数列分组求和法

典题导入

[例1] (2011 •山东高考)等比数列｛a n｝中，a i, a2, a3分别是下表第一、二、三行中的

某一个数，且a i，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列

⑴求数列｛a n｝的通项公式；

(2)若数列｛b n｝满足：b n= a n+ ( - 1) b a n,求数列｛b n｝的前2n项和S an.

[自主解答](1)当a1 = 3时，不合题意；

当a1= 2时，当且仅当a2= 6, a3= 18时，符合题意；

当a1= 10时，不合题意.

因此a1 = 2, a2= 6, a3 = 18.所以公比q = 3，故a n = 2・3 1.

(2)因为b n= a n+ ( - 1)n ln a n = 2・3n-1+ ( - 1)n ln(2 n-1) = 2・3-1+ ( - 1)n(ln 2 - In

3) + ( - 1)n n ln 3 ,

所以$n= b1+ b2+-+ b2n= 2(1 + 3+^+ 3加-)+ [ - 1 + 1 -1 +…+ ( - 1)2n](ln 2- In 3)

2n

2n I 3 2n

+ [ - 1 + 2- 3+-+ ( - 1)22n]ln 3 = 2X + n ln 3 = 32+ n ln 3 - 1.

1 —3

由题悟法

分组转化法求和的常见类型

(1) 若a n= b n ± C n，且｛b n｝, ｛C n｝为等差或等比数列，可采用分组求和法求｛a n｝的前门项和.

b n, n为奇数，

(2) 通项公式为a n = 亠冲蛛的数列，其中数列｛b n｝, ｛C n｝是等比数列或等差

C n, n为偶数

数列，可采用分组求和法求和.

以题试法

1. (2013 •威海模拟)已知数列｛x n｝的首项X1= 3，通项x n= 2n p+ nq( n€ N, p, q为常数)，且X1, X4 , X5成等差数列.求：

(1) p, q 的值；

⑵数列｛x n｝前n项和S的公式.

4

解：⑴ 由 X i = 3，得 2p + q = 3，又因为

X 4= 2p + 4q ,

5

55

X 5= 2p + 5q ,且 x i + X 5 = 2X 4,得 3 + 2 p + 5q = 2p + 8q ,

解得 p = 1, q = 1.

(2)由(1)，知 X n = 2n + n ,所以 S = (2 + 22+…+ 2n ) + (1 + 2 + …+ n ) = 2n +1 — 2 +

n n +1

2

1111

2. 数列1q , 34, 5g , 7^6，…的前n 项和S 为(

2 1 A. n + 1 — —1

B . 2 1

C. n + 1 — 2

D

.

解析 由题意知已知数列的通项为a n = 2n — 1+

答案 C

3. 已知等差数列｛a n ｝的前

n 项和为S ，且a 3 = 5, S5= 225.

(1) 求数列｛a n ｝的通项公式；

(2) 设b n = 2a n + 2n ,求数列｛b n ｝的前n 项和T n . 解析：(1)设等差数列｛a n ｝的首项为a 1,公差为d ,

a 1 + 2d = 5,

由题意，得

15X 14 15a 1+ 2 d = 225, a 1 = 1, 解得」

d = 2, a n = 2n — 1.

1 n

(2) V b n = 2a n + 2n = 3 -4 + 2n , ...T n = b 1 + b 2+ …+ b n

1 + 2n — 1

2

1 1—丄

2 2 + T 1—

1

2

2

n

+ 4 +…+ 4) + 2(1 + 2+-+ n)

2

,

2 |

—

/ n ,

2 ,

J

卜n + n =-・4 + n + n —-.

3 3

4. 设佝｝是公比为正数的等比数列，a i = 2, a - = a 2 + 4.

⑴ 求｛a n ｝的通项公式;

⑵ 设｛b n ｝是首项为1,公差为2的等差数列，求数列｛a n + b n ｝的前n 项和S. 解析（1）设q 为等比数列｛a n ｝的公比，则由a i = 2, a - = a ?+ 4得2q 1 2 = 2q + 4,即 q 2—

q — 2= 0,解得 q = 2 或 q = — 1（舍去），因此 q = 2. 所以｛a n ｝的通项为 a n = 2^2 1 = 2“（ n € N ）

解和式中第k 项为

1 一

1 1 1

a k 1 + — + — +' ■'+ ~k 一 1 2 2k

' 1 1 —- 2

(2) S= x + - 2+ x 2 +1 2+- + x

1 1

••• s =2 1 — 2 + 1 —

+…+

=2[(1 + 1 + -+ 1n f —冷+ ｛+•••+ 尹]

1 1 1 一

2 2

=2 n — r

1-

2

6. _______________________________________________________________ 数

列｛a n ｝的前 n 项和为 S,a 1= 1,2= 2, a n +2 — a n = 1 + ( —1)"( n € N)，则 S oo = _________________

答案 2 600

解析 由 3n + 2 — 3n = 1 + ( — 1)知 a 2k + 2 — 32k = 2 ,

a 2k +1 — a 2k —1 = 0, • a 1 = a 3= a s = ■••= a 2n — 1 = 1,数列｛a 2k ｝是等差数列， a 2k = 2k . •- S oo = (a 1+ a 3 + a 5+ …+ a 99) + (a 2 + a 4 + a 6 +…+ a 1oo )

2 1— 2n

(2)

s = 1—2

+ n x 1 +

1 1 1

5. 求和 s= 1+ 1 + 2 + 1 + +4 n n

— 1

x 2=八+ n 2 — 2.

2

1 1 1 1 + ;+： + •••+ R —

2 4 2

1

?n -1 + 2n — 2.

航

+；

X 5o

= 2 6oo.

7.求和： 3 9 25 65

n ・2 n + 1

(1)

x n + A

=5o + (2 + 4 + 6+…+ 1oo) = 5o +