高考数学文科第一轮复习课件1
高考数学(文)一轮复习课件:1-9函数与方程(人教A版)
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高考考点预览
■ ·考点梳理· ■ 1. 函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点. (2)几个等价关系 方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交 点⇔函数y=f(x)有零点.
思考:上述等价关系在研究函数零点、方程的根及 图象交点问题时有什么作用?
思考:若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,则y= f(x)在区间[a,b]上的图象是否一定是连续不断的一条曲 线,且有f(a)·f(b)<0呢?
提示:不一定.由图(1)、(2)可知.
3.二分法 (1)二分法的定义 对于在区间[a,b]上连续不断且ff((aa))··ff((bb)<0 的函数y= f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二 , 使区间的两端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值 的方法叫做二分法. (2)用二分法求函数零点近似解的步骤 第一步:确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0 ,给定精 确度ε;
观察图象可以发现它们有4个交点,即函数y=f(x)- log3|x|有4个零点.
3. [2012·徐州模拟]根据下面表格中的数据,可以判
定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为________.
x
-1 0 1 2
3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x+2 1 2 3 4
5
答案:(1,2)
3. 二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法.其 实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在的范 围,当达到一定的精确度要求时,所得区间的任一点就是 这个函数零点的近似值.
4. 要熟练掌握二分法的解题步骤,尤其是初始区间的 选取和最后精确度的判断.
2023年高考数学(文科)一轮复习课件——圆锥曲线的综合问题 第一课时 定点问题
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(2)过点 S-13,0的动直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,试问:在 x 轴上是否存 在一个定点 T,使得无论直线 l 如何转动,以 AB 为直径的圆恒过点 T?若存 在,求出点 T 的坐标;若不存在,请说明理由. 解 当直线 l 不与 x 轴重合时,设直线 l 的方程为 x=my-31, A(x1,y1),B(x2,y2),T(t,0), 由xy22=+mxy2=-113,消去 x 并整理,得 (18m2+9)y2-12my-16=0,
索引
所以 y1+y2=-m22m+n9,y1y2=mn22-+99. 代入③式,得(27+m2)(n2-9)-2m(n+3)mn+(n+3)2(m2+9)=0. 解得 n=-3(舍去)或 n=23. 故直线 CD 的方程为 x=my+32, 即直线 CD 过定点32,0. 若 t=0,则直线 CD 的方程为 y=0,过点32,0. 综上,直线 CD 过定点32,0.
索引
(2)过点 P13,0的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,试探究以线段 AB 为直径的圆是 否过定点.若过,求出定点坐标;若不过,请说明理由. 解 当 AB⊥x 轴时,以线段 AB 为直径的圆的方程为x-132+y2=196. 当AB⊥y轴时,以线段AB为直径的圆的方程为x2+y2=1. 可得两圆交点为Q(-1,0). 由此可知,若以线段AB为直径的圆过定点,则该定点为Q(-1,0). 下证Q(-1,0)符合题意. 设直线l的斜率存在,且不为0, 其方程设为 y=kx-13,代入y22+x2=1,
FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG
A级 基础巩固
1.已知抛物线C的顶点在原点,焦点在坐标轴上,点A(1,2)为抛物线C上一点. (1)求抛物线C的方程; 解 若抛物线的焦点在x轴上,设抛物线方程为y2=ax,代入点A(1,2),可得 a=4,所以抛物线方程为y2=4x. 若抛物线的焦点在y轴上,设抛物线方程为x2=my,代入点A(1,2), 可得 m=21,所以抛物线方程为 x2=21y. 综上所述,抛物线 C 的方程是 y2=4x 或 x2=12y.
2023新高考数学一轮复习创新课件 第1章 第1讲 集合
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7.(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B),(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B). 8.如图所示,用集合A,B表示图中Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四个部分所表示 的集合分别是A∩B,A∩(∁UB),B∩(∁UA),∁U(A∪B).
9.用card(A)表示有限集合A中元素的个数.对任意两个有限集合A, B,有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).
存在元素x∈B,且x∉A
20 _____A__B__或__B___A_______
表示 关系
文字语言
符号语言
任何一个集合是它本身的子集
A⊆A
结论
若A是B的子集,B是C的子集,则A A⊆B,B⊆C⇒ 21 _A_⊆__C__
是C的子集
空集是 22 _任__何___集合的子集,是 23 __任__何__非__空____集合的真子集
∅⊆A ∅ B(B≠∅)
3.集合的基本运算 并集
交集
补集
图形
符号
A∪B= 24 _{_x_|_x∈__A__,__ A∩B= 25 _{_x_|_x_∈__A_,__
_或__x_∈__B__}__
_且__x_∈__B_}__
∁UA= 26 __{_x_|x_∈__U_,___ _且__x_∉__A_}_
A.0
B.2
C.-2
D.1
解析 由题意得,当a=1时,P={1},当a≠1时,P={1,a};当b= -1时,Q={-1},当b≠-1时,Q={-1,b},因为P=Q,所以当且仅 当a=-1,b=1时,符合题意,故a-b=-2.故选C.
解析 答案
(3) 已 知 集 合 A = {x|(x + 1)(x - 6)≤0} , B = {x|m - 1≤x≤2m + 1} . 若 B⊆A,则实数m的取值范围为________.
高考数学一轮复习第一章第二讲充分条件与必要条件课件
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p⇒q且q p
p是q的必要不充分条件
p q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p q且q p
2.充分条件与必要条件的两个特征
(1)对称性:若 p 是 q 的充分条件,则 q 是 p 的必要条件,即 “p⇒q”则“q⇐ p”.
(2)传递性:若 p 是 q 的充分(必要)条件,q 是 r 的充分(必要) 条件,则 p 是 r 的充分(必要)条件,即“p⇒q 且 q⇒r”,则“p⇒r” (“p⇐ q 且 q⇐ r”,则“p⇐ r”).
第二讲 充分条件与必要条件
1.理解必要条件的含义,理解性质定理与必要条件的关系. 2.理解充分条件的含义,理解判定定理与充分条件的关系. 3.理解充要条件的含义,理解数学定义与充要条件的关系.
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
答案:[0,3]
【考法全练】
1.(考向 1)(2023 年潮南区开学)已知复数 z1=4-7i,z2=m+
2i(m∈R),zz21在复平面内所对应的点位于第三象限的一个充分不必 要条件是( )
பைடு நூலகம்
A.m<-2
B.m<-87
C.-87<m<27
D.m<27
解析:根据题意,得zz12=m4-+72ii=4m6-5 14+8+657mi,故在复平
C 相交”的充分不必要条件.故选 A. 答案:A
答案:A
2.(2023 年高州市二模)已知直线 l:y=kx 与圆 C:(x-2)2+
(y-1)2=1,则“0<k< 33”是“直线 l 与圆 C 相交”的(
2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——坐标系与参数方程 第一课时 坐标系
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第1节 坐标系与参数方程第一课时 坐标系考试要求 1.了解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况;2.了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化;3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ,y )是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:⎩⎨⎧x ′=λ·x (λ>0),y ′=μ·y (μ>0)的作用下,点P (x ,y )对应到点P ′(x ′,y ′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.2.极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个定点O (极点),自极点O 引一条射线Ox (极轴);再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标①极径:设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为ρ.②极角:以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角∠xOM叫做点M的极角,记为θ.③极坐标:有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记作M(ρ,θ).3.极坐标与直角坐标的互化4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程 圆心在极点,半径为r 的圆 ρ=r (0≤θ<2π) 圆心为(r ,0),半径为r 的圆ρ=2r cos__θ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2≤θ<π2圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫r ,π2,半径为r 的圆ρ=2r sin__θ(0≤θ<π)过极点,倾斜角为α的直线①θ=α(ρ∈R )或θ=π+α(ρ∈R ) ②θ=α(ρ≥0)和 θ=π+α(ρ≥0)过点(a ,0),与极轴垂直的直线ρcos__θ=a ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2<θ<π2过点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ,π2,与极轴平行的直线ρsin__θ=a (0<θ<π)1.极坐标的四要素:(1)极点;(2)极轴;(3)长度单位;(4)角度单位和它的正方向,四者缺一不可.2.由极径的意义知ρ≥0,当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ,θ)(ρ≠0)建立一一对应关系,约定极点的极坐标是极径ρ=0,极角可取任意角.3.曲线的极坐标方程与直角坐标方程互化:对于简单的可以直接代入公式ρcos θ=x ,ρsin θ=y ,ρ2=x 2+y 2,但有时需要作适当的变化,如将式子的两边同时平方,两边同乘以ρ等.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系,在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.( )(2)若点P 的直角坐标为(1,-3),则点P 的一个极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2,-π3.( )(3)在极坐标系中,曲线的极坐标方程不是唯一的.( ) (4)极坐标方程θ=π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×解析 (1)一般认为ρ≥0,当θ∈[0,2π)时,平面上的点(除去极点)才与极坐标建立一一对应关系;(4)极坐标方程θ=π(ρ≥0)表示的曲线是一条射线.2.(易错题)在极坐标系中,已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2,π6,则过点P 且平行于极轴的直线方程是( ) A.ρsin θ=1 B.ρsin θ= 3 C.ρcos θ=1D.ρcos θ= 3答案 A解析 先将极坐标化成直角坐标表示,P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2,π6转化为直角坐标为x =ρcos θ=2cos π6=3,y =ρsin θ=2sin π6=1,即(3,1),过点(3,1)且平行于x 轴的直线为y =1, 再化为极坐标为ρsin θ=1.3.若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y =1-x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A.ρ=1cos θ+sin θ,0≤θ≤π2B.ρ=1cos θ+sin θ,0≤θ≤π4C.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤π2D.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤π4 答案 A解析 ∵y =1-x (0≤x ≤1), ∴ρsin θ=1-ρcos θ(0≤ρcos θ≤1), ∴ρ=1sin θ+cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.4.在极坐标系中,圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1,π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1,-π2 C.(1,0)D.(1,π)答案 B解析 由ρ=-2sin θ得ρ2=-2ρsin θ,化成直角坐标方程为x 2+y 2=-2y , 即x 2+(y +1)2=1,圆心坐标为(0,-1),其对应的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1,-π2.5.(易错题)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ,则曲线C 的直角坐标方程为________. 答案 x 2+(y -1)2=1解析 由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsin θ,所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2y =0,即x 2+(y -1)2=1.6.(2018·北京卷)在极坐标系中,直线ρcos θ+ρsin θ=a (a >0)与圆ρ=2cos θ相切,则a =________. 答案 1+ 2解析 直线的方程为x +y -a =0,圆的方程为(x -1)2+y 2=1, 所以圆心(1,0),半径r =1, 由于直线与圆相切,故圆心到直线的距离等于半径,即|1-a |2=1,又a >0,所以a =1+ 2.考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换1.曲线C :x 2+y 2=1经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′=2x ,y ′=y得到曲线C ′,则曲线C ′的方程为________. 答案 x ′24+y ′2=1解析 因为⎩⎪⎨⎪⎧x ′=2x ,y ′=y ,所以⎩⎪⎨⎪⎧x =x ′2,y =y ′,代入曲线C 的方程得C ′:x ′24+y ′2=1.2.曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′=2x ,y ′=3y 后所得曲线的方程为x ′2+y ′2=1,则曲线C 的方程为________. 答案 4x 2+9y 2=1解析 根据题意,曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′=2x ,y ′=3y 后所得曲线的方程为x ′2+y ′2=1,则(2x )2+(3y )2=1,即4x 2+9y 2=1,所以曲线C 的方程为4x 2+9y 2=1.3.在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换φ:⎩⎨⎧x ′=3x ,2y ′=y ,则点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13,-2经过变换后所得的点A ′的坐标为________. 答案 (1,-1)解析 设A ′(x ′,y ′),由伸缩变换φ: ⎩⎪⎨⎪⎧x ′=3x ,2y ′=y 得到⎩⎨⎧x ′=3x ,y ′=12y .由于点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13,-2,于是x ′=3×13=1,y ′=12×(-2)=-1, 所以点A ′的坐标为(1,-1).4.双曲线C :x 2-y 264=1经过伸缩变换φ:⎩⎨⎧x ′=3x ,2y ′=y后所得曲线C ′的焦点坐标为________.答案 (-5,0),(5,0)解析 设曲线C ′上任意一点P ′(x ′,y ′),将⎩⎨⎧x =13x ′,y =2y ′代入x 2-y 264=1,得x ′29-4y ′264=1, 化简得x ′29-y ′216=1,即为曲线C ′的方程,知C ′仍是双曲线,其焦点坐标分别为(-5,0),(5,0).感悟提升 1.平面上的曲线y =f (x )在变换φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′=λx (λ>0),y ′=μy (μ>0)的作用下的变换方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x =x ′λ,y =y ′μ代入y =f (x ),得y ′μ=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′λ,整理之后得到y ′=h (x ′),即为所求变换之后的方程.2.解答该类问题应明确两点:一是明确平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用;二是明确变换前的点P (x ,y )与变换后的点P ′(x ′,y ′)的坐标关系,用方程思想求解.考点二 极坐标与直角坐标的互化例1 (1)极坐标方程ρ2cos θ-ρ=0转化成直角坐标方程为( ) A.x 2+y 2=0或y =1 B.x =1C.x 2+y 2=0或x =1D.y =1(2)点M 的直角坐标是(-1,3),则点M 的极坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2,π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2,-π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2,2π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2,2k π+π3(k ∈Z ) 答案 (1)C (2)C解析 (1)ρ2cos θ-ρ=0⇒ρ=x 2+y 2=0,或ρcos θ=1,即x =1.(2)∵ρ=(-1)2+(3)2=2,tan θ=3-1=- 3.又点M 在第二象限,∴θ=2π3, ∴点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2,2π3.感悟提升 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式;x =ρcos θ,y =ρsin θ,ρ2=x 2+y 2,tan θ=yx (x ≠0).2.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时,要注意ρ,θ的取值范围及其影响;要善于对方程进行合理变形,并重视公式的逆向与变形使用;要灵活运用代入法和平方法等技巧.训练1 在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π3=1,M ,N 分别为C 与x 轴,y 轴的交点.(1)求C 的直角坐标方程,并求M ,N 的极坐标; (2)设MN 的中点为P ,求直线OP 的极坐标方程. 解 (1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π3=1得,ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ+32sin θ=1.从而C 的直角坐标方程为12x +32y =1, 即x +3y =2.当θ=0时,ρ=2,所以M (2,0).当θ=π2时,ρ=233,所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233,π2.(2)由(1)知M 点的直角坐标为(2,0),N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0,233. 所以点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1,33,则点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233,π6,所以直线OP 的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R ). 考点三 求曲线的极坐标方程例2 (2022·西安五校联考)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1:(x -1)2+y 2=1(y ≥0),如图,将C 1分别绕原点O 逆时针旋转π2,π,3π2得到曲线C 2,C 3,C 4,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)分别写出曲线C 1,C 2,C 3,C 4的极坐标方程;(2)直线l :θ=π3(ρ∈R )交曲线C 1,C 3分别于A ,C 两点,直线l ′:θ=2π3(ρ∈R )交曲线C 2,C 4分别于B ,D 两点,求四边形ABCD 的面积.解 (1)将x =ρcos θ,y =ρsin θ代入C 1,得C 1的极坐标方程为ρ=2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2,设C 1上的点(ρ0,θ0)旋转π2得到曲线C 2上的点(ρ,θ),则ρ0=ρ,θ0=θ-π2,代入C 1的方程得ρ=2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π2=2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ-π2≤π2,所以C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≤θ≤π,同理,C 3的极坐标方程为ρ=-2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π≤θ≤3π2,C 4的极坐标方程为ρ=-2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2≤θ≤2π.(2)结合图形的对称性可知S 四边形ABCD =4S △AOB , 将θ=π3代入C 1得|OA |=ρA =1,将θ=2π3代入C 2得|OB |=ρB =3,所以S 四边形ABCD =4S △AOB =4×12·|OA |·|OB |·sin π3=3. 感悟提升 求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系,设P (ρ,θ)是曲线上任意一点.(2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式.(3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程.训练2 在极坐标系中,O 为极点,点M (ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C :ρ=4sin θ上,直线l 过点A (4,0)且与OM 垂直,垂足为P . (1)当θ0=π3时,求ρ0及l 的极坐标方程;(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时,求P 点轨迹的极坐标方程. 解 (1)因为M (ρ0,θ0)在曲线C 上, 当θ0=π3时,ρ0=4sin π3=2 3. 由已知得|OP |=|OA |cos π3=2. 设Q (ρ,θ)为l 上除P 外的任意一点.在Rt △OPQ 中,ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π3=|OP |=2.经检验,点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2,π3在曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π3=2上,所以,l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π3=2.(2)设P (ρ,θ),在Rt △OAP 中,|OP |=|OA |cos θ=4cos θ,即ρ=4cos θ. 因为P 在线段OM 上,且AP ⊥OM ,所以θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4,π2.所以,P 点轨迹的极坐标方程为ρ=4cos θ,θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4,π2.考点四 极坐标方程的应用例3 已知曲线C :⎩⎨⎧x =2cos α,y =2sin α(α为参数),设曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′=x ,y ′=12y 得到曲线C ′,以直角坐标中的原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C ′的极坐标方程;(2)若A ,B 是曲线C ′上的两个动点,且OA ⊥OB ,求|OA |2+|OB |2的最小值. 解 (1)曲线C :⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos α,y =2sin α(α为参数),转换为普通方程为x 2+y 2=4,曲线C经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′=x ,y ′=12y得到曲线C ′:x 24+y 2=1,极坐标方程为ρ=21+3sin 2θ.(2)设A (ρ1,θ),B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2,θ+π2,所以|OA |2+|OB |2=ρ21+ρ22=41+3sin 2θ+41+3cos 2θ =8+12(sin 2θ+cos 2θ)(1+3sin 2θ)(1+3cos 2θ)=20(1+3sin 2θ)(1+3cos 2θ) =201+3(sin 2θ+cos 2θ)+94sin 22θ =204+94sin 22θ≥165. 当sin 2θ=±1时,|OA |2+|OB |2取得最小值165.感悟提升 1.若把直角坐标化为极坐标求极角θ时,应注意判断点P 所在的象限(即角θ的终边的位置),以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化,可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.2.在极坐标系中,如果P 1(ρ1,θ1),P 2(ρ2,θ2),那么两点间的距离公式 |P 1P 2|=ρ21+ρ22-2ρ1ρ2cos (θ1-θ2).两种特殊情况:(1)当θ1=θ2+2k π,k ∈Z 时,|P 1P 2|=|ρ1-ρ2|; (2)当θ1=θ2+π+2k π,k ∈Z ,|P 1P 2|=|ρ1+ρ2|.3.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时,如果不能直接用极坐标解决,可先转化为直角坐标方程,然后求解.训练3 (2021·昆明诊断)在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x =9+3t ,y =t (t为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ2=161+3sin 2θ.(1)求C 和l 的直角坐标方程;(2)已知P 为曲线C 上的一个动点,求线段OP 的中点M 到直线l 的最大距离. 解 (1)由ρ2=161+3sin 2θ, 得ρ2+3ρ2sin 2θ=16,则曲线C 的直角坐标方程为x 2+4y 2=16, 即x 216+y 24=1.直线l 的直角坐标方程为x -3y -9=0.(2)可知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =4cos α,y =2sin α(α为参数),设P (4cos α,2sin α),α∈[0,2π),则M (2cos α,sin α)到直线l :x -3y -9=0的距离为d =|2cos α-3sin α-9|2=|7sin (θ-α)-9|2≤9+72,所以线段OP 的中点M 到直线l 的最大距离为9+72.1.将直角坐标方程与极坐标方程互化: (1)y 2=4x ;(2)y 2+x 2-2x -1=0; (3)θ=π3(ρ∈R );(4)ρcos 2 θ2=1; (5)ρ2cos 2θ=4; (6)ρ=12-cos θ.解 (1)将x =ρcos θ,y =ρsin θ代入y 2=4x ,得(ρsin θ)2=4ρcos θ.化简得ρsin 2θ=4cos θ.(2)将x =ρcos θ,y =ρsin θ代入y 2+x 2-2x -1=0,得(ρsin θ)2+(ρcos θ)2-2ρcos θ-1=0,化简得ρ2-2ρcos θ-1=0.(3)当x ≠0时,由于tan θ=y x ,故tan π3=yx =3,化简得y =3x (x ≠0); 当x =0时,y =0.显然(0,0)在y =3x 上,故θ=π3(ρ∈R )的直角坐标方程为 y =3x .(4)因为ρcos 2θ2=1,所以ρ·1+cos θ2=1,而ρ+ρcos θ=2,所以x 2+y 2+x =2.化简得y 2=-4(x -1).(5)因为ρ2cos 2θ=4,所以ρ2cos 2θ-ρ2sin 2θ=4,即x 2-y 2=4. (6)因为ρ=12-cos θ,所以2ρ-ρcos θ=1,因此2x 2+y 2-x =1,化简得3x 2+4y 2-2x -1=0.2.在极坐标系中,已知两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3,π4,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2,π2,直线l 的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4=3.(1)求A ,B 两点间的距离; (2)求点B 到直线l 的距离.解 (1)设极点为O .在△OAB 中,A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3,π4,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2,π2,由余弦定理,得 |AB |=32+(2)2-2×3×2×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-π4= 5.(2)因为直线l 的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4=3,所以直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32,π2,倾斜角为3π4.又B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2,π2, 所以点B 到直线l 的距离为(32-2)×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4-π2=2.3.以直角坐标系中的原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,已知曲线的极坐标方程为ρ=21-sin θ.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)过极点O 作直线l 交曲线于点P ,Q ,若|OP |=3|OQ |,求直线l 的极坐标方程. 解 (1)因为ρ=x 2+y 2,ρsin θ=y ,所以ρ=21-sin θ化为ρ-ρsin θ=2,所以曲线的直角坐标方程为x 2=4y +4.(2)设直线l 的极坐标方程为θ=θ0(ρ∈R ), 根据题意21-sin θ0=3·21-sin (θ0+π),解得θ0=π6或θ0=5π6,所以直线l 的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R )或θ=5π6(ρ∈R ).4.(2022·南宁调研)在直角坐标系xOy 中,圆C 1:(x -1)2+y 2=1,圆C 2:(x +2)2+y 2=4.以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆C 1,C 2的极坐标方程;(2)设A ,B 分别为C 1,C 2上的点,若△OAB 为等边三角形,求|AB |. 解 (1)因为圆C 1:(x -1)2+y 2=1, 圆C 2:(x +2)2+y 2=4,所以C 1:x 2+y 2=2x ,C 2:x 2+y 2=-4x , 因为x 2+y 2=ρ2,x =ρcos θ, 所以C 1:ρ=2cos θ,C 2:ρ=-4cos θ.(2)因为C 1,C 2都关于x 轴对称,△OAB 为等边三角形, 所以不妨设A (ρA ,θ),B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρB ,θ+π3,0<θ<π2.依题意可得,ρA =2cos θ,ρB =-4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π3.从而2cos θ=-4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π3,整理得,2cos θ=3sin θ,所以tan θ=233,又因为0<θ<π2,所以cos θ=217,|AB |=|OA |=ρA =2217.5.(2021·成都诊断)在直角坐标系xOy 中,已知曲线C 的方程为(x -1)2+y 2=1,直线l 的方程为x +3y -6=0.以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 和直线l 的极坐标方程;(2)若点P (x ,y )在直线l 上且y >0,射线OP 与曲线C 相交于异于点O 的点Q ,求|OP ||OQ |的最小值.解 (1)由极坐标与直角坐标的互化公式x =ρcos θ,y =ρsin θ得 曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos θ. 由题意得直线l 的极坐标方程为ρcos θ+3ρsin θ-6=0,即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π6=3.(2)设点P 的极坐标为(ρ1,θ),点Q 的极坐标为(ρ2,θ),其中0<θ<π2. 由(1)知|OP |=ρ1=6cos θ+3sin θ,|OQ |=ρ2=2cos θ. ∴|OP ||OQ |=ρ1ρ2=62cos 2θ+23sin θcos θ=61+cos 2θ+3sin 2θ=61+2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ+π6.∵0<θ<π2,∴π6<2θ+π6<7π6,∴-12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ+π6≤1. ∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ+π6=1,即θ=π6时,|OP ||OQ |取得最小值2.6.已知曲线C 1:x 2+(y -3)2=9,A 是曲线C 1上的动点,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,以极点O 为中心,将点A 绕点O 逆时针旋转90°得到点B ,设点B 的轨迹方程为曲线C 2. (1)求曲线C 1,C 2的极坐标方程;(2)射线θ=5π6(ρ>0)与曲线C 1,C 2分别交于P ,Q 两点,定点M (-4,0),求△MPQ的面积.解 (1)曲线C 1:x 2+(y -3)2=9, 即x 2+y 2-6y =0. 从而ρ2=6ρsin θ.所以曲线C 1的极坐标方程为ρ=6sin θ. 设B (ρ,θ),则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ,θ-π2,则有ρ=6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π2=-6cos θ.所以曲线C 2的极坐标方程为ρ=-6cos θ. (2)M 到射线θ=5π6(ρ>0)的距离为d =4sin 5π6=2,射线θ=5π6(ρ>0)与曲线C 1的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρP ,5π6,其中,ρP =6sin 5π6=3,射线θ=5π6(ρ>0)与曲线C 2的交点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρQ ,5π6,其中,ρQ =-6cos 5π6=33,则|PQ |=|ρP -ρQ |=33-3, 则S △MPQ =12|PQ |d =33-3.。
新课标2023版高考数学一轮总复习第1章预备知识第1节集合课件
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根据集合的运算结果求参数的值或范围的方法 (1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中 的元素能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;若 是与不等式有关的集合,则一般利用数轴解决,要注意端点值能否取 到. (2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解.
1.设集合 A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|x+y=1},则 A∩B
(5,6] 解析:因为 P 中恰有 3 个元素,所以 P={3,4,5},故 k 的取值范围为(5,6].
与集合中的元素有关问题的求解思路 (1)确定集合中元素的特征,即集合是数集还是点集或其他集合. (2)看清元素的限制条件. (3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数,但要检 验参数是否满足集合元素的互异性.
1.A∪B=A⇔B⊆A. 2.A∩B=A⇔A⊆B. 3.∁U(∁UA)=A.
4.常用结论 (1)若有限集 A 中有 n 个元素,则 A 的子集有 2n 个,真子集有(2n -1)个,非空真子集有(2n-2)个. (2)子集的传递性:A⊆B,B⊆C⇒A⊆C. (3)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB), ∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).
(4)集合与集合间的基本关系 ①子集:集合A中任意一个元素都是集合B中的元素.用符号表 示为 A⊆B (或 B⊇A ). Venn图如图所示:
②真子集:集合 A⊆B,但存在元素 x∈B,且 x A.用符号表示 为:A B(或 B A).
Venn 图如图所示:
③集合相等:集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集 合B的任何一个元素都是集合A的元素.用符号表示为 A=B .
1.设全集 U=R,则集合 M={0,1,2}和 N={x|x·(x-2)·log2x=0} 的关系可表示为( )
2023年高考数学(文科)一轮复习课件——空间几何体的结构、三视图和直观图
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考点二 空间几何体的三视图
例1 (1)(2021·全国乙卷)以图①为正视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视 图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次 为__③__④__(_或__②__⑤__,__答__案__不__唯__一__)_____(写出符合要求的一组答案即可).
_平__行__且__相__等___
相交于_一__点___,但 不一定相等
延长线交于___一__点_
_平__行__四__边__形___
_三__角__形___
__梯__形__
索引
(2)旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
图形
互相平行且相等,
母线
__垂__直__于底面
相交于__一__点__
轴截面 侧面展开图
索引
2.(易错题)在如图所示的几何体中,是棱柱的为___③__⑤___(填写所有正确的序号). 解析 由棱柱的定义可判断③⑤属于棱柱.
索引
3.如图,长方体ABCD-A′B′C′D′被截去一部分,其中EH∥A′D′.剩下的几何体
是( C )
A.棱台
B.四棱柱
C.五棱柱
D.六棱柱
解析 由几何体的结构特征,剩下的几何体为五棱柱.
索引
训练1 (1)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画
出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是( B )
A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 解析 由题知,该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形,经分析可 知该几何体为三棱柱.
索引
(2)(2022·成都检测)一个几何体的三视图如图所示,
索引
解析 根据“长对正、高平齐、宽相等”及图中数据,可知图②③只能是侧 视图,图④⑤只能是俯视图,则组成某个三棱锥的三视图,所选侧视图和俯 视图的编号依次是③④或②⑤.若是③④,则三棱锥如图1所示;若是②⑤, 则三棱锥如图2所示.
2021高考山西版文数学一轮复习课件:第一章 第一节 集合及其运算
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不含任何元素的集合.空集 是任何集合A的子集,是任 何非空集合B的真子集
∀x,x∉⌀,⌀⊆A,⌀⫋B(B ≠⌀)
记法 A⊆B或B⑩ ⊇A
A B 或B A
A=B ⌀
提醒 (1)“⊆”与“ ”的区别:A⊆B⇒A=B或A B,若A⊆B和A B同时成 立,则A B更准确. (2)⌀,{0}和{⌀}的区别,⌀是集合,不含有任何元素,{0}含有一个元素0;{⌀} 含有一个元素⌀,且⌀∈{⌀}和⌀⊆{⌀}都正确. (3)在涉及集合之间的关系时,若未指明集合非空,则要考虑空集的可能性,如: 若A⊆B,则要考虑A=⌀和A≠⌀两种情况.
答案 (1)C (2)C (3)(-∞,3] (4)(i)a≤-1或a=1;(ii)a=1
; .
解析 (1)由x2-3x+2=0得x=1或x=2, ∴A={1,2}. 由题意知B={1,2,3,4},比较A,B中的元素可知A
B,故选C.
2m-1 m 1,
(3)若B=⌀,则2m-1<m+1,所以m<2.若B≠⌀,则 m 1 -2, 解得2≤m≤3.综上
B.{x|x<1或x≥3} D.{x|x≤-1}
(3)已知集合A={x|y= 4-x2 },B={x|a≤x≤a+1},若A∪B=A,则实数a的取值范围
是( C )
A.(-∞,-3]∪[2,+∞)
B.[-1,2]
C.[-2,1]
D.[2,+∞)
答案 (1)B (2)D (3)C
解析
(1)解不等式可得集合M=(2,3),集合N=
2,
5 2
,
所以M∩N=
2,
5 2
.
(2)解不等式可得集合A=(-1,3),集合B=[1,+∞),
高三数学第一轮复习《第1课时 集合的概念及其基本运算》课件
![高三数学第一轮复习《第1课时 集合的概念及其基本运算》课件](https://img.taocdn.com/s3/m/6276dd83b14e852458fb57f9.png)
探究提高 在解决两个数集关系问题时,避免出错的 一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求解,另 外,在解含有参数的不等式(或方程)时,要对参数 进行讨论.分类时要遵循“不重不漏”的分类原则, 然后对每一类情况都要给出问题的解答. 分类讨论的一般步骤:①确定标准;②恰当分类; ③逐类讨论;④归纳结论.
(2)当a=0时,显然B A;
当a<0时,若B A,如图,
4 则 a
1 a
1 2
2
,
a a
8 1.
2
1 2
a
0;
当a>0时,若B A,如图,
则4 a
1 a
2
1
2
,
a a
2 .0
2
a
2.
综上知,当B
A时,
1 2
a
2
(3)当且仅当A、B两个集合互相包含时,A=B.
由(1)、(2)知,a=2.
( B)
A.a<1 B.a≤1 C.a<2 D.a≤2
解析 由图象得a≤1,故选B.
明年目标
工作详情
题型一 集合的基本概念
【例1】 集合A={0,2,a},B={1,a2},
若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为 ( )
A.0
B.1
C.2
D.4
思维启迪 根据集合元素特性,列出关于a的方程
则A∩( UB)等于 A.{x|0≤x<1}
(B) B.{x|0<x≤1}
C.{x|x<0}
D.{x|x>1}
解析 ∵B={x|x>1},
∴ UB={x|x≤1}. 又A={x|x>0},
∴A∩( UB)={x|0<x≤1}。
2023年高考数学(文科)一轮复习课件——平面向量基本定理及坐标表示
![2023年高考数学(文科)一轮复习课件——平面向量基本定理及坐标表示](https://img.taocdn.com/s3/m/1a947ed905a1b0717fd5360cba1aa81144318ff1.png)
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( × )
(2)设a,b是平面内的一组基底,若实数λ1,μ1,λ2,μ2满足λ1a+μ1b=λ2a+
μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2.( √ )
(3)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件可以表示成xx12=yy12.( × )
索引
5.(易错题)已知 A(-1,3),B(2,-1),则与向量A→B共线的单位向量是 ___±__35_,__-__54________. 解析 ∵A→B=(2,-1)-(-1,3)=(3,-4), ∴|A→B|=5.故与向量A→B共线的单位向量坐标为±35,-54.
索引
8 6.(2021·全国乙卷)已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,则λ=____5____.
1.(2021·西安调研)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,O→A= 23,21,若O→A绕
点 O 逆时针旋转 60°得到向量O→B,则O→B=( A )
A.(0,1)
B.(1,0)
C. 23,-12
D.12,-
3 2
解析 ∵O→A= 23,12,∴O→A与 x 轴的夹角为 30°,
依题意,向量O→B与 x 轴的夹角为 90°,
索引
感悟提升
1.两平面向量共线的充要条件有两种形式: (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0; (2)若a∥b(b≠0),则a=λb. 2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数.当 两向量的坐标均非零时,也可以利用坐标对应成比例来求解.
索引
2023年高考数学(文科)一轮复习课件——等比数列及其前n项和
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(2)求a1a2-a2a3+…+(-1)n-1anan+1. 解 易知(-1)n-1anan+1=(-1)n-1·22n+1, 则数列{(-1)n-122n+1}公比为-4. 故a1a2-a2a3+…+(-1)n-1·anan+1 =23-25+27-29+…+(-1)n-1·22n+1 =23[1-1(+-4 4)n]=85[1-(-4)n] =85-(-1)n·225n+3.
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感悟提升
1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于 选择题、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存 在连续三项不成等比数列即可. 2.在利用递推关系判定等比数列时,要注意对n=1的情形进行验证.
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训练1 已知数列{an}的前n项和为Sn,且an+Sn=n. (1)设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列; 证明 ∵an+Sn=n①, ∴an+1+Sn+1=n+1②. ②-①得an+1-an+an+1=1, 所以2an+1=an+1, ∴2(an+1-1)=an-1,又a1+a1=1, 因所为以aaan+1n=-1-1211,=∴12,a1-∴1c=cn+n1-=2112≠. 0, 故{cn}是以 c1=a1-1=-21为首项,12为公比的等比数列.
(2)等比中项:如果 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项.那么Ga =Gb ,
即 G2=__a_b_.
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2. 等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1,公比是q,则其通项公式为an=__a_1q_n_-_1__; 通项公式的推广:an=amqn-m. a1(1-qn) (2)等比数列的前 n 项和公式:当 q=1 时,Sn=na1;当 q≠1 时,Sn=____1_-__q___ =a11--aqnq.