人教版九年级数学上册提分专项练习

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新人教版九年级数学上册同步提升训练：22.1.1 二次函数

优质文档新人教版九年级数学上册同步提升训练：22.1.1 二次函数———提优清单———提优点1：二次函数的概念及一般形式提优点2：根据实际问题列二次函数关系式———典型例题———【例1】下列一定是二次函数的有（）①y =2x 2－4xz ＋3；②y =4－3x ＋7x 2；③y=（2x －3）（3x－2）－6x 2；④y =21x－3x ＋5；⑤y =ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 为常数）；⑥y =（m 2＋1）x 2－2x －3（m 为常数）；⑦y =m 2x 2＋4x －3（m 为常数）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【方法总结】判断一个函数是不是二次函数，先把关系式化简整理，再分三个步骤来判断：（1）看它是否是整式，如果不是整式，则必不是二次函数；（2）当它是整式时，再看它是否是自变量的二次式，如果是自变量的二次式，那就是二次函数，否则就不是；（3）看它的二次项系数是否为0，如果不为0，那就是二次函数．【例2】（2011•山东青岛）某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是60元．根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件，而销售单价每降低1元，就可多售出20件．（1）写出销售量y 件与销售单价x 元之间的函数关系式；（2）求销售该品牌童装获得的利润w 元与销售单价x 元之间的函数关系式．【方法总结】列具体问题中的函数关系式，一般采取三步走的策略：第一步认真审题，弄清题意，找出具体问题中的已知量和未知量，并分析出它们之间的关系；第二步套关系，列出函数关系式；第三步根据题意，确定自变量的取值范围．变式：（2015•黑龙江哈尔滨期中）如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y （米2）与x（米）的关系式为．（不要求写出自变量x 的取值范围）【例3】（2015•四川成都模拟）如图，已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为20cm ，AC 与MN 在同一直线上，开始时点A 与点N 重合，让△ABC 以每秒2cm 的速度向左运动，最终点A 与点M 重合．（1）求重叠部分面积y （cm 2）与时间t （s ）之间的函数关系式；（2）当t =5时，求y 的值；（3）当y =128时，求t 的值．【方法总结】已知x 求函数y 的值，实质上是求代数值的值；已知y 求自变量x 的值，实质上是解方程求方程的根．———分层提优——— 复习巩固提优1．（☆2013•湖南怀化）下列函数是二次函数的是（） A ．y =2x ＋1 B ．y =－2x ＋1 C ．y =x 2＋2 D ．y =21x －2 2．（☆2014•浙江杭州模拟）二次函数y =2x （x －3）的二次项系数与一次项系数的和为（）A ．2B ．－2C ．－1D ．－4 3．（☆☆ 2014•安徽省）某厂今年一月份新产品的研发资金为a 元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，则该厂今年三月份新产品的研发资金y （元）关于x的函数关系式为y= ．4．（☆☆2015•四川南充模拟）二次函数y=x2＋2x－7的函数值是8，那么对应的x的值是．5．（☆☆）已知函数y=（m2－m）x2＋（m－1）x＋m＋1．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应满足什么条件？6．（☆☆☆）在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子．镜子的长与宽的比是2：1．已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元．设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽度是x米．（1）求y与x之间的关系式；（2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽．综合运用提优7．（☆2015•浙江杭州期中）下列函数关系中，可以看做二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）模型的是（）A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B．我国人口年自然增长率1%，这样我国人口总数随年份的关系C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D．圆的周长与圆的半径之间的关系8．（☆☆2015•浙江丽水模拟）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）A．y=225x2B．y=425x2C．y=25x2D．y=45x29．（☆☆☆2014•湖北武汉联考）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整价格，每涨1元，每星期要少卖8件；每降价1元，每星期可多卖12件．已知商品的进价为每件40元．（1）设每件涨价x（x为整数）元，每星期售出商品的利润为y元，求出y关于x的函数关系式；（2）设每件降价x（x为整数）元，每星期售出商品的利润为y元，求出y关于x的函数关系式；（3）问如何定价才能使每星期售出商品的利润达到6248元．10．（☆☆☆）如图所示，在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，点P在线段AB上，P从点A开始沿AB边以1厘米/秒的速度向点B移动．点E为线段BC的中点，点Q从E点开始，沿EC以1厘米/秒的速度向点C移动．如果P、Q同时分别从A、E出发，写出出发时间t与△BPQ 的面积S的函数关系式，求出t的取值范围．拓广探究提优11．（☆☆☆☆☆2011•吉林省）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，CE⊥AD于点E，AD=8cm，BC=4cm，AB=5cm．从初始时刻开始，动点P，Q分别从点A，B同时出发，运动速度均为1cm/s，动点P沿A→B→C→E的方向运动，到点E停止；动点Q沿B→C→E→D的方向运动，到点D停止，设运动时间为x s，△PAQ的面积为y cm2，（这里规定：线段是面积为0的三角形）解答下列问题：（1）当x=2s时，y= cm2；当x=92s时，y= cm2．（2）当5≤x≤14 时，求y与x之间的函数关系式．（3）当动点P在线段BC上运动时，求出y=415S梯形ABCD 时x的值．———参考答案———例1．【答案】B【解析】①y =2x 2－4xz ＋3，含有两个自变量，不是二次函数；③y =（2x －3）（3x －2）－6x 2=－13x ＋6，是一次函数；④y =21x －3x ＋5，分母中含有自变量，不是二次函数；⑤y =ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 为常数），不一定是二次函数；⑦y =m 2x 2＋4x －3（m 为常数）不一定是二次函数．②y =4－3x ＋7x 2，是二次函数；⑥y =（m 2＋1）x 2－2x －3（m 为常数），m 2＋1≠0，一定是二次函数．∴只有②⑥一定是二次函数．例2．【解析】（1）根据题意，得y =200＋（80－x ）×20=－20x ＋1800，所以销售量y 件与销售单价x 元之间的函数关系式为y =－20x ＋1800（60＜x ≤80）；（2）w =（x －60）y =（x －60）（－20x ＋1800）=－20x 2＋3000x －108000，所以销售该品牌童装获得的利润w 元与销售单价x 元之间的函数关系式w =－20x 2＋3000x －108000．变式：【答案】y =－21x 2＋15x 【解析】∵AB 边长为x 米，而ABCD 是矩形，∴BC =21（30－x ），菜园的面积=AB ×BC =21（30－x ）•x ，∴y =－21x 2＋15x ．例3．【解析】（1）△ABC 是等腰直角三角形，则重叠部分也是等腰直角三角形，AM =20－2t ，则重叠部分面积y =12×AM 2=12（20－2t ）2=2t 2－40x ＋200；（2）当t =5时，y =12（20－2×5）2=50；（3）当y =128时，12（20－2t ）2=128，解得t 1=2，t 1=18（舍去），∴t =2． 1．【答案】C【解析】y =2x ＋1，y =－2x ＋1，y =21x －2都是一次函数，y =x 2＋2是二次函数．2．【答案】D【解析】y =2x （x －3）=2x 2－6x ，所以二次项系数与一次项系数的和=2＋（－6）=－4． 3．【答案】a （1＋x ）2【解析】根据增长后的量=增长前的量×（1＋增长率），可知今年二月份新产品的研发资金为a （1＋x ）元，则三月份新产品的研发资金为a （1＋x ）（1＋x ）=a （1＋x ）2． 4．【答案】3和－5【解析】根据题意，得x 2＋2x －7=8，即x 2＋2x －15=0，解得x =3或－5． 5．【解析】（1）根据一次函数的定义，得m 2－m =0，解得m =0或m =1，又∵m －1≠0即m ≠1．∴当m =0时，这个函数是一次函数；（2）根据二次函数的定义，得m 2－m ≠0，解得m 1≠0，m 2≠1．∴当m ≠0且m ≠1时，这个函数是二次函数．6．【解析】（1）y =（2x ＋2x ＋x ＋x ）×30＋45＋2x 2×120=240x 2＋180x ＋45；（2）由题意可列方程240x 2＋180x ＋45=195，整理得8x 2＋6x －5=0，即（2x －1）（4x ＋5）=0，解得x 1=0.5，x 2=－1.25（舍去）， ∴x =0.5，∴2x =1．答：镜子的长和宽分别是1m 和0.5m ． 7．【答案】C【解析】A 、距离一定，汽车行驶的速度与行驶的时间的积是常数，即距离，速度与时间成反比例关系；B 、设原来的人口是a ，x 年后的人口数是y ，则y =a （1＋1%）x ，不是二次函数关系；D 、设半径是r ，则周长C =2πr ，是一次函数关系． 8．【答案】C【解析】作AE ⊥AC ，DE ⊥AE ，两线交于E 点，作DF ⊥AC 垂足为F 点，∵∠BAD =∠CAE =90°，即∠BAC ＋∠CAD =∠CAD ＋∠DAE ，∴∠BAC =∠DAE ，又∵AB =AD ，∠ACB =∠E =90°，∴△ABC ≌△ADE （AAS ），∴BC =DE ，AC =AE ．设BC =a ，则DE =a ，DF =AE =AC =4BC =4a ，CF =AC －AF =AC －DE =3a ，在Rt △CDF 中，由勾股定理，得CF 2＋DF 2=CD 2，即（3a ）2＋（4a ）2=x 2，解得a =5x，∴y =S 四边形ABCD=S梯形ACDE=21×（DE ＋AC ）×DF =21×（a ＋4a ）×4a =10a 2=52x 2．9．【解析】（1）y ＝（60＋x －40）（300－8x ）＝－8x 2＋140x ＋6000；（2）y ＝（60－x －40）（300＋12x ）＝－12x 2－60x ＋6000；（3）当涨价时，－8x 2＋140x ＋6000＝6248，解得x 1=2，x 2=231（舍去）；当降价时，－12x 2－60x ＋6000=6248，解得x 1=2，x 2=331（舍去）．因此，售价为每件62元或58元时，每星期售出商品的利润达到6248元． 10．【解析】∵PB =6-t ，BE +EQ =6+t ，∴S =12PB •BQ =12PB •（BE +EQ ）=12（6-t ）（6+t ）=-12t 2+18， ∴S =－12t 2＋18（0≤t ＜6）． 11．【解析】（1） 2；9．（2）当5≤x ≤9时，如图：CQy = S 梯形ABCQ －S △ABP –S △PCQ =21（5＋x －4）×421-×5（x －5）21-（9－x ）（x －4）=12x 2－7x ＋652，所以y =12x 2－7x ＋652；当9＜x ≤13时，如图：CPy =21（x －9＋4）（14－x ）=－12x 2＋192x －35，所以y =－12x 2＋192x －35；当13＜x ≤14时CPQ )y =21×8（14－x ）=－4x ＋56，所以y =－4x ＋56．（3）当动点P 在线段BC 上运动时， ∵154=y S 梯形ABCD154=×21（4＋8）×5 = 8，即x ²－14x ＋49 = 0，解得x 1 =x 2 = 7， ∴当x =7时，154=y S 梯形ABCD．。

人教版九年级数学上册《期末提分练案》5.3 归类训练图形变换的四种常见作图

点 B2，请画出旋转后的线段 A1B2；
解：如图所示．
归类训练 (3)连接 AB2，BB2，求△ABB2 的面积．解：如图，S△ABB2＝4×4－12×2×4－12×2×2－12×2×4＝6.
归类训练 4．如图，平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为 1 个单位
长度，△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(－3，4)，B(－5， 2)，C(－2，1)．画出△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1，并写出 A1，B1，C1 的坐标．解：如图，△A1B1C1 即为所求． A1(3，4)，B1(5，2)，C1(2，1)．
归类训练 3．(2019·淮安)如图，方格纸上每个小正方形的边长均为 1 个单
位长度，点 A，B 都在格点上(两条网格线的交点叫格点)． (1)将线段 AB 向上平移 2 个单位长度，点 A 的对应点为点 A1，
点 B 的对应点为点 B1，请画出平移后的线段 A1B1；
解：如图所示．
归类训练 (2)将线段 A1B1 绕点 A1 按逆时针方向旋转 90°，点 B1 的对应点为
归类训练 5．画出如图所示的四边形 ABCD 关于点 O 成中心对称的图形．解：如图，四边形 A′B′C′D′即为所求．
归类训练 6．(中考·昆明)如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(1，1)，
B(4，2)，C(3，4)． (1)请画出将△ABC 向左平移 4 个单位长度后得到的△A1B1C1；
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期末提分练案
5讲旋转第3课时归类训练图形变换的四种常见作图
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初三数学提分试卷及答案

一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √9B. √16C. √25D. √362. 下列函数中，自变量的取值范围是全体实数的是（）A. y = x^2 + 2x + 1B. y = √(x - 1)C. y = 1/xD. y = 2^x3. 已知一次函数y = kx + b，当x=1时，y=3；当x=2时，y=5，则该函数的解析式为（）A. y = 2x + 1B. y = 3x - 1C. y = 2x + 3D. y = 3x + 14. 下列图形中，是轴对称图形的是（）A. 正方形B. 等腰三角形C. 平行四边形D. 长方形5. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，若∠BAC=40°，则∠ABC的度数是（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°6. 已知一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，则该方程的两个根之和是（）A. 5B. 6C. 7D. 87. 下列各数中，无理数是（）A. √9B. √16C. √25D. √(2/3)8. 下列命题中，正确的是（）A. 两个平行的直线在同一平面内B. 两个相交的直线在同一平面内C. 两个平行的直线不在同一平面内D. 两个相交的直线不在同一平面内9. 已知直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则AC的长度是（）A. 2B. 3C. 4D. 510. 下列函数中，单调递增的是（）A. y = -x^2B. y = x^2C. y = 2xD. y = -2x二、填空题（每题5分，共25分）11. 2的平方根是________，-3的立方根是________。

12. 若a > b，则a - b的值是________。

13. 已知一次函数y = 2x - 3，当x=2时，y的值为________。

14. 在直角坐标系中，点P(2, -3)关于x轴的对称点坐标是________。

2022九年级数学上册期末提分练案第3讲二次函数的图象和性质第3课时方法训练课件新版新人教版1

(1)判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由；解：令y＝0，得ax2＋bx－(a＋b)＝0. ∵Δ＝b2－4·a[－(a＋b)]＝b2＋4ab＋4a2＝(2a＋b)2≥0， ∴方程有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根． ∴二次函数图象与x轴有两个交点或一个交点．
(2)若该二次函数图象经过A(－1，4)，B(0，－1)，C(1，1) 三个点中的其中两个点，求该二次函数的解析式；
解：由题图可知，当 0＜x≤12 时，z＝16；
当 12＜x≤20 时，z 是关于 x 的一次函数，设 z＝kx＋b，则1220kk＋＋bb＝＝1164，，解得kb＝＝－1914，，∴z＝－14x＋19.
16（0<x≤12）， ∴z 关于 x 的函数解析式为 z＝－14x＋19（12<x≤20）.
②当 12＜x≤20 时，w＝(－14x＋19－10)(5x＋40)＝－54x2＋35x＋ 360＝－54(x－14)2＋605， ∴当 x＝14 时，w 最大值＝605. 综上所述，工厂第 14 个生产周期创造的利润最大，最大为 605 万元．
解：把点B(3，0)的坐标代入y＝－x2＋mx＋3，得0＝－32 ＋3m＋3，解得m＝2. ∴y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4. ∴顶点坐标为(1，4)．
(2)若矩形空地的面积为160 m2，求x的值．
解：由题意得－2x2＋36x＝160，解得x＝10或x＝8. ∵9≤x＜18，∴x＝8不符合题意，舍去， ∴x的值为10.
(3)若该单位用8 600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400
棵(每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下
表)．
甲乙丙
单价/(元/棵) 14 16 28
4．将抛物线y＝ax2＋bx＋c向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线y＝x2＋2x＋3.求原抛物线的解析式．解：y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2. ∵把抛物线y＝(x＋1)2＋2向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线y＝(x＋4)2＋4， ∴y＝ax2＋bx＋c＝(x＋4)2＋4＝x2＋8x＋20.

人教版九年级数学第21章《一元二次方程》实际应用之提分专项解答题必练题型 (二)

第21章《一元二次方程》实际应用之提分专项解答题必练题型（二）1．一家水果店以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是多少斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，且保证每天至少售出260斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元？2．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发那么几秒后，PQ的长度等于cm？（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．3．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？4．物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月月平均增长率不变．（1）求二、三这两个月的月平均增长率；（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？5．宜春三中学校团委爱心社组织学生为高三学生进行献爱心活动，学生踊跃捐款．初三年级第一天收到捐款1000元，第三天收到1210元．（1）求这两天收到捐款的平均增长率．（2）按照（1）中的增长速度，第四天初三年级能收到多少捐款？6．如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横彩条、一竖彩条，横、竖彩条的宽度比为1：3．如果要使彩条所占面积是图案面积的19%，求竖彩条的宽度．7．一次篮球联赛，每两个队之间都要进行一场比赛，总共要比赛36场，你能计算出有多少个队参加比赛吗？8．某地有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？9．如图，用长6m的铝合金条制成“日“字形窗框，请问宽和高各是多少时，窗户的透光面积为1.5m2（铝合金条的宽度不计）？10．永定土楼是世界文化遗产“福建土楼”的组成部分，是闽西的旅游胜地．“永定土楼”模型深受游客喜爱．图中折线（AB∥CD∥x轴）反映了某种规格土楼模型的单价y（元）与购买数量x（个）之间的函数关系．（1）求当10≤x≤20时，y与x的函数关系式；（2）已知某旅游团购买该种规格的土楼模型总金额为2625元，问该旅游团共购买这种土楼模型多少个？（总金额＝数量×单价）参考答案1．解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+×20＝100+200x （斤）；（2）根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）＝300，解得：x1＝，x2＝1，当x＝时，销售量是100+200×＝200＜260；当x＝1时，销售量是100+200＝300（斤）．∵每天至少售出260斤，∴x＝1．答：水果店需将每斤的售价降低1元．2．（1）设x秒后，PQ＝2BP＝5﹣x BQ＝2x∵BP2+BQ2＝PQ2∴（5﹣x）2+（2x）2＝（2）2解得：x1＝3，x2＝﹣1（舍去）∴3秒后，PQ的长度等于2；（2）△PQB的面积不能等于7cm2，原因如下：设t秒后，PB＝5﹣t QB＝2t又∵S△PQB＝×BP×QB＝7×（5﹣t）×2t＝7∴t2﹣5t+7＝0△＝52﹣4×1×7＝25﹣28＝﹣3＜0∴方程没有实数根∴△PQB的面积不能等于7cm2．3．解：如图，过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°．∵∠ABC＝30°，∴2QE＝QB．∴S△PQB＝•PB•QE．设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t．根据题意，•（6﹣t）•t＝4．t2﹣6t+8＝0．t 1＝2，t2＝4．当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．当点Q到达C点时，S△PQB＝××（6﹣t）＝4∴t＝答：经过2秒或秒后△PBQ的面积等于4cm2．4．解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：256（1+x）2＝400，解得：x1＝，x2＝﹣（不合题意舍去）．答：二、三这两个月的月平均增长率为25%；（2）设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得：（40﹣25﹣m）（400+5m）＝4250，解得：m1＝5，m2＝﹣70（不合题意舍去）．答：当商品降价5元时，商品获利4250元．5．解：（1）捐款增长率为x，根据题意得：1000（1+x）2＝1210，解得：x 1＝0.1，x 2＝﹣2.1（舍去）．则x ＝0.1＝10%．答：捐款的增长率为10%．（2）根据题意得：1210×（1+10%）＝1331（元）．答：第四天该校能收到的捐款是1331元．6．解：设横彩条的宽度是xcm ，竖彩条的宽度是3xcm ，则（30﹣3x ）（20﹣2x ）＝20×30×（1﹣19%），解得x 1＝1，x 2＝19（舍去）．所以3x ＝3．答：竖彩条的宽度是3cm ．7．解：设有x 个队参加比赛，每个队都要比赛（x ﹣1）次，但两队只比赛一次．则：，解得x 1＝9，x 2＝﹣8（舍去）．答：有9个队参加比赛．8．解：设每轮传染中平均每个人传染了x 人，依题意得1+x +x （1+x ）＝121，∴x ＝10或x ＝﹣12（不合题意，舍去）．所以，每轮传染中平均一个人传染了10个人．9．解：设宽为xm ，则高为m ，由题意得：x ×＝1.5，解得：x 1＝x 2＝1，高是＝1.5（米）．答：宽为1米，高为1.5米．10．解：（1）当10≤x ≤20时，设y ＝kx +b （k ≠0）（11分）依题意，得（3分）解得（5分） ∴当10≤x ≤20时，y ＝﹣5x +250；（6分）（2）∵10×200＜2625＜20×150∴10＜x ＜20（8分）依题意，得xy ＝x （﹣5x +250）＝2625（10分）即x 2﹣50x +525＝0解得x 1＝15，x 2＝35（舍去）∴只取x ＝15．（12分）答：该旅游团共购买这种土楼模型15个．（13分）。

人教版九年级数学上册实际问题与一元二次方程提分专项解答题训练 (一)

人教版九年级数学实际问题与一元二次方程提分专项解答题训练（一）1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝10cm，点P由点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：（1）经过几秒后，AP＝CQ？（2）经过几秒后，△PBQ的面积等于15cm2？2．如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝12cm，AC＝8cm，现有动点P从点B出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速度是2cm/s，点Q 的速度是1cm/s，它们同时出发，设运动时间是ts（t＞0）．（1）当t＝4时，求△APQ的面积．（2）经过多少秒时，△APQ的面积是△ABC面积的一半．3．10月份，是柚子上市的季节，柚子味酸甜，略带苦味，含有丰富的维生素c和大量的营养元素．有健胃补血，降血糖等功效，百果园大型水果超市的红心柚与沙田柚这两种水果很受欢迎，红心柚售价12元/千克，沙田柚售价9元/千克．（1）若第一周红心柚的销量比沙田柚的销量多200千克，要使这两种水果的总销售额不低于6600元，则第一周至少销售红心柚多少千克？（2）若该水果超市第一周按照（1）中红心柚和沙田柚的最低销量销售这两种水果，并决定第二周继续销售这两种水果，第二周红心柚售价降低了a%，销量比第一周增加了a%，沙田柚的售价保持不变，销量比第一周增加了a%，结果这两种水果第二周的总销售额比第一周增加了%，求a的值．4．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．。

人教版九年级上册数学期末提分练案综合训练根与系数的关系应用的十种常见题型

解：∵关于 x 的一元二次方程 x2－4x＋m＝0 有实数根， ∴Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4m≥0，解得 m≤4.
(2)若方程的两实数根分别为 x1，x2，且满足 5x1＋2x2＝2，求二次函数 y＝x2－4x＋m 的图象与 x 轴的两个交点间的距离．解：∵方程的两实数根分别为 x1，x2， ∴x1＋x2＝4. 又∵5x1＋2x2＝2，∴x1＝－2，x2＝6. ∴二次函数 y＝x2－4x＋m 的图象与 x 轴的两个交点间的距离为|x1－x2|＝|－2－6|＝8.
9．已知实数 x，y，z 满足 x＝6－y，z2＝xy－9.求证：x＝y. 证明：由题设知 x＋y＝6，xy＝z2＋9，所以x，y是关于t的一元二次方程t2－6t＋z2＋9＝0 ①的两个实根．从而 Δ＝36－4(z2＋9)＝－4z2≥0. 于是 z＝0，从而 Δ＝0. 故方程①有两个相等的实数根，所以 x＝y.
解：由题意得 m 和 n 是一元二次方程 2x2－5x－1＝0 的两＋n1＝mm＋nn＝－212＝－5.
4．(2019·贵港)若 α，β 是关于 x 的一元二次方程 x2－2x＋m＝0
的两实根，且α1＋β1＝－23，则 m＝( B )
A．－2
B．－3
C．2
人教版九年级上
期末提分练案
第2讲根的判别式及根与系数的关系第3课时综合训练
根与系数的关系应用的十种常见题型
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(2)若该方程有两个实数根，分别为 x1 和 x2，当 x1＋x2＋x1x2＝4 时，求 k 的值．

人教版初中数学九年级上册 21.2.3 因式分解法课后提升训练试卷

2020年秋绵阳南山双语学校初中数学（人教版）九年级上册第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.3 因式分解法1.经计算,整式x+1与x-4的积为x2-3x-4,则一元二次方程x2-3x-4=0的根为 ( )A.x1=-1,x2=-4B.x1=-1,x2=4C.x1=1,x2=4D.x1=1,x2=-42.(2019江苏盐城东台期中)方程x2=4x的解是 ( )A.x=0B.x1=4,x2=0C.x=4D.x=23.(2019四川南充阆中期中)解方程(x+1)2=3(1+x)的最佳方法是 ( )A.直接降次法B.配方法C.公式法D.因式分解法4. (2020上海宝山实验学校月考)有三个方程:x2-6x+5=0;x2-25=0;ax-5a-5b+bx=0(a+b≠0),它们的公共根是 ( ) A.5 B.-5C.1D.以上都不是5. 一个三角形的两边长为4和6,第三边的长是方程(x-2)(x-7)=0的根,则这个三角形的周长是 ( )A.12B.12或17C.17D.196. 已知(x2+y2-1)(x2+y2+3)=0,则x2+y2的值为 ( )A.1或-3B.1C.-3D.-1或37. (2020福建泉州永春期中)方程x2+x=0的解是 ( )A.x1=x2=0B.x1=x2=1C.x1=0,x2=1D.x1=0,x2=-18.(2020河南洛阳东升二中期中,6,★☆☆)一元二次方程x(x+1)-x=1的根是 ( )A.x1=x2=-1B.x1=x2=1C.x1=1,x2=-1D.x1=x2=09.(2020四川乐山南山国际学校第一次月考)设m是方程x2+5x=0的一个较大的根,n是方程x2-3x+2=0的一个较小的根,则m+n的值是 ( )A.-4B.-3C.1D.210. 若关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实根分别为5,-6,则二次三项式x2+mx+n可分解为 ( )A.(x+5)(x-6)B.(x-5)(x+6)。

人教版九年级数学上册 21.2.3 因式分解法能力提升卷

人教版九年级数学上册21.2.3因式分解法能力提升卷一、选择题（共10小题，3*10=30）1．下列一元二次方程适合用因式分解法解的是( )A ．5x 2－4x ＋1＝0B ．x 2＋2x ＝0C ．9(x ＋1)2＝1D ．x 2－2x －4＝02．方程x 2－5x －6＝0左边化为两个一次因式的乘积为( )A ．(x －2)(x －3)＝0B ．(x －2)(x ＋3)＝0C ．(x －1)(x ＋6)＝0D ．(x ＋1)(x －6)＝03．一元二次方程x(x －5)＝5－x 的根是( )A ．x ＝－1B ．x ＝5C ．x 1＝1，x 2＝5D ．x 1＝－1，x 2＝54．解方程(x ＋1)2－5(x ＋1)＋6＝0时，我们可以将x ＋1看成一个整体，设x ＋1＝y ，则原方程可化为y 2－5y ＋6＝0，解得y 1＝2，y 2＝3.当y ＝2时，即x ＋1＝2，解得x ＝1；当y ＝3时，即x ＋1＝3，解得x ＝2，所以原方程的解为x 1＝1，x 2＝2.利用这种方法求方程(2x －1)2－4(2x －1)＋3＝0的解为( )A ．x 1＝1，x 2＝3B ．x 1＝－1，x 2＝－3C ．x 1＝1，x 2＝2D ．x 1＝0，x 2＝－15．若关于x 的方程x 2＋2x －3＝0与2x ＋3＝1x －a有一个解相同，则a 的值为( ) A ．1 B ．1或－3 C ．－1 D ．－1或36. 一个菱形的边长是方程x 2－8x ＋15＝0的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为( )A ．48B ．24C ．24或40D ．48或807．方程9(x ＋1)2－4(x －1)2＝0的正确解法是( )A ．直接开平方得3(x ＋1)＝2(x －1)B ．化成一般形式为13x 2＋5＝0C ．分解因式得[3(x ＋1)＋2(x －1)][3(x ＋1)－2(x －1)]＝0D ．直接得x ＋1＝0或x －1＝0长是( )A ．12B ．14C ．15D ．12或149．现定义运算“★”:对于任意实数a 、b,都有a ★b=a 2-2a+b,如3★4=32-2×3+4,若x ★3=6,则实数x 的值为( )A.3或-1B.-3或1C.±2√3D.±310．已知x 为实数，且满足(x 2＋x ＋1)2＋2(x 2＋x ＋1)－3＝0，那么x 2＋x ＋1的值为( )A ．1B ．－3C ．－3或1D ．－1或3二．填空题（共8小题，3*8=24）11．一元二次方程x(x －2)＝x －2的根是________________．12. 一元二次方程2x 2+px+q=0的两根为-1和2,那么二次三项式2x 2+px+q 可分解为________________．13．一个三角形的两边长为3和6，第三边长是方程x 2－10x ＋21＝0的根，则三角形的周长为__________.14．若(a 2＋b 2)(a 2＋b 2－1)＝12，则a 2＋b 2的值为_________.15．已知代数式3-x 与-x 2+3x 的值互为相反数,则x 的值是_________.16．关于x 的方程x 2+2ax+a 2-b 2=0的根是 .17．对于实数a ，b ，定义运算“◐”如下：a ◐b ＝(a ＋b)2－(a －b)2.若(m ＋2) ◐ (m －3)＝24，则m ＝________.18．将4个数a,b,c,d 排成2行、2列,两边各加一条竖线记成|a b c d |,定义|a b c d|=ad -bc,上述记号就叫做2阶行列式.若|x -1 x -11-x x +1|=12,则x= . 三．解答题（共7小题， 46分）19．(6分) 用因式分解法解下列方程：(1)x 2－3x －4＝0；(2)3x(2x ＋1)＝4x ＋2；20．(6分) x为何值时，两个代数式x2＋1，4x＋1的值相等？21．(6分) 解下列方程：(1)x2－(2＋3)x＋6＝0；(2)(2x＋1)2－3(2x＋1)－28＝0.22．(6分) 已知关于x的一元二次方程x2－2x－k－2＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)给k取一个负整数值，解这个方程．23．(6分)一个三角形的三边长是方程x2－4x＋3＝0的根，求这个三角形的周长．24．(8分)阅读材料．材料：为解方程x4－x2－6＝0，可将方程变形为(x2)2－x2－6＝0，然后设x2＝y，则(x2)2＝y2，原方程化为y2－y－6＝0.①解得y1＝－2，y2＝3.当y＝－2时，x2＝－2，无意义，舍去；当y＝3时，x2＝3，解得x＝±3.所以原方程的解为x1＝3，x2＝－ 3.利用本题的解题方法，解方程(2x－1)2－2(2x－1)－3＝0.25．(8分) 已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0.(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)已知方程的一个根为x＝0，求代数式(2m－1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m－5的值．(要求先化简再求值)参考答案1-5BDDCC 6-10BCAAA11. x 1＝2，x 2＝112.2(x+1)(x -2)13. 1614. 415.-1或316. x 1=-a -b,x 2=-a+b17. －3或418. -2或319. 解：(1) (x ＋1)(x －4)＝0，∴x ＋1＝0或x －4＝0，解得x 1＝－1，x 2＝4.(2)原方程可变形为3x(2x ＋1)＝2(2x ＋1)，即(3x －2)(2x ＋1)＝0，∴3x －2＝0或2x ＋1＝0，解得x 1＝23，x 2＝－12. 20. 解：由题意，得x 2＋1＝4x ＋1，∴x 2－4x ＝0.∴x(x －4)＝0.∴x 1＝0，x 2＝4.∴x ＝0或x ＝4时，两个代数式x 2＋1，4x ＋1的值相等．21. 解：(1)x 2－(2＋3)x ＋6＝0，(x －2)(x －3)＝0，x －2＝0或x －3＝0.∴x 1＝2，x 2＝ 3.(2) (2x ＋1)2－3(2x ＋1)－28＝0，[(2x ＋1)－7][(2x ＋1)＋4]＝0，2x －6＝0或2x ＋5＝0.∴x 1＝3，x 2＝－52. 22. 解：(1)根据题意，得Δ＝(－2)2－4(－k －2)＞0，解得k ＞－3.(2)答案不唯一，例如：取k ＝－2，则方程为x 2－2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2.23. 解：因式分解得(x －1)(x －3)＝0，∴x 1＝1，x 2＝3.∵三角形的三边长都是这个方程的根，∴①当三边长都为1时，周长为3；②当三边长都为3时，周长为9；③当两边长为3，一边长为1时，周长为7；④当两边长为1，一边长为3时，不满足三角形三边关系，不能构成三角形．综上，三角形的周长为3或9或7.24. 解：令x 2－x ＝y ，则原方程可化为y 2－4y －12＝0，即(y ＋2)(y －6)＝0.所以y ＋2＝0或y －6＝0，解得y 1＝－2，y 2＝6.当y ＝－2时，x 2－x ＝－2，即x 2－x ＋2＝0，此方程无实数解；当y ＝6时，x 2－x ＝6，即(x ＋2)(x －3)＝0，解得x 1＝－2，x 2＝3.所以原方程的解为x 1＝－2，x 2＝3.25. 解：(1)证明：∵关于x 的一元二次方程x 2－(2m ＋1)x ＋m(m ＋1)＝0. ∴Δ＝(2m ＋1)2－4m(m ＋1)＝1＞0，∴方程总有两个不相等的实数根(2)∵x ＝0是此方程的一个根，∴把x ＝0代入方程中得到m(m ＋1)＝0，∴m 2＋m ＝0，将代数式化简，得原式＝3m 2＋3m ＋5，将m 2＋m ＝0代入，可得原式＝5。

人教版九年级数学上册21.3 实际问题与一元二次方程提分专项解答题训练 (五)

人教版九年级数学实际问题与一元二次方程提分专项解答题训练（五）1．新苑小区的物业管理部门为了美化环境，在小区靠墙的一侧设计了一处长方形花圃（墙长25m），三边外围用篱笆围起，栽上蝴蝶花，共用篱笆40m，（1）花圃的面积能达到180m2吗？（2）花圃的面积能达到250m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．2．学校课外生物小组的试验园地是长20米宽15米的长方形．为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵等宽的小道（如图），要使种植面积为252平方米，求小道的宽．3．如图①，要设计一幅宽20cm、长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？分析：由横、竖彩条的宽度比为2：3，可设每个横彩条的宽为2x，则每个竖彩条的宽为3x．将横、竖彩条分别集中，则原问题转化为如图②的情况，得到矩形ABCD．结合以上分析完成填空：如图②，用含有x的代数式表示：AB＝cm，AD＝cm．列出方程并完成本题解答．4．某厂工业废气的年排放量为450万立方米，为改善大气质量环境，决定分两期投入治理，使废气的年排气量减少到288万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同．（1）求每期减少的百分率是多少？（2）预计第一期治理中每减少1万立方米需投入3万元，第二期治理中每减少1万立方米废气需投入2.5万元．问两期治理完成后共需投入多少万元？5．我县某单位于五一期间组织职工到景洪森林公园旅游，下面是领队与旅行社导游就收费标准的一段对话：领导：组团去辽河源森林公园旅游每人收费是所少？导游：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元．领导：超过25人怎样优惠呢？导游：如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元．该单位按旅行社的收费标准组团游览景洪森林公园结束后，共支付给旅行社2700元．请你根据上述信息，求该单位这次到景洪森林公园旅游共有多少人？6．小亮家想利用房屋侧面的一面墙，再砌三面墙，围成一个矩形猪圈，如图所示，在平行墙的一边开一个1米宽的小门．现在已备足可以砌11米长的墙的材料．（1）如果小亮家想围成面积为16m2的矩形猪圈，你能够教他们怎么围吗？（2）如果小亮家想围成面积为20m2的矩形猪圈，你认为可能吗？说明理由．7．如图，利用12米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形菜地，并在中间用篱笆分割成四个小长方形，总共用去篱笆48米．如果围成的菜地面积是90米2，求菜地的宽AB的长．8．某工程队在季梁公园建设过程中承包了一项拆迁工程，原计划每天拆迁1250m2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20%，从第二天开始，不断增加工人，加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440m2．如果从第一天之后，每天的拆迁面积比前一天增长的百分数相同，请预测一下该工程队第四天可能要拆迁多少平方米？9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，点P从A出发向C以1cm/s的速度运动、点Q同时从C出发向B以1cm/s的速度运动，当一个点运动到终点时，该点停止运动，另一个点继续运动，当两个点都到达终点时也停止运动．（1）几秒后，△CPQ的面积为Rt△ABC的面积的？（2）填空：①点经过秒，点P在线段AB的垂直平分线上．②点Q经过秒，点Q在∠BAC的平分线上．10．某商店经销一种成本为每千克20元的水产品，据市场分析，若按每千克30元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，解答以下问题．（1）当销售单价定位每千克35元时，计算销售量和月销售利润；（2）设销售单价为x元，月销售收入为y元，请求出y与x的函数关系；（3）商店想在月销售成本不超过6000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？参考答案1．解：（1）设BC ＝xm ，则AB ＝（40﹣x ）＝（20﹣x ）m①由题意得：x （20﹣x ）＝180，x 2﹣40x +360＝0，△＝402﹣4×360＝0，解之得，x ＝20m答：能达到200m 2．（2）x （20﹣x ）＝250，x 2﹣40x +500＝0，△＝402﹣4×500＝﹣400＜0，即：此方程无解，答：不能达到250m 22．解：设该小道的宽为x 米，依题意得（20﹣2x ）（15﹣x ）＝252，整理得x 2﹣25x +24＝0，即：（x ﹣24）（x ﹣1）＝0，解得x 1＝24（舍去），x 2＝1．答：该小道的宽为1米．3．解：（1）AB ＝（20﹣6x ）cm ，（30﹣4x ）cm ；（2）根据题意，得24x 2﹣260x +600＝（1﹣）×20×30，整理，得6x 2﹣65x +50＝0，解方程，得x 1＝，x 2＝10（不合题意，舍去），则2x ＝，3x ＝．答：每个横条的宽度为cm ，竖彩条的宽度为cm ．故答案为：（20﹣6x ），（30﹣4x ）．4．解：（1）设每期减少的百分率是x ，450×（1﹣x ）2＝288，解得：x 1＝1.8（舍去），x 2＝0.2解得x ＝20%．答：每期减少的百分率是20%．（2）两期治理共需投入资金＝450×20%×3+（450﹣450×20%）×20%×2.5＝450（万元）．答：两期治理共需投入450万元．5．解：设该单位这次到景洪森林公园旅游共有x 人．因为100×25＝2500＜2700，所以员工人数一定超过25人．可得方程[100﹣2（x ﹣25）]x ＝2700，整理得x 2﹣75x +1350＝0，解得x 1＝45，x 2＝30，当x 1＝45时，100﹣2（x ﹣25）＝60＜70，故舍去x 1；当x 2＝30时，100﹣2（x ﹣25）＝90＞70，符合题意．答：该单位这次到景洪森林公园旅游共有30人．6．解：（1）设垂直于墙的边长为xm ，则x （12﹣2x ）＝16，解得x 1＝2，x 2＝4，当x ＝2时，12﹣2x ＝8，当x ＝4时，12﹣2x ＝4，所以垂直于墙的边长为2米或4米；（2）设垂直于墙的边长为ym ，则y （12﹣2y ）＝20，整理得，﹣2y2+12y﹣20＝0，△＝144﹣4×（﹣2）×（﹣20）＝﹣16＜0，∴此方程无解，所以不能够围成．7．解：设AB的长为x米，根据题意得：，x2﹣16x+60＝0，（x﹣6）（x﹣10）＝0，解得：x1＝6，x2＝10，当x1＝6时，＞12，∴x1＝6舍去，当x2＝10时，＜12，∴x2＝10符合题意答：菜地的宽AB的长为10米．8．解：设该工程队第一天之后每天的拆迁面积比前一天增长百分数为x，根据题意列方程为1250×（1﹣20%）×（1+x）2＝1440解得x1＝0.2 x2＝﹣2.2 （舍去）∴第四天可能拆迁面积为1440×（1+20%）＝1728（m2）答：该工程队第四天可能要拆迁1728m2．9．解；（1）设经过x秒．在Rt△ABC中，根据题意得；当x≤6时，（8﹣x）x＝××8×6解得：当6＜x≤8时，（8﹣x）×6＝37解得：x＝7答：经过7秒或秒．（2）当点P在线段AB的垂直平分线上时，PA＝PB，∵设经过x秒后点P在线段AB的垂直平分线上，∴x2＝（8﹣x）2+62解得：x＝，∴经过秒，点P在线段AB的垂直平分线上②如图，作QD⊥AB于点D，∵点Q在∠BAC的平分线上，∴QD＝QC，设经过x秒，则CQ＝x，则QD＝（6﹣x），∴x＝（6﹣x），解得：x＝，∴点Q经过秒，点Q在∠BAC的平分线上．10．解：（1）销售量：500﹣5×10＝450（kg）；销售利润：450×（35﹣20）＝450×15＝6750元（2）y＝（x﹣20）[500﹣10（x﹣30）]＝﹣10x2+1000x﹣16000 （3）由于水产品不超过10000÷40＝250kg，定价为x元，则（x﹣20）[500﹣10（x﹣30）]＝8000解得：x1＝40，x2＝60当x1＝40时，进货500﹣10（40﹣30）＝400kg＞250kg，舍去，当x2＝60时，进货500﹣10（60﹣30）＝200kg＜250kg，符合题意．。

人教版九年级上册数学期末提分练案提升训练垂径定理应用的四种常见题型

设 OA＝r m，则 OD＝OC－DC＝(r－2.4)m，AD＝12AB＝3.6 m. 在 Rt△AOD 中，OA2＝AD2＋OD2，即 r2＝3.62＋(r－2.4)2，解得 r＝3.9. 易知 NH＝12MN＝1.5 m. 在 Rt△OHN 中，OH＝ ON2－NH2＝ 3.92－1.52＝3.6(m)．所以 DH＝OH－OD＝3.6－(3.9－2.4)＝2.1(m)．因为 2.1 m＞2 m，所以此货船能顺利通过这座拱桥．
(2)如图②，当AB与线段CD相交时，CE＝DF是否仍然成立？请说明理由．
解：CE＝DF仍然成立．理由如下：延长BF交⊙O于点M，连接AM，则四边形AEFM为矩形．过点O作OG⊥AM于点G，OG交EF于点N. ∵AM∥CD，∴OG⊥CD.∴CN＝DN. ∵AE⊥CD，BF⊥CD，OG⊥AM，AM∥CD，∴AE∥OG∥BM. ∵O为AB的中点，∴G为AM的中点． ∴N为EF的中点．∴EN＝FN. ∴CN－EN＝DN－FN，即CE＝DF.
解：如图，连接 OA，OB′，BB′. ∵点 B 是A︵N的中点，∴A︵B＝B︵N. ∵点 B 与点 B′关于直径 MN 所在直线对称， ∴MN 垂直平分 BB′.∴B︵N＝B︵′N，PB＝PB′. ∴A︵B＝B︵N＝B︵′N.∴∠AON＝2∠B′ON.
∵∠AON＝2∠AMN＝60°，∴∠B′ON＝30°. ∴∠AOB′＝∠AON＋∠B′ON＝90°. 在 Rt△AOB′中，AB′＝ OA2＋B′O2＝2 2， ∴AP＋BP＝AP＋B′P＝AB′＝2 2，即 PA＋PB 的最小值是 2 2.
2．(中考·六盘水)如图，MN 是⊙O 的直径， MN＝4，点 A 在⊙O 上，∠AMN＝30°， B 为A︵N的中点， P 是直径 MN 上一动点．

人教版九年级上册数学课件期末提分练案7.1达标训练

期末提分练案
(2)若AB＝10，BC＝6，求CD的长．解：∵AB 为直径，∴∠ACB＝90°. ∴AC＝ AB2－BC2＝8. ∵AB＝AE＝10，AC⊥BE，∴CE＝BC＝6. ∵12CD·AE＝12AC·CE，∴CD＝61×08＝254.
期末提分练案
16．(16 分)(2020·齐齐哈尔)如图，AB 为⊙O 的直径，C，D 为⊙ O 上的两个点，A︵C＝C︵D＝D︵B，连接 AD，过点 D 作 DE⊥ AC 交 AC 的延长线于点 E.
期末提分练案
(2)若直径AB＝6，求AD的长．解：如图，连接 BD. ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°. ∵∠DAB＝30°，AB＝6， ∴BD＝12AB＝3.∴AD＝ AB2－BD2＝3 3.
期末提分练案
12．如图，⊙O是以坐标原点O为圆心，1为半径的圆， ∠AOB＝45°，点P在x轴正半轴上运动，过点P且与 OB平行的直线与⊙O有公共点，则OP的取值范围是 __0_<_O_P__≤___2____．
期末提分练案
13．(10分)如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC，弦AD∥OC.求证：CD是⊙O的切线．
期末提分练案
9．如图，已知PA，PB分别切⊙O于点A，B，点C在⊙O 上，∠BCA＝65°，则∠P＝_5_0_°_____.
期末提分练案
10．已知∠AOB＝30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2 cm为半径作⊙M.当OM＝____4____cm时， ⊙M与OA相切．
期末提分练案
11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD＝4，∠ABC ＝∠DAC，则AC的长为___2__2_O的直径，直线PA与⊙O相切于点A， PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝40°，则∠ABC 的度数为( B ) A．20° B．25° C．40° D．50°

人教版九年级上册数学期末提分练案达标训练 (5)

6．如图，将△ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转至△A′B′C，使点 A′落在 BC 的延长线上，已知∠A＝27°，∠B＝40°，则∠ACB′ 的度数为( C ) A．27° B．40° C．46° D．67°
7．如图，将△OAB 绕点 O 按逆时针方向旋转到△OA′B′处，使
点 B 恰好落在边 A′B′上，已知 AB＝4 cm，OB＝1 cm，
A．(2，10)
B．(2，10)或(－2，0)
C．(－2，0)
D．(10，2)或(－2，0)
9．点 P(3，2)关于原点对称的点在第___三_____象限．
10．如图，将 Rt△ABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90°，得到 △A′B′C，连接 BB′，若∠A′B′B＝20°，则∠A 的度数是 __6_5°_____．
(1)求对称中心的坐标；
解：对称中心的坐标为(0，2.5)．
(2)写出顶点 B，C，B1，C1 的坐标．
B(－2，4)，C(－2，2)，B1(2，1)，C1(2，3)．
15．(14 分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点都在格点上，点 A 的坐标为(2，2)，请解答下列问题：
(1)画出△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1，并写出 A1 的坐标；
解：如图，A1(－2，2)．
(2)画出△ABC 绕点 B 逆时针旋转 90°后得到的△A2B2C2，并写出 A2 的坐标；
解：如图，A2(4，0)．
(3)画出和△A2B2C2 关于原点 O 成中心对称的△A3B3C3，并写出 A3 的坐标．
如BM 与△ACM 关于直线 AF 成轴对称，△ABE 与△DCE 关于点 E 成中心对称，点 E，D，M 都在线段 AF 上，BM 的延长线交 CF 于点 P.

人教版九年级数学上册《期末提分练案》6.1 达标训练

达标训练
12．已知⊙O 的半径为 10，弦 AB∥CD，AB＝12，CD＝16，则 AB 与 CD 的距离为___2_或__1_4_____．
达标训练 13．(12 分)如图，已知 CD 平分∠ACB，DE∥AC.
求证：DE＝BC. 证明：∵CD 平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD. ∴B︵D＝A︵D. ∵DE∥AC，∴∠ACD＝∠CDE. ∴A︵D＝C︵E. ∴B︵D＝C︵E. ∴D︵E＝B︵C. ∴DE＝BC.
A．AD＝2OB
B．CE＝EO
C．∠OCE＝40°
D．∠BOC＝2 B，C 的一点，且 OD ⊥BC，则∠DAC 的度数是( B ) A．30° B．45° C．60° D．无法确定
达标训练
7．如图，在⊙O 中，AE 是直径，半径 OC 垂直弦 AB 于 D，连接 BE，若 AB＝2 7，CD＝1，则 BE 的长是( B ) A．5 B．6 C．7 D．8
达标训练
14．(12 分)如图，AB 是⊙O 的弦，半径 OC，OD 分别交 AB 于 E，F，且 AE＝BF，试确定线段 OE 与 OF 的数量关系，并说明理由(要求利用垂径定理求解)．
解：OE＝OF.理由如下：过点 O 作 OM⊥AB 于 M，则 AM＝BM. ∵AE＝BF，∴EM＝FM. ∴OM 是线段 EF 的垂直平分线．∴OE＝OF.
达标训练
4．如图，在⊙O 中，A︵B＝2C︵D，则关于弦 AB，CD 判断正确的是( B ) A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．无法比较
达标训练
5．如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB⊥CD，垂足为
E，连接 CO，AD，∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是( D )

2022-2023学年人教版九年级上学期数学期末综合提高训练(2)

人教版九上数学期末综合提高训练（2）一、选择题1.y=(x+1)2图象的顶点坐标是( )A．(−1,0)B．(0,−1)C．(1.0)D．(0,1) 2.已知一元二次方程x2+kx−5=0有一个根为1，k的值为( )A．−2B．2C．−4D．43.如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40∘，则∠AOC等于( )A．20∘B．40∘C．60∘D．80∘4.下列说法正确的是( )A．不可能事件发生的概率为0B．随机事件发生的概率为12C．概率很小的事件不可能发生D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次5.如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，E是DC上一点，DE=1，将△ADE绕着点A顺时针旋转到与△ABF重合，则EF=( )A．√41B．√42C．5√2D．2√13 6.已知某种礼炮的升空高度ℎ(m)与飞行时间t(s)的关系式是ℎ＝−(t−4)2+20．若此礼炮在升空到最高处时引爆，则引爆需要的时间为( )A．3s B．4s C．5s D．6s7.若关于x的方程kx2−x+4=0有实数根，则k的取值范围是( )A．k≤16B．k≤116C．k≤16且k≠0 D．k≤1且k≠0168.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(−1,0)，与y轴的交点B在(0,−2)和(0,−1)之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：① abc>0；② 4a+2b+c>0；③ 4ac−b2<8a；④ 13<a<23；⑤ b>c．其中含所有正确结论的选项是( )A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤9.定义符号min{a,b}的含义为：当a≥b时，min{a,b}=b；当a<b时，min{a,b}= a．如：min={5,−2}=−2，min{−6,−3}=−6．则min{−x2+3,x}的最大值是( )A．1+√132B．−1+√132C．3D．−1−√13210.在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y=ax2+4x+c(a≠0)的图象上有且只有一个完美点(32,32)，且当0≤x≤m时，函数y=ax2+4x+c−34(a≠0)的最小值为−3，最大值为1，则m的取值范围是( )A．−1≤m≤0B．2≤m<72C．2≤m≤4D．94<m≤72二、填空题11.把一元二次方程(−x−1)2=3化为一般形式是．12.某班共有42名同学，其中有2名同学习惯用左手写字，其余同学都习惯用右手写字，老师随机请1名同学解答问题，习惯用左手写字的同学被选中的概率是．13.在同一平面直角坐标系内，将函数y=2x2−3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到新图象的顶点坐标是．14.如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD．若∠ABC=40∘，则∠BOD的度数是．15.如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△AʺBʺCʹ的位置．设BC=2，AC=2√3，则顶点A运动到点Aʺ的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是．16.《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称为现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知锯口深为1寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为寸．17.已知3x−y=3a2−6a+9，x+y=a2+6a−9，若x≤y，则实数a的值为．18.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c−m=0没有实数根，有下列结论：① b2−4ac>0；② abc<0；③ m>2．其中，正确结论的个数是．三、解答题19.解答下列方程．(1) x2−x−1=0．(2) 2(3−2x)2=6x−9．(3) 12x2+x=2（配方法）；(4) 2x2−7x+6=0（公式法）．20.在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图），转盘被平均分成16份，并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转动转盘，那么可以直接获得购物券10元．(1) 求每转动一次转盘所获购物券金额的平均数；(2) 如果你在该商场消费125元，你会选择转动转盘还是直接获得购物券？21.如图，利用一面墙（墙长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地．(1) 怎样围才能使矩形场地的面积为750m2(2) 能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么？22.已知关于x的方程x2−4x+k+1=0有两实数根．(1) 求k的取值范围；(2) 设方程两实数根分别为x1，x2，且3x1+3x2=x1x2−4，求实数k的值．23.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(3,3)，B(4,0)，C(0,−1)．(1) 以点C为旋转中心，把△ABC逆时针旋转90∘，画出旋转后的△AʹBʹC．(2) 在（1）的条件下，⏜的长度为（结果保留π）．①点A经过的路径AAʹ②点Bʹ的坐标为．24.如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，BE=4CE，AD=√10．(1) 求证：AD=CD；(2) 求S△ABC．25.某果园有100棵橙子树，平均每棵结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就要减少．根据经验估计，每增种1棵树，平均每棵树就少结5个橙子．设果园增种x棵橙子树，果园橙子的总产量为y个．(1) 求y与x之间的关系式；(2) 增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=−x2+ 26.如图，直线y=−12bx+c过A，B两点．(1) 求抛物线的解析式．(2) 点P是直线AB上方抛物线上的一点，①当△PBA的面积最大时，求点P的坐标．②在①的条件下，点P关于抛物线对称轴的对称点为Q，在直线AB上是否存在点M，使得直线QM与直线BA的夹角是∠QAB的两倍，若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．。

2021年九年级数学上册中考提分训练第二十四章圆

第二十四章圆(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)1.下列说法正确的是A.三点确定一个圆B.一个三角形只有一个外接圆C.和半径垂直的直线是圆的切线D.三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等2.如图,AB是☉O的直径,CD是弦,若∠BCD＝36°,则∠ABD等于A.54°B.56°C.64°D.66°3.已知☉O的半径为5,且圆心O到直线l的距离是方程x2－4x－12＝0的一个根,则直线l与圆的位置关系是A.相交B.相切C.相离D.无法确定4.如图,☉O的半径OC＝5 cm,直线l⊥OC,垂足为H,且l交☉O于A,B两点,AB＝8 cm,当l与☉O相切时,l需沿OC所在直线向下平移A.1 cmB.2 cmC.3 cmD.4 cm第4题图第5题图5.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,连接AD,若AB＝10,CD＝8,则AD的长为A.8B.2√41C.3√10D.4√56.如图,正六边形ABCDEF的半径OA＝OD＝2,则点B关于原点O的对称点的坐标为A.(1,－√3)B.(－1,√3)C.(－√3,1)D.(√3,－1)7.若圆锥的底面直径为60 cm,母线长为90 cm,则其侧面展开图的圆心角的度数为A.160°B.120°C.100°D.80°8.如果某正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的√2倍,那么这个正多边形的边数是A.3B.4C.5D.无法确定9.如图,已知A,B两点的坐标分别为(0,－4),(3,0),☉C的圆心坐标为(0,1),半径为1,D 是☉C上的一个动点,则△ABD面积的最大值为A.9B.12C.20D.1010.如图,在直角梯形ABCD中,∠BAD＝∠CDA＝90°,AB＝√6,CD＝2√6,过A,B,D 三点的☉O分别交BC,CD于点E,M,且CE＝2.有下列结论:①DM＝CM;②AB＝EM;③☉O的直径为2√10;④AE＝√30.其中正确的结论是A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)11.如图,AB是☉O的直径,点C,D,E都在☉O上,若∠1＝55°,则∠2＝.第11题图第12题图12.如图,在△ABC中,∠BAC＝52°,☉O截△ABC三边所得的弦长相等,则∠BOC 的度数是.13.如图,在正六边形ABCDEF中,分别以点C,F为圆心,以AB长为半径作弧,图中阴影部分的面积为24π,则该正六边形的边长为.14.如图,点C在以AB为直径的半圆上,AB＝4,∠CBA＝30°,点D在AO上运动,点E与点D关于AC对称,DF⊥DE于点D,并交EC的延长线于点F,下列结论:①CE＝CF;②线段EF的最小值为√3;③当AD＝1时,EF与半圆相切;④当点D从点A 运动到点O时,线段EF扫过的面积是4√3.其中正确的结论是.(填写序号)三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,已知∠ACD＝30°.(1)求∠BAD的度数;(2)若AD＝√3,求BD的长.16.如图,在☉O中,弦AB＝8,点C在☉O上(点C与A,B两点不重合),连接CA,CB,过点O分别作OD⊥AC,OE⊥BC,垂足分别是D,E.(1)求线段DE的长;(2)若点O到AB的距离为3,求☉O的半径.四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.如图,在△ABC中,∠ABC＝90°,AB＝8,BC＝6.以BC为直径的☉O交AC于点D,E是AB的中点,连接ED并延长交BC的延长线于点F.(1)求证:DE是☉O的切线;(2)求BD的长.18.如图,正方形ABCD内接于☉O,E是BC的中点,连接AE,DE,CE.(1)求证:AE＝DE;(2)若CE＝1,求四边形AECD的面积.五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.如图,☉O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆.(1)正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为(2)连接BE,BE是否为☉O的内接正n边形的一边?如果是,求出n的值;如果不是,请说明理由.六、(本题满分12分)21.如图,在Rt△ABC中,∠ABC＝90°,以AB为直径作☉O,D为☉O上一点,且CD ＝CB,连接DO并延长交CB的延长线于点E.(1)判断直线CD与☉O的位置关系,并说明理由;的值.(2)若BE＝2,DE＝2BE,求ACDC七、(本题满分12分)22.正方形ABCD的四个顶点都在☉O上,E是☉O上的一点.(1)如图1,若点E在AB上,F是DE上的一点,DF＝BE.①求证:△ABE≌△ADF;②求证:DE－BE＝√2AE.(2)如图2,若点E在AD上,直接写出线段DE,BE,AE之间的等量关系.八、(本题满分14分)23.如图,点P在射线AB的上方,且∠PAB＝45°,PA＝2,M是射线AB上的动点(点M不与点A重合),现将点P绕点A按顺时针方向旋转60°到点Q,将点M绕点P 按逆时针方向旋转60°到点N,连接AQ,PM,PN,作直线QN.(1)求证:AM＝QN.(2)直线QN与以点P为圆心,以PN的长为半径的圆是否存在相切的情况?若存在,请求出此时AM的长,若不存在,请说明理由.(3)当以点P为圆心,以PN的长为半径的圆经过点Q时,请写出劣弧NQ与两条半径所围成的扇形的面积.第二十四章圆检测卷(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)1.下列说法正确的是A.三点确定一个圆B.一个三角形只有一个外接圆C.和半径垂直的直线是圆的切线D.三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等2.如图,AB是☉O的直径,CD是弦,若∠BCD＝36°,则∠ABD等于A.54°B.56°C.64°D.66°3.已知☉O的半径为5,且圆心O到直线l的距离是方程x2－4x－12＝0的一个根,则直线l与圆的位置关系是A.相交B.相切C.相离D.无法确定4.如图,☉O的半径OC＝5 cm,直线l⊥OC,垂足为H,且l交☉O于A,B两点,AB＝8 cm,当l与☉O相切时,l需沿OC所在直线向下平移A.1 cmB.2 cmC.3 cmD.4 cm第4题图第5题图5.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,连接AD,若AB＝10,CD＝8,则AD的长为A.8B.2√41C.3√10D.4√56.如图,正六边形ABCDEF的半径OA＝OD＝2,则点B关于原点O的对称点的坐标为A.(1,－√3)B.(－1,√3)C.(－√3,1)D.(√3,－1)7.若圆锥的底面直径为60 cm,母线长为90 cm,则其侧面展开图的圆心角的度数为A.160°B.120°C.100°D.80°8.如果某正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的√2倍,那么这个正多边形的边数是A.3B.4C.5D.无法确定9.如图,已知A,B两点的坐标分别为(0,－4),(3,0),☉C的圆心坐标为(0,1),半径为1,D 是☉C上的一个动点,则△ABD面积的最大值为A.9B.12C.20D.1010.如图,在直角梯形ABCD中,∠BAD＝∠CDA＝90°,AB＝√6,CD＝2√6,过A,B,D 三点的☉O分别交BC,CD于点E,M,且CE＝2.有下列结论:①DM＝CM;②AB＝EM;③☉O的直径为2√10;④AE＝√30.其中正确的结论是A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)11.如图,AB是☉O的直径,点C,D,E都在☉O上,若∠1＝55°,则∠2＝35°.第11题图第12题图12.如图,在△ABC中,∠BAC＝52°,☉O截△ABC三边所得的弦长相等,则∠BOC 的度数是116°.13.如图,在正六边形ABCDEF中,分别以点C,F为圆心,以AB长为半径作弧,图中阴影部分的面积为24π,则该正六边形的边长为6.14.如图,点C在以AB为直径的半圆上,AB＝4,∠CBA＝30°,点D在AO上运动,点E与点D关于AC对称,DF⊥DE于点D,并交EC的延长线于点F,下列结论:①CE＝CF;②线段EF的最小值为√3;③当AD＝1时,EF与半圆相切;④当点D从点A 运动到点O时,线段EF扫过的面积是4√3.其中正确的结论是①③.(填写序号)三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,已知∠ACD＝30°.(1)求∠BAD的度数;(2)若AD＝√3,求BD的长.解:(1)∠BAD＝60°.(2)在Rt△ADB中,BD＝√3AD＝√3×√3＝3.16.如图,在☉O中,弦AB＝8,点C在☉O上(点C与A,B两点不重合),连接CA,CB,过点O分别作OD⊥AC,OE⊥BC,垂足分别是D,E.(1)求线段DE的长;(2)若点O到AB的距离为3,求☉O的半径.解:(1)DE＝4.(2)☉O的半径为5.四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.如图,在△ABC中,∠ABC＝90°,AB＝8,BC＝6.以BC为直径的☉O交AC于点D,E是AB的中点,连接ED并延长交BC的延长线于点F.(1)求证:DE是☉O的切线;(2)求BD的长.解:(1)略(2)在Rt△ABC中,AB＝8,BC＝6,∴AC＝√82＋62＝10.∵S△ABC＝12AB·BC＝12AC·BD,∴BD＝AB·BCAC＝245.18.如图,正方形ABCD内接于☉O,E是BC的中点,连接AE,DE,CE.(1)求证:AE＝DE;(2)若CE＝1,求四边形AECD的面积.解:(1)略.(2)S△DEF＝12DE2＝√＋32.五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.如图,☉O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆.(1)正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为√2∶1.(2)连接BE,BE是否为☉O的内接正n边形的一边?如果是,求出n的值;如果不是,请说明理由.解:(2)BE是☉O的内接正十二边形的一边.n＝360°30°＝1220.如图,已知一个半圆的直径AB＝20,以点A为圆心、AB长为半径画扇形BAC.(1)当∠BAC＝45°时,求阴影部分的周长;(2)当阴影甲的面积比阴影乙的面积大10π时,求∠BAC的度数.解:(1)12×2π×10＋45·π×20180＋20＝15π＋20,(2)设∠BAC的度数为n°.由题意得S甲＝S乙＋10π,∴12π×102＝n360·π×202＋10π,解得n＝36,∴∠BAC＝36°.六、(本题满分12分)21.如图,在Rt△ABC中,∠ABC＝90°,以AB为直径作☉O,D为☉O上一点,且CD ＝CB,连接DO并延长交CB的延长线于点E.(1)判断直线CD与☉O的位置关系,并说明理由;(2)若BE＝2,DE＝2BE,求ACDC的值.解:(1)CD为☉O的切线.(2)ACDC ＝3√23＝√2.七、(本题满分12分)22.正方形ABCD的四个顶点都在☉O上,E是☉O上的一点.(1)如图1,若点E在AB上,F是DE上的一点,DF＝BE.①求证:△ABE≌△ADF;②求证:DE－BE＝√(2)如图2,若点E在AD上,直接写出线段DE,BE,AE之间的等量关系.解:(1)略(2)BE－DE＝√2AE.八、(本题满分14分)23.如图,点P在射线AB的上方,且∠PAB＝45°,PA＝2,M是射线AB上的动点(点M不与点A重合),现将点P绕点A按顺时针方向旋转60°到点Q,将点M绕点P 按逆时针方向旋转60°到点N,连接AQ,PM,PN,作直线QN.(1)求证:AM＝QN.(2)直线QN与以点P为圆心,以PN的长为半径的圆是否存在相切的情况?若存在,请求出此时AM的长,若不存在,请说明理由.(3)当以点P为圆心,以PN的长为半径的圆经过点Q时,请写出劣弧NQ与两条半径所围成的扇形的面积.解:(1)略(2)存在.(3)扇形的面积＝90π·22360＝π.。

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