物理材料力学弯曲剪应力
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§7-3 弯曲剪应力和强度校核
一.矩形截面截面梁的剪应力
b
My
Iz
mn
h
Oz y
zM
y
tt
M+dM
FS
FS
y
1 m dx n
2
假设
在hb的情况下
1.t的方向都与 FS 平行 2.t 沿宽度均布。
t
t
y
FNⅠ
FNII
z
y
A*
y
y A*
dFS
FNⅠ
y A*
FNII
FNI A* ⅠdA
A*
规律变化的。
思考题: 试通过分析说明，图a中
所示上、下翼缘左半部分 和右半部分横截面上与腹 板横截面上的切应力指向 是正确的，即它们构成了 “切应力流”。
例题 4-13
由56a号工字钢制成的简支梁如图a所示，试求
梁的横截面上的最大切应力tmax和同一横截面上腹 板上a点处(图b)的切应力t a 。不计梁的自重。
力t 的大小和方向沿壁厚 无变
化； (2) 由于梁的内、外壁上无切
应力，故根据切应力互等定理 知，横截面上切应力的方向与 圆周相切；
(3) 根据与y轴的对称关系 可知：
(a) 横截面上与y轴相交的 各点处切应力为零；
(b) y轴两侧各点处的切应 力其大小及指向均与y轴对 称。
薄壁环形截面梁横截面上的最大切应力tmax
75 103 N 940 106 m3 65586 108 m4 12.5 103 m
8.6106 Pa 8.6 MPa
例题 4-13
腹板上切应力沿高度的变化规律如图所示。
tmax
3. 薄壁环形截面梁 薄壁环形截面梁在竖直平面
内弯曲时，其横截面上切应力 的特征如图a所示：
(1) 由于d <<r0，故认为切应
处，其计算公式为
t max
FS
S
* z
Izd
FS
1 2
πd 4
2
πd 4 d
2d
3π
64
4FS 4FS
3
π 4
d
2
3A
II. 梁的切应力强度条件
图a所示受满布均布荷 载的简支梁，其最大弯矩 所在跨中截面上、下边缘 上的C点和D点处于单轴应 力状态(state of uniaxial stress) (图d及图e)，故根 据这些点对该梁进行强度 计算时其强度条件就是按 单轴应力状态建立的正应 力强度条件
2. 工字形截面梁 (1) 腹板上的切应力
t
FS
S
* z
Izd
其中
Sz*
b
h 2
Baidu Nhomakorabea
2
h 2
y d
h 2
y
y
2
b
2
h
d 2
h 2
2
y
2
可见腹板上的切应力在与中性轴z垂直的方向 按二次抛物线规律变化。
(2) 在腹板与翼缘交界处：
t min
FS Izd
b
2
h
在中性轴处：
t max
在中性轴z上，半个环形截面的面积A*=pr0，其
形心离中性轴的距离(图b)为2r0 ，故求tmax时有
S
* z
π
r0
2r0 π
π
2r02
整个环形截面对于中性 轴z的惯性矩Iz可利用整个截 面对于圆心O的极惯性矩得 到，如下：
Ip
2
A
d
A
2π
r0
r02
2π
r03
及
Ip
2d A
A
例题 4-13
解: 1. 求tmax
梁的剪力图如图c所示，由图可见FS,max=75kN。 由型钢表查得56a号工字钢截面的尺寸如图b所示，
Iz=65 586 cm4和Iz/S * z,max=47.73cm。d=12.5mm
例题 4-13
tmax
FS
,max
S
* z ,max
Izd
FS,max
如图a所示：认为离中性轴z为
任意距离y的水平直线kk'上各
点处的切应力均汇交于k点和
k'点处切线的交点O '，且这些
切应力沿y方向的分量ty相等。
因此可先利用公式
ty
FS Sz* I z bkk
求出kk'上各点的切应
力竖向分量ty ，然后求出各点处各自的切应力。
圆截面梁横截面上的
最大切应力tmax在中性轴z
A
y2 z2 d A
y2 d A
A
z2 d A
A
Iz Iy 2Iz
得出：
Iz
1 2
Ip
π
r03
从而有
t max
FS
S
* z
Iz 2
FS 2r02 π r03 2
FS 2 FS
r0 π
A
式中， A=2pr0 为整个环形截面的面积。
(4) 圆截面梁 圆截面梁在竖直平面内弯曲
时，其横截面上切应力的特征
FS
S
* z ,max
Izd
FS Izd
b
2
h
d 2
h 2
2
对于轧制的工字钢，上式中的 Iz就是型钢表 中给出的比值 ，此I值x 已把工字钢截S面z*,ma的x 翼缘厚 度变化和圆角等考虑S在x 内。
(3) 翼缘上的切应力
翼缘横截面上平行于 剪力FS的切应力在其上、 下边缘处为零(因为翼缘的 上、下表面无切应力)，可 见翼缘横截面上其它各处 平行于FS的切应力不可能 大，故不予考虑。分析表 明，工字形截面梁的腹板 承担了整个横截面上剪力 FS的90%以上。
M y1 dA Iz
M Iz
A*
y1 dA
M Iz
Sz*
FNⅡ A* ( Ⅱ)dA
A*
(M
dM ) y1 dA Iz
M
dM Iz
A*
y1 dA
M
dM Iz
S* z
FN II FN I t bdx
即：M
dM Iz
S
* z
M Iz
S
* z
tbdx
t
S
* z
dM
Izb dx
结论：
t
Iz S*
z ,max
d
75103 N 47.73 102m 12.5 103m
12.6 106 Pa 12.6 MPa
例题 4-13
2. 求ta ta
其中：
FS
,max
S
* za
Izd
S
* za
166
mm
21
mm
560 mm 2
21
mm 2
940 103 mm3
于是有：
ta
面上必有由切d F应S 力 Ft1N*′2构成FN的*1 合力。
F* N2
自由边 t1 t1
A* F* dx
N1
u
根据 d FS t可1 得d x出
t1
FS
S
* z
I z
FS
I z
u
h 2
2
FS uh
2Iz
从而由切应力互等定理可
知，翼缘横截面上距自由边为u
处有平行于翼缘横截面边长的
切应力t1，而且它是随u按线性
F* N2
自由边 t1 t1
A* F* dx
N1
u
但是，如果从长为dx的梁段 中用铅垂的纵截面在翼缘上截取如 图所示包含翼缘自由边在内的分离 体就会发现，由于横力弯曲情况下 梁的相邻横截面上的弯矩不相等， 故所示分离体前后两个同样大小的 部分横截面上弯曲正应力构成的合 力FN*1 FN*2
和 不相等，因而铅垂的纵截
FS
S
* z
Izb
§5.7 梁的切应力
3.切应力分布规律
t
FS
S
* z
FS ( h 2 y 2 )
I zb 2I z 4
6FS bh3
h 2 4
y2
S* z
A*
y* C
b
h
y
y
h 2
y
2
2
b 2
h2 4
y2
Iz
bh3 12
b
F
S
h y
t
y
z
t max
t
t max
3 2
FS bh
一.矩形截面截面梁的剪应力
b
My
Iz
mn
h
Oz y
zM
y
tt
M+dM
FS
FS
y
1 m dx n
2
假设
在hb的情况下
1.t的方向都与 FS 平行 2.t 沿宽度均布。
t
t
y
FNⅠ
FNII
z
y
A*
y
y A*
dFS
FNⅠ
y A*
FNII
FNI A* ⅠdA
A*
规律变化的。
思考题: 试通过分析说明，图a中
所示上、下翼缘左半部分 和右半部分横截面上与腹 板横截面上的切应力指向 是正确的，即它们构成了 “切应力流”。
例题 4-13
由56a号工字钢制成的简支梁如图a所示，试求
梁的横截面上的最大切应力tmax和同一横截面上腹 板上a点处(图b)的切应力t a 。不计梁的自重。
力t 的大小和方向沿壁厚 无变
化； (2) 由于梁的内、外壁上无切
应力，故根据切应力互等定理 知，横截面上切应力的方向与 圆周相切；
(3) 根据与y轴的对称关系 可知：
(a) 横截面上与y轴相交的 各点处切应力为零；
(b) y轴两侧各点处的切应 力其大小及指向均与y轴对 称。
薄壁环形截面梁横截面上的最大切应力tmax
75 103 N 940 106 m3 65586 108 m4 12.5 103 m
8.6106 Pa 8.6 MPa
例题 4-13
腹板上切应力沿高度的变化规律如图所示。
tmax
3. 薄壁环形截面梁 薄壁环形截面梁在竖直平面
内弯曲时，其横截面上切应力 的特征如图a所示：
(1) 由于d <<r0，故认为切应
处，其计算公式为
t max
FS
S
* z
Izd
FS
1 2
πd 4
2
πd 4 d
2d
3π
64
4FS 4FS
3
π 4
d
2
3A
II. 梁的切应力强度条件
图a所示受满布均布荷 载的简支梁，其最大弯矩 所在跨中截面上、下边缘 上的C点和D点处于单轴应 力状态(state of uniaxial stress) (图d及图e)，故根 据这些点对该梁进行强度 计算时其强度条件就是按 单轴应力状态建立的正应 力强度条件
2. 工字形截面梁 (1) 腹板上的切应力
t
FS
S
* z
Izd
其中
Sz*
b
h 2
Baidu Nhomakorabea
2
h 2
y d
h 2
y
y
2
b
2
h
d 2
h 2
2
y
2
可见腹板上的切应力在与中性轴z垂直的方向 按二次抛物线规律变化。
(2) 在腹板与翼缘交界处：
t min
FS Izd
b
2
h
在中性轴处：
t max
在中性轴z上，半个环形截面的面积A*=pr0，其
形心离中性轴的距离(图b)为2r0 ，故求tmax时有
S
* z
π
r0
2r0 π
π
2r02
整个环形截面对于中性 轴z的惯性矩Iz可利用整个截 面对于圆心O的极惯性矩得 到，如下：
Ip
2
A
d
A
2π
r0
r02
2π
r03
及
Ip
2d A
A
例题 4-13
解: 1. 求tmax
梁的剪力图如图c所示，由图可见FS,max=75kN。 由型钢表查得56a号工字钢截面的尺寸如图b所示，
Iz=65 586 cm4和Iz/S * z,max=47.73cm。d=12.5mm
例题 4-13
tmax
FS
,max
S
* z ,max
Izd
FS,max
如图a所示：认为离中性轴z为
任意距离y的水平直线kk'上各
点处的切应力均汇交于k点和
k'点处切线的交点O '，且这些
切应力沿y方向的分量ty相等。
因此可先利用公式
ty
FS Sz* I z bkk
求出kk'上各点的切应
力竖向分量ty ，然后求出各点处各自的切应力。
圆截面梁横截面上的
最大切应力tmax在中性轴z
A
y2 z2 d A
y2 d A
A
z2 d A
A
Iz Iy 2Iz
得出：
Iz
1 2
Ip
π
r03
从而有
t max
FS
S
* z
Iz 2
FS 2r02 π r03 2
FS 2 FS
r0 π
A
式中， A=2pr0 为整个环形截面的面积。
(4) 圆截面梁 圆截面梁在竖直平面内弯曲
时，其横截面上切应力的特征
FS
S
* z ,max
Izd
FS Izd
b
2
h
d 2
h 2
2
对于轧制的工字钢，上式中的 Iz就是型钢表 中给出的比值 ，此I值x 已把工字钢截S面z*,ma的x 翼缘厚 度变化和圆角等考虑S在x 内。
(3) 翼缘上的切应力
翼缘横截面上平行于 剪力FS的切应力在其上、 下边缘处为零(因为翼缘的 上、下表面无切应力)，可 见翼缘横截面上其它各处 平行于FS的切应力不可能 大，故不予考虑。分析表 明，工字形截面梁的腹板 承担了整个横截面上剪力 FS的90%以上。
M y1 dA Iz
M Iz
A*
y1 dA
M Iz
Sz*
FNⅡ A* ( Ⅱ)dA
A*
(M
dM ) y1 dA Iz
M
dM Iz
A*
y1 dA
M
dM Iz
S* z
FN II FN I t bdx
即：M
dM Iz
S
* z
M Iz
S
* z
tbdx
t
S
* z
dM
Izb dx
结论：
t
Iz S*
z ,max
d
75103 N 47.73 102m 12.5 103m
12.6 106 Pa 12.6 MPa
例题 4-13
2. 求ta ta
其中：
FS
,max
S
* za
Izd
S
* za
166
mm
21
mm
560 mm 2
21
mm 2
940 103 mm3
于是有：
ta
面上必有由切d F应S 力 Ft1N*′2构成FN的*1 合力。
F* N2
自由边 t1 t1
A* F* dx
N1
u
根据 d FS t可1 得d x出
t1
FS
S
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I z
FS
I z
u
h 2
2
FS uh
2Iz
从而由切应力互等定理可
知，翼缘横截面上距自由边为u
处有平行于翼缘横截面边长的
切应力t1，而且它是随u按线性
F* N2
自由边 t1 t1
A* F* dx
N1
u
但是，如果从长为dx的梁段 中用铅垂的纵截面在翼缘上截取如 图所示包含翼缘自由边在内的分离 体就会发现，由于横力弯曲情况下 梁的相邻横截面上的弯矩不相等， 故所示分离体前后两个同样大小的 部分横截面上弯曲正应力构成的合 力FN*1 FN*2
和 不相等，因而铅垂的纵截
FS
S
* z
Izb
§5.7 梁的切应力
3.切应力分布规律
t
FS
S
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