三角函数线及其应用课件
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2024年度高中数学必修四三角函数PPT课件
建筑设计
在建筑设计中，利用三角函数计算建筑物的角度、高度和距离等 参数，确保设计的准确性和美观性。
机械设计
在机械设计中，三角函数用于计算齿轮、轴承等机械元件的尺寸和 角度，保证机械传动的精确性和稳定性。
航空航天工程
在航空航天工程中，利用三角函数分析飞行器的姿态、航向和速度 等参数，确保飞行安全。
21
2024/3/24
32
THANKS
感谢观看
2024/3/24
33
周期性、奇偶性、单调性等
解三角形
正弦定理、余弦定理及应用
29
常见题型解析及技巧点拨
01
三角函数求值问题：利 用同角关系式、诱导公 式等求解
2024/3/24
02
三角函数的图像与性质 应用：判断单调性、周 期性等
03
04
三角恒等变换的应用： 证明等式、化简表达式 等
30
解三角形问题：利用正 弦定理、余弦定理求解 边或角
易错知识点剖析及防范措施
混淆三角函数定义域和值域
注意定义域和值域的区别，避免混淆
忽视三角函数的周期性
在解题时要考虑周期性，避免漏解或 多解
2024/3/24
错误使用三角恒等变换公式
注意公式的适用条件和变形方式，避 免误用
忽视解三角形的限制条件
在解三角形时要注意边和角的限制条 件，避免得出不符合题意的解
第三象限
正弦、余弦均为负、正切为正 。
第四象限
正弦为负、余弦为正、正切为 负。
2024/3/24
7
02 三角函数诱导公 式与变换
2024/3/24
8
诱导公式及其应用
2024/3/24
诱导公式的基本形式
《三角函数的图象与性质》PPT教学课件(第三课时正、余弦函数的单调性与最值)
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12
(1)B
(2)xx≠－4kπ－43π，k∈Z
(3)x－π4＋kπ≤x<π4＋kπ，k∈Z
[(1)当－π4＜x＜0时，－1＜tan x
＜0，∴ta1n x≤－1；
当0＜x＜π4时，0＜tan x＜1，∴ta1n x≥1.
即当x∈－π4，0∪0，π4时，函数y＝ta1n x的值域是(－∞，－1) ∪(1，＋∞)．
[提示] 由正切函数图象可知(1)×，(2)√，(3)×，(4)×. [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
第五章 三角函数
5.4 三角函数的图象与性质 第4课时 正切函数的性质与图象
2
学习目标
核心素养
1.能画出正切函数的图象．(重点)
1.借助正切函数的图象研究问
2.掌握正切函数的性质．(重点、难点) 题，培养直观想象素养.
3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的 2.通过正切函数的性质的应
渐近线．(易错点)
28
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(2)函数定义域为 xx≠kπ－π4且x≠kπ＋π4，k∈Z ， 关于原点对称， 又f(－x)＝tan－x－π4＋tan－x＋π4 ＝－tanx＋π4－tanx－π4 ＝－f(x)， 所以函数f(x)是奇函数．
29
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30
正切函数单调性的应用 [探究问题] 1．正切函数y＝tan x在其定义域内是否为增函数？ 提示：不是．正切函数的图象被直线x＝kπ＋π2(k∈Z)隔开，所以它的 单调区间只在kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)内，而不能说它在定义域内是增函 数．假设x1＝π4，x2＝54π，x1<x2，但tan x1＝tan x2.
用，提升逻辑推理素养.
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《三角函数线及其应用》课件模板
②作正切线时，应从A(1,0)点引x轴的垂线，交 α的终边(α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长 线(α为第二或第三象限角)于点T，即可得到正切线 AT.
类型一 利用三角函数线比较大小
【例 1】
分别作出2π和4π的正弦线、余弦线和正切线， 35
并比较
sin
2π和 3
sin45π，cos
2π和 3
2．三角函数线 三角函数线是表示三角函数值的有向线段，线段的方 向表示了三角函数值的正负，线段的长度表示了三角 函数值的绝对值．
图示
MP OM
AT
温馨提示：当角α的终边与x轴重合时，正弦线、 正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值和正 切值都为0；当角α的终边与y轴重合时，余弦线 变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值 为0，正切值不存在．
三角函数线及其应用
（Excellent handout training template）
1．三角函数的定义域
新知导学
函数
R
y＝tan α
α∈Rα≠2π＋kπ，k∈Z
温馨提示：当 α＝π2＋kπ(k∈Z)时，α 的终边在 y 轴上，终边上
任意一点的横坐标 x 都等于 0，所以 tan α＝yx无意义．
在 Rt△POM 中，sin α＝MP； 在 Rt △AOT 中，tan α＝AT.
又根据弧度制的定义，有 的长度为 α·OP＝α. 易知 S△POA<S 扇形 POA<S△AOT， 即12OA·MP<12α·OA<12OA·AT， 即 sin α<α<tan α. [题后反思] 由以上可看出，利用三角函数线，数形结合，能使问 题得以简化，三角函数线是利用数形结合思想解决有关三角函数 问题的重要工具.
类型一 利用三角函数线比较大小
【例 1】
分别作出2π和4π的正弦线、余弦线和正切线， 35
并比较
sin
2π和 3
sin45π，cos
2π和 3
2．三角函数线 三角函数线是表示三角函数值的有向线段，线段的方 向表示了三角函数值的正负，线段的长度表示了三角 函数值的绝对值．
图示
MP OM
AT
温馨提示：当角α的终边与x轴重合时，正弦线、 正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值和正 切值都为0；当角α的终边与y轴重合时，余弦线 变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值 为0，正切值不存在．
三角函数线及其应用
（Excellent handout training template）
1．三角函数的定义域
新知导学
函数
R
y＝tan α
α∈Rα≠2π＋kπ，k∈Z
温馨提示：当 α＝π2＋kπ(k∈Z)时，α 的终边在 y 轴上，终边上
任意一点的横坐标 x 都等于 0，所以 tan α＝yx无意义．
在 Rt△POM 中，sin α＝MP； 在 Rt △AOT 中，tan α＝AT.
又根据弧度制的定义，有 的长度为 α·OP＝α. 易知 S△POA<S 扇形 POA<S△AOT， 即12OA·MP<12α·OA<12OA·AT， 即 sin α<α<tan α. [题后反思] 由以上可看出，利用三角函数线，数形结合，能使问 题得以简化，三角函数线是利用数形结合思想解决有关三角函数 问题的重要工具.
【中考数学考点复习】第六节 锐角三角函数及其应用 课件(共33张PPT)
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第1题图
第六节 锐角三角函数及其应用
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改编条件：题干改变“测量点的高度”；“两个非特殊角”改为“两个 特殊角” 2．(2020 贺州)如图，小丽站在电子显示屏正前方 5 m 远的 A1 处看“防溺 水六不准”，她看显示屏顶端 B 的仰角为 60°，显示屏底端 C 的仰角为 45°，已知小丽的眼睛与地面距离 AA1＝1.6 m， 3．求电子显示屏高 BC 的值．(结果保留一位小数． 4．参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)．
第 6 题图
第六节 锐角三角函数及其应用
解：如解图，延长 BC 交 MN 于点 F， 由题意得 AD＝BE＝3.5 米，AB＝DE＝FN＝1.6 米，
在 Rt△MFE 中，∠MEF＝45°，∴MF＝EF，
在 Rt△MFB 中，∠MBF＝33°，
∴MF＝BF·tan33°＝(MF＋3.5)·tan33°，
第六节 锐角三角函数及其应用
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3. ．如图，为测量电视塔观景台 A 处的高度，某数学兴趣小组在电视塔 附近一建筑物楼顶 D 处测得塔 A 处的仰角为 45°，塔底部 B 处的俯角为 22°.已知建筑物的高 CD 约为 61 米，请计算观景台的高 AB 的值．(结果 精确到 1 米，参考数据：sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40)
形的边角 1. 三边关系：a2＋b2＝c2
关系
2. 两锐角关系：∠A＋∠B＝90° 3. 边角关系：sinA＝cosB＝ a ；cosA＝sinB＝ b；
tanA＝
a
c
；tanB＝
b
c
图②用
返回思维导图
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1.仰角、俯角：如图③，当从低处观测高处的目标时，视线与水平线 锐角三角 所成的锐角称为__仰__角____，当从高处观测低处的目标时，视线与水平 函数的实 线所成的锐角称为___俯__角___ 际应用 2．坡度(坡比)、坡角：如图④，坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡
人教版高考总复习一轮数学精品课件 主题二 函数 第五章三角函数、解三角形-第七节 正弦定理和余弦定理
1
4
π
2
π
2
15
,
8
解因为cos = − ,所以 < < π,故0 < < ,又sin =
sin 2 = 2sin cos =
cos 2 =
2cos2
−1=
15
2×
×
4
1
2× −1
16
1
−
4
=
=−
7
− .而sin
8
=
故sin 2 − = sin 2cos − cos 2 ⋅ sin = −
=− −
,
,
移项得 + = ,
所以△ 一定为直角三角形.
.又因为A, ∈ , ,
［对点训练2］（1）在△ 中,内角,,所对的边分别是,,,若
− cos = 2 − cos ,则△ 的形状为() D
A.等腰三角形
B.直角三角形
由
=
+
− ⋅ = + − × × × = ,得 = .故选D.
（2）在△ 中,角,,的对边分别为,,.若 = 2, = 30∘ , = 105∘ ,则 =()
A.1B. 2C.2 2D.2 3
[解析]∵ = ∘ , = ∘ , + + = ∘ ,∴ = ∘ ,∴由正弦定理可知
6 = 4 2 + 2 + 2 ,解得 = 1（负值舍）.
②求sin 的值；
解由①可求出 = 2,而0 < < π,所以sin = 1 − cos 2 =
4
π
2
π
2
15
,
8
解因为cos = − ,所以 < < π,故0 < < ,又sin =
sin 2 = 2sin cos =
cos 2 =
2cos2
−1=
15
2×
×
4
1
2× −1
16
1
−
4
=
=−
7
− .而sin
8
=
故sin 2 − = sin 2cos − cos 2 ⋅ sin = −
=− −
,
,
移项得 + = ,
所以△ 一定为直角三角形.
.又因为A, ∈ , ,
［对点训练2］（1）在△ 中,内角,,所对的边分别是,,,若
− cos = 2 − cos ,则△ 的形状为() D
A.等腰三角形
B.直角三角形
由
=
+
− ⋅ = + − × × × = ,得 = .故选D.
（2）在△ 中,角,,的对边分别为,,.若 = 2, = 30∘ , = 105∘ ,则 =()
A.1B. 2C.2 2D.2 3
[解析]∵ = ∘ , = ∘ , + + = ∘ ,∴ = ∘ ,∴由正弦定理可知
6 = 4 2 + 2 + 2 ,解得 = 1（负值舍）.
②求sin 的值；
解由①可求出 = 2,而0 < < π,所以sin = 1 − cos 2 =
高考总复习一轮数学精品课件 第五章 三角函数 第七节 正弦定理和余弦定理及其应用
(1)在△ABC中,一定有a+b+c=sin A+sin B+sin C.( × )
(2)在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,则必有A=B.( × )
(3)在△ABC中,若a2+b2<c2,则△ABC是钝角三角形.(
√
)
2.已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,面积为
3.(2023 全国乙,文 4)记△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 acos Bbcos A=c,且
π
C= ,则
5
B=(
π
A.
10
π
B.
5
3π
C.
10
2π
D.
5
答案 C
)
解析由acos B-bcos A=c及正弦定理,得sin Acos B-sin Bcos A=sin C,
(1)若式子中含有正弦的齐次式,优先考虑正弦定理“角化边”;
(2)若式子中含有a,b,c的齐次式,优先考虑正弦定理“边化角”;
(3)若式子中含有余弦的齐次式,优先考虑余弦定理“角化边”;
(4)含有面积公式的问题,要考虑结合余弦定理求解;
(5)同时出现两个自由角(或三个自由角)时,要用到三角形的内角和定理.
又因为sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,
sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,
所以sin Bcos C+cos Bsin C-sin Acos C-cos Asin C=sin Ccos B-sin Ccos A,整
理得sin Bcos C-sin Acos C=0,因此(sin B-sin A)cos C=0,所以sin B=sin A或
(2)在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,则必有A=B.( × )
(3)在△ABC中,若a2+b2<c2,则△ABC是钝角三角形.(
√
)
2.已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,面积为
3.(2023 全国乙,文 4)记△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 acos Bbcos A=c,且
π
C= ,则
5
B=(
π
A.
10
π
B.
5
3π
C.
10
2π
D.
5
答案 C
)
解析由acos B-bcos A=c及正弦定理,得sin Acos B-sin Bcos A=sin C,
(1)若式子中含有正弦的齐次式,优先考虑正弦定理“角化边”;
(2)若式子中含有a,b,c的齐次式,优先考虑正弦定理“边化角”;
(3)若式子中含有余弦的齐次式,优先考虑余弦定理“角化边”;
(4)含有面积公式的问题,要考虑结合余弦定理求解;
(5)同时出现两个自由角(或三个自由角)时,要用到三角形的内角和定理.
又因为sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,
sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,
所以sin Bcos C+cos Bsin C-sin Acos C-cos Asin C=sin Ccos B-sin Ccos A,整
理得sin Bcos C-sin Acos C=0,因此(sin B-sin A)cos C=0,所以sin B=sin A或
高考数学一轮复习专题五三角函数与解三角形4解三角形及其综合应用综合篇课件新人教A版
由A,B∈(0,π)得0<2A<2π,0<2B<2π,得2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B= .
2
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形,故选D. 解法二:(同解法一)可得2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A.
由正弦、余弦定理,可得a2·b2 c2 a2 ·b=b2·a2 c2 b2 ·a.∴a2(b2+c2-a2)=b2(a
(1)A+B+C=π; (2)在△ABC中,大角对大边,大边对大角,如:a>b⇔A>B⇔sin A>sin B; (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边;
(4)在锐角三角形ABC中,sin A>cos B⇔A+B> ;
2
(5)在斜△ABC中,tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C; (6)有关三角形内角的常用三角恒等式:sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C;
由①②解得c=4或c=-6(不合题意,舍去).∴c=4.故选C.
答案 C
例 (2018北京朝阳二模,2)在△ABC中,AB=1,AC= 2,∠C= ,则∠B=
6
()
A. B. 或 C. 3 D. 或 3
4
42
4
44
解析
由正弦定理得 AB
sin C
= AC
sin B
,即
1 sin
= 2,
sin B
B,C的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),则△ABC的形状为 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
2
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形,故选D. 解法二:(同解法一)可得2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A.
由正弦、余弦定理,可得a2·b2 c2 a2 ·b=b2·a2 c2 b2 ·a.∴a2(b2+c2-a2)=b2(a
(1)A+B+C=π; (2)在△ABC中,大角对大边,大边对大角,如:a>b⇔A>B⇔sin A>sin B; (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边;
(4)在锐角三角形ABC中,sin A>cos B⇔A+B> ;
2
(5)在斜△ABC中,tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C; (6)有关三角形内角的常用三角恒等式:sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C;
由①②解得c=4或c=-6(不合题意,舍去).∴c=4.故选C.
答案 C
例 (2018北京朝阳二模,2)在△ABC中,AB=1,AC= 2,∠C= ,则∠B=
6
()
A. B. 或 C. 3 D. 或 3
4
42
4
44
解析
由正弦定理得 AB
sin C
= AC
sin B
,即
1 sin
= 2,
sin B
B,C的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),则△ABC的形状为 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
高中数学精品课件：任意角三角函数
段 AT 为正切线
答案
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角.( × ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.( √ ) (3)角 α 终边上点 P 的坐标为(－12， 23)，那么 sin α＝ 23，cos α＝－12； 同理角 α 终边上点 Q 的坐标为(x0，y0)，那么 sin α＝y0，cos α＝x0.( × ) (4)α∈(0，π2)，则 tan α>α>sin α.( √ ) (5)α 为第一象限角，则 sin α＋cos α>1.( √ )
B.k·360°＋94π(k∈Z)
C.k·360°－315°(k∈Z) D.kπ＋54π(k∈Z) 解析 与94π的终边相同的角可以写成 2kπ＋94π(k∈Z) ，
但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确.
1 2 3 4 5 解析答案
3. 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长
解析答案
(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角：
解
2R＋Rα＝10 由题意得12α·R2＝4
⇒Rα＝＝81，
R＝4， (舍去)，α＝12.
故扇形圆心角为12.
解析答案
(3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个 扇形的面积最大？ 解 由已知得，l＋2R＝20. 所以 S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以当R＝5时，S取得最大值25， 此时l＝10，α＝2.
返回
练出高分
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答案
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角.( × ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.( √ ) (3)角 α 终边上点 P 的坐标为(－12， 23)，那么 sin α＝ 23，cos α＝－12； 同理角 α 终边上点 Q 的坐标为(x0，y0)，那么 sin α＝y0，cos α＝x0.( × ) (4)α∈(0，π2)，则 tan α>α>sin α.( √ ) (5)α 为第一象限角，则 sin α＋cos α>1.( √ )
B.k·360°＋94π(k∈Z)
C.k·360°－315°(k∈Z) D.kπ＋54π(k∈Z) 解析 与94π的终边相同的角可以写成 2kπ＋94π(k∈Z) ，
但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确.
1 2 3 4 5 解析答案
3. 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长
解析答案
(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角：
解
2R＋Rα＝10 由题意得12α·R2＝4
⇒Rα＝＝81，
R＝4， (舍去)，α＝12.
故扇形圆心角为12.
解析答案
(3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个 扇形的面积最大？ 解 由已知得，l＋2R＝20. 所以 S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以当R＝5时，S取得最大值25， 此时l＝10，α＝2.
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人教B版(2019)数学必修第三册 7_2_1三角函数的定义课件
(4)诱导公式一是什么？
课前小测
1．sin(－315°)的值是( C )
A．－
2
2
B．－
1
2
C.
2
2
✓ sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝
D.
2
2
1
2
2．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是( B )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
②sin 3·cos 4·tan 5
2
∵ ＜3＜π，π＜4＜
2
2
，
＜5＜2π，
∴－210°是第二象限角，
∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，
∴cos(－210°)＜0，
∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.
∴sin 145°cos(－210°)＜0.
判断三角函数值在各象限符号的攻略
正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数．
3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
R
R
∈ | ≠ +
,
2
∈
4. 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
图示
口诀
一全正，二正弦，三正切，四余弦
5．公式一
sin α
cos α
tan α
题型突破
典例深度剖析
重点多维探究
题型一
−2
＝2.
−1
(2)已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0) ，求
2sin α+cos α的值．
因为r＝
−3
2
+ 4
课前小测
1．sin(－315°)的值是( C )
A．－
2
2
B．－
1
2
C.
2
2
✓ sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝
D.
2
2
1
2
2．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是( B )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
②sin 3·cos 4·tan 5
2
∵ ＜3＜π，π＜4＜
2
2
，
＜5＜2π，
∴－210°是第二象限角，
∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，
∴cos(－210°)＜0，
∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.
∴sin 145°cos(－210°)＜0.
判断三角函数值在各象限符号的攻略
正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数．
3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
R
R
∈ | ≠ +
,
2
∈
4. 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
图示
口诀
一全正，二正弦，三正切，四余弦
5．公式一
sin α
cos α
tan α
题型突破
典例深度剖析
重点多维探究
题型一
−2
＝2.
−1
(2)已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0) ，求
2sin α+cos α的值．
因为r＝
−3
2
+ 4
三角函数 ppt课件
ppt课件
12
④理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+cos2x=1，
sin x/cos x=tan x．
⑤结合具体实例，了解y=Asin（ωx+φ）的实际意义； 能借助计算器或计算机画出
y=Asin（ωx+φ）的图象．
观察参数A，ω ，φ对函数图象变化的影响．
⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角 函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
ppt课件
13
三、本章内容的定位
1．引言 提供背景：自然界广泛地存在着周期性现象，
圆周上一点的运动是一个简单又基本的例子．
提出问题：用什么样的数学模型来刻画周期性
运动？
明确任务：建构这样的数学模型．
教学的起点是：对周期性现象的数学（分析）
研究．
教材的定位是：展示对周期现象进行数学研究
的过程，即建构刻画周期性现象的数学模型的 （思维）过程．
ppt课件
8
第一章 三角函数 （约16课时）
ppt课件
9
一、本章结构
周期现象
任意角
弧度
三角函数
三角函数线
同角三角函数关系 诱导公式 三角函数图象性质
综合运用
ppt课件
10
二、内容与要求
（1）任意角、弧度 了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度 的互化．
（2）三角函数 ①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余
ppt课件
37
（2）要充分发挥形数结合思想方法在本章 的运用．发挥单位圆、三角函数线、图象 的作用．
ppt课件
38
（3）运用和深化函数思想方法．
三角函数是学生在高中阶段系统学习的又一个 基本初等函数，教学中应当注意引导学生以数学l 中学到的研究函数的方法为指导来学习本章知识， 即在函数观点的指导下，学习三角函数，这对进 一步理解三角函数概念，理解函数思想方法对提 高学生在学习过程中的数学思维水平都是十分重 要的．
山东省高中数学《第一章 三角函数》归纳整合课件 新人教A版必修4
轴对称图形， 对 轴对称图形，对称轴方 称轴方程是 x＝ 中心对称图 π kπ，k∈Z；中心 形，对称中 程是 x＝kπ＋2，k∈Z； 对称性 kπ 对称图形， 对称 心 2 ，0(k 中心对称图形，对称中 π kπ＋ ，0 中心 心(kπ，0)k∈Z 2 ∈Z) k∈Z
π 2x＋ 的图象( 6
π 2x－ 的图象， 3
)． π B．向右平移 个长度单位 4 π D．向右平移 个长度单位 2
π A．向左平移 个长度单位 4 π C．向左平移 个长度单位 2
解析
π π y＝sin2x＋6＝sin2x＋12，
专题四
三角函数的性质
高考中三角函数的性质是必考内容之一，着重考查三角函数的 定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，特别是 复合函数的单调性问题应引起重视．
【例 5】 函数 f(x)＝3sin
π 2x－ 的图象为 3
C.
11 ①图象 C 关于直线 x＝ π 对称； 12 ②函数
专题一
任意角的三角函数的定义及三角函数线
掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利 用三角函数的定义求三角函数值，利用三角函数线判断三角函 数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．
【例 1】 求函数 y＝ sin x＋ 解 由题意知
1 cos x－2的定义域．
sin x≥0， sin x≥0， 即 1 1 cos x－2≥0， cos x≥2， 如图，结合三角函数线知：
3π y＝sin2x－ 4 的单调递增区间是
π 5π [kπ＋8，kπ＋ 8 ](k∈Z)．
(3)由
3π y＝sin2x－ 4 ， 8
课件3：7.2.2 单位圆与三角函数线
那么，比值yr叫作 α 的正弦，记作 sin α，即 sin α＝yr； 比值xr叫作 α 的余弦，记作 cos α，即 cos α＝xr.
3．终边落在坐标轴上的角的正弦、余弦值 利用正弦函数、余弦函数的定义可知，当 α 的终边落在坐
标轴上时，正弦函数、余弦函数的取值情况如下表：
函数名称 终边位置
83π＝
3 2.
方法归纳 (1)先将角α表示为α＝β＋2kπ(－π<β≤π，k∈Z)的形式， 则角β的终边即为角α的终边，k为x轴的非负半轴逆(k>0) 或顺(k<0)旋转的周数． (2)求角α与单位圆的交点坐标，应利用角α的特殊性转 化为直角三角形的边角关系求解，进而即得角α的正弦、 余弦值．
跟踪训练 2则．s已in 知α＝角__α_－的__45终__边_，和c单os位α＝圆_的__交_35_点__为_．P35，－45，
跟踪训练
3．(1)若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在( D )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D ． 第 四 象
限
(2)填空：
二
①如果sin α>0，且cos α<0，则α是第____四____象限角；
②如果cos α>0，且sin α<0，则一α是或第三________象限角； ③如果sin αcos α>0，则α是第_二__或__四___象限角；
解：(1)若 α 终边在第一象限内，设点 P(a，2a)(a>0)是其终
边上任意一点，因为 r＝|OP|＝ a2＋4a2＝ 5a，
所以 sin
α＝yr＝
2a ＝2 5a
5
5，cos
α＝xr＝
a＝ 5a
5 5.
高中数学人教版A版必修4《任意角的三角函数》优质PPT课件
第一章 三角函数
§1.2 任意角的三函数
明目标、知重点
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义， 了解三角函数是以实数为自变量的函数. 2.借助任意角的三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、 正切函数在各象限内的符号. 3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同 角的同一三角函数值相等.
明目标、知重点
(2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°. 解 原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋ cos (－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°) ＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°
明目标、知重点
(2)cos α＝xr(r>0)，因此cos α的符号与x的符号相同，当α的终边 在第一、四象限时，cos α>0；当α的终边在第二、三象限时， cos α<0. (3)tan α＝yx，因此tan α的符号由x、y确定，当α终边在第一、三 象限时，xy>0，tan α>0；当α终边在第二、四象限时，xy<0， tan α<0.
明目标、知重点
当堂测·查疑缺
1234
1.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( D )
4
3
A.5
B.5
C.－35
D.－45
解析 因为角 α 的终边经过点(－4,3)，所以 x＝－4，y＝3，r＝5，
所以 cos α＝xr＝－45.
§1.2 任意角的三函数
明目标、知重点
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义， 了解三角函数是以实数为自变量的函数. 2.借助任意角的三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、 正切函数在各象限内的符号. 3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同 角的同一三角函数值相等.
明目标、知重点
(2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°. 解 原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋ cos (－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°) ＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°
明目标、知重点
(2)cos α＝xr(r>0)，因此cos α的符号与x的符号相同，当α的终边 在第一、四象限时，cos α>0；当α的终边在第二、三象限时， cos α<0. (3)tan α＝yx，因此tan α的符号由x、y确定，当α终边在第一、三 象限时，xy>0，tan α>0；当α终边在第二、四象限时，xy<0， tan α<0.
明目标、知重点
当堂测·查疑缺
1234
1.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( D )
4
3
A.5
B.5
C.－35
D.－45
解析 因为角 α 的终边经过点(－4,3)，所以 x＝－4，y＝3，r＝5，
所以 cos α＝xr＝－45.
(2024年)高中数学三角函数诱导公式ppt课件
波动问题
波动是物理学中另一个重要的研究领域。在波动问题中，三角函数同样扮演着重 要的角色。利用三角函数诱导公式，可以求解波动方程，得到波的传播速度、波 长、频率等关键参数。
21
拓展延伸：复数域内三角函数性质探讨
复数域内三角函数的定义
在复数域内，三角函数可以通过欧拉公式进行定义。这使得三角函数在复数域内具有了许多独特的性质。
α)等。
12
利用同角关系求值或化简表达式
已知一个角的三角函 数值，求其他角的三 角函数值。
通过同角关系式证明 三角恒等式。
2024/3/26
利用同角关系式化简 复杂的三角函数表达 式。
13
典型例题解析
例题1
已知sinα = 3/5，求cosα ，tanα的值。
2024/3/26
例题2
化简表达式(sinα
5
三角函数值域和极值点
值域
正弦函数和余弦函数的值域均为$[-1, 1]$；正切函数的值域 为$R$。
2024/3/26
极值点
正弦函数在$frac{pi}{2} + kpi(k in Z)$处取得最大值1，在 $frac{3pi}{2} + kpi(k in Z)$处取得最小值-1；余弦函数在 $2kpi(k in Z)$处取得最大值1，在$pi + kpi(k in Z)$处取得 最小值-1。
关注三角函数与其他知识点的 联系，如向量、数列、不等式
等。
2024/3/26
26
THANKS
感谢观看
2024/3/26
27
18
05
实际应用举例与拓展延伸
2024/3/26
19
在几何图形中求解角度问题
波动是物理学中另一个重要的研究领域。在波动问题中，三角函数同样扮演着重 要的角色。利用三角函数诱导公式，可以求解波动方程，得到波的传播速度、波 长、频率等关键参数。
21
拓展延伸：复数域内三角函数性质探讨
复数域内三角函数的定义
在复数域内，三角函数可以通过欧拉公式进行定义。这使得三角函数在复数域内具有了许多独特的性质。
α)等。
12
利用同角关系求值或化简表达式
已知一个角的三角函 数值，求其他角的三 角函数值。
通过同角关系式证明 三角恒等式。
2024/3/26
利用同角关系式化简 复杂的三角函数表达 式。
13
典型例题解析
例题1
已知sinα = 3/5，求cosα ，tanα的值。
2024/3/26
例题2
化简表达式(sinα
5
三角函数值域和极值点
值域
正弦函数和余弦函数的值域均为$[-1, 1]$；正切函数的值域 为$R$。
2024/3/26
极值点
正弦函数在$frac{pi}{2} + kpi(k in Z)$处取得最大值1，在 $frac{3pi}{2} + kpi(k in Z)$处取得最小值-1；余弦函数在 $2kpi(k in Z)$处取得最大值1，在$pi + kpi(k in Z)$处取得 最小值-1。
关注三角函数与其他知识点的 联系，如向量、数列、不等式
等。
2024/3/26
26
THANKS
感谢观看
2024/3/26
27
18
05
实际应用举例与拓展延伸
2024/3/26
19
在几何图形中求解角度问题
高中数学 第一章 三角函数 1.2.三角函数的定义课件
12/12/2021
第二十页，共五十页。
(2)因为角 α 的终边过点(a,2a)(a≠0)， 所以 r＝ 5|a|，x＝a，y＝2a.
当
a>0
时，sinα＝yr＝
2a ＝2 5a
5 5，cosα＝xr＝
a＝ 5a
55，tanα
＝yx＝2aa＝2；
当
a<0
时，sinα＝yr＝－2a5a＝－2 5
5，cosα＝xr＝－ a
原点的距离为 r，则 sinα＝
y r ，cosα＝
x r ，tanα＝
y x.
12/12/2021
第八页，共五十页。
[答一答] 1．三角函数值的大小与点 P 在终边上的位置是否有关？
提示：三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与 点 P(x，y)在终边上的位置无关，只与角 α 的终边位置有关，即 三角函数值的大小只与角有关．
12/12/2021
第六页，共五十页。
12/12/2021
第七页，共五十页。
知识点一 三角函数的定义
[填一填] (1)单位圆：圆心是 原点 ，半径长为
单位长度 ．
(2)定义：设任意角 α 的终边与单位圆交于点 P(x，y)，则 sinα
＝
y ，cosα＝
x ，tanα＝ yx(x≠0) ．
(3)一般地，设角 α 终边上任意一点 P 的坐标为(x，y)，它与
12/12/2021
第二十三页，共五十页。
[变式训练 1] (1)如果角 α 的终边经过点 P－ 23，12，则 sinα
＝
1 2
，cosα＝
－
3 2
，tanα＝
－
3 3
高中数学第一章三角函数143正切函数的性质与图象课件新人教A版必修
其中k∈Z；两线为直线x＝kπ＋
π 2
和直线x＝kπ－
π2 ，其中k∈
Z(两线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交)．
(2)作简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线，
然后描出三个点，用光滑的曲线连接得到一条曲线，最后平
行移动至各个周期内.
2．下列说法正确的是( ) A．y＝tan x是增函数 B．y＝tan x在第一象限是增函数 C．y＝tan x在某一区间上是减函数 D．y＝tan x在区间 kπ－π2，kπ＋π2 (k∈Z)上是增函 数 解析：由正切函数的图象可知D正确． 答案：D
3．函数y＝tan
x2＋π3的单调递增区间是(
定义域 值域 周期
xx∈R，且x≠π2＋kπ，k∈Z R π
奇偶性
奇
单调性 在区间－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z) 上都是增函数
温馨提示 函数y＝tan x的对称中心的坐标是k2π，0， (k∈Z)，不是(kπ，0)(k∈Z)．
[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数在整个定义域内是增函数．( ) (2)存在某个区间，使正切函数为减函数．( ) (3)正切函数图象相邻两个对称中心的距离为周期 π.( ) (4)函数y＝tan x为奇函数，故对任意x∈R都有tan(－x) ＝－tan x. ( )
②由题意，得tan x≠1，且x≠kπ＋π2，k∈Z，
所以函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ＋
π 2
，且x≠kπ＋
π4，k∈Z}，其不关于原点对称．
所以函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
归纳升华 1．一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T ＝|ωπ |，常常利用此公式来求周期． 2．判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断 其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性； 若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．
正弦定理与余弦定理的应用(优秀课件)
正弦定理是三角形中一个基本的数学定理，用于描述三角形各边与其对应角的正弦值之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其对应的角的正弦值的比等于三角形的外接圆直径与另一条边 与其对应的角的正弦值的比。数学公式表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R，其中a、b、c分别代表 三角形的三边，A、B、C分别代表与边a、b、c相对的角，R代表三角形的外接圆半径。
三角函数值的计算
总结词
利用正弦定理和余弦定理解三 角形，进而计算三角函数值。
详细描述
通过已知的边长和角度，利用 正弦定理和余弦定理解三角形 ，进而计算三角函数值。
总结词
利用正弦定理和余弦定理解决 三角形中的角度问题。
详细描述
通过已知的边长和角度，利用 正弦定理和余弦定理解三角形 ，进而解决三角形中的角度问
总结词
利用正弦定理和余弦定理解决经济学中的供需关系和价格波动问题，如预测商品价格、 分析供需平衡等。
详细描述
在经济学中，供需关系决定了商品的价格。通过正弦定理和余弦定理，我们可以分析供 需双方的周期性变化，预测商品价格的波动趋势，为企业制定生产和销售策略提供依据。
05
正弦定理与余弦定理的综 合应用
详细描述
利用正弦定理和余弦定理，可以 推导出海伦公式，从而方便地计 算出三角形的面积。
三角形形状的判断
总结词
通过比较三角形的边长和角度，可以利用正弦定理和余弦定理来判断三角形的 形状。
详细描述
根据正弦定理和余弦定理的性质，可以判断出三角形是否为等腰三角形、直角 三角形或等边三角形等。
03
正弦定理与余弦定理在三 角函数问题中的应用
THANKS
感谢观看
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其对应的角的正弦值的比等于三角形的外接圆直径与另一条边 与其对应的角的正弦值的比。数学公式表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R，其中a、b、c分别代表 三角形的三边，A、B、C分别代表与边a、b、c相对的角，R代表三角形的外接圆半径。
三角函数值的计算
总结词
利用正弦定理和余弦定理解三 角形，进而计算三角函数值。
详细描述
通过已知的边长和角度，利用 正弦定理和余弦定理解三角形 ，进而计算三角函数值。
总结词
利用正弦定理和余弦定理解决 三角形中的角度问题。
详细描述
通过已知的边长和角度，利用 正弦定理和余弦定理解三角形 ，进而解决三角形中的角度问
总结词
利用正弦定理和余弦定理解决经济学中的供需关系和价格波动问题，如预测商品价格、 分析供需平衡等。
详细描述
在经济学中，供需关系决定了商品的价格。通过正弦定理和余弦定理，我们可以分析供 需双方的周期性变化，预测商品价格的波动趋势，为企业制定生产和销售策略提供依据。
05
正弦定理与余弦定理的综 合应用
详细描述
利用正弦定理和余弦定理，可以 推导出海伦公式，从而方便地计 算出三角形的面积。
三角形形状的判断
总结词
通过比较三角形的边长和角度，可以利用正弦定理和余弦定理来判断三角形的 形状。
详细描述
根据正弦定理和余弦定理的性质，可以判断出三角形是否为等腰三角形、直角 三角形或等边三角形等。
03
正弦定理与余弦定理在三 角函数问题中的应用
THANKS
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