立体几何中的存在性问题--文科

立体几何中的存在性问题

如图，四棱锥,,P ABCD AB AD CD AD PA ABCD -⊥⊥⊥中,底面，

22PA AD CD AB ====，M PC 为的中点.

（1）求证：BM

PAD 平面 ;

（2）在侧面PAD 内找一点N

，使MN PBD ⊥平面

2.如图，已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，设

PA ⊥平面ABCD ，EC ∥PA ，且PA =2.（1）当CE 为多少时，PO ⊥平面BED ；

3. 如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D为AC的中点.

（Ⅰ）求证：AB1//面BDC1；

（Ⅱ）在侧棱AA1上是否存在点P，使得

CP⊥面BDC1？并证明你的结论.

4. 如图，四棱锥P—ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底

面ABCD，PA = AD = CD = 2AB = 2，M为PC的中点.

（1）求证：BM∥平面PAD；

（2）平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？

若存在，确定N的位置，若不存在，说明理由；

5.直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的三视图如图所示，D 、E 分别为棱CC 1和B 1C 1的中点。 （1）求点B 到平面A 1C 1CA 的距离；

（2）在AC 上是否存在一点F ，使EF ⊥平面A 1BD ，若存在确定其位置，若不存在，说明

理由.

6.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面A B C D 为直角梯形，且//AD BC ，

90ABC PAD ∠=∠=︒，侧面PAD ⊥底面ABCD . 若1

2

PA AB BC AD ===

. （Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAC ；

（Ⅱ）侧棱PA 上是否存在点E ，使得//BE 平面PCD ？若存在，指出点E 的位置并证

明，若不存在，请说明理由；

A B P

C D

A

B

C A 1

B 1

C 1

7.如图,在直三棱柱111C B A ABC -中,4,5,4,31====AA AB BC AC .

(Ⅰ)求证:1BC AC ⊥;(Ⅱ)在AB 上是否存在点D ,使得1AC ∥平面1CDB ,若存在,试给出证明;若不存在,请说明理由.

8.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ， 11

2,AA AC AC AB BC ====,且AB BC ⊥,O 为AC 中点. ① 证明：1A O ⊥平面ABC ；

（2）在1BC 上是否存在一点E ，使得//OE 平面1A AB ，若不存在，说明理由；若存在，确定点E 的位置.

1

A B

C

O

A

1

B 1

C

N

C 1

B 1

M C

B A

9.已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.

(I)证明：BN⊥平面C 1B 1N ；

(II)M 为AB 中点，在线段CB 上是否存在一点P ，使得MP∥平面CNB 1，若存在，求出BP 的长;若不存在，请说明理由.

俯视图

左视图

正视图

44

4

8

10.如图：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，

60,ABC PA ∠=︒⊥平面ABCD ，点,M N 分别为,BC PA 的中点，且2==AB PA .

（1）证明：BC ⊥平面AMN ；（2）求三棱锥AMC N -的体积；

（3）在线段PD 上是否存在一点E ，使得//NM 平面ACE ；若存在，求出PE 的长；若不存在，说明理由.

N M

P A

B

C

D D

11.(2012海淀一模)

已知菱形ABCD 中，AB =4， 60BAD ∠=

（如图1所示），将菱形ABCD 沿对角线BD 翻折，使点C 翻折到点1C 的位置（如图2所示），点E ，F ，M 分别是AB ，DC 1，BC 1的中点．

（Ⅰ）证明：BD //平面EMF ； （Ⅱ）证明：1AC BD ⊥；

（Ⅲ）当EF AB ⊥时，求线段AC 1 的长．

12（2012西城一模）如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面

⊥MNEF 平面ECDF ．

（Ⅰ）求证：NC ∥平面MFD ； （Ⅱ）若3EC =，求证：FC ND ⊥； （Ⅲ）求四面体NFEC 体积的最大值．

A

B

C

D

图1

M F

E

A

B

C 1

D 图2

A B

C

D

E

F

13.（2012朝阳一模）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，

=90ABD ∠︒， EB ⊥平面ABCD ，EF//AB ，2AB=，=1EF ，=13BC ，且M 是BD

的中点.

（Ⅰ）求证：//EM 平面ADF ；

（Ⅱ）在EB 上是否存在一点P ，使得CPD ∠最大？ 若存在，请求出CPD ∠的正切值；若不存在， 请说明理由.

14.（2012丰台一模）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是菱形，P A =PD ，∠BAD =60º，E 是AD 的中点，点Q 在侧棱PC 上．

（Ⅰ）求证：AD ⊥平面PBE ； （Ⅱ）若Q 是PC 的中点，求证：P A // 平面BDQ ；

（Ⅲ）若V P-BCDE =2V Q - ABCD ，试求

CP

CQ

的值．

C

A F E

B M

D D

C

B

Q P

E A