浅谈用定积分的定义解决极限问题

浅谈用定积分的定义解决极限问题

王涛

（周恩来政府管理学院 政治学与行政学 0612723）

摘 要：数学是一门锻炼人的逻辑思维能力的科目。我们在学习数学的过程中经常遇到的是计算题和证明题，掌握一定的方法和技巧对于我们快速地解出题目是非常有帮助的。有些方法和技巧其实是对定义、概念深入理解所得到的。本文主要探讨用定积分的定义来解决求极限的问题。

关键词：定积分的定义；定积分；极限；曲边梯形的面积

在高等数学的学习中，微积分的学习占有很大的比重，地位也是很重要的。微积分分为微分学和积分学，而微分运算与积分运算之间是互为逆运算的关系。我们通常把微分运算看作正向运算，而把积分运算看作是微分的逆运算，在以往的实际学习上我们也可以看出这点：加减法，乘除法，平方开方，指数对数，三角函数反三角函数等等。而在高等数学的学习中我们首先接触的是微分，然后是积分；从掌握程度上，我们对于正向运算的掌握程度可能要好于逆向运算，不管是学习的速度还是做题的准确性，正向运算可能都要好于逆向运算。然而正逆运算是互通的，熟练掌握这两种运算对于增加解题方法，做到融会贯通都是很有帮助的。下面就来介绍用积分学中定积分的定义来解决微分学中极限的问题。

我们一般在求解极限问题时，经常用到的方法是：极限的定义、性质，几种重要极限、洛必达法则、泰勒公式等。但这些方法都局限于微分学中，没有超越微分学的范围，而我们知道微分与积分是互为逆运算的，那么运用积分学的方法来解决极限问题是否可行？答案是肯定的。用定积分的定义就是解决极限问题的又一方法。

要用定积分的定义来求解极限问题，我们首先要弄清定积分的定义。

定积分的定义：设函数y =)(x f 定义在区间[]b a ,上有界，在[]b a ,上任意插入分点：a =n n x x x x ＜＜＜＜110-⋯=b ,令i x ∆=1--i i x x ，又任取[∈i ξi i x x ,1-], i =1,2,…n .作和式

i n

i i n x f I ∆∑==)(1

ξ，令{}i n

i x x ∆=∆≤≤m a x 1，

如果当0→∆i x 时，和式n I 的极限存在，且此极限与[]b a ,的分法及i ξ的取法无关，则称函数)(x f 在[]b a ,上是可积的，并称该极限值为)(x f 在[]b a ,上的定积分，记作⎰

b a

dx x f )(，

即

i n

i i b a

x x f dx x f ∆=∑⎰

=→∆)()(1

0lim ξ.

其中函数)(x f 称为被积函数，dx x f )(称为被积表达式，x 称为积分变量，a 称为积分下限，

b 称为积分上限，[]b a ,称为积分区间。1

这个定义看上去很复杂，但只要抓住i n

i i b

a x x f dx x f ∆∑⎰==→∆)(lim )(1

0ξ即可。我们在

后面所要介绍的用定积分的定义解决极限问题也是围绕着这个公式展开的。从这个式子我们也可以看出极限与定积分之间的关系是很紧密的。有了定积分的定义，我们用具体例题来看怎样用定积分解决极限问题。

例1. 求

⎥⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡

+

+⋯++++++∞→n n n n n n n n n n n 1sin 313sin 212sin 1

sin lim ππππ2 解： 注意到：

]sin 3sin 2sin [sin 11n n n n n n ππππ+⋯++++<++⋯++++++<

n

n n n n n n n n n 1sin 313sin 212sin 1

sin π

πππ ]sin 3sin 2sin [sin 1n n n n n n ππππ+⋯+++=∑=n k n

k n 1sin

1π （*） 由定积分定义，对上面不等式的右端取极限，得到

∑=∞→n k n n k n 1sin 1lim π=⎰1

0sin xdx π=π

2 而不等式的左端取极限，有

∑+=∞→n k n n k n 1

sin 11lim

π=

∑∙+=∞→n k n n k n n n 1sin 11lim π=π2 由夹逼定理知

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎣

⎡

+

+⋯++++++∞→n n n n n n n n n n n 1sin 313sin 212sin 1

sin lim ππππ=π

2

这道题就是典型的用到定积分的定义来求极限的值。当我们对（*）左右两边的式子取

极限时，我们发现 ∑=∞→n k n n k n 1sin 1lim π可以表为形如i n i i b

a x x f dx x f ∆∑⎰==→∆)(lim )(1

0ξ的形式.因

为x x f πsin )(=为[0, 1]上可积函数，所以对于[0, 1]任意划分及i ξ的任意取法极限

1

刘桂茹，孙永华编著：《高等学校经济数学系列教材 微积分》，南开大学出版社，2004年12月版，第200

页。 2

2005年天津市大学数学竞赛（人文学科及医学等类），第八题。

i n

i i x x f ∆∑=→∆)(lim 1

0||||ξ都存在且相等, 此时令i x ∆=

n 1，即把[0, 1]n 等分, n

i

i =ξ为分点，由定积分的定义我们得到

∑=∞→n k n n k n 1

sin 1lim

π=⎰1

0sin xdx π=π2, 然后再取右边的极限,由夹逼定理我们得到最后的结果

π

2

.

这道题解题的关键就是用到定积分的定义,把求极限问题与定积分的定义联系起来，很容易的解出题目。

让我们再来看一个例子. 例2. 求n

n n n n n

n ))2)(1(lim

+⋯++∞

→（。

解： ∵ n

n n n n n

n )

)2)(1(lim

+⋯++∞

→（

=n

n n n

n n n n )

)2)(1(lim

+⋯++∞

→（

=n n n

n n n )1)21)(1(lim +⋯+

+∞

→（ 于是，我们设n n

n n n y )1)21)(1(+⋯+

+=（ 取对数 )1ln(1ln 1∑=+=

n i n

i

n y 于是有y n ln lim ∞

→=)1ln(1lim

1

∑+=∞→n i n n i

n . （**）

我们采用同例1同样的方法。此时令i x ∆=

n 1，n

i

i +=1ξ.所以（**）可等于 )1ln(1lim 1

∑+=∞→n i n n i

n =⎰+10)1ln(dx x =212ln -.

因此 12ln 2ln lim -=∞

→y n ，

1

2ln 2lim -∞

→=e

y n =e

e

e

44

ln

=. 所以最后的结果是n

n n n n n

n ))2)(1(lim

+⋯++∞

→（=e 4.

这道题与例1

有相似之处，整理式子，发现（**）形如i

n

i i b

a

x x f dx x f ∆∑⎰==→∆)(lim )(1

0ξ