人教版数学高二学案变化率问题导数的概念
高二数学变化率与导数知识点总结
高二数学变化率与导数知识点总结在高二数学学习中，变化率和导数是非常重要的概念。
它们是微积分的基础，也是我们理解函数变化规律和求解问题的重要工具。
下面是关于高二数学中变化率和导数的知识点总结。
1. 变化率的概念变化率是描述一个量相对于另一个量的变化程度的指标。
在数学中，我们通常用函数的导数来表示变化率。
对于函数y = f(x)，它的变化率可以用以下两种方式表示：- 平均变化率：平均变化率是函数在某个区间上的变化量与该区间长度的比值。
如果x的取值从a到b，对应的y的取值从f(a)到f(b)，则该区间上的平均变化率为：平均变化率 = (f(b) - f(a)) / (b - a)- 瞬时变化率：瞬时变化率是指在某一点上的瞬时变化速度。
如果函数在x点的导数存在，则该点的瞬时变化率为导数值，即：瞬时变化率 = f'(x)2. 导数的定义和性质导数是描述函数变化率的工具，它的定义如下：- 对于函数y = f(x)，如果函数在某一点x上的导数存在，那么导数表示函数在该点的瞬时变化率。
导数的定义如下： f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
导数具有以下几个重要的性质：- 导数存在的条件：函数在某一点x处的导数存在的充分必要条件是函数在该点的左导数和右导数存在且相等。
- 导数的几何意义：函数在某一点的导数等于函数曲线在该点切线的斜率。
切线的斜率可以用导数来表示。
- 导数与函数单调性的关系：如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数在某区间内的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
- 导数与函数极值的关系：如果函数在某一点的导数存在且为0，那么该点可能是函数的极值点。
3. 常见函数的导数- 幂函数导数：对于幂函数y = x^n，其中n为常数，它的导数为：dy/dx = n*x^(n-1)- 指数函数导数：对于指数函数y = a^x，其中a为常数且大于0且不等于1，它的导数为：dy/dx = a^x * ln(a)- 对数函数导数：对于对数函数y = log_a(x)，其中a为常数且大于0且不等于1，它的导数为：dy/dx = 1 / (x * ln(a))- 三角函数导数：对于三角函数sin(x)，cos(x)，tan(x)等，它们的导数可以通过基本导数公式来求解。
人教新课标版数学高二选修2-2讲义 1.1.1变化率问题 导数的概念
1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景．2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点)4．理解函数的平均变化率，瞬时变化率及导数的概念．(易混点)[基础·初探]教材整理1函数的平均变化率阅读教材P2～P4“思考”以上部分，完成下列问题．1．函数的平均变化率(1)对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1，x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子____________称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．(2)习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝________，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝________.于是，平均变化率可表示为________．2．平均变化率的几何意义设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx 为割线AB 的______，如图1-1-1所示．图1-1-1【答案】 1.(1)f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1(2)x 2－x 1 f (x 2)－f (x 1) ΔyΔx 2.斜率判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由Δx ＝x 2－x 1，知Δx 可以为0.( )(2)Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是Δx ＝x 2－x 1相应的改变量，Δy 的值可正，可负，也可为零，因此平均变化率可正，可负，可为零．( )(3)对山坡的上、下两点A ，B 中，Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1可以近似刻画山坡的陡峭程度．( )【答案】 (1)× (2)√ (3)√ 教材整理2 瞬时速度、导数的概念阅读教材P 4～P 6“例1”以上部分，完成下列问题． 1．瞬时速度(1)物体在__________的速度称为瞬时速度．(2)一般地，设物体的运动规律是s ＝s (t )，则物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .如果Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于某个常数v ，我们就说当Δt 趋向于0时，ΔsΔt 的________是v ，这时v 就是物体在时刻t ＝t 0时的瞬时速度，即瞬时速度v ＝lim Δt →0 ΔsΔt ＝lim Δt →0s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .2．导数的定义函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是lim Δx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作____________________，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0_________.【答案】 1.(1)某一时刻(2)极限2．f′(x0)或y′|x＝x0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．()(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．()(3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．()【解析】(1)由导数的定义知，函数在x＝x0处的导数只与x0有关，故正确．(2)瞬时变化率是刻画某一时刻变化快慢的物理量，故错误．(3)在导数的定义中，Δy可以为零，故错误．【答案】(1)√(2)×(3)×2．函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________．【解析】∵f(x)＝x2.∴在x＝1处的瞬时变化率是lim Δx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝limΔx→0(1＋Δx)2－12Δx＝limΔx→0(2＋Δx)＝2. 【答案】 2[小组合作型]求函数的平均变化率(1)已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( )【导学号：62952001】A ．0.40B ．0.41C ．0.43D ．0.44(2)已知函数f (x )＝x ＋1x ，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．【精彩点拨】 (1)由Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝f (2＋0.1)－f (2)可得． (2)求Δx ＝x 2－x 1→求Δy ＝f (x 2)－f (x 1)→计算ΔyΔx【自主解答】 (1)Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝f (2.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41. 【答案】 B(2)自变量x 从1变到2时，函数f (x )的平均变化率为f (2)－f (1)2－1＝2＋12－(1＋1)1＝12；自变量x 从3变到5时，函数f (x )的平均变化率为 f (5)－f (3)5－3＝5＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋132＝1415.因为12<1415，所以函数f (x )＝x ＋1x 在自变量x 从3变到5时函数值变化得较快．1．求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1. 第二步，求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． 第三步，求平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.2．求平均变化率的一个关注点求点x 0附近的平均变化率，可用f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的形式．[再练一题]1．函数y ＝x 2＋1在[1,1＋Δx ]上的平均变化率是( ) A ．2 B ．2x C ．2＋ΔxD ．2＋(Δx )2【解析】 ∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋Δx 2， ∴Δy Δx ＝2Δx ＋Δx2Δx ＝2＋Δx ，故选C. 【答案】 C求瞬时速度(1)以初速度v 0(v 0>0)垂直上抛的物体，t 秒时的高度为s (t )＝v 0t －12gt 2，则物体在t 0时刻的瞬时速度为__________．(2)某物体的运动方程为s ＝2t 3，则物体在第t ＝1时的瞬时速度是_____． 【精彩点拨】 先求出Δs Δt ，再求lim Δt →0Δs Δt .【自主解答】 (1)∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫v 0t 0－12gt 20＝v 0Δt －gt 0Δt －12g Δt 2，∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt ，∴limΔt→0ΔsΔt＝v0－gt0，即t0时刻的瞬时速度为v0－gt0.(2)∵当t＝1时，Δs＝2(1＋Δt)3－2×13＝2[1＋(Δt)3＋3Δt＋3(Δt)2]－2＝2＋2(Δt)3＋6Δt＋6(Δt)2－2＝2(Δt)3＋6(Δt)2＋6Δt，∴ΔsΔt＝2(Δt)3＋6(Δt)2＋6ΔtΔt＝2(Δt)2＋6Δt＋6，∴limΔt→0ΔsΔt＝6，则物体在第t＝1时的瞬时速度是6.【答案】(1)v0－gt0(2)61．求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．(2)求平均速度v＝Δs Δt.(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于常数v，即为瞬时速度．2．求ΔyΔx(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算．(2)求出ΔyΔx的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可．[再练一题]2．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移单位：m，时间单位：s).【导学号：62952002】(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．【解】(1)初速度v0＝limΔt→0s(Δt)－s(0)Δt＝lim Δt→03Δt－(Δt)2Δt＝limΔt→0(3－Δt)＝3，即物体的初速度为3 m/s.(2)v瞬＝limΔt→0s(2＋Δt)－s(2)Δt＝limΔt→03(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－4)Δt＝limΔt→0－(Δt)2－ΔtΔt＝limΔt→0(－Δt－1)＝－1，即物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度相反．(3)v＝s(2)－s(0)2－0＝6－4－02＝1，即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s.[探究共研型]求函数在某点处的导数探究1试求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度．【提示】ΔsΔt＝8－3(1＋Δt)2－(8－3×12)Δt＝－6－3Δt.探究2当Δt趋近于0时探究1中的平均速度趋近于何值？如何理解这一速度？【提示】当Δt趋近于0时，ΔsΔt趋近于－6.这时的平均速度即为t＝1时的瞬时速度．(1)求函数f(x)＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数；(2)求函数y＝3x2在x＝1处的导数．【精彩点拨】求函数f(x)在任意点处的导数都应先求平均变化率，再求f′(x0)．【自主解答】(1)∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)＋2＝3Δx－(Δx)2，∴ΔyΔx＝3Δx－(Δx)2Δx＝3－Δx，∴f′(－1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(3－Δx)＝3.(2)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，∴ΔyΔx＝6＋3Δx，∴f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(6＋3Δx)＝6.1．通过本例(1)进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系，对于Δy与Δx 的比值，感受和认识在Δx逐渐变小的过程中趋近于一个固定的常数A这一现象．2．用定义求函数在x＝x0处的导数的步骤(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率Δy Δx；(3)求极限，得导数为f′(x0)＝limΔx→0Δy Δx.简记为：一差、二比、三趋近．[再练一题]3．求函数f(x)＝x－1x在x＝1处的导数．【解】∵Δy＝(1＋Δx)－11＋Δx－⎝⎛⎭⎪⎫1－11＝Δx＋1－11＋Δx ＝Δx＋Δx1＋Δx，∴ΔyΔx＝Δx＋Δx1＋ΔxΔx＝1＋11＋Δx，∴f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0⎝⎛⎭⎪⎫1＋11＋Δx＝2.1．函数f(x)＝x3在区间(－1,3)上的平均变化率为() A．6.5 B．7C．14 D．13【解析】ΔyΔx＝f(3)－f(－1)3－(－1)＝27－(－1)4＝7.【答案】 B2．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在3 s末的瞬时速度是()A．7 m/s B．6 m/sC．5 m/s D．8 m/s【解析】∵ΔsΔt＝1－(3＋Δt)＋(3＋Δt)2－(1－3＋32)Δt＝5＋Δt，∴limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(5＋Δt)＝5(m/s)．【答案】 C3．质点运动规律s＝12gt2，则在时间区间(3,3＋Δt)内的平均速度等于____．(g＝10 m/s2)【解析】Δs＝12g×(3＋Δt)2－12g×32＝12×10×[6Δt＋(Δt)2]＝30Δt＋5(Δt)2，v＝ΔsΔt＝30＋5Δt.【答案】30＋5Δt4．一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a＝________.【解析】因为Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以ΔsΔt ＝4a＋aΔt，故当t＝2时，瞬时速度为limΔt→0ΔsΔt＝4a，所以4a＝8，所以a＝2.【答案】 25．在曲线y＝f(x)＝x2＋3上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)，求：(1)ΔyΔx；(2)f′(1)．【解】(1)ΔyΔx＝f(1＋Δx)－f(1)Δx＝(1＋Δx)2＋3－(12＋3)Δx＝2＋Δx.(2)f′(1)＝limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝limΔx→0(2＋Δx)＝2.。
人教版数学选修2变化率问题与.2导数概念课件
y f ( x) lim f ( x x) f ( x)
x 0
x
f
(
x0
)表
示函 导数 函f数 ( xf
)在x0处 的 导 数 值 ( x)在x0处 的 函 数
值
人教版数 学选修2 变化率 问题与 .2导数 概念课 件（精 品课件 ）
人教版数 学选修2 变化率 问题与 .2导数 概念课 件（精 品课件 ）
• 已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度；反之，已知加 速度作为时间的函数，求速度与路程
• 求曲线的切线 • 求函数的最大值与最小值 • 求长度、面积、体积和重心等
17世纪中叶，牛顿和莱布尼兹各自独立地创立了微积分
学习目标
1.了解导数概念的实际背景. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
即 f′(x0)＝ lim
Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx0＋ΔΔxx－fx0.
说明：
人教版数 学选修2 变化率 问题与 .2导数 概念课 件（精 品课件 ）
人教版数 学选修2 变化率 问题与 .2导数 概念课 件（精 品课件 ）
导数的定义
如果函数y=f(x)在区间(a,b)内每一点都可导，就说函数y=f(x)在 区间(a,b)内可导。这时，对于(a,b)内每一个x值，都有唯一确定 的导数值与之对应，这就构成了x的一个新函数，这个新函数叫
变化率问题
如右图所示，向高为10cm的容器等速注水，10秒钟注满， 若水深h是关于注水时间t 的函数，则下面两个图象哪一个 可以表示上述函数？
斜率公式
变化率
人教版数 学选修2 变化率 问题与 .2导数 概念课 件（精 品课件 ）
3.1.1 变化率问题 3.1.2导数的概念 教案(人教A版选修1-1)
3．1 变化率与导数3．1.1变化率问题3．1.2导数的概念(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能通过大量的实例的分析，让学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数．2．过程与方法通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法．3．情感、态度与价值观学生在从平均变化率到瞬时变化率的探索过程中，通过动手算、动脑思和集体合作讨论，发展思维能力，树立敢于战胜困难的信息，养成主动获取知识和敢于探索求知的习惯，激发求知欲，增强合作交流意识．●重点、难点重点：了解导数概念的形成，理解导数有内涵．难点：在平均变化率的基础上探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵．通过列举大量实例增强学生对导数概念形成的理解，以化解重点；通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点．(教师用书独具)●教学建议学生对平均变化率已有了很好的认识，同时在物理课程中已学习过瞬时速度，因此，学生已经具备了一定的认知基础，于是，在教学设计中，宜采用相互讨论、探究规律和引导发现的教学方法，本着为学生发展的原则，通过师生互动、共同探索，形成概念，并学以致用．在学生的认知基础上，为了让学生明确导数就是瞬时变化率，函数f (x )在x ＝x 0处的导数反映了函数f (x )在x ＝x 0处附近变化的快慢，从而更好地理解导数的概念．在学法指导上，应回避了学生较难理解的极限思想，而是通过让学生体验逼近的思想，让他们通过自主探究，发现导数的内涵．使学生在学习过程中探究能力，分析问题、解决问题的能力都得到了不同程度的提升．●教学流程创设问题情境，引出问题：如何刻画物体运动的快慢？⇒引导学生结合物理知识，分析、比较，引出平均变化率与瞬时变化率的概念.⇒通过引导学生回答所提问题理解瞬时变化率，得出导数的概念.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握如何计算平均变化率.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握求瞬时速度的方法，为求导数打下基础.⇒通过例3及其变式训练，学会求函数在某点处的导数的步骤与方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.(对应学生用书第45页)【问题导思】实例：(1)当你吹气球时会发现随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的会越来越慢．(2)从高空放下一件物体，随着时间的变化，物体下降的速度会越来越快． 1．如何用数学的观点刻画物体运动的快慢？ 【提示】 可以运用平均变化率来刻画．2．实例(2)中，当t 1≈t 2时刻时，平均变化率有什么样的特点？ 【提示】 平均变化率接近t 1或t 2时刻的速度． 1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 (1)定义式：lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值． (3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li mΔx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.(对应学生用书第45页)求函数f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为13，在哪一点附近平均变化率最大？【思路探究】 (1)Δx 、Δy 分别为多少？(2)平均变化率怎么求？(3)哪一点附近的平均变化率大？【自主解答】 在x ＝1附近的平均变化率为 k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx ＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx ＝6＋Δx .若Δx ＝13，则k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1＜k 2＜k 3，故在x ＝3附近的平均变化率最大．1．解答本题的关键是弄清在某点处自变量的增量Δx 与函数值的增量Δy . 2．求函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率的三个步骤 (1)求自变量的增量：Δx ＝x 2－x 1. (2)求函数值的增量：Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (3)作商求函数的平均变化率：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.求函数y ＝sin x 在0到π6之间和π3到π2之间的平均变化率，并比较它们的大小．【解】 函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为sin π6－sin 0π6－0＝3π，在π3到π2之间的平均变化率为sin π2－sin π3π2－π3＝3(2－3)π. ∵2－3＜1，∴3π＞3(2－3)π.∴函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为3π，在π3到π2之间的平均变化率为3(2－3)π，且在0到π6之间的平均变化率较大．s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 (t ≥3)29＋3(t －3)2(0≤t ＜3) 求(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度． (2)物体的初速度v 0.【思路探究】 (1)求物体在[3,5]内的平均速度应选择哪一段函数的解析式？(2)物体的初速度v 0的含义是什么？如何去求？【自主解答】 (1)∵物体在t ∈[3,5]内时，s ＝3t 2＋2，且时间增量Δt ＝5－3＝2， 物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为 Δs Δt ＝482＝24(m/s)． (2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f (0＋Δt )－f (0)Δt＝29＋3[(0＋Δt )－3]2－29－3(0－3)2Δt ＝3Δt －18，∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为 li mΔt →0 ΔsΔt＝li mΔt →0 (3Δt －18)＝－18， 即物体的初速度为－18 m/s.1．解答本例首先要弄清第(1)问是求平均变化率，而第(2)问实际上是求t ＝0时的瞬时速度(即瞬时变化率)．2．求瞬时速度应先求平均速度v ＝Δs ，再用公式v ＝li mΔt →0 Δs，求得瞬时速度． 3．如果物体的运动方程是s ＝s (t )，那么函数s ＝s (t )，在t ＝t 0处的导数，就是物体在t ＝t 0时的瞬时速度．一辆汽车按规律s ＝2t 2＋3做直线运动，求这辆车在t ＝2时的瞬时速度(时间单位：s ，位移单位：m)．【解】 设这辆车在t ＝2附近的时间变化量为Δt ，则位移的增量Δs ＝[2(2＋Δt )2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt ＋2(Δt )2，Δs Δt ＝8＋2Δt ，当Δx 趋于0时，平均变化率ΔsΔt 趋于8. 所以，这辆车在t ＝2时的瞬时速度为8 m/s.【思路探究】 求Δy →求ΔyΔx→取极限→得f ′(1) 【自主解答】 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝[3(1＋Δx )2＋a (1＋Δx )＋b ]－(3＋a ＋b )＝3(Δx )2＋(6＋a )Δx .Δy Δx ＝3(Δx )2＋(6＋a )Δx Δx＝3Δx ＋6＋a . li mΔx →0 ΔyΔx＝li mΔx →0 (3Δx ＋6＋a )＝6＋a . ∴f ′(1)＝6＋a .1．求函数f (x )在某点处导数的步骤与求瞬时变化率的步骤相同，简称：一差、二比、三极限．2．利用定义求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的两个注意点(1)在求平均变化率Δy Δx 时，要注意对Δy Δx 的变形与约分，变形不彻底可能导致li mΔx →0 ΔyΔx 不存在．(2)当对Δy Δx 取极限时，一定要把ΔyΔx变形到当Δx →0时，分母是一个非零常数的形式．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值． 【解】 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝a (1＋Δx )2＋c －(a ＋c ) ＝2a ·Δx ＋(Δx )2，∴Δy ＝2a ·Δx ＋(Δx )2＝2a ＋Δx . 因此f ′(1)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0(2a ＋Δx )＝2a .∴2a＝2，a＝1.(对应学生用书第48页)求物体的瞬时速度、初速度时要注意步骤的规范性(12分)(2013·长沙高二检测)一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．【思路点拨】本题已知函数解析式，求初速度即t＝0时的瞬时速度，t＝2时的瞬时速度和t∈[0,2]时的平均速度，可以用一差、二比、三极限的方法．【规范解答】(1)当t＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]，∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2，2分Δs Δt＝3Δt－(Δt)2Δt＝3－Δt，3分lim Δt→0ΔsΔt＝limΔt→0(3－Δt)＝3.4分∴物体的初速度为3.(2)取一时间段[2,2＋Δt]，∴Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22) ＝－Δt－(Δt)2，6分Δs Δt＝－Δt－(Δt)2Δt＝－1－Δt，7分lim Δt→0ΔsΔt＝limΔt→0(－1－Δt)＝－1，8分∴当t＝2时，物体的瞬时速度为－1.(3)当t∈[0,2]时，Δt＝2－0＝2.Δs ＝s (2)－s (0)＝(3×2－22)－(3×0－02)＝210分 v ＝Δs Δt ＝22＝1. ∴在0到2之间，物体的平均速度为1.12分解答此类问题首先要理解概念与公式的内涵，其次在解题过程中要严格按规定步骤解答，切忌跨步，以免出错．1．平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，当Δx 趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x 0处的瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解．另外，它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快．2．函数在一点处的导数，就是在该点函数值的改变量与自变量的改变量的比值的极限，它是一个定值，不是变数.(对应学生用书第48页)1．已知物体位移公式s ＝s (t )，从t 0到t 0＋Δt 这段时间内，下列说法错误的是( ) A ．Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)叫做位移增量B.Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt 叫做这段时间内物体的平均速度C.ΔsΔt 不一定与Δt 有关 D.lim Δt →ΔsΔt叫做这段时间内物体的平均速度 【解析】 D 错误，应为t ＝t 0时的瞬时速度． 【答案】 D2．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43D ．0.44【解析】 ∵x ＝2，Δx ＝0.1， ∴Δy ＝f (2＋0.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41. 【答案】 B3．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b 【解析】Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝a ＋b ·Δx ， f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0(a ＋b ·Δx )＝a . 【答案】 C4．一物体运动的方程是s ＝3＋t 2，求物体在t ＝2时的瞬时速度． 【解】 Δs ＝(2＋Δt )2－4＝4Δt ＋(Δt )2.∴ΔsΔt＝4＋Δt . ∴当Δt →0时，瞬时速度为4.(对应学生用书第103页)一、选择题1．已知函数y ＝x 2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则ΔyΔx 等于( )A ．2B ．2xC ．2＋ΔxD ．2＋(Δx )2【解析】 Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2.∴Δy Δx ＝2Δx ＋(Δx )2Δx＝2＋Δx . 【答案】 C2．自由落体运动的公式为s ＝s (t )＝12gt 2(g ＝10 m/s 2)，若v ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt ，则下列说法正确的是( )A ．v 是在0～1 s 这段时间内的速度B ．v 是1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速度C ．5Δt ＋10是物体在t ＝1 s 这一时刻的速度D ．5Δt ＋10是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度【解析】 由平均速度的概念知：v ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt ＝5Δt ＋10.故应选D.【答案】 D3．(2013·惠州高二检测)某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t (t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为( )A.12316米/秒B.12516米/秒 C ．8米/秒 D.674米/秒【解析】 ∵Δs Δt ＝(4＋Δt )2＋34＋Δt －16－34Δt＝(Δt )2＋8Δt ＋－3Δt 4(4＋Δt )Δt＝Δt ＋8－316＋4Δt，∴lim Δt →0 Δs Δt ＝8－316＝12516. 【答案】 B4．函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1，k 2的大小关系是( )A ．k 1＜k 2B ．k 1＞k 2C ．k 1＝k 2D ．无法确定【解析】 k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝2x 0＋Δx ，k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx＝2x 0－Δx ，而Δx 可正可负，故k 1、k 2大小关系不确定．【答案】 D5．已知点P (x 0，y 0)是抛物线y ＝3x 2＋6x ＋1上一点，且f ′(x 0)＝0，则点P 的坐标为( )A ．(1,10)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(－1,10)【解析】 Δy ＝3(x 0＋Δx )2＋6(x 0＋Δx )－3x 20－6x 0＝6x 0·Δx ＋3(Δx )2＋6Δx ，∴lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(6x 0＋3Δx ＋6)＝6x 0＋6＝0. ∴x 0＝－1，y 0＝－2.【答案】 B二、填空题6．(2013·洛阳高二检测)一小球沿斜面自由滚下，其运动方程是s (t )＝t 2, (s 的单位：米，t 的单位：秒)，则小球在t ＝5时的瞬时速度为________．【解析】 v ′(5)＝lim Δt →0 s (5＋Δt )－s (5)Δt＝lim Δt →0(10＋Δt )＝10 【答案】 10米/秒7．已知函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________.【解析】 f ′(1)＝lim Δx →0 a (1＋Δx )＋4－a －4Δx ＝lim Δx →0 a Δx Δx＝2，∴a ＝2. 【答案】 28．若函数f(x)在x＝a处的导数为m，那么limΔx→0f(a＋Δx)－f(a－Δx)Δx＝________.【解析】∵limΔx→0f(a＋Δx)－f(a)Δx＝m，则limΔx→0f(a－Δx)－f(a)－Δx＝m.∴limΔx→0f(a＋Δx)－f(a－Δx)Δx＝limΔx→0f(a＋Δx)－f(a)＋f(a)－f(a－Δx)Δx＝limΔx→0f(a＋Δx)－f(a)＋limΔx→0f(a－Δx)－f(a)－Δx＝m＋m＝2m.【答案】2m三、解答题9．已知f(x)＝(x－1)2，求f′(x0)，f′(0)．【解】∵Δf＝(x0＋Δx－1)2－(x0－1)2＝2x0·Δx－2Δx＋(Δx)2，∴ΔfΔx＝2x0Δx－2Δx＋(Δx)2Δx＝2x0－2＋Δx，f′(x0)＝limΔx→0ΔfΔx＝limΔx→0(2x0－2＋Δx)＝2x0－2，把x0＝0代入上式，得f′(0)＝2×0－2＝＝－2.10．设质点做直线运动，已知路程s是时间t的函数：s＝3t2＋2t＋1.(1)求从t＝2到t＝2＋Δt的平均速度，并求当Δt＝1，Δt＝0.1时的平均速度；(2)求当t＝2时的瞬时速度．【解】(1)从t＝2到t＝2＋Δt内的平均速度为：Δs Δt＝s(2＋Δt)－s(2)Δt＝3(2＋Δt)2＋2(2＋Δt)＋1－3×4－2×2－1Δt＝14Δt＋3(Δt)2Δt＝14＋3Δt.当Δt＝1时，平均速度为14＋3×1＝17；当Δt＝0.1时，平均速度为14＋3×0.1＝14.3.(2)t＝2时的瞬时速度为：v＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(14＋3Δt)＝14.11．(2013·黄冈高二检测)枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果枪弹的加速度是a ＝5×105 m/s 2，它从枪口射出所用的时间为t 1＝1.6×10－3 s ，求枪弹射出枪口时的瞬时速度． 【解】 ∵s (t )＝12at 2， ∴Δs ＝s (t 1＋Δt )－s (t 1)＝12a (t 1＋Δt )2－12at 21＝at 1Δt ＋12a (Δt )2， Δs Δt ＝at 1Δt ＋12a (Δt )2Δt ＝at 1＋12a Δt . ∴枪弹射出枪口时的瞬时速度为v ＝lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (at 1＋12a Δt )＝at 1. 由题意a ＝5×105 m/s 2，t 1＝1.6×10－3s ， ∴v ＝at 1＝5×105×1.6×10－3 ＝800(m/s)，即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.(教师用书独具)求函数y ＝1x在x ＝1时的瞬时变化率． 【解】 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝11＋Δx －1＝1－1＋Δx 1＋Δx＝1－1－Δx (1＋1＋Δx )1＋Δx＝－Δx (1＋1＋Δx )1＋Δx， ∴Δy Δx ＝－1(1＋1＋Δx )1＋Δx . ∴Δx 趋于0时，Δy Δx 趋于－12. ∴x ＝1时的瞬时变化率为－12.求y ＝x 在x ＝1处的导数．【解】 由题意知Δy ＝1＋Δx －1， ∴Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝(1＋Δx －1)(1＋Δx ＋1)Δx (1＋Δx ＋1) ＝11＋Δx ＋1， ∴y ′|x ＝1＝lim Δx →011＋Δx ＋1＝12.。
1.1.1和1.1.2变化率问题、导数的概念课件人教新课标1
【解析】(1)自变量x从1变到2时，函数f(x)=2x+1的函数值的
增量为Δy=5-3=2，故增量之比是2.
答案：2
(2)函数f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率是 lim f (1 x) f (1)
x0
x
lim (1 x)2 12 lim (2 x) 2.
x0
x
x0
答案：2
(3)函数y=f(x)= 1 在x=-1处的导数可表示为f′(-1)或
【微思考】
(1)函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的大小与曲线 y=f(x)在区间[x1，x2]上的“峻峭”程度有什么关系？ 提示：平均变化率的绝对值越大，曲线y=f(x)在区间[x1，x2]
上越“峻峭”，反之亦然. (2)平均变化率可以是零吗？ 举例说明. 提示：可以是零，如函数f(x)=a(a为常数).
Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx-0|可以小于给定的任
意小的正数，且始终Δx≠0.
3.对导数概念的两点说明
(若1)当xy 的Δ极x≠限0不时存，在比，值则xyf的 (x极)在限点存x在0处，不则可f导(x或)在无点导x数0处.可导；
(2)在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lim f (x0 x) f (x0 )
取定值，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的.
特别地，当函数f(x)为常数函数时，Δy=0，则 y =0.
x
2.对平均变化率的三点说明 (1)y=f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是曲线y=f(x)在 区间[x1，x2]上峻峭程度的“数量化”，曲线峻峭程度是平 均变化率的“视觉化”． (2)平均变化率的几何意义就是函数y=f(x)图象上两点P1(x1，
2019高中数学 第一章1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念学案 新人教A版选修2-2
1.1 变化率与导数1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念学习目标：1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点)4.理解函数的平均变化率，瞬时变化率及导数的概念．(易混点)[自 主 预 习·探 新 知]1．函数的平均变化率(1)函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1，其中Δx ＝x 2－x 1是相对于x 1的一个“增量”，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)是相对于f (x 1)的一个“增量”．(2)平均变化率的几何意义设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx＝f x 2－f x 1x 2－x 1＝f x 1＋Δx －f x 1Δx为割线AB 的斜率，如图111所示．图111思考：Δx ，Δy 的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？[提示] Δx ，Δy 可正可负，Δy 也可以为零，但Δx 不能为零．平均变化率ΔyΔx 可正、可负、可为零．2．瞬时速度与瞬时变化率(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．(2)函数f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限即lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.3．导数的概念函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数就是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，记作f ′(x 0)或y ′| x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.[基础自测]1．思考辨析(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．( )(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．( )(3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．( )提示：(1)由导数的定义知，函数在x＝x0处的导数只与x0有关，故正确．(2)瞬时变化率是刻画某一时刻变化快慢的物理量，故错误．(3)在导数的定义中，Δy可以为零，故错误．[答案] (1)√(2)×(3)×2．函数y＝f(x)，自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为( )【导学号：31062000】A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)D[Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故选D.]3．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度是( ) A．4 B．4.1C．0.41 D．－1.1B[v＝ΔsΔt＝s－s2.1－2＝2.12－220.1＝4.1，故选B.]4．函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________．[解析]∵f(x)＝x2.∴在x＝1处的瞬时变化率是lim Δx→0ΔyΔx＝limΔx→0f＋Δx－fΔx＝limΔx→0＋Δx2－12Δx＝limΔx→0(2＋Δx)＝2.[答案] 25．函数f(x)＝2在x＝6处的导数等于________．[解析]f′(6)＝limΔx→0f＋Δx－fΔx＝limΔx→02－2Δx＝0.[答案] 0[合作探究·攻重难](1)从0.1到0.2的平均变化率；(2)在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率.【导学号：31062001】[解] (1)因为f (x )＝3x 2＋5， 所以从0.1到0.2的平均变化率为 3×0.22＋5－3×0.12－50.2－0.1＝0.9.(2)f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝3(x 0＋Δx )2＋5－(3x 20＋5) ＝3x 20＋6x 0Δx ＋3(Δx )2＋5－3x 20－5＝6x 0Δx ＋3(Δx )2. 函数f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为6x 0Δx ＋Δx2Δx ＝6x 0＋3Δx .[规律方法] 1.求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1； 第二步，求函数值的增量Δy ＝f x 2－f x 1；第三步，求平均变化率Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 12.求平均变化率的一个关注点求点x 0附近的平均变化率，可用f x 0＋Δx －f x 0Δx的形式.[跟踪训练]1．如图112，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率等于( )图112A ．1B ．－1C ．2D ．－2B [平均变化率为1－33－1＝－1.故选B.]2．已知函数y ＝f (x )＝2x 2的图象上点P (1,2)及邻近点Q (1＋Δx,2＋Δy )，则Δy Δx 的值为( )【导学号：31062002】A ．4B ．4xC ．4＋2Δx 2D ．4＋2ΔxD [Δy Δx ＝＋Δx 2－2×12Δx＝4＋2Δx .故选D.][探究问题]1．物体的路程s 与时间t 的关系是s (t )＝5t 2，如何计算物体在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度？提示：Δs ＝5(1＋Δt )2－5＝10Δt ＋5(Δt )2，v ＝Δs Δt＝10＋5Δt .2．当Δt 趋近于0时，探究1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？ 提示：当Δt 趋近于0时，ΔsΔt趋近于10，这时的平均速度即为当t ＝1时的瞬时速度．某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 2＋t＋1表示，求物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．[思路探究] 计算物体在[1，1＋Δt ]内的平均速度Δs Δt ――→令Δt →0计算lim Δt →0ΔsΔt―→得t ＝1 s 时的瞬时速度[解] ∵Δs Δt ＝s＋Δt －sΔt＝＋Δt2＋＋Δt ＋1－2＋1＋Δt＝3＋Δt ，∴lim Δt →0ΔsΔt＝lim Δt →0(3＋Δt )＝3.∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为3. 即物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为3 m/s.母题探究：1.(变结论)在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度． [解] 求物体的初速度，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵Δs Δt ＝s ＋Δt －sΔt＝＋Δt2＋＋Δt ＋1－1Δt＝1＋Δt ，∴lim Δt →0(1＋Δt )＝1.∴物体在t ＝0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1 m/s.2．(变结论)在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. [解] 设物体在t 0时刻的瞬时速度为9 m/s.又Δs Δt ＝s t 0＋Δt －s t 0Δt＝(2t 0＋1)＋Δt .lim Δt →0ΔsΔt＝lim Δt →0(2t 0＋1＋Δt )＝2t 0＋1. 则2t 0＋1＝9， ∴t 0＝4.则物体在4 s 时的瞬时速度为9 m/s.[规律方法] 求运动物体瞬时速度的三个步骤求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s t 0＋Δt －s t 0求平均速度v ＝Δs Δt求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，\f(Δs,Δt )无限趋近于常数v ，即为瞬时速度.(1)设函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，且lim Δx →00x 0Δx＝1，则f ′(x 0)等于( )A ．1B ．－1C ．－13D ．13(2)求函数f (x )＝x －1x在x ＝1处的导数．[思路探究] (1)类比f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx求解．(2)先求Δy ―→再求Δy Δx ―→计算lim Δx →0ΔyΔx(1)C [∵lim Δx →0f x 0－3Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x 0－3Δx －f x 0－3Δx －＝－3f ′(x 0)＝1，∴f ′(x 0)＝－13，故选C.](2)∵Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－11 ＝Δx ＋1－11＋Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx， ∴Δy Δx ＝Δx ＋Δx 1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx ， ∴f ′(1)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11＋Δx ＝2.[规律方法] 求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的三个步骤简称：一差、二比、三极限． [跟踪训练]3．已知f ′(1)＝－2，则lim Δx →0f－2Δx －fΔx＝________.【导学号：31062003】[解析] ∵f ′(1)＝－2， ∴limΔx →0f－2Δx －fΔx＝lim Δx →0f－2Δx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2Δx＝－2lim Δx →0f－2Δx －f －2Δx＝－2f ′(1)＝－2×(－2)＝4.[答案] 44．求函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数．[解] ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝3(1＋Δx )2－3＝6Δx ＋3(Δx )2，∴Δy Δx ＝6＋3Δx ，∴f ′(1)＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0(6＋3Δx )＝6.[当 堂 达 标·固 双 基]1．一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是( )A ．0.4B ．2C ．0.3D ．0.2B [v ＝s－s 2.1－2＝4.2－40.1＝2.]2．物体自由落体的运动方程为s (t )＝12gt 2，g ＝9.8 m/s 2，若v ＝lim Δt →0＝s 1＋Δt －s 1Δt＝9.8 m/s ，那么下列说法中正确的是( )【导学号：31062004】A ．9.8 m/s 是物体从0 s 到1 s 这段时间内的速率B ．9.8 m/s 是1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速率C ．9.8 m/s 是物体在t ＝1 s 这一时刻的速率D ．9.8 m/s 是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的平均速率 C [结合平均变化率与瞬时变化率可知选项C 正确．] 3．函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数为________． [解析] ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx －1， ∴Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， ∴f ′(1)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →011＋Δx ＋1＝12.[答案] 124．设f (x )在x 0处可导，若lim Δx →0f x 0＋3Δx －f x 0Δx＝A ，则f ′(x 0)＝________.[解析] lim Δx →0f x 0＋3Δx －f x 0Δx＝3lim 3Δx →0f x 0＋3Δx －f x 03Δx＝3f ′(x 0)＝A .故f ′(x 0)＝13A .[答案] A35．在曲线y ＝f (x )＝x 2＋3上取一点P (1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy )，求：(1)Δy Δx ；(2)f ′(1).【导学号：31062005】[解] (1)Δy Δx ＝f＋Δx －fΔx＝＋Δx2＋3－2＋Δx＝2＋Δx .(2)f ′(1)＝lim Δx →0f＋Δx －fΔx＝lim Δx →0(2＋Δx )＝2.。
2021-2022年高中数学 1.1.1 变化率问题、§1.1.2 导数的概念 导学案 新人教A
2021年高中数学 1.1.1 变化率问题、§1.1.2 导数的概念导学案新人教A版选修2-2学习目标：1、了解导数概念的实际背景；2、会增长函数在某一点附近的平均变化率；3、会利用导数的定义求函数在某点处的导数。
一、主要知识：
1、对于函数，当自变量从变到时，函数值从变到，则称式子为从到的平均变化率，简记作：。
2、函数在处的瞬时变化率是函数从到的平均变化率在时的极限，即。
3、函数在处的称为函数在处的导数，记作，即。
二、典例分析：
〖例1〗：求函数在到之间的平均变化率，并计算当时平均变化率的值。
〖变式训练1〗：在区间内的平均变化率为。
〖例2〗：求函数在处的导数。
〖变式训练2〗：已知函数，且，求的值。
〖例3〗：若一物体运动方程为：
()
()()
2
2
323
293303
t t
s
t t
⎧+≥
⎪
=⎨
+-≤<
⎪⎩
（位移：，时间：）。
求：（1）物体在内的平均速度；（2）物体的初速度；（3）物体在时的瞬时速度。
〖变式训练3〗：一个质量为的物体按照（位移：，时间：）的规律作直线运动，物体的动能为，求运动开始后第时该物体的动能。
(完整版)高中数学变化率问题导数的概念(老师版)
1.1.1 变化率问题1.1.2 导数的概念[学习目标] 1.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念.2.掌握函数平均变化率的求法.3.掌握导数的概念，会用导数的定义求简单函数在某点处的导数.知识点一 函数的平均变化率 1.平均变化率的概念设函数y ＝f (x )，x 1，x 2是其定义域内不同的两个点，那么函数的变化率可用式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1，可把Δx 看作是相对于x 1的一个“增量”，可用x 1＋Δx 代替x 2；类似地，Δy ＝f (x 2)－f (x 1).于是，平均变化率可以表示为ΔyΔx .2.求平均变化率求函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]上平均变化率的步骤如下： (1)求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1； (2)求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)；(3)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx .思考 (1)如何正确理解Δx ，Δy? (2)平均变化率的几何意义是什么？答案 (1)Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘，其值可取正值、负值，但Δx ≠0；Δy 也是一个整体符号，若Δx ＝x 1－x 2，则Δy ＝f (x 1)－f (x 2)，而不是Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，Δy 可为正数、负数，亦可取零. (2)如图所示：y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率是曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”，⎪⎪⎪⎪Δy Δx 越大，曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上越“陡峭”，反之亦然.平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的斜率，若函数y ＝f (x )图象上有两点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，则f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝k AB .知识点二 瞬时速度与瞬时变化率把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s ＝s (t )描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)，那么位移改变量Δs 与时间改变量Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即v ＝Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt.物理学里，我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻t 0的速度，即t 0时刻的瞬时速度，用v 表示，物体在t 0时刻的瞬时速度v 就是运动物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均变化率s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt 在Δt →0时的极限，即v ＝lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .瞬时速度就是位移函数对时间的瞬时变化率. 思考 (1)瞬时变化率的实质是什么？ (2)平均速度与瞬时速度的区别与联系是什么？答案 (1)其实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于0时的值，它是刻画函数值在某处变化的快慢.(2)①区别：平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢；②联系：当Δx 趋于0时，平均变化率ΔyΔx 趋于一个常数，这个常数即为函数在x 0处的瞬时变化率，它是一个固定值.知识点三 导数的概念 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|0x x =，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 思考 (1)函数f (x )在x 0处的导数满足什么条件时存在？ (2)求解函数f (x )在x 0处导数的步骤是什么？答案 (1)函数f (x )在x 0处可导，是指Δx →0时，Δy Δx 有极限，如果ΔyΔx 不存在极限，就说函数在点x 0处无导数.(2)求解函数f (x )在x 0处导数的步骤如下： ①求函数值的增量：Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； ②求平均变化率：Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；③取极限，得导数：f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.题型一 求平均变化率例1 求函数y ＝f (x )＝2x 2＋3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝12时该函数的平均变化率.解 当自变量从x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝[2(x 0＋Δx )2＋3]－(2x 20＋3)Δx ＝4x 0Δx ＋2(Δx )2Δx＝4x 0＋2Δx . 当x 0＝2，Δx ＝12时，平均变化率的值为4×2＋2×12＝9.反思与感悟 平均变化率是函数值的增量与相应自变量的增量的比值，所以求函数在给定区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率问题，即求Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的值.跟踪训练1 (1)已知函数y ＝f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx＝ .答案 2Δx ＋4解析 因为Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(Δx )2＋4Δx ，所以平均变化率ΔyΔx ＝2Δx ＋4.(2)求函数y ＝f (x )＝1x2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率(x 0≠0).解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝1(x 0＋Δx )2－1x 20＝－Δx (2x 0＋Δx )(x 0＋Δx )2x 20，∴ΔyΔx ＝－Δx (2x 0＋Δx )(x 0＋Δx )2x 20Δx ＝－2x 0＋Δx (x 0＋Δx )2x 20.题型二 实际问题中的瞬时速度例2 一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移单位：m ，时间单位：s). (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度； (3)求t ＝0到t ＝2时的平均速度.解 (1)初速度v 0＝lim Δt →0 s (Δt )－s (0)Δt ＝lim Δt →0 3Δt －(Δt )2Δt ＝lim Δt →0 (3－Δt )＝3. 即物体的初速度为3 m/s.(2)v 瞬＝lim Δt →0 s (2＋Δt )－s (2)Δt ＝lim Δt →0 3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－4)Δt ＝lim Δt →0 －(Δt )2－Δt Δt ＝lim Δt →0 (－Δt －1)＝－1. 即此物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s ，方向与初速度方向相反. (3)v ＝s (2)－s (0)2－0＝6－4－02＝1.即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.反思与感悟 作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，Δt 趋近于0，指时间间隔Δt 越来越小，但不能为0，Δt ，Δs 在变化中都趋近于0，但它们的比值趋近于一个确定的常数.跟踪训练2 已知一物体作自由落体运动，下落的高度的表达式为s ＝12gt 2，其中g 为重力加速度，g ≈9.8米/平方秒(s 的单位：米).(1)求t 从3秒到3.1秒、3.01秒、3.001秒、3.000 1秒各段内的平均速度； (2)求t ＝3秒时的瞬时速度.解 (1)当t 在区间[3,3.1]上时，Δt ＝3.1－3＝0.1(秒)，Δs ＝s (3.1)－s (3)＝12g ·3.12－12g ·32≈2.989(米).v 1＝Δs Δt ≈2.9890.1＝29.89(米/秒). 同理，当t 在区间[3,3.01]上时，v 2≈29.449(米/秒)，当t 在区间[3,3.001]上时，v 3≈29.404 9(米/秒)，当t 在区间[3,3.000 1]上时，v 4≈29.400 49(米/秒).(2)Δs Δt ＝s (3＋Δt )－s (3)Δt ＝12g (3＋Δt )2－12g ·32Δt ＝12g (6＋Δt )， lim Δt →0Δs Δt ＝lim Δt →0 12g (6＋Δt )＝3g ≈29.4(米/秒).所以t ＝3秒时的瞬时速度约为29.4米/秒. 题型三 函数在某点处的导数例3 求函数y ＝x －1x在x ＝1处的导数.解 Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －(1－11)＝Δx ＋Δx 1＋Δx ，Δy Δx ＝Δx ＋Δx 1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx ，∴lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 (1＋11＋Δx)＝2，从而y ′|x ＝1＝2. 反思与感悟 求函数在x ＝x 0处的导数的步骤： (1)求函数值的增量，Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率，Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx. 跟踪训练3 求函数y ＝4x2在x ＝2处的导数；解 ∵Δy ＝4(Δx ＋2)2－422＝4(Δx ＋2)2－1＝－(Δx )2＋4Δx (Δx ＋2)2，∴ΔyΔx ＝－Δx ＋4(Δx ＋2)2，∴lim Δx →0 ΔyΔx＝－lim Δx →0 Δx ＋4(Δx ＋2)2＝－1.因对导数的概念理解不到位致误例4 设函数f (x )在x 0处可导，且f ′(x 0)已知，求下列各式的极限值. (1)lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx ；(2)lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h.错解 (1)lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0).(2)lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h ＝12lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0－h )h ＝12f ′(x 0).错因分析 在导数的定义中，增量Δx 的形式是多种多样的，但不论Δx 是哪种形式，Δy 必须选择相对应的形式.如(1)中Δx 的改变量为Δx ＝x 0－(x 0－Δx )，(2)中Δx 的改变量为2h ＝(x 0＋h )－(x 0－h ). 正解 (1)lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx ＝－lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx ＝－lim －Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx＝－f ′(x 0). (2)lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h ＝lim 2h →0 f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h＝f ′(x 0). 防范措施 自变量的改变量Δx 的值为变后量与变前量之差.1.在求解平均变化率时，自变量的变化量Δx 应满足( ) A.Δx ＞0 B.Δx ＜0C.Δx ≠0D.Δx 可为任意实数答案 C解析 因平均变化率为ΔyΔx，故Δx ≠0.2.沿直线运动的物体从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么lim Δt →0 ΔsΔt为( ) A.从时间t 到t ＋Δt 时物体的平均速度 B.t 时刻物体的瞬时速度 C.当时间为Δt 时物体的速度D.从时间t 到t ＋Δt 时位移的平均变化率 答案 B解析 v ＝Δs Δt ，而lim Δt →0 Δs Δt 则为t 时刻物体的瞬时速度. 3.函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数为 . 答案 12解析 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx －1， ∴Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， ∴f ′(1)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →011＋Δx ＋1＝12.4.设f (x )在x 0处可导，若lim Δx →0 f (x 0＋3Δx )－f (x 0)Δx＝A ，则f ′(x 0)＝ .答案 13A解析 lim Δx →0f (x 0＋3Δx )－f (x 0)Δx ＝3lim 3Δx →0 f (x 0＋3Δx )－f (x 0)3Δx ＝3f ′(x 0)＝A .故f ′(x 0)＝13A . 5.以初速度为v 0(v 0＞0)作竖直上抛运动的物体，t 秒时的高度为s (t )＝v 0t －12gt 2，求物体在t 0时刻的瞬时加速度.解 ∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－v 0t 0＋12gt 20＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2，∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt . 当Δt →0时，ΔsΔt →v 0－gt 0.∴物体在t 0时刻的瞬时速度为v 0－gt 0.由此，类似地可得到物体运动的速度函数为 v (t )＝v 0－gt ，∴Δv Δt ＝v 0－g (t 0＋Δt )－(v 0－gt 0)Δt ＝－g .∴当Δt →0时，ΔvΔt→－g .故物体在t 0时刻的瞬时加速度为－g .1.求平均变化率的步骤：(1)求Δy ，Δx .(2)求ΔyΔx.2.求瞬时速度的一般步骤：(1)求Δs 及Δt .(2)求Δs Δt. (3)求lim Δt →0 ΔsΔt .3.利用定义求函数f (x )在x ＝x 0处的导数：(1)求函数的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0).(2)求ΔyΔx.(3)y ′|0x x =＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.一、选择题1.质点运动规律s ＝t 2＋3，则在时间[3,3＋Δt ]中，相应的平均速度等于( ) A.6＋Δt B.6＋Δt ＋9ΔtC.3＋ΔtD.9＋Δt答案 A解析 因为v ＝s (3＋Δt )－s (3)Δt ＝6Δt ＋(Δt )2Δt＝6＋Δt .故选A.2.设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( ) A.f ′(x )＝a B.f ′(x 0)＝a C.f ′(x )＝b D.f ′(x 0)＝b 答案 B解析 由导数定义得f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 a Δx ＋b (Δx )2Δx ＝a .故选B. 3如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( )A.1B.－1C.2D.－2答案 B 解析Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1. 4.如果某物体的运动方程为s ＝2(1－t 2) (s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( ) A.－4.8 m/s B.－0.88 m/s C.0.88 m/s D.4.8 m/s答案 A解析 物体运动在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得. 5.设函数f (x )可导，则lim Δx →0f (1＋3Δx )－f (1)3Δx等于( )A.f ′(1)B.3f ′(1)C.13f ′(1) D.f ′(3)答案 A解析 lim Δx →0f (1＋3Δx )－f (1)3Δx＝f ′(1).6.一个质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－3t 2＋8t ，那么速度为零的时刻是( )A.1秒末B.1秒末和2秒末C.4秒末D.2秒末和4秒末答案 D解析 据导数的定义，得s ′＝t 2－6t ＋8，令s ′＝0，即t 2－6t ＋8＝0. 解得t ＝2或t ＝4，故速度为零的时刻为2秒末和4秒末. 二、填空题7.已知函数y ＝2x ＋3，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝ .答案 13解析 Δy ＝f (1.5)－f (2)＝⎝⎛⎭⎫21.5＋3－⎝⎛⎭⎫22＋3＝43－1＝13. 8.已知函数f (x )＝1x，则f ′(1)＝ . 答案 －12解析 f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0 11＋Δx－1Δx＝lim Δx →0 －11＋Δx (1＋1＋Δx )＝－12.9.如图所示，函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是 .答案 [x 3，x 4]解析 由平均变化率的定义可知，函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]上的平均变化率分别为：f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，f (x 3)－f (x 2)x 3－x 2，f (x 4)－f (x 3)x 4－x 3，结合图象可以发现函数y ＝f (x )的平均变化率最大的一个区间是[x 3，x 4].10.子弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速直线运动.如果它的加速度是a ＝5×105 m/s 2，子弹从枪口射出所用的时间为1.6×10－3 s ，则子弹射出枪口时的瞬时速度为 m/s. 答案 800解析 运动方程为s ＝12at 2.∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2，∴Δs Δt ＝at 0＋12a Δt ，∴v ＝lim Δt →0 Δs Δt ＝at 0. 又∵a ＝5×105 m/s 2，t 0＝1.6×10－3 s ，∴v ＝at 0＝8×102＝800(m/s). 三、解答题11.求函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数.解 Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3)＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ， ∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16Δx Δx ＝2Δx ＋16.∴y ′|x ＝3＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (2Δx ＋16)＝16. 12.若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值. 解 ∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c ＝a (Δx )2＋2a Δx .∴f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 a (Δx )2＋2a Δx Δx ＝lim Δx →0 (a Δx ＋2a )＝2a ，即2a ＝2，∴a ＝1. 13.试比较正弦函数y ＝sin x 在x ＝0和x ＝π2附近的平均变化率哪一个大.解 当自变量从0变到Δx 时，函数的平均变化率为k 1＝sin Δx －sin 0Δx ＝sin ΔxΔx.当自变量从π2变到Δx ＋π2时，函数的平均变化率为k 2＝sin (π2＋Δx )－sin π2Δx ＝cos Δx －1Δx .由于是在x ＝0和x ＝π2的附近的平均变化率，可知Δx 较小，但Δx 既可化为正，又可化为负.当Δx ＞0时，k 1＞0，k 2＜0，此时有k 1＞k 2.当Δx ＜0时，k 1－k 2＝sin Δx Δx －cos Δx －1Δx ＝sin Δx －cos Δx ＋1Δx ＝2sin (Δx －π4)＋1Δx .∵Δx ＜0，∴Δx －π4＜－π4，∴sin(Δx －π4)＜－22，从而有2sin(Δx －π4)＜－1，2sin(Δx －π4)＋1＜0，∴k 1－k 2＞0，即k 1＞k 2.综上可知，正弦函数y ＝sin x 在x ＝0附近的平均变化率大于在x ＝π2附近的平均变化率.。
人教新课标版数学高二课件变化率问题导数的概念
(2)瞬时速度为lim Δt→0
ΔΔst＝Δlitm→0 t0＝2 s 到 t1＝2.1 s 这段时间内的平均速度
为 g×2＋12g×0.1＝4210g.
(4)由(2)得物体在 t＝2 s 时的瞬时速度为 g×2＝2g.
求函数f(x)在某点处的导数
1－3＋Δt＋3＋Δt2－1－3＋32 Δt
＝lim (Δt＋5) Δt→0
＝5.
答案： 5米/秒
4．求函数 y＝x－1x在 x＝1 处的导数．
解析： Δy＝(1＋Δx)－1＋1Δx－1－11 ＝Δx＋1＋ΔxΔx，
ΔΔyx＝Δx＋Δ1x＋ΔxΔx＝1＋1＋1Δx，
∴ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
(2)根据导数的定义
f′(x0)＝Δlixm→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
2x0＋Δx2＋4x0＋Δx－2x20＋4x0 Δx
＝ lim Δx→0
4x0·Δx＋2Δx2＋4Δx Δx
＝ lim Δx→0
(4x0＋2Δx＋4)
＝4x0＋4，
∴f′(x0)＝4x0＋4＝12，解得 x0＝2.
解析： (1)由已知∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝2Δx(2x0＋Δx)， ∴ΔΔyx＝2Δx2Δx0x＋Δx＝4x0＋2Δx. (2)由(1)可知：ΔΔxy＝4x0＋2Δx，当 x0＝2，Δx＝0.01 时， ΔΔyx＝4×2＋2×0.01＝8.02.
(3)在 x＝2 处取自变量的增量 Δx，得一区间[2,2＋Δx]． ∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2·22＋1)＝2(Δx)2＋ 8Δx. ∴ΔΔyx＝2Δx＋8，当 Δx→0 时，ΔΔxy→8.
高二数学 3.1.1变化率问题与导数概念导学案 新人教A版选修1-1
高中数学 3.1.1变化率问题与导数概念导学案知识梳理1．在高台跳水运动中，运动员在t 1≤t ≤t 2这段时间里的位置为s 1≤s ≤s 2，则他的平均速度为 .2．已知函数y ＝f(x)，令Δx ＝ ，Δy ＝ ，则当Δx ≠0时，比值 ＝ΔfΔx ，称作函数f(x)从x 1到x 2的平均变化率． 3．物体在某一时刻的速度称为 ．4．一般地，如果物体的运动规律是s ＝s (t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度v ，就是物体在t 到t ＋Δt 这段时间内，当Δt →0时平均速度的极限，即v ＝lim Δt →0 ΔsΔt＝ 5．一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是 ＝lim Δx →0 ΔfΔx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝ . 学习过程1.平均变化率[例1] 求函数y ＝x 3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并计算当x 0＝1，Δx ＝12时平均变化率的值．[分析] 直接利用概念求平均变化率，先求出表达式，再直接代入数据就可以得出相应的平均变化率．应用变式1某质点沿曲线运动的方程为f(x)＝－2x2＋1(x 表示时间，f(x)表示位移)，则该质点从x ＝1到x ＝2时的平均速度为 ( )A ．－4B ．－8C ．6D ．－6 2.瞬时变化率[例2] 以初速度v 0(v 0＞0)垂直上抛的物体，t 秒时的高度为s (t )＝v 0t －12gt 2，求物体在时刻t 0处的瞬时速度．应用变式2一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t2，求此物体在t ＝2时的瞬时速度．3.利用定义求函数某点处的导数[例3] 根据导数定义求函数y ＝x 2＋1x＋5在x ＝2处的导数．应用变式3求y ＝f(x)＝123++x x 在x ＝1处的导数．[例4] 设f (x )在x 0处可导，求lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x )Δx的值．课堂巩固训练 一、选择题1．若函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx等于( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx)22．如果质点A 按规律s ＝2t3运动，则在t ＝3秒时的瞬时速度为 ( )A ．6B ．18C ．54D ．813．当自变0x 变到1x 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数 ( ) A ．在区间[0x ，1x ]上的平均变化率 B ．在0x 处的变化率 C ．在1x 处的导数 D ．在区间[0x ，1x ]上的导数4．已知f(x)＝x x 32-，则f ′(0)＝ ( )A ．Δx －3B ．(Δx)2－3ΔxC ．－3D ．0 二、填空题5．已知函数f(x)＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于______．6．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为____________． 三、解答题7．枪弹在枪筒中的运动可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a ＝5×105m/s2，枪弹从枪口射出所用的时间为1.6×10－3s.求枪弹射出枪口时的瞬时速度．课后强化作业 一、选择题1．在函数变化率的定义中，自变量的增量Δx 满足( )A ．Δx ＜0B ．Δx ＞0C ．Δx ＝0D ．Δx ≠0 2．函数在某一点的导数是( )A ．在该点的函数的增量与自变量的增量的比B ．一个函数C ．一个常数，不是变数D ．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率3．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ②y ＝x 2③y ＝x 3④y ＝1x中，平均变化率最大的是( )A ．④B ．③C ．②D ．①4．质点M 的运动规律为s ＝4t ＋4t 2，则质点M 在t ＝t 0时的速度为( )A ．4＋4t 0B ．0C ．8t 0＋4D ．4t 0＋4t 25．函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是( )A ．2B.52C ．1D ．0 6．函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，Δy ＝( )A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)7．一个物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则物体在t ＝2时的瞬时速度为( )A ．3B ．4C ．5D ．78．f (x )在x ＝x 0处可导，则lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx( ) A ．与x 0，Δx 有关 B ．仅与x 0有关，而与Δx 无关 C ．仅与Δx 有关，而与x 0无关 D ．与x 0，Δx 均无关9．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b10．f (x )在x ＝a 处可导，则lim h →0 f (a ＋3h )－f (a －h )2h等于( ) A ．f ′(a ) B.12f ′(a ) C ．4f ′(a ) D ．2f ′(a )二、填空题11．f (x 0)＝0，f ′(x 0)＝4，则lim Δx →0 f (x 0＋2Δx )－f (x 0)Δx＝________. 12．某物体做匀速运动，其运动方程是s ＝vt ＋b ，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度关系是________．13．设x 0∈(a ，b )，y ＝f (x )在x 0处可导是y ＝f (x )在(a ，b )内可导的________条件．14．一球沿斜面自由滚下，其运动方程是S ＝t 2(S 的单位：m ，t 的单位：s)，则小球在 t ＝5时的瞬时速度为______． 三、解答题15．一物体作自由落体运动，已知s ＝s (t )＝12gt 2.(1)计算t 从3秒到3.1秒、3.01秒，两段内的平均速度；2)求t ＝3秒时的瞬时速度．16．若f ′(x )＝A ，求lim h →0f (x ＋h )－f (x －2h )h.17．求函数y ＝x 在x ＝1处的导数．18．路灯距地面8m ，一个身高1.6m 的人以84m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影C 沿某直线离开路灯，(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式；(2)求人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率．3.1.2导数的几何意义 学习目标1．知识与技能：了解导函数的概念，理解导数的几何意义．2．过程与方法：会求导函数，根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．学习重、难点重点：导数的几何意义．难点：对导数几何意义的理解． 知识梳理1．导数的几何意义 ①割线斜率与切线斜率设函数y ＝f (x )的图象如图所示，AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))的一条割线，此割线的斜率是ΔyΔx＝ 当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的极限位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 处的 ．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率无限趋近于过点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝ = ②导数的几何意义函数y ＝f(x)在点x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线的 ．也就是说，曲线y ＝f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线的斜率是 ．相应地，切线方程为 ． 2．函数的导数 学习过程1.求割线的斜率[例1] 过曲线y ＝f(x)＝3x 上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx ＝0.1时割线的斜率．2.用定义求切线方程[例2] 已知曲线C ：y ＝13x 3＋43.(1)求曲线C 上的横坐标为2的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？应用变式1 已知曲线y ＝23x 上一点A(1,2)，则点A 处的切线斜率等于 ( ) A ．2 B ．4 C ．6＋6Δx2D ．63.求切点坐标[例3] 抛物线y ＝2x 在点P 处的切线与直线2x －y ＋4＝0平行，求P 点的坐标及切线方程．应用变式2 若抛物线y ＝2x 与直线2x －y ＋m ＝0相切，求m.4.导数几何意义的应用[例4] 若抛物线y ＝42x 上的点P 到直线y ＝4x －5的距离最短，求点P 的坐标．应用变式3 求抛物线y ＝42x 上的点到直线y ＝4x －5的距离的最小值．[例5] 曲线y ＝3x 在x 0＝0处的切线是否存在，若存在，求出切线的斜率和切线方程；若不存在，请说明理由．应用变式4已知曲线y ＝4x在点(1,4)处的切线与直线l 平行且距离等于17，则直线l 的方程为( )A ．4x －y ＋9＝0或4x －y ＋25＝0B ．4x －y ＋1＝0C ．4x ＋y ＋9＝0或4x ＋y －25＝0D ．以上都不对 [例6] 试求过点M(1,1)且与曲线y ＝3x ＋1相切的直线方程．课堂巩固训练 一、选择题1．曲线y ＝－22x ＋1在点(0,1)处的切线的斜率是( )A ．－4B ．0C ．4D ．不存在2．曲线y ＝12x 2－2在点(1，－32)处切线的倾斜角为( )A ．1 B.π4 C.5π4 D ．－π43．若曲线y ＝h(x)在点P(a ，h(a))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，那么 ( ) A ．h ′(a)＝0 B ．h ′(a)<0 C ．h ′(a)>0 D ．h ′(a)不确定 4．曲线y ＝3x 在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为( )A ．(－2，－8)B ．(1,1),(－1，－1)C ．(2,8)D ．(－12，－18)二、填空题5．已知曲线y ＝1x －1上两点A (2，－12)，B (2＋Δx ，－12＋Δy )，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为________．6．P 是抛物线y ＝x 2上一点，若过点P 的切线与直线y ＝－12x ＋1垂直，则过点P 的切线方程为________．三、解答题7．求曲线y ＝1x －x 上一点P (4，－74)处的切线方程．课后强化训练 一、选择题1．曲线y ＝x 3－3x 在点(2,2)的切线斜率是( )A ．9B ．6C ．－3D ．－12．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－73)处切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．60°3．函数y ＝－1x 在点(12，－2)处的切线方程是( )A ．y ＝4xB ．y ＝4x －4C ．y ＝4(x ＋1)D ．y ＝2x ＋4 4．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )A ．f ′(x 0)＞0B ．f ′(x 0)＜0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在 5．下列说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线6．设f (x )为可导函数且满足lim x →0 f (1)－f (1－2x )2x ＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－27．在曲线y ＝x 2上的点________处的倾斜角为π4( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)8．若函数f (x )的导数为f ′(x )＝－sin x ，则函数图像在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A ．90° B ．0° C ．锐角 D ．钝角9．曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则点P 0的坐标是( )A ．(0,1)B ．(－1，－5)C ．(1,0)或(－1，－4)D ．(0,1)或(4,1)10．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A ．1 B.12 C ．－12D ．－1二、填空题11．已知函数f (x )＝x 3＋2，则f ′(2)＝________.12．曲线y ＝x 2－3x 的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________．13．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴，x ＝2所围成的三角形的面积为________．14．曲线y ＝x 3＋x ＋1在点(1,3)处的切线是________． 三、解答题15．求曲线y ＝x 2＋3x ＋1在点(1,5)处的切线的方程．16．直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1相切．(1)求a 的值；(2)求切点的坐标．17．求过点(2,0)且与曲线y ＝1x相切的直线方程．18．曲线y ＝x 2－3x 上的点P 处的切线平行于x 轴，求点P 的坐标．3.2导数的计算3.2.1几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式 学习目标1．知识与技能：了解常数函数和幂函数的求导方法和规律，会求任意y ＝x α(α∈Q)的导数．2．过程与方法:掌握基本初等函数的导数公式，并能利用这些公式求基本初等函数的导数． 学习重、难点重点：常数函数、幂函数的导数难点：由常见幂函数的求导公式发现规律，得到幂函数的求导公式． 知识梳理1．若f(x)＝c ，则f ′(x)＝ .若f(x)＝nx (n ∈N*)，则f ′(x)＝ .2．若f(x)＝sinx ，则f ′(x)＝ .若f(x)＝cosx ，则f ′(x)＝ . 3．若f(x)＝xa ，则f ′(x)＝．若f(x)＝xe ，则f ′(x)＝ .4. 若f (x )＝log a x ，则f ′(x )= ．若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝ . 学习过程1.导数公式的直接应用[例1] 求下列函数的导数．(1)y ＝2a (a 为常数)． (2)y ＝12x . (3)y ＝cosx.应用变式1求下列函数的导数(1)y ＝1x2 (2)y ＝3x (3)y ＝2x(4)y ＝log 2x2.求某一点处的导数 [例2] 求函数f (x )＝1x在x ＝1处的导数．应用变式2 已知f (x )＝n x1，且f ′(1)＝－13，求n .3.利用导数求切线的斜率及方程 [例3] 求过曲线y ＝cos x 上点P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,3π且与在这点的切线垂直的直线方程．应用变式3 求曲线y ＝32x 的斜率等于12的切线方程．课堂巩固训练 一、选择题1．函数f(x )＝0的导数是 ( )A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定2．抛物线y ＝14x 2在点(2,1)处的切线方程是( )A ．x －y －1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －1＝03．已知函数f (x )＝1x，则f ′(－2)＝( )A ．4B.14 C ．－4 D ．－144．下列结论中不正确的是 ( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若y ＝1x，则y ′＝－12xC ．若y ＝－x ，则y ′＝－12xD ．若y ＝3x ，则y ′|x ＝1＝3二、填空题5．曲线y ＝xn 在x ＝2处的导数为12，则n 等于________． 6．若函数y ＝sint ，则y ′|t ＝6π＝________. 三、解答题7．求抛物线y ＝2x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．课后强化训练 一、选择题1.lim Δx →0 (1＋Δx )2－1Δx表示( ) A ．曲线y ＝x 2的斜率 B ．曲线y ＝x 2在点(1,1)处的斜率C ．曲线y ＝－x 2的斜率D ．曲线y ＝－x 2在(1，－1)处的斜率2．若y ＝cos 2π3，则y ′＝( )A ．－32B ．－12C ．0D.123．下列命题中正确的是( )①若f ′(x )＝cos x ，则f (x )＝sin x ②若f ′(x )＝0，则f (x )＝1 ③若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos xA ．①B ．②C ．③D ．①②③ 4．若y ＝ln x ，则其图象在x ＝2处的切线斜率是( )A ．1B ．0C ．2D.125．已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为( )6．已知函数f (x )＝21x ，则'⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ＝( )7．y ＝1x在点A (1,1)处的切线方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y ＋2＝0D ．x －y －2＝08．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln2，则y ′＝12 ②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227③y ＝2x ，则y ′＝2xln2 ④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln2A ．0B ．1C ．2D ．3 9．下列结论中不正确的是( )A ．若y ＝0，则y ′＝0B ．若y ＝33x ，则y ′＝－1x 3xC ．若y ＝－x ，则y ′＝－12xD ．若y ＝3x 3，则y ′＝3x 210．若y ＝sin x ，则y ′|x ＝π3＝( )A.12 B ．－12 C.32D ．－32二、填空题11．曲线y ＝ln x 与x 轴交点处的切线方程是 ．12．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝32时的速度等于 ．13．在曲线y ＝4x2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P 点坐标为 ．14．y ＝10x在(1,10)处切线的斜率为 ． 三、解答题 15．已知曲线C ：y ＝x 3(1)求曲线C 上点(1,1)处的切线方程(2)在(1)中的切线与曲线C 是否还有其它公共点？16．求下列函数的导数(1)y ＝ln x (2)y ＝1x4 (3)y ＝55x17．已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．18．求过曲线y ＝sin x 上的点P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,4π且与在这点处的切线垂直的直线方程．3.2.2 导数的运算法则 学习目标能利用给出的基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数 学习重、难点重点：导数的四则运算及其运用． 难点：导数的四则运算法则的推导． 知识梳理1．设函数f(x)、g(x)是可导函数，(f(x)±g(x))′＝ ；(f(x)·g(x))′＝ ． 2．设函数f (x )、g (x )是可导函数，且g (x )≠0，()()'⎥⎦⎤⎢⎣⎡x g x f ＝ 学习过程1.导数公式法则的直接应用 [例1] 求下列函数的导数：(1)y ＝()()112-+x x ；(2)y ＝x x sin 2；(3)y ＝1x ＋2x 2＋3x 3；(4)y ＝x tan x －2cos x .应用变式1求下列函数的导数：(1)y ＝2x －2＋3x －3 (2)y ＝(2x 2＋3)(3x －2) (3)y ＝x －sin x 2·cos x 22.求导法则的灵活运用[例2] 求函数y ＝sin 4x4＋cos 4x4的导数．应用变式2求函数y ＝－sin x2(1－2sin 2x4)的导数．3.利用导数求有关参数[例3] 偶函数f(x)＝e dx cx bx ax ++++234的图象过点P(0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求y ＝f(x)的解析式．应用变式3已知抛物线y ＝72-+bx ax 通过点(1,1)，过点(1,1)的切线方程为4x －y －3＝0，求a 、b 的值．[例4] 给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y ′＝133x ；③若y ＝1x2，则y ′＝－2x －3；④若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3，其中正确的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4 课堂巩固训练 一、选择题1．函数y ＝2sinxcosx 的导数为 ( )A ．y ′＝cosxB ．y ′＝2cos2xC ．y ′＝2(sin2x －cos2x)D ．y ′＝－sin2x2．函数f (x )＝1x 3＋2x ＋1的导数是( )A.1(x 3＋2x ＋1)2B.3x 2＋2(x 3＋2x ＋1)2C.－3x 2－2(x 3＋2x ＋1)2D.－3x2(x 3＋2x ＋1)2 3．函数y ＝(x －a)(x －b)在x ＝a 处的导数为 ( )A ．abB ．－a(a －b)C ．0D ．a －b 4．函数y ＝x ·lnx 的导数是 ( )A ．x B.1xC ．ln x ＋1D ．ln x ＋x二、填空题5．函数y ＝143223-+-x x x 的导数为 6．函数y ＝xsinx －cosx 的导数为__________________． 三、解答题7．函数f(x)＝123+--x x x 的图象上有两点A(0,1)和B(1,0)，在区间(0,1)内求实数a ，使得函数f(x)的图象在x ＝a 处的切线平行于直线AB.课后强化作业 一、选择题1．函数y ＝cos xx的导数是( )A ．－sin x x 2B ．－sin xC ．－x sin x ＋cos x x 2D ．－x cos x ＋cos xx 22．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( )A.193B.163C.133D.1033．曲线运动方程为s ＝1－t t2＋2t 2，则t ＝2时的速度为( )A ．4B ．8C ．10D ．124．函数y ＝(2＋x 3)2的导数为( )A ．6x 5＋12x 2B ．4＋2x 3C ．2(2＋x 3)2D ．2(2＋x 3)·3x 5．下列函数在点x ＝0处没有切线的是( )A ．y ＝3x 2＋cos x B ．y ＝x sin x C ．y ＝1x ＋2x D ．y ＝1cos x6．函数y ＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的导数为( ) A ．－cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 4π B ．cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π C ．－sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π D ．－sin ⎪⎭⎫⎝⎛+x 4π7．已知函数f (x )在x ＝x 0处可导，函数g (x )在x ＝x 0处不可导，则F (x )＝f (x )±g (x )在x＝x 0处( )A ．可导B ．不可导C ．不一定可导D ．不能确定 8．(x －5)′＝( )A ．－15x －6 B.15x －4 C ．－5x －6 D ．－5x 49．函数y ＝3x (x 2＋2)的导数是( )A ．3x 2＋6B ．6x 2C ．9x 2＋6D ．6x 2＋6 10．已知函数f (x )在x ＝1处的导数为3，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝(x －1)2＋3(x －1)B ．f (x )＝2(x －1)C ．f (x )＝2(x －1)2D ．f (x )＝x －1 二、填空题11．若函数f (x )＝1－sin xx，则f ′(π)= ．12．曲线y ＝1x和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 ．13．设f (x )＝(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ，若已知f ′(x )＝x cos x ，则f (x )＝ .14．设f (x )＝ln a 2x(a >0且a ≠1)，则f ′(1)＝ . 三、解答题15．求下列函数的导数．(1)f (x )＝(x 3＋1)(2x 2＋8x －5)；(2)1＋x 1－x ＋1－x 1＋x；(3)f (x )＝ln x ＋2xx 2.16．已知f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝x 2＋cx ＋d ，又f (2x ＋1)＝4g (x )，且f ′(x )＝g ′(x )，f (5)＝30，求g (4)．17．设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1.求b ，c 的值．18．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图象都过点 P (2,0)，且在点P 处有公共切线，求f (x )、g (x )的表达式．3.3导数在研究函数中的应用 3.3.1函数的单调性与导数知识梳理1．设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内可导，(1)如果在区间(a ，b)内，f ′(x)≥0，则f(x)在此区间是 的；(2)如果在区间(a ，b)内，f ′(x)≤0，则f(x)在此区间内是 的．2．如果函数y ＝f(x)在x 的某个开区间内，总有f ′(x)＞0，则f(x)在这个区间上严格增加，这时该函数在这个区间为 ；如果函数当自变量x 在某区间上，总有f ′(x)＜0，则f(x)在这个区间为 ． 学习过程1.用导数求函数的单调区间 [例1] 求下列函数的单调区间(1)f(x)＝133+-x x (2)f (x )＝x ＋b x(b ＞0)应用变式1求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x x x 9323-+ (2)f(x)＝sinx －x ，x ∈(0，π)2.利用导数证明不等式[例2] 已知x ＞1，求证x ＞lnx.应用变式2已知：x ＞0，求证：x ＞sinx.3.已知函数的单调性，确定参数的取值范围[例3] 若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)内单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，试求a 的范围． 应用变式3已知f (x )＝13x 3＋12ax 2＋ax －2(a ∈R )．若函数f (x )在(－∞，＋∞)上为单调递增函数，求a 的取值范围．[例4] 已知函数f(x)＝32x a x-，x ∈(0,1]，a>0，若f(x)在(0,1]上单调递增，求a 的取值范围．课堂巩固训练 一、选择题1．函数f(x)＝2x －sinx 在(－∞，＋∞)上 ( ) A ．是增函数 B ．是减函数C ．在(0，＋∞)上增，在(－∞，0)上增D ．在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上增 2．函数y ＝xlnx 在区间(0,1)上是 ( )A ．单调增函数B ．单调减函数C ．在(0，1e )上是减函数，在(1e，1)上是增函数D ．在(0，1e )上是增函数，在(1e，1)上是减函数3．若在区间(a ，b)内有f ′(x)＞0，且f(a) ≥0，则在(a ，b)内有 ( )A ．f(x)＞0B ．f(x)＜0C ．f(x)＝0D ．不能确定 4．在下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A ．sin2xB ．x xeC ．3x x -3D ．－x ＋ln(1＋x)二、填空题5．函数f(x)＝x x -3的增区间是 和 ，减区间是 ． 6．已知函数y ＝322++x ax 在(－1，＋∞)上是减函数，则a 的取值范围是 ． 三、解答题7．已知函数f(x)＝83++ax x 的单调递减区间为(－5,5)，求函数f(x)的递增区间．课后强化作业 一、选择题1．设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ＞0)，则f (x )为增函数的一个充分条件是( )A ．b 2－4ac ＞0B ．b ＞0，c ＞0内部C ．b ＝0，c ＞0D ．b 2－3ac ＞02．函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调递增区间是( )A ．(0，12)B ．(0，24)C ．(12，＋∞)D ．(－12，0)及(0，12)3．(2009·广东文，8)函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞) 4．函数y ＝x sin x ＋cos x ，x ∈(－π，π)的单调增区间是( ) A.⎪⎭⎫⎝⎛--2,ππ和⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2π和⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0πC.⎪⎭⎫⎝⎛--2,ππ和⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2π和⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2 5．函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( )A ．a ≤0B ．a <1C ．a <2D ．a ≤136．已知a >0，函数f (x )＝－x 3＋ax 在[1，＋∞)上是单调减函数，则a 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 7．设f (x )在(a ，b )内可导，则f ′(x )<0是f (x )在(a ，b )上单调递减的( )A ．充分不必要条件你B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．若函数y ＝x 2－2bx ＋6在(2,8)内是增函数，则( )A ．b ≤2B ．b ＜2C ．b ≥2D ．b ＞2 9．(2009·湖南文，7)若函数y ＝f (x )的导函数．．．在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )10．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为( )二、填空题11．函数y ＝x 3－x 2－x 的单调递增区间为 ．12．若函数y ＝x 3－ax 2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是 ．13．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则m 的取值范围是 ．14．若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围 ．三、解答题 15．讨论函数f (x )＝bxx 2－1(－1＜x ＜1，b ≠0)的单调性．16．已知曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10，点P (x ，y )在该曲线上移动，在P 点处的切线设为l . (1)求证：此函数在R 上单调递增；(2)求l 的斜率的范围．17．已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )，若函数f (x )＝a ·b 在区间(－1,1)上是增函数，求t 的取值范围．18．设函数f (x )＝(ax 2－bx )e x(e 为自然对数的底数)的图象与直线ex ＋y ＝0相切于点A ，且点A 的横坐标为1.(1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出在每个区间上的增减性．3.3.2函数的极值与导数，函数的最大（小）值与导数知识梳理1．已知函数y ＝f(x)及其定义域内一点x.对于包含x0在内的开区间内的所有点x ，如果都有，则称函数f(x)在点0x 处取得，并把0x 称为函数f(x)的一个；如果都有，则称函数f(x)在点0x 处取得 ，并把0x 称为函数f(x)的一个 ．极大值与极小值统称为 ，极大值点与极小值点统称为 ．2．假设函数y ＝f(x)在闭区间[a ，b]上的图象是一条 ，该函数在[a ，b]上一定能够取得 与 ，该函数在(a ，b)内是 ，该函数的最值必在 取得． 3．当函数f(x)在点0x 处连续时，判断f(0x )是否存在极大(小)值的方法是： (1)如果在0x 附近的左侧，右侧，那么f(0x )是极值；(2)如果在0x 附近的左侧 ，右侧 ，那么f(0x )是极 值； (3)如果f ′(x)在点0x 的左右两侧符号不变，则f(0x ) 函数f(x)的极值． 学习过程1.利用导数求函数的极值[例1] 求函数y ＝133+-x x 的极值．应用变式1函数y ＝x x x 9323--(－2＜x ＜2)有( )A ．极大值为5，极小值为－27B ．极大值为5，极小值为－11C ．极大值为5，无极小值D ．极大值为－27，无极小值 2.利用导数求函数的最大值与最小值[例2] 求函数f(x)＝1223+-x x 在区间[－1,2]上的最大值与最小值．应用变式2求函数f(x)＝2824+-x x 在[－1,3]上的最大值与最小值．3.求函数极值的逆向问题[例3] 已知f(x)＝cx bx ax ++23(a ≠0)在x ＝±1时取得极值，且f(1)＝－1， (1)试求常数a 、b 、c 的值；(2)试判断x ＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．应用变式3设a >0，(1)证明f (x )＝ax ＋b1＋x2取得极大值和极小值的点各有1个；(2)当极大值为1，极小值为－1时，求a 和b 的值．[例4] 已知函数f(x)＝c bx x ax -+44ln (x>0)在x ＝1处取得极值－3－c ，其中a 、b 、c 为常数．(1)试确定a ，b 的值；(2)若对任意x>0，不等式f(x)≥22c -恒成立，求c 的取值范围．[例5] 已知f(x)＝2233a bx ax x +++在x ＝－1时有极值0，求常数a 、b 的值．课堂巩固训练 一、选择题1．若函数y ＝f(x)是定义在R 上的可导函数，则f ′(x)＝0是x0为函数y ＝f(x)的极值点( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．函数f (x )＝x 2－x ＋1在区间[－3,0]上的最值为 ( )A ．最大值为13，最小值为34B ．最大值为1，最小值为－17C ．最大值为3，最小值为－17D ．最大值为9，最小值为－19 3．函数y ＝3x ＋1 的极大值是( )A ．1B ．0C ．2D ．不存在4．y ＝f(x)＝a x x +-2332的极大值是6，那么a 等于 ( ) A ．6 B ．0 C ．5D ．1二、填空题5．(2009·辽宁文，15)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝ .6．函数y ＝x ·ex 的最小值为________． 三、解答题7．设y ＝f (x )为三次函数，且图象关于原点对称，当x ＝12时，f (x )的极小值为－1，求出函数f (x )的解析式．课后强化作业 一、选择题1．设x 0为f (x )的极值点，则下列说法正确的是( )A ．必有f ′(x 0)＝0B ．f ′(x 0)不存在C ．f ′(x 0)＝0或f ′(x 0)不存在D ．f ′(x 0)存在但可能不为0 2．对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数y ＝2－x 2－x 3的极值情况是( )A ．有极大值，没有极小值B ．有极小值，没有极大值C ．既无极大值也无极小值D ．既有极大值也有极小值4．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．下列命题：①一个函数的极大值总比极小值大；②可导函数导数为0的点不一定是极值点；③一个函数的极大值可以比最大值大；④一个函数的极值点可在其不可导点处达到，其中正确命题的序号是( )A ．①④B ．②④C ．①②D ．③④ 6．函数y ＝|x －1|，下列结论中正确的是( )A ．y 有极小值0，且0也是最小值B ．y 有最小值0，但0不是极小值C ．y 有极小值0，但不是最小值D ．因为y 在x ＝1处不可导，所以0既非最小值也非极值7．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为( )A.239B.229C.329D.388．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图像与x 轴切于(1,0)点，则函数f (x )的极值是( )A ．极大值为427，极小值为0B ．极大值为0，极小值为427C ．极大值为0，极小值为－427D ．极大值为－427，极小值为09．已知函数y ＝|x 2－3x ＋2|，则( )A ．y 有极小值，但无极大值B ．y 有极小值0，但无极大值C ．y 有极小值0，极大值14D ．y 有极大值14，但无极大值10．设f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )(a ≠0)在x ＝1和x ＝－1处均有极值，则下列点中一定在x 轴上的是( )A ．(a ，b )B ．(a ，c )C ．(b ，c )D ．(a ＋b ，c ) 二、填空题11．函数y ＝2xx 2＋1的极大值为____________，极小值为____________．12．函数y ＝x 3－6x ＋a 的极大值为____________，极小值为____________．13．函数y ＝x －x 3(x ∈[0,2])的最小值是________．14．已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处取极大值，则常数c 的值为________． 三、解答题15．已知函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋11.(1)写出函数的递减区间；(2)讨论函数的极大值或极小值，如有试写出极值．16．求下列函数的最值(1)f (x )＝3x －x 3(－3≤x ≤3)； (2)f (x )＝sin2x －x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-22ππx .17．已知a ∈R ，讨论函数f (x )＝e x (x 2＋ax ＋a ＋1)的极值点的个数．18．(2010·江西理，19)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )－ax (a >0)．(提示：[ln(2－x )]′＝－12－x)(1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上 的最大值为12，求a 的值．3.4生活中的优化问题举例学习过程1.面积、容积最大问题[例1] 在边长为60cm 的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？应用变式1已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽．2.利用导数解决几何中的问题[例2]将一段长为100cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问如何截法使正方形与圆面积之和最小？应用变式2已知圆柱的表面积为定值S，求当圆柱的容积V最大时圆柱的高h的值．3.获利最大[例3]某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量．应用变式3某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p＝3x4x＋32(x∈N＋)．[例4] 甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b ；固定部分为a 元．(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？课堂巩固训练一、选择题1．三次函数当x ＝1时,有极大值4;当x ＝3时,有极小值0,且函数过原点，则此函数是( )A ．y ＝x x x 9623++B ．y ＝x x x 9623+-C ．y ＝x x x 9623--D ．y ＝x x x 9623-+2．函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则( )A ．0<b <1B ．b <1C ．b >0D ．b <123．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 (0≤x ≤400)80000 (x >400)，则总利润最大时，每年生产的产品是 ( ) A ．100 B ．150 C ．200 D ．300 4．设底为正三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为 ( ) A.3V B.32V C.34VD ．23V二、填空题5．面积为S 的一切矩形中，其周长最小的是________．6．函数f(x)＝)2(2x x -的单调递减区间是________．三、解答题7．用边长为120cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱．问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？课后强化作业一、选择题1．将8分解为两个非负数之和，使其立方之和为最小，则分法为( )A ．2和6B ．4和4C ．3和5D ．以上都不对2．某箱子的容积与底面边长的关系为V (x )＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫60－x 2(0<x <60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为( )A ．30B ．40C ．50D ．以上都不正确3．用边长为48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( ) A ．6 B ．8 C ．10 D ．124．内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为( )A ．RB ．2R C.43R D.34R 5．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积为最大，则高为( )A.33cmB.1033cmC.1633cmD.2033cm 6．圆柱形金属饮料罐的容积一定时，为了使所用材料最省，它的高与底半径应为( )A ．h ＝2RB ．h ＝RC ．h ＝2RD ．h ＝2R7．以长为10的线段AB 为直径画半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( )A ．10B ．15C ．25D ．508．设圆柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面半径为( )A.3V B.3V π C.34V D ．23V 2π9．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8 B.203C ．－1D ．－8 10．若一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则其圆柱侧面积最大为( )A ．2πr 2B ．πr 2C ．4πr 2 D.12πr 2 二、填空题11．把长为60cm 的铁丝围成矩形，长为________，宽为________时，矩形的面积最大．12．将长为l 的铁丝剪成2段，各围成长与宽之比为21及32的矩形，则面积之和的最小值为________．13．做一个容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时最省料．14.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27π,且用料最小,则圆柱的底面半径为___．三、解答题15．某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件售价为200元，对于多于150件的订购合同，每超过一件，则每件的售价比原来减少1元，试问订购多少件的合同将会使公司的收益最大？16．如图，水渠横断面为等腰梯形，水的横断面面积为S ，水面的高为h ，问侧面与地面成多大角度时，才能使横断面被水浸湿的长度最小？17．某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2500元，已知每生产x件这样的产品需要再增加可变成本C(x)＝200x＋136x3(元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？18．用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？。
高二数学教案：《变化率问题 导数的概念》(人教A版选修)
§3．1.1 变化率问题§3．1.2 导数的概念【学情分析】：本节的中心任务是形成导数的概念.概念形成划分为两个层次：1、借助气球膨胀率问题，了解变化率的含义；借助高台跳水问题，明确瞬时速度的含义.2、以速度模型为出发点，结合其他实例抽象出导数概念，使学生认识到导数就是瞬时变化率，了解导数内涵.学生对导数概念的理解会有些困难，所以要对课本上的两个问题进行深入的探讨，以便顺利地使学生形成导数的概念。
【教学目标】：知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度掌握导数的定义.【教学重点】：理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.【教学难点】：理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义. ()()00s t t s t s t t+-∆= 根据对瞬时速度的直观描述，当位移足够小，现在位移来表示，也就是说时间足够短时，平均速度就等于到t 0+Δt ，这段时间是Δt . 时间无限趋近于0. 当Δt →0时，平均速度就越接近于瞬时速度，用极限表示瞬时速度)()000lim lim t t t s t v t→→+-= 0时，平均速度的极限就是瞬时速度物体自由落体的运动方程s =s (t )=21gt 2，其中位移单，g =9.8 m/s 2. 求t =3这一时段的速度解：取一小段时间［3，3+Δt ］，位置改变量(6+Δt )Δt ，平均速度=∆∆=t s v m/s 4.293)(21lim 0==∆+→g t t g 由匀变速直线运动的速度公式得v =v 0+at =gt =g 已知质点M 按规律s =2t 2+3做直线运动，时间单位：s)，=0.01时，求ts ∆∆. =0.001时，求t s ∆∆. 在t =2时的瞬时速度.即位移的改变量，Δ即时间的改变量，越小，求出的t s ∆∆越接近某时刻的速度tt t t t s ∆-+∆+=2(3(2)(22。
1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课件高二下学期数学人教A版选修22
度, 写成
lim
t 0
h(2
+
t) t
-
h(2)
.
即
lim
t 0
h(2
+
t) t
-
h(2)
=
-13.1.
2. 瞬时变化率
对于函数的平均变化率
y = f (x2 ) - f (x1) ,
x
x2 - x1
由△x=x2-x1 得 x2=△x+x1,
y = f (x + x1) - f (x1) .
x
x
当△x 很小很小时, △x+x1 就接近于 x1.
我们用符号
lim
x0
表示△x
趋近于零,
用平均变化
率的极限 lim y = lim f (x + x1) - f (x1)
x x0
x0
x
表示函数在 x1 处的瞬时变化率.
3. 导数
一般地, 函数 y=f(x) 在 x=x0 处的瞬时变化率是
lim f (x0 + x) - f (x0 ) = lim y ,
x0
x
x0 x
我们称它为函数 y=f(x) 在 x=x0 处的导数, 记作 f(x0)
或 y |x=x0, 即
f
(x0) =
lim
x0
f
(x0 + x)x
f
(x0) .
问题 1 中, 运动员在时间 t=2 时的瞬时速度就是 求函数 h(x) 在 t=2 时的导数.
导数可以描述任何物体的瞬时变化.
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:
人教A版·高中数学·选修2-2 第一章
《变化率问题与导数的概念》说课稿
问题1：气球膨胀率问题
让一个学生到讲台上吹一个气球，并让全体学生回忆吹气球的过程：随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的越来越慢，提出问题：如何从数学的角度描述这种现象呢究教师在课堂上提供的实例和提出的问题，展开分析和讨论，发表个人的见解，通过自评，互评，教师评价等评价方法解决提出的问题。
三、教学过程分析
本节课我以让学生阅读第一页引言中微积分史料导入新课，以使学生感受到数学知识的产生发展是自然的，从而激发他们学习的兴趣与愿望。
导数和定积分都是微积分的核心概念，它们有极其丰富的实际背景和广泛的应用。本节内容是学生接触导数的第一节课，它是即将学习的导数的几何意义、导数的计算、导数的应用等知识的基础，是研究事物变化快慢、研究函数的单调性、极值、最值和解决生活中优化问题的有力工具。
（二）教学目标
（1）知识与技能：①掌握平均变化率与瞬时变化率.②知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想与内涵.
再通过由一般到特殊的数学思想提问：运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示？提示类比平均速度就是平均变化率，让学生思考：过渡到更一般的情况：函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎样表示？此时把实际问题归结为变化率问题，舍弃物理背景，抽象为数学问题，得出导数的定义及表示。通过由具体到抽象的数学思想让学生更好的理解导数的内涵。
重点：平均变化率的理解及导数概念的形成
难点：导数概念的形成
二、教法学法分析
1.教法分析
在本节课的教学过程中采用设问、引导、启发、发现的方法，并灵活应用多媒体手段，以学生为主体，教师为主导创设和谐、愉悦互动的环境，组织学生自主、合作的探究活动，通过不断出现的一个个问题，引导学生探索新知识。
高中数学变化率和导数的概念学案
3。
1.1 变化率和导数的概念（学案）一、知识梳理1．函数的平均变化率：一般地，已知函数()y f x =,0x ,1x 是其定义域内不同的两点,记10x x x ∆=-， 10y y y ∆=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+∆-，则当0x ∆≠时，商称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆（或00[,]x x x +∆）的平均变化率．注:这里x ∆，y ∆可为正值，也可为负值．但0x ∆≠,y ∆可以为0．2．函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ∆=+∆-．如果当x ∆趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率．“当x ∆趋近于零时,00()()f x x f x x +∆-∆趋近于常数l ”可以用符号“→"记作:“当0x ∆→时，”，或记作“000()()lim x f xx f x l x ∆→+∆-=∆”，符号“→"读作“趋近于"．函数在0x 的瞬时变化率,通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '．这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程,可以记作“当0x ∆→时,000()()()f x x f x f x x +∆-'→∆”或“”．3．可导与导函数：如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的,则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样,对开区间(,)a b 内每个值x ,都对应一个确定的导数．于是，在区间(,)a b 内,()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或xy '）． 导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．二、典例解析探究点一 平均变化率的求法例1、求2()21y f x x ==+在区间[]00,x x x +∆上的平均变化率，并求当011,2x x =∆=时平均变化率的值。
5.1 导数的概念及其意义(变化率问题、导数的概念)课件高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册
=
( 2 )-( 1 )
.
2 - 1
【变式训练 2】 分别求函数 y=sin x 从 0
比较它们的大小.
π
π
π
到6 和从 3 到 2 的平均变化率,并
解:自变量 x 从 0
自变量 x
π
π
从3 变到 2 ,函数
3
∵2-√3<1,∴
π
>
∴自变量 x 从 0
自变量 x
π
变到 ,函数
6
)
A.Δx-3
C.-3
B.(Δx)2-3Δx
(0+x)2 -3(0+x)-02 +3×0
解析:f'(0)= lim
x
Δ→0
故选C.
答案:C
D.0
=
(Δ)2 -3Δ
Δ
x→0
= lim (Δx-3)=-3.
Δ→0
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
Δ
∴
Δ
=
3(Δ)2 +(6+)Δ
=3Δx+6+a,
Δ
y
∴ lim
Δ→0 x
= (3Δx+6+a)=6+a.
∴f'(1)=6+a.
x→0
【易错辨析】
对导数的概念理解不清而致错
【典例】 已知
A.4
f(x 0 +2x)-f(x 0 )
f'(x0)=4,则 lim
的值为(
x
Δ→0
B.2
C.8
f(x 0 +2x)-f(x 0 )
人教新课标版数学高二选修1-1导学变化率问题导数的概念
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课堂10分钟达标1.在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的增量Δx应满足( )A.Δx>0B.Δx<0C.Δx=0D.Δx≠0【解析】选D.在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的增量Δx要求Δx≠0.2.函数y=f(x),当自变量x由x0改变到x0+Δx时,Δy=( )A.f(x0+Δx)B.f(x0)+ΔxC.f(x0)·ΔxD.f(x0+Δx)-f(x0)【解析】选D.Δy看作相对于f(x0)的“增量”,可用f(x0+Δx)-f(x0)代替.3.函数在某一点的导数是( )A.在该点的函数值的增量与自变量的增量的比值B.一个函数C.一个常数,不是变数D.函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率【解析】选C.由导数定义可知,函数在某一点的导数,就是平均变化率的极限值.即它是一个常数,不是变数.4.若一个质点按规律s=t2+8运动,则在一段时间[2,2.1]中相应的平均速度是.【解析】==4.1.答案:4.15.若f′(a)=A,则= .【解析】=-=+=2f′(a)=2A.答案:2A6.用导数在某一点处的定义,求函数y=f(x)=在x=1处的导数. 【解析】因为Δy=f(1+Δx)-f(1)=-==,所以=,所以===-,所以y′|x=1=f′(1)=-.7.【能力挑战题】若函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,且x0∈(a,b),若f′(x0)=4,则的值为( )A.2B.4C.8D.12【解析】选C.=2=2=2f′(x0)=8.关闭Word文档返回原板块。
人教版数学高二学案 变化率问题_ 导数的概念
§3.1 变化率与导数3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念学习目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．知识点一 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示．自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)．思考1 若旅游者从点A 爬到点B ，自变量x 和函数值y 的改变量分别是多少？ 答案 自变量x 的改变量为x 2－x 1，记作Δx ，函数值的改变量为y 2－y 1，记作Δy . 思考2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？AB 与BC 哪一段更陡峭？ 答案 ①对山路AB 来说，用Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1可近似地刻画其陡峭程度．②BC 更陡峭．梳理 (1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，叫函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率．(2)实质：函数值的增量与自变量增量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．(4)平均变化率的几何意义：设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率ΔyΔx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx为割线AB 的斜率，如图所示．特别提醒：Δx 是变量x 2在x 1处的改变量，且x 2是x 1附近的任意一点，即Δx ＝x 2－x 1≠0，但Δx 可以为正，也可以为负．知识点二 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率定义式 lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx实质 瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值作用刻画函数在某一点处变化的快慢特别提醒：“Δx 无限趋近于0”的含义Δx 趋于0的距离要多近有多近，即|Δx －0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx ≠0. 知识点三 导数的概念定义式 lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx记法 f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0实质函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数就是y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率1．函数在某一点的导数与Δx 值的正、负无关．( √ )2．瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量．( × )3．在导数的定义中，Δx ，Δy 都不可能为零．( × )类型一 函数的平均变化率 命题角度1 求函数的平均变化率例1 求函数y ＝2x 2＋3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝－12时该函数的平均变化率． 考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率解 当自变量从x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的平均变化率为 Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝[2(x 0＋Δx )2＋3]－(2x 20＋3)Δx＝4x 0Δx ＋2(Δx )2Δx＝4x 0＋2Δx .当x 0＝2，Δx ＝－12时，平均变化率的值为4×2＋2×⎝⎛⎭⎫－12＝7. 反思与感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝x 2＋2x －5的图象上的一点A (－1，－6)及邻近一点B (－1＋Δx ，－6＋Δy )，则ΔyΔx＝________.(2)如图所示是函数y ＝f (x )的图象，则函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________；函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 答案 (1)Δx (2)12 34解析 (1)Δy Δx ＝f (－1＋Δx )－f (－1)Δx＝(－1＋Δx )2＋2(－1＋Δx )－5－(－6)Δx＝Δx .(2)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为 f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12.由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎨⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为 f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34.命题角度2 平均变化率的几何意义例2 过曲线y ＝f (x )＝x 2－x 上的两点P (1,0)和Q (1＋Δx ，Δy )作曲线的割线，已知割线PQ 的斜率为2，求Δx 的值． 考点 平均变化率的概念 题点 平均变化率的应用解 割线PQ 的斜率即为函数f (x )从1到1＋Δx 的平均变化率ΔyΔx .∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(12－1)＝Δx ＋(Δx )2，∴割线PQ 的斜率k ＝ΔyΔx＝1＋Δx .又∵割线PQ 的斜率为2，∴1＋Δx ＝2，∴Δx ＝1.反思与感悟 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率的实质是函数y ＝f (x )图象上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))连线P 1P 2的斜率，即kP 1P 2＝Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪训练2 (1)甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图所示，则在[0，t 0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v 甲，v 乙的关系是( ) A ．v 甲>v 乙 B ．v 甲<v 乙 C ．v 甲＝v 乙 D ．大小关系不确定 (2)过曲线y ＝f (x )＝x1－x图象上一点(2，－2)及邻近一点(2＋Δx ，－2＋Δy )作割线，则当Δx ＝0.5时割线的斜率为________． 考点 平均变化率的概念 题点 平均变化率的应用 答案 (1)B (2)23解析 (1)设直线AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由平均变化率的几何意义知，s 1(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 甲＝k AC ，s 2(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 乙＝k BC .因为k AC <k BC ，所以v 甲<v乙．(2)当Δx ＝0.5时，2＋Δx ＝2.5， 故－2＋Δy ＝ 2.51－2.5＝－53，故k ＝－53＋22.5－2＝23.类型二 求瞬时速度例3 某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 2＋t ＋1表示，则物体在t ＝1s 时的瞬时速度为________m/s. 考点 导数的概念题点 瞬时速度 答案 3解 ∵Δs Δt ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt＝(1＋Δt )2＋(1＋Δt )＋1－(12＋1＋1)Δt＝3＋Δt ， ∴lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(3＋Δt )＝3. ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为3， 即物体在t ＝1s 时的瞬时速度为3m/s. 引申探究1．若本例中的条件不变，试求物体的初速度． 解 求物体的初速度，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵Δs Δt ＝s (0＋Δt )－s (0)Δt ＝(0＋Δt )2＋(0＋Δt )＋1－1Δt＝1＋Δt ， ∴lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(1＋Δt )＝1. ∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为1， 即物体的初速度为1m/s.2．若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s. 解 设物体在t 0时刻的瞬时速度为9m/s ， Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝(2t 0＋1)＋Δt ， lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(2t 0＋1＋Δt )＝2t 0＋1， 则2t 0＋1＝9，∴t 0＝4.则物体在4s 时的瞬时速度为9m/s.反思与感悟 求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)． (2)求平均速度v ＝ΔsΔt.(3)求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于的常数v 即为瞬时速度，即v ＝s ′(t 0)．跟踪训练3 一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2s 时的瞬时速度为8m/s ，则常数a ＝________. 考点 导数的概念 题点 瞬时速度 答案 2解析 质点M 在t ＝2时的瞬时速度即为函数在t ＝2处的瞬时变化率． ∵质点M 在t ＝2附近的平均变化率Δs Δt ＝s (2＋Δt )－s (2)Δt ＝a (2＋Δt )2－4a Δt＝4a ＋a Δt ， ∴lim Δt →0ΔsΔt＝4a ＝8，即a ＝2. 类型三 求函数在某一点处的导数例4 (1)设函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，且lim Δx →0f (x 0－3Δx )－f (x 0)Δx ＝a ，则f ′(x 0)＝________. 考点 函数在某一点处的导数 题点 根据定义求函数在某点处的导数 答案 －13a解析 ∵lim Δx →0f (x 0－3Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0[f (x 0－3Δx )－f (x 0)－3Δx ·(－3)] ＝－3f ′(x 0)＝a ， ∴f ′(x 0)＝－13a .(2)利用导数的定义求函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数． 考点 函数在某一点处的导数题点 根据定义求函数在某点处的导数 解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx －1，∴Δy Δx＝1＋Δx －1Δx＝11＋Δx ＋1，∴f ′(1)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →011＋Δx ＋1＝12. 反思与感悟 (1)求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的三个步骤简称：一差，二比，三极限． (2)瞬时变化率的变形形式 lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx ＝lim Δx →0f (x 0＋n Δx )－f (x 0)n Δx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0－Δx )2Δx ＝f ′(x 0)．跟踪训练4 已知f (x )＝3x 2，f ′(x 0)＝6，求x 0. 考点 函数在某一点处的导数 题点 根据导数值求坐标或参数 解 ∵f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →03(x 0＋Δx )2－3x 20Δx ＝lim Δx →0 (6x 0＋3Δx )＝6x 0， 又f ′(x 0)＝6，∴6x 0＝6，即x 0＝1.1．如果质点M 按规律s ＝3＋t 2运动，则在时间段[2,2.1]中相应的平均速度是( ) A ．4 B ．4.1 C ．0.41D ．3考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 答案 B解析 v ＝(3＋2.12)－(3＋22)0.1＝4.1.2.如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－2考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 答案 A解析 Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1.3．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( ) A ．f ′(x )＝a B ．f ′(x )＝b C ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b考点 函数在某一点处的导数 题点 根据定义求函数在某点处的导数 答案 C解析 f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 (a ＋b ·Δx )＝a . 4．若一物体的运动方程为s ＝7t 2＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1. 考点 导数的概念 题点 瞬时速度 答案114解析Δs Δt ＝7(t ＋Δt )2＋8－(7t 2＋8)Δt＝7Δt ＋14t ，当lim Δt →0 (7Δt ＋14t )＝14t ＝1时，t ＝114. 5．已知函数f (x )＝ax 在x ＝1处的导数为－2，则实数a 的值是________．考点 函数在某一点处的导数 题点 根据导数值求坐标或参数 答案 2解析 f ′(1)＝lim Δx →0a1＋Δx －a Δx ＝lim Δx →0－a1＋Δx ＝－a . 由题意知－a ＝－2，∴a ＝2.理解平均变化率要注意以下几点：(1)平均变化率f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示点(x 1，f (x 1))与点(x 2，f (x 2))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”．(2)为求点x 0附近的平均变化率，上述表达式常写为f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的形式．(3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势．自变量的改变量Δx 取值越小，越能准确体现函数的变化情况．利用导数定义求导数时要特别注意：(1)取极限前，要注意化简ΔyΔx ，保证使Δx →0时分母不为0.(2)函数在x 0处的导数f ′(x 0)只与x 0有关，与Δx 无关．。
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1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念1.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念.2.掌握函数平均变化率的求法.3.掌握导数的概念，会用导数的定义求简单函数在某点处的导数.知识点一 函数的平均变化率 1.平均变化率的概念设函数y ＝f (x )，x 1，x 2是其定义域内不同的两个点，那么函数的变化率可用式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1，可把Δx 看作是相对于x 1的一个“增量”，可用x 1＋Δx 代替x 2；类似地，Δy ＝f (x 2)－f (x 1).于是，平均变化率可以表示为ΔyΔx .2.求平均变化率求函数y ＝f (x )在上平均变化率的步骤如下： (1)求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1； (2)求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (3)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx.思考 (1)如何正确理解Δx ，Δy? (2)平均变化率的几何意义是什么？答案 (1)Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘，其值可取正值、负值，但Δx ≠0；Δy 也是一个整体符号，若Δx ＝x 1－x 2，则Δy ＝f (x 1)－f (x 2)，而不是Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，Δy 可为正数、负数，亦可取零. (2)如图所示：y ＝f (x )在区间上的平均变化率是曲线y ＝f (x )在区间上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”，⎪⎪⎪⎪Δy Δx 越大，曲线y ＝f (x )在区间上越“陡峭”，反之亦然. 平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的斜率，若函数y ＝f (x )图象上有两点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，则f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝k AB .知识点二 瞬时速度与瞬时变化率把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s ＝s (t )描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)，那么位移改变量Δs 与时间改变量Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即v ＝Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt.物理学里，我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻t 0的速度，即t 0时刻的瞬时速度，用v 表示，物体在t 0时刻的瞬时速度v 就是运动物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均变化率s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt 在Δt →0时的极限，即v ＝lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .瞬时速度就是位移函数对时间的瞬时变化率.思考 (1)瞬时变化率的实质是什么？ (2)平均速度与瞬时速度的区别与联系是什么？答案 (1)其实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于0时的值，它刻画函数值在某处变化的快慢.(2)①区别：平均变化率刻画函数值在区间上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢；②联系：当Δx 趋于0时，平均变化率ΔyΔx 趋于一个常数，这个常数即为函数在x 0处的瞬时变化率，它是一个固定值. 知识点三 导数的概念 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|0x x =，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 思考 (1)函数f (x )在x 0处的导数满足什么条件时存在？ (2)求解函数f (x )在x 0处导数的步骤是什么？答案 (1)函数f (x )在x 0处可导，是指Δx →0时，Δy Δx 有极限，如果ΔyΔx 不存在极限，就说函数在点x 0处无导数.(2)求解函数f (x )在x 0处导数的步骤如下： ①求函数值的增量：Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； ②求平均变化率：Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；③取极限，得导数：f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.题型一 求平均变化率例1 求函数y ＝f (x )＝2x 2＋3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝12时该函数的平均变化率.解 当自变量从x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝[2(x 0＋Δx )2＋3]－(2x 20＋3)Δx＝4x 0Δx ＋2(Δx )2Δx＝4x 0＋2Δx .当x 0＝2，Δx ＝12时，平均变化率的值为4×2＋2×12＝9.反思与感悟 平均变化率是函数值的增量与相应自变量的增量的比值，所以求函数在给定区间上的平均变化率问题，即求Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的值.跟踪训练1 (1)已知函数y ＝f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx＝. 答案 2Δx ＋4解析 因为Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(Δx )2＋4Δx ，所以平均变化率ΔyΔx ＝2Δx ＋4.(2)求函数y ＝f (x )＝1x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率(x 0≠0).解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝1(x 0＋Δx )2－1x 20＝－Δx (2x 0＋Δx )(x 0＋Δx )2x 20，∴Δy Δx＝－Δx (2x 0＋Δx )(x 0＋Δx )2x 2Δx＝－2x 0＋Δx (x 0＋Δx )2x 20.题型二 实际问题中的瞬时速度例2 一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移单位：m ，时间单位：s).(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度； (3)求t ＝0到t ＝2时的平均速度.解 (1)初速度v 0＝lim Δt →0s (Δt )－s (0)Δt ＝lim Δt →03Δt －(Δt )2Δt ＝lim Δt →0(3－Δt )＝3. 即物体的初速度为3 m/s. (2)v 瞬＝lim Δt →0s (2＋Δt )－s (2)Δt＝lim Δt →03(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－4)Δt ＝lim Δt →0－(Δt )2－Δt Δt ＝lim Δt →0(－Δt －1)＝－1. 即此物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s ，方向与初速度方向相反. (3)v ＝s (2)－s (0)2－0＝6－4－02＝1.即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.反思与感悟 作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，Δt 趋近于0，指时间间隔Δt 越来越小，但不能为0，Δt ，Δs 在变化中都趋近于0，但它们的比值趋近于一个确定的常数.跟踪训练2 已知一物体作自由落体运动，下落的高度的表达式为s ＝12gt 2，其中g 为重力加速度，g ≈9.8米/平方秒(s 的单位：米).(1)求t 从3秒到3.1秒、3.01秒、3.001秒、3.0001秒各段内的平均速度；(2)求t ＝3秒时的瞬时速度.解 (1)当t 在区间上时，Δt ＝3.1－3＝0.1(秒)，Δs ＝s (3.1)－s (3)＝12g ·3.12－12g ·32≈2.989(米).v 1＝Δs Δt ≈2.9890.1＝29.89(米/秒). 同理，当t 在区间上时，v 2≈29.449(米/秒)，当t 在区间上时，v 3≈29.4049(米/秒)，当t 在区间上时，v 4≈29.40049(米/秒). (2)Δs Δt ＝s (3＋Δt )－s (3)Δt ＝12g (3＋Δt )2－12g ·32Δt ＝12g (6＋Δt )， lim Δt →0Δs Δt ＝lim Δt →012g (6＋Δt )＝3g ≈29.4(米/秒). 所以t ＝3秒时的瞬时速度约为29.4米/秒. 题型三 函数在某点处的导数例3 求函数y ＝x －1x在x ＝1处的导数.解 Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －(1－11)＝Δx ＋Δx1＋Δx ，Δy Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx ， ∴lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(1＋11＋Δx )＝2， 从而y ′|x ＝1＝2.反思与感悟 求函数在x ＝x 0处的导数的步骤： (1)求函数值的增量，Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率，Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx. 跟踪训练3 求函数y ＝4x2在x ＝2处的导数；解 ∵Δy ＝4(Δx ＋2)2－422＝4(Δx ＋2)2－1＝－(Δx )2＋4Δx (Δx ＋2)2，∴ΔyΔx ＝－Δx ＋4(Δx ＋2)2， ∴lim Δx →0Δy Δx ＝－lim Δx →0Δx ＋4(Δx ＋2)2＝－1.因对导数的概念理解不到位致误例4 设函数f (x )在x 0处可导，且f ′(x 0)已知，求下列各式的极限值. (1)lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx；(2)lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h. 错解 (1)lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx ＝f ′(x 0). (2)lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h＝12lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )h ＝12f ′(x 0). 错因分析 在导数的定义中，增量Δx 的形式是多种多样的，但不论Δx 是哪种形式，Δy 必须选择相对应的形式.如(1)中Δx 的改变量为Δx ＝x 0－(x 0－Δx )，(2)中Δx 的改变量为2h ＝(x 0＋h )－(x 0－h ).正解 (1)lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx ＝－lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx＝－lim －Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx＝－f ′(x 0). (2)lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h ＝lim 2h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h＝f ′(x 0).防范措施 自变量的改变量Δx 的值为变后量与变前量之差.1.在求解平均变化率时，自变量的变化量Δx 应满足( ) A.Δx ＞0 B.Δx ＜0C.Δx ≠0D.Δx 可为任意实数答案 C解析 因平均变化率为ΔyΔx，故Δx ≠0.2.沿直线运动的物体从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么lim Δt →0ΔsΔt为( ) A.从时间t 到t ＋Δt 时物体的平均速度 B.t 时刻物体的瞬时速度 C.当时间为Δt 时物体的速度D.从时间t 到t ＋Δt 时位移的平均变化率 答案 B 解析v ＝Δs Δt，而lim Δt →0ΔsΔt 则为t 时刻物体的瞬时速度. 3.函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数为. 答案 12解析 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx －1，∴Δy Δx＝1＋Δx －1Δx＝11＋Δx ＋1， ∴f ′(1)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →011＋Δx ＋1＝12. 4.设f (x )在x 0处可导，若lim Δx →0f (x 0＋3Δx )－f (x 0)Δx ＝A ，则f ′(x 0)＝. 答案 13A解析 lim Δx →0f (x 0＋3Δx )－f (x 0)Δx＝3lim 3Δx →0f (x 0＋3Δx )－f (x 0)3Δx＝3f ′(x 0)＝A .故f ′(x 0)＝13A .5.以初速度为v 0(v 0＞0)作竖直上抛运动的物体，t 秒时的高度为s (t )＝v 0t －12gt 2，求物体在t 0时刻的瞬时加速度.解 ∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－v 0t 0＋12gt 20＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2，∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt . 当Δt →0时，ΔsΔt→v 0－gt 0.∴物体在t 0时刻的瞬时速度为v 0－gt 0. 由此，类似地可得到物体运动的速度函数为 v (t )＝v 0－gt ，∴Δv Δt ＝v 0－g (t 0＋Δt )－(v 0－gt 0)Δt ＝－g . ∴当Δt →0时，ΔvΔt→－g .故物体在t 0时刻的瞬时加速度为－g .1.求平均变化率的步骤：(1)求Δy ，Δx .(2)求ΔyΔx.2.求瞬时速度的一般步骤：(1)求Δs 及Δt .(2)求Δs Δt. (3)求lim Δt →0ΔsΔt . 3.利用定义求函数f (x )在x ＝x 0处的导数：(1)求函数的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0).(2)求ΔyΔx .(3)y ′|0x x =＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.一、选择题1.质点运动规律s ＝t 2＋3，则在时间中，相应的平均速度等于( ) A.6＋ΔtB.6＋Δt ＋9ΔtC.3＋ΔtD.9＋Δt答案 A解析 因为v ＝s (3＋Δt )－s (3)Δt ＝6Δt ＋(Δt )2Δt＝6＋Δt .故选A.2.设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( ) A.f ′(x )＝a B.f ′(x 0)＝a C.f ′(x )＝b D.f ′(x 0)＝b 答案 B解析 由导数定义得f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0a Δx ＋b (Δx )2Δx ＝a .故选B. 3如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( )A.1B.－1C.2D.－2答案 B 解析Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1. 4.如果某物体的运动方程为s ＝2(1－t 2) (s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2s 末的瞬时速度为( ) A.－4.8m /s B.－0.88 m/s C.0.88m /s D.4.8 m/s答案 A解析 物体运动在1.2s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得. 5.设函数f (x )可导，则lim Δx →0f (1＋3Δx )－f (1)3Δx 等于( ) A.f ′(1) B.3f ′(1) C.13f ′(1) D.f ′(3)答案 A解析 lim Δx →0f (1＋3Δx )－f (1)3Δx＝f ′(1). 6.一个质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－3t 2＋8t ，那么速度为零的时刻是( ) A.1秒末 B.1秒末和2秒末 C.4秒末 D.2秒末和4秒末答案 D解析 据导数的定义，得s ′＝t 2－6t ＋8，令s ′＝0，即t 2－6t ＋8＝0. 解得t ＝2或t ＝4，故速度为零的时刻为2秒末和4秒末. 二、填空题7.已知函数y ＝2x ＋3，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝.答案 13解析 Δy ＝f (1.5)－f (2)＝⎝⎛⎭⎫21.5＋3－⎝⎛⎭⎫22＋3＝43－1＝13. 8.已知函数f (x )＝1x，则f ′(1)＝. 答案 －12解析 f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →011＋Δx －1Δx＝lim Δx →0－11＋Δx (1＋1＋Δx )＝－12.9.如图所示，函数y ＝f (x )在，，这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是.答案解析 由平均变化率的定义可知，函数y ＝f (x )在区间，，上的平均变化率分别为：f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，f (x 3)－f (x 2)x 3－x 2，f (x 4)－f (x 3)x 4－x 3，结合图象可以发现函数y ＝f (x )的平均变化率最大的一个区间是.10.子弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速直线运动.如果它的加速度是a ＝5×105m /s 2，子弹从枪口射出所用的时间为1.6×10－3 s ，则子弹射出枪口时的瞬时速度为m/s. 答案 800解析 运动方程为s ＝12at 2. ∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2， ∴Δs Δt ＝at 0＋12a Δt ， ∴v ＝lim Δt →0Δs Δt＝at 0. 又∵a ＝5×105m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ，∴v ＝at 0＝8×102＝800(m/s).三、解答题11.求函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数.解 Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3)＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ，∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16Δx Δx＝2Δx ＋16. ∴y ′|x ＝3＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(2Δx ＋16)＝16. 12.若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值.解 ∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c＝a (Δx )2＋2a Δx .∴f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0a (Δx )2＋2a Δx Δx＝lim Δx →0(a Δx ＋2a )＝2a ，即2a ＝2， ∴a ＝1.13.试比较正弦函数y ＝sin x 在x ＝0和x ＝π2附近的平均变化率哪一个大. 解 当自变量从0变到Δx 时，函数的平均变化率为k 1＝sinΔx －sin0Δx ＝sinΔx Δx. 当自变量从π2变到Δx ＋π2时，函数的平均变化率为k 2＝sin (π2＋Δx )－sin π2Δx ＝cosΔx －1Δx. 由于是在x ＝0和x ＝π2的附近的平均变化率，可知Δx 较小，但Δx 既可化为正，又可化为负. 当Δx ＞0时，k 1＞0，k 2＜0，此时有k 1＞k 2.当Δx ＜0时，k 1－k 2＝sinΔx Δx －cosΔx －1Δx＝sinΔx －cosΔx ＋1Δx ＝2sin (Δx －π4)＋1Δx. ∵Δx ＜0，∴Δx －π4＜－π4， ∴sin(Δx －π4)＜－22，从而有2sin(Δx －π4)＜－1， 2sin(Δx －π4)＋1＜0， ∴k 1－k 2＞0，即k 1＞k 2.综上可知，正弦函数y ＝sin x 在x ＝0附近的平均变化率大于在x ＝π2附近的平均变化率.。