简谐运动的合成
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谐振动分析(三)两个同方向同频率简谐运动的合成
o
o
A1
A2
A
T
t
A A1 A2
x (A A )cos(t )
1
2
2 1 2k π
3
物理学
第五版
谐运动分析(三)
（2）相位差 (2k 1) π(k 0，1, )
2
1
x
x
A1
2 o
o
Tt
A
A2
A A1 A2
x (A2 A1)cos(t )
2
1
(2k
1)π
4
物理学
第五版
小结
（1）相位差
2
1
2k
π
A A1 A2
谐运动分析(三)
(k 0，1， ) 加强
（2）相位差
2
1
(2k 1) π
(k 0，1， )
A A A
1
2
减弱
（3）一般情况
A1 A2 A A1 A2
5
物理学
第五版
谐运动分析(三)
二 两个相互垂直的同频率的简谐
运动的合成 x A1 cos(t 1)
x 阻尼振动位移时间曲线
A
Ae t
Aet cost
O
T A
t
( 0)
21
物理学
第五版
三种阻尼的比较
谐运动分析(三)
(a)欠阻尼
2 0
2
(b)过阻尼
2 0
2
(c)临界阻尼
2 0
2
x
b
oc
t
a
22
物理学
第五版
谐运动分析(三)
例 有一单摆在空气（室温为 20C）中来 回摆动. 摆线长l 1.0 m，摆锤是半径r 5.0103 m 的铅球.求（1）摆动周期；（2）振幅减小 10％所需的时间；（3）能量减小10％所需 的时间；（4）从以上所得结果说明空气的 粘性对单摆周期、振幅和能量的影响.
简谐运动的合成
所以，拍频是振动 cos(
2
1 2 (
拍频（振幅变化的频率）
2 1
2 t)
的频率的两倍。
2 1
2
) 2 1
8.2
四
简谐运动的合成
第八章 机械振动
两个相互垂直的同频率简谐运动的合成 x A1 cos( t 1 )
y A 2 cos( t 2 )
( k 0 ， 1 ， 2, )
1）相位差 2 1 2 k π
x
o A
A2
x
o
T
1
t
x ( A1 A 2 ) cos( t )
A
A A1 A 2
2 1 2k π
8.2
简谐运动的合成
A
2 1 2 2
x n A n cos( t n )
A
1 A1
x x1 x 2 x n
x A cos( t )
2
A2
A3 3
o
x
多个同方
简谐运动的合成
第八章 机械振动
x 1 A 0 cos t x 2 A 0 cos( t )
2
T π
T
1
2 1
2 1
拍频（振幅变化的频率）
8.2
简谐运动的合成
第八章 机械振动
由于振幅是周期性变化的，所以合振动不再是 简谐振动。
当 与 都很大，且相差甚微时，可将 1 2 2 视为振幅部分，合成振动是以 为角频率的 ( 2 1 ) / 2 近似谐振动。 2 1 1 2
2
1 2 (
拍频（振幅变化的频率）
2 1
2 t)
的频率的两倍。
2 1
2
) 2 1
8.2
四
简谐运动的合成
第八章 机械振动
两个相互垂直的同频率简谐运动的合成 x A1 cos( t 1 )
y A 2 cos( t 2 )
( k 0 ， 1 ， 2, )
1）相位差 2 1 2 k π
x
o A
A2
x
o
T
1
t
x ( A1 A 2 ) cos( t )
A
A A1 A 2
2 1 2k π
8.2
简谐运动的合成
A
2 1 2 2
x n A n cos( t n )
A
1 A1
x x1 x 2 x n
x A cos( t )
2
A2
A3 3
o
x
多个同方
简谐运动的合成
第八章 机械振动
x 1 A 0 cos t x 2 A 0 cos( t )
2
T π
T
1
2 1
2 1
拍频（振幅变化的频率）
8.2
简谐运动的合成
第八章 机械振动
由于振幅是周期性变化的，所以合振动不再是 简谐振动。
当 与 都很大，且相差甚微时，可将 1 2 2 视为振幅部分，合成振动是以 为角频率的 ( 2 1 ) / 2 近似谐振动。 2 1 1 2
简谐运动的合成
x = ( 2 A1 cos 2 π
ν 2 −ν 1
2
t ) cos 2 π
ν 2 +ν1
2
t
振幅部分 振动频率 ν = (ν 1 + ν 2 ) 2 振幅 A = 2 A1 cos 2 π
合振动频率
ν 2 −ν 1
2
振 动
Amax = 2A1
t
Amin = 0
15
第九章
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
y
ϕ （1） 2 −ϕ1 = 0或 2 π ） A2 y= x A1
A2
A1
o
x
ϕ （2） 2 − ϕ1 = π ） A2 y=− x A1
第九章 振 动
y
A2
A1
o
x
7
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
x 2 y 2 2 xy 讨 + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 论 A12 A2 A1 A2
A
ϕ1
ϕ
A 1
O
x2
x1
xx
两个同方向同频率简谐运动合成后仍 两个同方向同频率简谐运动合成后仍 合成 频率的简谐 简谐运动 为同频率的简谐运动
第九章 振 动
2
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
（1）相位差 ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 = 2k π (k = 0，1，2,⋯ ） ± ± )
x
ϕ
A2
x
o
y = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
椭圆方程） 质点运动轨迹 （椭圆方程）
x 2 y 2 2 xy + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 2 A1 A2 A1 A2
ν 2 −ν 1
2
t ) cos 2 π
ν 2 +ν1
2
t
振幅部分 振动频率 ν = (ν 1 + ν 2 ) 2 振幅 A = 2 A1 cos 2 π
合振动频率
ν 2 −ν 1
2
振 动
Amax = 2A1
t
Amin = 0
15
第九章
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
y
ϕ （1） 2 −ϕ1 = 0或 2 π ） A2 y= x A1
A2
A1
o
x
ϕ （2） 2 − ϕ1 = π ） A2 y=− x A1
第九章 振 动
y
A2
A1
o
x
7
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
x 2 y 2 2 xy 讨 + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 论 A12 A2 A1 A2
A
ϕ1
ϕ
A 1
O
x2
x1
xx
两个同方向同频率简谐运动合成后仍 两个同方向同频率简谐运动合成后仍 合成 频率的简谐 简谐运动 为同频率的简谐运动
第九章 振 动
2
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
（1）相位差 ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 = 2k π (k = 0，1，2,⋯ ） ± ± )
x
ϕ
A2
x
o
y = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
椭圆方程） 质点运动轨迹 （椭圆方程）
x 2 y 2 2 xy + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 2 A1 A2 A1 A2
13-4简谐运动的合成
1. 相互垂直的同频率简谐运动的合成
x A1 cos( t 1 )
y
y A2 cos( t 2 )
x cos t cos 1 sin t sin 1 A1
y cos t cos 2 sin t sin 2 A2
x
x 2 y 2 2 xy 2 cos( ) sin ( 2 1 ) 2 1 2 2 A1 A2 A1 A2
第一项缓慢变化，第二项快速变化：“拍(beat)” 调制
x x1 x2 2 A cos(
2 1
2
t ) cos(
2 1
2
t )
载频
1
O
A1
调制频率 2
A2
A2比 A1每多转一周
合振动出现一次最强
2π 2T 1T 2π 拍的周期 T 2 1 2 1 2 1 拍的频率(简称拍频)
x x1 x2
x2
2 1
A1
x A cos( t )
x1
x
x
x A cos( t )
2 2 1 2 2
A1 , A2 , A 一起以 转动，
保持相对静止。
A2
A A A 2 A1 A2 cos 2 1
A A A 2 A1 A2 cos 2 1
2 1 2 2
A
A1
A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos 1 A2 cos 2
2
x2
1
的具体象限要根据 1 , 2 确定。
x1
x
x
结论：一个质点参与两个在同一直线上频率相同的 简谐运动,其合成运动仍为简谐运动.
Ch6-2 简谐运动的合成
A = A + A + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 )
A1 sin ϕ 1 + A2 sin ϕ 2 tan ϕ = A1 cos ϕ 1 + A2 cos ϕ 2
两个同方向同 两个同方向同频 率简谐运动合成 率简谐运动合成 后仍为简谐 简谐运动 后仍为简谐运动
大学物理电子教案
A = A + A + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 ) ± ± 1）相位差 ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 = 2k π (k = 0 ， 1， 2,L)
大学物理电子教案
x1 = A1 cos ω1t = A1 cos 2π ν 1t x2 = A2 cos ω 2t = A2 cos 2π ν 2t
讨论
x = x1 + x2
A1 = A2 , ν 2 − ν 1 << ν 1 + ν 2 的情况
方法一
x = x1 + x 2 = A1 cos 2π ν 1t + A2 cos 2π ν 2 t
π y = A2 cos(ωt + ) 2
A2 y
x = A1 cos ωt
o
A1
x
大学物理电子教案
用 旋 转 矢 量 描 绘 振 动 合 成 图
大学物理电子教案
两 相 互 垂 直 同 频 率 不 同 相 位 差
简 谐 运 动 的 合 成 图
大学物理电子教案
五
两相互垂直不同频率的简谐运动的合成 李 萨 如 图
讨论
2 1 2 2
x
o ϕ A
x
o
T
A = A1 + A2 x = ( A1 + A2 ) cos( ω t + ϕ ) ϕ = ϕ 2 = ϕ1 + 2 k π
第三节 简谐运动的合成
2 1 2k k 0,1,2,
A1
A A1 A2 合振动加强
A2
若两分振动反相:
2 1 (2k 1) k 0,1,2,
A A1 A2
合振动减弱
若 A1=A2 , 则 A=0
A2
A1
课堂练习：
两个同方向同频率的谐振动，振动方程分别为
x1
6102 cos(5t )m，
2
x2
2102 sin(
t
)
A
ω2t
O
ω2
2
ω1
ω1t
A
(ω 2
A1
ω1)
t
2
2
A
A2 1
A2 2
2A1A2cos(2
1)t
x2 x
x1x1
x2
x
当 (ω2 ω1) t时,2kπ
A 有最大值 A A1 A2
当 (ω2 ω1) t (时2k，1) π
A有最小值 A A1 A2
合振动振幅的频率为: (ω2 ω1) 2π
(2) 0, ,2 (或 )时,退化为直线;
(3) , 3 (或 ) 时,为正椭圆,若A1=A2,则退化
为圆.2 2
2
(4)椭圆轨迹内切于边长为2A1和2A2的矩形; (5)0 时,椭圆顺时针方向转;
0(或 2 ) 椭圆逆时针方向转.
四、相互垂直但频率不同的简谐振动的合成
5t)m
则其合振动的振幅为谐振动,振幅为：
（1）0 ；
（2）4cm；
（3）4 5cm ；
2
（4）8 cm。
二、同方向不同频率谐振动的合成
1. 分振动 : x1 A1 cosω1 t x2 A2 cosω2t
8-5简谐运动的合成
(1)相位差 2k π (k 0，1，)
A A1 A2
相互加强
(2)相位差 (2k 1) π (k 0，1，)
A A1 A2
(3)一般情况
相互削弱
A1 A2 A A1 A2
第八章 机械振5 动
8-5 简谐运动的合成
思考
例 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线. 若这 两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为
arctan11rad
第八章 机械振8 动
O A1
O
A2
A
T t
A A1 A2
2 1 2kπ
x ( A1 A2 ) cos(t )
第八章 机械振3 动
8-5 简谐运动的合成
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
(2)相位差 2 1 (2k 1)π (k 0，1, )
tan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
第八章 机械振2 动
8-5 简谐运动的合成
讨论 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) (1)相位差 2 1 2kπ (k 0，1， 2,)
xx
8-5 简谐运动的合成
两个同方向同频率简 当 t 0时
谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
x x1 x2
A2
2 1
O x20
A1
x10
A x Acos(t )
两个同方向、同频率 简谐运动的合振动仍是简 谐运动，其频率与分振动
（A）3π / 2
简谐运动的合成与分解
五、谐振分析和频谱 （自学）
在自然界和工程技术中，我们所遇到的振 动大多不是简谐振动，而是复杂的振动，处 理这类问题，往往把复杂振动看成由一系列 不同频率的间谐振动组合而成，也就是把复 杂振动分解为一系列不同频率的间谐振动， 这样分解在数学上的依据是傅立叶级数和傅 立叶积分的理论，因此这种方法称为傅立叶 分析。
如果分振动不止两个，而且它们的振动频率是基频 地整数倍（倍频）则它们的合振动仍然是周期运动， 其频 率等于倍频。按规律： x ( t ) A(cost cos 3t 3 1 1 cos5t cos 7t ) 5 7
如果增加合成的项数，就 可以得到方波形的振动：
既然一系列倍频简谐振动的合成是频率等于基频的周 期运动，那么，与之相反，任意周期性振动都可以分 解为一系列简谐振动，各个分振动的频率都是原振动 频率的整数倍，其中与原振动频率一致的分振动称为 基频振动，其它的分振动则依照各自的频率相对于基 频的倍数而相应的称为二次、三次、……谐频振动。 这种把一个复杂的周期振动分解为一系列简谐振动之 和的方法，称为谐振分析。
t0
t0 T
x( t ) cos ntdt
x ( t ) si ntdt
t0
2 2 an bn
n
an arctan bn
为了显示实际振动中所包含的各个简谐振动的振动情 况（振幅、相位），常用图线把它表示出来。若用横坐 标表示各谐频振动 的频率，纵坐标表示相应的振幅， 就得到谐频振动的振幅分布图，称为振动的频谱。不同 的周期运动，具有不同的频谱，周期运动的各谐振成分 的频率都是基频的整数倍， 所以它的频谱是分立谱。
2
A
若1= 2 ,则 不变； 若1 2 ,则 变；
同方向不同频率简谐运动合成
三、振幅变化周期和位移时间曲线
因为余弦函数的绝对值以 为周期, 所以
A 2A c1 os 2π源自2 1 t 22A1cos2π
2
2
1 t π
2A1cos 2π
2
1
2
t
1
2 1
即周期为 T 1
2 1
合振幅变化的频率即拍频为
1 T
2 1
四、形成拍的条件
同方向不同频率简谐运动的合成 拍
二、振幅变化范围，拍
A
2A1cos 2π
2 1
2
t
当 21< < 2 1 时,, AA（（（（t））））————tt呈缓慢周
变化, 时大时小变化范围为期期性性呈呈缓缓慢慢周周期期性性呈缓慢周
0 A 2A1
所以合振动不再是简谐运动. 其振幅周期性变化的现象 称为拍.
同方向不同频率简谐运动的合成 拍
振动学基础
第7讲 同方向不同频率简谐运动的合成 拍
同方向不同频率简谐运动的合成 拍
同方向不同频率简谐运动的合成 拍
音叉演示拍现象
拍音是如何形成的?形成的条件是什么?
同方向不同频率简谐运动的合成 拍
同方向不同频率简谐运动的合成 拍
一、合振动的表达式
设 A1 A2，1 2 0
x1 A1cos1t A1cos2π1t x2 A2 cos2t A2cos2π2t
合振动的表达式为
x x1 x2 A1cos2π1t A2cos2π2t
2A1cos2π
2
1
2
tcos2π
2
1
2
t
同方向不同频率简谐运动的合成 拍
x 2Ac1 os2π
2 1
因为余弦函数的绝对值以 为周期, 所以
A 2A c1 os 2π源自2 1 t 22A1cos2π
2
2
1 t π
2A1cos 2π
2
1
2
t
1
2 1
即周期为 T 1
2 1
合振幅变化的频率即拍频为
1 T
2 1
四、形成拍的条件
同方向不同频率简谐运动的合成 拍
二、振幅变化范围，拍
A
2A1cos 2π
2 1
2
t
当 21< < 2 1 时,, AA（（（（t））））————tt呈缓慢周
变化, 时大时小变化范围为期期性性呈呈缓缓慢慢周周期期性性呈缓慢周
0 A 2A1
所以合振动不再是简谐运动. 其振幅周期性变化的现象 称为拍.
同方向不同频率简谐运动的合成 拍
振动学基础
第7讲 同方向不同频率简谐运动的合成 拍
同方向不同频率简谐运动的合成 拍
同方向不同频率简谐运动的合成 拍
音叉演示拍现象
拍音是如何形成的?形成的条件是什么?
同方向不同频率简谐运动的合成 拍
同方向不同频率简谐运动的合成 拍
一、合振动的表达式
设 A1 A2，1 2 0
x1 A1cos1t A1cos2π1t x2 A2 cos2t A2cos2π2t
合振动的表达式为
x x1 x2 A1cos2π1t A2cos2π2t
2A1cos2π
2
1
2
tcos2π
2
1
2
t
同方向不同频率简谐运动的合成 拍
x 2Ac1 os2π
2 1
大学物理(9.3.2)--简谐运动的合成
A2
2
o
1 A1
x
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐
运动
东北大学 理学院 物理系
大学物理 第九单元 振动
第三讲 简谐运动的合成
* 四、两个同方向不同频率简谐运动的合成
x1
拍
t
x2 t
x t
拍 合振动振幅 随时间周期性加强与减弱的现
两 个 频 率 较 大 且 相 差 极 小 的象同 方 向 谐 振 动 合 成 形 成
东北大学 理学院 物理系
大学物理 第九单元 振动
第三讲 简谐运动的合成
3. 两种特殊情况
A
A2 1
A2 2
2 A1 A2
cos( 2
1 )
(1) 若两分振动同相
2 1=2k
(k=0,1,2,…)
则 A=A1+A2 , 两分振动相互加强
(2) 若两分振动反相
2 1=(2k+1)
第三讲 简谐运动的合成
* 三、多个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
xn An cos(t n )
x x1 x2 xn
x A cos(t )
A
A3
3
A1 sin1 A2 sin2 Asin
A A12 A22 2 A1A2 cos(2 1)
tan
A1 sin1 A1 cos1
A2 A2
sin 2 cos2
x Acos cost Asin sint Acos( t )
相互垂直简谐运动合成
A1A 2
2
1
2 2 1
2 1 4
斜椭圆方程
x2 A2
1
y2 m A22
xy 2
AA 12
1 2
2 1 4
2
1
74
4
顺时针 逆时针
相互垂直的简谐运动的合成
2
1
3
4
x2 y2 A12 A22
2 xy 1 斜椭圆方程 A1A 2 2
2 1 3 4
顺时针
2
1
5434
逆时针
一般情况21====任意值任意值任意值任
意值,,都为椭圆方程都为椭圆方程都为椭 圆方程都为椭圆 方程..
相互垂直的简谐运动的合成
二、两个不同频率相互垂直简谐运动的合成 李萨如图形（Lissajou figure）
一般情况下, 合振动的轨迹是不稳定的. 当两个分振动 的频率成简单整数比时, 将形成稳定闭合曲线.
相互垂直的简谐运动的合成
不同频率相互垂直的简谐运动的合成
x A1 cost1 1 y A2 cost2 2
任意时刻 t::由坐标由坐标(x，y)确定质点的
位 置.确定质点的位置确定质点的位置确
定质点Ax22的 1
Ay位222 置 )y，A2，1xA，yx(由2 c坐os标由2 坐1标消si去n 2
t得2 (1
推导从略)
——轨迹方程（椭圆方程）
相互垂直的简谐运动的合成
大学物理
振动学基础
第8讲 相互垂直的简谐运动的合成
相互垂直的简谐运动的合成
相互垂直的简谐运动的合成
激光李萨如图形演示 两个相互垂直简谐运动的合运动仍是简谐运动吗?
相互垂直的简谐运动的合成
高二物理竞赛两个同方向同频率简谐运动的合成PPT(课件)
x1 5 cos(20 t 2) cm
x2 5 cos(20 t ) cm
由旋转矢量法
4 -5 振动合成
A2 4
AOx
A A12 A22 5 2 cm
A1
5
4
x 5 2 cos (20 t 5 ) cm
4
11
物理学
第五版
4 -5 振动合成
两个简谐运动方向相同，频率相同，振
3
x A co t s ( ) n n 当木块位于平衡位置下方时，x>0
一 两个同方向同频率简谐运动的合成
n
A 例2 已知两谐振动的曲线(如图),它们是同频率的谐振动,求它们的合振动方程。
1、图示，木块上放置一质量为 m 的砝码，木块沿竖直方向作简谐运动，问砝码脱离木块的可能位置将发生在
2
x x x x 1 2 （b）在平衡位置上方（向上运动）（向下运动）
两振动步调反0 向,
1
12
2
（2）若另有一简谐运动
xAco t s() 多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
例3、两个同方向、同频率简谐运动方程分别为
当 一
N两≥个0同时方，向砝同码2 频不率脱简离谐木运块动2 的合成
2
合位移 xx1x2
（SI）求：合成谐振动方程
（b）在平衡位置上方（向上运动）（向下运动）
0.4 （4）推广到 多个同方向同频率简谐运动的合成
（2）若另有一简谐运动
则合振幅为
则合振幅为
6
A2
x
0.12 x 0 .5 co 3 t s0 .1 ( 2 )
3
14
物理学
x 第五版 1
0.4cos3t()
3
x2 5 cos(20 t ) cm
由旋转矢量法
4 -5 振动合成
A2 4
AOx
A A12 A22 5 2 cm
A1
5
4
x 5 2 cos (20 t 5 ) cm
4
11
物理学
第五版
4 -5 振动合成
两个简谐运动方向相同，频率相同，振
3
x A co t s ( ) n n 当木块位于平衡位置下方时，x>0
一 两个同方向同频率简谐运动的合成
n
A 例2 已知两谐振动的曲线(如图),它们是同频率的谐振动,求它们的合振动方程。
1、图示，木块上放置一质量为 m 的砝码，木块沿竖直方向作简谐运动，问砝码脱离木块的可能位置将发生在
2
x x x x 1 2 （b）在平衡位置上方（向上运动）（向下运动）
两振动步调反0 向,
1
12
2
（2）若另有一简谐运动
xAco t s() 多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
例3、两个同方向、同频率简谐运动方程分别为
当 一
N两≥个0同时方，向砝同码2 频不率脱简离谐木运块动2 的合成
2
合位移 xx1x2
（SI）求：合成谐振动方程
（b）在平衡位置上方（向上运动）（向下运动）
0.4 （4）推广到 多个同方向同频率简谐运动的合成
（2）若另有一简谐运动
则合振幅为
则合振幅为
6
A2
x
0.12 x 0 .5 co 3 t s0 .1 ( 2 )
3
14
物理学
x 第五版 1
0.4cos3t()
3
5-3 、 5-4 简谐振动的合成
ϕ
A2
x
O C A1
N −1 ∆ϕ ϕ = 合振动表达式 2 x ( t ) = A cos( ω t + ϕ ) sin(N∆ϕ / 2) N −1 = A0 cos(ω t + ∆ϕ ) sin(∆ϕ / 2) 2
讨论1： 讨论 ： 当 δ
= ±2kπ k = 0,1,2,L sin(N∆ϕ / 2) A = lim A0 = NA0 sin(∆ϕ / 2)
四、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成
某质点同时参与两个同频率的互相垂直方向的简谐运动
x = A1 cos(ω t + ϕ 1 ) y = A2 cos(ω t + ϕ 2 )
合振动的轨迹方程为
x y 2 xy 2 cos(ϕ 2 − ϕ 1 ) = sin (ϕ 2 − ϕ 1 ) + 2− 2 A1 A2 A1 A2
'
各分振动矢量依次相接， 各分振动矢量依次相接，构 成闭合的正多边形， 成闭合的正多边形，合振动 的振幅为零。 的振幅为零。
三、同方向不同频率的简谐振动的合成
某质点同时参与两个不同频率且在同一条直线上的简谐振动
x1 = A1 cos(ω 1 t + ϕ 1 )
x 2 = A2 cos(ω 2 t + ϕ 2 )
A2 y=− x A1
y
x2 y2 2 xy + 2+ =0 2 A1 A2 A1 A2
x
合振动的轨迹是一条通过原点的直线
讨论3 讨论
∆ϕ = ϕ 2 − ϕ 1 = π / 2 x2 y2 合振动的轨迹是的椭圆 合振动的轨迹是的椭圆 + 2 =1 2 A1 A2 方程， 方程，且顺时针旋转
大学物理简谐运动的合成
大学物理简谐运动的合 成
目录
• 简谐运动的定义与特性 • 简谐运动的合成原理 • 简谐运动的合成方法 • 简谐运动的合成应用 • 总结与展望
简谐运动的定义与特
01
性
简谐运动的定义
简谐运动
物体在平衡位置附近做往复运动，其位移、速度和加速度随时间按正弦或余弦 规律变化的运动。
简谐运动的数学描述
简谐运动可以用正弦或余弦函数表示，其数学表达式为 $x = Asin(omega t + varphi)$，其中 $A$ 是振幅，$omega$ 是角频率，$varphi$ 是初相。
简谐运动的特性
周期性
简谐运动具有周期性，即物体在每个周期内重复 相同的运动轨迹。
往复性
简谐运动是往复运动，即物体在平衡位置附近来 回振动。
能量守恒
简谐运动过程中，系统的动能和势能相互转化， 总能量保持不变。
简谐运动的分类
自由振动
不受外力作用的简谐运动。
受迫振动
受到周期性外力作用的振动，其振动频率与外力频率 相同或相近。
简谐运动的合成方法
03
旋转矢量法
总结词
旋转矢量法是一种直观且易于理解的方法，用于合成简谐运动。
详细描述
旋转矢量法是通过引入一个旋转矢量来表示简谐运动，该矢量在复平面内以角速 度旋转。通过旋转矢量的长度和角度变化，可以直观地理解简谐运动的合成过程 。
复数法
总结词
复数法是一种基于复数运算的方法，用于合成简谐运动。
自激振动
由系统内部激励产生的振动，不需要外部激励作用。
02
简谐运动的合成原理
线性合成原理
线性合成原理是指两个简谐运动的合成结果仍为简谐运动，其振幅和角频率分别为两个简谐运动振幅 和角频率的线性组合。
目录
• 简谐运动的定义与特性 • 简谐运动的合成原理 • 简谐运动的合成方法 • 简谐运动的合成应用 • 总结与展望
简谐运动的定义与特
01
性
简谐运动的定义
简谐运动
物体在平衡位置附近做往复运动，其位移、速度和加速度随时间按正弦或余弦 规律变化的运动。
简谐运动的数学描述
简谐运动可以用正弦或余弦函数表示，其数学表达式为 $x = Asin(omega t + varphi)$，其中 $A$ 是振幅，$omega$ 是角频率，$varphi$ 是初相。
简谐运动的特性
周期性
简谐运动具有周期性，即物体在每个周期内重复 相同的运动轨迹。
往复性
简谐运动是往复运动，即物体在平衡位置附近来 回振动。
能量守恒
简谐运动过程中，系统的动能和势能相互转化， 总能量保持不变。
简谐运动的分类
自由振动
不受外力作用的简谐运动。
受迫振动
受到周期性外力作用的振动，其振动频率与外力频率 相同或相近。
简谐运动的合成方法
03
旋转矢量法
总结词
旋转矢量法是一种直观且易于理解的方法，用于合成简谐运动。
详细描述
旋转矢量法是通过引入一个旋转矢量来表示简谐运动，该矢量在复平面内以角速 度旋转。通过旋转矢量的长度和角度变化，可以直观地理解简谐运动的合成过程 。
复数法
总结词
复数法是一种基于复数运算的方法，用于合成简谐运动。
自激振动
由系统内部激励产生的振动，不需要外部激励作用。
02
简谐运动的合成原理
线性合成原理
线性合成原理是指两个简谐运动的合成结果仍为简谐运动，其振幅和角频率分别为两个简谐运动振幅 和角频率的线性组合。
物理-相互垂直的简谐运动的合成
y A2 x A1
质点离开 平衡位置 的位移
r(t) A12 A22 cos(t 1 )
y
A2
o A1 x
合振动是与分振动同频率的简谐振动
一、两个相互垂直的谐振动的合成
x A1
2
y A2
2
2xy cos(2 A1 A2
1 )
s in2 ( 2
1 )
(3)
若
2
1
2
x2 A12
y2 A22
合运动的 轨道方程
( x )2 ( y )2 2xycos sin2
A1
A2
A1 A2
其中： (2 1 )t (2 1 ) ——随时间变化
一般情况下，合运动的轨迹是不稳定的。
一、两个相互垂直的谐振动的合成
分振动： x A1 cos(ω1t φ1 ) y A2 cos(ω2t φ2 )
二、振动频谱分析
数学上已经证明：
任意周期函数（周期为T）：x(ωt) 其中 ω 2π /T
均可展开为三角级数
基频
x(ωt ) a0 (ak cos kωt bk sin kωt )
k 1
k次谐频
1 T/2
a0 T
f (ωt )dt
T / 2
2
ak T
T /2
f (ωt)cos kωtdt (k 0)
x A1
2
y A2
2
2xy cos(2
A1 A2
1 )
s in2 ( 2
1 )
合运动一般是在 x A1, y A2 范围内的一个椭圆。
一、两个相互垂直的谐振动的合成
2
2
x A1
y A2
16-2简谐运动的合成
ϕ
v a2
a4 v a3 α
Q
α
2
α
x
Nα sin 2 ∴A= a α sin 2
16 – 2
简谐运动的合成
v M
1 1 Q∠ M = (π − Nα)， CO = (π −α) CO ∠ P 2 2
v a5
α
N −1 ∴ = ∠ P −∠ M = ϕ α CO CO 2
C
α
N α v α
所以合振动为
2π 2π ω= = = π s -1 T 2 -π ϕ= 2 )m
由旋转矢量图可知合振动的振幅及初相分别为
A = A2 − A1 = 0.08 − 0.04 = 0.04 m） （
所以合振动为
x = 0 . 04 cos( πt −
π 2
16 – 2 简谐运动的合成 二、N 二、N 个同方向同频率简谐运动的合成
简谐运动的合成
3．分振动方程分别为 x1 = 3 cos(50πt + 0.25π ) ． ) 制 和 x 2 = 4 cos(50πt + 0.75π （SI制） 则它们的合振动表达式为： 则它们的合振动表达式为： （ ） （A）x = 2 cos(50πt + 0.25π ) ） （B） x = 5 cos(50πt ) ） （C） = 5 cos(50πt + ） x （D） x ）
v A 2
ϕ2
0
ω
v A
xx
x = x1 + x2 x = A cos( ω t + ϕ )
2 1 2 2
ϕ1 x2 x1
ϕ
v A 1
A = A + A + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 ) A1 sin ϕ 1 + A2 sin ϕ 2 tan ϕ = A1 cos ϕ 1 + A2 cos ϕ 2
简谐运动的合成
(2)若另有一振动x3 0.07cos10t 0 ，问0为何值时，
x1 x3的振幅为最大；问0为何值时，x2 x3的振幅为最小。
解：根据题意，画出旋转矢量图
A A12 A22
0.052 0.062
A1
0.078(m)
0 10 0
0 =10
3 4
时，x1
x3的振幅最大
A
A2
tan
A1 sin 1 A1 cos1
A2 A2
sin 2 cos2
讨论 A A12 A22 2 A1A2 cos(2 1)
0，1， 2,)
合振幅最大
A A1 A2
xx
oo
A1 A2
t
A
A A12 A22 2 A1 A2 cos(2 1)
2、两个分振动的相位反相：
相位差 2 1 (2k 1)π (k 0，1,)
合振幅最小 A A1 A2
x
x
A1
2
o
o
t
A
A2
例题 有两个同方向、同频率的简谐振动，它们 的振动表式（SI制）为：
x1
0.05
cos
10t
3 4
x2
0.06 cos 10t
1 4
(1)求它们合成振动的振幅。
简谐运动的合成
一、同方向、同频率两个简谐运动的合成
x1 A1 cos( t 1 )
A2
Q
A
x2 A2 cos( t 2 )
用旋转矢量法求合运动
2 1
P A1
O x2
x1 x
X
合振动位移为： x x1 x2 两个同方向同频率简谐运
x A cos( t ) 动合成后仍为简谐运动
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振动和波 振动和波
t
振动和波
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Oscillation
第四章
振 动相位差 Fra bibliotek 2 1 振动和波
讨论： 振动和波 (1） 2 1 2k k 0、 1、 2、 ..... Amax振动和波 A1 A2 两分振动步调一致，合成后振动最强。
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振动和波
Oscillation
x x x A cos( t ) 振动和波 A A A 2 A A cos( ) 振动和波
1 2
2 2 1 2 1 2 2 1
第四章
振 动
A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos 1 A2 cos 2 振动和波
2
4 2 1 2400 12 4 12 3 A1与A2夹角为 1200 且 A1 A2
振动和波 19 16
振动和波
A A1 A2 0.05m
3 4 12 振动和波
振动和波
又A1与A夹 角 为 3 23 或
Oscillation
第四章
振 动
振动和波 振动和波 振动和波 振动和波 振动和波
振动和波
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第四章 Oscillation §9-5 同方向的简谐振动的合成 振动和波
振 动
5.1 同方向同频率的两个简谐振动的合成
设一质点同时参与两个沿 x1 A1 cos( t 1 ) 同一直线的同频率的谐振动 振动和波 x2 A2 cos( t 2 ) 取该直线为x轴，平衡位置为原点 A A2 振动和波 从代数上（利用 A2 sin 2 A1 三角公式展开再 A1 si n 1 合并）和旋转矢 振动和波 o A1 cos 1 A2 cos 2 x 量法均可得合振 A cos 动 振动和波
A2
A
A1
2
A2 sin 2
振动和波
2
o
振动和波
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A1 cos 1 A cos
振动和波 A cos x
A1 si n 1
Oscillation
第四章
振 动
结论：同方向、同频率两简谐振动的合成， 振动和波 合运动仍是同频率的简谐振动。
振动和波 x x
o
x1
x振动和波 2
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振动和波
x
Oscillation
第四章
振 动
3. 应用： 1）制乐器，如双簧管 振动和波 2）校准乐器，如钢琴 3）测量超声频率 振动和波
4）用于汽车速度监视器 5）各种电子学测量仪器中
振动和波
振动和波 振动和波
振动和波
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第四章 Oscillation § 9-6 相互垂直的简谐振动的合成 振动和波 6.1 同频率
振动和波
2 质点沿逆时针方向运动 振动和波
说明：任何一个直线简谐振动，椭圆运动 或匀速圆周运动都可分解为两个相 振动和波 互垂直的简谐振动。
振动和波
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Oscillation
y Ay 振动和波
2” 1”
第四章
振 动
y
2 O
y 振动和波 t
Oy
1
x
振动和波
1 2 1 2
Oscillation 2. 拍 振动和波
第四章
振 动
1
2
1
2
合振幅 2 A cos(
振动和波
2 1
振动和波 2
t)
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结束
Oscillation
第四章
2 1 2
振 动
振动和波 2 A cos t 2 A cos( 2 振动和波 2
2 A cos(
1’ 2’ 振动和波
t
振动和波 O
振动和波
x
x
Ax
x
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结束
Oscillation 0 2 1 2 1 振动和波 2 1 4
第四章
2
振 动 3 2 1 4
振动和波
振动和波
5 4
振动和波
3 2
7 4
振动和波
拍
2 1
设合振幅变化周期为T拍
t ) 2
1
2 T
2
2
1
)(t
振动和波 拍频 1 / T
2 1
)
2
拍
拍
x1
x2
t 振动和波 ν = 16
1
2
1 2
1
Hz
振动和波
0.25s
0.50s 0.75s
t ν2=18Hz t Δ=2Hz
反映了两分振动的步调关系
x
x 振动和波 x1 x2
o
振动和波 t
x1
x2
振动和波
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结束
Oscillation
2 1
第四章
振 动
(2) （2k 1 ） 振动和波 k 0、 1、 2、 .... A 振动和波 A A 两振动步调反向，合成后振动最弱。
1、（ 1） 2n
2 2 2 2
x y 2 xy 0 振动和波 A A AA
x y x y
振动和波
n 0.1.2.3...
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结束
Oscillation
x y 2 ( ) 0 振动和波 Ax Ay
即y
Ay Ax
x
第四章 y
Ay
振 动
0
x
轨迹为过原点的直线 振动和波 时刻t质点离开平衡位置的位移（合振动） 2 2 振动和波 r x2 y2 Ax Ay cos( t )
合矢量A所代表的合振动不再是简谐振动。
特例: A1 A2 A 1 2
振动和波
x x1 x2 振动和波 A cos( 1t ) A cos( 2t )
2 A cos(
振动和波
2
2 1
2 1 t ) cos( )t 2
振 动
x Ax cos( t x ) 振动和波 y Ay cos( t y )
2
x y 2 xy 2 cos sin 消去 t 2 2 Ax Ay Ax Ay 合成轨迹一般为一椭圆,两振幅相等时为圆； 具体地来说：形状由相位差决定。
振动和波
2
振动和波
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拍现象：振幅出现时强时弱的现象。 与 较大， 但： 1 2 设 振动和波 2 1 2 1 x 2 A cos( t ) cos( )t 2振动和波 2 随t周期性缓慢变化，看作振幅 随t变化快 可视准 简谐振动 振动和波 振动的 圆频率 2
振动和波
习题课 振动和波 作业：
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2
o Ax
即合振动也是同频率的 谐振动。 A A A
2
（2） （2n 1）
y Ay x
n 0,1,2,
y
Ay
o
振动和波
x
y
振动和波
Ax 亦为简谐振动
振动和波
Ax
x
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结束
Oscillation
第四章
振 动
振动和波 振动和波
x2 y2 2、 2 1 正椭圆或圆 2 2 Ax Ay 3、为其它值，合振动的轨迹表现为方位 与形状各不相同的椭圆，质点运动方向 亦各异。 0 质点沿顺时针方向运动
x 0.05 cos(t
12
12
12
)m
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第四章 振 Oscillation 5.2 同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍 振动和波
动
1. 合成
振动和波 x A cos( t ) 设:
1 1 1 1
x2 A2 cos( 2t 2 ) 振动和波 1 2 A1与A2无恒定相位差
振动和波
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第四章 振 动 Oscillation 6.2 不同频率的两个谐振动的合成 李萨如图形 振动和波 x A cosm t 振动和波 y A cosn t 0
当频率为整数比时： 其合轨迹为李萨如图。
振动和波 当频率为无理数比时：
其合成运动将永远不重复已走过的路径， 振动和波 它的轨迹将逐渐密布在振幅所限定的整个矩 形面内。这种非周期性运动称为准周期运动。
min 2 1
x
若 A A,
1 2
x2
x 振动和波
t
A0
静止状态
x x1 x2
o
x1
x
o
振动和波 t
x1
x2
振动和波 两个振动的相位差对合振动起着重要作用
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(3) 一般情况下， A2 A1 A A1 A2
振动和波
Oscillation
1
第四章
振 动
例1（5214）一质点同时参与了两个同方向的谐振动： 振动和波 19 m x 0.05 cost m, x 0.05 cost 12 4 振动和波 求合振动方程。 解: 设：x A cos(t )