湘教版七年级数学下册 多项式因式分解教案

《多项式的因式分解》教案

教学目标：

(一)教学知识点

使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系．

(二)能力训练要求

通过观察，发现因式分解与整式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力．

(三)情感与价值观要求

通过观察，推导因式分解与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系．

教学重、难点：

教学重点：

1．理解因式分解的意义．

2．识别因式分解与整式乘法的关系．

教学难点：

通过观察，归纳因式分解与整式乘法的关系．

教学过程：

一、创设情境，导入新课

[师]大家会计算(a+b)(a-b)吗？

[生]会．(a+b)(a-b)=a2-b2．

[师]对，这是大家学过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的．从式子(a+b)(a-b) =a2-b2中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢？即a2- b2=(a+b)(a-b)是否成立呢？

[生]能从等号右边推出等号左边，因为多项式a2-b2与(a+b)(a-b)既然相等，那么两个式子交换一下位置还成立．

[师]很好，a2-b2=(a+b)(a-b)是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题．

二、明确目标，互助探究：

1､讨论993-99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流．

[生]993-99能被100整除．

因为993-99

=99×992-99

=99×(992-1)

=99×9800

=99×98×100

其中有一个因数为100，所以993-99能被100整除．

[师]993-99还能被哪些正整数整除？

[生]还能被99，98，980，990，9702等整除．

[师]从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的形式．

2､议一议

你能尝试把a3-a化成n个整式的乘积的形式吗？与同伴交流．

[师]大家可以观察a3-a与993-99这两个代数式．

[生]a3-a=a(a2-1)=a(a-1)(a+1)

3､做一做

(1)计算下列各式：

①(m+4)(m-4)=__________；

②(y-3)2=__________；

③3x(x-1)=__________；

④m(a+b+c)=__________；

⑤a(a+1)(a-1)=__________．

[生]解：①(m+4)(m-4)=m2-16；

②(y-3)2=y2-6y+9；

③3x(x-1)=3x2-3x；

④m(a+b+c)=ma+mb+mc；

⑤a(a+1)(a-1)=a(a2-1)=a3-a．

(2)根据上面的算式填空：

①3x2-3x=( )( )；

②m2-16=( )( )；

③ma+mb+mc=( )( )；

④y2-6y+9=( )2．

⑤a3-a=( )( )．

[生]把等号左右两边的式子调换一下即可．即：

①3x2-3x=3x(x-1)；

②m2-16=(m+4)(m-4)；

③ma+mb+mc=m(a+b+c)；

④y2-6y+9=(y-3)2；

⑤a3-a=a(a2-1)=a(a+1)(a-1)．

[师]能分析一下两个题中的形式变换吗？

[生]在(1)中，等号左边都是乘积的形式，等号右边都是多项式；在(2)中正好相反，等号左边是多项式的形式，等号右边是整式乘积的形式．

[师]在(1)中我们知道从左边推右边是整式乘法；在(2)中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解．

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解(factoriz ation)．

4､想一想

由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算？由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？

[生]由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是因式分解，这两种过程正好相反．

[生]由(a+b)(a-b)=a2-b2可知，左边是整式乘法，右边是一个多项式；由a2-b2=(a+b)(a -b)来看，左边是一个多项式，右边是整式的乘积形式，所以这两个过程正好相反．[师]非常棒．下面我们一起来总结一下．

如：m(a+b+c)=ma+mb+mc(1)

ma+mb+mc=m(a+b+c) (2)

联系：等式(1)和(2)是同一个多项式的两种不同表现形式．

区别：等式(1)是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算．

等式(2)是把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解．

即ma+mb+mc m(a+b+c)．

所以，因式分解与整式乘法是相反方向的变形．

5、例题:

例1 下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？

(1) a2+ 2ab+ b2= (a+b)2；

(2) m2+ m- 4 = (m+3)(m-2)+ 2 .

例2 检验下列因式分解是否正确.

(1) x2+ xy= x(x+y) ；

(2) a2- 5a+ 6 = (a-2)(a-3) ；

(3) 2m2-n2= (2m-n)(2m+n) .

6､练习

下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？

(1)4a(a+2b)=4a2+8ab；

(2)6ax-3ax2=3ax(2-x)；

(3)a2-4=(a+2)(a-2)；