函数的单调性与极值经典例题复习训练

函数的单调性与极值练习
一、选择题
1．函数3
()3f x x x =-（||1x <） （ ）。

Ａ．有最大值，但无最小值 Ｂ．有最大值，也有最小值 Ｃ．无最大值，也无最小值 Ｄ．无最大值，但有最小值
2．函数3() f x x a x b =++在区间（－1，1）上为减函数，在（1，＋∞）上为增函数， 则（ ）。

Ａ．1a =，1b =Ｂ．1a =，R b ∈Ｃ．3a =-，3b =Ｄ．3a =-，R b ∈ 3．函数2
1ln 2
y x x =
-的单调减区间为 （ ）。

Ａ．（0，1）Ｂ．（0，1）∪（－∞，－1）Ｃ．（0，1）∪（1，＋∞）Ｄ．（0，＋∞） 4．函数232
x
y x x =
-+的单调增区间为 （ ）。

Ａ．
） Ｂ．（－2，1）∪（1，2） Ｃ．
，1）∪（1
） Ｄ．
，1），（1
） 5．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '= 的图象如右图所示，则()y f x =的图象有 可能的是 （ ）。

Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 二、填空题
6．已知0a >，函数3
() f x x a x =-+在[1，＋∞)上是单调减函数，则a 的最大值 为＿＿＿。

7．设()(1)(2)(3)f x x x x =---，则方程()0f x '=的实数根的个数是＿＿＿。

三、解答题
8．求函数1
()f x x x
=+
的极值。

)
函数的单调性与极值
类型一导数与函数的单调性 一、选择题
1．函数3
y x x =-的单调增区间是＿＿＿。

2．若三次函数3
y a x x =-在区间（－∞，＋∞）内是减函数，则a 的取值范围＿＿＿。

3．函数ln y x x =在区间（0，1）上的增减性是＿＿＿。

二、填空题
4．若函数32
()f x x bx cx d =+++的单调递减区间为[－1，2]，则b =＿＿，c =＿＿。

5．若函数3
() f x a x x =+恰有三个单调区间，则a 的取值范围是＿＿＿。

6．设2
()f x x x
=+
（0x <），则()f x 的单调增区间为＿＿＿。

7．求函数2
2
ln y x x =-的单调区间。

类型二、函数的极值
一、选择题 1．函数1()()2
x x
f x e e -=
+的极小值点是＿＿＿。

2．函数sin()2
y x π
π=+
+在区间[－π，π]上的极大值点为＿＿＿。

3．函数3
13y x x =+-的极大与极小值＿＿＿。

二、填空题
4．函数3
2
1y x x x =+-+在区间[－2，1]上的最小值为＿＿＿。

5．若函数3
() f x x a x =+在Ｒ上有两个极值点，则实数a 的取值范围是＿＿＿。

6．函数()sin cos f x x x =+在[－
2π，2
π
]上的最大值为＿＿＿，最小值为＿＿＿。

7．已知函数3
2
() 32f x a x b x x =+-+在1x =±处取得极值，讨论( 1 )f 和( 1 )f -是函数()f x 的极大值还是极小值。

函数的单调性与极值专题
1. 利用导数判断函数的单调性
（1）函数单调性与其导函数的正、负关系
在区间（a ，b ）内，若0)x ('f >，则函数y=f （x ）在区间（a ，b ）内单调递增.若0)x ('f <，则函数y=f （x ）在区间（a ，b ）内单调递减，若()0x 'f =，则函数y=f （x ）是常函数，在区间（a ，b ）内不具有单调性. （2）导数与函数图像的关系
若函数在某一区间（a ，b ）内的导数绝对值较大，则函数在这个范围内变化得快，函数图像比较“陡峭”（向上或向下），反之，函数图像就“平缓”一些. 2. 求可导函数单调区间的一般步骤与方法
（1）确定函数y=f （x ）的定义域
（2）求0)(),(''=x f x f 令，解此方程，求其在定义域内的一切实根.
（3）把函数y=f （x ）的间断点的横坐标及上面求出的各实根按由小到大的顺序排列，然后用这些点把函数f （x ）的定义区间分成若干个小区间.
（4）确定)x ('f 在各个小区间的符号，判定函数y=f （x ）在每个相应小开区间的单调性.
3. 函数极值的概念
已知函数y=f （x ），设0x 是定义域内任意一点，若对0x 附近所有的点x ，都有
)()(0x f x f <，则称函数y=f （x ）在0x 处取极大值，即)(0x f y =极大，0x 称为函数的一
个极大值点.反之若)()(0x f x f >，则函数)x (f y =在0x 处取得极小值，即)(0x f y =极小，
0x 称为函数的一个极小值点.
注意：（1）函数极值是局部性概念，极值点是定义域内的点，而定义域的端点绝不是极值点.
（2）若函数y=f （x ）在[a ，b]内有极值，则函数)x (f y =在区间[a ，b]内一定不是单调函数，即给定区间上的单调函数无极值.
（3）当函数)x (f y =在区间[a ，b]内连续且有有限个极值点时，函数)x (f y =在区间[a ，b]内的极大值点与极小值点是交替出现的. 4. 求函数y=f （x ）极值的方法
（1）求导数()x 'f .
（2）求方程()x 'f =0的所有实数根.
（3）考察0x 附近的每一个根（从左到右），导函数)('
x f 的符号变化，若)('
x f 的符号由正变负，则)(0x f 是极大值，若)('
x f 的符号由负变正，则)(0x f 是极小值.
注意：①可导点不一定是极值点，如3
)(x x f =，0)0('
=f ，则x=0不是极值点.故导数为零的点是该点为极值点的必要条件.
②不可导点可能是极值点，如||)(x x f =，在x=0处不可导，但x=0是函数的极小
值点.
【典型例题】
考点一：判断函数在给定区间上的单调性 例1、已知函数)0x (,x
a
x )x (f ≠+
=， （1）当0≤a 时，函数在区间（),0()0,+∞∞-及上的单调性如何？ （2）当a>0时，判断函数在区间)0,(),0(a a -及上的单调性.
例2、已知函数)(3
1)(23
R a ax x x x f ∈++=，讨论函数的的单调性。

考点二：求函数的单调区间
例3、求函数x x x f ln 23)(2
-=的单调区间
考点三：求函数的极值及其综合应用. 例4、求函数x e
x x f -=2
)(的极值
x )0,(-∞
0 （0， 2）
2 （2，+)∞
)('x f
－
+
0 －
)(x f
极小值0
极大值2
4-e
例5、 已知函数f (x )＝x 3＋bx 2
＋cx ＋2在x ＝－2和x ＝23
处取得极值．
(1) 确定函数f (x )的解析式(2) 求函数f (x )的单调区间；（3）作出函数()f x 的大致图像.
例6、 已知函数,1)1(2
33)(2
3+++-=
x a x x a x f 其中a 为实数， （1）已知函数f （x ）在x=1处取得极值，求a 的值
（2）已知不等式1)(2
'
+-->a x x x f 对任意的a ),0(+∞∈都成立，求x 的取值范围.
考点四：求函数的最值
例7、求函数]1,3
2[,322
3∈++-=x x x x y 的值域。

例8、证明：1x
e x ≥+
同步练习：
1、设x=1，x=2是函数1)(3
5
+++=bx ax x x f 的两个极值点
（1）求a ，b 的值.（2）求f （x ）的单调区间.
的单调性与极值。

讨论函数)()2(ln )(.22R a x a x x a x f ∈-+-=
3、设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0<x <2π，求函数f (x )的单调区间． 变式1.求函数()f x 的极值.
变式2.作出函数()f x 的草图.
变式3.设函数()sin cos f x x x x a =-++，[]0,2x π∈有且仅有两个零点，求实数a 的值.
变式4.设方程sin cos x x x a -+=有三个不同的实根，求实数a 的取值范围.
4. 设a 为实数，函数32
()f x x x x a =--+. （1）求()f x 的极值；
（2）作出函数32
()g x x x x =--的图像；
（3）当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？
5. 设a 为实数，函数f (x )＝e x
－2x ＋2a ，x ∈R .求f (x )的单调区间与极值；。