二次函数与方程

21.3二次函数与 一元二次方程
复习
一元二次方程根的情况与b² -4ac的关系
我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用. 当b 2 4ac 0时, 方程ax 2 bx c 0a 0有两个不相等的实数根
b b 2 4ac x1, 2 . 2a 当b 2 4ac 0时, 方程ax 2 bx c 0a 0有两个相等的实数根 : b x1, 2 . 2a 当b 2 4ac 0时, 方程ax 2 bx c 0a 0没有实数根
2 (3)已知二次函数y=ax+bx+c 的图象如图所示,则 2 一元二次方程ax+bx+c=0 的解是 Y
X1=0，x2=5
0
5
X
(4)直线 y=2x+1 与抛物线 y= x2 + 4x +3 有＿＿＿ ＿个交点.
(5)已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴 上,则c=＿＿＿＿ . 16
C
3.24 <X< 3.25
D
3.25 <X< 3.26
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(1)抛物线y x 2 x 3与x轴的交点个数有( C ). A.0 B.1个 2个 Ｃ． 3个 Ｄ．
2
（2）.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与 x轴交点情况是( C ) A 无交点 C 有两个交点 B 只有一个交点 D不能确定
1 2 y1 x 4 x 8 2
与直
1 线 y2 x 1 交于B、C两点。 2
（1）在同一直角坐标系中画出直线与抛物 线的图象。 （2）记抛物线的顶点为A，求△ABC的面积。
（3）X为何值时y1＝ y2， y1＜ y2， y1＞ y2？
y
例：已知二次函数y=-x2+2x+k+2
x
5、已知二次函数y=x2-mx-m2 （1）求证：对于任意实数m，该二次函数的图像与x轴 总有公共点; （2）该二次函数的图像与x轴有两个公共点A、B，且A 点坐标为（1、0），求B点坐标。
(1)证明 : 令y 0, 得2 x m x m 0 (m) 4 2 m 9m 0
我们把代数式b 2 4ac叫做方程ax 2 bx c 0a 0的 根的判别式.用" " 来表示.即 b 2 4ac.
y Y=x² -x+1 观察:下列二次函数的图 象与x轴有公共点吗?如 Y=x² +x-2 y=x² -6x+9 果有,公共点横坐标是多 少?当x取公共点的横坐 x 标时,函数的值是多少? 由此,你得出相应的一 元二次方程的解吗? (1)y=x2+x-2 (2)y=x2-6x+9 (3)y=x2-x+1 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐 标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
用图象法求一元二次方程的近 似解
练习：根据下列表格的对应值:
x y=ax2+bx+c 3.23 3.24 3.25 0.03 3.26 0.09
-0.06 -0.02
判断方程ax2+bx+c=0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x 的范围是( C ) A 3< X < 3.23 B 3.23 < X < 3.24
?
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐 标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
二次函数 y=ax2+bx+c的图 象和x轴交点 有两个交点
只有一个交点 没有交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 有两个不相 等的实数根
一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判 别式Δ=b2-4ac
（2、20）
t
?
利用二次函数的图象求方程x2-x-3=0的实 数根（精确到0.1）. y 方法: (1)先作出图象; (2)写出交点的坐标; （-1.3、0）、（2.3、0） (3)得出方程的解. x =-1.3，x =2.3。
1
x
用你学过的一元二次方程的解法来解， 准确答案是什么？
?
小结：
本节课你有什么收获？
?
问题1:如图,以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30度 角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考 虑空气阻力,球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系: h= 20 t – 5 t2 考虑下列问题: (1)球的飞行高度能否达到 15 m? 若能,需要多少时间? (2)球的飞行高度能否达到 20 m? 若能,需要多少时间? (3)球的飞行高度能否达到 20.5 m? 若能,需要多少时 间?
（1）设y=0得x2+x-2=0 x1=1，x2=-2 y ∴抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公 共点，公共点的横坐标分别是1和 Y=x² -x+1 -2，当x取公共的的横坐标的值时， y=x² -6x+9 函数的值为0. Y=x² +x-2 （2）设y=0得x2-6x+9=0 x （-2, 0） （1,0） （3,0） x1=x2=3 ∴抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点， 公共点的横坐标是3当x取公共点的横坐 标的值时，函数的值为0. （3）设y=0得x2-x+1=0 ∵b2-4ac=（-1）2- 4×1×1=-3＜0 ∴方程x2-x+1=0没有实数根 ∴抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
有两个相等 的实数根
没有实数根
二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有 三种情况: b2 – 4ac > 0 (1)有两个交点 b2 – 4ac= 0 (2)有一个交点 (3)没有交点 b2 – 4ac< 0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
Y
△＜0 △=0
△＞0
O
X
判别式： b2-4ac
二次函数 y=ax2+bx+c （a≠0）
与x轴有两个不 同的交点 （x1，0） （x2，0）
与x轴有唯一个 交点 ( b ,0)
图象
(4)球从飞出到落地要用多少时间?
解：（1）解方程 （3）解方程 h 15=20t-5t² 20.5=20t-5t² t² -4t+3=0 t² -4t+4.1=0 t 1 =1， t 2 =3. ∵（-4）² -4*4.1＜0， 当球飞行1s和2s时， ∴方程无实数根 它的高度为15m。 （4）解方程 （2）解方程 0=20t-5t² 20=20t-5t² t² -4t=0 t² -4t+4=0 t 1 =0， t 2 =4. t 1 = t2 =2. 当球飞行0s和4s时， 当球飞行2s时， 它的高度为20m。 它的高度为0m，即0s飞 出，4s时落回地面。
y
O
一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）的根
有两个不同的 解x=x1，x=x2 有两个相等的 解 b x1=x2=
b2-4ac＞0
x y
b2-4ac=0
O
2a
x y
2a
b2-4ac＜0
与x轴没有 交点
O
没有实数根 x
例如,解方程X2-4x+3=0
就是已知二次函数y=X2-4x+3的值为0,求自变 量x的值. 例如,已知二次函数y=-X2+4x的值为3,求自变 量x的值. 就是求方程3=-X2+4x的解, 结论：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为 x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标 是(x1,0),(x2,0)
( 6)关于x的一元二次方程 x x n 0没有实数根, 则
抛物线y x x n的顶点在( A ). A.第一象限 B.第二象限
2
2
C.第三象限
D.第四象限
(7)抛物线y=x2-kx+k-2与x轴交点个数为 （ C ） A、 0个 B、 1个 C、 2 个 D、无法确定
例：抛物线
与x轴的公共点有两个，
（1）求k的取值范围；
（2）当k=1时，求抛物线与
x轴的公共点A和B的坐标及顶点C的坐标； （3）观察图象，当x取何值时，y=0,y>0, y<0? （ 4 ）在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 P ，使 S⊿ABP 是 S⊿ABC 的一半，若存在，求出 P 点的坐标，若不 存在，请说明理由.
2 2 2 2 2
不论m取何值, 抛物线与x轴总有公共点 .
(2) A(1,0)在抛物线y 2 x m x m 上 0 2 1 m 1 m
2 2 2 2 2
即 m m 2 0, (m 2)(m 1) 0 m1 2, m2 1 B点坐标为 (2,0)