大学物理三线摆课题报告
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1
I ω2 =M0 gh(2) 2 0 由几何关系知: h=oo1 = BC − BC1 =
BC 2 −BC 1 2 BC +BC 1
因为BC 2 = AB2 − AC2 = L2 − (R − r2 )
2 2 2 ������������1 = ������1 ������ 2 − ������1 ������1 =������ − (������ 2 − ������ 2 − 2������������ cos ������ )
(2)圆盘+圆环的转动惯量实验值: I= =
4������ 2 ∗0.4991 ������
(m0 + m1 )gRr 2 T1 4π2 H *1.982
(0.446 ������������ +0.37 ������������ )∗10 ∗0.1044 ������∗0.0315 ������
=0.005339 Kg ·m2 =5.34*10−3 Kg ·m2 圆环实验值: I1 =I-I0 =(5.34-2.59)*10−3 =2.57*10−3 Kg ·������2 理论值: 1 ������1 = ������1 (������1 2 + ������2 2 ) 8 =8 ∗ 0.37 ∗ 0.1682 + 0.18632
*100%
=
2.66 ∗10 −3 −2.59∗10 −3 2.59∗10 −3
∗ 100% = 2.7%
3.3.2 支架倾斜(150 C)的转动惯量
空圆盘
摆动 50 次的时间(t)
2次 3次 平均值 平均周期
摆动次数/时间(秒) 1 次 时间(秒)
92.86 92.78 92.60
92.75
������0 = 1.85
(1)空圆盘的转动惯量实验值: I0 = =
0.446 ������������∗10 ∗0.1044 ������ ∗0.0315 ������ 4������ 2 ∗0.4991 ������
m0 gRr 2 T 4π2 H 0
* = 0.0025Βιβλιοθήκη BaiduKg ·������2
=2.55*10−3 Kg ·m2 理论值: I0 = = 1 m0 D0 2 8
关键词:转动惯量测量误差分析
1 引言
转动惯量(Moment of Inertia)是刚体绕轴转动时惯性(回转物体保持其匀速圆周动或 静止的特性)的量度,用字母 I 或 J 表示。 在经典力学中,转动惯量(又称质量惯性矩, 简称惯距)通常以 I 或 J 表示,SI 单位为 kg·m²。对于形状较简单的刚体,可以通过数 学方法计算出它绕特定轴的转动惯量。但是,对于形状较复杂的刚体,用数学方法计算它的 转动惯最非常困难.故大都用实验方法测定。由于三线摆具有结构简单、操作简便、比较实 用等优点。因此许多大学物理实验教材都选用该实验方法。但是在该实验时,往往出现实验 结果与理论值比较的误差较大, 本文将对误差产生的原因进行分析, 并指出减小实验误差的 途径。
3.2 刚体几何参数与质量测量 测量次数 上下圆盘间 上圆盘 距 H(cm) 1 2 3 平均值 49.98 49.95 49.80 49.91 下圆盘 圆盘 圆环 小圆柱
a(cm) b(cm) Do(cm) D1 (cm) D2 (cm) d(cm) 5.55 5.38 5.42 5.45 18.28 18.28 17.85 18.08 22.22 21.20 21.30 21.57 16.92 16.83 16.84 16.83 18.62 18.63 18.64 18.63 3.90 3.92 3.90 9.91
实验值: I0 = =
所以 h=
2������������ (1−cos ������ ) 4������������ sin 2 ������ ������������ +������������1
=
������������ +������������1 2������������ sin 2 ������ ������
������0 =
������0 ������������������
4������2 ������
������2 0
(8)
由实验测出������0 、g、R、r、l 和 ������0 后,利用式(8)便可以计算出下圆盘的转动惯量。
3 实验结果与分析 3.1 刚体几何参数与质量测量 各刚体扭摆转动周期的测量。人在按表时,由于翻译误差(近似0.1s)为了减
1 ������������������ 2 ������0 ������2 = 2 2������
即 :
( ������������ ) =������0 ������ 将式(5)对 t 求导,得: ( dt ) =
dq 2
������������
2
������������ ������ 2 ������0 ������
1
=0.002915 =2.92*10−3 Kg ·m2 测量的相对误差: ������1 = =
������1 −������1 ������1
*100% *100%
2.75 ∗10 −3 −2.92∗10 −3 2.92∗10 −3
=5.8%
3.3.2 圆盘+小圆柱的转动惯量分析
摆动 50 次的时间 (t )
2 刚体转动惯量测量公式的推导及所用的近似方法
用三线扭摆法测物体转动惯量的装置如图 1 所示。上下两个圆盘均处于水平,圆盘 B 的中心悬挂在支架的横梁上圆盘 A 由三根等长的弦线悬挂在 B 盘上。三条弦线的上端分别 在与 B 盘同心、 半径为 r 的圆的内接等边三角形的三个顶点处; 下端分别在 A 盘上与 A 盘同 心、半径为 R 的圆的内接等边三角形的三个顶点处,R 小于 A 盘的半径。B 盘可绕自身对称 轴 OOˊ转动,并在悬线张力的作用下带动 A 盘也绕对称轴 OOˊ转动(在一个确定的平衡位 置左右往复扭动,即做扭摆运动) 。如果摆角很小,则可视此扭动为角谐振动。设 m0 为下圆 盘的质量,R 为下圆盘悬线接点距 OOˊ轴的距离,J0 为下圆盘绕中心轴 OOˊ转动的转动惯 量,r 为上圆盘悬线接点距 OOˊ轴的距离,l 为悬线长度,H 为上、下两圆盘间的距离;某 时刻下圆盘离开平衡位置的角度为θ , 下圆盘升高的距离为 h, 转动的角速度为ω(ω = 升降运动的速度为v(v = 有:
摆动 50 次的时间(t) 摆动次数/时间(秒) (1)空圆盘 (2)圆盘+圆环 1次 92.97 98.97 2次 92.38 99.00 3次 91.93 98.47 平均值 92.43 98.81 平均周期 ������0 = 1.85 ������1 = 1.98
√3 √3
注:平均周期=(1 次+2 次+3 次)/3/55=T0 = T1
=3.6% 3.3.3 支架倾斜角测圆盘转动惯量分析 3.3.支架倾斜(00 C)的转动惯量
空圆盘 摆动次数/时间(秒) 时间(秒)
摆动 50 次的时间(t) 1次 94.31 2次 94.94 3次 94.62 平均值 94.62 平均周期 ������0 = 1.89
实验值: I0 = =
0.446Kg ∗10 ∗0.1044 m ∗0.0315 m 4 π 2 ∗0.4997m
(2)两圆柱的转动惯量理论值: 1 I2 = 2( m2 d2 + m2 l2 ) 8 =2*(8*0.3*0.03912 +0.3*0.05942 ) =2.23*10−3 Kg ·m2 测量的相对误差: r2 = =
I 2 −I2 I2 1
*100% *100%
2.15 ∗10 −3 −2.23 ∗10 −3 2.23 ∗10 −3
验证项目
1次
2次
3次
平均值
圆柱直径 d/cm
3.90
3.92
3.90
3.91
周期震动时间 T/s 81.79
d=
81.78 82.16 81.91
3.90 + &3.92 + &3.90 = 3.91cm 3
81.79+81.78+82.16
T2 =
3
50
= 1.64
圆柱中心到下圆盘中心距离: L=
(5)
������0 ������������������ ������0 ������
(6)
这是一个简谐振动方程,该振动的周期平方为:
4������ 2 ������0 ������ 2 ������0 = ������ ������������������ (7) 0
由此可得下圆盘绕中心轴的转动惯量
小测量周期误差T的误差,可采用累计放大进行测量,测量3次的周期时间t则T=t/n。测 量对应的按表误差仍为0.2s,但将这0.2分配到n各周期的中就小了很多吗,大大提高精 确度了。 1、让圆盘完全静止,扭动上圆盘5度角左右,测定n=50的摆动时间记录3次,如果3
次数据相距1s以上的数据必须作废,最后求平均值。 2、将待测圆环置于下圆盘上是两者中心轴线重合重复上述步骤,测出圆环与下圆 环的共同摆动的周期T 3、去下圆环吧质量相等的圆柱体放在下圆盘上,如上图。测出两个 L 的间距。重 复转动上圆盘,计算周期 T。
3.2.1实验测量值 物理天平测量: 空盘质量 Mo=446g 圆环质量 M1=370g 圆柱质量 M2=300g 卷尺测量: 上圆盘的三点距离平均值 a=5.45cm 下圆盘的三点距离平均值 b=18.08cm 上圆盘有效半径 r= 3 ������ =3.15cm 下圆盘有效半径 R= 3 ������ =10.44cm 上圆盘与下圆盘距离 H=49.91cm 3.3 计算对测量结果影响的分析 3.3.1圆盘和圆环的转动惯量分析
l −d 2
=
15.78 −3.91 2
=5.94cm
系统共质量: M=m0 +2m2 =0.446+2*0.3=1.064kg (1)两圆柱的转动惯量实验值: I= =
1,064 ∗10 ∗0.1044 ∗0.0315 4π 2 ∗0.4991
MgRr 2 T 4π2 H 2
∗ 1.642
=4.70*10−3 Kg ·m2 ������2 =������ -������0 =(4.70-2.55) *10−3 = 2.15*10−3 Kg ·������2
m0 gRr 2 T 4π2 H 0
*1.892
=2.66*10−3 Kg ·m2 理论值: I0 = = 1 m0 D0 2 8
1 ∗ 0.446kg ∗ 0.21572 8 = 0.00259 Kg ·m2
= 2.59*10−3 Kg ·������2 测量的相对误差: ������0 =
������0 −������0 ������0
1 ∗ 0.446kg ∗ 0.21572 8 = 0.00259 Kg ·m2
= 2.59*10−3 Kg ·m2 测量的相对误差: ������0 = =
������0 −������0 ������0
*100% ∗ 100% = 1.5%
2.55 ∗10 −3 −2.59∗10 −3 2.59∗10 −3
1 ������ ℎ ������ ������ ������ ������ ������ ������
) ,
),g 为重力加速度。如果忽略摩擦阻力,根据机械能守恒定律
I ω2 2 0
+ 2 m0 V 2 =M0 gh
1
1
(1)
1
实际上平动动能2 m0 V 2 远小于转动动能2 I0 ω2 因此可将平动动能忽略,则式(1)变为:
编号:Q/NJXX-QR-GY-12-2012
南京信息职业技术学院
研究性学习课题报告
作者徐少杰陈洁张帅 专业电子电路设计与工艺 研究室 课题三线摆转动惯量误差分析 指导教师朱宪忠
完成时间:2015 年 1 月 13 日
三线摆转动惯量误差分析
摘要:通过在大学物理实验教学中采用研究性教学 ,使学生提出了一种新的测量刚体转动惯 量的方法,本文针对用三线摆测量转动惯量时所存在的误差,通过实验和物理分析,讨论产 生误差的原因以及对测量结果带来的影响。
又因为 h=BC≈ ������������1 ,则 h=
(3 )
0
在悬线 L 很长(L》R) ,而且 A 盘的最大扭转角θ 很小时, 则有: h=L 和sin ≈ 。于是得到: h=
������������ ������ 2 (4 ) 2������ ������ 2 ������ 2
将式(4)带入(2)式,则(2)式变为:
I ω2 =M0 gh(2) 2 0 由几何关系知: h=oo1 = BC − BC1 =
BC 2 −BC 1 2 BC +BC 1
因为BC 2 = AB2 − AC2 = L2 − (R − r2 )
2 2 2 ������������1 = ������1 ������ 2 − ������1 ������1 =������ − (������ 2 − ������ 2 − 2������������ cos ������ )
(2)圆盘+圆环的转动惯量实验值: I= =
4������ 2 ∗0.4991 ������
(m0 + m1 )gRr 2 T1 4π2 H *1.982
(0.446 ������������ +0.37 ������������ )∗10 ∗0.1044 ������∗0.0315 ������
=0.005339 Kg ·m2 =5.34*10−3 Kg ·m2 圆环实验值: I1 =I-I0 =(5.34-2.59)*10−3 =2.57*10−3 Kg ·������2 理论值: 1 ������1 = ������1 (������1 2 + ������2 2 ) 8 =8 ∗ 0.37 ∗ 0.1682 + 0.18632
*100%
=
2.66 ∗10 −3 −2.59∗10 −3 2.59∗10 −3
∗ 100% = 2.7%
3.3.2 支架倾斜(150 C)的转动惯量
空圆盘
摆动 50 次的时间(t)
2次 3次 平均值 平均周期
摆动次数/时间(秒) 1 次 时间(秒)
92.86 92.78 92.60
92.75
������0 = 1.85
(1)空圆盘的转动惯量实验值: I0 = =
0.446 ������������∗10 ∗0.1044 ������ ∗0.0315 ������ 4������ 2 ∗0.4991 ������
m0 gRr 2 T 4π2 H 0
* = 0.0025Βιβλιοθήκη BaiduKg ·������2
=2.55*10−3 Kg ·m2 理论值: I0 = = 1 m0 D0 2 8
关键词:转动惯量测量误差分析
1 引言
转动惯量(Moment of Inertia)是刚体绕轴转动时惯性(回转物体保持其匀速圆周动或 静止的特性)的量度,用字母 I 或 J 表示。 在经典力学中,转动惯量(又称质量惯性矩, 简称惯距)通常以 I 或 J 表示,SI 单位为 kg·m²。对于形状较简单的刚体,可以通过数 学方法计算出它绕特定轴的转动惯量。但是,对于形状较复杂的刚体,用数学方法计算它的 转动惯最非常困难.故大都用实验方法测定。由于三线摆具有结构简单、操作简便、比较实 用等优点。因此许多大学物理实验教材都选用该实验方法。但是在该实验时,往往出现实验 结果与理论值比较的误差较大, 本文将对误差产生的原因进行分析, 并指出减小实验误差的 途径。
3.2 刚体几何参数与质量测量 测量次数 上下圆盘间 上圆盘 距 H(cm) 1 2 3 平均值 49.98 49.95 49.80 49.91 下圆盘 圆盘 圆环 小圆柱
a(cm) b(cm) Do(cm) D1 (cm) D2 (cm) d(cm) 5.55 5.38 5.42 5.45 18.28 18.28 17.85 18.08 22.22 21.20 21.30 21.57 16.92 16.83 16.84 16.83 18.62 18.63 18.64 18.63 3.90 3.92 3.90 9.91
实验值: I0 = =
所以 h=
2������������ (1−cos ������ ) 4������������ sin 2 ������ ������������ +������������1
=
������������ +������������1 2������������ sin 2 ������ ������
������0 =
������0 ������������������
4������2 ������
������2 0
(8)
由实验测出������0 、g、R、r、l 和 ������0 后,利用式(8)便可以计算出下圆盘的转动惯量。
3 实验结果与分析 3.1 刚体几何参数与质量测量 各刚体扭摆转动周期的测量。人在按表时,由于翻译误差(近似0.1s)为了减
1 ������������������ 2 ������0 ������2 = 2 2������
即 :
( ������������ ) =������0 ������ 将式(5)对 t 求导,得: ( dt ) =
dq 2
������������
2
������������ ������ 2 ������0 ������
1
=0.002915 =2.92*10−3 Kg ·m2 测量的相对误差: ������1 = =
������1 −������1 ������1
*100% *100%
2.75 ∗10 −3 −2.92∗10 −3 2.92∗10 −3
=5.8%
3.3.2 圆盘+小圆柱的转动惯量分析
摆动 50 次的时间 (t )
2 刚体转动惯量测量公式的推导及所用的近似方法
用三线扭摆法测物体转动惯量的装置如图 1 所示。上下两个圆盘均处于水平,圆盘 B 的中心悬挂在支架的横梁上圆盘 A 由三根等长的弦线悬挂在 B 盘上。三条弦线的上端分别 在与 B 盘同心、 半径为 r 的圆的内接等边三角形的三个顶点处; 下端分别在 A 盘上与 A 盘同 心、半径为 R 的圆的内接等边三角形的三个顶点处,R 小于 A 盘的半径。B 盘可绕自身对称 轴 OOˊ转动,并在悬线张力的作用下带动 A 盘也绕对称轴 OOˊ转动(在一个确定的平衡位 置左右往复扭动,即做扭摆运动) 。如果摆角很小,则可视此扭动为角谐振动。设 m0 为下圆 盘的质量,R 为下圆盘悬线接点距 OOˊ轴的距离,J0 为下圆盘绕中心轴 OOˊ转动的转动惯 量,r 为上圆盘悬线接点距 OOˊ轴的距离,l 为悬线长度,H 为上、下两圆盘间的距离;某 时刻下圆盘离开平衡位置的角度为θ , 下圆盘升高的距离为 h, 转动的角速度为ω(ω = 升降运动的速度为v(v = 有:
摆动 50 次的时间(t) 摆动次数/时间(秒) (1)空圆盘 (2)圆盘+圆环 1次 92.97 98.97 2次 92.38 99.00 3次 91.93 98.47 平均值 92.43 98.81 平均周期 ������0 = 1.85 ������1 = 1.98
√3 √3
注:平均周期=(1 次+2 次+3 次)/3/55=T0 = T1
=3.6% 3.3.3 支架倾斜角测圆盘转动惯量分析 3.3.支架倾斜(00 C)的转动惯量
空圆盘 摆动次数/时间(秒) 时间(秒)
摆动 50 次的时间(t) 1次 94.31 2次 94.94 3次 94.62 平均值 94.62 平均周期 ������0 = 1.89
实验值: I0 = =
0.446Kg ∗10 ∗0.1044 m ∗0.0315 m 4 π 2 ∗0.4997m
(2)两圆柱的转动惯量理论值: 1 I2 = 2( m2 d2 + m2 l2 ) 8 =2*(8*0.3*0.03912 +0.3*0.05942 ) =2.23*10−3 Kg ·m2 测量的相对误差: r2 = =
I 2 −I2 I2 1
*100% *100%
2.15 ∗10 −3 −2.23 ∗10 −3 2.23 ∗10 −3
验证项目
1次
2次
3次
平均值
圆柱直径 d/cm
3.90
3.92
3.90
3.91
周期震动时间 T/s 81.79
d=
81.78 82.16 81.91
3.90 + &3.92 + &3.90 = 3.91cm 3
81.79+81.78+82.16
T2 =
3
50
= 1.64
圆柱中心到下圆盘中心距离: L=
(5)
������0 ������������������ ������0 ������
(6)
这是一个简谐振动方程,该振动的周期平方为:
4������ 2 ������0 ������ 2 ������0 = ������ ������������������ (7) 0
由此可得下圆盘绕中心轴的转动惯量
小测量周期误差T的误差,可采用累计放大进行测量,测量3次的周期时间t则T=t/n。测 量对应的按表误差仍为0.2s,但将这0.2分配到n各周期的中就小了很多吗,大大提高精 确度了。 1、让圆盘完全静止,扭动上圆盘5度角左右,测定n=50的摆动时间记录3次,如果3
次数据相距1s以上的数据必须作废,最后求平均值。 2、将待测圆环置于下圆盘上是两者中心轴线重合重复上述步骤,测出圆环与下圆 环的共同摆动的周期T 3、去下圆环吧质量相等的圆柱体放在下圆盘上,如上图。测出两个 L 的间距。重 复转动上圆盘,计算周期 T。
3.2.1实验测量值 物理天平测量: 空盘质量 Mo=446g 圆环质量 M1=370g 圆柱质量 M2=300g 卷尺测量: 上圆盘的三点距离平均值 a=5.45cm 下圆盘的三点距离平均值 b=18.08cm 上圆盘有效半径 r= 3 ������ =3.15cm 下圆盘有效半径 R= 3 ������ =10.44cm 上圆盘与下圆盘距离 H=49.91cm 3.3 计算对测量结果影响的分析 3.3.1圆盘和圆环的转动惯量分析
l −d 2
=
15.78 −3.91 2
=5.94cm
系统共质量: M=m0 +2m2 =0.446+2*0.3=1.064kg (1)两圆柱的转动惯量实验值: I= =
1,064 ∗10 ∗0.1044 ∗0.0315 4π 2 ∗0.4991
MgRr 2 T 4π2 H 2
∗ 1.642
=4.70*10−3 Kg ·m2 ������2 =������ -������0 =(4.70-2.55) *10−3 = 2.15*10−3 Kg ·������2
m0 gRr 2 T 4π2 H 0
*1.892
=2.66*10−3 Kg ·m2 理论值: I0 = = 1 m0 D0 2 8
1 ∗ 0.446kg ∗ 0.21572 8 = 0.00259 Kg ·m2
= 2.59*10−3 Kg ·������2 测量的相对误差: ������0 =
������0 −������0 ������0
1 ∗ 0.446kg ∗ 0.21572 8 = 0.00259 Kg ·m2
= 2.59*10−3 Kg ·m2 测量的相对误差: ������0 = =
������0 −������0 ������0
*100% ∗ 100% = 1.5%
2.55 ∗10 −3 −2.59∗10 −3 2.59∗10 −3
1 ������ ℎ ������ ������ ������ ������ ������ ������
) ,
),g 为重力加速度。如果忽略摩擦阻力,根据机械能守恒定律
I ω2 2 0
+ 2 m0 V 2 =M0 gh
1
1
(1)
1
实际上平动动能2 m0 V 2 远小于转动动能2 I0 ω2 因此可将平动动能忽略,则式(1)变为:
编号:Q/NJXX-QR-GY-12-2012
南京信息职业技术学院
研究性学习课题报告
作者徐少杰陈洁张帅 专业电子电路设计与工艺 研究室 课题三线摆转动惯量误差分析 指导教师朱宪忠
完成时间:2015 年 1 月 13 日
三线摆转动惯量误差分析
摘要:通过在大学物理实验教学中采用研究性教学 ,使学生提出了一种新的测量刚体转动惯 量的方法,本文针对用三线摆测量转动惯量时所存在的误差,通过实验和物理分析,讨论产 生误差的原因以及对测量结果带来的影响。
又因为 h=BC≈ ������������1 ,则 h=
(3 )
0
在悬线 L 很长(L》R) ,而且 A 盘的最大扭转角θ 很小时, 则有: h=L 和sin ≈ 。于是得到: h=
������������ ������ 2 (4 ) 2������ ������ 2 ������ 2
将式(4)带入(2)式,则(2)式变为: