非线性回归分析(常见曲线及方程)

非线性回归分析
回归分析中，当研究的因果关系只涉及因变量和一个自变量时，叫做一元回归分析；当研究的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时，叫做多元回归分析。

此外，回归分析中，又依据描述自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析。

通常线性回归分析法是最基本的分析方法，遇到非线性回归问题可以借助数学手段化为线性回归问题处理
两个现象变量之间的相关关系并非线性关系，而呈现某种非线性的曲线关系，如：双曲线、二次曲线、三次曲线、幂函数曲线、指数函数曲线(Gompertz)、S型曲线(Logistic) 对数曲线、指数曲线等，以这些变量之间的曲线相关关系，拟合相应的回归曲线，建立非线性回归方程，进行回归分析称为非线性回归分析
常见非线性规划曲线
1.双曲线1b
a
y x =+
2.二次曲线
3.三次曲线
4.幂函数曲线
5.指数函数曲线(Gompertz)
6.倒指数曲线y=a
/
e b x其中a>0，
7.S型曲线(Logistic)
1
e x y
a b-=
+
8.对数曲线y=a+b log x,x>0
9.指数曲线y=a e bx其中参数a>0
1．回归：
（1）确定回归系数的命令
[beta，r，J]=nlinfit（x,y,’model’,beta0）
（2）非线性回归命令：nlintool（x，y，’model’, beta0，alpha）
2．预测和预测误差估计：
[Y，DELTA]=nlpredci（’model’, x，beta，r，J）
求nlinfit 或lintool所得的回归函数在x处的预测值Y及预测值的显著性水平为1-alpha的置信区间Y，DELTA.
例2 观测物体降落的距离s与时间t的关系，得到数据如下表，求s
2
解：
1. 对将要拟合的非线性模型y=a/
e b x，建立M文件如下：
function yhat=volum(beta,x)
yhat=beta(1)*exp(beta(2)./x);
2．输入数据：
x=2:16;
y=[ 10
];
beta0=[8 2]';
3．求回归系数：
[beta,r ,J]=nlinfit(x',y','volum',beta0)； beta
即得回归模型为：
1.0641
11.6036e x y-
=
4．预测及作图：
[YY,delta]=nlpredci('volum',x',beta,r ,J)；
plot(x,y,'k+',x,YY,'r')
2．非线性函数的线性化
曲线方程
曲线图形
变换公式
变换后的线性函数
b
y ax
＝
ln ln ln c a v x u y
＝＝＝ u c bv +＝
bx
y ae
＝
ln ln c a u y
＝＝
u c bv +＝
b x
e y a
＝
1ln ln x c a v u y
=＝＝
u c bv +＝
ln y a b x +＝
ln v x u y
＝＝ u bv +＝a。