线性代数试题三
线性代数考试题及答案3
2009－2010学年第一学期期末考试 《线性代数》试卷 答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。
2、闭卷考试。
评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。
(每小题3分,共24分) 【 】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【 】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【 】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A-=-+ 【 】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a【 】5.设矩阵A 与B 等价，则有__________________系__________专业___________班级姓名_______________学号_______________………………………………（密）………………………………（封）………………………………（线）………………………………(C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小【 】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解的充分必要条件是(A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r >【 】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是(A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量(B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例(C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示(D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示【 】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是(A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值(C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵二、填空题。
线性代数试题3
一、填空题（本题总计 20 分，每小题 2 分）1. 排列6573412的逆序数是 ．2.函数()f x = 21112xx xx x ---中3x 的系数是 ． 3．设三阶方阵A 的行列式3A =,则*1()A -= A/3 ．4．n 元齐次线性方程组AX=0有非零解的充要条件是 ．5．设向量(1,2,1)T α=--，β=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22λ正交，则λ= ．6．三阶方阵A 的特征值为1，1-，2，则A ＝ ．7. 设1121021003A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，则_________A *=. 8. 设A 为86⨯的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_____________．9．设A 为n 阶方阵，且A ＝2 则1*1()3A A --+= ． 10．已知20022311A x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似于12B y -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则=x ，=y ．二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2 分）1. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则A －5等于 ．(A) (5)n D - (B)-5D (C) 5D (D)1(5)n D --2. n 阶方阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是 .(A) 矩阵A 有n 个线性无关的特征向量(B) 矩阵A 有n 个特征值(C) 矩阵A 的行列式0A ≠(D) 矩阵A 的特征方程没有重根3．A 为m n ⨯矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充要条件是 ．(A)(,)R A b m < (B)()R A m <(C)()(,)R A R A b n == (D)()(,)R A R A b n =<4.设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( )(A)．)()(A R B R ≤ (B)．)()(A R B R <(C)．)()(A R B R = (D)．)()(A R B R ≥5. 向量组12,,,s ααα线性相关且秩为r ，则 ．(A)r s = (B) r s < (C) r s > (D) s r ≤三、计算题（本题总计 60 分，每小题 10 分）1. 计算n 阶行列式: 22221 =D 22222 22322 21222-n n 2222 . 2．已知矩阵方程AX A X =+，求矩阵X ,其中220213010A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.3. 设n 阶方阵A 满足0422=--E A A ,证明3A E -可逆，并求1(3)A E --.4．求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系:1234123412342342323883295234x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪-++=⎪⎨-+--=-⎪⎪--=-⎩ 5．求下列向量组的秩和一个最大无关组,并将其余向量用最大无关组线性表示．123421234,1,3,5.2012αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭6．已知二次型：323121232221321844552),,(x x x x x x x x x x x x f --+++=，用正交变换化),,(321x x x f 为标准形，并求出其正交变换矩阵Q ．四、证明题（本题总计 10 分，每小题 10 分）设11b a =, 212b a a =+ , , 12r r b a a a =+++, 且向量组r a a a ,,,21 线性无关，证明向量组r b b b ,,,21 线性无关.。
线性代数试题3
一、判断题。
在每小题后面的小括号内打“√”号或“×”号1．任何实对称矩阵都可以表成一系列初等矩阵的乘积。
（ ） 2．方阵A 与其转置阵 T A 有相同的特征值，因此有相同的特征向量。
（ ） 3.设ij A 为n 阶行列式||ij a D =中元素ij a 的代数余子式，若ij ij A a -=),,2,1,(n j i =，则0≠D 。
（ ）4．若r ηηη,,,21 为线性方程组0=AX 的基础解系，则与r ηηη,,,21 等价的向量组也为此方程组的基础解系。
（ ） 5． 设c b a ,,是互不相等的数，则向量组),,,1(32a a a ，),,,1(32b b b ，),,,1(32c c c是线性无关的。
（ ）二、单项选择题1. 设n 阶方阵C B A ,, 满足关系式E ABC =，则 成立。
A. E ACB =； B. E CBA =； C. E BAC =； D. E BCA =.2. 设n 维向量)(,,,21n m m <ααα 线性无关，则n 维向量m βββ,,,21 线性无关的充要条件为 。
A. 向量组m ααα,,,21 可由向量组m βββ,,,21 线性表示；B. 向量组m βββ,,,21 可由向量组m ααα,,,21 线性表示；C. 向量组m ααα,,,21 与向量组m βββ,,,21 等价；D. 矩阵=A （m ααα,,,21 ）与矩阵=B （m βββ,,,21 ）等价。
3．设非齐次线性方程组b AX =的两个不同解为21,ββ，它的导出组的一个基础解系为21,αα，则线性方程组b AX =的通解X = (其中21,k k 为任意常数)。
A. )(21)(2121211ββααα-+++k k ；B. )(21)(2121211ββααα++-+k k ；C. )(21)(2121211ββββα-+++k k ；D. )(21)(2121211ββββα++-+k k .4. 设B A ,均为)2(≥n n 阶方阵，则必有 。
线性代数考试题库及答案(三)
线性代数考试题库及答案第六章 二次型一、单项选择题1．n 阶对称矩阵A 正定的充分必要条件是（ ）。
()a 0A > ()b 存在阶阵C ，使T A C C = ()c 负惯性指数为零 ()d 各阶顺序主子式为正2．设A 为n 阶方阵，则下列结论正确的是（ ）。
()a A 必与一对角阵合同()b 若A 的所有顺序主子式为正，则A 正定()c 若A 与正定阵B 合同，则A 正定()d 若A 与一对角阵相似，则A 必与一对角阵合同3．设A 为正定矩阵，则下列结论不正确的是（ ）。
()a A 可逆 ()b 1A -正定 ()c A 的所有元素为正 ()d 任给12(,,,)0,T n X x x x =≠均有0T X AX >4．方阵A 正定的充要条件是（ ）。
()a A 的各阶顺序主子式为正； ()b 1A -是正定阵； ()c A 的所有特征值均大于零； ()d A T A 是正定阵。
5．下列(,,)f x y z 为二次型的是（ ）。
()a 222ax by cz ++ ()b 2ax by cz ++ ()c axy byz cxz dxyz +++ ()d 22ax bxy czx ++6． 设A 、B 为n 阶方阵，12(,,,)T n X x x x =且T T X AX X BX =则A=B 的充要条件是（ ）。
()a ()()r A r B = ()b T A A =()c T B B = ()d T A A =，T B B =，7． 正定二次型1234(,,,)f x x x x 的矩阵为A ，则( )必成立.()a A 的所有顺序主子式为非负数 ()b A 的所有特征值为非负数 ()c A 的所有顺序主子式大于零()d A 的所有特征值互不相同8．设A ，B 为n 阶矩阵，若( )，则A 与B 合同.()a . 存在n 阶可逆矩阵,P Q 且PAQ B =()b 存在n 阶可逆矩阵P ，且1P AP B -= ()c 存在n 阶正交矩阵Q ，且1Q AQ B -= ()d 存在n 阶方阵,C T ，且CAT B =9．下列矩阵中，不是．．二次型矩阵的为（ ） ()a .⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100000000()b ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-200010001 ()c ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--562640203()d ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛98765432110．下列矩阵中是正定矩阵的为（ ）()a 2334⎛⎝ ⎫⎭⎪()b3426⎛⎝ ⎫⎭⎪()c 100023035--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪()d 111120102⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪11．已知A 是一个三阶实对称且正定的矩阵，那么A 的特征值可能是（ ）()a 3，i, －1; ()b 2, －1, 3; ()c 2, i, 4; ()d 1, 3, 4二、填空题1. 二次型212312233(,,,)2f x x x x x x x x =++的秩为 。
2023线性代数期末模拟试题(三)
期末模拟试题(三)一．判断题（每小题2分，共5小题10分）正确的选“T”，错误的选“F”1. ,,. ( )A B AB O A B O ==若矩阵满足且可逆,则一定有2. . ( )可逆矩阵的逆矩阵不唯一3. ,,. ( )A B AB AB A B 若矩阵满足乘积为方阵则一定有=4. ,. ( )矩阵的行秩与列秩相等但是不等于矩阵的秩 5. ,. ( )n A A 若阶矩阵特征值都为单根则与对角矩阵相似 二．选择题（每小题2分，共10小题20分）1. (),( ).n A B k 对阶可逆矩阵、其中为非零常数下列错误的是A. ()T T T A B A B +=+11B. ()A A--=111C. ()AB A B ---=111. ()D kA A k --=1112131131123213332122232122233132333132332222. ,, ( ).a a a a a a a a a C a a a P PC a a a aa a a a a P +++===⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设矩阵为初等矩阵,若则100A. 020010⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭100B. 010201⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭120C. 010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭102D. 010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3. ,,,,,,( ).P Q R X n P Q PXQ R X ==设都是阶方阵且可逆则矩阵方程的解11A. RP Q --11B. P RQ --11C. RQ P --11D. P Q R--4. ,3,3( ).T A n A A A A ==设为阶方阵若的行列式则A. 3n 1B. 3n +2C. 3n +22D. 3n +3005. ,,()2,512,( ).5646A B R A B x x ===⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭已知同型矩阵等价且则A. 8B. 4C. 2D. 312126. ,(),( ).,,,,,,,n n b A αααααα= 已知向量组且则下列说法错误的是12A. , ,,,n AX b b ααα= 若有无穷多解则可由线性表出且表示式不唯一12B. , ,,,n AX b b ααα= 若有唯一解则可由线性表出且表示式唯一12C. ,,,,n AX b b ααα= 若无解则不能由线性表出D. ()(),AX b R A R A AX b =≠=若满足条件则有解7. ,0( ).A m n AX ⨯=若为矩阵则方程组仅有零解的充要条件为A. A 的列向量线性无关 B. A 的列向量线性相关C. A 的行向量线性无关D. A 的行向量线性相关8. ,02080,( ).A A I A I A I A -=+=+==设的为三阶矩阵且，，则A.1 B. 2 C.16- D. 8-2009. =020( ).005Λ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭下列矩阵与对角矩阵相似的矩阵是200A. 320005⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭200B. 0210005⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭246C. 020005⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭200D. 820315-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭22212312312132310. ( ).(,,)22446f x x x x x x x x x x x x =---++二次型的矩阵为122A. 223232----⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭131B. 223332---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭122C. 223232---⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭121D. 222242----⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭三．填空题(每小题2分,共5小题10分)11231. 34,45,(34) .2131T A B A B -==-+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设则321003702. , .245dc A y A x y z a b=已知四阶行列式则元素的代数余子式的值为1123. , .34A A -==⎛⎫⎪⎝⎭已知矩阵则其逆矩阵1234. (1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,)2, .a a ααα=-===若向量组的秩为则5. ,248, .A 若是三阶方阵其特征值分别为、、则逆矩阵的特征值为四．计算题(第1、2小题每题8分,第3、4、5、6小题每题9分，共52分)130621511. ,,2,2.02121476A A A A ---=--⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭设矩阵求1212222. ,()2,.15103A A R A a A a -----==--⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭已知矩阵矩阵的秩求的值和矩阵的标准形13. 24, (1) 2320 (2) 030,.003n A B A B B I A I A B -⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=---=已知阶矩阵和满足条件证明可逆；已知求12344. (2,0,1),(0,1,1),(1,1,2),(5,0,5),,.T T T T αααα===--=已知向量组求向量组的秩和一个 极大无关组并将其余向量用该极大无关组线性表出12413123415. 22.30x x x x x x x x x -==---=+⎧⎪+⎨⎪⎩求非齐次线性方程组的通解21226. 224,242 (1) (2)()35,()..A f x x x A f A -=---=+-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭设矩阵求矩阵的特征向量和特征值；若多项式求方阵的多项式的特征值五．证明题(8分)123123112223313123 ,,,+2,3,,,==+4=5+6,,αααββββααβααβααβββ已知向量组线性无关且向量组满足判定向量组的线性相关性,并证明.,。
线性代数试题3
德州学院期末考试试题（ 至 学年第 学期）课程名称： 线性代数 考试对象： 试卷类型：（三） 考试时间： 120 分钟 一、填空题（共１０道小题，每道小题3分，计30分）１．行列式123102120D =第一行元素的代数余子式分别是 -2 ， -3 ，-4 ．２．4 2 || A A A A ==设是阶矩阵，且，则．３．若矩阵130241A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，123231B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则TB A = ． ４．设123102225A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且非齐次线性方程组Ax b =无解，则增广矩阵(,)A b 的秩为 3 ．５．写出向量(1,2,2)α=-在基 1(1,0,0)ε=，2(0,1,1)ε=，3(0,1,1)ε=-下的坐标X ＝(1,0.-2)t ．６．设100110011A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -= ．７．设123110100A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1312(2)E AE = ．８．设λ０是５阶矩阵A 的２重特征值，则矩阵I A λ-０的秩只可能等于 3 ． ９．设(1,1,1,1),(1,2,2,0),(0,1,2,3),(0,1,1,1)αβγδ====--，则秩｛,,,αβγδ｝＝ 3 ．１０．已知向量1,-2,32,4,αβλ==（），（），且α与β正交， 则λ= ．二、判断题：在正确结论后的括号内打√，否则打⨯．（共5道小题，每道小题2分，计10分） １．若行列式每一行元素之和都等于零，则此行列式的值等于零．（ v ）２．n 阶矩阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个不同的特征值．（ x ） ３．若12,,,r ααα线性相关，则12,,,r ααα中任一向量可以表示成其余向量的线性组合．（ v ） ４．非零正交向量组一定是线性无关向量组．（ v ）５．非奇异矩阵A 的特征值都是非零数．（ v ）三、单项选择题（共5道小题，每道小题2分，计10分）-2 １．设B A ,均为)2(≥n n 阶可逆方阵，则必有 ．A.||||||B A B A +=+B. BA AB =C. ||||BA AB =D. 111)(---+=+A B B A ２．给定矩阵32A ⨯ 23B ⨯ 33C ⨯，则下列 运算有意义 A. AC B. BC C. A+B D. AB -BC３．设n 阶方阵A 满足A A ２＝，则以下说法正确的是 ． A.A 的特征值一定是０ B.A 的特征值一定是１ C.A 的特征值是０或者１ D.I A A ＝０或＝ ４．向量组12,,,r ααα⋅⋅⋅线性无关的充要条件是A. 向量组中任意ｒ－１个向量线性无关 B ．向量组的秩等于它所含向量的个数ｒC. 向量组中不含0向量 Ｄ．向量组中存在一个向量，它不能由其余向量线性表出 ５．一个非齐次线性方程组有解且只有唯一解，则它的导出组 ．A. 不一定有解B. 一定无解C. 只有零解D. 一定有非零解 四、计算题（共4道小题，计38分） １．（8分）计算n 阶行列式 122222222232222nn D = ． ２．（8分）解矩阵方程：T211113210X 101111-⎛⎫-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭．３．（12分）问λ取何值时，线性方程组 12312321231x x x x x x x x x λλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩（１）有唯一解；（２）无解；（３）有无穷多解，并在有无穷多解时，求出其解．４．（10分） 求矩阵123213321A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的特征值与特征向量，并说明矩阵A 是否可以对角化．五、证明题（共2道小题，每道小题6分，计12分）１．（6分）证明：实对称矩阵A 对应于两个不同特征值的特征向量是正交的．２．（6分）方阵A 满足220A A I =－－，证明：⑴ A 及A I -都可逆，并求它们的逆矩阵．⑵ 2A I A I ＋和－不同时可逆．。
线性代数试题及答案
线性代数试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. [1 0; 0 0]B. [1 2; 3 4]C. [1 0; 0 1]D. [0 1; 1 0]2. 矩阵的秩是指什么？A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中线性无关的行或列的最大数目D. 矩阵的对角线元素的个数3. 线性方程组有唯一解的条件是什么？A. 方程个数等于未知数个数B. 方程组是齐次的C. 方程组的系数矩阵是可逆的D. 方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩4. 向量空间的基具有什么性质？A. 基向量的数量必须为1B. 基向量必须是正交的C. 基向量必须是线性无关的D. 基向量必须是单位向量5. 特征值和特征向量的定义是什么？A. 对于矩阵A，如果存在非零向量v，使得Av=λv，则λ是A的特征值，v是A的特征向量B. 对于矩阵A，如果存在非零向量v，使得A^Tv=λv，则λ是A 的特征值，v是A的特征向量C. 对于矩阵A，如果存在非零向量v，使得A^-1v=λv，则λ是A 的特征值，v是A的特征向量D. 对于矩阵A，如果存在非零向量v，使得Av=v，则λ是A的特征值，v是A的特征向量6. 线性变换的矩阵表示是什么？A. 线性变换的逆矩阵B. 线性变换的转置矩阵C. 线性变换的雅可比矩阵D. 线性变换的对角矩阵7. 以下哪个不是线性代数中的基本概念？A. 向量B. 矩阵C. 行列式D. 微积分8. 什么是线性方程组的齐次解？A. 方程组的所有解B. 方程组的特解C. 方程组的零解D. 方程组的非平凡解9. 矩阵的迹是什么？A. 矩阵的对角线元素的和B. 矩阵的行列式C. 矩阵的秩D. 矩阵的逆10. 什么是正交矩阵？A. 矩阵的转置等于其逆矩阵B. 矩阵的所有行向量都是单位向量C. 矩阵的所有列向量都是单位向量D. 矩阵的所有行向量都是正交的答案：1-5 C C C C A；6-10 D D C A A二、简答题（每题10分，共20分）11. 请简述线性代数中的向量空间（Vector Space）的定义。
西安电子科技大学线性代数试卷及参考答案3
α1 = (1,1, 0 ) ,
T
α 2 = ( 0, 0,1)
T
同理，当 λ2 = 0 时，得线性无关的特征向量为 α 3 = ( −1,1, 0 ) ．
T
将 α1 , α 2 , α 3 单位化得
η1 =
1 1 T T T (1,1, 0 ) ，η2 = ( 0, 0,1) ，η3 = ( −1,1, 0 ) 2 2
n
0 0
L
0 0
L L
n −1 1− n
L
三、 （12 分）问 a, b 为何值时，线性方程组
⎧ x1 + x2 + 2 x3 + 3 x4 = 1; ⎪ x + 3 x + 6 x + x = 3; ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪3 x1 − x2 − ax3 + 15 x4 = 3; ⎪ ⎩ x1 − 5 x2 − 10 x3 + 12 x4 = b.
故 λ1 = −1 为 A 的三重特征值．
⎛ −3 1 −2 ⎞ ⎛ 1 0 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 解 (λ1 E − A) X = 0 ．因 − E − A = −5 2 −3 → 0 1 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
得其基础解系中只含一个解向量 α = (−1, −1,1) ，从而属于 λ1 = −1 的线性无关的特征向
⎛1 ⎜ 0 初等行 三 解： A ⎯⎯⎯ →⎜ ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝
( −1) 或
2
n −1
( n + 1)! ）
1 2 3 −1 1 2 0 2−a 2 0 0 3
1 ⎞ ⎟ 1 ⎟ = A1 4 ⎟ ⎟ b+5 ⎟ ⎠
线性代数模拟试题及答案(三套)
第一套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题4分，共24分)1、 若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12i j ==。
令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。
2、 若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D =(1)n D- 。
即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D =(1)n D-。
3、设1101A ⎛⎫=⎪⎝⎭, 则100A =110001⎛⎫ ⎪⎝⎭。
23111112121113,,010*********A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =15n +。
由矩阵的行列式运算法则可知：1555n n A A +==。
5、A 为n 阶方阵,TAA E =且=+<E A A 则,0 0 。
由已知条件：211,1T T TAA E AA A A A E A A =⇒====⇒=±⇒=-， 而 ：0TTA E A AA A E A A A E A E A E +=+=+=+=-+⇒+=。
6、设三阶方阵2000023A x y ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭可逆，则,x y 应满足条件32x y ≠。
可逆，则行列式不等于零：2002(32)032023A x y x y x y ==⨯-≠⇒≠。
二、单项选择题(每小题4分，共24分) 7、设0333231232221131211≠=M a a a a a aa a a ，则行列式=---------232221333231131211222222222a a a a a a a a a A 。
A ．M 8 B ．M 2 C ．M 2- D ．M 8-由于 ()()111213111213111213331323331323321222321222321222331323322222228(1)8222a a a a a a a a a a a a a a a a a a M a a a a a a a a a ------=-=--=---8、设n 阶行列式n D ，则0n D =的必要条件是 D 。
线性代数试题3及答案
线性代数模拟试题三一、填空题(每题2分，共30分，请将答案写在试卷后的答题纸上) 1. 2n 阶行列式________________=ABB A ,其中n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a a a A 0000000⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000000 b b b B2. 设A=，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101020101而n ≥2为正整数，则______21=--n n AA 3. 设 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=042031200A , 则 A -1等 于 ___________________.4. 齐 次 线 性 方 程 组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ 只 有 零 解， 则λ 应 满 足 的 条 件是. 5. 行 列 式=ab b a a b b a 00000000_______________.6. 设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡300220111,则ATA= . 7. 在分块矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡O C B O 中，已知1-B 、1-C 存在，则=-1A8. 设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡963042321，B 为三阶非零矩阵，满足AB=O ，则r(B)= 9. 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡3152X=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1264，则X= 10. 三次代数方程321842184211111x x x--=0的根是11. 设C B A ,,皆为n 阶矩阵，已知0)det(≠-A I 。
若AB I B +=，CA A C +=，则=-C B12. 设A 为三阶非零矩阵，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=a B 11213112且O AB T=)(，则=a13. 设三阶方阵A=[,,,21γγα] ，B=[β,,,21γγ]其中21,,,γγβα均为三维列向量，且已知detA=3， detB=4,则det(5A-2B)= 。
14. 已知齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-+-=-+-++00)3(0)2()2(3213213221ax x x abx x a x x a ab x a b bx 的解空间是二维的，则=a ,=b .15. 设A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-7345327254321111,则=+++44434241A A A A . 二、选择题(每题2分，共30分)1．设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231332221131211a a a a a a a a a ,B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++133312321131131211232221a a a a a a a a a a a aP 1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001010，P 2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101010001，则必有（ ） (A) AP 1P 2=B (B) AP 2P 1=B (C) P 1P 2A=B (D) P 2P 1A=B2．设A 是三阶矩阵，A*是其转置伴随矩阵，又k 为常数k ≠0,1±，则(kA)*=( )(A) kA* (B) k 2A* (C) k 3A* (D)31A* 3．若r(A)=r<n,则n 元线性代数方程Ax=b ( )(A)又无穷多个解 (B)有唯一解 (C)无解(D)不一定有解4．下列说法中正确的是（ ）(A ）对向量组kαα,,1 ，若有全不为零的数k c c ,,1 使011=++k k c c αα ，则k αα,,1 线性无关(B) 若有全不为零的数k c c ,,1 使011≠++k k c c αα ，则kαα,,1 线性无关(C)若向量组kαα,,1 线性相关，則其中每个向量皆可由其余向量线性表示 (D)任何n+2个n 维向量必线性相关5．设A 为n 阶矩阵，x 为n 维向量，则以下命题成立的是（ ）。
线性代数第五版第三章常见试题及解答
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设α1=[1，2，1]，α2=[0，5，3]，α3=[2，4，2]，则向量组α1，α2，α3的秩是（）A．0 B．1C．2 D．3答案：C2．若向量组α1=（1，t+1，0），α2=（1，2，0），α3=（0，0，t2+1）线性相关，则实数t=（）A．0 B．1C．2 D．3答案：B3．设A是4×5矩阵，秩（A）=3，则（）A．A中的4阶子式都不为0 B．A中存在不为0的4阶子式C．A中的3阶子式都不为0 D．A中存在不为0的3阶子式答案：D4．设向量组α1，α2，…，αs线性相关，则必可推出（）A．α1，α2，…，αs中至少有一个向量为零向量B．α1，α2，…，αs中至少有两个向量成比例C．α1，α2，…，αs中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合D．α1，α2，…，αs中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合答案：C5.设β可由向量α1 =（1，0，0）α2 =（0，0，1）线性表示，则下列向量中β只能是A.（2，1，1）B.（-3，0，2）C.（1，1，0）D.（0,-1,0）答案：B6.向量组α1 ，α2 ，…，αs 的秩不为s(s2≥)的充分必要条件是（）A.α1 ，α2 ，…，αs 全是非零向量B. α1 ，α2，…，αs 全是零向量C. α1 ，α2，…，αs中至少有一个向量可由其它向量线性表出D.α1 ，α2，…，αs中至少有一个零向量答案：C7．向量组α1，α2，…αs，(s＞2)线性无关的充分必要条件是（）A．α1，α2，…，αs均不为零向量B．α1，α2，…，αs中任意两个向量不成比例C．α1，α2，…，αs中任意s-1个向量线性无关D．α1，α2，…，αs中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示答案：D8.已知向量组A ：4321,,,αααα中432,,ααα线性相关，那么（ ） A. 4321,,,αααα线性无关 B. 4321,,,αααα线性相关 C. 1α可由432,,ααα线性表示 D. 43,αα线性无关答案：B9.向量组s 21,,ααα 的秩为r ，且r<s ，则（ ） A. s 21,,ααα 线性无关B. s 21,,ααα 中任意r 个向量线性无关C. s 21,,ααα 中任意r+1个向量线性相关D. s 21,,ααα 中任意r-1个向量线性无关 答案;C10．设向量),,,(),,,,(),,,(),,,(222221111122221111d c b a d c b a c b a c b a ====ββαα，下列命题中正确的是（ ）A ．若21αα,线性相关，则必有21ββ，线性相关B ．若21αα,线性无关，则必有21ββ，线性无关C ．若21ββ，线性相关，则必有21αα,线性无关D ．若21ββ，线性无关，则必有21αα,线性相关答案：B11．设A ，B 分别为m ×n 和m ×k 矩阵，向量组（I ）是由A 的列向量构成的向量组，向量组（Ⅱ）是由（A ，B ）的列向量构成的向量组，则必有（ ） A ．若（I ）线性无关，则（Ⅱ）线性无关 B ．若（I ）线性无关，则（Ⅱ）线性相关 C ．若（Ⅱ）线性无关，则（I ）线性无关 D ．若（Ⅱ）线性无关，则（I ）线性相关D 答案：C12．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量答案：B13.设有向量组A ：α1，α2，α3，α4，其中α1，α2，α3线性无关，则（ ）A.α1，α3线性无关B.α1，α2，α3，α4线性无关C.α1，α2，α3，α4线性相关D.α2，α3，α4线性相关 答案：A14．设4321,,,αααα是一个4维向量组，若已知4α可以表为321,,ααα的线性组合，且表示法惟一，则向量组4321,,,αααα的秩为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：C15．设向量组4321,,,αααα线性相关，则向量组中（ ）A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合 答案：A16.设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则（ ） A. α1，α2，α3，α4一定线性无关 B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出 C. α1，α2，α3，α4一定线性相关 D. α1，α2，α3一定线性无关 答案：C17.向量组α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C18.下列命题中错误．．的是（ ） A.只含有一个零向量的向量组线性相关B.由3个2维向量组成的向量组线性相关C.由一个非零向量组成的向量组线性相关D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关 答案：C19.已知向量组α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3，β线性相关，则（ ） A.α1必能由α2,α3，β线性表出 B.α2必能由α1,α3，β线性表出 C.α3必能由α1,α2，β线性表出 D.β必能由α1,α2,α3线性表出 答案：D1.设3阶方阵A =（α1，α2，α3），其中αi （i =1,2,3）为A 的列向量，若| B |=|（α1+2α2，α2，α3）|=6，则| A |=( )A.-12B.-6C.6D.124.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有( ) A.α1，α2，α3，α4线性无关 B.α1，α2，α3，α4线性相关 C.α1可由α2，α3，α4线性表示D.α1不可由α2，α3，α4线性表示二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
线性代数期末试卷三套附答案解析
x1
x2 (1 k)x3 k.
k 取何值时，此方程组有唯一解、无解或有无限多解？并在有无限多解时求其通解.
四 证明题(本题 6 分) 设有向量组 α1, α2 , , αn 和 β1, β2 , , βn ，且 β1 α1 α2 , β2 α2 α3 , ,
βn1 αn1 αn , βn αn α1 .若向量组 α1, α2 , , αn 线性无关，问向量组 β1, β2 , , βn 是否一定线性
附录 A-----《线性代数》期末考试试题及解答(三套)
附录 A《线性代数》期末考试试题及解答(三套)
试卷一(2014 秋)
一 填空题 (本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分)
1 2 3
1
1. 设 A 2 4 6 ，则 A 2( , , )．
3
6
9
3
2. 设 A 与 B 为同阶方阵，则 ( A B)2 A2 vvvvv
8.
2 k 1
k k2
1 1
,
(k 1)2 ,
无.
1 1 0 9. 6. 10. 1 2 1 .
0 1 1
二 单项选择题(每小题 4 分，共 20 分) CBADA
三 计算题 (共 44 分)
1.(本小题 9 分) 解 由 2AB 3B XX T 知 (2A 3E)B XX T .经计算得
.
a d f
6. 设 A 0 b e ．若 A 的列向量组线性相关，则 a, b, c 应满足关系式
．
0 0 c
7. 设 A 为 m n 矩阵, R( A) r ．已知 Ax (1, 0, 0)T 无解， Ax (0, 1, 0)T 有唯一解，则 m
线性代数模拟测试题(3)
《线性代数》模拟试题一、填空题（30分）1.设A 是n 阶方阵（2n ≥）,且||1A = 则|2|A =2.1301n⎛⎫= ⎪⎝⎭3．10m n 齐次线性方程组A 有非零解的充要条件是⨯⨯=n X4．线性表示式为，由），（则）（），（212134,1,1,12ααβααTT T =-==5．线性），，（），，（），，（向量组TT T 242,020,101321===ααα 6．的矩阵表示是）（二次型23312121321242,,x x x x x x x x x f +-+= 7.若向量组12,,s ααα可由向量组12,,t βββ线性表示, 则有1212(,,,,,)s t r αααβββ 12(,,)t r βββ8．实对称矩阵A 的不同特征值对应的特征向量一定9．三阶行矩阵的三个特征值分别为1， 2，3，则1-A =______ 10．若n 阶矩阵A 与B 相似，且A 2=A, 则B 2=二、单项选择题（10分）11．A B C ，，为同阶矩阵，若ABC E =，则下列各式成立的是 ( ).A.1A BC -=B.111C A B ---=C. 111A B C E ---=D.1B AC -= 12．设1234(1,0,0),(0,1,0),(2,2,0),(1,1,1)αααα====则对向量组1234,,,αααα说法正确的是（ ）A. 相关B. 无关C. 秩为4D.相互正交 13．n 阶矩阵A 经过若干次初等变换后化为A 为B ,则（ ）A.||||A B =B.()()r A r B =C.,A B 相似D.,A B 合同 14．n 阶矩阵A 与对角矩阵相似的充要条件是（ ）A.有n 个线性无关的特征向量.B.A 有n 个不同的特征值.C.A 的n 个列向量线性无关.D.A 有n 个非零的特征值.15. 二次型3222212132142),,(x x x x x x x x x f +++=的秩等于 ( ) A. 0 B. 1 C.2 D. 3三、计算题（54分）16．计算n 阶行列式0321021301321 ------n n n17．已知2111011,,001A A AB E B -⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭求．18．设有线性方程组123123123(1)0(1)3(1)x x x x x x x x x λλλλ+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩ 问λ取何值时此方程组(1)有唯一解(2)无解(3)有无穷多解?并在有无穷多解时求其通解. 19．给定向量组123(1,1,1,1),(3,1,1,3),(1,1,0,2)ααα=--==；12(2,0,1,1),(3,1,2,0)ββ==- 请求出123,,ααα和12,ββ的秩，并用123,,ααα表示12,ββ。
线性代数试题及答案3详解
线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（ D ）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（ B ）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛21131D120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（ B ）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（ D ）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（ C ）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（ D ）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（ C ）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ A ）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（ A ）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（ B ）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A 的特征方程的3重根，A 的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k ，则必有（ A ） A. k ≤3 B. k<3 C. k=3 D. k>312.设A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（ B ）A.|A|2必为1B.|A |必为1C.A -1=A TD.A 的行（列）向量组是正交单位向量组 13.设A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，B =C T AC .则（ D ）A.A 与B 相似B. A 与B 不等价C. A 与B 有相同的特征值D. A 与B 合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为（ C ）A.2334⎛⎝ ⎫⎭⎪B.3426⎛⎝ ⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ D.111120102⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪第二部分 非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
线代试题3
练习三 矩阵一、选择题：（1）设A 和B 均为n 阶方阵，则必有（ ）。
（A ）|A+B|=|A|+|B|； （B ）AB=BA （C ）|AB|=|BA| （D ）（A+B ）-1=A -1+B -1 （2）设A 和B 均为n 阶方阵，且满足AB=0，则必有（ ）。
（A ）A=0或B=0 （B ）A+B=0 （C ）|A|=0或|B|=0 （D ）|A|+|B|=0 （3）设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a B ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1000010101P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1010100012P ，则必有（ ）。
（A ）AP 1P 2=B ； （B ）AP 2P 1=B ； （C ）P 1P 2A=B ； （D ）P 2P 1A=B （4）设n 维行向量⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,0,,0,21α，矩阵ααT E A -=，ααTE B 2+=，其中E 为n 阶单位矩阵，则AB=（ ）。
（A ）0； （B ）E ； （C ）-E （D ）ααTE + （5）设n 阶方阵A 非奇异（n ≥2），A *是A 的伴随矩阵，则（ ）。
（A ）(A *)*=|A|n-1A ； （B ）(A *)*=|A|n+1A ； （C ）(A *)*=|A|n-2A ； （D ）(A *)*=|A|n+2A（6）设n 阶方阵A 、B 、C 满足ABC=E ，其中E 是n 阶单位矩阵，则必有（ ）。
（A ）ACB=E ； （B ）CBA=E ； （C ）BAC=E ； （D ）BCA=E（7）设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a A ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=41424344313233342122232411121314a a a a a a a a a a a a a a a a B ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00010100001010001P ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10000010010000012P ，其中A 可逆，则B -1等于（ ）。
线性代数(III)A-2
线性代数(III) 模拟试题1一、填空题（每小题3分，共15分）1. 设方阵A 、B 、C 满足AB=AC,当A 满足___R （A ）＝n____时，B C =．2．矩阵[]111111⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦的秩为______1___. 3．设n 阶矩阵A 满足12,032-=++A E A A 则= _A^2 +2A +3E=0A(A+2E)=-3E(A)^-1=-(A+2E)/3_____.4. 设A 为m n ⨯矩阵，()min(,)r A r m n =<，则0AX =有 无穷 个解，有 N-R 个线性无关的解.二．选择题（每小题3分，共15分）1．设A 为任意n 阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ B ）．（A ）T A A + （B ）T A A - （C ）T AA （D ）T A A2．设A ，B 为n 阶方矩阵,22B A =,则下列各式成立的是( D ) ．(A) B A = (B) B A -= (C) B A = (D ) 22B A =3．设A 为n m ⨯阶矩阵，秩n m r A <<=)(，则（ C ）．（A ）A 中r 阶子式不全为零 （B ）A 中阶数小于r 的子式全为零 （C ）A 经行初等变换可化为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000r I （D ）A 为满秩矩阵 4．设n 元齐次线性方程组0AX =的系数矩阵的秩为r ，则0AX =有非零解的充分必要条件是（ B ）.(A) r n = (B ) r n <(C) r n ≥ (D) r n >5．若12,x x 分别是方阵A 的两个不同的特征值对应的特征向量,则1122k x k x +也是A 的特征向量的充分条件是( ).(A) 1200k k ==且 (B ) 1200k k ≠≠且 (C) 120k k = (D) 1200k k ≠=且三、计算题（本题共50分,每小题10分）1．计算行列式199119921993199419951996199719981999的值.02．设101210325A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭ ，求1-A ．3. 求齐次线性方程组 125123345000x x x x x x x x x ++=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩ 的基础解系及通解．4．设向量组1(1,1,2,1)T α=-，2(2,2,4,2)T α=--，3(3,0,6,1)T α=-，4(0,3,0,4)T α=-．（1）求向量组的一个极大线性无关组；（2）将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合．5．已知三阶方阵A 的三个特征根为1,1,2,其相应的特征向量依次为(0,0,1),(1,1,0),(2,1,1)T T T --,求矩阵A.四. 证明题（本题共20分,每小题10分）1．设B 为可逆矩阵, A 是与B 同阶方阵, 且满足A 2 + AB + B 2 = 0, 证明A 和A + B 都是可逆矩阵.2．设2131222112,3,ααβααβααβ-=-=+=，试证321,,βββ线性相关. 假设存在k1, k2 使得k1*β1 + k2*β2 = β3代入表达式有k1*(α1+α2) + k2*(3*α2 - α1) =(2*α1-α2) 整理可得k1 - k2 = 2k1 + 3*k2 = -1解得k1 = 5/4k2 = -3/4β3能被β1, β2线性表出，所以线性相关。
(完整版)线性代数第三章向量试题及答案
第三章 向量1、基本概念定义1：由n 个数构成的一个有序数组[]n a a ,,a 21 称为一个n 维向量，称这些数为它的分量。
分量依次是a 1,a 2,⋯ ,a n 的向量可表示成：=α[]n a a ,,a 21 ，称为行向量，或=T α[]T n a a ,,a 21 称为列向量。
请注意，作为向量它们并没有区别，但是作为矩阵，它们不一样(左边是1⨯n 矩阵，右边是n ⨯1矩阵)。
习惯上把它们分别(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别)。
一个m ⨯n 的矩阵的每一行是一个n 维向量，称为它的行向量；每一列是一个m 维向量，称为它的列向量，常常用矩阵的列向量组来写出矩阵，例如当矩阵A 的列向量组为m ααα,,21 时(它们都是表示为列的形式!)可记A =（m ααα,,21 ）。
矩阵的许多概念也可对向量来规定，如元素全为0的向量称为零向量，通常也记作0。
两个向量和相等(记作=),是指它的维数相等,并且对应的分量都相等.2、向量的线形运算3、向量组的线形相关性定义2：向量组的线性组合:设m ααα,,21 是一组n 维量,m k k k 21,是一组数，则m m k k k ααα ++2211为m ααα,,21 的线性组合。
n 维向量组的线性组合也是n 维向量。
定义3：线形表出：如果n 维向量β能表示成m ααα,,21 的一个线性组合，即=βm m k k k ααα ++2211，则称β可以用量组m ααα,,21 线性表示。
判别β是否可以用m ααα,,21 线性表示? 表示方式是否唯一？就是问：向量方程βααα=++m m x x x 2211是否有解？解是否唯一？用分量写出这个向量方程,就是以()βααα m 21,为增广矩阵的线性方程组。
反之，判别“以()β A 为增广矩阵的线性方程组是否有解？解是否唯一？的问题又可转化为β是否可以用A 的列向量组线性表示? 表示方式是否唯一？”的问题。
远程线性代数试题样卷3
一、填空题（每小题3分、共计18分）（1） 设向量组123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,)t ===a a a 线性相关，则t=⎽⎽⎽⎽⎽。
（2） 设向量(,,),(,,),Αa b a b ==11135135T 则=，则A = ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
3） 设22211223242f x tx x x x =+++为正定二次型，则 t 的取值范围是。
4） 设A 、B 均为n 阶方阵，且|A | = 2，|B | = - 4，则1020- A B*骣÷ç÷ç÷ç÷桫=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
5）设A 为五阶方阵，且满足A 2+A =E ，则R （A +E ）= ⎽。
（6）设A 为n 阶可逆矩阵，将A 的第i 行和第 j 行对换后得矩阵B ，则 AB -1= ________。
二、单项选择题（每小题3分，共计18分）（1）设n 阶方阵A 、B 、C 满足ABC =E ，则下面的结论正确的是（ ）。
(A) ACB = E ； (B) CBA = E ； (C) BAC = E ； (D) BCA = E 。
（2）设向量β 能由123,,a a a 线性表示，但不能由12,a a 线性表示，则下面结论正确的是（ ）。
（A ）3a 不能由12,a a 线性表示，但能由12,,b a a 线性表示；（B ）3a 不能由12,a a 线性表示，也不能由12,,b a a 线性表示； （C ）3a 能由12,a a 线性表示，但不能由12,,b a a 线性表示； （D ）3a 能由12,a a 线性表示，。
也能由12,,b a a 线性表示。
（3）设A 为n 阶方阵，且R （A ）= n -1, 12,a a 是Ax = 0的两个不同的解向量 k 为任意的常数，则Ax = 0的通解为（ ）。
（A ） k 1a ； （B ）k 2a ； （C ）k （12-a a ）； （D ）k （12+a a ）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．排列53142的逆序数τ（53142）=（ ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．4 2．下列等式中正确的是（ ）
A ．()2
22
B BA AB A B A +++=+
B ．()T T T
B A AB =
C ．()()2
2
B A B A B A -=+- D ．()A A A A 233-=-
3．设k 为常数，A 为n 阶矩阵，则|k A |=（ ） A ．k|A | B ．|k||A |
C ．n k |A |
D ．n |k ||A |
4．设n 阶方阵A 满足02=A ，则必有（ ） A ．E A +不可逆 B ．E A -可逆 C ．A 可逆 D ．0=A
5．设⎪
⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x X ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321y y y Y ，则关系式（ ）
⎪⎩⎪
⎨⎧+=+=+=3332231133
33222211223
312211111y
a y a y a x y a y a y a x y a y a y a x ＋＋＋
的矩阵表示形式是
A ．AY X =
B ．Y A X T =
C ．YA X =
D ．A Y X T = 6．若向量组（Ⅰ）：r ,,,ααα 21可由向量组（Ⅱ）：s 21,βββ,, 线性表示，则必有（ ） A ．秩（Ⅰ）≤秩（Ⅱ） B ．秩（Ⅰ）>秩（Ⅱ） C ．r ≤s D ．r>s
7．设21ββ,是非齐次线性方程组b Ax =的两个解，则下列向量中仍为方程组解的是（ ） A ．21+ββ B ．21ββ- C ．
222
1ββ+
D ．
5
232
1ββ+ 8．设A ，B 是同阶正交矩阵，则下列命题错误．．的是（ ） A ．1-A 也是正交矩阵 B ．*A 也是正交矩阵 C ．AB 也是正交矩阵 D ．B A +也是正交矩阵 9．下列二次型中，秩为2的二次型是（ ） A ．212x B ．212221
44x x x x -+ C ．21x x
D ．322221
2x x x x ＋+ 10．已知矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--=21111010
0A ，则二次型=Ax x T （ ）
A ．32212
221
222x x x x x x -++ B ．32312
322x x 2x x 2x 2x +-+ C ．32312322
222x x x x x x -++
D ．32312
321x x 2x x 2x 2x +-+
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11．已知A ，B 为n 阶矩阵，A =2，B =－3，则1-B A T =_________________.
12．已知⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011321βα, ，E 是3阶单位矩阵，则E +T
T αβαβ＝_________________.
13．若21αα,线性无关，而321ααα,,线性相关，则向量组32132ααα,,的一个最大线性无关组为
_________________. 14．若向量组()()()t ,,,,,,,,31322101321===ααα 线性无关，则t 应满足条件_________________. 15．设321ααα,,是方程组0Ax =的基础解系，则向量组321ααα,,的秩为_________________. 16．设()T
11221-=,,,α，()T
23511,,,-=α，则21αα与的内积（21αα,）＝________________.
17．设齐次线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a 111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x ＝⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛000的解空间的维数是2，则a ＝______________.
18．若实二次型()212
32221
32124x tx x x x x ,x ,x f +++=正定，则t 的取值范围是_________________. 19．实二次型()322
1321x x 2x x x x f +=,,的正惯性指数p ＝_________________.
20．设A 为n 阶方阵，0≠A ，若A 有特征值λ，则*A 必有特征值_________________. 三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）
21．计算行列式210012100
1210012=D .
22．设实数2121y ,y ,x ,x 满足条件⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4321x x ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-21
23
y y ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-10505，求1x 及2x . 23．求向量组
⎪
⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=2421α， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0112α， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1323α， ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=2534α
的一个最大线性无关组，并把其余向量用该最大线性无关组表示.
24．给定齐次线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=-++=-++=+++.
x x x x ,x x x x ,x x x x 000432143214321λλ
（1）当λ满足什么条件时，方程组的基础解系中只含有一个解向量？
（2）当λ＝1时，求方程组的通解.
25．设矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=653032001A ，求()
.*1
-A
26．设向量()T
1121,,=α和()T
,,2112=α都是方阵A 的属于特征值λ＝2的特征向量，又向量
212α+α=β，求β2A .
27．设矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=200032023A ，求正交矩阵P ，使AP P 1-为对角矩阵.
28．设二次型()32212
32221
32122332x bx x ax x x x x ,x ,x f ++++=经正交变换Qy x =化为标准形2
3222152y y y f ++=，求a ，b 的值.
四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 29．设A 为3阶实对称矩阵，且0A 2=.证明：0A =.
30．已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=3332
31
232221
131211a a a a a a a a a A 可逆，证明线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+=+=+332321
312322212113212111a x a x a a x a x a a x a x a 无解.
线性代数B第三套练习题及答案
7。