图像频域处理的概述

摘要

图像的频域处理是指根据一定的图像模型，对图像频谱进行不同程度修改的技术。二维正交变换是图像处理中常用的变换，其特点是变换结果的能量分布向低频成份方向集中，图像的边缘、线条在高频成份上得到反映，因此正交变换在图像处理中得到广泛运用。傅里叶作为一种典型的正交变换，在数学上有比较成熟和快速的处理方法。卷积特性是傅里叶变换性质之一，由于它在通信系统和信号处理中的重要地位－－应用最广。在用频域方法进行卷积过程中尤其要注意傅里叶变换的周期性，注意周期延拓的重要作用，本次课设将对此作详细的介绍。

关键字：频域处理，二维傅里叶变换，卷积，周期延拓

1 图像频域处理的概述

图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变化剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。

频域处理是指根据一定的图像模型，对图像频谱进行不同程度修改的技术，通常作如下假设：1)引起图像质量下降的噪声占频谱的高频段；2)图像边缘占高频段；3)图像主体或灰度缓变区域占低频段。基于这些假设，可以在频谱的各个频段进行有选择性的修改。

为什么要在频率域研究图像增强

（1）可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通。

（2）滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质。

（3）可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空间域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导。

（4）一旦通过频率域试验选择了空间滤波，通常实施都在空间域进行。

2 二维傅里叶变换

由于图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。傅立叶变换在实际中的物理意义，设f 是一个能量有限的模拟信号，则其傅立叶变换就表示f 的谱。从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说，傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。

2.1 二维连续傅里叶变换

如果二维连续函数f(x,y)满足狄里赫莱条件，则将有下面的傅立叶变换对存在：

与一维傅立叶变换类似，二维傅立叶变换的傅立叶谱和相位谱为：

)

,(),(|),(|),()

,(),(arctan

),φ()

,(),(|),(||),(|),(22222),φ(v u I v u R v u F v u E v u R v u I v u v u I v u R v u F e v u F v u F v u j +===+=

=

⎰

⎰

⎰⎰∞+∞-∞

+∞

-++∞∞-+∞

∞-+-=

=dudv e v u F y x f dxdy

e y x

f v u F vy ux πj vy ux πj )

(2)(2),(),(),(),

(

2.2 二维离散傅里叶变换

一个M ×N 大小的二维函数f(x,y)，其离散傅立叶变换对为 ：

1

,1,0,1,1,0)]//(2exp[),(1),(1

1,0,1,1,0)]

//(2exp[),(),(101

101

-=-=+-=-=-=+=∑∑∑∑-=-=-=-=N v M u N vy M ux πj y x f MN v u F N y M x N vy M ux πj v u F y x f M u N v M u N v

在数字图像处理中，图像一般取样为方形矩阵，即N ×N ，则其傅立叶变换及其逆变换为 ：

()()∑=∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==ℑ⎪

⎭⎫ ⎝

⎛

+-==ℑ----=-=∑∑

11

00

]

2exp[),(),()},({2exp ,1

,)},({1

1010

2

N N N u v vy ux j v u F y x f v u F N vy ux j y x f N

v u F y x f N x N y ππ

2.3 二维离散傅里叶变换的性质

离散傅里叶变换主要有以下性质：1. 平移性质 2. 分配律 3. 尺度变换（缩放） 4. 旋转性 5. 周期性和共轭对称性 6. 平均值 7. 可分性 8. 卷积 9. 相关性。这里主要简述周期性，卷积相关内容会在下一节中介绍。

离散傅里叶变换有如下周期性性质：

反变换也是周期性的：

频谱也是关于原点对称的：

这些等式的有效性是建立在二维离散傅里叶变换公式基础上的。图像的周期性在图像处理中有非常重要的作用，下面会在卷积部分继续阐述周期性的相关内容。

3 卷积相关知识介绍

卷积特性是傅里叶变换性质之一，由于它在通信系统和信号处理中的重要地位－－应用最广。共分二个定理：时域卷积定理；频域卷积定理。

3.1 时域卷积定理

给定两个时间函数 已知：

则：

(w)F (w)F (t)f (t)f 21FT

21⋅−→−

* 时域卷积 频域相乘

即两个时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积。

3.2 频域卷积定理

给定两个时间函数 已知：

则：

(t)f (t)f 2π

1

(w)F (w)F 21IFT

21⋅−→−*

频域卷积 时域相乘。

即两个时间函数频谱的卷积等效于各个时间函数的乘积（乘以系数1/π2）。

)

()(21t 、f t f (w)

F (t)f (w)F (t)f 2FT 21FT

1−→−−→−)

()(21t 、f t f (w)

F (t)f (w)F (t)f 2FT 21FT

1−→−−→−