《组合数学》工学研究生1

西安电子科技大学

研究生课程考试试题

考试科目：组合数学

考试日期：考试时间：120 分

考试方式：闭卷任课教师：

学生姓名：学号：

一、 （10分）请计算多项式8

322⎪

⎭

⎫

⎝⎛++-c b a 的展开式中222

c b a

和22bc a 两项的系数。

① ()22

2232121!2!2!2!2!8⎪⎭

⎫

⎝⎛-＝22680 (5)

分

②

()32

232121!3!2!1!2!8⎪⎭

⎫

⎝⎛-＝－22680 (5)

分

二、 （10分）满足不定方程4321

x x x x +++＝62的整数解共有多少组？其中要求31-≥x ，

52≥x ，03≥x ，04≥x 。

① 做变换11

x y =＋3, 22x y =－5, 33x y =,44x y = ……………………………… 2分 ② 原方程化为

4321y y y y +++＝60 (2)

分

③ 问题等价于从4种相异元素中可重复地选60个元素的组合问题 (3)

分

④ 答案为60

1604C

-+＝

363C

＝

!

60!3!

63 (2)

分

⑤ 结果为39711 ………………………………………………………………………………………… 1分

三、 （10分）一位学者要在一周内安排38个小时的工作时间，而且每天至少工作5小时，最多工作

10个小时。问共有多少种不同的安排方案？假设一周有5个工作日。

① 分析问题，写相应的（普）母函数 …………………………………………………………… 4分

()x G ＝()

5

1065x x x +++

② 母函数展开得 ()x G ＝25

x

＋526

x

＋…＋67638

x

＋…＋50

x

…………………………… 4分

()x G ＝()5

52

25

1x

x

x x

++++

＝25

x

(1＋2x ＋32

x ＋43

x ＋54

x ＋65

x ＋…＋10

x )3

5

0⎪⎭

⎫

⎝⎛

∑=i i x （系数对称）

＝25

x

(1＋3x ＋62x ＋103x ＋154x ＋215x ＋256x ＋277

x ＋…＋15

x

)2

5

0⎪⎭

⎫

⎝⎛

∑=i i x ＝25x (1＋4x ＋102x ＋203x ＋354x ＋565x ＋806x ＋1047x ＋1258x ＋1409x

＋14610

x ＋…＋20

x )⎪⎭

⎫

⎝⎛∑=50i i x

＝25x (1＋4x ＋102x ＋203x ＋354x ＋565x ＋806x ＋1047x ＋1258x ＋1409x

＋14610x ＋…＋20x )⎪⎭

⎫ ⎝⎛∑=5

0i i x

＝25x (1＋5x ＋152x ＋353x ＋704x ＋…＋78013x ＋…＋524x ＋25x )

＝25

x

＋526

x

＋1527

x

＋3528

x

＋7029

x

＋…＋78038

x

＋…＋549

x

＋50

x

③ 答：共有780种选法 …………………………………………………………………………… 2分

四、 （10分）把4个颜色不同的糖果分给甲、乙、丙3位小朋友，且甲、乙、丙每人分得的糖果数最

多分别为3、3、4颗。那么，有多少种不同的分法？ 方法I ：用母函数

① 分析问题，写相应的（指）母函数 ……………………………………………………………… 4分

()x G e ＝2

32!3!2!11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++x x x ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+++!4!114x x

② 母函数展开()x G e ＝1＋3!

1x

＋…＋79!44x ＋…＋4200!1001x ………………………………… 4分

③ 答：共有79种分法 ……………………………………………………………………………… 2分 方法II ：用排列

① 每个小朋友无上限，有4

3=81种分法 ……………………………………………… 4分 ② 不符合要求的分法有甲或乙独分4颗2种情况 ………………………… 4分 ③ 所有有81-2=79种分法 ……………………………………………………… 2分

五、 （10分）求递推关系022324321

=++------n n n n n a a a a a 的通解。

① 特征方程2232234

++--x x x x

＝0 (3)

分

② 特征根 q ＝1，－1，1＋

3，1－3 (3)

分

③ 通解

()()

()n

n

n

n C B A a 3

1D 3

11-+++-+=…………………………… 3分

④ 其中A 、B 、C 、D 为任意常数 ………………………………………………………………… 1分

六、 （10分）某人有99根相同的铅笔，他每天送给某个小朋友一根或两根，那么他可以有多少种方式

把这99根铅笔送完？