用图像法解追及问题

用图像法解追及问题 Prepared on 22 November 2020

用图像法解追及问题

（说明：六种情况下，两物同时、同地、同向出发）

例题：甲、乙两质点同时开始在彼此靠近的两水平轨道上同向运动，甲在前，乙在后，相距为x 。甲的初速度为零，加速度为a ，做匀加速直线运动。关于两质点在相遇前的运动，某同学作如下分析：

设两质点相遇前，它们韹距离为x ∆，则2

012x at x v t ∆=

+-，当0v t a

=时，两质点的的距离x ∆有最小值，也就是两质点速度相等时，两质点间的距离最近。

你觉得他的分析是否正确如果认为是正确的，请求出它们间的最小距离；如果不正确，请说明理由，并作出正确分析。

思维导图：

交点A 表明此时两者的速度相等。（1）若此时 (对应的时刻为0

v a

) 恰好相遇，则阴影面积即为x ，即

202v x a

=

，从图上看，再以后v 甲乙＞v ，不

再相遇，相遇前距离一直减小到零；

（2）若 20

2v x a

<时，相遇时v 甲乙

之前距离一直减小，以后乙在前，距离变大直到A 点，A 点后，v 甲乙＞v ，距离

又变小直到二次相遇；（3）若20

2v x a

>时，两者具有相同速度，甲仍在前，乙在

后，还没有相遇，距离还是20

2v x a -，以后v 甲乙＞v ，就更不能相遇了。相同速度

时有最小距离，即20

2v x a

-。

注意：弄清追及和被追物体因速度变化而引起两者间距离的变化过程，是解追及和相遇问题的关键，而两者速度相等是相距最远（或最近）的临界条件。

此题也可用解析法：

根据题意：甲、乙相遇的须满足：2012x at v t +=, 即201

02

at v t x -+=

（1） 当2

2

1

4402

b a

c v ax -=-⨯>，即满足2

02v x a <，方程有两解，即甲、

乙相遇两次；

（2） 当2

2

1

4402

b a

c v ax -=-⨯=，即202v x a =时，甲、乙相遇一次；

（3） 当2

2

1

4402

b a

c v ax -=-⨯<，即202v x a >时，方程无解，甲、乙不能

相遇。