第五讲波动率 PPT

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ARCH（m）模型
在 ARCH（m）模型中，我们也给长期平均方差VL一个权重γ
m
n2 VL
au2 i ni
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指数加权移动平均模型 （EWMA）
要避免由于简单移动平均导致的缺陷，最简单的方法是对近期的数据赋予 更高的权重。这是指数加权移动平均法（EWMA）背后的基本思想
EWMA的诱人之处
需要的数据相对较少 仅需记忆对当前波动率的估计以及市场变量的最新观察值 对波动率进行跟踪监测 RiskMetrics 采用λ=0.94来更新每天波动率的估计
CWMA与GARCH
运用EWMA估计的市场波动率并不是常数，这正是广义自回归条件异方差模型 （GARCH模型）族的核心思想。
交易天数与日历天数
研究表明，交易所开盘交易时的波动率比关闭时的波动率要大 很多，因此，当由历史数据估计波动率时，分析员常常忽略交 易所关闭的天数，计算时通常假定每年有252个交易日
假设连续交易日的收益率是独立的，并有相同的标准差
year day 252
day
year
252
日波动率大约为年波动率的6%
我们可以回忆VaR值，分布不同对于结果影响很大。
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
正态分布和肥尾分布
幂律：正态分布的代替
在分析很多市场变量的收益行为时，幂律似乎要比正态分布更 好（Prob(v > x) = Kx-a）
幂律分布在自然界和人类社会中广泛存在，到目前为止仍然是 一个相当神奇的话题，人们似乎可以发现很多符合幂律分布的 事实，但人们却很难解释为什么分布会是这个样子。
证券的收益率。 从图形上说，较正态分布图的尾部要厚，峰处要 尖。是大概率的小规模事件与小概率的大规模事件并存的一种状态。
肥尾分布的随机变量，不能简单的用正态分布去拟合这些数据的分 布，从而做一些统计推断。一般来说，通过实证分析发现，自由度 为5或6的t分布拟合的较好。
认识肥尾分布对于投资而言有着极为重要的意义，菲利普安德森说， 绝大多数事件取决于分布的尾部（极限状态），而不是均值；取决 于例外时间，而不是均值。众多的小概率的大规模事件的存在（如 崩盘）也印证了对投资者的影响更为巨大。
该类指数有三种：VIX 跟踪S&P500；VXN跟踪Nasdaq Leabharlann Baidu00成分股；VXD则跟 踪道琼斯工业指数
GVIX，周昆教授等提出，认为波动率计算的3阶项也不能省略，所以得出结果与 VIX有不同，似更精确——实际上，我们可以有更精确的计算方法去估算波动率
汇率的日变化量是否服从正态分布
肥尾分布
爆发：大数据时代预见未来的新思维 以及如下的文章可以作为参考
对应于汇率增量的log-log图
估计波动率的标准方法
定义 n 为第n-1天所估计的市场变量在第n天的波动率
定义 Si 为市场变量在第 i 天末的价格
定义 ui= ln(Si/Si-1)
2 n
1 m 1
m i 1
(uni
u)
u
第五讲 波动率
波动率的定义
某个变量的波动率σ定义为这一变量在单位时间内连续复利收 益率的标准差
定义Si 为变量在时间 i 的值，则日波动率为ln(Si /Si-1) 的标准差 如果我们假设，每日收益率相互独立且具有相同的方差，则T
天回报的方差为T乘以每日收益率的积。这意味着，T天收益率 的标准差是日收益率标准差的 T 倍 这和“不确定性随时间长度的平方根增长”这一法则是一致的
EWMA属于GARCH模型的一个特例。GARCH模型族假设收益率的条件方差不 是常数，因此在不同的时间段里，资产收益率的波动性可能会更高或者更低（即 波动聚集性）。εi是在时刻i的预测误差，即估计值和实际值之间的差距（因此， 估计条件方差同样要求估计一个条件均值，条件均值是通过自回归模型AR(1)推 导出来的yt+1=α+ρyt+ε式中,yt+1和yt分别代表在t+1和t时刻上的资产收益率；α和ρ 是需要通过回归进行估计的常数；ε是回归方程的误差项。并且有α>0、 α1,α2,…,αp≥0。从上式可知：显著的预测误差会导致所估计的方差变大；当然， 同时还受到α参数值大小的影响。博勒斯洛夫通过将时刻t的条件方差用t-1，t-2 ，…，t-n时刻的方差来表示，将恩格尔的ARCH模型进行了扩展。
隐含波动率
期权公式中唯一不能直接观察到的一个参数就是股票价格的波 动率
隐含波动率是将市场上的期权价格代入BSM公式后反推计算出
的波动率
c S0N(d1) KerTN(d2)
p KerTN(d2) S0N(d1)
d1
ln(S0
/
K)
(r
T
2
/
2)T
d2
ln(S0
/ K) (r 2 T
/ 2)T
d1
T
VIX指数 VIX指数是S&P500指数的波动率指数
VIX指数
VIX 是芝加哥期权期货交易所 使用的市场波动性指数。通过该指数，可以了解 到市场对未来30天市场波动性的预期。
VIX由CBOT（芝加哥期权期货交易所）编制，以S&P500指数期权的隐含波动 率计算得来（1993年从8只成分股为基础计算，现在覆盖了标普500所有成分 股）。若隐含波动率高，则VIX指数也越高。该指数反映出投资者愿意付出多少 成本去对冲投资风险（用股票期权对冲风险的成本）。因此，VIX广泛用于反映 投资者对后市的恐慌程度，又称“恐慌指数”。指数愈高，意味着投资者对股市 状况感到不安；指数愈低，表示股票指数变动将趋缓。
1 m
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uni
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这个公式其实就是一个样本方差的计算公式，那么为什么是样
本方差呢？（关于总体和样本的思辨）
简化形式
定义 ui = (Si−Si-1)/Si-1
假设 ui 期望为0
用 m 代替 m-1
2 n
1 m
m
u2 ni
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加权权重的格式
对等权重进行改进
m
2 n
a
u2
i ni
在指数加权移动平均模型中， u2 的权重αi 随着回望时间加长而按指数速度 递减
n 2 n 2 1(1)un 2 1
许多风险管理者在计算日收益波动率时使用λ=0.94，而在计算月波动率时 则使用λ=0.97。JP摩根在1996年公布的RiskMetricsTM技术文档中就是把这 两个λ值作为研究成果用于实证检验