分)由动点P 引圆x 2＋y 2＝10的两条切线P A ，PB ，直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，若k 1，k 2满足k 1＋k 2＋k 1k 2＝－1，求动点P 的轨迹方程．[解析] 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，由点(0,0)到切线的距离为|kx 0－y 0|1＋k 22⎩⎪⎨⎪⎧C 台风对该市的影响持续时间为10小时．21．(本小题满分12分)已知点(0,1)，(3＋22，0)，(3－22，0)在圆C 上． (1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．[解析] (1)由题意可设圆C 的圆心为(3，t)，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1.则圆C 的圆心为(3,1)，半径长为?3－0?2＋?1－1?2＝3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0?x －3?2＋?y －1?2＝9消去y ，得2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0，此时判别式Δ＝56－16a －4a 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，＝0② C a .(2)假设存在Q (m ，n )符合题意，则(m －4)2＋n 2＝16，m 2＋n 2≠0，(m ＋2)2＋(n －2)2＝8， 解得m ＝45，n ＝125，故圆C 上存在异于原点的点Q (45，125)符合题意．。
高中数学-圆与方程试题含答案
高中数学-圆与方程试题含答案1.圆(x+2)^2+y=5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为()A。
(x-2)^2+y=5B。
x+(y-2)^2=5C。
(x+2)^2+(y+2)^2=5D。
x+(y+2)^2=52.若P(2,-1)为圆(x-1)^2+y=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A。
x-y-3=0B。
2x+y-3=0C。
x+y-1=0D。
2x-y-5=03.圆x+y-2x-2y+1=1的点到直线x-y=2的距离最大值是（）A。
2B。
1+√2C。
1+2√2D。
1+24.将直线2x-y+λ=0，沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x^2+y^2+2x-4y=0相切，则实数λ的值为（）A。
-3或7B。
-2或8C。
0或10D。
1或115.在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有（）A。
1条B。
2条C。
3条D。
4条6.圆x+y-4x=0在点P(1,3)处的切线方程为（）A。
x+3y-2=0B。
x+3y-4=0C。
x-3y+4=0D。
x-3y+2=0二、填空题1.若经过点P(-1,0)的直线与圆x^2+y^2+4x-2y+3=0相切，则此直线在y轴上的截距是 _________.2.由动点P向圆x^2+y^2=1引两条切线PA,PB，切点分别为A,B，∠APB=60，则动点P的轨迹方程为 _________.3.圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2)，则圆C的方程为 _________.4.已知圆(x-3)^2+y^2=4和过原点的直线y=kx的交点为P,Q，则OP·OQ的值为 _________.5.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA,PB是圆x^2+y^2-2x-2y+1=0的切线，A,B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是 _________.三、解答题1.点P(a,b)在直线x+y+1=0上，求a^2+b^2-2a-2b+2的最小值。
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高中数学-圆的方程测试题（满分150分 时间 120分钟）班级：__________ 姓名：__________ 成绩：__________一、 选择题（每题5分，共12题，共60分）1．(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的圆心与半径分别为( )A ．(－1，2)，2B ．(1，－2)，2C ．(－1，2)，4D ．(1，－2)，42．已知某圆的一条直径的端点分别是A (4，0)，B (0，－6)，则该圆的标准方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13B ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝52C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52D ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝133．点P (m 2，5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( )A ．在圆内B ．在圆外C ．在圆上D ．不确定4．已知圆C 经过A (5，2)，B (－1，4)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的标准方程是( )A ．(x －2)2＋y 2＝13B ．(x ＋2)2＋y 2＝17C ．(x ＋1)2＋y 2＝40D ．(x －1)2＋y 2＝205．若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F ＝________．6．圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线y ＝33x 的距离为( ) A ．12 B ．32 C ．1 D ． 37．圆的方程为(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0，则圆心坐标为( )A ．(1，－1)B ．(12，－1)C ．(－1，2)D ．(－12，－1) 8．如果过A (2，1)的直线l 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0平分，则l 的方程为( )A ．x ＋y －3＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．x －y －1＝0D ．x －2y ＝09．若方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则k 的取值范围是( )A ．k >1B ．k <1C ．k ≥1D ．k ≤110．方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形是( )A ．以(a ，b )为圆心的圆B ．以(－a ，－b )为圆心的圆C ．点(a ，b )D ．点(－a ，－b )11．已知圆x 2＋y 2－2ax －2y ＋(a －1)2＝0(0<a <1)，则原点O 在( )A ．圆内B ．圆外C ．圆上D ．圆上或圆外12．已知两定点A (－2，0)，B (1，0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π二、填空题（每题5分，共4题，共20分）13．圆心为点P (2，－2)，且过点(－1，2)的圆的标准方程是________．14．若圆心在x 轴上，半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆O 的方程是________．15．圆O 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，点(2，3)到圆上的最大距离为________．16．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则P A 的中点M 的轨迹方程是________．三、解答题（共6题，共70分）17．（12分）求满足下列条件的圆的标准方程：(1)经过点P(5，1)，圆心为点C(8，－3)；(2)经过点P(4，2)，Q(－6，－2)，且圆心在y轴上．18．（12分）等腰三角形ABC的顶点A(4，2)，底边的一个端点是B(3，5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．19．（12分）已知点A(－2，－2)，B(－2，6)，C(4，－2)，点P在圆x2＋y2＝4上运动，求|P A|2＋|PB|2＋|PC|2的最值．20．（12分）已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1，0)，B(5，0)．(1)求此圆的标准方程；(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求点P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值．21．（10分）求经过两点A(4，2)，B(－1，3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．22．（12分）已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，及点Q(－2，3)．(1)P(a，a＋1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；(2)若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值．圆的方程 （逐题解析）二、 选择题（每题5分，共12题，共60分）1．(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的圆心与半径分别为( )A ．(－1，2)，2B ．(1，－2)，2C ．(－1，2)，4D ．(1，－2)，4解析：选A ．由(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，可得圆心为(－1，2)，r 为2.2．已知某圆的一条直径的端点分别是A (4，0)，B (0，－6)，则该圆的标准方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13B ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝52C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52D ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝13解析：选D ．由中点坐标公式得圆心(2，－3)，r ＝12|AB |＝12 （4－0）2＋（0＋6）2＝13，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13.3．点P (m 2，5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( )A ．在圆内B ．在圆外C ．在圆上D ．不确定解析：选B ．由m 4＋25>24可知，点P (m 2，5)在圆x 2＋y 2＝24的外部．4．已知圆C 经过A (5，2)，B (－1，4)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的标准方程是( )A ．(x －2)2＋y 2＝13B ．(x ＋2)2＋y 2＝17C ．(x ＋1)2＋y 2＝40D ．(x －1)2＋y 2＝20解析：选D ．∵圆心在x 轴上，∴设圆心坐标为C (a ，0)．又∵圆C 经过A (5，2)，B (－1，4)两点，∴半径r ＝|AC |＝|BC |，可得 （a －5）2＋（－2）2＝（a ＋1）2＋（－4）2，解之得a ＝1，可得半径r ＝（a －5）2＋（－2）2＝20，∴圆C 的标准方程是(x －1)2＋y 2＝20.5．若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F ＝________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧－D 2＝2－E 2＝－412 D 2＋E 2－4F ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4E ＝8F ＝4. 答案：46．圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线y ＝33x 的距离为( ) A ．12 B ．32 C ．1 D ． 3解析：选A ．(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1，0)，则圆心到直线y ＝33x 的距离d ＝33＋9＝12. 7．圆的方程为(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0，则圆心坐标为( )A ．(1，－1)B ．(12，－1)C ．(－1，2)D ．(－12，－1)解析：选D ．由(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0，化简得x 2＋y 2＋x ＋2y －10＝0，圆心为(－12，－1)． 8．如果过A (2，1)的直线l 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0平分，则l 的方程为( )A ．x ＋y －3＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．x －y －1＝0D ．x －2y ＝0解析：选A.由x 2＋y 2－2x －4y ＝0配方得，(x －1)2＋(y －2)2＝5.因为所求直线l 将圆平分，故直线过圆心(1，2)，则直线l 的方程为y －12－1＝x －21－2，即x ＋y －3＝0. 9．若方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则k 的取值范围是( )A ．k >1B ．k <1C ．k ≥1D ．k ≤1解析：选B ．若x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则(－4)2＋22－20k >0，得k <1.10．方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形是( )A ．以(a ，b )为圆心的圆B ．以(－a ，－b )为圆心的圆C ．点(a ，b )D ．点(－a ，－b )解析：选D ．由x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0配方得，(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0，所以方程表示点(－a ，－b )．11．已知圆x 2＋y 2－2ax －2y ＋(a －1)2＝0(0<a <1)，则原点O 在( )A ．圆内B ．圆外C ．圆上D ．圆上或圆外解析：选B ．把原点(0，0)的坐标代入圆的方程得，(a －1)2>0(0<a <1)，所以点(0，0)在圆外．12．已知两定点A (－2，0)，B (1，0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π解析：选B ．设P 点坐标为(x ，y )，由已知得（x ＋2）2＋y 2＝2（x －1）2＋y 2， 化简得，x 2＋y 2－4x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝4.故点P 的轨迹是以(2，0)为圆心，2为半径的圆，则其面积为πr 2＝4π.二、填空题（每题5分，共4题，共20分）13．圆心为点P (2，－2)，且过点(－1，2)的圆的标准方程是________．解析：由已知得圆的半径r ＝（2＋1）2＋（－2－2）2＝5，则圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.答案：(x －2)2＋(y ＋2)2＝2514．若圆心在x 轴上，半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆O 的方程是________．解析：设圆心坐标为(a ，0)(a <0)，则|a |1＋22＝5，∴|a |＝5.又∵a <0，∴a ＝－5， 故圆的方程为(x ＋5)2＋y 2＝5.答案：(x ＋5)2＋y 2＝515．圆O 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，点(2，3)到圆上的最大距离为________．解析：点(2，3)与圆心连线的延长线与圆的交点到点(2，3)的距离最大，最大距离为点(2，3)到圆心(3，4)的距离2加上半径长5，即为5＋ 2.答案：5＋ 216．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则P A 的中点M 的轨迹方程是________．解析：由已知得圆心A 的坐标为(2，－1)，设M 为(x ，y )，则P 点的坐标为(2x －2，2y ＋1)．因为P 点在圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0上，所以(2x －2)2＋(2y ＋1)2－4(2x －2)＋2(2y ＋1)－11＝0，化简得，x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0.答案：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0三、解答题（共6题，共70分）17．求满足下列条件的圆的标准方程：(1)经过点P (5，1)，圆心为点C (8，－3)；(2)经过点P (4，2)，Q (－6，－2)，且圆心在y 轴上．解：(1)圆的半径r ＝|CP |＝（5－8）2＋（1＋3）2＝5.圆心为点C (8，－3)，∴圆的标准方程为(x －8)2＋(y ＋3)2＝25.(2)设所求圆的方程是x 2＋(y －b )2＝r 2.∵点P 、Q 在所求圆上，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧16＋（2－b ）2＝r 236＋（2＋b ）2＝r 2⇒⎩⎨⎧r 2＝1454，b ＝－52. ∴所求圆的方程是x 2＋(y ＋52)2＝1454. 18．等腰三角形ABC 的顶点A (4，2)，底边的一个端点是B (3，5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．解：设另一端点C 的坐标为(x ，y )，依题意，得|AC |＝|AB |，由两点间距离公式得，（x －4）2＋（y －2）2＝（4－3）2＋（2－5）2，整理得，(x －4)2＋(y －2)2＝10.这是以点A (4，2)为圆心，以10为半径的圆．但A ，B ，C 为三角形的顶点，所以A ，B ，C 三点不共线．当B 与C 重合时，C (3，5)；当BC 为直径时，C (5，－1)，所以端点C 的轨迹方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10(其中点(3，5)和(5，－1)除外)．故端点C的轨迹是以A(4，2)为圆心，10为半径的圆，但要除去(3，5)和(5，－1)两点．如图所示．19．已知点A(－2，－2)，B(－2，6)，C(4，－2)，点P在圆x2＋y2＝4上运动，求|P A|2＋|PB|2＋|PC|2的最值．解：设P(x，y)，则x2＋y2＝4.|P A|2＋|PB|2＋|PC|2＝(x＋2)2＋(y＋2)2＋(x＋2)2＋(y－6)2＋(x－4)2＋(y＋2)2＝3(x2＋y2)－4y＋68＝80－4y.∵－2≤y≤2，∴72≤|P A|2＋|PB|2＋|PC|2≤88，即|P A|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为88，最小值为72.20．已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1，0)，B(5，0)．(1)求此圆的标准方程；(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求点P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值．解：(1)由题意，结合图(1)可知圆心(3，0)，r＝2，所以圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.(2)如图(2)所示，过点C作CD垂直于直线x－y＋1＝0，垂足为D．由点到直线的距离公式可得|CD|＝|3＋1|2＝2 2.又P(x，y)是圆C上的任意一点，而圆C的半径为2.结合图形易知点P到直线x－y＋1＝0的距离的最大值为22＋2，最小值为22－2.21．求经过两点A(4，2)，B(－1，3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．解：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D；令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E；由题设，得x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2，所以D＋E＝－2.①又A(4，2)，B(－1，3)两点在圆上，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0，②1＋9－D＋3E＋F＝0，③由①②③可得D＝－2，E＝0，F＝－12，故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.22．已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，及点Q(－2，3)．(1)P(a，a＋1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；(2)若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值．解：(1)因为点P(a，a＋1)在圆上，所以a2＋(a＋1)2－4a－14(a＋1)＋45＝0，所以a＝4，P(4，5)，所以|PQ|＝（4＋2）2＋（5－3）2＝210，k PQ＝3－5－2－4＝13.(2)因为圆心C坐标为(2，7)，所以|QC|＝（2＋2）2＋（7－3）2＝4 2. 因为圆的半径是22，所以点Q在圆外，所以|MQ|max＝42＋22＝62，|MQ|min＝42－22＝2 2.。