金属的费米-- 索末菲电子理论

经典的自由电子学说 量子自由电子学说 现代能带理论
经典的自由电子学说
德鲁特首先预言在金属含有带电粒子气体，其运动 德鲁特首先预言在金属含有带电粒子气体， 使金属具有良好的导电性。 使金属具有良好的导电性。 洛仑兹证实了这些粒子为电子。 洛仑兹证实了这些粒子为电子。
内容： 内容：
金属原子聚集成晶体时，其价电子脱离相应原子 金属原子聚集成晶体时， 的束缚，在金属晶体中自由运动，故称为自由电子， 的束缚，在金属晶体中自由运动，故称为自由电子，并 且认为它们的行为如理想气体一样， 且认为它们的行为如理想气体一样，服从经典的 Maxwell-Boltzmann统计规律。 统计规律。 统计规律
由于泡利不相容原理， 由于泡利不相容原理，处于费 米海深处的电子在热激发下得 不到足够的能量跃迁到空态， 不到足够的能量跃迁到空态， 因此不受热激发的影响。 因此不受热激发的影响。
只有在费米面附近厚度~k 的一层电 只有在费米Fra Baidu bibliotek附近厚度 BT的一层电 子能够吸收能量， 子能够吸收能量，因此只有这层电子 对比热有贡献。 对比热有贡献。
温度高于0K时电子分布情况 温度高于0K时电子分布情况 0K
E EF , f ( E ) = 0 E > EF 1 E − Ev ≤ kT , f ( E ) < 2
E EF , f ( E ) = 1 E < EF EF − E ≤ kT , f ( E ) < 1
温度升高时电子分布变化的物理图像
金属在熔点以下，虽然自由电子都受到热激发， 金属在熔点以下，虽然自由电子都受到热激发，但只有 能量在E 附近kT范围内的电子 吸收能量， 范围内的电子， 能量在 F附近 范围内的电子，吸收能量，从EF以下能 级跳到E 以上能级。也就是说，温度变化时， 级跳到 F以上能级。也就是说，温度变化时，只有一小部 分的电子受到温度的影响。 分的电子受到温度的影响。 量子自由电子学说正确解释了金属电子比热容较小的原 其值只有德鲁特理论值的百分之一。 因，其值只有德鲁特理论值的百分之一。
1.2.2 自由电子的能级密度
目的： 目的：
计算金属中自由电子的能量分布 计算某能量范围内的自由电子数 能级密度又称状态密度 dN 为E到E+dE能量范围总的状态数 到 能量范围总的状态数 能量E附近单位能量范围内所能容纳的状态数 附近单位能量范围内所能容纳的状态数。 能量 附近单位能量范围内所能容纳的状态数。 状态密度很关键，如何求出呢 状态密度很关键，如何求出呢???
Fermi 冻结 对于金属而言，由于 总是成立的，因此， 对于金属而言，由于T << TF总是成立的，因此， 只有费米面附近的一小部分可以电子被激发到高能 态，而离费米面较远的电子则仍保持原来（T＝0） 而离费米面较远的电子则仍保持原来（ ＝ ） 的状态，我们称这部分电子被“冷冻”下来。因此， 的状态，我们称这部分电子被“冷冻”下来。因此， 虽然金属中有大量的自由电子，但是， 虽然金属中有大量的自由电子，但是，决定金属许 多性质的并不是其全部的自由电子， 多性质的并不是其全部的自由电子，而只是在费米 面附近的那一小部分。正因为这样， 面附近的那一小部分。正因为这样，对金属费米面 的研究就显得尤为重要。 的研究就显得尤为重要。
• 测不准原理 测不准原理：
∆x ∆px ≥ h
（1. 38）
能级（状态） 能级（状态）密度随能量的变化
• 三维： 三维：
Z (E) ∝ E
1 2
• 二维： Z ( E ) = 常数C 二维： • 一维： 一维：
Z(E) ∝ E
1 − 2
1.2.3 自由电子按能级分布
金属中大量的自由电子是怎样占 据这些能级的呢？ 据这些能级的呢？ 金属中自由电子的能量是量子化 构成准连续谱。 的，构成准连续谱。
金属中自由电子的能量是量子化的， 金属中自由电子的能量是量子化的，其各分立能级 组成不连续的能谱， 组成不连续的能谱，而且由于金属中自由电子数目 很大，相邻能级间波长差很小， 很大，相邻能级间波长差很小，所以能级间能量差 很小，又称为准连续的能谱。 很小，又称为准连续的能谱。 三个不同量子数组成的不同波函数， 三个不同量子数组成的不同波函数，可对应同一能 如果几个状态对应于同一能级的情况， 级。如果几个状态对应于同一能级的情况，称为简 而对应于同一能级的几个不同状态， 并，而对应于同一能级的几个不同状态，称为几重 简并态。 简并态。 比如三种状态对应同一能量数值时， 比如三种状态对应同一能量数值时，称为三重简并 由于存在自旋， 态。由于存在自旋，金属中自由电子至少是二重简 并态。 并态。
1.2.1 金属中自由电子的能级
一维势阱模型（索末菲假设） 一维势阱模型（索末菲假设）
假设在长度为L的金属丝中 假设在长度为 的金属丝中 有一个自由电子在运动， 有一个自由电子在运动，且金属 晶体内的电子与离子没有相互作 其势能不是位置的函数， 用，其势能不是位置的函数，即 电子势能在晶体内到处一样， 电子势能在晶体内到处一样，取 U(x)＝0；由于电子不能逸出金 ＝ ； 属丝外， 属丝外，则在边界处
2 h2kF 0 EF = 2m
—— 费米能 Fermi energy —— 费米半径 Fermi wave vector —— 费米动量 Fermi momentum —— 费米速度 Fermi velocity
0 2mEF kF = h2
PF = hk F
hk F VF = m
基态时(T=0)，电子在 ， 基态时 k空间的分布 空间的分布 Fermi球 球 Fermi面 面
金属的费米-1.2 金属的费米-- 索末菲电子理论
电子理论最初来自金属，然后才发展到其它材料。 电子理论最初来自金属，然后才发展到其它材料。对 固体电子能量结构和状态的认识， 固体电子能量结构和状态的认识，始于对金属电子状 态的认识。 态的认识。 金属的电子理论是为了解释金属的良好导电性建立起 来的，是液态和固态等凝聚态的理论基础。 来的，是液态和固态等凝聚态的理论基础。
经典的自由电子学说( 经典的自由电子学说(续)
作用: 作用 成功地计算出金属电导率以及电导率和热导 率的关系。 率的关系。
缺陷： 缺陷：
解释不了霍尔系数“反常”现象； 解释不了霍尔系数“反常”现象； 实际测量的电子平均自由程比经典理论估计的大许多； 实际测量的电子平均自由程比经典理论估计的大许多； 金属电子比热测量值只有经典自由电子理论估计值的百分 之一； 之一； 金属导体，绝缘体，半导体导电性的巨大差异。 金属导体，绝缘体，半导体导电性的巨大差异。
）
基态（ ＝ 基态（ T＝0 ） 当T＝0时，系统的能量最低。但是，由于电子 ＝ 时 系统的能量最低。但是， 的填充必须遵从Pauli原理，因此，即使在 ＝0时， 原理， 的填充必须遵从 原理 因此，即使在T＝ 时 电子也不可能全部填充在能量最低的能态上。 电子也不可能全部填充在能量最低的能态上。如能 量低的能态已经填有电子， 量低的能态已经填有电子，其他电子就必须填到能 量较高的能态上。所以， 空间中， 量较高的能态上。所以，在 k空间中，电子从能量最 空间中 低的原点开始，由低能量到高能量逐层向外填充， 低的原点开始，由低能量到高能量逐层向外填充， 其等能面为球面，一直到所有电子都填完为止。 其等能面为球面，一直到所有电子都填完为止。 由于等能面为球面，所以， 空间中 空间中， 由于等能面为球面，所以，在k空间中，电子填充的 部分为球体，称为Fermi球（Fermi sphere）。 ）。Fermi 部分为球体，称为 球 ）。 球的表面称为Fermi面（Fermi surface）； ）；Fermi面所 球的表面称为 面 ）； 面所 对应的能量称为Fermi能（Fermi energy，EF0）。 对应的能量称为 能 ，
美国物理学家。生于意大利罗马。 美国物理学家。生于意大利罗马。 1922年获比萨大学博士学位。 年获比萨大学博士学位。 年获比萨大学博士学位 1923年前往德国。在玻恩的指导下从事研究 年前往德国。 玻恩的指导下从事研究 年前往德国 工作。 工作。 1925年一月至 年一月至1926年秋季在佛罗伦萨大学 年一月至 年秋季在佛罗伦萨大学 工作，开始研究费米-狄拉克统计问题 狄拉克统计问题。 工作，开始研究费米 狄拉克统计问题。 1929年任意大利皇家科学院院士。 年任意大利皇家科学院院士。 年任意大利皇家科学院院士 1934年用中子轰击原子核产生人工放射现象。 年用中子轰击原子核产生人工放射现象。 年用中子轰击原子核产生人工放射现象 开始中子物理学研究。被誉为“ 开始中子物理学研究。被誉为“中子物理学 恩利克•费米 恩利克 费米 之父” 之父”。 1936年出版的热力学讲义。成为后人教学用 （Enrico Fermi 年出版的热力学讲义。 年出版的热力学讲义 书的著名蓝本。 书的著名蓝本。 1938年由于 “通过中子照射展示新的放射性元素的存在， 年由于 通过中子照射展示新的放射性元素的存在， 以及通过慢中子核反应获得的新发现获得诺贝尔物理奖。 以及通过慢中子核反应获得的新发现获得诺贝尔物理奖。 1941年底，费米在哥伦比亚大学主持建造了世界上第一座原 年底， 年底 子反应堆 他于1954年去逝。100号化学元素镄就是为纪念他而命名的 他于 年去逝。 号化学元素镄 年去逝 号化学元素