习题课线面积分的计算

解答提示: P249 3 (1)
计算
其中L为圆周
提示: 利用极坐标 ,
ds r2 r2 d a d
原式 = L ax ds
说明: 若用参数方程计算, 则
y
r
t
O
ax
d s x2 y2 d t
P249 3(6). 计算
其中 由平面 y = z 截球面
从 z 轴正向看沿逆时针方向.
提示: 因在 上有
a x2 dx 2 a3
a
3
B O Ax
(利用格林公式)
例3. 设在上半平面 D {(x, y) y 0}内函数 f (x, y) 具有
连续偏导数, 且对任意 t > 0 都有
证明
对D内任意分段光滑的闭曲线L, 都有
(2006考研)
证:把
两边对t求导, 得:
则有 因此结论成立.
练习题: P249 题 3(5) ; P250 题 11. 3(5). 计算
有sin (x, n) cos ( y, n), 从而
D
(
P x
Q )dxdy y
ÑL
r P cos (x, n)
r
r Q cos ( y, n)
ds
=ÑL P,Qn ds.
二、曲面积分的计算法
1. 基本方法
曲面积分
第一类( 第二类(
对面积 对坐标
) )
转化
二重积分
(1) 选择积分变量 — 代入曲面方程
计算 x d y d z y d z d x z d x d y,其中 为半球面
z
的上侧.
提示: 以半球底面 0为辅助面,
且取下侧 , 记半球域为 , 利用
高斯公式有
O
y
x 0
原式 =
3d x d y d z 0 xdydz ydzdx zdxdy
3 2 π R3 0 2π R3 3
这说明积分与路径无关, 故
y C
L
I AB (x2 y) d x ( y2 x)dy B O A x
a
a
x2
d
x
解法2 添加辅助线段 BA,它与L所围区域为D, 则
I
(x2 y)d x (y2 x)d y
LBA
BA(x2 y) d x ( y2 x) d y
y
C L
D
D 0 d x d y
r
是L沿正向的单位切向量r .
设L的指向外侧的单位法向量为n,
rr
rr
易见n与的夹角(n,
)=
.
则(x,
r n)
r
(x,
)
,
r
r2
r
2r
从而cos (x, n) sin (x, ), sin (x, n) cos (x, ).
r
r
r
r
r
故 (cos (x, ),sin (x, )) ( sin (x, n), cos (x, n)).
P250 题4(2) , P250 题 10 同样可利用高斯公式计算.
例5. 设 为简单闭曲面, a 为任意固定向量, n为 的
单位外法向向量, 试证
证明: 设 n (cos , cos , cos )
D
(
Q x
P y
)dxdy
ÑL
r
r
P sin (x, n) Q cos (x, n)
ds
因而 D
(
P x
Q y
) dxdy
ÑL Qdx
Pdy r
r
ÑL Qsin (x, n) P cos (x, n) ds
r 又(x, n)
(x,
r y) ( y, n)
r ( Байду номын сангаас, n),
2
r
r
习题课
第十一章
线面积分的计算
一、 曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法
一、曲线积分的计算法
1. 基本方法 曲线积分
第一类 ( 对弧长 ) 第二类 ( 对坐标 )
转化
定积分
用参数方程
(1) 选择积分变量 用直角坐标方程
用极坐标方程
第一类: 下小上大 (2) 确定积分上下限
第二类: 下始上终
练习题: P249 题 3 (1), (6)
其中L为上半圆周
沿逆时针方向.
提示: P ex sin y 2y, Q ex cos y 2
P ex cos y 2, Q ex cos y
y
x
用格林公式:
I
LAB AB
D 2d x d y 0
πa2
y L
D
OA a B x
P245 11. 求力
沿有向闭曲线 所作的
功, 其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三
解: 利用轮换对称性 , 有
x2 ds y2 ds z2 ds
利用重心公式知
I 2 (x2 y2 z2) ds 3 4 πa3 3
y
O
x
( 的重心在原点)
例2. 计算
其中L 是沿逆
时针方向以原点为中心、a 为半径的上半圆周.
解法1 令 P x2 y, Q y2 x, 则
角形的整个边界, 从 z 轴正向看去沿顺时针方向.
提示: 方法1
z
B
利用对称性
3 y d x z d y xdz AB
OC
A
y
x
3 x d z AB
1
30 (1 z)dz
方法2 利用 斯托克斯公式
设三角形区域为 , 方向向上, 则
1
1
3
3
x
y
yz
1 3
(3) d S
1
3
z
dS
(2)
积分元素投影
第一类: 第二类:
始终非负 有向投影
(3) 确定二重积分域
— 把曲面积分域投影到相关坐标面
2. 基本技巧 (1) 利用对称性及重心公式简化计算
注意公式使用条件 (2) 利用高斯公式
添加辅助面的技巧
(辅助面一般取平行坐标面的平面)
(3) 两类曲面积分的转化
练习: P250 题4(3)
故
z
原式 =
O 1y x
2
1 2
π 2
3 4
1 2
π 2
2. 基本技巧 (1) 利用对称性及重心公式简化计算 ; (2) 利用积分与路径无关的等价条件; (3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ; (5) 利用两类曲线积分的联系公式 .
例1. 计算
其中 为曲线 z
x
3 2
z
Bn
OC
A
y
x
:x y z 1
n 1 (1, 1, 1)
3
公式
例4. 设L 是平面
与柱面
从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算
的交线
解: 记 为平面
上 L 所围部分的上侧,
D为 在 xOy 面上的投影. 由斯托克斯公式 z
1
1
1
3
3
3
I
x
y
z
dS
L
y2 z2 2z2 x2 3x2 y2
2 3
(4
x
2
y
3z)
dS
DO y x
公式
I
2 3
(4x
2
y
3z)dS
2D (x y 6) dxdy 12 D dxdy
24
y
1
D O 1x
D 的形心
x y0
Green公式的一个注记
D
( Q x
P )dxdy y
蜒L Pdx
Qdy
r
L P,Qds
其中 L是闭区域 D的取正方向的边界曲线,