最新《数学分析》第十二章数项级数1
第十二章数项级数
这是不可能的.
级数发散 .
2项
2项
4项
8项
(1 1) (1 1) (1 1 1 1) (1 1 1 )
2 3 4 5 6 7 8 9 10
16
(
1 2m
1
1 2m
2
1 2m1
)
每项均大于1
2m项
2
即前m 1项大于(m 1) 1 2
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2n1
3, 2
lim un1 u n
n
lim
n
an
不存在.
例 4 判别下列级数的收敛性:
1
(1)
;
n1 n!
n!
(2) n1 10n ; 1
1
(3)
.
n1 (2n 1) 2n
证明 当为有限数时, 对 0,
N , 当n N时, 有 un1 , un
即 un1 (n N )
un
当 1时, 取 1 ,
uN 2 ruN 1 , uN 3 ruN 2 r 2uN 1 , ,
则
lim
m
m
lim
n
sn
s.
注意
收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如 (1 1) (1 1) 收敛
1111
发散
推论 如果加括弧后所成的级数发散,则原来级 数也发散.
12-1级数的收敛性
第十二章 数项级数§1 级数的收敛性(一) 教学目的：掌握数项级数收敛性的定义和收敛级数的性质 (二) 教学内容：数项级数收敛性的定义和基本性质；等比级数；调和级数． 基本要求：深刻理解数项级数收敛的定义及与数列收敛的关系 (三) 教学建议：1）要求学生必须理解和掌握数项级数收敛性的定义和基本性质；掌握等比级数与调和级数的敛散性．2) 应用柯西收敛准则判别级数的敛散性是一个难点，对较好的学生可提出相应要求．——————————————————————1 数项级数的概念、记号：将数列}{n u 的各项用加号连接起来，即 ++++n u u u 21 或∑∞=1n nu称为数值级数，简称级数。
其中第n 项 n u 称为通项。
级数的敛散性与和 : .2 介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思想 级数的部分和： . n n u u u S +++= 213 以在中学学过的无穷等比级数为蓝本 , 定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念级数的收敛性：若S S n n =∞→lim 存在，称级数∑∞=1n nu收敛，S 称为级数的和；余和：称 ∑∞==-=nk kn n uS S r 为级数∑∞=1n nu的余和。
若部分和数列}{n S 发散，则称级数∑∞=1n nu发散，发散级数没有和。
这就是说，级数的敛散性可通过数列的敛散性来判断。
例1 讨论几何级数0,11≠∑∞=-a arn n 的敛散性。
按照级数收敛性的定义，其敛散性可通过部分和数列的敛散性判断。
由等比数列前n 项和的计算公式，1≠r 时，n n n n r ra r a r ar a arar a S ---=--=+++=-11111） 当 1||<r 时，r a S n n -=∞→1lim ，几何级数收敛，其和为 ra -1； 2） 当 1||>r 时，∞=∞→n n S lim ，此时几何级数发散，和不存在； 3） 当 1||=r 时，显然 }{n S 发散； 结论：几何级数0,11≠∑∞=-a ar n n ，当 1||<r 时，收敛，其和为ra-1； 当 1||≥r 时，几何级数发散，和不存在例2 讨论级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性.解 利用111)1(1+-=+n n n n 求出部分和 n S ,例3 讨论级数∑∞=12n nn的敛散性. 解 设 ∑=-+-++++==nk n n k n n n k S 11322212322212, =⇒n S 211432221 232221++-++++n n n n , 1322212121212121+-++++=-=n n n n n nS S S =12211211211→--⎪⎭⎫⎝⎛-=+n nn , ) (∞→n .⇒ n S →2, ) (∞→n .因此, 该级数收敛.例4 讨论级数∑∞=-1352n n n的敛散性.解 52, 5252352⋅>⇒=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散.二 收敛级数的性质因为级数的敛散性等价于部分和数列的敛散性，由数列收敛的柯西准则，级数收敛的充分必要条件为：定理1，（柯西准则）级数∑∞=1n nu收敛 ⇔N p N n N ∈∀>∀∃>∀,,,0ε 有ε<-+||n p n S S根据定理1，取 1=p ，有 ε<=-+n n n u S S ||1 ，于是有下面结论：推论1， 级数∑∞=1n nu收敛的必要条件为 0lim =∞→n n u本推论可以方便的用来判断级数发散。
数学分析12-1
1 1 ), = (1 − 2 2n + 1
1 1 ) ∴ lim sn = lim (1 − n→ ∞ n→ ∞ 2 2n + 1
1 = , 2
1 ∴ 级数收敛 , 和为 . 2
第十二章
数项级数
§1 级数的收敛性
一 问题的提出
有限个实数相加是实数，无限个实数相加会 有限个实数相加是实数， 是什么结果？ 是什么结果？ 一尺之棰，日取其半，万世不竭。 一尺之棰，日取其半，万世不竭。 将每天取下的长度“ 将每天取下的长度“加”起来： 起来：
1 1 1 1 + 2 + 3 +L+ n +L 2 2 2 2
1 1 1 1 + 2 + 3 +L+ n +L 2 2 2 2
——无限个数相加！ 无限个数相加！ 无限个数相加 直观上感觉结果（ 直观上感觉结果（和）应该是1。 应该是 。 再如： 再如： 如果 如果
1−1+1−1+1−1+L
（ 1 − 1 ） 1 − 1 ） 1 − 1） L （ + + + （ 结果是0。 结果是 。 结果是1。 结果是 。
1
1 收敛。 例6 证明级数 ∑ 2 收敛。 n =1 n
∞
证
| um +1 + um + 2 + L + um + p |
1 1 1 L+ = 2 + 2 + 2 ( m + 1) ( m + 2) (m + p) 1 1 1 < + +L+ m ( m + 1) ( m + 1)( m + 2) ( m + p − 1)( m + p ) 1 1 1 1 1 1 = − + − +L+ − m m +1 m +1 m + 2 m + p−1 m + p 1 1 1 = − → 0, ( m → ∞ ) < m m+ p m
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-数项级数(圣才出品)
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第二部分 课后习题
第 12 章 数项级数
§1 级数的收敛性
1．证明下列级数的收敛性，并求其和： （1） （2） （3） （4） （5） 证明：（1）
所以原级数收敛，且和数 （2）
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也发散．
证明：假设
收敛．因 c≠0，故级数
矛盾，所以若
发散．
也发散（c≠0）．
收敛，这与题设
发散
3．设级数 与级数 都发散，试问
一定发散吗？又若 un 与 vn（n＝1，
2，…）都是非负数，则能得出什么结论？
解：(1)当 与 都发散时，
不一定发散．如
两级数均发散，但
，即
收敛．
又如，
，两级数均发散，且
所以
从而级数
由比较原则知 收敛．
．又
收敛，
6．设级数 收敛，证明 证明：因为
也收敛．
又及
收敛，故
收敛，所以由比较原则得
收敛．
7．设正项级数 收敛，证明级数
也收敛．
证明：因为
，义由已知碍 及
收敛，所以
收敛，进而由比较原则得
收敛．
8．利用级数收敛的必要条件，证明下列等式：
证明：（1）设
，考察正项级数 的收敛性，因为
发敛．
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（5）因
，而级数
收敛，故级数
收敛．
（6）因
，而级数
发散，故级数
发散．
（7）因
，而级数
发散，故级数
数学分析12.3一般项级数
第十二章 数项级数2 一般项级数一、交错级数概念：若级数各项符号正负相间，即u 1-u 2+u 3-u 4+…+(-1)n+1u n +…(u n >0, n=1,2,…)，则称它为交错级数.定理12.11：(莱布尼茨判别法)若交错级数∑∞=+1n n 1n u (-1)满足：(1)数列{u n }单调递减；(2)∞n lim +→u n =0，则该级数收敛.证：交错级数的部分和数列{S n }的奇数项和偶数项分别为： S 2m-1=u 1-(u 2-u 3)-…-(u 2m-2-u 2m-1)，S 2m =(u 1-u 2)+(u 3-u 4)…+(u 2m-1-u 2m ). 由条件(1)知上述两式括号内的数皆非负，从而 数列{S 2m-1}递减，数列{S 2m }递增. 又由条件(2)知0<S 2m-1-S 2m =u 2m →0 (m →∞)，从而{[S 2m ,S 2m-1]}形成一个区间套， 由区间套定理，存在唯一的一个数S ，使得∞m lim +→S 2m-1=∞m lim +→S 2m =S.∴数列{S n }收敛，即该交错级数收敛.推论：若交错级数满足莱布尼茨判别法的条件，则该收敛级数的余项估计式为|R n |≤u n+1.二、绝对收敛级数及其性质概念：若级数各项绝对值所组成的级数|u 1|+|u 2|+…+|u n |+…收敛， 则称它为绝对收敛级数. 若级数收敛，但不绝对收敛，则称该级数为条件收敛级数.定理12.12：绝对收敛级数一定收敛.证：若级数|u 1|+|u 2|+…+|u n |+…收敛，由柯西收敛准则知， 对任意ε>0，总存在正数N ，使得对n>N 和任意正整数r ，有 |u n+1|+|u n+2|+…+|u n+r |<ε，∴|u n+1+u n+2+…+u n+r |<ε， ∴u 1+u 2+…+u n +…收敛. 得证！例1：证明：级数∑!n a n收敛.证：∵n1n ∞n u u lim++→=1n alim ∞n ++→=0<1,∴原级数绝对收敛.性质1：级数的重排：正整数列{1,2,…,n,…}到它自身的一一映射 f:n →k(n)称为正整数列的重排，相应地对数列{u n }按映射F:u n →u k(n)所得到的数列{u k(n)}称原数列的重排；同样的，级数∑∞=1n k(n)u 也是级数∑∞=1n nu 的重排. 记v n =u k(n)，即∑∞=1n k(n)u =v 1+v 2+…+v n +….定理12.13：若级数∑n u 绝对收敛，且其和等于S ，则任意重排后所得到的级数∑n v 也绝对收敛，且有相同的和数.证：不妨设∑n u 为正项级数，用S n 表示它的第n 个部分和， 记T m =v 1+v 2+…+v m 表示级数∑n v 的第m 个部分和.∵级数∑n v 是∑n u 的重排，∴对每一个v k 都等于某一ki u (1≤k ≤m).记n=max{i 1,i 2,…i m }, 则对任何m ，都存在n ，使T m ≤S n .由∞n lim +→S n =S 知，对任何正整数m 有T m ≤S, 即∑n v 收敛，其和T ≤S.又级数∑n u 也是∑n v 的重排，∴S ≤T ，推得T=S.若∑n u 为一般级数且绝对收敛，即正项级数∑n u 收敛，同理可推得 级数∑n v 收敛，∴级数∑n v 收敛. 令p n =2u u nn +，q n =2u u nn -；则当u n ≥0时，p n =u n ，q n =u n ；当u n <0时，p n =0，q n =-u n ≥0. 从而有 0≤p n ≤|u n |，0≤q n ≤|u n |，p n +q n =|u n |，p n -q n =u n . 又∑n u 收敛， ∴∑n p ,∑n q 都是正项的收敛级数，且S=∑n u =∑n p -∑n q .同理得：∑n v =∑'n p -∑'n q ，其中∑'n p ,∑'n q 分别是∑n p ,∑n q 的重排. ∴∑n v =∑'n p -∑'n q =∑n p -∑n q =S. 得证!性质2：级数的乘积：由a ∑n u =∑n au 可推得有限项和与级数的乘积：(a 1+a 2+…+a m )∑∞=1n n u =∑∑∞==1n n m1k k u a .继而可推广到无穷级数之间的乘积：设收敛级数∑n u =A, ∑nv=B.将两个级数中每一项所有可能的乘积列表如下：这些乘积u i v j按各种方法排成不同的级数，如按正方形顺序相加，得u1v1+u1v2+u2v2+u2v1+u1v3+u2v3+u3v3+u3v2+u3v1+…，如下表：或按对角线顺序相加，得u1v1+u1v2+u2v1+u1v3+u2v2+u3v1+…，如下表：定理12.14：(柯西定理) 设绝对收敛级数∑n u=A, ∑n v=B，则由它们中每一项所有可能的乘积u i v j按任意顺序排列所得到的级数∑n w绝对收敛，且其和等于AB.证：设级数∑n w,∑n u,∑n v的部分和分别为：S n =|w 1|+|w 2|+…+|w n |,A m =|u 1|+|u 2|+…+|u m |,B m =|v 1|+|v 2|+…+|v m |. 其中w k =kkj i v u (k=1,2,…,n)，m=max{i 1,j 1,i 2,j 2,…,i n ,j n }，则必有S n ≤A m B m .∵绝对收敛级数∑n u 与∑n v 的部分和数列{A m }和{B m }都有界， ∴{S n }有界，从而级数∑n w 绝对收敛. 利用绝对收敛级数的可重排性， 将绝对收敛级数∑n w 按正方形顺序重排如下： u 1v 1+(u 1v 2+u 2v 2+u 2v 1)+(u 1v 3+u 2v 3+u 3v 3+u 3v 2+u 3v 1)+…， 把每一括号作一项，得新级数：p 1+p 2+p 3+…+p m +…收敛， 且与∑n w 和数相同，其部分和P m =A m B m . 即有∞m lim +→P m =∞m lim +→A m B m =∞m lim +→A m ∞m lim +→B m =AB. 得证！例2：证明：级数1+2r+…+(n+1)r n +…(|r|<1)绝对收敛，并求其和.证：等比级数∑∞=0n n r =1+r+r 2+…+r n +…=r-11(|r|<1)，绝对收敛. 将(∑∞=0n n r )2的所有可能的项按对角线顺序相加得：1+(r+r)+(r 2+r 2+ r 2)+…+(r n +…+r n )+… (括号内共有n+1个r n ) =1+2r+…+(n+1)r n +…=2r)-(11. ∴所求级数绝对收敛，其和为2r)-(11.二、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法引理：(分部求和公式，也称阿贝尔变换)设εi ,v i (i=1,2,…,n)为两组实数， 若令T k =v 1+v 2+…+v k (k=1,2,…,n)，则有如下分部求和公式成立：∑=n1i ii vε=(ε1-ε2)T 1+(ε2-ε3)T 2+…+(εn-1-εn )T n-1+εn T n .证：以v 1=T 1, v k =(T k -T k-1) (k=2,3,…,n)分别乘以εk (k=1,2,…,n)，则∑=n1i ii vε=ε1v 1+ε2v 2+…+εn v n =ε1T 1+ε2(T 2-T 1)+…+εn (T n -T n-1)=(ε1-ε2)T 1+(ε2-ε3)T 2+…+(εn-1-εn )T n-1+εn T n .推论：(阿贝尔引理)若(1)ε1, ε2,…, εn 是单调数组；(2)对任一正整数k(1≤k ≤n)有|T k |=|v 1+v 2+…+v k |≤A ，记ε=kmax {|εk |},有∑=n1k k k v ε≤3εA.证：由(1)知ε1-ε2, ε2-ε3, …, εn-1-εn 同号，于是由分部求和公式及(2)有∑=n1k k kv ε=|(ε1-ε2)T 1+(ε2-ε3)T 2+…+(εn-1-εn )T n-1+εn T n |≤A|(ε1-ε2)+(ε2-ε3)+…+(εn-1-εn )|+A|εn |=A|(ε1-εn )|+ A|εn | ≤A(|ε1|+2|εn |)≤3εA.定理12.15：(阿贝尔判别法)若{a n }为单调有界数列，且级数∑n b 收敛, 则级数∑n n b a =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n +…收敛.证：由级数∑n b 收敛，依柯西准则，对任给正数ε, 存在正数N, 使 当n>N 时，对一切正整数p ，都有∑++=pn 1n k kb<ε.又数列{a n }单调有界，∴存在正数M ，使|a n |≤M ，根据阿贝尔引理有∑++=pn 1n k k kb a≤3εM. ∴级数∑n n b a 收敛.注：由阿贝尔判别法知，若级数∑n u 收敛，则下述两个级数：(1)∑p nn u (p>0)；(2)∑+1n u n 都收敛.定理12.16：(狄利克雷判别法)若数列{a n }单调递减，且∞n lim +→a n =0，又且级数∑n b 的部分和数列有界，则级数∑n n b a 收敛.例3：证明：若数列{a n }单调递减，且∞n lim +→a n =0，则级数∑sinnx a n 和∑cosnx a n 对任何x ∈(0,2π)都收敛.证：2sin 2x (21+∑=n 1k coskx )=sin 2x +2sin 2x cosx+2sin 2x cos2x+…+2sin 2xcosnx= sin 2x +(sin 23x-sin 2x )+…+[sin(n+21)x-sin(n-21)x]=sin(n+21)x. 当x ∈(0,2π)时，sin 2x ≠0, cot 2x ≠+∞.∴∑=n1k coskx =2x 2sinx 21n sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-21=21sinnxcot 2x +2cosnx -21.又-21cot 2x -1≤21sinnxcot 2x +2cosnx -21≤21cot 2x ，即当x ∈(0,2π)时，∑cosnx 的部分和数列有界，由狄利克雷判别法知级数∑cosnx an收敛.2sin 2x (∑=n 1k sinkx -21cot 2x )=2sin 2x sinx+2sin 2x sin2x+…+2sin 2x sinnx-cos 2x= (cos 2x-cos 23x) +…+[cos(n-21)x-cos(n+21)x]-cos 2x =-cos(n+21)x. 当x ∈(0,2π)时，sin 2x ≠0, cot 2x ≠+∞.∴∑=n1k sinkx =21cot 2x -2x 2sin x 21n cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2x 2sinx 21n cos -2x cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+.又- csc 2x =2x sin 1-≤2x 2sin x 21n cos -2x cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤2x sin1=csc 2x ，即当x ∈(0,2π)时，∑sinnx 的部分和数列有界，由狄利克雷判别法知级数∑sinnx an收敛.注：作为例3的特例，级数∑n sinnx 和∑ncosnx对一切x ∈(0,2π)都收敛.习题1、下列级数哪些是绝对收敛，条件收敛或发散的：(1)∑!n sinnx ；(2)∑+-1n n )1(n；(3)∑+n1p n n (-1)；(4)∑-n 2sin )1(n ；(5)∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n 1n (-1)n ；(6)∑++1n 1)ln(n (-1)n ；(7)n n 13n 1002n )1(∑⎪⎭⎫ ⎝⎛++-；(8)nn x !n ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛. 解：(1)∵!n sinnx <2n 1(n>4)；又级数∑2n1收敛，∴原级数绝对收敛. (2)∵1n n)1(limn ∞n +-+→=1≠0；∴原级数发散. (3)∵当p ≤0时，n1p n ∞n n(-1)lim++→≠0；∴原级数发散；当p>1时，n1p n n(-1)+≤p n 1；又级数∑p n1(p>1)收敛，∴原级数绝对收敛. 当0<p ≤1时，令u n =n1p n1+，则n1n u u +=1n 1p n 1p 1)(n n++++=1n 1pn1)1n (n 11n++⎪⎭⎫⎝⎛+<1n 1pn 1n n 11n+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=p1)n(n 1n 11n⎪⎭⎫ ⎝⎛++，∵np ∞n n 11lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→=e p>1, 1n 1∞n n lim ++→=1，∴当n 充分大时，npn 11⎪⎭⎫ ⎝⎛+>1n 1n +，即 p n 11⎪⎭⎫ ⎝⎛+>1)n(n 1n+，从而n1n u u +<1，即u n+1<u n ，∴{u n }在n 充分大后单调减. 又∞n lim +→u n =n1p ∞n n1lim++→=0(0<p ≤1)，由莱布尼兹判别法知原级数条件收敛.(4)∵n2n2sin)1(limn ∞n -+→=1, 且级数∑n2发散，∴原级数不绝对收敛. 又{n2sin }单调减，且n2sin lim ∞n +→=0，由莱布尼兹判别法知原级数条件收敛. (5)∵级数∑n(-1)n收敛，而级数∑n1发散，∴原级数发散.(6)∵1n 1)ln(n (-1)n ++>1n 1+(n ≥2)，且∑+1n 1发散，∴原级数不绝对收敛.又{1n 1)ln(n ++}单调减且1n 1)ln(n lim ∞n +++→=0，∴原级数条件收敛. (7)记u n =n13n 1002n ⎪⎭⎫⎝⎛++，则n ∞n u lim +→=13n 1002n lim ∞n +++→=32，∴原级数绝对收敛. (8)记u n =n n x !n ⎪⎭⎫ ⎝⎛，则n 1n ∞n u u lim ++→=n∞n 1n n x lim ⎪⎭⎫⎝⎛++→=|e x |， ∴当-e<x<e 时，n1n ∞n u u lim++→<1，原级数绝对收敛； 当x ≥e 或x ≤-e 时，n1n ∞n u u lim++→≥1，即当n 充分大时，|u n+1|≥|u n |>0，∴n ∞n u lim +→≠0，∴原级数发散.2、应用阿贝尔判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛性：(1)nn n x 1x n (-1)+⋅∑ (x>0)； (2)∑a n sinnx, x ∈(0,2π) (a>0)； (3)nnxcos )1(2n∑-, x ∈(0,π).解：(1)∵当x>0时，0<n n x 1x +<n n x x =1，且n n1n 1n x 1xx 1x ++++=1n 1n x 1x x ++++； 若0<x ≤1，则1n 1n x 1x x ++++≤1；若x>1，则1n 1n x1x x ++++>1， 即数列{n n x 1x +}单调有界. 又级数∑n(-1)n收敛，由阿贝尔判别法知原级数收敛. (2)∵当a>0时，数列{a n1}单调递减，且∞n lim +→a n 1=0， 又当x ∈(0,2π)时，∑=n1k sinkx ≤csc 2x，即∑sinnx 的部分和数列有界，由狄利克雷判别法知原级数收敛. (3)∵数列{n 1}单调递减，且∞n lim+→n1=0，又当x ∈(0,π)， ∑=n1k 2kkx cos (-1)=∑=+n1k k21cos2kx (-1)≤∑=n 1k k 2(-1)+∑=n1k k 2cos2kx (-1)≤21+∑=n1k cos2kx 21.又由2sinx ∑=n 1k cos2kx =4sin(2n+1)x-4sinx ，得∑=n1k cos2kx =2sinx4sinx -1)x 4sin(2n +≤sinx 2+2， 即对任意x ∈(0,π)，级数nx cos )1(2n ∑-有界， 根据狄利克雷判别法知原级数收敛.3、设a n >a n+1>0 (n=1,2,…)且∞n lim +→a n =0.证明：级数∑+⋯++na a a (-1)n211-n 收敛.证：由a n >a n+1>0 (n=1,2,…)且∞n lim +→a n =0知， {na a a n21+⋯++}单调减且趋于0，由莱布尼茨判别法知原级数收敛.4、设p n =2u u nn +，q n =2u u nn -.证明：若∑n u 条件收敛，则级数∑n p 与∑n q 都是发散的. 证：若∑n u 条件收敛，则∑n u 发散， ∴∑n p =∑+2u u nn =∑2u n +∑2u n，发散； ∑n q =∑-2u u nn =∑2u n -∑2u n，发散.5、写出下列级数的乘积：(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=1n 1-n 1-n 1n 1-n nx (-1)nx ； (2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=0n n 0n n!(-1)n!1. 解：(1)当|x|<1时，两个级数均绝对收敛，乘积按对角线一般项为：w n =k-n k-n n1k 1-k 1)xk -(n (-1)·kx +∑==xn-1∑=+n1k k-n 1)k -k(n (-1), 从而有w 2m =x2m-1∑=+2m1k k-2m 1)k -k(2m (-1)=[-2m+…+(-1)m (m 2+m)+2m+…+(-1)m-1(m 2+m)]=0； w 2m+1=x 2m∑+=++12m 1k 1k -2m 2)k -k(2m (-1)=x 2m[∑+=++12m 1k 1k -2m 1)k -k(2m (-1)+∑+=+12m 1k 1k -2m k (-1)]=-x 2m∑+=+12m 1k k-2m 1)k -k(2m (-1)+x2m∑+=+12m 1k 1k -2m k (-1)=- w 2m +x2m∑+=-12m 1k 1k k (-1)=x2m∑+=-12m 1k 1k k (-1)=x 2m(1-2+3-4+…-2m+2m+1)=(m+1) x 2m.∴⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=1n 1-n 1-n 1n 1-n nx (-1)nx =∑∞=+0m 2m 1)x (m . (|x|<1).(2)两个级数均绝对收敛，其乘积按对角线一般项为：w 0=1, w n =k)!-(n (-1)·k!1k -n nk ∑==n!1∑=nk k -n k)!-(n k!n!(-1)=n!1)-(1n=0(n=1,2,…) ∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=0n n0n n!(-1)n!1=1.注：二项式n 次幂展开式：(1-1)n=∑=nk k -n k)!-(n k!n!(-1).6、证明级数∑∞=0n n n!a 与∑∞=0n n n!b 绝对收敛，且它们的乘积等于∑∞=+0n nn!b)(a .证：n!a 1)!(n a limn 1n ∞n +++→=1n alim ∞n ++→=0,∴∑∞=0n n n!a 绝对收敛. 同理∑∞=0n nn!b 绝对收敛. 按对角线顺序，其乘积各项为：C 0=1=!0b)(a 0+, ……,C n =k)!-(n b k!a k -n n1k k ⋅∑==n!∑=n 0k k -n k k)!-(n k!n!b a =n!b)(a n +. ∴∑∞=0n n n!a ·∑∞=0n n n!b =∑∞=+0n nn!b)(a .7、重排级数∑+-n1)1(1n ，使它成为发散级数. 解：∑+-n 1)1(1n =1-21+31-41+…+n 1)1(1n +-+…=∑∞=1k 1-2k 1-∑∞=1k 2k 1，∑∞=1k 1-2k 1∵∑∞=1k 2k 1和∑∞=1k 1-2k 1是发散的正项级数，∴存在n 1，使u 1=∑=1n 1k 1-2k 1-21>1，又∑∞+=1n k 11-2k 1发散，∴存在n 2>n 1，使u 2=∑+=21n 1n k 1-2k 1-41>21，同理存在n 3>n 2，使u 3=∑+=32n 1n k 1-2k 1-61>31,…,u i+1=∑++=1i i n 1n k 1-2k 1-1)2(i 1+>1i 1+，可得原级数的一个重排∑∞=1i i u . ∵u i >i 1,且∑i 1发散，∴∑∞=1i i u 必发散.8、证明：级数∑-n)1(]n [收敛.证：记A L ={n|[n ]=L}, L=1,2,…，显然A L 中元素n 满足L 2≤n<(L+1)2,且A L 中元素个数为2L+1. 记U L =∑∈-L A n ]n [n )1(，则有u L =∑∈-LA n Ln )1(=(-1)L V L , 其中V L =∑∈L A n n 1，则V L -V L+1=∑=+2L0s 2s L 1-∑+=++1)2(L 0s 2s)1(L 1=∑=++++2Ls 22s])1s)[(L (L 1L 2-1L 2)1(L 12+++-2L 2)1(L 12+++≥∑=+++2L0s 22L]2)1[(L 1L 2-L 2)1(L 22++=222L]2)1[(L L]2)12[(L -1)L 2(L 2+++++=2222L]2)1[(L L)2-1-L 2L -L L 2(2++-+=222L]2)1[(L 1)-3L L (2++->0(当L ≥4时). ∴当L ≥4时, { V L }是单调下降数列. 当n ∈A L 时，21)(L 1+<n 1≤2L 1， ∴21)(L 1L 2++<V L ≤2L 1L 2+，可见∞L lim +→V L =0，从而∑∞=1L L u =∑∞=1L L LV (-1)收敛. 设级数∑∞=-1n ]n [n )1(的部分和为S N ，记级数∑∞=1n n u 的部分和为U M ，则S N =∑=-N1n ]n [n )1(，U M =∑=M1n n u ，任一个S N 均被包含在某相邻两个部分和U M , U M+1之间，即有|S N -U M |≤|U M+1-U M |，由级数∑∞=1n n u 收敛，知∞M lim +→U M+1-U M =0，∴∞N lim +→S N -U M =0，即极限∞N lim +→S N =∞N lim +→U M =∑∞=1n n u 存在，∴级数∑-n)1(]n [收敛.。
01-根式判别法
n2ห้องสมุดไป่ตู้
lim n
1
2
n
*拉贝判别法
1 1, 2
由根式判别法, 原级数收敛.
注 由于极限lim n (n!)2 很难求, 所以上例中的 (i) n (2n)!
采用比式法更方便.
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§2 正项级数
正项级数收敛性的一 般判别原则
*推论2
比式判别法和根式判别 法
积分判 别法
*拉贝判别法
设
un 为正项级数,
且
lim
n
n
un
l,
(i) l < 1 时级数收敛;
(ii) l > 1 时级数发散.
则当
*例10考察级数b c b2 c2 bn cn 的敛 散性，其中 0 b c 1.
§2 正项级数
正项级数收敛性的一 般判别原则
比式判别法和根式判别 法
积分判 别法
*拉贝判别法
第七讲
正项级数的根式判别法
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§2 正项级数
正项级数收敛性的一 般判别原则
比式判别法和根式判别 法
积分判 别法
*拉贝判别法
定理12.8（柯西判别法，或根式判别法）
设 un 为正项级数, 且存在某正数 N0 及常数l,
2
(1)n 2n
的敛散性.
解 由于
n 2 1
lim n un lim
n
n
2
n
1， 2
所以级数是收敛的.
若在(11)式中 l =1,则根式判别法仍无法对级数的敛
散性做出判断.
例如对
1 n2
数学分析数项级数
第十二章数项级数教学目的：1.明确认识级数是研究函数的一个重要工具； 2.明确认识无穷级数的收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的； 3.理解并掌握收敛的几种判别法，记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性。
教学重点难点：本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别；难点是一般级数敛散性的判别法。
教学时数：18学时§ 1级数的收敛性一.概念：1. 级数：级数，无穷级数；通项（一般项，第K项）,前T项部分和等概念（与中学的有关概念联系）.级数常简记为「2. 级数的敛散性与和：介绍从有限和入手，引出无限和的极限思想.以在中学学过的无穷等比级数为蓝本，定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念.例1讨论几何级数、厂的敛散性.（这是一个重要例题！）H-0» 1 一胪1解，时，.•. 级数收敛；tS lp 1,一时，/, -■■■.级数发散；弋1时，I ■ —■,丨^ 一■亠.，级数发散；■J -时,■-...-;, 级数发散.w 1综上，几何级数当且仅当「I 一时收敛，且和为■（注意■•从0开to 1-?始）.® 1例2讨论级数％'的敛散性.E如门解（利用拆项求和的方法）例3 讨论级数的敛散性.x_i 2”k1 2 3 起-1 月解以^ ,■■■ ' ' I .= 二T ：,—：・•因此，该级数收敛.y 9« 例4 讨论级数 弋 ° 的敛散性. t?5»-3解 _ ' 一 「-一 > -'. ，_ 一- J ,/ ■ ■,.级数发散.-3 5 53. 级数与数列的关系：对应部分和数列｛ ；｝,收敛=｛ ：｝收敛；对每个数列｛门｝,对应级数匸；，.，—,对该级数,有二二“. 于是，数列｛ 6｝收敛H 级数»- '、；、-三】收敛.»-2可见，级数与数列是同一问题的两种不同形式 .4. 级数与无穷积分的关系： 地 u vM-tl对每个级数，定义函数/ ' ；： - ■ l ■■- ■ ■-'匕-：.「，…，易见有 工叭二“妙.即级数可化为无穷积分.J TZ I 1综上所述，级数和无穷积分可以互化，它们有平行的理论和结果.可以用 其中的一个研究另一个. 二.级数收敛的充要条件一一Cauchy 准则：把部分和数列｛二｝收敛的Cauchy 准则翻译成级数的语言，就得到级数收敛的Cauchy 准则.Th （ Cauchy 准则）、一「收敛=■ ■■ ■-■ 和"：；N,= 由该定理可见，去掉或添加上或改变（包括交换次序）级数的有限项，不 会影响级数的敛散性.但在收敛时，级数的和将改变.去掉前：项的级 数表为或\‘"：.其中r .无穷积分可化为级数…十口十2汽，尸2412"相 _系（级数收敛的必要条件）收敛=•「...r 1 1曙1例5证明.级数收敛.证显然满足收敛的必要条件.令丿，-1 ,则当< 1 2时有, ,二 1 / 召 1 11」应用Cauchy准则时，应设法把式| |不失真地放大成只含巴而不含尹JU1的式子，令其小于三，确定巴.» 1例6 判断级数的敛散性.幺卷（验证•・：一'. 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件）2 1例7 （一一一但级数发散的例）证明调和级数发散.证法一（用Cauchy准则的否定进行验证）三.收敛级数的基本性质：（均给出证明）性质 1 ■■；：收敛，二一Const = 21.! ■''.收敛且有' ,•' * b= <工叭性质2 和收敛，=丄| 收敛，且有一'、二'二…性质3若级数二■- ’收敛,则任意加括号后所得级数也收敛，且和不变.§ 2 正项级数一. 正项级数判敛的一般原则：1. 正项级数：■',/;任意加括号不影响敛散性.2.基本定理:Th 1设飞''.则级数二、收敛= ■H - - r •且当' 发散时有二一‘，.•….1 •（证）3.正项级数判敛的比较原则：Th 2设二飞和\ 是两个正项级数,且H —先时有，.；、.,则I > V. 收敛，= 收敛；，> V「发散，=二，发散.（ii >是i >的逆否命题）3 1例1 考查级数的敛散性.幺宀沙1沪 1 2解有2 K1-K + l yr例2 设」■ —「..判断级数的敛散性•抵™-i a推论1 （比较原则的极限形式）设和是两个正项级数且一，则i > 「：「•+：；时,二和工,共敛散；i > —时，工•：收敛，-二，收敛；iii > -时,工,发散,= 丄‘，发散•（证）二.正项级数判敛法：1 .检比法：亦称为D' alembert判别法•用几何级数作为比较对象，有下列所谓检比法•Th 3设二'为正项级数，且“：及 > ：'.'. '厂时i>若•，- 收敛；■以+1-：,-二'发散•证i >不妨设J：时就有.:成立，有依次相乘，，即\ •由一',得二/收敛，=收敛•ii > 可见卜.往后递增,=」..亍「，推论（检比法的极限形式）设. 为正项级数，且.贝U i >孑< 1,=二・\ 收敛；i > i > 1或一？二-：：，=二「•发散.（证）例4判断级数2^ 2_5 +2_5_8 +亠2 5鮎（2 + 辿—1［）丄1 I7? 15 9 …1'5'?-<1+_4^-1））…的敛散性.•,=卫u1和4科4收敛.例5讨论级数»严a > .的敛散性.解因此,当：二〕〔时，匸I -；「时,、-■；工=■-时，级数成为发散2. 检根法（Cauchy判别法）:也是以几何级数作为比较的对象建立的判别法.Th 4设二「.：为正项级数,且"：及：:,当匕•几时，i > 若 << ■'1,=收敛；i > 若 <.<,-1,=工叫发散.（证）推论（检根法的极限形式）设/耳为正项级数，且.则1< 1,='■收敛；「-,=发散. （证）⑹ 工以心二充分大时,有J ■.：.例5研究级数的敛散性•21，收敛.3.积分判别法：设在区间［.「.；上函数「：.'且\ .则正项级数二…与积证 对一 •】「，.- 一且■/⑹ i 应 < f(n-V ). n =2,3,■■-乞m ）空f 了（Q 乂 ＜工血=工＜（伺，・ K-2 沪 2H-1例6讨论下列级数的敛散性：一. 直接比较判敛：对正项级数，用直接比较法判敛时乙〉0 ,抑 2 0 ,二一?— ■此+A a 对—.，有 i .：'■. | ■ ■:I-'-...;特别地,有..「时,有■. I ':Th 5,常用下列不等式: 1例1判断级数-一 的敛散性.令屮■+sffi a （3M a +5）乍一时，，（或■ 1）.设数列 有界•证明 刃； < 十8. 设• -.例4 设■,-且数列 -'■：有正下界.证明级数 [•理1.设「’.：；’「 ■- ■,—-…」. 例 5「'.若' ，则二；-'.；又 \「n 2 n—科一n-+co .设二■.,〔..若级数二和二.，收敛，则级数 工q 收敛.设*, ■. ■, ■.证明⑴ 二;；■,〈5,=二、• ；⑵和\?-： 之一或两者均发散时,•'*二仍可能收敛；⑶ 心!<宀，二；1 ■,- Zi\.⑴ 心充分大时，）■.,.解 解例3证证证例6 例7证例2判断级数二，1的敛散性,其中-:. 「时,_/a;- --■-发散.:」：时,有」； 收敛;⑵取「“7 -'.n⑶八十• I.二.利用同阶或等价无穷小判敛例8判断下列级数的敛散性⑴D';⑵y ⑶;⑷；⑸_ .JS-4 ~M-1例9判断下列级数的敛散性原理：常用判定级数收敛的方法证明I. 门或I' '.例10 证明例11证明辄岁+器+…+ l^-j-0 -例12设比\ | 「一；.若收敛,... .M—证对V^>0, 3K t Y k >K,由收敛，有「:：，.匕-| ■ .■< -:.£ --, 即：―工—二;（上十1加軌+■丈％\ +叽+―十肚汁十"第H即-「一' ■''.于是,；:匸时总有匚丄亠、—. 此即i .. .§ 3 一般项级数一.交错级数：交错级数,Leibniz型级数二.绝对收敛级数及其性质：1. 绝对收敛和条件收敛：以Leibniz级数为例，先说明收敛「：绝对收敛. Th 2 （绝对收敛与收敛的关系）二.，「，二收敛•证（用Cauchy准则）.利用级数判敛求极限：<1一般项级数判敛时，先应判其是否绝对收敛.例2判断例1中的级数绝对或条件收敛性.2. 绝对收敛级数可重排性：⑴ 同号项级数：对级数 \人，令” 2 I 0,如£0. H 2 [ 0, >0.则有i > 丄和工\均为正项级数,且有〉.| J和'-f —；ii > 、|一「' ,心=匕.⑵同号项级数的性质：Th 3 i >若丄. ：十'：：,贝U *十⑺，工° fii >若条件收敛,则工飞——,工.证i > 由'. | I 和'-| . , i > 成立.ii > 反设不真,即；.《和—中至少有一个收敛,不妨设[/,：+“.由“=讥-叫，5 =入一“以及二.：+门和二、收敛,—二.：十匸.而7 -r ,= '丄: +,==,与二、条件收敛矛盾.三.级数乘积简介：1. 级数乘积：级数乘积,C auchy积.[1] P20—21.2 .级数乘积的Cauchy定理：四.型如的级数判敛法：Th （Abel判别法）设i >级数二一，收敛，ii > 数列单调有界. 则级数•八「宀收敛.证（用Cauchy收敛准则,利用Abel引理估计尾项）设二",由二收敛,与对V J?）0?3N, N时，对悝已N ,有■..・•.■■- 「.于是当.X时对V有1立扛 “（|如|坨|% | ）＜ 3后.由Cauchy 收敛准则,= 二［收敛.2.Dirichlet 判别法：Th 8（ Dirichlet ）设i ＞级数 '二、的部分和有界，ii ＞数列二］单调趋于零.则级数二―收敛. 证 设厂、则 「.",二对「.，有iU \1：川.不妨设 0 ,= 对L :•.「•.此时就有5＞点£辺（|蘇+訂+2任+』|〕＜6沁.由Cauchy 收敛准则，二，.收敛.取一；、\0 ,二一,Ii",由Dirichlet 判别法，得交错级数 工卜〕'咯 收敛.可见Leibniz 判别法是Dirichlet 判别法的特例.由Dirichlet 判别法可导出 Abel 判别法.事实上,由数列 单调有界, — ，［收敛，设、一；1 一「.考虑级数 ^2- - ：-■,1“\\ ,①-㊁单调趋于零，止有界，= 级数 I... - 收敛，又级数收敛,=级数二匕m “收敛.和匸_：r 对：r3 . xl L 2 2丿（菲 + _）工_亦［些一丄）k -sinf n 斗丄）k ,例4设4 \0.证明级数 收敛. 证1 , sinC^ + -^x.「二：|.丄： 时 ，：;::.一产 I, == ' ........... 、' '2 2仙 可见|:：时,级数、.；■：；.的部分和有界.由Dirichlet 判别法推得级数\: 收敛.同理可得级数数:| --收敛.例3若J-.；： — '上一■:.交错级数是否必收敛M-1未必.考查交错级数 ,11111 12吩3 W片那这是交错级数，有〔.但该级数发散.因为否则应有级数,在Leibniz 判别法中,条件6单调是不可少的.判断级数 1111-- -------- ~~--- 十 ---- — ------ 1 -- +V2-1 75 + 1 ^3-1 石+1的敛散性.解 从首项开始，顺次把两项括在一起，注意到级数' =,= 所论级数发散.*_W判断级数的敛散性.,= 所论级数绝对收敛,故收敛.（用D-判法亦可）.O 〉0〕的绝对及条件收敛性.「.时为Leibniz 型级数, 时，绝对收敛.条件收敛；由该例可见■ t ■ ——I. — =―+ VII丽-1 丽+1注意到 收敛.而例5 设级数二-■...收敛.证明级数 % 收敛..■- -.由 Abel 或 Dirichlet 判法,.收敛.例6 .工=门,判断级数、'… 从的敛散性.、 =-,现证级数川攵敛：因一让时不1 | siti 7 | '又一 \ J,由Dirichlet 判法,—级数、一 收敛. 故本题所论级数发散.例7 判断级数的绝对收敛性.卄r . t> r /口 「〃匸人,Isiii wxL sin 1 1 cos 2nx 解 由Dirichlet 判法,得级数收敛但占 |H2n2n仿例6讨论，知本题所论级数条件收敛.例8 设级数、「 J …绝对收敛，、飞收敛.证明级数 二si 收敛.证先证数列收敛.事实上, 工 I J ： 「•： 1 I r 收敛 J ；；.收敛.i-1令二、】：，则数列二.收敛，故有界.设 』丨・•」，于是由Abel 变换, 有冷」”Jt-i■: - 」/ : - f '；1八 、_. .\ . ■:., （或 _ !■: : .1■. ■. ■■.i-li-2i-L数列二.和 V 攵敛,= 数列收敛,三部分和数列匚「收敛.而 工| 二人■-.，：三 工」：-：一收敛.又址■丿1 - cos2>ix2w1 匚曲2竝工例9 设数列：收敛,级数三：二一…收敛M-F\ ...收敛•S科证 注意到:，—、-,,=it-im-；-S. ■■■ - ■- ■■: L- ― r 「收敛JUOJtU证法二 £(-1)叫£2 ,逊％厂…+耳\ 0,(烈例10设一匚\ 证明级数厂」M-1a 、++ ■ • ■ + 口证法一 由g \ :,\〔,此，所论级数是Leibniz 型级数,故收敛• -收敛•因Dirichlet 判法, 工收敛.证明级数f ：、：.由。
第十二章 数项级数82页
2n
n12n;
n1
( 1 )n 11 1 1 1( 1 )n 1;
n 1
co n sco 1sco 2 sco n s.
n 1
例2. 下列各式均为函数项级数
( 1 )n 1xn 1 1 x x2 ( 1 )n 1xn 1 , xR.
n 1
anxna0a 1xa2x2anxn ,| x |1.
1
1 2n1
而 ln i m Snln i m 1 212n111 2
故
1
n1(2n1)(2n1)
12，即该级数收敛.
1
例5. 证明调和级数 n 1 n 是发散的.
证 调和级数的部分和有：
S1 1，
S2
S21
1 1， 2
S 4 S 2 2 1 1 2 1 31 4 1 1 2 1 2 1 2 2 ，
n 1
n 1
且 cun cun.
n1
n1
n
证 u n 的部分和为 S n u k，
n 1
k 1
cu n 的部分和为
n 1
n
n
Sn cuk c uk cSn,
k1
k1
故 ln i m Sn ln i m cn Scln i m Sn
从而 cun cun 同时收敛或同时发散.
3. 收敛级数的余项
收敛级数 u n 的和S与其部分和Sn的差SSn n 1
称为收敛级数的余项，记为
Rn SSn um mn1
显然
lim
n
Rn
0.
二、级数收敛的柯西准则
定理12.1：级数 u n 收敛的充分必要条件是
n1
0 , N 0 , 当 m > N , 对 于 任 意 的 正 整 数 p 都 有
《数学分析》第十二章 数项级数
第十二章 数项级数 （ 1 4 时 ）§1 级数的收敛性（ 3 时 ）一． 概念：1．级数：级数,无穷级数;通项 (一般项, 第n 项), 前n 项部分和等概念 (与中学的有关概念联系).级数常简记为∑nu.2. 级数的敛散性与和:介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思想.以在中学学过的无穷等比级数为蓝本, 定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念 . 例1 讨论几何级数∑∞=0n nq的敛散性.解 当1||<q 时, ) ( , 11110∞→-→--==∑=n q q q q S n nk kn . 级数收敛;当1||>q 时, , =n S 级数发散 ;当1=q 时, +∞→+=1n S n , ) (∞→n , 级数发散 ; 当1-=q 时, ()n n S )1(121-+=, ) (∞→n , 级数发散 . 综上, 几何级数∑∞=0n n q 当且仅当 1||<q 时收敛, 且和为q-11( 注意n 从0开始 ). 例2 讨论级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性. 解 用链锁消去法求. 例3 讨论级数∑∞=12n n n的敛散性. 解 设 ∑=-+-++++==nk n n k n n n k S 11322212322212, =n S 211432221 232221++-++++n n nn ,1322212121212121+-++++=-=n n n n n n S S S12211211211→--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+n n n , ) (∞→n .⇒ n S →2, ) (∞→n .因此, 该级数收敛. 例4 讨论级数∑∞=-1352n n n的敛散性. 解52, 5252352⋅>⇒=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散.3. 级数与数列的关系:⑴设∑nu对应部分和数列{n S }, 则∑nu收敛 ⇔ {n S }收敛;⑵对每个数列{n x },对应级数∑∞=--+211)(n n nx xx ,对该级数,有n S =n x .于是,数列{n x }收敛⇔级数 ∑∞=--+211)(n n nx xx 收敛.可见,级数与数列是同一问题的两种不同形式. 4. 级数与无穷积分的关系:⑴⎰∑⎰+∞∞=+==111)(n n nf dx x f ∑∞=1n nu, 其中 ⎰+=1n nn f u . 无穷积分可化为级数;⑵对每个级数, 定义函数 , 2 , 1 , 1 , )(=+<≤=n n x n u x f n , 易见有∑∞=1n nu=⎰+∞1)(dx x f . 即级数可化为无穷积分.综上所述,级数和无穷积分可以互化,它们有平行的理论和结果.可以用其中的一个研究另一个.二 级数收敛的充要条件 —— Cauchy 准则 ：把部分和数列{n S }收敛的Cauchy 准则翻译成级数的语言，就得到级数收敛的Cauchy 准则.Th1 ( Cauchy 准则 )∑nu收敛⇔N n N >∀∃>∀ , , 0ε和∈∀p N ⇒ε | |21<++++++p n n n u u u .由该定理可见,去掉或添加上或改变(包括交换次序) 级数的有限项, 不会影响级数的敛散性. 但在收敛时, 级数的和将改变.去掉前 k 项的级数表为∑∞+=1k n nu或∑∞=+1n kn u.推论 (级数收敛的必要条件)∑nu收敛⇒ 0lim =∞→n n u .例5 证明2-p 级数∑∞=121n n 收敛 . 证 显然满足收敛的必要条件.令 21nu n =, 则当 2≥n 时,有 ∑∑==+++<+-=+-+<+=+++pk pk p n n n n p n n k n k n k n u u u 11221 ,111))(1(1 )(1 | | 注: 应用Cauchy 准则时，应设法把式 |∑=+pk kn u1|不失真地放大成只含n 而不含p 的式子，令其小于ε，确定N . 例6 判断级数∑∞=11sinn nn 的敛散性. (验证 0→/n u . 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件)例7 证明调和级数∑∞=11n n发散. 证法一 (用Cauchy 准则的否定进行验证) 证法二 (证明{n S }发散.利用不等式n nn ln 1 1211 )1ln(+<+++<+ . 即得+∞→n S ，) (∞→n . )注: 此例为0→n u 但级数发散的例子.三． 收敛级数的基本性质：（均给出证明）性质1∑nu收敛,a 为常数⇒∑nau收敛,且有∑nau=a∑nu(收敛级数满足分配律)性质2∑nu和∑nv收敛⇒)(n nv u±∑收敛,且有)(n n v u ±∑=∑n u ±∑nv.问题:∑nu、∑nv、)(n nv u±∑三者之间敛散性的关系.性质3 若级数∑nu收敛, 则任意加括号后所得级数也收敛, 且和不变.(收敛数列满足结合律)例8 考查级数 ∑∞=+-11)1 (n n 从开头每两项加括号后所得级数的敛散性. 该例的结果说明什么问题 ?Ex [1]P 5—7 1 — 7.§2 正项级数（ 3 时 ）一. 正项级数判敛的一般原则 :1.正项级数: n n S u , 0>↗; 任意加括号不影响敛散性.2. 基本定理: Th 1 设0≥n u .则级数∑nu收敛⇔)1(0=n S .且当∑nu发散时,有+∞→n S ,) (∞→n . ( 证 )正项级数敛散性的记法 . 3. 正项级数判敛的比较原则: Th 2 设∑nu和∑nv是两个正项级数, 且N n N >∃ , 时有n n v u ≤, 则 ⅰ> ∑nv <∞+ , ⇒ ∑nu<∞+ ;ⅱ>∑nu=∞+, ⇒∑nv=∞+ . ( ⅱ> 是ⅰ>的逆否命题 )例1 考查级数∑∞=+-1211n n n 的敛散性 .解 有 , 2 11 012222nn n n n <+-⇒>+- 例2 设)1( 0π><<q q p . 判断级数∑∞=+111sin n n n q p 的敛散性.推论1 (比较原则的极限形式) 设∑n u 和∑n v 是两个正项级数且l v u nnn =∞→lim,则ⅰ> 当∞+<< 0l 时,∑nu和∑nv共敛散 ; ⅱ> 当0=l 时 ,∑nv<∞+⇒∑nu<∞+ ;ⅲ> 当+∞=l 时,∑nv=∞+⇒∑nu=∞+ . ( 证 )推论2 设∑nu和∑nv 是两个正项级数,若n u =)(0n v ，特别地，若 n u ～n v ,) (∞→n ， 则∑nu<∞+⇔∑nv=∞+.例3 判断下列级数的敛散性:⑴∑∞=-121n n n ; ( n n -21～ n 21) ; ⑵ ∑∞=11sin n n ; ⑶ ∑∞=+12) 11 ln(n n .二 正项级数判敛法:1．比值法：亦称为 D ’alembert 判别法.用几何级数作为比较对象,有下列所谓比值法. Th 3 设∑nu为正项级数, 且0 N ∃ 及 0 , ) 10 ( N n q q ><<时ⅰ> 若11<≤+q u u nn ⇒∑n u <∞+; ⅱ> 若11≥+nn u u ⇒∑n u =∞+ . 证 ⅰ> 不妨设 1≥n 时就有11<≤+q u u nn 成立, 有, , , , 12312q u u q u u q u u n n ≤≤≤- 依次相乘⇒11-≤n n q u u , 即 11-≤n n qu u . 由 10<<q , 得∑<nq∞+⇒∑n u <∞+.ⅱ> 可见}{n u 往后递增⇒ , 0→/n u ) (∞→n . 推论 (比值法的极限形式) 设∑n u 为正项级数, 且 q u u nn n =+∞→1lim. 则ⅰ> 当q <1⇒∑nu<∞+; ⅱ>当q >1或q =∞+⇒∑nu=∞+. ( 证 )注: ⑴倘用比值法判得∑nu=∞+, 则有 , 0→/n u ) (∞→n .⑵检比法适用于n u 和1+n u 有相同因子的级数, 特别是n u 中含有因子!n 者. 例4 判断级数 ()()+-+⋅⋅-+⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+)1(41951)1(32852951852515212n n的敛散性. 解 1 434132lim lim1<=++=∞→+∞→n n u u n nn n ⇒∑+∞<.例5 讨论级数∑>-)0( 1x nx n 的敛散性.解 因为) ( , 1)1(11∞→→+⋅+=-+n x n n x nxx n u u n n n n . 因此, 当10<<x 时,∑+∞<; 1>x 时, ∑+∞=; 1=x 时, 级数成为∑n , 发散.例6 判断级数∑+nn n n !21的敛散性 .注: 对正项级数∑n u ，若仅有11<+nn u u ，其敛散性不能确定. 例如对级数∑n 1和∑21n,均有 11<+nn u u ，但前者发散, 后者收敛.Ex [1]P 16 1⑴―⑺， 2⑴⑵⑷⑸，3，4，12⑴⑷；2. 根值法 ( Cauchy 判别法 ): 也是以几何级数作为比较的对象建立的判别法.Th 4 设∑nu为正项级数,且 0 N ∃ 及 0>l , 当 0N n >时,ⅰ> 若 1 <≤l u n n ⇒∑nu<∞+;ⅱ> 若1 ≥n n u ⇒∑nu =∞+. ( 此时有 , 0→/n u ) (∞→n .) ( 证 ) 推论 (根值法的极限形式) 设∑nu为正项级数,且 l u n n n =∞→lim . 则ⅰ> 当1 <l 时⇒∑nu<∞+; ⅱ> 当1 >l 时⇒∑nu=∞+ . ( 证 )注: 根值法适用于通项中含有与n 有关的指数者.根值法优于比值法. (参阅[1]P 12)例7 研究级数 ∑-+nn2) 1 (3的敛散性 .解 1212)1(3l i m l i m <=-+=∞→∞→nnn n nn u ⇒∑+∞<. 例8 判断级数∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 和∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 的敛散性 .解 前者通项不趋于零 , 后者用根值法判得其收敛 . 3． 积分判别法：Th 5 设在区间) , 1 [∞+上函数0)(≥x f 且↘. 则正项级数∑)(n f 与积分⎰+∞1)(dx x f 共敛散.证 对] , 1[ , 1 A R f A ∈>∀ 且 ⎰-=-≤≤nn n n f dx x f n f 1, 3 , 2 , )1()()(⇒⎰∑∑∑=-===-≤≤mmn m n mn n f n f dx x f n f 12112, )()1()()( . 例9 讨论 -p 级数∑∞=11n pn的敛散性. 解 考虑函数>=p xx f p ,1)(0时)(x f 在区间 ) , 1 [∞+上非负递减. 积分⎰+∞1)(dxx f当1>p 时收敛, 10≤<p 时发散⇒级数∑∞=11n pn当1>p 时收敛,当10≤<p 时发散,当0≤p 时,01→/pn , 级数发散. 综上,-p 级数∑∞=11n pn当且仅当1>p 时收敛. 例10 讨论下列级数的敛散性:⑴ ∑∞=2) ln ( 1n p n n ; ⑵ ∑∞=3)ln ln ( ) ln ( 1n pn n n .Ex [1]P 16 1⑻，2⑶⑹，5，6，8⑴―⑶，11；§3 一般项级数 ( 4 时 )一. 交错级数: 交错级数, Leibniz 型级数.Th 1 ( Leibniz ) Leibniz 型级数必收敛,且余和的符号与余和首项相同, 并有1 ||+≤n n u r . 证 (证明部分和序列 } {n S 的两个子列} {2n S 和} {12+n S 收敛于同一极限. 为此先证明} {2n S 递增有界. ))()()()(22122124321)1(2++-+-+-++-+-=n n n n n u u u u u u u u S ≥ n n n S u u u u u u 22124321)()()(=-++-+-- ⇒n S 2↗; 又 1212223212)()(u u u u u u u S n n n n ≤------=-- , 即数列} {2n S 有界. 由单调有界原理, 数列} {2n S 收敛 . 设 )( , 2∞→→n s S n .)( , 12212∞→→+=++n s u S S n n n . ⇒s S n n =∞→lim .由证明数列} {2n S 有界性可见 , ∑∞=+≤-≤111)1 (0n n n u u . 余和∑∞=++-nm m m u 12)1(亦为型级数 ⇒余和n r 与1+n u 同号, 且1 ||+≤n n u r .例1 判别级数∑∞=>-1)0( ) 1 (n nnx n x 的敛散性.解 当10≤<x 时, 由Leibniz 判别法⇒∑收敛;当1>x 时, 通项0→/,∑发散.二. 绝对收敛级数及其性质:1. 绝对收敛和条件收敛: 以Leibniz 级数为例, 先说明收敛⇒/ 绝对收敛.Th 2 ( 绝对收敛与收敛的关系 ) ∑∞+< ||na, ⇒∑na收敛.证 ( 用Cauchy 准则 ).注: 一般项级数判敛时, 先应判其是否绝对收敛. 例2 判断例1中的级数绝对或条件收敛性 . 2. 绝对收敛级数可重排性: ⑴ 同号项级数：对级数∑∞=1n nu，令⎩⎨⎧≤>=+=. 0 , 0 , 0 , 2||n n n n n n u u u u u v ⎩⎨⎧≥<-=-= . 0 , 0 ,0 , 2||n n n n n n u u u u u w 则有 ⅰ>∑nv和∑nw均为正项级数 , 且有|| 0n n u v ≤≤和|| 0n n u w ≤≤;ⅱ> n n n w v u +=|| , n n n w v u -= . ⑵ 同号项级数的性质: Th 3 ⅰ> 若∑||nu +∞< ， 则∑n v +∞< ，∑n w +∞< .ⅱ> 若∑nu条件收敛 , 则∑nv+∞= ,∑nw+∞= .证 ⅰ> 由|| 0n n u v ≤≤和|| 0n n u w ≤≤, ⅰ> 成立 .ⅱ> 反设不真 , 即∑nv和∑nw中至少有一个收敛 , 不妨设∑nv+∞< .由 n u = n v n w - , n w =n v n u - 以及 ∑nv+∞<和∑n u 收敛 ⇒∑n w +∞<.而n n n w v u +=||⇒∑||nu+∞<, 与∑n u 条件收敛矛盾 .⑶ 绝对收敛级数的可重排性: 更序级数的概念. Th 4 设∑'nu 是∑nu的一个更序. 若∑||nu+∞<,则||∑'nu +∞<,且∑'n u =∑n u . 证 ⅰ> 若n u 0≥,则∑'nu 和∑nu是正项级数,且它们的部分和可以互相控制.于是,∑nu+∞< ⇒∑'nu +∞<, 且和相等. ⅱ> 对于一般的n u , ∑nu=∑nv ∑-nw⇒∑'nu = ∑'nv ∑'-nw .正项级数∑'nv 和∑'n w 分别是正项级数∑nv和∑nw的更序. 由∑||nu+∞<, 据Th 1 ,∑nv和∑nw收敛. 由上述ⅰ>所证,有∑'nv +∞<,∑'nw +∞<, 且有∑nv =∑'nv , ∑n w ∑n u =∑'n w ⇒∑nu =∑'nu .由该定理可见, 绝对收敛级数满足加法交换律.是否只有绝对收敛级数才满足加法交换律呢 ? 回答是肯定的 . Th 5 ( Riemann ) 若级数∑nu条件收敛, 则对任意实数s ( 甚至是∞± ),存在级数∑nu的更序∑'nu , 使得∑'nu =s .证 以Leibniz 级数∑∞=+-111) 1 (n n n为样本, 对照给出该定理的证明. 关于无穷和的交换律, 有如下结果: ⅰ> 若仅交换了级数∑nu的有限项,∑nu的敛散性及和都不变.ⅱ> 设∑'nu 是的一个更序. 若N ∈∃K , 使 nu在∑'nu 中的项数不超过K n +,106则∑'n u 和∑n u 共敛散, 且收敛时和相等 .三. 级数乘积简介:1. 级数乘积: 级数乘积, Cauchy 积. [1] P 20—22.2．级数乘积的Cauchy 定理:Th 6 ( Cauchy ) 设∑||n u +∞<, ||∑n v +∞<, 并设∑n u =U , ∑n v =V . 则 它们以任何方式排列的乘积级数也绝对收敛, 且乘积级数的和为UV . ( 证略 ) 例3 几何级数1 || ,1112<+++++=-r r r r rn 是绝对收敛的. 将()2∑n r 按Cauchy 乘积排列, 得到 +++++++++++=++个12222)()()(1)1(1n n n n r r r r r r r r r ++++++=n r n r r )1(3212 .Ex [1] P 24—25 1⑴—⑻ ⑽，4； 31(总Ex ) 2，3，4⑴⑵；四. 型如∑n n b a 的级数判敛法：1．Abel 判别法：引理1 (分部求和公式，或称Abel 变换)设i a 和i b m i ≤≤1)为两组实数.记) (1 ,1m k b B k i i k ≤≤=∑=. 则∑∑=-=++-=m i m i m m i i i i i B a B a a b a 1111)(.证 注意到 1--=i i i B B b , 有∑∑==-+-=m i m i i i ii i b a B B a b a 12111)()()()(123312211--++-+-+=m m m B B a B B a B B a B a107 m m m m m B a B a a B a a B a a +-++-+-=--11232121)()()() )( ( . )(111111∑∑-=+-=+--=+-=m i i i i m m m m m i i i i B a a B a B a B a a. 分部求和公式是离散情况下的分部积分公式. 事实上,⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a ba x a dt t g d x f dx x g x f )()()()( ⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a x a b a x a x df dt t g dt t g x f )()()()(⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b a b ax a x df dt t g dt t g b f )()()()(. 可见Abel 变换式中的i B 相当于上式中的⎰x a dt t g )(, 而差i i a a -+1相当于)(x df , 和式相当于积分. 引理 2 ( Abel )设i a 、i b 和i B 如引理1 .若i a 单调 , 又对m i ≤≤1,有M B i ≤||，则||1∑=mi i i b a ) ||2|| (1m a a M +≤.证 不妨设i a ↘.||1∑=m i i i ba ∑-=++-≤111||||||m i m m i i i B a B a a ) ||2|| ( ||)(1111m m i m i i a a M a a a M +≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≤∑-=+. 推论 设i a , 0≥i a ↘,(m i ≤≤1 ). i b 和i B 如引理1. 则有||1∑=m i i i ba 1Ma ≤.( 参引理2证明 ) Th 7 (Abel 判别法)设ⅰ> 级数∑n b 收敛,ⅱ> 数列}{n a 单调有界.则级数∑n n b a 收敛. 证 (用Cauchy 收敛准则,利用Abel 引理估计尾项)设K a n ≤||, 由∑n b 收敛 ⇒对N n N >∃>∀ , , 0ε时 , 对N ∈∀p , 有108 ε | |21<++++++p n n n b b b .于是当N n >时对p ∀有()εεK a a b a p n n pn n k k k 3 ||2|| 11≤+≤++++=∑.由Cauchy 收敛准则 ⇒∑n n b a 收敛.2. Dirichlet 判别法:Th 8 ( Dirichlet)设ⅰ> 级数∑n b 的部分和有界, ⅱ> 数列}{n a 单调趋于零. 则级数∑n n b a 收敛.证 设∑==n i n n bB 1, 则M B n ||≤ ⇒对p n , ∀, 有M B B b b b n p n p n n n 2 ||||21≤-=+++++++ .不妨设n a ↘0 ⇒对εε<⇒>∀∃>∀|| , , , 0n a N n N . 此时就有εM a a M b a P n n pn n k k k 6|)|2|(|2 11<+≤++++=∑.由Cauchy 收敛准则,∑n n b a 收敛. 取n a ↘0,∑n b ∑+-=1) 1(n ,由Dirichlet 判别法, 得交错级数∑+-n n a 1) 1(收敛 . 可见Leibniz 判别法是Dirichlet 判别法的特例.由Dirichlet 判别法可导出 Abel 判别法. 事实上, 由数列}{n a 单调有界 ⇒}{n a 收敛, 设) ( , ∞→→n a a n .考虑级数∑∑+-n n n b a b a a )(,a a n -单调趋于零,n B 有界 ⇒级数∑-n n b a a )(收敛,又级数∑n b a 收敛⇒级数∑∑+-n n n b a b a a )(收敛.109 例4 设n a ↘0.证明级数∑nx a n sin 和∑nx a n cos 对)2 , 0(π∈∀x 收敛.证 ++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑= 2s i n 23s i n 2s i n c o s 212s i n 21x x x kx x n k x n x n x n ) 21sin() 21 sin() 21 sin(+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++， ) 2 , 0 (π∈x 时，02sin ≠x ⇒∑=+=+nk x x n kx 12sin 2) 21 sin(cos 21. 可见) 2 , 0 (π∈x 时, 级数∑kx cos 的部分和有界. 由Dirichlet 判别法推得级数∑nx a n cos 收敛 . 同理可得级数数∑nx a n sin 收敛 .Ex [1]P 24 — 25 2， 3.。
数学分析第12章数项级数
第十二章数项级数目的与要求：1。
使学生掌握数项级数收敛性的定狡和收敛级数的性质，掌握等比级数与调和级数的敛散性；2.掌握判别正项级数敛散性的各种方法，包括比较判别法，比式判别法，根式判别法和积分判别法.重点与难点：本章重点是数项级数收敛性的定爻，基本性质和判别正项级数敛散性的各种方法；难点则是应用柯西收敛准则判别级数的敛散性.第一节级数的收敛性一级数的概念在初等数学中，我们知道：任意有限个实数％,“2,…,心相加，其结果仍是一个实数，在本章将讨论无限多个实数相加所可能出现的情形及特征。
如1 1 1 1- + — + —+ ■-• + ― + …2 222' 2n 从直观上可知，其和为1.又如，l + (-l) + l + (-l) + ∙∙. 其和无意义；若将其改写为：(1-1) + (1-1) + (1-1) +…则其和为：0;若写为：1 + [(—1) + 1] + [(—1) + 1] +…则和为：1.（其结果完全不同）。
问题：无限多个实数相加是否存在和；如呆存在，和等于什么。
1级数的概念定狡1 给定一个数列{u ll},将它的各项依次用加号“ + ”连接起来的表达式W l +w2 +M3 + ∙∙∙ + W zr+ ••・称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中心称为级数（1）的通项•级数（1）简记为：力“"，或工X。
π-!2级数的部分和S ll =ZHk =II l +U2+ ■ • ■ + H n称之为级数工的第"个部分和，简称部分和•/!-13级数的收敛性定狡2 若数项级数的部分和数列｛S,r｝收敛于S （即肿卢” =S）,则称数项级数π-l "th收敛，称S为数项级数的和，记作π-l ∕r-lS = U iI =Ml +M2 +w3 + ∙∙∙ + U n+ …• n-1若部分和数列｛S"｝发散，则称数项级数发散. π-i例1 试讨论等比级数（几何级数）∞Y aqZ = a + aq + aq2 + …+ + …，(a ≠ 0)n-l的收敛性.解：见P2.例2 讨论级数1 1 1--- + ------- 1 ----- F 1-2 2-3 3-4 的收敛性.1+ ------ + ∕Z(∕Z +解：见P2。
《数学分析》 第十二章 数项级数 1
(
1 2m
1
1 2m
2
1 2m1
)
每项均大于1
2m项
2
即前m 1项大于(m 1) 1 2
级数发散 .
由性质4推论,调和级数发散.
五、小结
常数项级数的基本概念
基本审敛法
1.由定义,若sn s,则级数收敛;
2.当lim n
un
0,则级数发散;
3.按基本性质.
思考题
设 bn 与 cn 都收敛，且bn an cn
lim
n
sn不存在
发散
综上
n0
aq
n
当q 当q
1时,收敛 1时, 发散
例 2 判别无穷级数
1 1
1
的收敛性.
13 35
(2n 1) (2n 1)
解
un
(2n
1 1)(2n
1)
1( 1 2 2n
1
1 2n
), 1
sn
1 1
1
13 35
(2n 1) (2n 1)
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
1 (4)2 39
1 (4)n2 ]} 39
n 2,3,
于是有
lim
n
Pn
1
lim
n
An
A1
(1
1
3
4
)
A1 (1
3) 5
2 3. 5
9
雪花的面积存在极限（收敛）．
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．
例 1 讨论等比级数(几何级数)
aqn a aq aq2 aqn (a 0)
n0
的收敛性.
数学分析(下册)(华东师大第三版)
!!第十二章数项级数内容提要!一!定义给定一个数列!!""#对它的各项依次用$!%号连接起来的表示式!"!!#!&&!"!&&!称为数项级数或无穷级数’也常简称级数(#其中!"称数项级数!的通项#数项级数!记作"$"$"!"或"!"#二!级数收敛的柯西准则级数!收敛的充要条件是)任给!#%#总存在自然数%#使得当&#%和任意的自然数’#都有$!&!"!!&!#!&!!&!’$%!反之#级数!发散的充要条件是)存在某正数!%#对任何自然数%#都存在&%#%和自然数’%#有$!&%!"!!&%!#!&!!&%!’%$&!由此易得)若级数!收敛#则&’()’!$*)+*,三!正项级数收敛性的判别方法"-正项级数!"!!#!&!!"!&&收敛的充要条件是)部分和数列!(""有界#即存在某正数)#对一切自然数"有("%)##-比较判别法.-比较原则的极限形式/-达朗贝尔判别法’或称比较判别法(0-比较判别法的极限形式*!*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#1-柯西判别法’或称根式判别法(2-根式判别法的极限形式3-积分判别法4-拉贝判别法"%-拉贝判别法的极限形式四!一般项级数收敛性的判别方法"-级数"$!"$收敛#则级数"!"绝对收敛#若"!"收敛#"$!"$发散#称级数"!"为条件收敛##-莱布尼兹判别法.-阿贝尔判别法/-狄利克雷判别法典型例题与解题技巧$例!%!设"$"$"*#"收敛#证明)"$"$#*"!"&)"收敛’*"#%(#分析!本题主要考查正项级数的判敛#要求灵活运用正项级数的几种判敛法#证明!%%*"!"&)"%"#*#"!""&)#’("易知)"$"$#""&)#"收敛’积分判别法(#又"$"$#*#"收敛#所以"$"$#"#*#"""&)#’("收敛#由比较判别法知"$"$#*"!"&)"收敛’*"#%(#$例"%!设+’,(在点,+%的某一邻域内具有连续的二阶导数#且&’(,’%+’,(,+%#证明)级数"$"$"+’""(绝对收敛#分析!本题考查级数与之前所学知识的综合运用#级数的绝对收敛的判定#证明!由&’(,’%+’,(,+%#又+’,(在,+%的某邻域内具有连续的二阶导数#可推出+’%(+%#!+’-%(+%将+’,(在,+%的某邻域内展成一阶泰勒公式+’,(++’%(!+’-%(,!"#+.’"(,#+"#+.’"(,#!’"在%与,之间(又由题设+’.,(在属于邻域内包含原点的一个小闭区间连续#因此()#%#使$+’.,($)!#于是$+’,($+"#$+.’"($,#)!#,#令,+""#则$+’""($)!#*""##因为"$"$"""#收敛#故"$"$"+’""(绝对收敛#*"*第十二章!数项级数历年考研真题评析!$题!%!’中山大学##%%1年(级数"$"$"*"收敛的充要条件是)对任意的正整数序列/"#/##&#/"#&都有&’("’!$’*"!"!*"!#!&!*"!/"(+%#分析!本题考查对级数收敛的定义的理解程度#证明!必要性!因为"$"$"*"收敛#所以对*!#%#(%#%#当"#%及*0+%#有$*"!"!*"!#!&!*"!’$%!特别地$*"!"!*"!#!&!*"!/"$%!所以&’("’!$’*"!"!*"!#!&!*"!/"(+%充分性!用反证法#若"*"发散#则(!%#%#*%#%#("#%及自然数’#使$*""!"!&!*"!’$&!%特别地%"+"#(""#"及自然数/"使$*"!"!&!*""!/"$&!%%#+(56!""##"#("##%##及自然数/##使$*""!"!&!*"#!/#$&!%&&&&这与&’("’!$’*"!"!*"!#!&!*"!/"(+%的假设矛盾#$题"%!’同济大学##%%1年(证明)级数"$"$"’7"("8’),"*,,%都是条件收敛的#分析!本题考查条件收敛的判断#莱布尼兹判别法与比较判别法的灵活运用#证明!不妨设,#%#则(%,#%#当"#%,时#%%,"%###此时8’),"#%#且8’),!""为单调递减数列#且&’("’!$8’),"+%#由莱布尼兹判别法知"$"$"’7"("8’),"收敛#而当"#%,时#’7"("8’),"+8’),"#%#&’("’!$8’),","+"#又"$"$","发散#由比较判别法知"$"$"8’),"也发散#所以*,,%#级数"$"$"’7"("8’),"都是条件收敛的#课后习题全解!!!9"!级数的收敛性-"-证明下列级数的收敛性#并求其和数)*#*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#’"(""*11"1*""1"""*"11&1"’0"2/(’0"1"(1&+’#(’"#1".(1’"##1".#(1&1’"#"1"."(1&+’.(""$"$""’"1"(’"1#(+’/(""$"$’"1!#2#"1!"1!"(+’0(""$"$#"2"#"-!分析!’"(进行积分和差的转化#’/(以某一项拆分为两项的方式重新组合原式#!解!’"(("$"3$"""’032/(’031"($"0"3$""’"032/2"031"($"0’"2"0"1"(于是($&’("’$("$"0#故级数收敛且其和为"0-’#(("$"3$""’"#31".3($"3$"""#31"3$""".3$"#2"#"1""2"#1".2"."1""2".$.#2"#"2"#4."于是($&’("’$("$.##故级数收敛且其和为.#-’.(("$"3$"""3’31"(’31#($"#"3$"","3’31"(2"’31"(’31#(-$"#,"#2"’"1"(’"1#(-于是($&’("’$("$"/#故级数收敛且其和为"/-’/(("$"3$""’31!#2#31!"1!3($"3$""’31!#231!"(2"3$""’31!"2!3($’"1!#2!#(2’"1!"2"($"2!#1""1!#1"1!"于是("$&’("’$("$"2!##故级数收敛且其和为"2!#-’0(("$#("2("$"3$""#32"#32"2"3$""#32"#3$"1"3$#"#32"#32"2"3$""#32"#3$"1"3$""2"##32#"2"#"*$*第十二章!数项级数$"1"2"#"2""2"#2#"2"#"$.2"#"2#2#"2"#"’"&#(于是($&’("’$("$.#故级数收敛且其和为.-.#-证明)若级数"!"发散#5,%#则"5!"也发散-!证明!因为级数"!"发散#即(!%#%#对任何%+:1#总有&%+:1和’%+:1使6!&%1"1!&%1#1&1!&%1’%6&!%所以65!&%1"15!&1#1&15!&%1’%6$6566!&%1"1!&%1#1&1!&%1’%6&656!%于是"5!"亦发散-..-设级数"!"与"7"都发散#试问"’!"17"(一定发散吗.又若!"与7"’"$"###&(都是非负数#则能得出什么结论.!解!若"!"#"7"都发散#则"’!"17"(不一定发散-例如#""和"’2"(是发散的#但"’"1’2"((是收敛的+""和"#是发散的#"’"1#($".亦是发散的-若"!"#"7"都发散且!&%#7"&%#则"’!"17"(发散-由柯西收敛准则#知(!%#!"#%#对任何的%+:1#总存在&%#’%#&"+:1#使6!&%1"1!&%1#1&1!&%1’%6$!&%1"1!&%1#1&1!&%1’%&!%和67&"1"17&"1#1&17&"1’"6$7&"1"17&"1#1&17&"1’"&!"故6’!&%1"17&%1"(1’!&%1#17&%1#(1&1’!%1’%17&%1’%(6$’!&%1"1!&%1#1&1!&%1’%(1’7&%1"17&%1#1&7&%1’%(&!%即"’!"17"(必发散--/-证明)若数列!*""收敛于*#则级数"$"$"’*"2*"1"($*"2*#!分析!单项收敛则和也收敛#!证明!由已知条件知#数列!*""收敛于*#即&’("’$*"$*#故("$"3$""’*32*31"($*"2*"1"从而($&’("’$("$&’("’$’*"2*"1"($*"2&’("’$*"1"$*"2*-0-证明)若数列!8""有&’("’$8"$$#则’"(级数"’8"1"28"(发散+’#(当8",%时#级数""8"2"8"1’("$"8"-分析!’#(中间项相互抵消即可#证明!’"(因为("$"3$""’831"283($8"1"28"($&’("’$("$&’("’$’8"1"28"($$*%*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#故"’8"1"28"(发散-’#(当8",%时("$"3$"""832"831’("$"8"2"8"1"即($&’("’$("$"8"2&’("’$"8"1"$"8"故级数""8"2"8"1’("收敛于"8"--1-应用第/#0题的结果求下列级数的和)’"(""$"$"’*1"2"(’*1"(+!!!!!!’#(""$"$’2"("1"#"1""’"1"(+’.(""$"$#"1"’"#1"(,’"1"(#1"--!分析!’"(积化和差将原式拆分#简化了问题#’.(识记&’("’$""#$%#!解!’"(因为""$"$"’*1"2"(’*1"($""$"$"*1"2"2"*1’("而数列"*1"2!""收敛于%#故由第/题的结论#可知""$"$"’*1"2"(’*1"($"*1"2"2%$"*’*,%(’#(因为""$"$’2"("1"#"1""’"1"($""$"$,2’2"(""2’2’2"("1""1"(-而数列2’2"("!""收敛于%#故""$"$’2"("1"#"1""’"1"($2’2"(""2%$"’.(因为""$"$#"1"’"#1"(,’"1"(#1"-$""$"$,""#1"2"’"1"(#1"-而数列""#1!""收敛于%#故""$"$#"1"’"#1"(,’"1"(#1"-$""#1"2%$"#-2-应用柯西准则判别下列级数的敛散性)’"("8’)#"#"+!!!!’#("’2"("2""##"#1"+’.("’2"(""+’/("""1"!#-分析!’"(运用柯西准则进行判别#’/(注意取"%时#应考虑合适的取法#*&*第十二章!数项级数解!’"(由于!6!&1"1!&1#1&1!&1’6$68’)#&1"#&1"18’)#&1##&1#1&8’)#&1’#&1’6!!%"#&1"1"#&1#1&1"#&1’$"#&2"#&1’%"#&因此#对任意的!#%-取&$&;<#",-!使得当&#%及*’+:1#由上式就有6!&1"1!&1#1&1!&1’6%!成立#故由柯西准则可推出"8’)#"#"收敛-’#(因&’("’$’2"("2""##"#1"$"##"/#故取!%$"/-对任一%+:1#总存在&%#%#和’%$"#有6!&%1"6$’&%1"(##’&%1"(#1"#"/$!%由柯西准则可知"’2"("2""##"#1"发散-’.(由于数列"!""单调减小#故6!&%1"1!&%1#1&1!&%1’6$"&%1"2"&%1#1&1’2"(’2""&%1’%"&%1"%"&%因此#*!#%#取%$",-!1"当&%#%及’+:1时#都有6!&%1"1!&%1#1&1!&%1’6%!成立-由柯西准则可知级数"’2"("""收敛-’/(取!%$"!##*%+:1#及取&%$#%#’%$&%#则当&%#%时#就有"3$"’%"’&%13(1’&%13(!##"3$"’%"#’&%13(!#$"’%3$""!#’&%13(#"3$"’%"!#’&%1&%($"!##由柯西准则知"""1"!#发散-/3-证明级数"!"收敛的充要条件是)任给正数!#存在某正整数%#对一切"#%总有6!%1!%1"1&1!"6%!-!分析!由结论6!%1&1!"6%"的形式推出用柯西准则证明#!证明!必要性!若"!"收敛#则由柯西准则可知*!#%#(%"+:1使得*"#&#%"时有*’*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#6!&1"1!&1#1&1!"6%!取%#%"1"#则*"#%#有6!%1!%1"1&1!"6%!充分性!若*!#%#(%+:1#*"#%#总有6!%1!%1"1&!"6%!/#则*&#%及’+:1有!6!&1"1!&1#1&1!&1’6)6!%1!%1"1&1!&1’616!%1!%1"1&1!&6%!/#1!/#$!由柯西准则知级数"!"收敛-!小结!"/#和"都是表示无穷小的数#形式不一样但含义一样#.4-举例说明)若级数"!"对每个固定的’满足条件&’("’$’!"1"1&1!"1’($%#此级数仍可能不收敛-!解!调和级数"""对每一个固定自然数’#有&’("’$""1"1""1#1&1""1’(’$&’("’$""1"1&’("’$""1#1&1&’("’$""1’$%但该级数""#是发散的-/"%-设级数"!"满足)加括号后级数"3$"$’!"31"1!"31#1&1!"31"(收敛’""$%(#且在同一括号的!"31"#!"31##&#!"31"符号相同#证明"!"亦收敛-分析!证明"!"收敛需要证其和表达式("收敛于某数(#证明!因为级数"3$"$’!"31"1!"31#1&1!"31"(收敛#则有&’("’$’!"31"1!"31#1&1!"31"($%所以*"+:1#总存在3+:1#使"$"319’")9)"31"2"3(时#有("$":$""!"$":$"32"’!":1"1!":1#1&1!":1"(1’!"31"1!"31#1&!"319($(-32"1’!"31"1!"31#1&1!"319(其中(-32"表示加括号级数的前32"项之和-当"’$时#32"’1$#从而有($&’("’$("$&’("’$(-32"1&’("’$’!"31"1!"31#1&1!"319($&’("’$(-32"故"!"收敛#其和不变-小结!此题根据3’1$时和(3与(31"的极限一样得出结论#9#正项级数-"-应用比较原则判别下列级数的敛散性)*(*第十二章!数项级数’"("""#1*#+!!!!!!!!!!’#("#"8’)#."+’.("""1"!#+’/(""$#$"’&)"("+’0("’"2=;8""(+’1(""""!"+’2("’"!*2"(’*#"(+’3(""$#$"’&)"(&)"+’4("’*""1*2""2#(’*#%(-!分析!’"(将原式同""#比较得出结果#’#(考虑8’)#."*#"$#’#.("#’1(识记"""数列是发散的#’2(先做代换;$""#!解!’"(因为%)""#1*#%""#而正项级数"""#收敛#所以级数"""#1*#收敛-’#(因为%%#"8’)#."$#’(#."!’"’$(而正项级数"#’(#."收敛#所以级数"#"8’)#."收敛-’.(因为""1"!#&""1"&%而正项级数"""1"发散#所以级数"""1"!#发散-’/(因为%%"’&)"("%"#"!’"#>#(而正项级数""#"收敛#所以级数""’&)"("收敛-’0(因为"2=;8""$"#"’("#’"’1$(而正项级数""#"#收敛#所以级数""2=;8"’("收敛-’1(因为&’("’$"!"$"#故(%+:1#当"#%时#有"!"%#即"""!"#"#"而正项级数""#"发散-所以级数""""!"发散-’2(因为&’("’$"!*2"""令;$"000000"&’(;’%*;2";$&’(;’%*;&)*"$&)**)*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#而正项级数"""发散#所以级数"’"!*2"(发散-’3(因为"’&)"(&)"$">&)’&)"(&)"$"’>&)"(&)’&)"($""&)’&)"(%""#而正项级数"""#收敛#所以级数""’&)"(&)"收敛-’4(因为&’("’$*""1*2""2#’"#"(#$&’("’$’*"#"2*2"#"(#’"#"(#令;$"#000000"&’(;’%1*;2*2;’(;#$’#&)*(#而正项级数"’"#"(#收敛#所以级数"’*""1*2""2#(收敛--#-用比式判别法或根式判别法鉴定下列级数的敛散性)’"(""*.*&*’#"2"("0+!!!’#("’"1"(0"%"+’.("’"#"1"("+’/(""0""+’0(""##"+’1("."*"0""+’2("8*’(""’其中*"’*’"’$(+*"#8#*#%#且#*,8(-分析!’/(运用到&’(,’%’"1,(",$>知识点#’2(根据*18不同取值情况考虑#解!’"(因为!&’("’$!"1"!"$&’("’$"*.*&*’#"1"(’"1"(0*"0"*.*&*’#"2"($&’("’$#"1""1"$#所以由比式判别法知正项级数""*.*&*’#"2"("0发散-’#(因为&’("’$!"1"!"$&’("’$’"1#(0"%"1"*"%"’"1"(0$&’("’$"1#"%$1$所以由比式判别法知正项级数"’"1"(0"%"发散-’.(因为&’("’$"’"#"1"(!"$&’("’$"#"1"$"#%"所以由根式判别法知正项级数"’"#"1"("收敛-’/(因为&’("’$!"1"!"$&’("’$’"1"(0’"1"("1"*"""0$&’("’$"’"1""("$">%"所以由比式判别法知正项级数""0""收敛-’0(因为&’("’$"!!"$&’("’$""!##$&’("’$’"!"(##$"#%"**!*所以由根式判别法知正项级数""##"收敛-’1(因为&’("’$!"1"!"$&’("’$."1"’"1"(0’"1"("1"*"".""0$&’("’$.’"1""("$.>#"所以由比式判别法知正项级数".""0""发散-’2(因为&’("’$"!!"$&’("’$8*"$8*所以由根式判别法知#当*#8时#正项级数"’8*"("收敛+当*%8时#正项级数"’8*"("发散--.-设"!"和"7"为正项级数#且存在正数%%#对一切"#%%#有!"1"!")7"1"7"-证明)若级数"7"收敛#则级数"!"也收敛+若"!"发散#则"7"也发散-!分析!运用比式判别法进行证明即可#!证明!若"7"收敛#由题意#知当"#%%时#有!"1"!")7"1"7"#即%%!"1"7"1")!"7")&)!%%1"7%%1"故!"1")!%%1"7%%1"*7"1"!’"#%%(而!%%1"7%%1"是常数#所以由比式判别法知正项级数"!"亦收敛-若正项级数"!"发散#同理可证正项级数"7"亦发散-./-设正项级数"*"收敛#证明"*#"亦收敛+试问反之是否成立.!证明!由正项级数"*"收敛可知!!&’("’$*"$%即(%%+:1#当"#%%时#有!!%)*"%"从而%)*#"%*"由比较原则可知#正项级数"*#"收敛#但反之不一定成立#例如正项级数"""#收敛#但正项级数"""发散--0-设*"&%#"$"###&#且!"*""有界#证明"*#"收敛-!分析!注意条件$!"*""有界%#可由此设%)"*"%)再进行证明#!证明!由题意可知()#%#*"+:1#有%)"*"%)*!!*即%)*"%)"从而%)*#"%)#"#而级数"""#收敛#由比较原则可知级数"*#"亦收敛-.1-设级数"*#"收敛#证明"*""’*"#%(也收敛-!证明!对*"#%及任意正整数"#有%%*"")"#*#"1""’(#而"*#"#"""#都收敛#故"*""亦收敛--2-设正项级数"!"收敛#证明级数"!"!"1!"也收敛-!分析!注意运用!*8)"#’*18(#!证明!对!"#%#及任意正整数"#有%)!"!"1!")"#’!"1!"1"(而级数"!"收敛#故由比较原则知级数"!"!"1!"收敛-.3-利用级数收敛的必要条件#证明下列等式)’"(&’("’$""’"0(#$%+!!!’#(&’("’$’#"(0*"0$%!’*#"(-!解!’"(设!"$""’"0(##则正项级数"!"$"""’"0(#是收敛的#这是因为&’("’$!"1"!"$&’("’$’"1"("1",’"1"(0-#*’"0(#""$&’("’$""1""1"’(""$%故由柯西准则可知&’("’$!"$&’("’$""’"0(#$%-’#(设!"$’#"(0*"0则正项级数"!"$"’#"(0*"0是收敛的#这是因为&’("’$!"1"!"$&’("’$’#’"1"((0*’"1"(0**"’#"(0$&’("’$’#"1"(’#"1#(*"1"$%故由柯西准则知&’("’$!"$&’("’$’#"(0*"0$%--4-用积分判别法讨论下列级数的敛散性)’"("""#1"+!!!!!!!’#("""#1"+’.(""$."""&)"&)’&)"(+’/(""$.$""’&)"(’’&)&)"(<#!分析!’.(运用积分判别法#’/(分别讨论’1<的不同取值情况#!解!’"(设+’,($",#1"*"!*则+’,(在,"#1$(上为非负递减函数#而11$"?,"1,#$#/故由积分判别法知"""#1"收敛-’#(设+’,($,,#1"则+’,(在,"#1$(上为非负递减函数#而&’(,’$,*,,#1"$"由11$",,#1"?,发散#于是由积分判别法知"""#1"发散-’.(设+’,($",&),&)’&),(则+’,(在,.#1$(上为非负递减#而11$.+’,(?,$11$.?,,&),&)’&),($11$&)&).?!!$1$故由积分判别法知""$."""&)"&)’&)"(发散-’/(设+’,($",’&),(’’&)&),(<则+’,(在,.#1$(上非负递减-$(若’$"#这时有11$.?,,&),’&)&),(<$11$&)&).?!!<当<#"时级数收敛#当<)"时级数发散-%(若’,"#这时有11$.?,,’&),(’’&)&),(<$11$&)&).?!>’’2"(!!<对任意的<#当’2"#%时#取;#"#有&’(!’$!;*">’’2"(!!<$%即该积分收敛#当’2"%%时#有&’(!’$!;*">’’2"(!!<$1$即该积分发散-即对任意的<#当’#"时级数收敛+当’%"时级数发散-/"%-设!*""为递减正项数列#证明)级数""$"$*"与"#&*#&同时收敛或同时发散-!分析!首先证明(")="#即可证="收敛2("收敛+证发散也可类似此法#!证明!设正项级数"*"的部分和为("#正项级数"#&*#&的部分和为="#则由于!*""为递减正项数列#即有*#!*("$*"1’*#1*.(1’*/1*01*11*2(1&1*")*"1’*#1*.(1’*/1*01*11*2(1&’*#91&1*#91"2"()*"1#*#1&1#9*#9$=9!’")#9(故若正项级数"#&*#&收敛#则正项级数"*"亦收敛-反之当"	时#则("&*"1*#1’*.1*/(1&1’*#92"1"1&1*#9(#"#’*"1#*#1/*/1&1#9*#9($"#=9故若正项级数"*"收敛#则正项级数"#&*#&亦收敛-发散的情况类似可证-!小结!需要对"的取值分类讨论#.""-用拉贝判别法判别下列级数的敛散性)’"(""*.*&*’#"2"(#*/*&*’#"(*"#"1"+’#(""0’,1"(’,1#(&’,1"(!’,#%(-!解!’"(因为!&’("’$""2!"1"!’("$&’("’$,"2"*.*&*’#"1"(#*/*&*’#"1#(*’#"1.(*#*/*&*’#"(*’#"1"("*.*&*’#"2"(-$&’("’$"’1"10(’#"1#(’#"1.($.##"所以由拉贝判别法知级数收敛-’#(因为!&’("’$""2!"1"!’("$&’("’$""2’"1"(0’,1"(’,1#(&’,1"1"(’,1"(’,1#(&’,1"(",-0$&’("’$",,1"1"$,所以由拉贝判别法知+当,#"时级数收敛+当,)"时级数发散--"#-用根式判别法证明级数"#2"2’2"("收敛#并说明比式判别法对此级数无效-!分析!此题是说明比式与根式判别法并不是在任何地方都有效的例子#!证明!设!"$#2"2’2"("#则&’("’$"!!"$&’("’$"#""#’2"(!"$"#由根式判别法知"!"收敛#但&’("’$!"1"!"$&’("’$#2"1#’2"("不存在#所以比式判别法对此级数无效-*$!*.".-求下列极限’其中’#"()’"(&’("’$"’"1"(’1"’"1#(’1&1"’#"(,-’+’#(&’("’$"’"1"1"’"1#1&1"’#’("-!解!’"(因为’#"#"""’收敛-由柯西准则知*!#%#(%+:1#当"#%时#有"’"1"(’1"’"1#(’1&1"’#"(’%!所以&’("’$"’"1"(’1"’"1#(’1&1"’#"(,-’$%’#(因为’#"#级数""’"收敛#由柯西准则知*!#%#(%+:1使得对一切"#%时#有"’"1"1"’"1#1&1"’#"%!所以&’("’$"’"1"1"’"1#1&1"’#’("$%/"/-设*"#%#证明数列!’"1*"(’"1*#(&’"1*"("与级数"*"同时收敛或同时发散-!分析!由题意可知两数列有相同敛散性#只需证明一种即可#!证明!由于数列!’"1*"(’"1*#(&’"1*"("与级数"&)’"1*"(有相同的敛散性-因而本题只需证"*"和"&)’"1*"(的敛散性相同-这两者之一若收敛#必有&’("’$*"$%且当&’("’$*"$%时&’("’$&)’"1*"(*"$"故由比较原则的推论可知"&)’"1*"(与"*"有相同的敛散性-故数列!’"1*"(’"1*#(&’"1*"("与级数"*"有相同的敛散性-!小结!注意运用比较原则的推论#9.!一般项级数-"-下列级数哪些是绝对收敛#条件收敛或发散的)’"("8’)","0+!!!!!!!’#("’2"("""1"+’.("’2"(""’1""+’/("’2"("8’)#"+’0("’2"("!"1"’("+’1("’2"("&)’"1"("1"+*%!*’2("’2"("#"1"%%."1’(""+’3(""0,’(""-!分析!’.(需要将’分为’2%#%-#’%#"-#’"#1$(三段讨论#’1(通常是先证绝对收敛#再证条件收敛#!解!’"(因为8’)","0)""0而"""0收敛#所以"8’)","0为绝对收敛-’#(因为&’("’$’2"("""1"$",%所以"’2"("""1"发散-’.(当’)%时&’("’$’2"(""’1"",%故这时级数发散-当’#"时#由于’2"(""’1""$""’而"""’收敛#故这时级数绝对收敛-当%%’)"时#令!!!"$""’1""则!"1"!"$"""’"1""(’’"1"(""1"%"""’"1""(’"""1"$"""’"1"(’"1""(’而"1"’("’’>’#"#"""’"1"(’"!’"’$(从而当"充分大时#有!"1"%!"即!!""为单调递减#又有&’("’$!"$%故由定理"#-""’莱布尼茨判别法(可知#级数"’2"(""’1""在%%’)"时条件收敛-’/(因为’2"("8’)#"$#"’"’$(而"""发散#即原级数不是绝对收敛级数#但8’)#!""是单调递减且&’("’$8’)#"$%-所以由莱布尼茨判别法可知"’2"("8’)#"条件收敛-’0(由于"""发散#"’2"(""!"收敛#故"’2"("!"1"’("发散-’1(因为&)’"1"("1"#""1"*&!*。
级数的收敛性
un (unk11 L unk ) vk .
n1
k 1
k 1
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§1 级数的收敛性
级数的收敛性
于是, 若{Sn }为收敛级数 un 的部分和数列, 则级数
vk的部分和数列 Snk 是Sn的一个子列. 由于
Sn
收敛,且
lim
n
Sn
S.
故由子列性质，
§1 级数的收敛性
级数的收敛性
1 (1) 1 (1) L
中，如果将其写作
(1 1) (1 1) (1 1) L 0 0 0 L ,
结果肯定是0，而写作
1 [(1) 1] [(1) 1] L 1 0 0 0 L ,
则结果是1.两个结果的不同向我们提出了两个基本 问题:“无限个数相加”是否存在“和”; 如果存在, “和”等于什么? 由此可见,“无限个数相加”不能 简单地与有限个数相加作简单的类比,需要建立新
S 称为数
项级数(1)的和,记作 S u1 u2 un , 或 S un . n1
若 {Sn }是发散数列,则称数项级数(1)发散.
例1 讨论等比级数(也称几何级数)
a aq aq2 L aqn L
(3)
的收敛性(a≠0).
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§1 级数的收敛性
§1 级数的收敛性
级数的收敛性
例6 判别下列级数的敛散性： 1 1 1 1 1 1 L 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 4 1
解 考虑加括号的级数
1 2 1
1 2
1
1 3 1
1 3 1
其一般项
1 4 1
1 4
12第十二讲 绝对收敛级数的性质-级数的重排
数学分析第十二章数项级数级数的重排第十二讲数学分析第十二章数项级数相应地称级数()1k n n u ∞=∑为级数(5)的重12.(7)n v v v ++++ 记作:()f n k n →称为正整数列的重排, →()(){}:{}n n k n k n u F u u u 按映射所得到的数列称为我们把正整数列{1,2,…,n , …}到它自身的一一映射1.级数的重排相应地对于数列原数列的重排..排(),n k n v u =为叙述上的方便,记()1k n n u ∞=∑即将级数12(5)n u u u ++++数学分析第十二章数项级数定理12.13第一步设级数(5)是正项级数, 部分和. =+++12m mv v v σ 表示级数(7)的第m 个部分和. ≤≤(1)k v k m ki u 的重排, 所以每一应等于某一(1).k m ≤≤记12max{,,,},m n i i i = *证只要对正项级数证明了定理的结论,对绝对收敛级数就容易证明定理是成立的.所得到的级数(7)绝对收敛且和也为S .设级数(5)绝对收敛, 且其和等于S , 则任意重排后用S n 表示它的第n 个用因为级数(7)为级数(5)数学分析第十二章数项级数即级数(7)收敛, 且其和≤.S σ由于级数(5)也可看作级数(7)的重排,所以也有S σ，≤.S σ=从而得到这就证明了对正项级数定理成立. 第二步证明(7)绝对收敛.且绝对收敛,∑nv收敛, 则对于任何,m .m n n S σ≤都存在，使,lim S S n n =∞→由于,,m m S σ≤所以对任何正整数都有设级数(5)是一般项级数则由级数(6)收敛第一步结论, 可得即级数(7)是绝对收敛的.数学分析第十二章数项级数0,0,0;n n n n u p u q ≥=≥=当时0,0,0.n n n n n u p q u u 当时从而<===-≥要把一般项级数(5)分解成正项级数的和. 第三步证明绝对收敛级数(7)的和也等于S .一步的证明, 收敛的正项级数重排后和不变, 根据第所以先为此令,2n nn u u p +=. (8)2n n n u u q -=0,n n p u ≤≤0, (9)n n q u ≤≤,n n n p q u +=. (10)n n n p q u -=∑∑,n n p q 知都是收敛的正项级数. 因此由级数(5)绝对收敛, 及(9)式,数学分析第十二章数项级数==-∑∑∑.n n n S u p q 对于级数(5)重排后所得到的级数(7), ''=-∑∑∑,nnnv p q ''∑∑∑∑,,nnnnp q p q 显然分别是正项级数的重排,办法, 把它表示为两个收敛的正项级数之差其和不变, 从而有''=-=-=∑∑∑∑∑.nnnnnv p q p qS 也可按(8)式的数学分析第十二章数项级数注定理12.13只对绝对收敛级数成立. 数重排后得到的新级数不一定收敛,不一定收敛于原来的和.当重排后, 既可以得到发散级数,设其和为A , 即+-=-+-+-+-+=∑111111111(1)1.2345678n A n 1,2乘以常数后有例如级数()1111n n n ∞+=-∑条件收敛,条件收敛级即使收敛, 也更进一步, 条件收敛级数适也可以收敛于任何事先指定的数.数学分析第十二章数项级数+-=-+-+=∑1111111(1).224682n A n +-++-+=1111131.325742A 将上述两个级数相加, 得到的是(2)的重排:我们也可以重排(2)使其发散(可参考《数学分析学习指导书(下册)》）.。
12.1数项级数资料
Sn
S n1 )
S
S
0
例
判别级数
(
n
)n 的敛散性
n1 n 1
解
lim
n
an
lim ( n )n n n 1
lim 1 n (1 1 )n
1 0 e
n
级数
(
n
)n
n1 n 1
发散
例
判别级数
1
的敛散性
n1 n
解 由于其 n 项部分和 Sn 满足
Sn 1
1 2
1 3
1 n
n 1 n
lim
m
Snm
lim (
m
Sn
Sm ' )
Sn
S'
an
收敛
n1
说明: 此性质说明: 截去级数前面的有限项不改变级
数的敛散性
这同样说明: 在级数的前面增加有限项也不改变 级数的敛散性
性质 2 改变级数 an 的有限项 , 不改变级数的 n1
敛散性
性质 3 若级数 an , bn 收敛 , 则有
级数收敛:
an
n1
lim
n
Sn
(
级数
an
n1
的和是其部分和数列
S n 的极限
)
例
讨论级数
1
的敛散性
n1n(n 1)
解
Sn
n1
k1k(k 1)
n1 1
( )
k1 k k 1
1 1 n1
lim
n
Sn
1
所以原级数收敛 , 且有
1
1
n1n(n 1)
例
讨论等比级数
数学分析·下定义及定理
第十二章第十二章 数项级数数项级数 1、级数的收敛性、级数的收敛性定义1 给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式”号连接起来的表达式×××++×××++nu u u 21（1）称为数项级数或无穷级数（也常简称级数），其中n u 称为数项级数（1）的通项. 数项级数（1）也常写作:å¥=1n n u 或简单写作ån u . 数项级数（1）的前n 项之和，记为项之和，记为n nk k n u u u u S +×××++==å=211， （2）称它为数项级数（1）的第n 个部分和，也简称部分和. 定义2 若数项级数（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =¥®lim），则称数项级数（1）收敛，称S 为数项级数（1）的和，记作）的和，记作×××++×××++=n u u u S 21或å=n u S. 若{}n S 是发散数列，则称数项级数（1）发散. 定理12.1（级数收敛的柯西准则）级数（1）收敛的充要条件是：任给正数e ，总存在正整数N ，使得当m >N 以及对任意的正整数，都有以及对任意的正整数，都有pm m m uuu++++×××++21<e . （6）定理12.2 若级数ånu与ånu 都收敛，则对任意常数,,d c 级数()å+n nd cuu 亦收敛，且敛，且()ååå+=+.nnnnducd cuu u定理12.3 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的收敛性. 定理12.4 在收敛级数的项中任意加括号，即不改变级数的收敛性，也不改变级数的和。
数学分析12-1121 级数的收敛性
lim
n
1
1 n2
1
nn
n2
n
10
所以由级数收敛的必要条件知原级数发散.
例5
运用级数收敛的柯西准则证明级数
1 n2
收敛.
证 由于
um1 um2 um p
1
1
1
(m1)2 (m2)2 (m p)2
1
1
1
m(m1) (m1)(m2)
(m p1)(m p)
1 m
1 m
1
1 m
(iii) 当 q 1时, Sn na, 级数发散. 当q 1时, S2k 0, S2k1 a, k 0,1, 2, , 级数发散. 综合起来得到: q 1时, 级数(3)收敛; q 1时, 级
数(3)发散.
例2 讨论数项级数
11 1
(4)
12 23
n(n 1)
的收敛性.
解 级数(4)的第n个部分和为
结果肯定是0，而写作
1 [(1) 1] [(1) 1] 1 0 0 0 ,
则结果是1.两个结果的不同向我们提出了两个基本
问题:“无限个数相加”是否存在“和”;如果存在,
“和”等于什么? 由此可见,“无限个数相加”不能
简单地与有限个数相加作简单的类比,需要建立新
的理论.
定义1 给定一个数列{un}, 将其各项依次用“+”号 连接起来的表达式
写出级数(1)发散的充要条件是: 存在某正数 0, 对
任何正整数N,总存在正整数m0(>N)和p0，有
um0 1 um0 2 um0 p0 0 .
(7)
由定理12.1立即可得如下推论.
推论(级数收敛的必要条件) 若级数(1)收敛,则
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思考题
设 bn与 cn都收敛，且bn an cn
n1
n1
(n1,2,)，能否推出an收敛？
n1
思考题解答
能．由柯西审敛原理即知．
练习题
一、填空题:
1 、 若
an
1 3 (2n 2 4 2n
1),则 5 an
n1
=____________；
2 、 若 a n
1(1 1 ), 2 2n1
11 ln i s m nln i 2 m (12n1)
1, 2
级数,收 和敛 为 1. 2
三、基本性质
性质1如果级数 un收敛,则 kun亦收敛.
n1
n1
结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数,
敛散性不变.
性质2 设两收敛级数s un, vn,
n1
n1
有ln i m un0, 但级数是?否收敛
讨论
s2 n sn n 1 1 n 12 2 1 n 2nn
1 2
,
假设调和级数 , 其收和敛s为 .
于l是 im s2n (sn) s s 0,
n
便有 01 (n ) 这是不可能的.
2
级数发. 散
2项
2项
4项
8项
(11)(11)(1111)(11 1) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16
例(1 如 1 ) (1 1 ) 收敛 1 1 1 1 发散
推 论 如 果 加 括 弧 后 所 成 的 级 数 发 散 ,则 原 来 级 数 也 发 散 .
四、收敛的必要条件
级数收敛的必要条件:
当 n 无限 ,它 增 的 大 u n 趋 一 时 ,于 即 般零 项
级数收敛 ln i m un0.
练习题答案
一、1、 1 1 2 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 9 ； 2 2 4 2 4 6 2 4 6 8 2 4 6 8 10
2、 1! 11
2! 22
3! 33
4! 44
5! 55
；
n
3
、
2
4
6
x2
(
2
n
)
；
4、(1)n1 a n1 ； 2n 1
s n a a a q 2 q a n 1 q
a aq n a aqn , 1 q 1q 1q
当q1时, limqn0 n
a
ln im sn
1q
收敛
当q1时,
limqn
n
ln i m sn
发散
如果 q1时
当q1时, snn a 发散
当q1时, 级数 a a 变 a a 为
《数学分析》第十二章数项级 数1
§1 数项级数的收敛性
于是有
ln im Pn
1
lim
n
An
A1
(1
1
3
4)
A1(153)253.
9
雪花的面积存在极限（收敛）．
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．
例1 讨论等比级数(几何级数)
aqnaaqaq2aqn(a0)
n0
的收敛性.
解 如果 q1时
则级数 (un vn)收敛,其和为s.
n1
结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
性质3 若级数 un收敛,则 un也收敛
n1
nk1
(k1).且其逆亦真.
证明 u k 1 u k 2 u k n n u k 1 u k 2 u k n
snksk,
则 ln im n ln i s m n k ln i s m kssk .
ln im sn不存在
发散
综上 n 0aqn当 当qq11时 时,,收 发敛 散
例2 判别无穷级数
1 1
1
的收敛性.
13 35 (2n1)(2n1)
解 un(2n1)1(2n1)12(2n112n11), sn 1 1 3 3 1 5 (2 n 1 )1 (2 n 1 )
1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 (11) 2 32 35 2 2 n 12 n 1
证明 s un 则 u nsn sn 1,
n1
l n iu m n l n is n m l n is n m 1 s s0.
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;
例1 如 2 3 ( 1 )n 1 n 发散
234
n 1
2.必要条件不充分.
例如调 1和 11级 1 数 23 n
四、判别下列级数的收敛性:
1、 1 1 1 1 ；
369
3n
2、 (1 1) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ；
23
22 32
23 33
2n 3n
3、
1 2
1 10
1 4
1 20
1 2n
1 10 n
.
五、利用柯西收敛原理判别级数
1 1 1 1 1 1的敛散性 . 23456
n! nn
,则
5
an
n1
=______________________；
3、若 级 数 为
x 2
x 24
xx 246
则an
_______；
4、若 级 数 为
a2 3
a3 5
a4 7
a5 9
则an
________；
5、 若 级 数 为 1 1 3 1 5 1 则 当 n _____
2
4
5、 2k 1.2k 1,2k , 1 ； 6、 q 1, q 1 .
2k
三、收敛. 四、1、发散；
2、收敛；
3、 发 散 、 [ s2n
6
时 an _____； 当 n ______时an ________；
6 、 等 比 级 数 aq n , 当 _ _ _ _ _ 时 收 敛 ； 当 _ _ _ _ 时 发 散 .
n0
三、由定义判别级数
1 1 1
1
的收敛性.
13 57
( 2 n 1 )( 2 n 1 )
(2m 112m 12 2m 11)
每项均大于 1
2 m项
2
即m 前 1项大 (m于 1)1 2 级数发. 散
由性质4推论,调和级数发散.
五、小结
常数项级数的基本概念 基本审敛法
1.由 定 义 ,若 sn s,则 级 数 收 敛 ; 2 . 当 n l i u m n0 , 则 级 数 发 散 ;
类似地可以证明在级数前面加上有限项不 影响级数的敛散性.
性质4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和.
证明 ( u 1 u 2 ) ( u 3 u 4 u 5 )
1 s2, 2 s5, 3 s9, ,msn,
则 lm im m ln is m n s.
注意
收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.