旋转扫过的面积
2022年河北省中考数学真题试题及答案
三、解答题（本大题共7个小题，共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20.
（1）解：∵
当 时，
；
（2） ，由数轴可知 ，
即 ，
，
解得 ，
的负整数值为 ．
21.
（1）解：甲三项成绩之和为：9+5+9=23；
乙三项成绩之和为：8+9+5=22；
∴23>22
录取规则是分高者录取，所以会录用甲．
同理：可得
综上所述： ．
A cmB. cmC. cmD. cm
11.要得知作业纸上两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（）
A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行C. Ⅰ、Ⅱ都可行D. Ⅰ、Ⅱ都不可行
12.某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天．若m个人共同完成需n天，选取6组数对 ，在坐标系中进行描点，则正确的是（）
（2）“能力”所占比例为： ；
“学历”所占比例为： ；
“经验”所占比例为： ；
∴“能力”、“学历”、“经验”的比为3：2：1；
甲三项成绩加权平均为： ；
乙三项成绩加权平均为： ；
∴8>7
所以会录用乙．
∴会改变录用结果
22.证明：验证：10的一半为5， ；
设“发现”中的两个已知正整数为m，n，
∴ ，其中 为偶数，
2022年河北省中考数学真题试题及答案
2022年河北省初中毕业生升学文化课考试
数学试卷
一、选择题（本大题共16个小题．1~10小题每题3分，11~16小题每题2分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
2022年中考数学真题汇编：平移与旋转(含解析)
（2）若将 沿直线l平移，并以 为一边在直线l的上方作等边 ．
①如图2，当 与 重合时，连接 ，若 ，求 的长；
②如图3，当 时，连接 并延长交直线l于点F，连接 ．求证： ．
24.（2022北京）在平面直角坐标系 中，已知点 对于点 给出如下定义：将点 向右 或向左 平移 个单位长度，再向上 或向下 平移 个单位长度，得到点 ，点 关于点 的对称点为 ，称点 为点 的“对应点”．
A.（3，-3）B.（3，3）C.（－1，1）D.（－1，3）
【答案】解：根据图形平移的性质，B′（1-2，2+1），即B′（-1，3）；
故选：D．
8.（2022铜仁）如图，等边 、等边 的边长分别为3和2．开始时点A与点D重合， 在 上， 在 上， 沿 向右平移，当点D到达点B时停止．在此过程中，设 、 重合部分的面积为y， 移动的距离为x，则y与x的函数图象大致为（）
D．圆是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
2.（2022北部湾）2022北京冬残奥会的会徽是以汉字“飞”为灵感来设计的，展现了运动员不断飞跃，超越自我，奋力拼搏，激励世界的冬残奥精神下列的四个图中，能由如图所示的会徽经过平移得到的是（）
A. B. C. D.
【答案】根据题意，得
不能由 平移得到，
A. B. C. D.
3.（2022毕节）下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
4.（2022广东）在平面直角坐标系中，将点 向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（）
A. B. C. D.
5.（2022福建）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中 ， ，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到 ，点 对应直尺的刻度为0，则四边形 的面积是（）
平移与旋转答案及解析
平移与旋转答案及解析1.【答案】B【解析】本题主要考查图形的轴对称和中心对称。
在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，如果把一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形称为轴对称图象，所以选B.2.【答案】C【解析】 CC’=AB，∠CAB=70°.∴∠C’CA=∠CAB=70°.又 C、C’为对应点，点A为旋转中心∴AC=AC’，即△ACC’为等腰三角形∴∠BAB’=∠CAC’=180°-2∠C’CA=40°∴选C.3.【答案】C【解析】根据平移的特性可知，平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，所以C 错误.4.【答案】D【解析】平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。
所以平移后的边对应相等，∴D 错误，应为AB=AB’.5.【答案】D【解析】根据旋转的意义，找出菱形AEFG和菱形ABCD的对应点的变化情况，结合等边三角形的性质即可.6.【答案】C【解析】 △ACB平移后得到△EBF∴AC=BE CB=BF AB=EF∴①③④正确，②中点B对应点应为F.7.【答案】A【解析】观察图形可知，△DEF是由△ABC沿BC向右移动BE的长度后得到的∴平移距离就是线段BE的长度∴选A.8.【答案】D【解析】①：由平移和旋转性质可知，平移后对应线段平行，旋转后不一定平行.②③④平移或旋转后，对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都不会变化.9.【答案】B【解析】A项，平移和旋转均不改变图形的形状和大小B项，平移和旋转的共同点是改变图形位置C项，图形可以向某方向平移一定距离，旋转是围绕中心做圆周运动D项，由平移得到的图形不一定由旋转得到10.【答案】D【解析】由旋转性质可知，AC=AC’又∠CAC’=90°，∴△CAC’是等腰直角三角形∴∠CC’A=45°∠CC’B+∠ACC’=∠AB’C’∴∠CC’B=15°11.【答案】图形的形状、大小不变，改变图形位置.【解析】在图形的平移、旋转、轴对称变换中，相同的性质是：图形的形状和大小不变，只有位置发生改变.12.【答案】平移旋转【解析】平移变换：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离旋转变换：在平面内，将一个图形沿某一个定点方向转动一个角度13.【答案】（1,-1）【解析】向右平移则A的横坐标+3，向下平移则A的纵坐标-2，平移后A的坐标为（1,-1）.14.【答案】小正方形AEOF；三；△AOD；三【解析】正方形ABCD可看做是由图形小正方形AEOF经过三次平移得到，也可以看作是由图形△AOD绕O点旋转三次得到.15.【答案】150°【解析】根据旋转的定义可知，旋转的角度为：∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+90°=150°∴旋转角度为150°.16.【答案】如图所示，平移后RA’=3，过点B向AA’引垂线，垂足为D∴BD=4,A’D=4∴∠BA’A=45°.【解析】经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等.17.【答案】（1）①平移的方向是射线AD方向，距离为AD长度②相等的线段：AD=BE=CF,AB=DE,BC=DE,AC=DF平行的线段：AC∥BE∥CF,AB∥DE,BC∥EF,AC∥DF③∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DEF,∠BAC=∠EDF∠BAD=∠BED,∠ABE=∠EDA,∠EBC=∠CFE∠BCF=∠BEF,∠ACF=∠ADF,∠CAD=∠CFD（2） CC’∥AB∴∠ACC’=∠CAB=75°△ABC绕点A旋转得到△AB’C’∴AC=AC’∴∠CAC’=180°-2∠ACC’=180°-2×75°=30°∴∠CAC’=∠BAB’=30°.【解析】（1）由图形可知，A与D，B与E，C与F是对应点，所以可得平移的方向和距离，也可得出相等的线段.（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC’=∠CAB，根据旋转性质可得AC=AC’，然后利用等腰三角形即可求得.18.【答案】（1）①②根据题意，在Rt △ABC 中AC=4,BC=3 ∴5342222=+=+=BC AC AB∴扫过的面积=ππ4253605902=⨯ （2）①AC ⊥BD△DCE 由△ABC 平移而成∴BE=2BC=6，DE=AC=3,CE=∠ACB=60°∴DE=21BE ∴BD ⊥DE又 ∠E=∠ACB=60°∴AC ∥DE ，∴BD ⊥AC△ABC 是等边三角形∴BF 是AC 的中点∴BD ⊥AC ，BD 与AC 互相垂直平分②由（1）知，AC ∥DE ，BD ⊥AC∴△BED 是直角三角形BE=6，DE=3 ∴3322=-=DE BE BD .【解析】（1）①根据题意和图形旋转即可画图.②根据勾股定理求AB 长度.再根据扇形面积公式即可.（2）①由平移的性质可知BE=2BC=6DE=AC=3 ∴BD ⊥DE由∠E=∠ACB=60°可知AC ∥DE②在Rt △BDE 中利用勾股定理即可得出BD 的长.19. 【答案】（1）由△ABO 和△CDO 关于点O 中心对称可知△ABO ≌△CDO∴AO=CO,BO=DOAF=CE∴AO-AF=CO-CE∴FO=EO又 ∠DOF=∠BOE在△DOF 和△BOE 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=EO FO BOE DOF BO DO∴△DOF ≌△BOE （SAS ）∴FD=BE（2）①证明： △ABC 、△EDC 是等边三角形∴BC=AC,∠ACB=∠ECD=60°，EC=DC∴∠ACE=∠BCD在△ACE 和△BCD 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DC EC BCD ACE BC AC∴△ACE ≌△BCD （SAS ）∴∠EAC=∠B=60°=∠ACB∴AE ∥BC② △ACE ≌△BCD ∠EAC=∠B=60°=∠ACB∴图中有在旋转关系的三角形，它们是△BCD 和△ACE ，其旋转中心是点C ，旋转角是60°.【解析】（1）根据中心对称性质，可知△ABO ≌△CDO ，∴AO=CO,BO=DO,再根据AF=CE ，得FO=EO ，利用SAS 判定△DOF ≌△BOE ，∴FD=BE.（2）①由△ABC 、△EDC 是等边三角形，易证△ACE ≌△BCD ，∴∠EAC=∠B=60°=∠ACB ，∴AE ∥BC②由（1）可得：图中有在旋转关系的三角形，它们是△BCD 和△ACE ，其旋转中心是C ，旋转角是60°.20.【答案】（1）△A 1B 1C 1如图所示（2）△A 2B 2C 2如图所示（3）△PAB 如图所示，由图可得P 点坐标为（2,0）【解析】（1）根据网格结构找出A 、B 、C 平移后的对应点A 1、B 1、C 1的位置，顺次连接（2）根据网格结构找出A 、B 、C 关于原点对称点A 2、B 2、C 2的位置，顺次连接（3）找出点A 关于x 轴的对称点A ’,连接A ’B 与x 轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为P 坐标，再连接AP 、BP .21.【答案】△OAB AD【解析】由平移的性质，可知AB 、AO 、BO 平移AD 的长分别得到DC 、DE 、CE∴△EDC 可以看作是△OAB 平移得到，平移的距离是线段AD 的长22.【答案】400【解析】 △ABC 是等边三角形，∴AB=BC=ACA ’B ’∥AB ，BB ’=B ’C=21BC ∴B ’O=21AB,CO=21AC ∴△B ’OC 是等边三角形，同理阴影的三角形都是等边三角形观察图可知，第1个图形中大等边三角形有2个，小等边三角形有2个依次可将第N 个图形中大等边三角形有2n 个，小等边三角形有2n 个故第100个图形中等边三角形的个数是：2×100+2×100=400个.23.【答案】326-【解析】过点B ’作DB ’∥BC ，交AB 于点D ，由平移和旋转性质可知，DB ’为图形平移的距离 ∠A=∠A ’=30°，AB=A ’B ’=12cm,BC=B ’C ∴2130sin sin ==︒=AB BC A ∴BC=B ’C=21AB=6cm. 由勾股定理得： AC=3622=-BC AB cm∴AB ’=AC-B ’C=(636-)cm又DB ’∥BC∴∠B=∠ADB ’又 ∠A=∠A,∴△ADB ’≌△ABC ∴AC AB BC DB ''=即6'36636DB =- ∴DB ’=(326-)cm.24.【答案】222-【解析】设BA 与B ’A ’、D ’A ’相交的两点分别为E 、F设EF=x ，由题知正方形旋转45°∴重叠部分以外的三角形均为等腰直角三角形∴A ’E=BE=AF=x 22∴AB=2BE+EF=22=+x x222-=x∴边长为222-25.【答案】①③【解析】根据旋转性质可知∠CAD=∠BAF ，AD=AF∠BAC=90° ∠DAE=45°∴∠CAD+∠BAE=45°∴∠EAF=45°∴△AEF ≌△AED∴①正确.②根据①知，CD=BF,DE=EF∴BE+DC=BE+BF>DE=EF.②错③ ∠FBE=45°+45°=90°∴BE 2+BF 2=EF 2△ADC 绕点A 顺时针旋转90度，得△AFB∴△AFB ≌△ADC∴BF=CD又FE=DC∴BE 2=DC 2=DE 2∴①③26.【答案】70°或120°【解析】①如下图点B 在AB 边上时，根据旋转的性质得BD=BD ’, ∠B=55°∴∠BDB ’=180°-2×55°=70°即m=70°②如下图点B 落在AC 上，根据旋转的性质可得BD=B ’D.BD=2CD∴B ’D=2CD∴∠CBD ’=30°在Rt △B ’CD 中，∠CDB ’=90°-30°=60°∠BDB ’=180°-60°=120°即m=120°综上所述，m=70°或120°.27.【答案】由旋转的性质得：△ACE ≌△ABD∴AE=AD=5 CE=BD=6∠DAE=60°∴DE=5作EH ⊥CD 垂足为H设DH=x由勾股定理，得：EH 2=CE 2-CH 2=DE 2-DH 2即62-(4-x)2=52-x 2 解得85=x ，∴DH=85 由勾股定理得：6385)85(52222=-=-=DH DE EH ∴△DCE 的面积=634521=⨯⨯EH CD 【解析】由旋转性质得△ACE ≌△ABD 得出AE=AD=5,CE=BD=6 ∠DAE=60° ∴△ADE 是等边三角形因此DE=AD=5,作EH ⊥CD ，垂足为H设DH=x ，由勾股定理求出EH 、DH即可得出△DCE 的面积。
2020年中考数学一轮专项复习——图形的旋转问题中考真题汇编(含详细解答)
2020年中考数学一轮专项复习——图形的旋转问题中考真题汇编一．选择题1．（2019•济南）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．赵爽弦图B．笛卡尔心形线C．科克曲线D．斐波那契螺旋线2．（2019•湘潭）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置，若∠AOB ＝40°，则∠AOD＝（）A．45°B．40°C．35°D．30°3．（2019•大连）下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．菱形D．平行四边形4．（2019•内江）如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A 顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（）A．1.6 B．1.8 C．2 D．2.6 5．（2019•河北）对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x，再取最小整数n．甲：如图2，思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去；结果取n＝13．乙：如图3，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n＝14．丙：如图4，思路是当x为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去；结果取n＝13．下列正确的是（）A．甲的思路错，他的n值对B．乙的思路和他的n值都对C．甲和丙的n值都对D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对6．（2019•毕节市）下面摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2019个图案中箭头的指向是（）A．上方B．右方C．下方D．左方7．（2019•孝感）如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，则P'的坐标为（）A．（3，2）B．（3，﹣1）C．（2，﹣3）D．（3，﹣2）8．（2019•荆门）如图，Rt△OCB的斜边在y轴上，OC＝，含30°角的顶点与原点重合，直角顶点C在第二象限，将Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B'，则B点的对应点B′的坐标是（）A．（，﹣1）B．（1，﹣）C．（2，0）D．（，0）9．（2019•河南）如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB 与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（）A．（10，3）B．（﹣3，10）C．（10，﹣3）D．（3，﹣10）10．（2019•贵港）若点P（m﹣1，5）与点Q（3，2﹣n）关于原点成中心对称，则m+n 的值是（）A．1 B．3 C．5 D．7 11．（2019•宜昌）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（）A．（﹣1，2+）B．（﹣，3）C．（﹣，2+） D．（﹣3，）12．（2019•张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是（）A．（，﹣）B．（1，0）C．（﹣，﹣）D．（0，﹣1）13．（2019•呼和浩特）已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A、B、C、D按逆时针依次排列，若A点的坐标为（2，），则B点与D点的坐标分别为（）A．（﹣2，），（2，﹣）B．（﹣，2），（，﹣2）C．（﹣，2），（2，﹣）D．（，）（）14．（2019•荆州）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），以原点为中心，将点A 顺时针旋转30°得到点A'，则点A'的坐标为（）A．（，1）B．（，﹣1）C．（2，1）D．（0，2）15．（2019•青岛）如图，将线段AB先向右平移5个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转90°，得到线段A′B′，则点B的对应点B′的坐标是（）A．（﹣4，1）B．（﹣1，2）C．（4，﹣1）D．（1，﹣2）16．（2019•舟山）如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A（1，2），B（3，3）．作菱形OABC关于y轴的对称图形OA'B'C'，再作图形OA'B'C'关于点O的中心对称图形OA″B″C″，则点C的对应点C″的坐标是（）A．（2，﹣1）B．（1，﹣2）C．（﹣2，1）D．（﹣2，﹣1）17．（2019•聊城）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B，将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F时，下列结论中错误的是（）A．AE+AF＝AC B．∠BEO+∠OFC＝180°C．OE+OF＝BC D．S四边形AEOF＝S△ABC 18．（2019•天津）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列结论一定正确的是（）A．AC＝AD B．AB⊥EB C．BC＝DE D．∠A＝∠EBC二．填空题19．（2019•营口）如图，△ABC是等边三角形，点D为BC边上一点，BD＝DC＝2，以点D为顶点作正方形DEFG，且DE＝BC，连接AE，AG．若将正方形DEFG绕点D 旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为．20．（2019•包头）如图，在△ABC中，∠CAB＝55°，∠ABC＝25°，在同一平面内，将△ABC绕A点逆时针旋转70°得到△ADE，连接EC，则tan∠DEC的值是．21．（2019•梧州）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则DP 的长是．22．（2019•河池）如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，1），AC由AB绕点A 顺时针旋转90°而得，则AC所在直线的解析式是．23．（2019•贺州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，AF平分∠BAE 交BC于点F，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG，则CF的长为．24．（2019•邵阳）如图，将等边△AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B在第一象限，将等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，则点B′的坐标是．25．（2019•武汉）问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE 与BC交于点P，可推出结论：PA+PC＝PE．问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝．点O是△MNG 内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是．26．（2019•宿迁）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB 边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．27．（2019•随州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角顶点C的坐标为（1，0），点A在x轴正半轴上，且AC＝2．将△ABC先绕点C逆时针旋转90°，再向左平移3个单位，则变换后点A的对应点的坐标为．28．（2019•哈尔滨）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，其中点A′与A是对应点，点B′与B是对应点，点B′落在边AC上，连接A′B，若∠ACB＝45°，AC＝3，BC＝2，则A′B的长为．29．（2019•海南）如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AF，连结EF．若AB ＝3，AC＝2，且α+β＝∠B，则EF＝．30．（2019•山西）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10cm，点D为△ABC 内一点，∠BAD＝15°，AD＝6cm，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为cm．三．解答题31．（2019•济南）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．（一）猜测探究在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．（1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是，NB与MC的数量关系是；（2）如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（二）拓展应用如图3，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，P是B1C1上的任意点，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旋转75°，得到线段A1Q，连接B1Q．求线段B1Q长度的最小值．32．（2019•阜新）如图，△ABC在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为A（﹣4，4），B （﹣1，1），C（﹣1，4）．（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．（2）将△ABC绕点B逆时针旋转90°，得到△A2BC2，画两出△A2BC2．（3）求线段AB在旋转过程中扫过的图形面积．（结果保留π）33．在下面的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都是网格线的交点，已知B，C两点的坐标分别为（﹣3，0），（﹣1，﹣1）．（1）请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点A的坐标．（2）将△ABC绕着坐标原点顺时针旋转90°，画出旋转后的△A′B'C′．（3）接写出在上述旋转过程中，点A所经过的路径长．34．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，点M是AB的中点，连接MC，点P是线段BC延长线上一点，且PC＜BC，连接MP交AC于点H．将射线MP绕点M逆时针旋转60°交线段CA的延长线于点D．（1）找出与∠AMP相等的角，并说明理由．（2）如图2，CP＝BC，求的值．（3）在（2）的条件下，若MD＝，求线段AB的长．35．（2019•日照）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在对角线AC上，AG＝CH，直线GH绕点O逆时针旋转α角，与边AB、CD分别相交于点E、F（点E不与点A、B重合）．（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；（2）若∠α＝90°，AB＝9，AD＝3，求AE的长．36．（2019•遵义）将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点A旋转，连接BC，DE．探究S△ABC与S△ADE的比是否为定值．（1）两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时，S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图①）（2）一块是等腰直角三角板，另一块是含有30°角的直角三角板时，S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图②）（3）两块三角板中，∠BAE+∠CAD＝180°，AB＝a，AE＝b，AC＝m，AD＝n（a，b，m，n为常数），S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，用含a，b，m，n的式子表示此定值（直接写出结论，不写推理过程），如果不是，说明理由．（图③）37．（2019•辽阳）如图1，△ABC（AC＜BC＜AC）绕点C顺时针旋转得△DEC，射线AB交射线DE于点F．（1）∠AFD与∠BCE的关系是；（2）如图2，当旋转角为60°时，点D，点B与线段AC的中点O恰好在同一直线上，延长DO至点G，使OG＝OD，连接GC．①∠AFD与∠GCD的关系是，请说明理由；②如图3，连接AE，BE，若∠ACB＝45°，CE＝4，求线段AE的长度．38．（2019•本溪）在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＜∠ABC，D是AC边上一点，且DA＝DB，O是AB的中点，CE是△BCD的中线．（1）如图a，连接OC，请直接写出∠OCE和∠OAC的数量关系：；（2）点M是射线EC上的一个动点，将射线OM绕点O逆时针旋转得射线ON，使∠MON＝∠ADB，ON与射线CA交于点N．①如图b，猜想并证明线段OM和线段ON之间的数量关系；②若∠BAC＝30°，BC＝m，当∠AON＝15°时，请直接写出线段ME的长度（用含m的代数式表示）．参考答案一．选择题1．解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．2．解：∵△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置，∴∠BOD＝70°，而∠AOB＝40°，∴∠AOD＝70°﹣40°＝30°．故选：D．3．解：A、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C、菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．4．解：由旋转的性质可知，AD＝AB，∵∠B＝60°，AD＝AB，∴△ADB为等边三角形，∴BD＝AB＝2，∴CD＝CB﹣BD＝1.6，故选：A．5．解：甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为n＝14；乙的思路与计算都正确；丙的思路与计算都错误，图示情况不是最长；故选：B．6．解：如图所示：每次旋转4个图形为一个周期，2019÷4＝504…3，则第2019个图案中箭头的指向与第3个图案方向一致，箭头的指向是下方．故选：C．7．解：作PQ⊥y轴于Q，如图，∵P（2，3），∴PQ＝2，OQ＝3，∵点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'相当于把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP'Q′，∴∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝2，OQ′＝OQ＝3，∴点P′的坐标为（3，﹣2）．故选：D．8．解：如图，在Rt△OCB中，∵∠BOC＝30°，∴BC＝OC＝×＝1，∵Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B'，∴OC′＝OC＝，B′C′＝BC＝1，∠B′C′O＝∠BCO＝90°，∴点B′的坐标为（，﹣1）．故选：A．9．解：∵A（﹣3，4），B（3，4），∴AB＝3+3＝6，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB＝6，∴D（﹣3，10），∵70＝4×17+2，∴每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，∴点D的坐标为（3，﹣10）．故选：D．10．解：∵点P（m﹣1，5）与点Q（3，2﹣n）关于原点对称，∴m﹣1＝﹣3，2﹣n＝﹣5，解得：m＝﹣2，n＝7，则m+n＝﹣2+7＝5．故选：C．11．解：如图，作B′H⊥y轴于H．由题意：OA′＝A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，∴∠A′B′H＝30°，∴AH′＝A′B′＝1，B′H＝，∴OH＝3，∴B′（﹣，3），故选：B．12．解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，∴A（0，1），∵将正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，∴A1（，），A2（1，0），A3（，﹣），…，发现是8次一循环，所以2019÷8＝252 (3)∴点A2019的坐标为（，﹣）故选：A．13．解：如图，连接OA、OD，过点A作AF⊥x轴于点F，过点D作DE⊥x轴于点E，易证△AFO≌△OED（AAS），∴OE＝AF＝，DE＝OF＝2，∴D（，﹣2），∵B、D关于原点对称，∴B（﹣，2），故选：B．14．解：如图，作AE⊥x轴于E，A′F⊥x轴于F．∵∠AEO＝∠OFA′＝90°，∠AOE＝∠AOA′＝∠A′OF＝30°∴∠AOE＝∠A′，∵OA＝OA′，∴△AOE≌△A′OF（AAS），∴OF＝OE＝，A′F＝AE＝1，∴A′（，1）．故选：A．15．解：将线段AB先向右平移5个单位，点B（2，1），连接OB，顺时针旋转90°，则B'对应坐标为（1，﹣2），故选：D．16．解：∵点C的坐标为（2，1），∴点C′的坐标为（﹣2，1），∴点C″的坐标的坐标为（2，﹣1），故选：A．17．解：连接AO，如图所示．∵△ABC为等腰直角三角形，点O为BC的中点，∴OA＝OC，∠AOC＝90°，∠BAO＝∠ACO＝45°．∵∠EOA+∠AOF＝∠EOF＝90°，∠AOF+∠FOC＝∠AOC＝90°，∴∠EOA＝∠FOC．在△EOA和△FOC中，，∴△EOA≌△FOC（ASA），∴EA＝FC，∴AE+AF＝AF+FC＝AC，选项A正确；∵∠B+∠BEO+∠EOB＝∠FOC+∠C+∠OFC＝180°，∠B+∠C＝90°，∠EOB+∠FOC＝180°﹣∠EOF＝90°，∴∠BEO+∠OFC＝180°，选项B正确；∵△EOA≌△FOC，∴S△EOA＝S△FOC，∴S四边形AEOF＝S△EOA+S△AOF＝S△FOC+S△AOF＝S△AOC＝S△ABC，选项D正确．故选：C．18．解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，∴AC＝CD，BC＝CE，AB＝DE，故A错误，C错误；∴∠ACD＝∠BCE，∴∠A＝∠ADC＝，∠CBE＝，∴∠A＝∠EBC，故D正确；∵∠A+∠ABC不一定等于90°，∴∠ABC+∠CBE不一定等于90°，故B错误故选：D．二．填空题（共12小题）19．解：过点A作AM⊥BC于M，∵BD＝DC＝2，∴DC＝4，∴BC＝BD+DC＝2+4＝6，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝6，∵AM⊥BC，∴BM＝BC＝×6＝3，∴DM＝BM﹣BD＝3﹣2＝1，在Rt△ABM中，AM＝＝＝3，当点E在DA延长线上时，AE＝DE﹣AD．此时AE取最小值，在Rt△ADM中，AD＝＝＝2，∴在Rt△ADG中，AG＝＝＝8；故答案为：8．20．解：由旋转的性质可知：AE＝AC，∠CAE＝70°，∴∠ACE＝∠AEC＝55°，又∵∠AED＝∠ACB，∠CAB＝55°，∠ABC＝25°，∴∠ACB＝∠AED＝100°，∴∠DEC＝100°﹣55°＝45°，∴tan∠DEC＝tan45°＝1，故答案为：121．解：连接BD交AC于O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝AB＝2，∠BCD＝∠BAD＝60°，∠ACD＝∠BAC＝∠BAD＝30°，OA＝OC，AC⊥BD，∴OB＝AB＝1，∴OA＝OB＝，∴AC＝2，由旋转的性质得：AE＝AB＝2，∠EAG＝∠BAD＝60°，∴CE＝AC﹣AE＝2﹣2，∵四边形AEFG是菱形，∴EF∥AG，∴∠CEP＝∠EAG＝60°，∴∠CEP+∠ACD＝90°，∴∠CPE＝90°，∴PE＝CE＝﹣1，PC＝PE＝3﹣，∴DP＝CD﹣PC＝2﹣（3﹣）＝﹣1；故答案为：﹣1．22．解：∵A（2，0），B（0，1）∴OA＝2，OB＝1过点C作CD⊥x轴于点D，则易知△ACD≌△BAO（AAS）∴AD＝OB＝1，CD＝OA＝2∴C（3，2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，将点A，点C坐标代入得∴∴直线AC的解析式为y＝2x﹣4．故答案为：y＝2x﹣4．23．解：作FM⊥AD于M，FN⊥AG于N，如图，易得四边形CFMD为矩形，则FM＝4，∵正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，∴DE＝2，∴AE＝＝2，∵△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG，∴AG＝AE＝2，BG＝DE＝2，∠3＝∠4，∠GAE＝90°，∠ABG＝∠D＝90°，而∠ABC＝90°，∴点G在CB的延长线上，∵AF平分∠BAE交BC于点F，∴∠1＝∠2，∴∠2+∠4＝∠1+∠3，即FA平分∠GAD，∴FN＝FM＝4，∵AB•GF＝FN•AG，∴GF＝＝2，∴CF＝CG﹣GF＝4+2﹣2＝6﹣2．故答案为6﹣2．24．解：作BH⊥y轴于H，如图，∵△OAB为等边三角形，∴OH＝AH＝2，∠BOA＝60°，∴BH＝OH＝2，∴B点坐标为（2，2），∵等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，∴点B′的坐标是（﹣2，﹣2）．故答案为（﹣2，﹣2）．25．（1）证明：如图1，在BC上截取BG＝PD，在△ABG和△ADP中，∴△ABG≌△ADP（SAS），∴AG＝AP，BG＝DP，∴GC＝PE，∵∠GAP＝∠BAD＝60°，∴△AGP是等边三角形，∴AP＝GP，∴PA+PC＝GP+PC＝GC＝PE∴PA+PC＝PE；（2）解：如图2：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F．∵△MGD和△OME是等边三角形∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，∴∠GMO＝∠DME在△GMO和△DME中∴△GMO≌△DME（SAS），∴OG＝DE∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO∴当D、E、O、M四点共线时，NO+GO+MO值最小，∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，∴∠NMD＝135°，∴∠DMF＝45°，∵MG＝．∴MF＝DF＝4，∴NF＝MN+MF＝6+4＝10，∴ND＝＝＝2，∴MO+NO+GO最小值为2，故答案为2，26．解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM＝MP+CP＝HE+EC＝1+＝故答案为．27．解：∵点C的坐标为（1，0），AC＝2，∴点A的坐标为（3，0），如图所示，将Rt△ABC先绕点C逆时针旋转90°，则点A′的坐标为（1，2），再向左平移3个单位长度，则变换后点A′的对应点坐标为（﹣2，2），故答案为：（﹣2，2）．28．解：∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，∴AC＝A'C＝3，∠ACB＝∠ACA'＝45°∴∠A'CB＝90°∴A'B＝＝故答案为29．解：由旋转的性质可得AE＝AB＝3，AC＝AF＝2，∵∠B+∠BAC＝90°，且α+β＝∠B，∴∠BAC+α+β＝90°∴∠EAF＝90°∴EF＝＝故答案为：30．解：过点A作AG⊥DE于点G，由旋转知：AD＝AE，∠DAE＝90°，∠CAE＝∠BAD＝15°，∴∠AED＝∠ADG＝45°，在△AEF中，∠AFD＝∠AED+∠CAE＝60°，在Rt△ADG中，AG＝DG＝＝3cm，在Rt△AFG中，GF＝＝cm，AF＝2FG＝2cm，∴CF＝AC﹣AF＝（10﹣2）cm，故答案为：（10﹣2）cm．三．解答题（共8小题）31．解：（一）（1）结论：∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．理由：如图1中，∵∠MAN＝∠CAB，∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，∴∠NAB＝∠MAC，∵AB＝AC，AN＝AM，∴△NAB≌△MAC（SAS），∴BN＝CM．故答案为∠NAB＝∠MAC，BN＝CM．（2）如图2中，①中结论仍然成立．理由：∵∠MAN＝∠CAB，∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，∴∠NAB＝∠MAC，∵AB＝AC，AN＝AM，∴△NAB≌△MAC（SAS），∴BN＝CM．（二）如图3中，在A1C1上截取A1N＝A1B1，连接PN，作NH⊥B1C1于H，作A1M⊥B1C1于M．∵∠C1A1B1＝∠PA1Q，∴∠QA1B1＝∠PA1N，∵A1A＝A1P，A1B1＝AN，∴△QA1B1≌△PA1N（SAS），∴B1Q＝PN，∴当PN的值最小时，QB1的值最小，在Rt△A1B1M中，∵∠A1B1M＝60°，A1B1＝8，∴A1M＝A1B1•sin60°＝4，∵∠MA1C1＝∠B1A1C1﹣∠B1A1M＝75°﹣30°＝45°，∴A 1C1＝4，∴NC 1＝A1C1﹣A1N＝4﹣8，在Rt△NHC1，∵∠C1＝45°，∴NH＝4﹣4，根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PN的值最小，∴QB1的最小值为4﹣4．32．解：（1）如图，△A l B1C1为所作；（2）如图，△A2BC2为所作；（3）AB＝＝3，所以线段AB在旋转过程中扫过的图形面积＝＝π．33．解：（1）如图，A点坐标为（﹣2，3）；（2）如图，△A′B′C′为所作；（2）如图，OA＝＝，所以点A所经过的路径长＝＝π．△A2B2C2为所作；点A2的坐标为（﹣1，﹣1）．34．解：（1）∠D＝∠AMP．理由如下：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°．∴∠D+∠DMA＝60°．由旋转的性质知，∠DMA+∠AMP＝60°．∴∠D＝∠AMP；（2）如图，过点C作CG∥BA交MP于点G．∴∠GCP＝∠B＝30°，∠BCG＝150°．∵∠ACB＝90°，点M是AB的中点，∴CM＝AB＝BM＝AM．∴∠MCB＝∠B＝30°．∴∠MCG＝120°．∵∠MAD＝180°﹣60°＝120°．∴∠MAD＝∠MCG．∵∠DMG﹣∠AMG＝∠AMC﹣∠AMG，∴∠DMA＝∠GMC．在△MDA与△MGC中，∴△MDA≌△MGC（ASA）．∴AD＝CG．∵CP＝BC．∴CP＝BP．∵CG∥BM，∴△CGP∽△BMP．∴＝＝．设CG＝AD＝t，则BM＝3t，AB＝6t．在Rt△ABC中，cos B＝＝．∴BC＝3t．∴＝＝；（3）如图，由（2）知△CGP∽△BMP．则MD＝MG＝．∵CG∥MA．∴∠CGH＝∠AMH．∵∠GHC＝∠MHA，∴△GHC∽△MHA．∴＝＝＝．∴HG＝MG＝×＝．∴MH＝﹣＝．由（2）知，CG＝AD＝t，则BM＝AM＝CA＝3t．∴CH＝t，AH＝t．∵∠MHA＝∠DHM，∠HMA＝∠D．∴△MHA∽△DHM．∴＝．∴MH2＝AH•DH，即（）2＝t t．解得t1＝，t2＝﹣（舍去）．∴AB＝6t＝2．35．证明：（1）∵对角线AC的中点为O∴AO＝CO，且AG＝CH∴GO＝HO∵四边形ABCD是矩形∴AD＝BC，CD＝AB，CD∥AB∴∠DCA＝∠CAB，且CO＝AO，∠FOC＝∠EOA ∴△COF≌△AOE（ASA）∴FO＝EO，且GO＝HO∴四边形EHFG是平行四边形；（2）如图，连接CE∵∠α＝90°，∴EF⊥AC，且AO＝CO∴EF是AC的垂直平分线，∴AE＝CE，在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2，∴AE2＝（9﹣AE）2+9，∴AE＝536．解：（1）结论：S△ABC：S△ADE＝定值．理由：如图1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延长线于G．∵∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAC+∠EAD＝180°，∠BAC+∠CAG＝180°，∴∠DAE＝∠CAG，∵AB＝AE＝AD＝AC，∴＝＝1．（2）如图2中，S△ABC：S△ADE＝定值．理由：如图1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延长线于G．不妨设∠ADC＝30°，则AD＝AC，AE＝AB，∵∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAC+∠EAD＝180°，∠BAC+∠CAG＝180°，∴∠DAE＝∠CAG，∴＝＝．（3）如图3中，如图2中，S△ABC：S△ADE＝定值．理由：如图1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延长线于G．∵∠BAE+∠CAD＝180°，∴∠BAC+∠EAD＝180°，∠BAC+∠CAG＝180°，∴∠DAE＝∠CAG，∵AB＝a，AE＝b，AC＝m，AD＝n∴＝＝．37．解：（1）如图1，AF与CD的交点记作点N，由旋转知，∠ACB＝∠DCE，∠A＝∠D，∴∠BCE＝∠ACD，∵∠ACD＝180°﹣∠A﹣∠ANC，∠AFD＝180°﹣∠D﹣∠DNF，∠ANC＝∠DNF，∴∠ACD＝∠AFD，∴∠AFD＝∠BCE，故答案为：∠AFD＝∠BCE；（2）①∠AFD＝∠GCD或∠AFD+∠GCD＝180°，理由：如图2，连接AD，由旋转知，∠CAB＝∠CDE，CA＝CD，∠ACD＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴AD＝CD，∵∠AMC＝∠DMF，∴△ACM∽△DFM，∴∠ACD＝∠AFD，∵O是AC的中点，∴AO＝CO，∵OD＝OG，∠AOD＝∠COG，∴△AOD≌△COG（SAS），∴AD＝CG，∴CG＝CD，∴∠GCD＝2∠ACD＝120°，∴∠AFD＝∠GCD或∠AFD+∠GCD＝180°，故答案为：∠AFD＝∠GCD或∠AFD+∠GCD＝180°；②由①知，∠GCD＝120°，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠GCA＝∠GCD﹣∠ACD＝60°，∴∠GCA＝∠BCE，∵∠GCB＝∠GCA+∠ACB，∠ACE＝∠BCE+∠ACB，∴∠GCB＝∠ACE，由①知，CG＝CD，CD＝CA，∴CG＝CA，∵BC＝EC＝4，∴△GCB≌△ACE（SAS），∴BC＝CE＝4，∴GB＝AE，∵CG＝CD，OG＝OD，∴CO⊥GD，∴∠COG＝∠COB＝90°在Rt△BOC中，BO＝BC•sin∠ACB＝2，CO＝BC•cos∠ACB＝2，在Rt△GOC中，GO＝CO•tan∠GCA＝2，∴GB＝CO+BO＝2+2，∴AE＝2+2．38．解：（1）结论：∠ECO＝∠OAC．理由：如图1中，连接OE．∵∠BCD＝90°，BE＝ED，BO＝OA，∵CE＝ED＝EB＝BD，CO＝OA＝OB，∴∠OCA＝∠A，∵BE＝ED，BO＝OA，∴OE∥AD，OE＝AD，∴CE＝EO．∴∠EOC＝∠OCA＝∠ECO，∴∠ECO＝∠OAC．故答案为：∠OCE＝∠OAC．（2）如图2中，∵OC＝OA，DA＝DB，∴∠A＝∠OCA＝∠ABD，∴∠COA＝∠ADB，∵∠MON＝∠ADB，∴∠AOC＝∠MON，∴∠COM＝∠AON，∵∠ECO＝∠OAC，∴∠MCO＝∠NAO，∵OC＝OA，∴△COM≌△AON（ASA），∴OM＝ON．②如图3﹣1中，当点N在CA的延长线上时，∵∠CAB＝30°＝∠OAN+∠ANO，∠AON＝15°，∴∠AON＝∠ANO＝15°，∴OA＝AN＝m，∵△OCM≌△OAN，∴CM＝AN＝m，在Rt△BCD中，∵BC＝m，∠CDB＝60°，∴BD＝m，∵BE＝ED，∴CE＝BD＝m，∴EM＝CM+CE＝m+m．如图3﹣2中，当点N在线段AC上时，作OH⊥AC于H．∵∠AON＝15°，∠CAB＝30°，∴∠ONH＝15°+30°＝45°，∴OH＝HN＝m，∵AH＝m，∴CM＝AN＝m﹣m，∵EC＝m，∴EM＝EC﹣CM＝m﹣（m﹣m）＝m﹣m，综上所述，满足条件的EM的值为m+m或m﹣m．。
风力机的基本参数与理论
风力发电机风轮系统2.1.1 风力机空气动力学的基本概念1、风力机空气动力学的几何定义（1）翼型的几何参数翼型翼型本是来自航空动力学的名词，是机翼剖面的形状，风力机的叶片都是采用机翼或类似机翼的翼型，与翼型上表面和下表面距离相等的曲线称为中弧线。
下面是翼型的几何参数图1）前缘、后缘翼型中弧线的最前点称为翼型的前缘，最后点称为翼型的后缘。
2）弦线、弦长连接前缘与后缘的直线称为弦线；其长度称为弦长，用c表示。
弦长是很重要的数据，翼型上的所有尺寸数据都是弦长的相对值。
3）最大弯度、最大弯度位置中弧线在y坐标最大值称为最大弯度，用f表示，简称弯度；最大弯度点的x坐标称为最大弯度位置，用x f表示。
4）最大厚度、最大厚度位置上下翼面在y坐标上的最大距离称为翼型的最大厚度，简称厚度，用t表示；最大厚度点的x坐标称为最大厚度位置，用x t表示。
5）前缘半径翼型前缘为一圆弧，该圆弧半径称为前缘半径，用r1表示。
6）后缘角翼型后缘上下两弧线切线的夹角称为后缘角，用τ表示。
7）中弧线翼型内切圆圆心的连线。
对称翼型的中弧线与翼弦重合。
8）上翼面凸出的翼型表面。
9）下翼面平缓的翼型表面。
（2）风轮的几何参数1）风力发电机的扫风面积风轮旋转扫过的面积在垂直于风向的投影面积是风力机截留风能的面积，称为风力机的扫掠面积，下图是一个三叶片水平轴风力机的扫掠面积示意图。
下图是一个四叶片的H型升力垂直轴风力发电机的扫掠面积示意图。
根据前面两表可由所需发电功率估算出风力机所需的扫风面积，例如200W的升力型垂直轴风力发电机工作风速为6m/s，全效率按25%计算所需扫风面积约为6.2m2,如果工作风速为10m/s则所需扫风面积约为1.4m2即可；例如10kW的升力型垂直轴风力发电机工作风速为10m/s，全效率按30%计算所需扫风面积约为56m2,如果工作风速为13m/s则所需扫风面积约为25m2即可。
按高风速设计的风力机体积小成本相对低些，但必须用在高风速环境，例如把一台设计风速为10m/s的风力机放在风速为6m/s的环境工作，其功率会下降80%；按风速6m/s设计的风力机风轮会很大，虽在6m/s时运行很好，但遇大风易超速损坏电机，为抗强风时需增加结构强度使成本大大增加。
例说计算旋转扫过的面积
ABC OD计算旋转扫过的面积河北 欧阳庆红我们知道线旋转,面在平面上旋转都扫过一定面积,如何计算图形旋转扫过的面积呢,下面跟随我的脚步来领略几例计算旋转扫过的面积问题.例1 (08内江市)如图1，Rt A BC ''△是由Rt ABC △绕B 点顺时针旋转而得，且点A B C '，，在同一条直线上，在Rt ABC △中，若90C =∠，2BC =，4AB =，则斜边AB 旋转到A B '所扫过的扇形面积为 ．解析: 欲求斜边AB 旋转到A B '所扫过的扇形面积，已知扇形半径AB=4,只要求出其圆心角∠A AB '度数, ∵Rt A BC ''△是由Rt ABC △绕B 点旋转得到的,∴△ACB ≌△B C A '',∴,2,4=='=='BC C B AB B A ∴∠A '=030,∴∠A AB '=∠C '+∠A '=01203090=+，∴.31636041202ππ=⨯⨯='A AB S 扇形例 2 （08甘肃兰州）如图2，在Rt ABC △中，903C AC ∠==，．将其绕B 点顺时针旋转一周，则分别以BA BC ，为半径的圆形成一圆环．则该圆环的面积为 ．解析：本题考察了圆的有关计算，勾股定理，旋转等方面的知识. 根据圆面积公式和勾股定理：圆环的面积为：πAB 2－πBC 2=π(AB 2－BC 2)= πAC 2 =π×32 =9π.所以本题填9π.例3 (08宁波)如图3，菱形OABC 中，120A =∠，1OA =，将菱形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转90，则图中由BB '，B A ''，A C '，CB 围成的阴影部分的面积是 ．解析:本题主要考查扇形面积的计算和菱形的性质,连接BO,O B ',图2ACBCBA图1阴影部分的面积转化为扇形B BO '面积-扇形A CO '面积-三角形BOC 面积-三角形O A B ''面积=扇形B BO '面积-扇形A CO '面积-菱形OABC 的面积,欲求扇形B BO '面积,需要计算OB 的长,于是连接AC,则AC ⊥OB, ∵120A =∠,∴∠AOC=060,∴∠AOB=21∠AOC=030, ∴AD=2121=AO ,根据勾股定理得,OD=22AD OA -=23, ∴OB=3,∵旋转角∠A AO '=，090∴∠A CO '=，030∴∠B BO '=，090∴()OB AC S ⨯⨯-⨯-⨯=2136013036039022ππ阴影=31211243⨯⨯--ππ=23π32-. 例4 (08鄂州)如图4，Rt ABC △中，90ACB ∠=，30CAB ∠=，2BC =，O H ，分别为边AB AC ，的中点，将ABC △绕点B 顺时针旋转120到11A BC △的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ C ） A ．77π338- B ．47π338+ C ．πD ．4π33+ 解析:本题考查的知识点有扇形面积的计算,中位线定理和直角三角形的有关性质等,连接BH 和1BH ,∵90ACB ∠=，30CAB ∠=，2BC =，∴AB=2BC=4, ∴AC=,32242222=-=-BC AB∵O H ，分别为边AB AC ，的中点，∴OB=1OB =2,CH=32111==AC H C , ∴BH=()73222211211=+=+=H C BC BH ,易证△HOB ≌△B O H 11,∴线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为圆心角为图4AHBOC120,半径分别为7和3的两扇形的面积差,即3601202BH S π=阴影3601202BO π-=πππ=-3437.。
九年级上学期数学《旋转》单元测试卷附答案
[答案]B
[解析]
根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等,可知,只要连接两组对应点,作出对应点所连线段的两条垂直平分线,其交点即为旋转中心．
解：如图,
连接A D、BE,作线段A D、BE的垂直平分线,
两线的交点即为旋转中心O′.其坐标是(0,1).
[答案]
[解析]
[分析]
平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于原点的对称点是(-x,-y),记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
[详解]∵点A(m,5)与点B(2,n)关于原点对称,
∴m=−2,n=−5,
∴3m+2n=−6−10=−16.
故答案为−16.
[点睛]本题考查了关于原点对称点的性质,解题的关键是熟练的掌握关于原点对称点的性质.
⑤锐角,不是中心对称图形；
⑥平行四边形是中心对称图形；
所以,①②④⑥共4个．
故答案为4．
[点睛]本题考查了中心对称图形,解题的关键是熟练的掌握中心对称图形的概念.
14.请在下图各组符号中找出它们所蕴含的内在规律,然后在横线的空白处设计一个恰当的图形．
________．
[答案]
[解析]
试题分析：从图中可以发现所有的图形都是轴对称图形,而且图形从左到右分别是1-7的数字,所以画一个轴对称图形且数字为6即可．
[详解]A.不是中心对称图形,故此选项错误；
B.不是中心对称图形,故此选项错误；
C.是中心对称图形,故此选项正确；
D.不是中心对称图形,故此选项错误；
故答案选：C.
[点睛]本题考查了中心对称图形,解题的关键是熟练的掌握中心对称图形的定义.
2.如图,△DEF是由△A B C绕着某点旋转得到的,则这点的坐标是()
专题3弧长和扇形面积(专项练习含答案
专题3.24 弧长和扇形面积（专项练习1）一、单选题知识点一、求弧长1．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，若OA ＝2，⊙P ＝60°，则AB 的长为( )A ．23πB ．πC ．43πD ．53π 2．如图，在扇形AOB 中，AC 为弦，140AOB ∠︒＝，60CAO ∠︒＝，6OA ＝，则BC 的长为（ ）A ．43πB ．83πC ．D ．2π 3．如图，半径为1的⊙O 与正五边形ABCDE 相切于点A ，C ，则劣弧AC 的长度为（ ）A ．25π B ．23π C ．34π D ．45π 知识点二、求半径4．一个扇形的圆心角为60°，弧长为2π厘米，则这个扇形的半径为（ ）A ．6厘米B ．12厘米C ．厘米D 厘米 5．若扇形的圆心角为90︒，弧长为3π，则该扇形的半径为（ ）A B ．6 C ．12 D ．，圆心角是150，则它的半径长为（）6．已知一个扇形的弧长为5cmA．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 知识点三、求圆心角7．已知扇形半径为3，弧长为π，则它所对的圆心角的度数为（）A．120°B．60°C．40°D．20°8．圆锥的地面半径为10cm．它的展开图扇形半径为30cm，则这个扇形圆心角的度数是（）A．60°B．90°C．120°D．150°9．有一条弧的长为2πcm，半径为2cm，则这条弧所对的圆心角的度数是（）A．90°B．120°C．180°D．135°知识点四、求点的运动路径长10．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，⊙ABC的顶点都在格点上，将⊙ABC绕点C 顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为()A．10πBC D．π11．如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB=2，当风车转动90°时，点B运动路径的长度为（）A．πB．2πC．3πD．4π12．如图，已知□ABCD的对角线BD=4cm，将□ABCD绕其对称中心O旋转180°，则点D所转过的路径长为（ ）A ．4π cmB ．3π cmC ．2π cmD ．π cm知识点五、求扇形面积13．如图，AB 为半圆的直径，其中4AB =，半圆绕点B 顺时针旋转45︒，点A 旋转到点A '的位置，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．πB ．2πC ．2πD ．4π14．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，⊙BCD=30°，OA=2，则阴影部分的面积是（ ）A ．3πB ．23πC ．πD ．2π15．如图，等边三角形ABC 内接于O ，若O 的半径为2，则图中阴影部分的面积等于（ ）A ．3πB ．23πC ．43πD ．2π知识点六、求旋转扫过的面积16．如图，C 是半圆⊙O 内一点，直径AB 的长为4cm ，⊙BOC ＝60°，⊙BCO ＝90°，将⊙BOC 绕圆心O 逆时针旋转至⊙B′OC′，点C′在OA 上，则边BC 扫过的区域（图中阴影部分）的面积为（ ）A ．43πB ．πC ．4πD 17．在⊙ABC 中，⊙C=90°，BC=4cm ，AC=3cm ，把⊙ABC 绕点A 顺时针旋转90°后，得到⊙A 1B 1C 1（如图所示），则线段AB 所扫过的面积为（ ）A ．2B ．254πcm 2C ．252πcm 2D ．5πcm 218．如图，直径AB 为6的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 到了点B′，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．6πB ．5πC ．4πD ．3π知识点七、求弓形的面积19．如图，在O 中，2OA =，45C ∠=︒，则图中阴影部分的面积为（ ）A．2πB ．πC ．22π- D ．2π-20．如图，阴影表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，若127S S +=，且8AC BC +=，则AB 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．1021．如图，某商标是由三个半径都为R 的圆弧两两外切得到的图形，则三个切点间的弧所围成的阴影部分的面积是（ ）A ．（√3﹣12π）R 2B ．（√3+12π）R 2C ．（√32﹣π）R 2D ．（√32+π）R 2知识点八、求不规则图形面积22．如图，在菱形ABCD 中，点E 是BC 的中点，以C 为圆心、CE 为半径作弧，交CD 于点F ，连接,AE AF ．若6AB =，60B ∠=，则阴影部分的面积为（ ）A ．3πB ．2πC ．9π-D ．6π 23．如图，直径6AB =的半圆，绕B 点顺时针旋转30︒，此时点A 到了点A '，则图中阴影部分的面积是（ ）．A ．2πB ．34πC ．πD ．3π24．如图，菱形ABCD 的边长为4cm ，⊙A ＝60°，弧BD 是以点A 为圆心，AB 长为半径的弧，弧CD 是以点B 为圆心，BC 长为半径的弧，则阴影部分的面积为（ ）A ．2cm 2B ．2C ．4cm 2D ．πcm 2二、填空题 知识点一、求弧长25．如图，边长为的正六边形螺帽，中心为点O ，OA 垂直平分边CD ，垂足为B ，AB ＝17cm ，用扳手拧动螺帽旋转90°，则点A 在该过程中所经过的路径长为_____cm ．26．一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm ．则扇形的弧长为__________cm ． 27．如图，在66⨯的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A 、B 、C 为格点，作ABC 的外接圆，则BC 的长等于_____．知识点二、求半径28．已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则它的半径为________．29．若扇形的圆心角为120°，弧长为18πcm ，则该扇形的半径为_____cm ．30．如图，⊙O 的半径为6cm ，B 为⊙O 外一点，OB 交⊙O 于点A ，AB=OA ，动点P 从点A 出发，以π cm/s 的速度在⊙O 上按逆时针方向运动一周回到点A 立即停止．当点P 运动的时间为______时，BP 与⊙O 相切．知识点三、求圆心角31．一个扇形的弧长是20cm π，面积是2240cm π，则这个扇形的圆心角是___度． 32．如图，点A 、B 、C 在半径为9的⊙O 上，AB 的长为，则⊙ACB 的大小是___．33．若一个扇形的弧长是2πcm ，面积是26πcm ，则扇形的圆心角是__________度．知识点四、求点的运动路径长34．如图，扇形AOB 中，10,36OA AOB =∠=︒．若将此扇形绕点B 顺时针旋转，得一新扇形A O B ''，其中A 点在O B '上，则点O 的运动路径长为_______cm ．（结果保留π）35．将边长为2的正六边形ABCDEF 绕中心O 顺时针旋转α度与原图形重合，当α最小时，点A 运动的路径长为_____．36．如图，在扇形铁皮AOB中，OA=10，⊙AOB=36°，OB在直线l上．将此扇形沿l按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当OA第5次落在l上时，停止旋转．则点O所经过的路线长为_____．知识点五、求扇形面积37．如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C，F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则正六边形的边长为_____．38．一个扇形的半径为3cm，面积为 2cm，则此扇形的圆心角为______．39．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，刚好过点O，以点D为圆心，DO的长为半径画弧，交AD于点E，若AC＝2，则图中阴影部分的面积为_____．（结果保留π）知识点六、求旋转扫过的面积40．如图，在⊙ABC 中，⊙ABC ＝45°，⊙ACB ＝30°，AB ＝2，将⊙ABC 绕点C 顺时针旋转60°得⊙CDE ，则图中线段AB 扫过的阴影部分的面积为_____．41．如图，在⊙ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，将⊙ABC 绕点A 逆时针旋转30°后得到⊙ADE ，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积为________．42．如图，将ABC 绕点A 逆时针旋转120︒得ADE ，已知4AB =，1AC =，那么图中阴影部分的面积是________．（结果保留π）知识点七、求弓形的面积43．如图，⊙O 的半径为2，点A ，B 在⊙O 上，⊙AOB =90°，则阴影部分的面积为________．44．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若⊙BAC ＝45°，OB ＝2，则图中阴影部分的面积为_____．45．如图，点C 是以AB 为直径的半圆O 的三等分点，2AC = ，则图中阴影部分的面积是 _______．知识点八、求不规则图形面积46．如图,边长为2的正方形ABCD 中心与半径为2的⊙O 的圆心重合,E 、F 分别是AD 、BA 的延长与⊙O 的交点,则图中阴影部分的面积是______.(结果保留π)47．如图，AB 是O 的直径，点E 是BF 的中点，过点E 的切 线分别交AF AB ，的延长线于点D C ，，若C 30∠=，O 的半径是2，则图形中阴影部分的面积是_______．48．如图所示的扇形AOB 中，920,OA B OB AO ∠===︒，C 为AB 上一点，30AOC ∠=︒，连接BC ，过C 作OA 的垂线交AO 于点D ，则图中阴影部分的面积为_______．三、解答题知识点一、求弧长49．如图，PC是⊙O的直径，PA切⊙O于点P，OA交⊙O于点B，连结BC．已知⊙O的半径为2，⊙C＝35°（1）求⊙A的度数；（2）求BC的长．知识点二、求半径50．在⊙O中，弦AB所对的圆周角为30°，且5cmAB=，求AB的长．嘉琪的解法如下：⊙弦AB所对的圆周角是30°，AB∴的长为3055(cm) 1806ππ⨯=．请问嘉琪的解法正确吗？如果不正确，请给出理由．知识点三、求圆心角51．若一条圆弧所在圆半径为9，弧长为52π，求这条弧所对的圆心角．知识点四、求点的运动路径长52．如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，O为AD边的中点，若把四边形ABCD绕点O顺时针旋转180°，试解决下列问题：(1)画出四边形ABCD旋转后的图形；(2)求点C在旋转过程中经过的路径长．知识点五、求扇形面积53．如图，AB是O的直径，点D是AB延长线上的一点，点C在O上，且AC=CD,＝．∠︒120ACD（）求证：CD是O的切线；1（）若O的半径为3，求图中阴影部分的面积．2知识点六、求旋转扫过的面积54．如图所示，在平面直角坐标系中，Rt⊙ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．（1）将⊙ABC以点C为旋转中心逆时针旋转90°，画出旋转后对应的⊙A1B1C；（2）图中⊙ABC外接圆的圆心的坐标是，⊙ABC外接圆的面积是平方单位长度．知识点七、求弓形的面积55．如图，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，DE⊙BC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）当AB＝⊙C＝30°时，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．知识点八、求不规则图形面积56．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AB，DC的延长线交于点E．（1）求证：AC平分⊙DAB；（2）若BE=3，参考答案1．C【解析】试题解析：⊙P A、PB是⊙O的切线，⊙⊙OBP=⊙OAP=90°，在四边形APBO中，⊙P=60°，⊙⊙AOB =120°，⊙OA =2，⊙AB 的长l =12024=1803ππ⨯. 故选C.2．B【分析】连接OC ，根据等边三角形的性质得到80BOC ∠︒＝，根据弧长公式计算即可．【详解】连接OC ，60OA OC CAO ∠︒＝，＝，AOC ∴为等边三角形，60AOC ∴∠︒＝，1406080BOC AOB AOC ∴∠∠-∠︒-︒︒＝＝＝，则BC 的长80681803ππ⨯==， 故选B ． 【点拨】本题考查弧长的计算，等边三角形的判定和性质，掌握弧长公式：180n r l π＝是解题的关键．3．D【分析】连接OA 、OC ，如图，根据正多边形内角和公式可求出⊙E 、⊙D ，根据切线的性质可求出⊙OAE 、⊙OCD ，从而可求出⊙AOC ，然后根据圆弧长公式即可解决问题.【详解】连接OA 、OC ，如图．⊙五边形ABCDE 是正五边形， ⊙⊙E ＝⊙D ＝(52)1805︒-⨯＝108°．⊙AE 、CD 与⊙O 相切，⊙⊙OAE ＝⊙OCD ＝90°，⊙⊙AOC ＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，⊙劣弧AC 的长为144141805ππ⨯=． 故选D ．【点拨】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、圆弧长公式等知识，求出圆弧所对应的圆心角是解决本题的关键．4．A【解析】 l=180n R π⨯， 由题意得，2π=60180R π⨯， 解得：R=6cm ．故选A ．故选A ．【点睛】运用了弧长的计算公式，属于基础题，熟练掌握弧长的计算公式是关键． 5．B 【分析】根据弧长公式180n r l π=可以求得该扇形的半径的长度． 【详解】 解：根据弧长的公式180n r l π=，知 180180390l r n πππ⨯===6， 即该扇形的半径为6．故选：B ．【点拨】本题考查了弧长的计算．解题时，主要是根据弧长公式列出关于半径r 的方程，通过解方程即可求得r 的值．6．A【分析】设扇形半径为rcm ，根据扇形弧长公式列方程计算即可.【详解】设扇形半径为rcm ， 则150180r π=5π，解得r =6cm . 故选A.【点拨】本题主要考查扇形弧长公式.7．B【解析】【详解】解：根据l=3180180n r n ππ⨯==π， 解得：n=60°，故选B ．【点拨】本题考查弧长公式，在半径为r 的圆中，n°的圆心角所对的弧长为l=180n r π. 8．C【解析】【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长得到圆锥的展开图扇形的弧长＝2π•10，然后根据扇形的弧长公式l ＝180n R π 计算即可求出n ． 【详解】解：设圆锥的展开图扇形的圆心角的度数为n ．⊙圆锥的底面圆的周长＝2π•10＝20π，⊙圆锥的展开图扇形的弧长＝20π，⊙20π＝30180n π⋅⋅， ⊙n ＝120°．故答案选：C ．【点拨】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长，母线长等于扇形的半径．也考查了扇形的弧长公式．9．C【分析】根据弧长公式：l ＝180n R π（弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R ），代入即可求出圆心角的度数．【详解】解：由题意得，2π＝2180n π⨯， 解得：n ＝180．即这条弧所对的圆心角的度数是180°．故选C ．【点拨】本题考查了弧长的计算，解答本题关键是熟练掌握弧长的计算公式，及公式字母表示的含义．10．C【详解】如图所示：在Rt⊙ACD 中，AD=3，DC=1，根据勾股定理得：又将⊙ABC 绕点C 顺时针旋转60°，则顶点A 所经过的路径长为=． 故选C.11．A【分析】B 点的运动路径是以A 点为圆心，AB 长为半径的圆的14的周长，然后根据圆的周长公式即可得到B 点的运动路径长度为π．【详解】解：⊙B 点的运动路径是以A 点为圆心，AB 长为半径的圆的14的周长， ⊙9022360，故选：A ．【点拨】本题考查了弧长的计算，熟悉相关性质是解题的关键．12．C【分析】点D 所转过的路径长是一段弧，是一段圆心角为180°，半径为OD 的弧，故根据弧长公式计算即可．【详解】解：BD=4， ⊙OD=2⊙点D 所转过的路径长=1802180π⨯=2π． 故选：C ．【点拨】本题主要考查了弧长公式：180n r l π=． 13．B【分析】由旋转的性质可得：AB A B BAA S S S S ''+=+阴影半圆半圆扇形，从而可得BAA S S '=阴影扇形，利用扇形面积公式计算即可．【详解】解：半圆AB 绕点B 顺时针旋转45︒，点A 旋转到A '的位置， AB A B S S '∴=半圆半圆，45ABA '∠=︒．AB A B BAA S S S S ''+=+阴影半圆半圆扇形，BAA S S '∴=阴影扇形24542360ππ⨯==． 故选B ． 【点拨】本题考查的是旋转的性质，扇形面积的计算，掌握以上知识是解题的关键． 14．B【分析】根据圆周角定理可以求得⊙BOD 的度数，然后根据扇形面积公式即可解答本题．【详解】⊙⊙BCD=30°，⊙⊙BOD=60°，⊙AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，OA=2，⊙阴影部分的面积是：236236020ππ⨯⨯=， 故选B ．【点拨】本题考查扇形面积的计算、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．15．C【分析】连接OC ，如图，利用等边三角形的性质得120AOC ∠=，AOB AOC SS =，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积AOC S =扇形进行计算．【详解】解：连接OC ，如图， ABC 为等边三角形，120AOC ∠∴=，AOB AOC S S =，∴图中阴影部分的面积212024.3603AOC S 扇形ππ⋅⨯===故选C ．【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.也考查了等边三角形的性质．16．B【解析】【分析】根据直角三角形的性质求出OC 、BC ，根据扇形面积公式：2360n r S π=计算即可． 【详解】解：⊙⊙BOC=60°，⊙BCO=90°，⊙⊙OBC=30°，⊙OC=12OB=1，则边BC 扫过的区域的面积为：2212021120111136023602ππ⨯⨯+-- =πcm 2．故答案为B ．【点拨】本题主要考查扇形面积公式，三角形的性质．正确计算扇形面积是解题的关键． 17．B【解析】【分析】首先求出AB ，然后根据扇形面积公式计算即可.【详解】解：，⊙线段AB 所扫过的面积为：290525=3604ππ⋅⋅， 故选：B.【点拨】本题主要考查扇形面积计算，熟练掌握扇形面积计算公式是解题关键. 18．A【详解】试题分析：根据题意可得：阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB 为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积=26066360ππ⨯=，故选A ． 考点：图形旋转的性质、扇形的面积．19．D【分析】根据圆周角定理得出⊙AOB=90°，再利用S 阴影=S 扇形OAB -S ⊙OAB 算出结果.【详解】解：⊙⊙C=45°，⊙⊙AOB=90°，⊙OA=OB=2，⊙S阴影=S扇形OAB-S⊙OAB=29021223602π⋅⋅-⨯⨯=2π-，故选D.【点拨】本题考查了圆周角定理，扇形面积计算，解题的关键是得到⊙AOB=90°.20．A【分析】根据勾股定理得到AC2＋BC2＝AB2，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可．【详解】解：由勾股定理得，AC2＋BC2＝AB2，⊙S1＋S2＝7，⊙12×π×（2AC）2＋12×π×（2BC）2＋12×AC×BC−12×π×（2AB）2＝7，⊙AC×BC＝14，AB6，故选：A．【点拨】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．21．A【解析】【分析】由题意知，得到的如图三角形是等边三角形，边长也为R，阴影的部分的面积等于等边三角形的面积减去三个弓形的面积．而一个弓形的面积等于圆心角为60度的半径为R 的扇形的面积减去边长为R的等边三角形的面积．【详解】解：边长为R的等边三角形的面积SΔ=12×sin60°R2=√34R2；半径为R的扇形的面积S扇形=60πR2360=πR26；⊙一个弓形的面积S扇形=πR26−√34R2，⊙阴影的部分的面积=√34R 2−3×(πR 26−√34R 2)=(√3−12π)R 2． 故选：A ．【点拨】本题考查了等边三角形的性质和面积的求法，及扇形，弓形的面积的求法． 22．A【分析】连接AC ，根据菱形的性质求出BCD ∠和6BC AB ==，求出AE 长，再根据三角形的面积和扇形的面积求出即可．【详解】连接AC ，⊙四边形ABCD 是菱形，⊙6AB BC ==，⊙60B ∠=，E 为BC 的中点，⊙3CE BE CF ===，ABC ∆是等边三角形，//AB CD ，⊙60B ∠=，⊙180120BCD B ∠=-∠=，由勾股定理得：AE ==⊙11622AEB AEC AFC S S S ∆∆∆==⨯⨯==，⊙阴影部分的面积212033360AEC AFC CEFS S S S ππ∆∆⨯=+-==扇形， 故选A ．【点拨】本题考查了等边三角形的性质和判定，菱形的性质，扇形的面积计算等知识点，能求出AEC ∆、AFC ∆和扇形ECF 的面积是解此题的关键．23．D【分析】由半圆A′B 面积+扇形ABA′的面积-空白处半圆AB 的面积即可得出阴影部分的面积．【详解】解：⊙半圆AB，绕B点顺时针旋转30°，⊙S阴影=S半圆A′B+S扇形ABA′-S半圆AB= S扇形ABA′=2630 360π⋅=3π故选D．【点拨】本题考查了扇形面积的计算以及旋转的性质，熟记扇形面积公式和旋转前后不变的边是解题的关键．24．B【解析】【分析】连接BD，判断出⊙ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得⊙ABD=60°，再求出⊙CBD=60°，DB=BC=AD，从而确定S扇形BDC=S扇形ABD，然后求出阴影部分的面积=S扇形BDC -（S扇形ABD-S⊙ABD）=S⊙ABD，计算即可得解．【详解】解：如图，连接BD，⊙四边形ABCD是菱形，⊙AB=AD=BC，⊙⊙A=60°，⊙⊙ABD是等边三角形，⊙⊙ADB=60°，AD=DB=BC=4又⊙菱形的对边AD⊙BC，⊙⊙CBD=⊙ADB=60°，⊙S扇形BDC=S扇形ABD⊙S阴影=S扇形BDC-（S扇形ABD-S⊙ABD）=S⊙ABD24cm2．故选B．【点拨】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质和面积，熟记性质并作辅助线构造出等边三角形是解题的关键．25．10π【分析】利用正六边形的性质求出OB的长度，进而得到OA的长度，根据弧长公式进行计算即可．【详解】解：连接OD，OC．⊙⊙DOC＝60°，OD＝OC，⊙⊙ODC是等边三角形，⊙OD＝OC＝DC＝cm），⊙OB⊙CD，⊙BC＝BD cm），⊙OB＝3（cm），⊙AB＝17cm，⊙OA＝OB+AB＝20（cm），⊙点A在该过程中所经过的路径长＝9020180π⋅⋅＝10π（cm），故答案为：10π．【点拨】本题考查了正六边形的性质及计算，扇形弧长的计算，熟知以上计算是解题的关键．26．2π【解析】分析：根据弧长公式可得结论． 详解：根据题意，扇形的弧长为1203180π⨯=2π， 故答案为：2π点睛：本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．27 【分析】由AB 、BC 、AC 长可推导出⊙ACB 为等腰直角三角形，连接OC ，得出⊙BOC ＝90°，计算出OB 的长就能利用弧长公式求出BC 的长了．【详解】⊙每个小方格都是边长为1的正方形，⊙AB ＝AC ，BC ，⊙AC 2＋BC 2＝AB 2，⊙⊙ACB 为等腰直角三角形，⊙⊙A ＝⊙B ＝45°，⊙连接OC ，则⊙COB ＝90°，⊙OB⊙BC 的长为：90180π⋅＝2．【点拨】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解题关键是利用三角形三边长通过勾股定理逆定理得出⊙ACB 为等腰直角三角形．28．9【分析】根据弧长公式L ＝180n R π求解即可． 【详解】 ⊙L ＝180n R π， ⊙R ＝1806120ππ⨯＝9． 故答案为9．【点拨】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：L ＝180n R π． 29．27【解析】【分析】根据弧长公式即可得解.【详解】解：设扇形的半径为r （cm ），则18π=120180r π⨯⨯， 解得：r=27.故答案为27.【点拨】本题考查扇形的弧长公式，l=180n r π，l 是弧长，n 是圆心角的度数，r 是半径. 30．2或10【分析】根据切线的判定与性质进行分析即可．若BP 与⊙O 相切，则⊙OPB=90°，又因为OB=2OP ，可得⊙B=30°，则⊙BOP=60°；根据弧长公式求得弧AP 长，除以速度，即可求得时间．【详解】连接OP⊙当OP⊙PB 时，BP 与⊙O 相切，⊙AB=OA ，OA=OP ，⊙OB=2OP ，⊙OPB=90°；⊙⊙B=30°；⊙⊙O=60°；⊙OA=6cm ，弧AP=606180π⨯=2π， ⊙圆的周长为：12π，⊙点P 运动的距离为2π或12π-2π=10π；⊙当t=2秒或10秒时，有BP 与⊙O 相切．故答案为：2或10【点拨】本题考查的是切线的性质及弧长公式，解答此题时要注意过圆外一点有两条直线与圆相切，不要漏解．31．150【分析】根据弧长公式计算．【详解】 根据扇形的面积公式12S lr =可得： 1240202r ππ=⨯， 解得r =24cm ， 再根据弧长公式20180n r l cm ππ==， 解得150n =︒.故答案为：150.【点拨】本题考查了弧长的计算及扇形面积的计算，要记熟公式：扇形的面积公式12S lr =，弧长公式180n r l π=. 32．20°． 【分析】连接OA 、OB ，由弧长公式的92180n ππ⨯⨯=可求得⊙AOB ，然后再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得⊙ACB．【详解】解：连接OA、OB，由弧长公式的92180nππ⨯⨯=可求得⊙AOB=40°，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得⊙ACB=20°．故答案为：20°【点拨】本题考查弧长公式；圆周角定理，题目难度不大，掌握公式正确计算是解题关键．33．60【分析】根据扇形的面积公式求出半径，然后根据弧长公式求出圆心角即可．【详解】解：扇形的面积=12lr=6π，解得：r=6，又⊙6180nlπ⨯==2π，⊙n=60．故答案为：60．【点拨】此题考查了扇形的面积和弧长公式，解题的关键是掌握运算方法．34．4π．【分析】根据弧长公式，此题主要是得到⊙OBO′的度数．根据等腰三角形的性质即可求解．【详解】解：根据题意，知OA=OB．又⊙AOB=36°，⊙⊙OBA=72°．⊙点O 旋转至O′点所经过的轨迹长度=7210180π︒⨯⨯︒=4πcm ． 故答案是：4π． 【点拨】本题考查了弧长的计算、旋转的性质．解答该题的关键是弄清楚点O 的运动轨迹是弧形，然后根据弧长的计算公式求解．35．23π . 【详解】试题分析：根据题意α最小值是60°，然后根据弧长公式即可求得．⊙正六边形ABCDEF 绕中心O 顺时针旋转α度与原图形重合，α最小值是60°， ⊙点A 运动的路径长=60221803． 故答案为23π． 考点：轨迹；旋转对称图形.36．60π．【解析】【分析】点O 所经过的路线是2段弧和一条线段，一段是以点B 为圆心，10为半径，圆心 角为90°的弧，另一段是一条线段，和弧AB 一样长的线段，最后一段是以点A 为圆心，10为半径，圆心角为90°的弧，从而得出答案．【详解】当OA 第1次落在l 上时：点O 所经过的路线长为：90π1036π1090π10216π1012π.180180180180⨯⨯⨯⨯++== 则当OA 第5次落在l 上时：点O 所经过的路线长=12π×5=60π．故答案是：60π．【点拨】本题考查了轨迹：利用特殊几何图形描述点运动的轨迹，然后利用几何性质计算相应的几何量．37．6【分析】根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角，然后按扇形面积公式列方程求解计算即可．【详解】解：⊙正六边形的内角是120度，阴影部分的面积为24π，设正六边形的边长为r，⊙2120224360rππ⨯⨯=，2224,3rππ∴=236,r∴=解得r＝6．（负根舍去）则正六边形的边长为6．故答案为：6.【点拨】本题考查的是正多边形与圆，扇形面积，掌握以上知识是解题的关键．38．40°．【详解】解：根据扇形的面积计算公式可得：23360n=π，解得：n=40°，即圆心角的度数为40°．考点：扇形的面积计算．39．4π【分析】由图可知，阴影部分的面积是扇形ABO和扇形DEO的面积之和，然后根据题目中的数据，可以求得AB、OA、DE的长，⊙BAO和⊙EDO的度数，从而可以解答本题．【详解】解：⊙四边形ABCD是矩形，⊙OA＝OC＝OB＝OD，⊙AB＝AO，⊙⊙ABO是等边三角形，⊙⊙BAO＝60°，⊙⊙EDO ＝30°，⊙AC ＝2，⊙OA ＝OD ＝1，⊙图中阴影部分的面积为：22601301+=3603604ππ⨯⨯⨯⨯π， 故答案为：4π． 【点拨】本题主要考查扇形面积、矩形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握扇形面积、矩形的性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键．40．3【分析】作AF ⊙BC 于F ，解直角三角形分别求出AC 、BC ，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．【详解】作AF ⊙BC 于F ，⊙⊙ABC ＝45°，⊙AF ＝BF ＝2AB 在Rt⊙AFC 中，⊙ACB ＝30°，⊙AC ＝2AF ＝FC ＝tan ∠AF ACF ， 由旋转的性质可知，S ⊙ABC ＝S ⊙EDC ，⊙图中线段AB 扫过的阴影部分的面积＝扇形DCB 的面积+⊙EDC 的面积﹣⊙ABC 的面积﹣扇形ACE 的面积＝扇形DCB 的面积﹣扇形ACE 的面积﹣260360π⨯，．【点拨】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式S＝2360n Rπ是解题的关键．41．25 12π【解析】【详解】由题意得，S⊙AED=S⊙ABC，由题图可得，阴影部分的面积= S⊙AED+S扇形ABD－S⊙ABC，⊙阴影部分的面积= S扇形ABD=2 30525π36012π⨯=.故答案为25 12π.42．5π【分析】根据旋转的性质可以得到阴影部分的面积=扇形DAB的面积－扇形EAC的面积，利用扇形的面积公式即可求解．【详解】解：⊙将ABC绕点A逆时针旋转120︒得ADE，⊙S⊙ABC= S⊙ADE，⊙阴影部分的面积=扇形DAB的面积＋S⊙ADE－扇形EAC的面积－S⊙ABC=扇形DAB的面积－扇形EAC的面积⊙阴影部分的面积221205 12041360360πππ⨯⨯⨯=-=⨯，故答案为：5π．【点拨】本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，根据旋转的性质推出：阴影部分的面积=扇形DAB的面积－扇形EAC的面积是解题关键．43．π－2【解析】【分析】先求出扇形面积，再求三角形面积，阴影面积=扇形面积-三角形面积.【详解】由已知可得，S 阴影=S 扇形OAB -S ⊙OAB =290212223602ππ-⨯⨯=-. 故答案为π－2【点睛】本题考核知识点：扇形面积. 解题关键点:熟记扇形面积公式，用求差法得到阴影面积.44．π﹣2【分析】先根据圆周角定理证得⊙BOC=90°，从而得出⊙OBC 是等腰直角三角形，然后根据S 阴影=S 扇形OBC -S ⊙OBC 即可求得．【详解】解：⊙⊙BAC=45°，⊙⊙BOC=90°，⊙⊙OBC 是等腰直角三角形，⊙OB=2，⊙S 阴影=S 扇形OBC -S ⊙OBC =14π×22-12×2×2=π-2． 故答案为π﹣2【点拨】本题考查的是圆周角定理及扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．45．43π【解析】【分析】连接OC,用扇形OBC 的面积减去OBC 的面积即可.【详解】如图：连接OC,点C 是以AB 为直径的半圆O 的三等分点，60,120,AOC BOC ∴∠=∠=,OA OC =OAC ∴是等边三角形，60,2,A OA OC AC ∴∠====S 扇形OBC 2120π24π.3603⨯== 1111122tan 603,22222OBC ABC S S AC BC ==⨯⋅=⨯⨯⨯=则阴影部分的面积为：43π故答案为43π 【点拨】考查不规则图形面积的计算，掌握扇形的面积公式是解题的关键.46．π－1【分析】延长DC ，CB 交⊙O 于M ，N ，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论．【详解】解：延长DC ，CB 交⊙O 于M ，N ，则图中阴影部分的面积＝14×（S 圆O −S 正方形ABCD ）＝14×（4π−4）＝π−1， 故答案为π−1．【点拨】本题考查了圆中阴影部分面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．472π3- 【分析】先根据已知条件证明四边形AOEF 为菱形，再得到ΔEOB 为等边三角形，求出AE 的长，得到弓形的面积，再利用ΔFDE S S S =-阴弓即可求解．【详解】解：连接OE EF ，连接OF 交AE 与点G ．连接BE⊙点E 是BF 的中点即=EF BE ，C 30∠=︒．⊙EF BE DAB 60∠==︒，又OF AO =⊙AEC 90ΔAFO ∠=︒，为等边三角形⊙AF AO OE EF ===，即四边形AOEF 为菱形，⊙EF AO ，从而DFE FAO 60∠∠==︒⊙AB 为直径⊙AEB 90∠=︒又⊙CD 为切线⊙OE CD ⊥⊙EOC 60∠=︒又OE OB =，⊙ΔEOB 为等边三角形．⊙BE 2=，EBA 60∠=︒，⊙AEsin EBA sin60AB ∠=︒=，即AE AB sin604=⋅︒==．2AOE AOEF 114π2S S S π22323=-=⨯-⨯⨯=-弓EF 扇菱形即2πS 3=弓在RT⊙FDE 中，DEsin DFE sin60EF ∠=︒=即ED EFsin6022=︒=⨯=⊙DF 1==⊙ΔFDE 12π2πS S S 12323⎛=-=⨯=- ⎝阴弓．2π3-．【点拨】此题主要考查了扇形的面积计算以及三角形面积求法等知识，根据图形的特点求出弓形的面积是解题的关键．48．232π- 【分析】先根据题目条件计算出OD ，CD 的长度，判断BOC 为等边三角形，之后表示出阴影面积的计算公式进行计算即可．【详解】在Rt COD 中，30,2AOC OC OA ︒∠===⊙1,CD OD ==⊙90AOB ︒∠=⊙60BOC ︒∠=⊙OB OC =⊙BOC 为等边三角形⊙BOC =COD BOC S S S S +-△△阴影扇形221602122360π⨯=+-232π=-故答案为：232π-【点拨】本题考查了阴影面积的计算，熟知不规则阴影面积的计算方法是解题的关键． 49．（1）⊙A ＝20°；（2）119π．【分析】（1）根据圆周角定理求出⊙AOP ，根据切线的性质计算，得到答案；（2）根据弧长公式计算即可．【详解】解：（1）由圆周角定理得，⊙AOP ＝2⊙C ＝70°⊙P A 切⊙O 于点P ，⊙⊙APO ＝90°，⊙⊙A ＝20°；（2）⊙BOC ＝180°﹣⊙AOP ＝110°， ⊙1102180BA π=＝119π． 【点拨】本题考查的是切线的性质、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．50．嘉琪的解法不正确，见解析【分析】连接AO ，OB ，根据圆周角定理可得60AOB ∠=︒，进而得到OAB ∆是等边三角形，然后根据弧长计算公式可得答案．【详解】解：嘉琪的解法不正确，理由如下：如图，连接AO ，OB ，AB 所对的圆周角为30，60AOB ∴∠=︒，AO BO =，OAB ∴∆是等边三角形，5AB cm =，∴AB 的长为：6055()1803cm ππ⨯=． 【点拨】此题主要考查了圆周角定理和弧长计算公式，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．注意：弧长公式。
2020中考数学压轴题旋转问题带答案
旋转问题（中考高分必备）考查三角形全等、相似、勾股定理、特殊三角形和四边形的性质与判定等。
旋转性质----对应线段、对应角的大小不变，对应线段的夹角等于旋转角。
注意旋转过程中三角形与整个图形的特殊位置。
一、直线的旋转1、(2009年浙江省嘉兴市)如图，已知A、B是线段MN上的两点，4=MN，1=MA，1>MB．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点，构成△ABC，设xAB=．（1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；（3）探究：△ABC的最大面积？2、（2009年河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, ∠B =60°，BC=2．点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α.(1)①当α=________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________；②当α=________度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_________；(2)当α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．解：（1）①当四边形EDBC是等腰梯形时，∠EDB=∠B=60°，而∠A=30°，根据三角形的外角性质，得α=∠EDB-∠A=30，此时，AD=1；②当四边形EDBC是直角梯形时，∠ODA=90°，而∠A=30°，根据三角形的内角和定理，得α=90°-∠A=60，此时，AD=1.5．（2）当∠α=90°时，四边形EDBC是菱形．∵∠α=∠ACB=90°，∴BC‖ED，∵CE‖AB，∴四边形EDBC是平行四边形．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，∴∠A=30度，∴AB=4，AC=2 ，∴AO= = ．在Rt△AOD中，∠A=30°，∴AD=2，∴BD=2，∴BD=BC．（第1题）又∵四边形EDBC 是平行四边形， ∴四边形EDBC 是菱形．3、（2009年北京市）在ABCD Y 中，过点C 作CE ⊥CD 交AD 于点E ,将线段EC 绕点E 逆时针旋转90o 得到线段EF (如图1)（1）在图1中画图探究：①当P 为射线CD 上任意一点（P 1不与C 重合）时，连结EP 1绕点E 逆时针旋转90o 得到线段EC 1.判断直线FC 1与直线CD 的位置关系，并加以证明；②当P 2为线段DC 的延长线上任意一点时，连结EP 2,将线段EP 2绕点E 逆时针旋转90o 得到线段EC 2.判断直线C 1C 2与直线CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.（2）若AD =6,tanB =43,AE =1,在①的条件下，设CP 1=x ，S 11P FC V =y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. 提示：（1）运用三角形全等，（2）按CP=CE=4将x 取值分为两段分类讨论；发现并利用好EC 、EF 相等且垂直。
图形的旋转(共30题)(学生版)--2023年中考数学真题分项汇编
图形的旋转(30题)一、单选题1(2023·江苏无锡·统考中考真题)如图，△ABC 中，∠BAC =55°，将△ABC 逆时针旋转α(0°<α<55°),得到△ADE ，DE 交AC 于F ．当α=40°时，点D 恰好落在BC 上，此时∠AFE 等于()A.80°B.85°C.90°D.95°2(2023·天津·统考中考真题)如图，把△ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到△ADE ，点B ，C 的对应点分别是点D ，E ，且点E 在BC 的延长线上，连接BD ，则下列结论一定正确的是()A.∠CAE =∠BEDB.AB =AEC.∠ACE =∠ADED.CE =BD3(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图，△ABC 和△ADE 是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形，把△ADE 以A 为中心顺时针旋转，点M 为射线BD 、CE 的交点．若AB =3，AD =1．以下结论：①BD =CE ；②BD ⊥CE ；③当点E 在BA 的延长线上时，MC =3-32；④在旋转过程中，当线段MB 最短时，△MBC 的面积为12．其中正确结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个4(2023·山东聊城·统考中考真题)如图，已知等腰直角△ABC ，∠ACB =90°，AB =2，点C 是矩形ECGF 与△ABC 的公共顶点，且CE =1，CG =3；点D 是CB 延长线上一点，且CD =2．连接BG ，DF ，在矩形ECGF绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段BG达到最长和最短时，线段DF对应的长度分别为m和n，则mn的值为()A.2B.3C.10D.13二、填空题5(2023·江苏连云港·统考中考真题)以正五边形ABCDE的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形A B CD E 的顶点D 落在直线BC上，则正五边ABCDE旋转的度数至少为°．6(2023·湖南张家界·统考中考真题)如图，AO为∠BAC的平分线，且∠BAC=50°，将四边形ABOC 绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形AB O C ，且∠OAC =100°，则四边形ABOC旋转的角度是．7(2023·湖南常德·统考中考真题)如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，D是AB上一点，且AD=2，过点D作DE∥BC交AC于E，将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中BDCE的值为．8(2023·江苏无锡·统考中考真题)已知曲线C1、C2分别是函数y=-2x(x<0),y=kx(k>0,x>0)的图像，边长为6的正△ABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点B、C在x轴上(B在C的左侧)，现将△ABC绕原点O顺时针旋转，当点B在曲线C1上时，点A恰好在曲线C2上，则k的值为．9(2023·辽宁·统考中考真题)如图，线段AB=8，点C是线段AB上的动点，将线段BC绕点B顺时针旋转120°得到线段BD，连接CD，在AB的上方作RtΔDCE，使∠DCE=90°,∠E=30°，点F为DE的中点，连接AF，当AF最小时，ΔBCD的面积为．10(2023·江西·统考中考真题)如图，在▱ABCD中，∠B=60°，BC=2AB，将AB绕点A逆时针旋转角α(0°<α<360°)得到AP，连接PC，PD．当△PCD为直角三角形时，旋转角α的度数为．11(2023·上海·统考中考真题)如图，在△ABC中，∠C=35°，将△ABC绕着点A旋转α(0°<α< 180°)，旋转后的点B落在BC上，点B的对应点为D，连接AD，AD是∠BAC的角平分线，则α=．12(2023·湖南郴州·统考中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3cm，∠B=60°．将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB C ，若点B的对应点B 恰好落在线段BC上，则点C的运动路径长是cm(结果用含π的式子表示)．13(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=3,BC=1，将△ABC绕点A逆时针方向旋转90°，得到△AB C ．连接BB ，交AC于点D，则ADDC的值为．14(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)已知等腰△ABC，∠A=120°，AB=2．现将△ABC以点B为旋转中心旋转45°，得到△A BC ，延长C A 交直线BC于点D．则A D的长度为．15(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)一副三角板ABC和DEF中，∠C=∠D=90°，∠B=30°，∠E= 45°，BC=EF=12．将它们叠合在一起，边BC与EF重合，CD与AB相交于点G(如图1)，此时线段CG 的长是，现将△DEF绕点C(F)按顺时针方向旋转(如图2)，边EF与AB相交于点H，连结DH，在旋转0°到60°的过程中，线段DH扫过的面积是．三、解答题16(2023·北京·统考中考真题)在△ABC中、∠B=∠C=α0°<α<45°，AM⊥BC于点M，D是线段MC上的动点(不与点M，C重合)，将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．(1)如图1，当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点；(2)如图2，若在线段BM上存在点F(不与点B，M重合)满足DF=DC，连接AE，EF，直接写出∠AEF的大小，并证明．17(2023·四川自贡·统考中考真题)如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N分别是斜边DE，AB的中点，DE=2,AB=4．(1)将△CDE绕顶点C旋转一周，请直接写出点M，N距离的最大值和最小值；(2)将△CDE绕顶点C逆时针旋转120°(如图2)，求MN的长．18(2023·四川达州·统考中考真题)如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC 的顶点均在小正方形的格点上．(1)将△ABC 向下平移3个单位长度得到△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1；(2)将△ABC 绕点C 顺时针旋转90度得到△A 2B 2C 2，画出△A 2B 2C 2；(3)在(2)的运动过程中请计算出△ABC 扫过的面积．19(2023·辽宁·统考中考真题)在Rt ΔABC 中，∠ACB =90°，CA =CB ，点O 为AB 的中点，点D 在直线AB 上(不与点A ,B 重合)，连接CD ，线段CD 绕点C 逆时针旋转90°，得到线段CE ，过点B 作直线l ⊥BC ，过点E 作EF ⊥l ，垂足为点F ，直线EF 交直线OC 于点G ．(1)如图，当点D 与点O 重合时，请直接写出线段AD 与线段EF 的数量关系；(2)如图，当点D 在线段AB 上时，求证：CG +BD =2BC ；(3)连接DE ，△CDE 的面积记为S 1，△ABC 的面积记为S 2，当EF :BC =1:3时，请直接写出S 1S 2的值．20(2023·四川乐山·统考中考真题)在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：如图，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达△AB C 的位置，那么可以得到：AB=AB ，AC =AC ，BC=B C ；∠BAC=∠B AC ，∠ABC=∠AB C ，∠ACB=∠AC B ()刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键；故数学就是一门哲学．【问题解决】(1)上述问题情境中“( )”处应填理由：；(2)如图，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A BC 的位置．①请在图中作出点O；②如果BB =6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为；【问题拓展】小李突发奇想，将与(2)中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置，另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止，此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题．21(2023·浙江绍兴·统考中考真题)在平行四边形ABCD中(顶点A,B,C,D按逆时针方向排列)，AB =12,AD=10,∠B为锐角，且sin B=45．(1)如图1，求AB边上的高CH的长．(2)P是边AB上的一动点，点C,D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C ,D ．①如图2，当点C 落在射线CA上时，求BP的长．②当△AC D 是直角三角形时，求BP的长．22(2023·四川南充·统考中考真题)如图，正方形ABCD中，点M在边BC上，点E是AM的中点，连接ED，EC．(1)求证：ED=EC；(2)将BE绕点E逆时针旋转，使点B的对应点B 落在AC上，连接MB′．当点M在边BC上运动时(点M 不与B，C重合)，判断△CMB′的形状，并说明理由．(3)在(2)的条件下，已知AB=1，当∠DEB′=45°时，求BM的长．在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30°的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作△ADB和△A D C,∠ADB=∠A D C=90°,∠B=∠C=30°，设AB=2．【操作探究】如图1，先将△ADB和△A D C的边AD、A D 重合，再将△A D C绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为α0°≤α≤360°，旋转过程中△ADB保持不动，连接BC．(1)当α=60°时，BC=；当BC=22时，α=°；(2)当α=90°时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；(3)如图2，取BC的中点F，将△A D C绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．在线段AO上任取一点P(端点除外)，连接PD、PB．①求证：PD=PB；②将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处．当点P在线段AO上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？请说明理由；③探究AQ与OP的数量关系，并说明理由．(2)[迁移探究]如图2，将正方形ABCD换成菱形ABCD，且∠ABC=60°，其他条件不变．试探究AQ与CP的数量关系，并说明理由．25(2023·湖北随州·统考中考真题)1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点)当△ABC的三个内角均小于120°时，如图1，将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A P C，连接PP ，由PC=P C，∠PCP =60°，可知△PCP 为三角形，故PP =PC，又P A =PA，故PA+PB+PC =PA +PB+PP ≥A B，由可知，当B，P，P ，A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A B，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有∠APC=∠BPC=∠APB=；已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若∠BAC≥120°，则该三角形的“费马点”为点．(2)如图4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知点P为△ABC的“费马点”，求PA+PB+PC的值；(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a 元/km，a元/km，2a元/km，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为元．(结果用含a的式子表示)26(2023·四川·统考中考真题)如图1，已知线段AB，AC，线段AC绕点A在直线AB上方旋转，连接BC，以BC为边在BC上方作Rt△BDC，且∠DBC=30°．(1)若∠BDC=90°，以AB为边在AB上方作Rt△BAE，且∠AEB=90°，∠EBA=30°，连接DE，用等式表示线段AC与DE的数量关系是；(2)如图2，在(1)的条件下，若DE⊥AB，AB=4，AC=2，求BC的长；(3)如图3，若∠BCD=90°，AB=4，AC=2，当AD的值最大时，求此时tan∠CBA的值．27(2023·湖北黄冈·统考中考真题)【问题呈现】△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°,CB=mCA,CE=mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系．(1)如图1，当m=1时，直接写出AD，BE的位置关系：；(2)如图2，当m≠1时，(1)中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【拓展应用】(3)当m=3,AB=47,DE=4时，将△CDE绕点C旋转，使A,D,E三点恰好在同一直线上，求BE的长．28(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有45°角的三角尺放在正方形ABCD 中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C 重合，绕点C 旋转三角尺时，45°角的两边CM ，CN 始终与正方形的边AD ，AB 所在直线分别相交于点M ，N ，连接MN ，可得△CMN ．【探究一】如图②，把△CDM 绕点C 逆时针旋转90°得到△CBH ，同时得到点H 在直线AB 上．求证：∠CNM =∠CNH ；【探究二】在图②中，连接BD ，分别交CM ，CN 于点E ，F ．求证：△CEF ∽△CNM ；【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD 与三角尺45°角两边CM ，CN 分别交于点E ，F ．连接AC 交BD 于点O ，求EFNM的值．29(2023·湖南·统考中考真题)问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形ABCD的边BC上任意取一点G，以BG为边长向外作正方形BEFG，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转．特例感知：(1)当BG在BC上时，连接DF，AC相交于点P，小红发现点P恰为DF的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明；(2)小红继续连接EG，并延长与DF相交，发现交点恰好也是DF中点P，如图②，根据小红发现的结论，请判断△APE的形状，并说明理由；规律探究：(3)如图③，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转α，连接DF，点P是DF中点，连接AP，EP，AE，△APE 的形状是否发生改变？请说明理由．30(2023·贵州·统考中考真题)如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA=CB,∠C=90°，过点B作射线BD⊥AB，垂足为B，点P在CB上．(1)【动手操作】如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为度；(2)【问题探究】根据(1)所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；(3)【拓展延伸】如图③，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，探究线段BA,BP, BE之间的数量关系，并说明理由．。
中考数学：线段旋转所扫边的图形面积
线段旋转所扫边的图形面积线段AB 和点O 在同一平面内，将线段AB 绕点O 旋转，在旋转过程中，线段AB 所扫过的图形面积该如何计算？笔者认为可从点与线段的位置及旋转的角度等几个方面研究．一、旋转中心O 在线段AB 上如图1，设AO ＝a ，BO ＝b(a ≥b)，旋转角度为α．(1)当0°≤α≤180°时，线段AB 所扫过的图形如图2中的阴影部分所示，其蕊积为扇形OAA'与扇形OB B'的面积和，故()2222360360360S a b a b αααππ=+=+(2)当180°<α≤360°时，线段AB 所扫过的图形如图3中的阴影部分所示，其面积为以AO 为半径的圆的面积减去图中空白部分的面积，故二、旋转中心O 在线段AB 的延长线上如图4，设AO ＝a ，BO ＝b ，旋转角度为α．线段AB 所扫过的图形如图5中的阴影部分所示，其面积为扇形OAA'减去扇形OBB'的面积，故()2222360360360S a b a b αααππ=-=-三、旋转中心O 不在直线AB 上(1)当线段AB 的两个端点分别是线段AB 上到旋转中心O 的距离最长的点和距离最短的点时，如图6(1)．设AO ＝a ，BO ＝b(a>b)，旋转角度为α．线段AB 所扫过的图形如图6(2)中的阴影部分所示．因为△OAB ≌△OA'B'，所以阴影部分的面积可转化为其面积为扇形OAA'减去扇形OBB'的面积，故()2222360360360S a b a b αααππ=-=-(2)当线段AB 的两个端点不是线段AB 上到旋转中心O 的距离最短的点时，如图7．作OD ⊥AB ，垂足为D ，设OA ＝a ，OB ＝b(a ≥b)，O D ＝h ，∠BOD ＝β，旋转的角度为α．①若0°<α<2β时，线段AB 所扫过的图形如图8中的阴影部分所示，计算线段AB 所扫过的图形面积比较复杂，限于初中学生的知识水平，不需要掌握．②若2β≤α≤360°－2β时，线段AB 所扫过的图形如图9中的阴影部分所示．作OI ⊥A'B'，垂足为I ，则△OAD ≌△OA'I ，所以阴影部分的面积可以用以OA 和OD 为半径的两个扇形的面积差加上一个弓形的面积表示，即()22222tan 360360S a b h bαβπβπ=-+-∙．③若360°－2β<α<360°时，线段AB 所扫过的图形如图9中的阴影部分所示．此时阴影部分的面积以初中学生的知识也不能计算．④若α＝360°时，线段AB 所扫过的图形如图11中的阴影部分所示，为一个圆环的面积，故S ＝π（a 2－h 2）．计算线段AB 绕点O 旋转所形成的图形面积，关键在于准确画出AB 旋转所形成的图形．其形状是由线段AB 的初始位置、终止位置及点A 、B 、D （点D 是线段AB 上到O 点距离最近的点）的运动轨迹所围成的封闭图形．。
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--圆的动点问题
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--圆的动点问题1．如图AB为⊙O的直径，C为⊙O上半圆的一个动点，CE⊙AB于点E，⊙OCE的角平分线交⊙O 于D点．（1）当C点在⊙O上半圆移动时，D点位置会变吗？请说明理由；（2）若⊙O的半径为5，弦AC的长为6，连接AD，求线段AD、CD的长．2．如图．在Rt△ABC中，BC=4，∠BAC=30°，点E，F为边AB上的动点，点D是EF的中点，以点D为圆心，DE长为半径在△ABC内作半圆D．（1）若EF=2，P为半圆D的中点，在半圆D移动的过程中，求CP的最小值．（2）当半圆D同时与Rt△ABC的两直角边相切时，请求出EF的长．3．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABO的顶点A，B，O均落在格点上，OB为⊙O的半径．（1）∠AOB的大小等于（度）；（2）将△ABO绕点O顺时针旋转，得△A′B′O，点A，B旋转后的对应点为A′，B′．连接AB′，设线段AB′的中点为M，连接A′M．当A′M取得最大值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出点B′，并简要说明点B′的位置是如何找到的（不要求证明）．4．一块含有30°角的三角板ABC如图所示，其中∠C=90°，∠A=30°，BC=3cm.将此三角板在平面内绕顶点A旋转一周.（1）画出边BC旋转一周所形成的图形；（2）求出该图形的面积.5．如图，已知AB是⊙O中一条固定的弦,点C是优弧AB上一个动点(点C不与A,B重合).（1）设⊙ACB的角平分线与劣弧AB交于点P,试猜想点P在AB⊙上的位置是否会随点C的运动而发生变化?请说明理由;（2）如图②,设A′B′=8,⊙O的半径为5,在(1)的条件下,四边形ACBP的面积是否为定值?若是定值,请求出这个定值;若不是定值,试确定四边形A′C′B′P′的面积的取值范围.6．如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，BC=12cm，半圆O的直径DE=12cm．点E 与点C重合，半圆O以2cm/s的速度从左向右移动，在运动过程中，点D、E始终在BC所在的直线上．设运动时间为x(s)，半圆O与ΔABC的重叠部分的面积为S(cm2)．（1）当x=0时，设点M是半圆O上一点，点N是线段AB上一点，则MN的最大值为；MN的最小值为．（2）在平移过程中，当点O与BC的中点重合时，求半圆O与ΔABC重叠部分的面积S；（3）当x为何值时，半圆O与ΔABC的边所在的直线相切？7．如图，在△ABE中，BE>AE，延长BE到点D，使DE=BE，延长AE到点C，使CE=AE．以点E为圆心，分别以BE、AE为半径作大小两个半圆，连结CD．（1）求证：AB=CD；（2）设小半圆与BD相交于点M，BE=2AE=4．①当S△ABE取得最大值时，求其最大值以及CD的长；②当AB恰好与小半圆相切时，求弧AM的长．8．如图，在半径为5的扇形AOB中，⊙AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊙BC，OE⊙AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=6时，求线段OD的长；（2）在⊙DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．9．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，⊙ABC＝90°，⊙C＝30°，AD＝3，AB=2√3，DH⊙BC 于点H．将⊙PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中⊙Q＝90°，⊙QPM＝30°，PM=4√3．（1）求证：⊙PQM⊙⊙CHD；（2）⊙PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止．①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；②如图2，点K在BH上，且BK=9−4√3．若⊙PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D 旋转的速度为每秒5°，求点K在⊙PQM区域（含边界）内的时长；③如图3．在⊙PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长（用含d的式子表示）．10．对于平面直角坐标系xOy内任意一点P，过P点作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，连接MN，则称MN的长度为点P的垂点距离，记为h．特别地，点P与原点重合时，垂点距离为0．（1）点A(2，0)，B(4，4)，C(−2，√2)的垂点距离分别为，，；（2）点P在以Q(√3，1)为圆心，半径为3的⊙Q上运动，求出点P的垂点距离h的取值范围；（3）点T为直线l：y=√3x+6位于第二象限内的一点，对于点T的垂点距离h的每个值有且仅有一个点T与之对应，求点T的横坐标t的取值范围．11．如图，在⊙O中，OA=2，AB=2√3，将弦AB与AB⌢所围成的弓形（包括边界的阴影部分）绕点B顺时针旋转α(0°≤α≤360°)，点A的对应点为A′．（1）点O到线段AB的距离是；∠AOB=°；当点O落在阴影部分（包括边界）时，α的取值范围是；（2）若线段A′B与优弧ACB的交点为D，当∠A′BA=90°时，点D AO的延长线上（填“在”或“不在”）；（3）当直线．．A′B与⊙O相切时，求α的值并求此时点A′运动路径的长度．12．如图，⊙O为Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°,BC=4√3,AC=4，点D是⊙O上的动点，且点C、D分别位于AB的两侧．（1）求⊙O的半径；（2）当CD=4√2时，求∠ACD的度数；（3）设AD的中点为M，在点D的运动过程中，线段CM是否存在最大值？若存在，求出CM的最大值；若不存在，请说明理由．13．如图，已知▱ABCD，AB=4√3，BC=8√3，∠B=60°，其内有一个圆心角为240°扇形EOF，半径OE=r．（1）发现：如图1，当E、F在BC边上，扇形EOF与AD相切时，①优弧EF上的点与BC的最大距离为，r=，S扇形EOF=；②当BE=CF时，优弧EF⌢上的点与点D的最小距离为；（2）思考：如图2，当r=2时，扇形EOF在▱ABCD内自由运动①当扇形EOF与▱ABCD的两条边同时相切时，求此时两切点之间的距离是多少？②OE与AD垂直时，扇形EOF▲ （填“有可能”或“不可能”）与▱ABCD的边切于点F；（3）拓展：如图3，将扇形的圆心O放在BC的中点处，点E在线段OB上运动，点F在▱ABCD外，当优弧EF⌢与▱ABCD的边有六个交点时，直接写出r的取值范围：．14．小航在学习中遇到这样一个问题：⌢于C，如图，点F是线段AB上一动点，线段AB=8cm，AB的垂直平分线交AB⌢于E，连接AE.若△AEF是等腰三角取线段CD的中点O，连接FO并延长交AB形，求线段AF的长度.小航结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：（1）根据点F在线段AB上的不同位置，画出相应的图形，测量线段AF，EF，AE的长度，得到下表的几组对应值.填空：m的值为，n的值为；（2）将线段AF的长度作为自变量x，EF和AE的长度都是x的函数，分别记为y W和y，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数y kx的图象，如图所示.请在同一坐标系中画出函数kxy的图象；w（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△AEF为等腰三角形时，线段AF长度的近似值（结果保留一位小数）.15．如图1，扇形AOB的半径为4，圆心角为90°，点C为AB⌢上任意一点（不与点A，B 重合），且CD⊥BO于点D，点P为△COD的内心，连接OP，BP，CP．（1）求∠OPB的度数；⌢上运动．（2）如图2，⊙ M为△BOP的外接圆，点C在AB①当CD=OD时，判断OC与⊙ M的位置关系，并加以证明；②设⊙ M的半径为r，若r的值不随点C的运动而改变，请直接写出r的值；若随着点C 的运动而在一个范围内变化，请直接写出这个变化范围．16．如图，在⊙O中，AB为弦，CD为直径，且AB⊙CD，垂足为E，P为AC⌢上的动点（不与端点重合），连接PD．（1）求证：⊙APD＝⊙BPD；（2）利用尺规在PD上找到点I，使得I到AB、AP的距离相等，连接AD（保留作图痕迹，不写作法）．求证：⊙AIP+⊙DAI＝180°；（3）在（2）的条件下，连接IC、IE，若⊙APB＝60°，试问：在P点的移动过程中，ICIE是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．答案解析部分1．【答案】（1）解：当C点在⊙O上半圆移动时，D点位置不会变；理由如下：连接OD．∵CD平分⊙OCE，∴⊙1=⊙3，而OC=OD，∴⊙1=⊙2，∴⊙2=⊙3，∴CE⊙OD，∵CE⊙AB，∴OD⊙AB，∴AD̂= BD̂，即点D为半圆AB的中点．（2）解：∵在直角⊙AOD中，OA=OD=5，∴AD=5√2．过点A作CD的垂线，垂足为G，∵∠ACD=12∠AOD=45°，∴⊙AGC是等腰直角三角形，∵AC=6，∴AG=CG=3√2．在直角⊙AGD中，DG=√(5√2)2−(3√2)2=4√2，∴CD=CG+DG=3√2+4√2=7√2，∴线段AD的长度为5√2，线段CD的长度为7√2．2．【答案】（1）解：在Rt⊙ABC中，BC=4，⊙BAC=30°∴AC=4√3，AB=8∵EF=2∴半圆半径为1∴DP=1如图，当D、C、P三点共线时，CP最小∵P为半圆D的中点，⊙CBA=60°∴CD⊙AB，CD=2√3∴CP的最小值是2√3−1（2）解：∵半圆D同时与两直角边相切，如图∴DM⊙AC，DN⊙BC，设半圆的半径为r，则CN=DM=DN=r∴BN=4-r，∵⊙CAB=⊙NDB=30°∴tan30°=4−rr=√3 3∴r=123+√3∴EF=2r=3+√3=12−4√33．【答案】（1）45（2）解：取OB′的中点N，连接MN，A′N，构成△A′MN，延长AO交⊙O于点H，如图，根据三角形三边关系，A′M≤A′N+MN,当点A′，N，M三点共线时，A′M取最大值，在Rt△A′B′N中，tan∠A′NB′=A ′B′B′N=2，∵点M，N分别是AB′,OB′的中点，∴A′M∥AH，作∠A′NB′=∠HOB′，由网格图的特点可得，在OH上取格点G，取格点C，连接OC与⊙O交于B′，如图所示，OG=√2,CG=2√2，此时tan∠HOB′=2，∠A′NB′=∠HOB′，故连接OC与⊙O交于B′，点B′即为所求．4．【答案】（1）解：∵三角板ABC，∠C=90°，∠A=30°，BC=3cm，∴AB=2BC=6cm，∴由勾股定理：AC= √AB2−BC2=√36−9=3√3，边BC在平面内绕顶点A旋转一周.图形是以AB为半径的圆去掉以AC为半径的圆，所形成的圆环，如图所示：（2）解：BC扫过的面积S圆环= πAB2−πAC2=36π−27π=9π5．【答案】（1）解：如图，结论:点P在弧AB上的位置不会随点C的运动而发生变化∵CP平分⊙ACB∴ACP=⊙BCP (角平分线将这个角分为两个相等的角)∴AP⌢= BP⌢(在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等)即点P为劣弧AB的中点（2）解：四边形A′C′B′P′的面积不是定值.当C′P′经过圆心时，点C′到A′B′的距离最大,故四边形A′C′B′P′的面积最大,此时C′P′垂直平分A′B′:设C′P′交A′B′于M∵A′M=4，A′O′=5 O′M⊙ A′B′∴O′M=3 (直角三角形勾股定理求值)∴M P′=2 C′=8∵C′M=8 M P′=2 C′P′⊙ A′B′A′B′=8 ;∴△A′B′C′的最大面积= 12×A′B′×C′M=32，△A′B′P′的面积= 12×A′B′×MP′=8∵点C在优弧上运动,且不与A、B重合∴8 <四边形ACBP的面积≤406．【答案】（1）24cm；(9√2−6)cm（2）解：当点O与BC的中点重合时，如图②，点O移动了12cm，设半圆与AB交于点H，连接OH、CH．∵BC为直径，∴∠CHB=90°，∵∠ABC=45°∴∠HCB=45°，∴HC=HB，∴OH⊥BC，OH=OC=OB=6，S阴影=S扇形HOC+SΔBOH=90360π⋅62+12×6×6=9π+18；（3）解：当半圆O与直线AC相切时，运动的距离为0或12，∴x=0（秒）或6（秒）；当半圆O与直线AB相切时，如图③，连接OH，则OH⊥AB，OH=6∵∠B=45°，∠OHB=90°，∴OB=√2OH=6√2，OC=BC−OB=12−6√2，移动的距离为6+12−6√2=18−6√2(cm)，运动时间为x=18−6√22=9−3√2（秒)，综上所述，当x为0或6或9−3√2时，半圆O与ΔABC的边所在的直线相切．7．【答案】（1）证明：在△ABE和△CDE中，{BE=DE∠AEB=∠CEDAE=CE，∴△ABE≌△CDE；∴AB=CD（2）解：①当AE⊥BE时，S△ABE取得最大值，S△ABE最大值=12×BE×AE=12×4×2=4，在Rt△ABE中，AB=√BE2+CE2=√42+22=2√5，∴CD=AB=2√5；②当AB恰好与小半圆相切时，AB⊥AE，∵在Rt△ABE中，BE=2AE=4，∴AE=2，∴∠ABE=30°，∴∠BEA=60°，∴∠AEM=120°，∴弧AM的长=120π×2180=4π38．【答案】（1）解：如图（1），∵OD⊙BC，∴BD= 12BC=12×6=3，∵⊙BDO=90°，OB=5，BD=3，∴OD= √OB2−BD2=4，即线段OD的长为4．（2）解：存在，DE保持不变．理由：连接AB，如图（2），∵⊙AOB=90°，OA=OB=5，∴AB= √OB2+OA2=5 √2，∵OD⊙BC，OE⊙AC，∴D和E分别是线段BC和AC的中点，∴DE= 12AB=5√22，∴DE保持不变．9．【答案】（1）证明：∵AD∥BC，DH⊥BC∴DH⊥AD则在四边形ABHD中∠ABH=∠BHD=∠HDA=90°故四边形ABHD为矩形DH=AB=2√3，BH=AD=3在Rt△DHC中，∠C=30°∴CD=2DH=4√3，CH=√3DH=6∵{∠DHC=∠Q=90°∠C=∠QPM=30°CD=PM=4√3∴△CHD≌△PQM(AAS)；（2）解：①过点Q作QS⊥AM于S由（1）得： AQ =CH =6 在 Rt △AQS 中， ∠QAS =30°∴AS =√32AQ =3√3平移扫过面积： S 1=AD ⋅AS =3×3√3=9√3 旋转扫过面积： S 2=50°360°⋅π⋅PQ 2=50°360°⋅π⋅62=5π故边PQ 扫过的面积： S =S 1+S 2=9√3+5π ②运动分两个阶段：平移和旋转 平移阶段：KH =BH −BK =3−(9−4√3)=4√3−6t 1=KH v =(4√3−6)s旋转阶段：由线段长度得： PM =2DM取刚开始旋转状态，以PM 为直径作圆，则H 为圆心，延长DK 与圆相交于点G ，连接GH ，GM ，过点G 作 GT ⊥DM 于T设 ∠KDH =θ ，则 ∠GHM =2θ 在 Rt △DKH 中：KH =BH −BK =3−(9−4√3)=4√3−6=2√3×(2−√3)DK=√DH2+KH2=√(2√3)2+(4√3−6)2=4√3×√2−√3设t=√2−√3，则KH=2√3t2，DK=4√3t，DH=2√3tanθ=KHDH=t 2，sinθ=KHDK=t2，cosθ=DHDK=12t∵DM为直径∴∠DGM=90°在Rt△DGM中：DG=DM⋅cosθ=4√3×12t=2√3 t在Rt△DGT中：GT=DG⋅sinθ=2√3t×t2=√3在Rt△HGT中：sin2θ=GTGH=√32√3=12∴2θ=30°，θ=15°PQ转过的角度：30°−15°=15°t2=15°5°=3s总时间：t=t1+t2=4√3−6+3=(4√3−3)s③CF=60−12d9−d10．【答案】（1）ℎA=2；ℎB=4√2；ℎC=√6（2）解：如图，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N．∵∠PMO=∠PNO=∠MON=90°，∴四边形PMON是矩形．∴OP=MN．∵Q点坐标为(√3，1)，∴OQ=2．∵PQ−OQ⩽OP⩽PQ+OQ，∴3−2≤OP⩽3+2．∴1⩽ℎ⩽5（3）解：如图，设直线l与x轴，y轴的交点分别为A，B，过点O作OM⊥直线l于点M，以OA为半径作⊙O，交直线l于点N．∵∠BAO=60°，AO=2√3，∴AM=√3.过点M，N分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，则AC=√32，即OC=3√32．∵△AON是等边三角形，∴OD=12AO=√3．∴t=−3√32或−√3⩽t<0．11．【答案】（1）1；120；30°≤α≤60°（2）在（3）解：①当A′B与⊙O相切，∴⊙OBA′=90°，此时α=⊙ABA′=90°+30°=120°，或α=120°+180°=300°；②当α=120°时，A′运动路径的长度= 120π⋅2√3180=4√33π．当α=300°时，A′运动路径的长度= 300π⋅2√3180=10√33π．综上可知，α=120°或α=300°；A′运动路径的长度为4√33π或10√33π．12．【答案】（1）解：如图1中，∵AB是直径，∴⊙ACB＝90°，∵AC＝4，BC＝4 √3，∴AB =√AC2+BC2=√42+(4√3)2=8，∴⊙O的半径为4．（2）如图1中，连接OC，OD．∵CD＝4 √2，OC＝OD＝4，∴CD2＝OC2+OD2，∴⊙COD＝90°，∴⊙OCD＝45°，∵AC＝OC＝OA，∴⊙AOC是等边三角形，∴⊙ACO＝60°，∴⊙ACD＝⊙ACO﹣⊙DCO＝60°﹣45°＝15°．（3）如图2中，连接OM，OC．∵AM＝MD，∴OM⊙AD，∴点M的运动轨迹以AO为直径的⊙J，连接CJ，JM．∵⊙AOC是等边三角形，AJ＝OJ，∴CJ⊙OA，∴CJ =√AC2−AJ2=2 √3，∵CM≤CJ+JM＝2 √3+2，∴CM的最大值为2 √3+2．13．【答案】（1）6；4；32π3；2√31−4（2）解：①2或者2√3理由：（i）如图当扇形与AB、AD边相切时（当扇形与CB、CD边相切时），过点O做OM⊥AD，ON⊥AB，连接AO，易证Rt△AMO≌Rt△ANO，∠ONA=∠OMA=60°，∠NOM=60°，∴ΔOMN为等边三角形，∴MN=2（ii）当扇形与DC、AD边相切时（当扇形与AB、BC边相切时），同理可求得∠NOM= 120°，MN=2√3②有可能（3）6<r<4√314．【答案】（1）3.0；5.6（2）解：如图，描点连线：（3）解：如图，作直线y=x，△AEF为等腰三角形有三种情况：①AE=EF时，即AF=x为y kx与y w的交点横坐标，如图，AF=5.4cm，②当AF=EF时，即求y=x与y w的交点横坐标，如图，AF=3.3cm，③当AE=AF时，即求y kx与y=x的交点横坐标，如图，AF=4.6cm，综上所述，当⊙AEF为等腰三角形时，AF的长为3.3cm，4.6cm，或5.4cm. 15．【答案】（1）解：∵点P为△COD的内心，∴∠COP=∠BOP．又∵PO=PO，CO=BO，∴△COP≌△BOP．∵CD⊥BO于点D，∴∠OCD+∠COD=90°．∴12∠OCD+12∠COD=45°．∴∠OPC=135°．∴∠OPB=∠OPC=135°．（2）解：①当CD=OD时，OC与⊙M相切．证明如下：如图，在优弧OB上取一点Q，连接OQ，BQ．∵点P在劣弧OB上，且∠OPB=135°，∴∠OQB=45°．∴∠OMB=90°．连接MO，MB．∴OM=BM．∴∠BOM=∠OBM=45°．而当CD=OD时，∠COD=∠OCD=45°，∴∠COD+∠BOM=90°．∴当CD=OD时，OC与⊙M相切．②r的值是定值；r=2√2．理由如下：⌢上运动时，由（2）证得∠OMB=90°，OM=MB=r，⊙OBM为等腰直角三角形，而当点C在ABOB=4，故OM=MB= r=2√2．16．【答案】（1）证明：∵直径CD⊙弦AB，⌢=BD⌢，∴AD∴⊙APD=⊙BPD；（2）解：如图，作⊙BAP的平分线，交PD于I，证：∵AI平分⊙BAP，∴⊙PAI=⊙BAI，∴⊙AID=⊙APD+⊙PAI=⊙APD+BAI，⌢=BD⌢，∵AD∴⊙DAB=⊙APD，∴⊙DAI=⊙DAB+⊙BAI=⊙APD+⊙BAI，∴⊙AID=⊙DAI，∵⊙AIP+⊙DAI=180°，∴⊙AIP+⊙DAI=180°；（3）解：如图2，连接BI，AC，OA，OB，∵AI平分⊙BAP，PD平分⊙APB，∴BI平分⊙ABP，⊙BAI=12⊙BAP，∴⊙ABI=12⊙ABP，∵⊙APB=60°，∴⊙PAB+⊙PBA=120°，∴⊙BAI+⊙ABI=12（⊙BAP+⊙ABP）=60°，∴⊙AIB=120°，∴点I的运动轨迹是AB⌢，∴DI=DA，∵⊙AOB=2⊙APB=120°，∵AD⊙AB，∴AD⌢=BD⌢，∴⊙AOB=⊙BOD=60°，∵OA=OD，∴⊙AOD是等边三角形，∴AD=AO，∵CD是⊙O的直径，∴⊙DAC=90°，∵CD⊙AB，∴⊙AED=90°，∴⊙AED=⊙CAD，∵⊙ADC=⊙ADE，∴⊙ADE⊙⊙CDA，∴ADCD=DEAD，∴AD2=DE•CD，∵DI′=DI=AD，∴DI2=DE•CD，∵⊙I′DE是公共角，∴⊙DIE⊙⊙DCI，∴ICIE=CDDI=2．。
轴对称典型试题和画图试题
（
、已知：如图，C及两点及两点、。求作：点P，使得P＝P，且点到C两边所在的直线距离相等．
答案一：C内角平分线与线段的垂直平分线交点
13、下列说法正确的是（A）．
A．轴对称涉及两个图形，轴对称图形涉及一个图形D．有两个内角相等的三角形不是轴对称图形
B．如果两条线段互相垂直平分，那么这两条线段互为对称轴C．所有直角三角形都不是轴对称图形
14、下列图形中对称轴最多的是(C)．A．等腰三角形B．正方形C．圆D．线段
15、把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是（ ）．
解析：（1）△ABC中各顶点的坐标分别是A（1，4）、B（-1，1）、C（2，-1）
（2）过点（-1，0）作y轴的平行线m，即直线x=-1．
（3）分别作点A、B、C关于直线m对称的点A′（-3，4）、B′（-1，1）、C′（-4,-1），并对顺次连接A′、B′、C′三点，则△A′B′C′即为所求．
（4）观察发现三组对称点的纵坐标没有变化．而横坐标都可以表示为2×（-1） 减去对应点的横坐标．所以点P的对应点的坐标为（-2-a，b）。
答案二：ABC外角平分线与线段的垂直平分线交点
27、已知点 A在直线l 外，点P 为直线l 上的一个动点，探究是否存在一个定点B ，当点P 在直线l 上运动时，点 P 与 A、 B 两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B ；若不存在，请说明理由．
浙江省2019-2020学年九年级上册数学《圆的基本性质》试题分类——解答题(含答案)
2019--2020学年浙江省九年级上册数学（浙教版）《圆的基本性质》试题分类——解答题1．（2019秋•拱墅区校级期末）如图，AB为⊙O直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD中点，连接CD，CA．（1）若∠ABD＝α，求∠BDC（用α表示）；（2）过点C作CE⊥AB于H，交AD于E，∠CAD＝β，求∠ACE（用β表示）；（3）在（2）的条件下，若OH＝5，AD＝24，求线段DE的长．2．（2019秋•柯桥区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，D为弧AC的中点，E 是BA延长线上一点，∠DAE＝105°．（1）求∠CAD的度数；（2）若⊙O的半径为4，求弧BC的长．3．（2019秋•江干区期末）如图，在⊙O中，过半径OD的中点C作AB⊥OD交⊙O于A、B两点，且AB=2√3．（1）求OD的长；（2）计算阴影部分的面积．4．（2019秋•丽水期末）如图，半圆O的直径AB＝10，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P，求AP的长．5．（2019秋•奉化区期末）如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN＝4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．6．（2019秋•义乌市期末）如图，已知AB为半圆O的直径，AC，AD为弦，且AD平分∠BAC．（1）若∠ABC＝28°，求∠CBD的度数；（2）若AB＝6，AC＝2，求AD的长．7．（2019秋•义乌市期末）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）（1）画出△ABC关于原点对称的△A′B′C′；（2）将△A′B′C′绕A′顺时针旅转90°画出旅转后得到的△A″B″C″并直接写出此过程中线段A′C′扫过图形的面积（结果保留π）．8．（2019秋•鄞州区期末）已知：如图，在半圆O中，直径AB的长为6，点C是半圆上一点，过圆心O作AB的垂线交线段AC的延长线于点D，交弦BC于点E．（1）求证：∠D＝∠ABC；（2）记OE＝x，OD＝y，求y关于x的函数表达式；（3）若OE＝CE，求图中阴影部分的面积．9．（2019秋•西湖区期末）如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC上一点，连接BD，AD，OC，∠ADB＝30°．（1）求∠AOC的度数；（2）若弦BC＝8cm，求图中劣弧BC的长．10．（2019秋•下城区期末）如图，MB ，MD 是⊙O 的两条弦，点A ，C 分别在MM ̂，MM ̂上，且AB ＝CD ，M 是MM̂的中点． （1）求证：MB ＝MD ；（2）过O 作OE ⊥MB 于点E ，当OE ＝1，MD ＝4时，求⊙O 的半径．11．（2019秋•温州期末）如图，点A 、B 、C 、D 、E 都在⊙O 上，AC 平分∠BAD ，且AB ∥CE ，求证：MM̂=MM ̂．12．（2019秋•温州期末）如图，已知△ABO 中A （﹣1，3），B （﹣4，0）．（1）画出△ABO 绕着原点O 按顺时针方向旋转90°后的图形，记为△A 1B 1O ；（2）求第（1）问中线段AO 旋转时扫过的面积．13．（2019秋•吴兴区期末）如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2√3．点P ，Q 分别是BC ，AD 边上的一个动点，连结BQ ，以P 为圆心，PB 长为半径的⊙P 交线段BQ 于点E ，连结PD ．（1）若DQ =√3且四边形BPDQ 是平行四边形时，求出⊙P 的弦BE 的长；（2）在点P ，Q 运动的过程中，当四边形BPDQ 是菱形时，求出⊙P 的弦BE 的长，并计算此时菱形与园重叠部分的面积．14．（2019秋•瑞安市期末）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，在BC 上取一点D 使AD ＝BD ，连结AD ，作△ACD 的外接圆⊙O ，交AB 于点E ．（1）求证：AE ＝BE ；（2）若CD ＝3，AB ＝4√5，求AC 的长．15．（2019秋•温州期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC ，AC 分别交于D ，E两点，过点D 作DH ⊥AC 于点H ．（1）求证：BD ＝CD ；（2）连结OD 若四边形AODE 为菱形，BC ＝8，求DH 的长．16．（2019春•余姚市期末）如图，4×6的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，A ，B ，C 均为格点．在下列各图中画出四边形ABCD ，使点D 也为格点，且四边形ABCD 分别符合下列条件：（1）是中心对称图形（画在图1中）．（2）是轴对称图形（画在图2中）．（3）既是轴对称图形，又是中心对称图形（画在图3中）．17．（2019秋•萧山区期末）如图，在⊙O 中，AB ＝AC ．（1）求证：OA 平分∠BAC ．（2）若MM ̂：MM ̂=3：2，试求∠BAC 的度数．18．（2020春•西湖区期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C 按照如图①的方式叠放在一起（∠A ＝30°，∠ABC ＝60°，∠E ＝∠EDC ＝45°），且三角板ACB 的位置保持不动．（1）将三角板DCE 绕点C 按顺时针方向旋转至图②，若∠ACE ＝60°，求∠DCB 的度数．（2）将三角板DCE 绕点C 按顺时针方向旋转，当旋转到ED ∥AB 时，求∠BCE 的度数（请先在备用图上补全相应的图形）．（3）当0°＜∠BCE ＜180°且点E 在直线BC 的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠BCE 所有可能的值；若不存在，请说明理由．19．（2019秋•吴兴区期末）如图，已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，OC ∥BD ，交AD 于点E ，连结BC ．（1）求证：AE ＝ED ；（2）若AB ＝8，∠CBD ＝30°，求图中阴影部分的面积．20．（2019秋•瑞安市期末）如图，Rt △OAB 中，∠OAB ＝90°，以OA 为半径的⊙O 交BO 于点C ，交BO 延长线于点D ．在⊙O 上取一点E ，且MM̂=MM ̂，延长DE 与BA 交于点F ． （1）求证：△BDF 是直角三角形；（2）连接AC ，AC ＝2√10，OC ＝2BC ，求AF 的长．2019--2020学年浙江省九年级上册数学（浙教版）《圆的基本性质》试题分类——解答题参考答案与试题解析一．解答题（共20小题）1．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）连接AD ，如图1所示：设∠BDC ＝γ，∠CAD ＝β，则∠CAB ＝∠BDC ＝γ，∵点C 为弧ABD 中点，∴MM̂=MM ̂， ∴∠ADC ＝∠CAD ＝β，∴∠DAB ＝β﹣γ，∵AB 为⊙O 直径，∴∠ADB ＝90°，∴γ+β＝90°，∴β＝90°﹣γ，∴∠ABD ＝90°﹣∠DAB ＝90°﹣（β﹣γ）＝90°﹣90°+γ+γ＝2γ，∴∠ABD ＝2∠BDC ，∴∠BDC =12∠ABD =12α； （2）连接BC ，如图2所示：∵AB 为⊙O 直径，∴∠ACB ＝90°，即∠BAC +∠ABC ＝90°，∵CE ⊥AB ，∴∠ACE +∠BAC ＝90°，∴∠ACE ＝∠ABC ，∵点C 为弧ABD 中点，∴MM̂=MM ̂， ∴∠ADC ＝∠CAD ＝∠ABC ＝β，∴∠ACE ＝β；（3）连接OC ，如图3所示：∴∠COB ＝2∠CAB ，∵∠ABD ＝2∠BDC ，∠BDC ＝∠CAB ，∴∠COB ＝∠ABD ，∵∠OHC ＝∠ADB ＝90°，∴△OCH ∽△ABD ，∴MM MM =MM MM =12， ∴BD ＝2OH ＝10，∴AB =√MM 2+MM 2=√242+102=26，∴AO ＝13，∴AH ＝AO +OH ＝13+5＝18，∵∠EAH ＝∠BAD ，∠AHE ＝∠ADB ＝90°，∴△AHE ∽△ADB ，∴MM MM =MM MM ，即1824=MM 26， ∴AE =392， ∴DE ＝AD ﹣AE ＝24−392=92．2．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵AB ＝AC ，∴MM̂=MM ̂， ∴∠ABC ＝∠ACB ，∵D 为MM̂的中点， ∴MM̂=MM ̂， ∴∠CAD ＝∠ACD ，∴MM̂=2MM ̂， ∴∠ACB ＝2∠ACD ，又∵∠DAE ＝105°，∴∠BCD ＝105°，∴∠ACD =13×105°＝35°，∴∠CAD ＝35°；（2）∵∠DAE ＝105°，∠CAD ＝35°，∴∠BAC ＝40°，连接OB ，OC ，∴∠BOC ＝80°，∴弧BC 的长=80M ×4180=16M 5．3．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵AB⊥OD，∴∠OCB＝90°，AC＝BC=12AB=√3，∵点C为OD的中点，∴OC=12OB，∵cos∠COB=MMMM=12，∴∠COB＝60°，∴OC=√33BC=√33×√3=1，∴OB＝2OC＝2，∴OD＝OB＝2；（2）阴影部分的面积＝S扇形BOD﹣S△COB=60×M×22360−12×√3×1=2 3π−√32．4．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠OBA′＝45°，O′P＝O′B，∴△O′PB是等腰直角三角形，∴PB=√2BO′＝5√2，∴AP＝AB﹣BP＝10﹣5√2．5．【答案】见试题解答内容【解答】解：设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为x米，则OA＝OA′＝OP，由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，∵AB＝60米，∴AM＝30米，且OM＝OP﹣PM＝（x﹣18）米，在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2＝OM2+AM2，即x2＝（x﹣18）2+302，解得x＝34，∴ON＝OP﹣PN＝34﹣4＝30（米），在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N=√MM′2−MM2=√342−302=16（米），∴A′B′＝32米＞30米，∴不需要采取紧急措施．6．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠C ＝∠ADB ＝90°，∴∠CAB ＝90°﹣28°＝62°，∵AD 平分∠BAC ，∴∠CAD =12∠CAB ＝31°， ∴∠CBD ＝∠CAD ＝31°；（2）连接OD 交BC 于E ，如图，在Rt △ACB 中，BC =√62−22=4√2， ∵AD 平分∠BAC ，∴∠CAD ＝∠BAD ，∴MM̂=MM ̂， ∴OD ⊥BC ，∴BE ＝CE =12BC ＝2√2，∴OE =12AC =12×2＝1， ∴DE ＝OD ﹣OE ＝3﹣1＝2，在Rt △BDE 中，BD =√22+(2√2)2=2√3， 在Rt △ABD 中，AD =√62−(2√3)2=2√6．7．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图，△A ′B ′C ′为所作；（2）如图，△A ″B ″C ″为所作，线段A ′C ′扫过图形的面积=90⋅M ⋅42360=4π，．8．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵AB 是直径， ∴∠ACB ＝90°∴∠A +∠ABC ＝90°∵DO ⊥AB ，∴∠A +∠D ＝90°∴∠D ＝∠ABC ．（2）∵OB ＝OC ，∴∠B ＝∠OCE ，∴∠OCE ＝∠D ．而∠COE ＝∠COD ，∴△OCE ∽△ODC ，∴MM MM =MM MM ，即M 3=3M∴y =9M （0＜x ＜3）．（3）设∠B ＝a ，则∠BCO ＝a ，∵OE ＝CE ，∴∠EOC ＝∠BCO ＝a在△BCO 中，a +a +90°+a ＝180°， ∴a ＝30°∴S =3×3√32−30M ⋅32360−√34×32=9√34−34π． 9．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）连接OB ，∵OA ⊥BC ，∴MM̂=MM ̂， ∴∠AOC ＝∠AOB ，由圆周角定理得，∠AOB ＝2∠ADB ＝60°， ∴∠AOC ＝∠AOB ＝60°；（2）∵OA ⊥BC ，∴BE =12BC ＝4，在Rt △BOE 中，∠AOB ＝60°，∴OB =MM MMM60°=8√33， ∴劣弧BC 的长=120M ×8√33180=16√39π（cm ）． 10．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵AB ＝CD ， ∴MM̂=MM ̂， ∵M 是MM̂的中点， ∴MM̂=MM ̂， ∴MM̂=MM ̂， ∴BM ＝DM ．（2）解：如图，连接OM ．∵DM ＝BM ＝4，OE ⊥BM ，∴EM ＝BE ＝2，∵OE ＝1，∠OEM ＝90°，∴OM =√MM 2+MM 2=√12+22=√5，∴⊙O 的半径为√5．11．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAC ＝∠DAC ，∵AB ∥CE ，∴∠BAC ＝∠ACE ，∴∠DAC ＝∠ACE ，∴MM̂=MM ̂． 12．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图所示，△A 1B 1O 即为所求；（2）线段AO 旋转时扫过的面积为：90×M ×(√10)2360=52M ． 13．【答案】（1）6√77； （2）83√3．【解答】解：如图：过点P 作PT ⊥BQ 于点T ，∵AB ＝2，AD ＝BC ＝2√3，DQ =√3，∴AQ =√3，在Rt △ABQ 中，根据勾股定理可得：BQ =√7．又∵四边形BPDQ 是平行四边形，∴BP ＝DQ =√3∵∠AQB ＝∠TBP ，∠A ＝∠BTP ，∴△AQB ∽△TPB ，∴MM MM =MM MM ， 即√3=√3√7， ∴BT =3√77，∴BE ＝2BT =6√77． （2）设菱形BPDQ 的边长为x ， 则AQ ＝2√3−x ，在Rt △ABQ 中，根据勾股定理，得AB 2+AQ 2＝BQ 2， 即4+（2√3−x ）2＝x 2，解得x =43√3 由（1）可知： MM M =2√3−MM， ∴BT ＝2√3−x ＝2√3−4√33=2√33， ∴BE =43√3，∴点E 、Q 重合， ∴圆P 经过点B 、Q 、D ， ∴S 菱形=83√3． 14．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）证明：连结DE ，∵∠C ＝90°，∴AD 为直径，∴DE ⊥AB ，∵AD ＝BD ，∴AE ＝BE ；（2）设BD ＝x ，∵∠B ＝∠B ，∠C ＝∠DEB ＝90°∴△ABC ～△DBE ，∴MM MM =MM MM ， ∴4√5=2√5M +3， ∴x ＝5．∴AD ＝BD ＝5，∴AC =√52−32=4．15．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：如图，连接AD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD．（2）解：如图，连接OE．∵四边形AODE是菱形，∴OA＝OE＝AE，∴△AOE是等边三角形，∴∠A＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∵OA＝OB＝BD＝CD∴AE＝EC，∴CD＝CE，∵∠C＝60°，∴△EDC是等边三角形，∵DH⊥EC，CD＝4，∴DH＝CD•sin60°＝2√3．16．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图1，四边形ABCD为所作；（2）如图2，四边形ABCD为所作；（2）如图3，四边形ABCD为所作．17．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：延长半径AO 交⊙O 于D ，∴MMM̂=MMM ̂ ∵AB ＝AC ，∴MM̂=MM ̂， ∴MM̂=MM ̂， ∴∠BAD ＝∠CAD ，∴OA 平分∠BAC ；（2）解：∵MM̂：MM ̂=3：2，MM ̂=MM ̂ ∴MM̂=28×360°=90° ∴∠BAC ＝45°；18．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图2中，∵∠ACB ＝∠ECD ＝90°，∴∠ECB ＝∠ACD ，∵∠ACE ＝60°，∴∠BCE ＝∠ACD ＝30°，∴∠BCD ＝∠BCE +∠ECD ＝30°+90°＝120°；（2）如图2中，当DE ∥AB 时，延长BC 交DE 于M ，∴∠B ＝∠DMC ＝60°，∵∠DMC ＝∠E +∠MCE ，∴∠ECM ＝15°，∴∠BCE＝165°，当D′E′∥AB时，∠E′CB＝∠ECM＝15°，∴当ED∥AB时，∠BCE的度数为165°或15°；（3）存在．如图，①CD∥AB时，∠BCE＝30°，②DE∥BC时，∠BCE＝45°，③CE∥AB时，∠BCE＝120°，④DE∥AB时，∠BCE＝165°，⑤当AC∥DE时，∠BCE＝135°综上所述，当∠BCE＜180°且点E在直线BC的上方时，这两块三角尺存在一组边互相平行，∠BCE的值为30°或45°或120°或165°或135°．19．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，∴AE＝ED；（2）连接CD，OD，∵OC∥BD，∴∠OCB＝∠CBD＝30°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝30°，∴∠AOC＝∠OCB+∠OBC＝60°，∵∠COD＝2∠CBD＝60°，∴∠AOD＝120°，∴S阴＝S扇形OAD﹣S△ADO=120⋅M⋅42360−12•4√3×2=16M3−4√320．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：如图连接EC交OA于H．∵MM̂=MM ̂， ∴OA ⊥EC ，∵CD 是⊙O 的直径，∴∠DEC ＝90°，∴DF ⊥EC ，∴OA ∥DF ，∵BF 是⊙O 的切线，∴OA ⊥BF ，∴DF ⊥BF ，∴∠F ＝90°，∴△DFB 是直角三角形．（2）解：∵∠DEC ＝∠F ＝90°，∴EC ∥FB ，∴MM MM =MM MM =2，∴OH ＝2AH ，设AH ＝m ，则OH ＝2m ，OC ＝3m ， ∵CH 2＝OC 2﹣OH 2＝AC 2﹣AH 2，∴9m 2﹣4m 2＝40﹣m 2，∴m =2√153（负根已经舍弃）， ∴CH =10√33， ∵OA ⊥EC ，∴EH ＝HC =10√33， ∵∠F ＝∠F AH ＝∠AHE ＝90°，∴四边形AFEH 是矩形，∴AF ＝EH =10√33．。
线段旋转的面积问题
线段旋转的面积问题作者：黄栋来源：《中学数学杂志(初中版)》2014年第03期旋转虽然在初中课本出现的并不多，但是却经常与函数组合成复杂的数学问题；许多对数学感兴趣并且空间思维敏锐的学生，也经常深入分析旋转中的面积问题，并且提出各种各样的疑问和见解.下面笔者将和大家一起来探究在旋转过程中，线段扫过的面积问题.首先根据旋转中心位置的不同，把线段的旋转分为三类：旋转中心为线段的端点，旋转中心在线段上，旋转中心在线段之外.旋转中心为线段的端点.如图1，可以很明显看出，线段扫过的面积为扇形的面积，从而得出（0°旋转中心在线段的端点之间.通过图2我们亦可以轻松得出，旋转角度小于180°时，线段扫过的面积为两块扇形的面积和.即：S=α360π（BC2+AC2）（0°先看最简单的图11，很显然在旋转角大于等于360°的情况下，阴影区域为一个圆环，这个圆环可以看做是线段AC所扫出的阴影，因为线段BC被覆盖，所以在此情况下可以直接当线段BC不存在.因此面积为S=π（OA2-OC2）=πAC2（α=360°）.图7、8、9、10我们从整体上想象下：用剪刀沿着A′B′（图10沿着A′E与AC）把阴影分成两部分，大的部分为线段AC旋转扫过的面积，小的部分为线段BC旋转扫过的没被大的阴影覆盖的面积；所以此类面积可以分成两部分相加.第一部分线段AC扫过的面积为S1=α360π（OA2-OC2）=α360πAC2.图8、9中第二部分为以OB为半径的弓形面积（注：∠BOC=β，这个角必须给出或者可以根据长度用三角函数很容易求出，否则面积无法计算）.则弓形面积为：S2=2β360πOB2-OC×BC.只有旋转角在2∠BOC与360°-2∠BOC之间时，第二部分才为一个弓形.所以图8、9总体的阴影面积为：S=S1+S2（2β≤α≤360°-2β）.〖TPhd-6.tif，Y〗〖TS （〗〖JZ〗图12〖TS）〗图7中的第二部分为不规则图形，下面单独把图7里面两个圆的部分放大.如图12所示，区域①（弧BB′，线段B′E及线段BE围合而成）为线段BC扫过还没有被覆盖的区域，区域②（弧BD′，线段BE及线段ED′围合而成）为线段BC没有扫过，线段CD旋转到线段C′D′的位置，也没有扫到的区域（即图7中的空白区域）.我们发现区域①+区域②就是之前所求过的弓形，所以如果能把区域②面积求出，那么那个不规则的区域①的面积就知道了.我们知道∠BOD=2β，当点D′到达或超过点B时，区域②就不存在了，就变成了图8、9这种情况.所以图7是在旋转角α下面我们专注于扇形OBD′这个区域，做EF垂直OB与点F.∠BOD′=∠BOD-∠DOD′=2β-α，∠BOE=12（2β-α）=β-α2，∠OBE=90°-∠BOC=90°-β.因为OF=EF·cot∠BOE=EF·cot（β-α2），FB=EF·cot∠OBE=EF·cot（90°-β）=EF·tanβ，OF+FB=OB.所以OB=EF·〖JB（[〗cot （β-α2）+tanβ〖JB）]〗，所以EF=OBtanβ+cot（β-α2）所以区域②的面积为扇形减去俩三角形：S3=2β-α360πOB2-OB2tanβ+cot（β-α2）.则区域①面积为之前所求弓形面积减去区域②面积：S4=2β360πOB2-OC×BC-〖JB（[〗2β-α360πOB2-OB2tanβ+cot（β-α2）〖JB）]〗.所以图7总的面积为：S=S1+S4（0经过图7的分析，后面就简单多了.图10与图7是一模一样的，刚图7里面第二块阴影是空白部分需要减去，在图10里面，第二块面积正好是重叠部分，也是需要减去，在这里需要大家注意的只有一件事情，就是α的取值范围.通过上面分析我们可以得出当360°-2β因为∠B′OD=α+2β-360°，所以∠B′OE=12（α+2β-360°）.下面只需要把角度改一下，重叠部分的面积就出来了：S5=α+β-360360πOB2-OB2tanβ+cot（α2+β）.那么弓形面积-重叠部分就是：。
中考数学旋转(大题培优易错难题)及答案
一、旋转真题与模拟题分类汇编〔难题易错题〕1 .在由△ ABC中,AB=BC=5, Z B=90%将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点.处,将三角板绕点0旋转,三角板的两直角边分别交AB, BC或其延长线于E, F两点,如图①与②是旋转三角板所得图形的两种情况.〔1〕三角板绕点0旋转,△OFC是否能成为等腰直角三角形？假设能,指出所有情况〔即给出△OFC是等腰直角三角形时BF的长〕：假设不能,请说明理由：〔2〕三角板绕点0旋转,线段0E和OF之间有什么数量关系？用图①或②加以证实：〔3〕假设将三角板的直角顶点放在斜边上的点P处〔如图③〕,当AP:AC=L4时,PE和PF 有怎样的数量关系？证实你发现的结论.【解析】【小题1】由题意可知,①当F为BC的中点时,由AB=BC=5,可以推出CF和OF的长度,即可推出BF的长度,②当B与F重合时,根据直角三角形的相关性质,即可推出OF 的长度,即可推出BF 的长度；【小题2】连接0B,由己知条件推出△ OEB合么OFC,即可推出OE=OF：【小题3］过点P做PM±AB, PN±BC,结合图形推出△ PNF~ & PME, △ APM- △ PNC,继而推出PM： PN=PE： PF, PM： PN=AP： PC,根据条件即可推出PA： AC=PE： PF=1： 4.2 .在平面直角坐标中,边长为2的正方形OA8C的两顶点A、C分别在y轴、X轴的正半轴上,点.在原点.现将正方形.48c绕.点顺时针旋转,当A点一次落在直线y=x上时停止旋转,旋转过程中,A5边交直线〕'='于点M边交汇轴于点N 〔如图〕.〔1〕求边04在旋转过程中所扫过的面积；〔2〕旋转过程中,当和AC平行时,求正方形O43C旋转的度数:(3)设AM3N的周长为P,在旋转正方形O45C的过程中,〃值是否有变化？请证实你的结论. 【答案】(1)n/2(2) 22.5.⑶周长不会变化,证实见解析【解析】试题分析：(1)根据扇形的面积公式来求得边0A在旋转过程中所扫过的面积：(2)解决此题需利用全等,根据正方形一个内角的度数求出NAOM的度数：(3)利用全等把△ MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子.试题解析：(1) TA点第一次落在直线y=x上时停止旋转,直线y=x与y轴的夹角是45.,/. 0A 旋转了45°.0A在旋转过程中所扫过的面积为土」=-.360 2(2) •/ MNII AC,・•. Z BMN=Z BAC=45% Z BNM=Z BCA=45°./. Z BMN=Z BNM. /. BM=BN.又YBA=BC, A AM=CN.又；OA=OC, Z OAM=Z OCN, △ OAM合△ OCN./. Z A0M=Z CON=- (Z AOC-Z MON ) =- (90°-45°) =22.5°.2 2旋转过程中,当MN和AC平行时,正方形OABC旋转的度数为45.-22.5.=22.5..(3)在旋转正方形OABC的过程中,p值无变化.证实：延长BA交y轴于E点,那么N AOE=45°-Z AOM, Z CON=90°-45°-Z AOM=450-Z AOM,・•. Z AOE=Z CON.又：OA=OC, Z OAE=180o-90o=90°=Z OCN.:, & OAE2 A OCN.「.OE=ON, AE=CN.文:Z MOE=Z MON=45°, 0M=0M,「・△ OME2△ OMN. /. MN=ME=AM+AE.・•, MN=AM+CN,/. p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4...・在旋转正方形OABC的过程中,p值无变化.考点：旋转的性质.3.己知：如图1,将两块全等的含30.角的直角三角板按图所示的方式放置,N 84c=N 8MiC=30°,点8, C, 8］在同一条直线上.(1)求证：AB=2BC(2)如图2,将△ABC绕点C顺时针旋转凌.(0Va<180),在旋转过程中,设AB与AiC. AiB】分别交于点D、E, AC与A】Bi交于点F.当骏等于多少度时,AB与A X B工垂直？请说明理由.〔3〕如图3,当△ABC绕点C顺时针方向旋转至如下图的位置,使ABIICBi,AB与AK 交于点D,试说明A1D=CD.【答案】〔1〕证实见解析〔2〕当旋转角等于30.时,AB与AiBa垂直.〔3〕理由见解析【解析】试题分析：⑴由等边三角形的性质得八8=88］,又由于8B1=2BC,得出A8=28C;⑵利用AB与AiBi垂直得N AiED=90°,那么N AQE=90°-N Ai=60°,根据对顶角相等得Z BDC=60.,由于N B=60°,利用三角形内角和定理得N A1CB=180°-Z BDC-Z B=60°,所以N ACA】=90.-/AiCB=30.,然后根据旋转的定义得到旋转角等于30.时,AB与AiBi垂直：⑶由于ABIICB］, N ACBF90.,根据平行线的性质得N ADC=90.,在由△ ADC中,根据含30度的直角三角形三边的关系得到CD=L AC,再根据旋转的性质得AC=AC 所以2CD=-AiC,贝ljAiD=CD.2试题解析：（1）.「△488］是等边三角形；AB=BBi•/ 881=2BCAB=2BC〔2〕解：当AB 与AiBi垂直时,Z AiED=90%・•, Z A1DE=90°-Z A F900-30°=60°,Z B=60% ?. Z BCD=60%/. Z ACAi=90°-60c=30°,即当旋转角等于30.时,AB与A】B,垂直.〔3〕 ABII CBi, Z ACBi=90%/. Z CDB=90°,即CD 是△ ABC 的高,设BC=.,AC=.,贝lj由〔1〕得AB=2fl, ,7 ^WRC = — BCxAC = — ABxCD.UBC 2 2即［=k2axeO2 2CD = -b 9即CD=-!-AiC,2 2/. AiD=CD.【点睛】此题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中央的距离相等: 对应点与旋转中央的连线段的夹角等于旋转角.也考查了含30度的直角三角形三边的关系.4.:在△ ABC中,BC=a, AC=b,以AB为边作等边三角形ABD.探究以下问题：〔1〕如图1,当点D与点C位于直线AB的两侧时,a=b=3,且N ACB=60.,那么CD=—: 〔2〕如图2,当点D与点C位于直线AB的同侧时,a=b=6,且N ACB=90.,那么CD=_；〔3〕如图3,当NACB 变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时,求CD的最大值及相应的N ACB的度数.【答案】〔1〕3\产：〔2〕 3、伸-3\4 ㈠〕当NA CB=120.时,CD有最大值是a+b.【解析】【分析】〔1〕a=b=3,且NACB=60.,△ ABC是等边三角形,且CD是等边三角形的高线的2倍,据此即可求解；〔2〕 a=b=6,且NACB=90.,△ ABC是等腰直角三角形,且CD是边长是6的等边三角形的高长与等腰直角三角形的斜边上的高的差：〔3〕以点D为中央,将△ DBC逆时针旋转60.,那么点B落在点A,点C落在点E.连接AE, CE,当点E、A、C在一条直线上时,CD有最大值,CD=CE=a+b.【详解】（1）/ a=b=3,且NACB=60°,「. △ ABC是等边三角形,3//. 0C= 2 ,/. CD=3、3：（2）石-3©〔3〕以点D 为中央,将△ DBC 逆时针旋转60., 那么点B 落在点A,点C 落在点E.连接AE, CE, CD 有最大值是a+b.此题主要考查了等边三角形的性质,以及轴对称的性质,正确理解CD 有最大值的条件, 是解题的关键.5.在△ ABC 中,AB=AC, Z A=30°,将线段BC 绕点B 逆时针旋转60.得到线段BD,再将线 段BD 平移到EF,使点E 在AB 上,点F 在AC 上.〔1〕如图1,直接写出N ABD 和NCFE 的度数；〔2〕在图1中证实:AE=CF ；〔3〕如图2,连接CE,判断4CEF 的形状并加以证实.□ 1 口2【答案】(1)15% 45.： (2)证实见解析：(3) 4CEF 是等腰直角三角形,证实见解析.【解析】试题分析：(1)根据等腰三角形的性质得到N ABC 的度数,由旋转的性质得到/ DBC 的度 数,从・•・A CDE 为等边三角CE=CD.当点E 、A 、C 不在一条直线上时,有 CD=CE<AE+AC=a+b ；当点E 、A 、C 在一条直线上时,CD 有最大值,CD=CE=a+b ：只有当N ACB=120°时,Z CAE=180%即A 、C 、E 在一条直线上,此时AE 最大【点/. Z ACB=120°, 因此当N ACB=120°时,而得到NABD的度数；根据三角形外角性质即可求得NCFE的度数.(2)连接CD、DF,证实△ BCD是等边三角形,得到CD=BD,由平移的性质得到四边形BDFE是平行四边形,从而ABH FD,证实△ AEF合△ FCD即可得AE=CF.(3)过点E作EG J_CF于G,根据含30度直角三角形的性质,垂直平分线的判定和性质即可证实△ CEF是等腰直角三角形.(1) :在△ ABC 中,AB=AC, ZA=30% Z ABC=75°.•将线段BC绕点B逆时针旋转60.得到线段BD,即NDBC=60..NABD=15../. Z CFE=Z A+Z ABD=45°.(2)如图,连接CD、DF.线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD, /. BD=BC, Z CBD=60°. △ BCD是等边三角形.「・CD=BD.・「线段BD平移到EF,・・.EFII BD, EF=BD.四边形BDFE是平行四边形,EF=CD.「AB = AC, Z A=30°, /. Z ABC=Z ACB=75°. /. Z ABD=Z ACD=15°.,•,四边形BDFE是平行四边形…♦・ABH FD. /. Z A=Z CFD.:■ & AEF合△ FCD (AAS)./. AE=CF.(3) ZkCEF是等腰直角三角形,证实如下：如图,过点E作EG_LCF于G,: Z CFE =45°, /. Z FEG=45°. /. EG=FG.1EG =耳AEZ A=30°, NAGE=90°,「・2・1 1EG = £：F FG = KFV AE=CF,「. 2 . /. 2.・.G为CF的中点.「.EG为CF的垂直平分线.EF=EC./. Z CEF=Z FEG=90°.・•.△ CEF是等腰直角三角形.考点：1 •旋转和平移问题：2.等腰三角形的性质；3.三角形外角性质；4.等边三角形的判定和性质：5.平行四边形的判定和性质：6.全等三角形的判定和性质；7.含30度直角三角形的性质：8.垂直平分线的判定和性质：9.等腰直角三角形的判定.6.边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上〔如图1〕.现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转,当A点第一次落在DF上时停止旋转,旋转过程中,AB 边交DF于点M, BC边交DG于点N.〔1〕求边DA在旋转过程中所扫过的面积：〔2〕旋转过程中,当MN和AC平行时〔如图2〕,求正方形ABCD旋转的度数；〔3〕如图3,设AMBN的周长为p,在旋转正方形ABCD的过程中,p值是否有变化？清证实你的结论.71【答案】〔1〕2 〔2〕 225°；〔3〕不变化,证实见解析.【解析】试题分析：〔1〕将正方形ABCD绕D点顺时针旋转,当A点第一次落在DF上时停止旋转,旋转过程中,DA旋转了45°,从而根据扇形面积公式可求DA在旋转过程中所扫过的面积.〔2〕旋转过程中,当MN和AC平行时,根据平行的性质和全等三角形的判定和性质可求正方形ABCD旋转的度数为22.5.〔3〕延长BA交DE轴于H点,通过证实/D4〃三4DCN和/DM〃三4DMN可得结论.〔1〕;A点第一次落在DF上时停止旋转,「.DA旋转了45°.457r x 22 7TDA在旋转过程中所扫过的而积为360― 一2〔2〕 ,/ MN II AC, = ^-BAC = 45° Z./7/VM = ZBC4=45°.乙BMN =乙BNM . BM = BN・•・• • •T7.. BA = BC . AM = CN • ,・・•T7..DA = DC,4AM =乙DCN . ADAM=ADCN• /• • •1"DM = k〔900 - 45°〕 = 22.5°.L ADM=乙CDN . 2••• ・• •厂.旋转过程中,当MN和AC平行时,正方形ABCD旋转的度数为45°-22.5.= 22.5.⑶不变化,证实如下：如图,延长BA交DE轴于H点,那么LADE = 45° - LADM L CDN = 900 - 45° - L ADM = 450 - L ADM,,.LADE =乙CDN•• •T7.. DA = DC^DAH = 1800-90° = 90° = LDCN . ADAH^ADCN • •• • •.DH = DN f AH = CN•• ♦..〔MDE =乙MDN = 45°刀M = DM . ADMHwADMNv.MN = MH = AM + AH . MN = AM + CNp = MN + BN + BM = AM + CN + BN + BM = AB + BC = 4,在旋转正方形ABCD的过程中,P值无变化.考点：1 ,而动旋转问题：2.正方形的性质：3,扇形面积的计算：4.全等三角形的判定和性质.7.思维启迪：(1)如图1, A, B两点分别位于一个池塘的两端,小亮想用绳子测量A, B 间的距离,但绳子不够长,聪明的小亮想出一个方法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C,连接BC,取BC的中点P (点P可以直接到达A点),利用工具过点C作CDII AB,思维探索：(2)在4ABC 和4ADE 中,AC=BC. AE = DE,且AE<AC,Z ACB = Z AED =90.,将△ ADE绕点A顺时针方向旋转,把点E在AC边上时△ ADE的位置作为起始位置 (此时点B和点D位于AC的两侧),设旋转角为a,连接BD,点P是线段BD的中点,连接PC, PE.①如图2,当△ ADE在起始位置时,猜测：PC与PE的数量关系和位置关系分别是；②如图3,当a = 90.时,点D落在AB边上,请判断PC与PE的数量关系和位置关系,并证实你的结论：③当a=150.时,假设BC = 3, DE=I,请直接写出PC?的值.【答案】(1) 200： (2)①PC=PE, PC_LPE：②PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC=PE, PC±PE,见解析：@PC2=-1()+ 3-.2【解析】【分析】(1)由CDIIAB,可得NC=NB,根据N APB=N DPC即可证实△ ABP2△ DCP,即可得AB = CD,即可解题.(2)①延长EP交BC于F,易证△ FBP合△ EDP (SAS)可得△ EFC是等腰直角三角形,即可证实PC=PE, PCXPE.②作BFII DE,交EP延长线于点F,连接CE、CF,易证△ FBP合△ EDP (SAS),结合得BF = DE=AE,再证实△FBCW △ EAC (SAS),可得△ EFC是等腰直角三角形,即可证实PC = PE, PC±PE.③作BFII DE,交EP延长线于点F,连接CE、CF,过E点作EH_LAC交CA延长线于H 点,由旋转旋转可知,Z CAE = 150", DE与BC所成夹角的锐角为30.,得N FBC = N EAC, 同②可证可得PC=PE, PC_LPE,再由己知解三角形得J. EC2=CH2+HE2=1O + 3JJ,即可求出尸C2=9EC2 = 1()-3丫’3 2 2【详解】(1)解:丁CDII AB, J Z C=Z B,在仆ABP和aDCP中,BP = CPZAPB = NDPC,/B = /C:■ & ABP合△ DCP (SAS),DC=AB.AB = 200 米.・•・CD=200米,故答案为：200.(2)①PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC=PE, PCXPE.理由如下：如解图1,延长EP交BC于F,同(1)理,可知,△ FBP合 & EDP (SAS),/. PF=PE, BF = DE,又,.,AC=BC, AE = DE,FC=EC,又•・・Z ACB = 90\EFC是等腰直角三角形,・/ EP = FP,・・.PC=PE, PCJLPE.®PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC = PE, PC±PE.理由如下：如解图2,作BFII DE,交EP延长线于点F,连接CE、CF, 同①理,可知△ FBP2△ EDP (SAS),・・.BF = DE. PE = PF=-EF, 2・/ DE=AE,/. BF = AE,・••当a=90.时,Z EAC=90°,ED II AC, EAII BCFBII AC, Z FBC=90,・•・ Z CBF=Z CAE,在^ FBC和^ EAC中,BF = AE< NCBE = NCAE ,BC = AC:■ & FBC合 ' EAC (SAS),・•. CF = CE, Z FCB = Z EC A,•/ Z ACB = 90°,/. Z FCE = 90°,△ FCE是等腰直角三角形,・/ EP = FP,CP±EP, CP = EP=-EF.2③如解图3,作BFII DE,交EP延长线于点F,连接CE、CF,过E点作EH_LAC交CA延长线于H点,当a=150.时,由旋转旋转可知,Z CAE = 150°, DE与BC所成夹角的锐角为30.,・•・ Z FBC=Z EAC=a=150°同②可得^ FBP24 EDP (SAS),同②△ FCE是等腰直角三角形,CPJ_EP, CP = EP=』±CE,2在RSAHE 中,NEAH = 30.,AE=DE=1,HE=- , AH=叵,2 2又< AC=AB=3,/. CH=3+正,2・•, EC2=CH2+HE2=IO +3>/3【点睛】此题考查几何变换综合题,考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形性质、勾股定理和30.直角三角形性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于压轴题.8.小明合作学习小组在探究旋转、平移变换.如图△ ABC, △ DEF均为等腰直角三角形, 各顶点坐标分别为 A (1, 1) , B (2, 2) , C (2, 1) , D ( 0) , E( 2五,0),〔1〕他们将△ ABC绕C点按顺时针方向旋转45.得到△ AiBiC.请你写出点A］,Bi的坐标,并判断A】C和DF的位置关系：〔2〕他们将△ ABC绕原点按顺时针方向旋转45.,发现旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线y = 2g?+bx+c±.请你求出符合条件的抛物线解析式：〔3〕他们继续探究,发现将△ ABC绕某个点旋转45,假设旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线y = x?上,那么可求出旋转后三角形的直角顶点P的坐标.请你直接写出点P的所有坐标.A】C和DF的位置关系是平行.〔2〕•/ △ ABC绕原点按顺时针方向旋转45.后的三角形即为^ DEF,2 应x〔扃+>/Ib + c = O①当抛物线经过点D、E时,根据题意可得：｛, ,解得2 应x〔2 回一+ 2回+ c=0b = -12(=8万A y = 2>/2x2-12x+8x/2 .2 五x(近忘b + c = o②当抛物线经过点D、F时,根据题意可得：｛(3①丫372 点,解得I 2 J 2 2b = -llL = 7-72y = 2V2x2-llx+7>/2.2耳〔2⑸+2岳+ c = 0③当抛物线经过点E、F时,根据题意可得：｛〔30丫35/22ax --- +---b + c =-2 2J 乙b = -13'c = 10 应y = 2x/2x2-13x + 10x/2 .〔3〕在旋转过程中,可能有以下情形：①顺时针旋转45.,点A、B落在抛物线上,如答图1所示,易求得点p坐标为〔o, Lz叵〕. 2②顺时针旋转45.,点B、C落在抛物线上,如答图2所示,设点夕,.的横坐标分别为右,X2,易知此时BC与一、三象限角平分线平行,.•.设直线BC的解析式为y=x+b.联立丫f2与丫=乂+1〕得：x2=x+b,即X? — x-b = 0,「. X]+x? =1,X t x2 =-b ..•.根据题意易得：|x「x」=走,.J 〔Xi-xJ?=：,即 2 2\2 IX] +X2〕 -4x^2 =-..1- l + 4b = i,解得b =一2 8x2-x + - = 0,解得x = ^^x 或x = ^^.8 4 4••1点c的横坐标较小,x = 三口 .42 - *\/2 . 9 3-2近1IX = ------------- 时,y = x = ---------------------- .4 8.p f 2-5/2 3-2V2 .4 8③顺时针旋转45.,点C、A落在抛物线上,如答图3所示,设点C, A,的横坐标分别为4, X2.易知此时C7V与二、四象限角平分线平行,.•.设直线C7V的解析式为y = -x + b.联立y=x?与y = lX + b 得：x° =-x + b ,即+ x - b = 0 , /. X. +x?=一1, x,x, ="b .••・UA'=1, .•.根据题意易得：|x「x」= WI, ... 〔x「X2〕2 =；,即2 2.1- l+4b = l,解得b =一 2 8, 2 I ] 八-2 + y/2 T -2 - V2..X- + X + —= 0 , 解得X = ------------------ x 或X = ---------------- -8 4 4•・•点C的横坐标较大,「. x = "2+V,2 .4w + V? . 2 3 -2>/2ix = --------------- 时,y = x = ----------------------- .4 8*〕.4 8④逆时针旋转45.,点A、B落在抛物线上.由于逆时针旋转45.后,直线AB与y轴平行,由于与抛物线最多只能有一个交点,故此种情形不存在.⑤逆时针旋转45.,点B、C落在抛物线上,如答图4所示,与③同理,可求得：P 〔二2 一退,3二2巫〕.4 8⑥逆时针旋转45.,点C、A落在抛物线上,如答图5所示,与②同理,可求得：p 〔2y,,一y.〕.综上所述,点P的坐标为：〔0,上叵〕,〔三叵,3-2立〕,p〔―2 +点,2 4 8 43-2>/2 2 + 72 3 + 20\8 4 8等图I 答医2 硝； 1 答& 等国【解析】〔1〕由旋转性质及等腰直角三角形边角关系求解.〔2〕首先明确△ ABC绕原点按顺时针方向旋转45.后的三角形即为ADEF,然后分三种情况进行讨论,分别计算求解.〔3〕旋转方向有顺时针、逆时针两种可能,落在抛物线上的点有点A和点B、点B和点C、点C和点D三种可能,因此共有六种可能的情形,需要分类讨论,防止漏解.考点：旋转变换的性质,曲线上点的坐标与方程的关系,平行线的性质,等腰直角三角形的性质,分类思想的应用.。
一个石英钟的分针长10cm,分针旋转过的面积是157
一个石英钟的分针长10cm,分针旋转过的面积是157
一个石英钟的分针长10cm，分针旋转扫过的面积是157cm2。
求分针走了多少分？
答案解析
3.14×102
=3.14×100
=314（平方厘米）
157÷314×60=30（分钟）
答：分针走了30分钟。
这是一道关于圆的面积的题目，想一想分针经过若干分钟旋转扫过的面积与分针旋转一周扫过的面积之间有何关系？
分针旋转一周扫过的面积就是半径为10厘米的圆的面积，利用圆的面积=鹱半径2，先计算出分针旋转一周扫过的面积；
接着用扫过的面积÷旋转一周扫过的面积，求出扫过的面积占整个圆的分率即分针旋转扫过的面积所需时间占60分钟的分率，再乘以60分即可求出分针走了多少分。
中考数学圆的综合(大题培优 易错 难题)含详细答案
中考数学圆的综合(大题培优易错难题)含详细答案一、圆的综合1．在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点一次落在直线y x=上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y x=于点M，BC边交x轴于点N（如图）.（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；（3）设MBN∆的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.【答案】（1）π/2（2）22.5°(3)周长不会变化，证明见解析【解析】试题分析：（1）根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数；（3）利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子．试题解析：（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°，∴OA旋转了45°．∴OA在旋转过程中所扫过的面积为24523602ππ⨯=．（2）∵MN∥AC，∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN．又∵BA=BC，∴AM=CN．又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM≌△OCN．∴∠AOM=∠CON=12（∠AOC-∠MON）=12（90°-45°）=22.5°．∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5°．（3）在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．证明：延长BA交y轴于E点，则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，∴∠AOE=∠CON．又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．∴△OAE≌△OCN．∴OE=ON，AE=CN．又∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM，∴△OME≌△OMN．∴MN=ME=AM+AE．∴MN=AM+CN，∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．∴在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．考点：旋转的性质.2．如图，A、B两点的坐标分别为（0，6），（0，3），点P为x轴正半轴上一动点，过点A作AP的垂线，过点B作BP的垂线，两垂线交于点Q，连接PQ，M为线段PQ的中点．（1）求证：A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上；（2）当⊙M与x轴相切时，求点Q的坐标；（3）当点P从点（2，0）运动到点（3，0）时，请直接写出线段QM扫过图形的面积．【答案】(1)见解析;(2) Q的坐标为（32，9）;(3)63 8.【解析】（1）解：连接AM、BM，∵AQ⊥AP，BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜边PQ的中点∴AM＝BM＝PM=QM= 12 PQ，∴A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。
如何求解旋转扫过的面积
如何求解旋转扫过的面积我们知道线旋转、面在平面上旋转都扫过一定面积,如何计算图形旋转扫过的面积呢？下面跟随我的脚步来领略几例此类问题.例 1如图，在Rt ABC △中，903C AC ∠==，．将其绕B 点顺时针旋转一周，则分别以BA BC ，为半径的圆形成一圆环．则该圆环的面积为 ．析解：本题考查了圆的有关计算，勾股定理，旋转等方面的知识. 根据圆面积公式和勾股定理，得圆环的面积为：πAB 2－πBC 2=π(AB 2－BC 2)= πAC 2 =π×32 =9π.例2如图，菱形OABC 中，120A =∠，1OA =，将菱形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转90，则图中由弧BB ′，B ′A ′，弧A ′C ，CB 围成的阴影部分的面积是 ．析解:本题主要考查扇形面积的计算和菱形的性质,连接BO,O B ',阴影部分的面积转化为扇形B BO '面积-扇形A CO '面积-三角形BOC 面积-三角形O A B ''面积=扇形B BO '面积-扇形A CO '面积-菱形OABC 的面积,欲求扇形B BO '面积,需要计算OB 的长,于是连接AC,则AC ⊥OB,∵120A =∠,∴∠AOC=060,∴∠AOB=21∠AOC=030,∴AD=2121=AO ,根据勾股定理得,OD=22AD OA -=23,∴OB=3,∵旋转角∠A AO '= ，090∴∠A CO '=，030∴∠B BO '=，090 ∴()OB AC S ⨯⨯-⨯-⨯=2136013036039022ππ阴影=31211243⨯⨯--ππ=23π32-. 例3 如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=，30CAB ∠=，2BC =，O H ，分别为边AB AC ，的中点，将ABC △绕点B 顺时针旋转120到11A BC △的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ）A ．77π338-B ．47π338+C ．πD ．4π33+析解:本题考查的知识点有扇形面积的计算,中位线定理和直角三角形的有关性质等,连接BH 和1BH ,∵90ACB ∠=，30CAB ∠=，2BC =， ∴AB=2BC=4,∴AC=,32242222=-=-BC AB ∵O H ，分别为边AB AC ，的中点，∴OB=1OB =2,CH=32111==AC H C ,∴BH=()73222211211=+=+=H C BC BH ,易证△HOB ≌△B O H 11,∴线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为圆心角为120,半径分别为7和3的两扇形的面积差,即3601202BH S π=阴影3601202BO π-=πππ=-3437.AH BOC 1O 1H1A1C。
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A(2,4)
C(5,1) B(1,1) o
(1)将△ABC绕点C顺时针旋转90°,求BC所扫过的面积. (2)将△ABC绕点C顺时针旋转90°,求AC所扫过的面积. (3)将△ABC绕点C逆时针旋转90°,求AB所扫过的面积.
B A A C
B
(1)将△ABC绕点C顺时针旋转90°,求BC所扫过的面积. (2)将△ABC绕点C顺时针旋转90°,求AC所扫过的面积. (3)将△ABC绕点C逆时针旋转90°,求AB所扫过的面积.
(1)将△ABC绕点C顺时针旋转90°,求点B所经过的路径长. (2)将△ABC绕点C顺时针旋转90°,求点A所经过的路径长. (3)将△ABC绕点B逆时针旋转90°,求点A所经过的路径长. (4)将△ABC绕点B逆时针旋转90°,求点C所经过的路径长.
A
C
B
(1)将△ABC绕点C顺时针旋转90°,求点B所经过的路径长. (2)将△ABC绕点C顺时针旋转90°,求点A所经过的路径长. (3)将△ABC绕点B逆时针旋转90°,求点A所经过的路径长. (4)将△ABC绕点B逆时针旋转90°,求点C所经过的路径长.BA AB NhomakorabeaC