高等光学答案最终PDF版

1-2 从麦克斯韦方程组出发，导出电磁场在两种电介质分界面处的边值关系。

解：

(ⅰ)

l

n t E E l d E ∆×⋅−=⋅∫)()(21

当回路短边趋于零时，回线面积为零，而t B ∂∂

有限，所以

0)()(21=⋅∂∂−=∆×⋅−=⋅∫∫∫Σ

σ

d t B l n t E E l d E

高等光学作业习题参考答案

2012.12.10

即

l E E n t ∆−⋅×)()(21

l E E n t ∆−×⋅=))((21

0=

得

0)(21=−×E E n

，即t t E E 21=

(ⅱ)

l t d t D

J l n t H H l d H ∆⋅=⋅∂∂+=∆×⋅−=⋅∫∫∫Σ

ασ)()()(21

t H H n t n t H H

⋅=−×⋅=×⋅−α))(()()(2121

当没有电流分布时0=α

，得

,0)(21=−×H H n

即t t H H 21=

(ⅲ)

s n D D ds n D d D ∆⋅−=⋅=⋅∫∫

)(21σ

当不存在自由电荷时，0=s

ρ，积分0=∫∫∫Ω

dv s ρ，所以

0)(21=∆⋅−s n D D

，即n n D D 21=

(ⅳ)

0)(21=∆⋅−=⋅=⋅∫∫s n B B ds n B d B

σ

即n n B B 21=

1-5 已知电场E 和磁场H 在直角坐标中的分量分别为：

)cos(t kz A E x ω−=；);sin(wt kz B E y −=0=z E )sin(t kz B H x ωε−−=；)cos(t kz A H y ωε−=；0=z H

试求电磁场的能量密度w 和玻印亭矢量S 。

解：H

B E D µε==,

电磁场能量密度

)(2

1B H D E w ⋅+⋅=

)(2

1

22H E µε+= )]()([2

1222222z y x z y x H H H E E E +++++=µε )](sin )(cos [2

)1(2222

t kz B t kz A ωωµε−+−+=

玻印亭矢量

H E S ×=

z

y

x

z y x

H H H E E E z y x =

z H E H E y H E H E x H E H E x y y x z x x z y z z y

)()()(−+−+−=

z H E H E x y y x

)(−=

z t kz B t kz A

))]((sin ))((cos [2

2

2

2

ωεωε−+−=

1-6 设某一无限大介质中，,0,0==σρ

ε、µ只是空间坐标的

函数，试从麦克斯韦方程和物质方程出发证明：

{}

0)](ln [)()(ln 2

2

=∇⋅∇+×∇×∇++∇εµεµωE E E E

证明：)(),(r r

µµεε==

H B E D

µε==,

E E E D

⋅∇+⋅∇=⋅∇=⋅∇εεε

由麦克斯韦方程 0=⋅∇D

得 (ln )E

E E εεε

∇⋅∇⋅=−

=−∇⋅

取麦克斯韦方程组微分式第一式的旋度，

)()(B t

E ×∇∂∂

−=×∇×∇

其中，

E E E 2

)()(∇−⋅∇∇=×∇×∇

2

[(ln )]E E ε=−∇∇⋅−∇

)()(H t

B t µ×∇∂∂

−=×∇∂∂− )(H H t

×∇+×∇∂∂

−=µµ

)(µ

µµB t D

t

×∇+∂∂∂∂= t B t

E ∂∂×∇+∂∂= )(ln 22µεµ

)

()(ln 22

E t E

×∇×∇−∂∂=µεµ

)()(B t

E ×∇∂∂

−=×∇×∇

即

2

2

2(ln )()[(ln )]0E E E E t εµµε∂∇−+∇×∇×+∇∇⋅=∂

若t

i e E E ω0 =，则

2

2

(ln )()[(ln )]0E E E E εµωµε∇++∇×∇×+∇∇⋅=

1-7 从麦克斯韦方程组出发导出电磁场在有色散的非均匀介质中所满足的亥姆霍兹方程。 解：

对于无色散的非均匀介质（假设各向同性），()r ε

ε=，

0µµ=，

由麦克斯韦方程组第三式0D ∇=

，将()D r E ε=代入此式，有

0D E E εε∇=∇+∇= ⇒ E

E εε

∇∇=−

由麦克斯韦方程组第一式的旋度，

()()E H t

µ∂

∇×∇×=−∇×∂

2

()()E E E ∇×∇×=∇∇−∇ 2(

)E

E εε

∇=−∇−∇

2222()E H D t t t

µµµε∂∂∂−∇×=−=−∂∂∂

即

222()E

E

E t

εµεε

∇∂∇+∇=∂ （1）

同样，0B H µ∇=∇=

则麦克斯韦方程组第二式两边取旋度，

()()H D t

∂

∇×∇×=∇×∂