2017年第34届全国中学生物理竞赛复赛试题与答案
最新第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题和答案
第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答2017年9月16日一、（40分）一个半径为r 、质量为m 的均质实心小圆柱被置于一个半径为R 、质量为M 的薄圆筒中，圆筒和小圆柱的中心轴均水平，横截面如图所示。
重力加速度大小为g 。
试在下述两种情形下，求小圆柱质心在其平衡位置附近做微振动的频率： （1）圆筒固定，小圆柱在圆筒内底部附近作无滑滚动； （2）圆筒可绕其固定的光滑中心细轴转动，小圆柱仍在圆筒内底部附近作无滑滚动。
解： （1）如图，θ为在某时刻小圆柱质心在其横截面上到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角。
小圆柱受三个力作用：重力，圆筒对小圆柱的支持力和静摩擦力。
设圆筒对小圆柱的静摩擦力大小为F ，方向沿两圆柱切点的切线方向（向右为正）。
考虑小圆柱质心的运动，由质心运动定理得sin F mg ma θ-= ①式中，a 是小圆柱质心运动的加速度。
由于小圆柱与圆筒间作无滑滚动，小圆柱绕其中心轴转过的角度1θ（规定小圆柱在最低点时10θ=）与θ之间的关系为1()R r θθθ=+ ②由②式得，a 与θ的关系为22122()d d a r R r dt dtθθ==- ③考虑小圆柱绕其自身轴的转动，由转动定理得212d rF I dtθ-= ④式中，I 是小圆柱绕其自身轴的转动惯量212I mr = ⑤由①②③④⑤式及小角近似sin θθ≈ ⑥ 得22203()θθ+=-d gdt R r ⑦由⑦式知，小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是简谐振动，其振动频率为f =⑧（2）用F 表示小圆柱与圆筒之间的静摩擦力的大小，1θ和2θ分别为小圆柱与圆筒转过的角度（规定小圆柱相对于大圆筒向右运动为正方向，开始时小圆柱处于最低点位置120θθ==）。
对于小圆柱，由转动定理得221212θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭d Fr mr dt⑨对于圆筒，同理有2222()θ=d FR MR dt ⑩由⑨⑩式得22122221θθ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭d d F r R m M dt dt ⑪设在圆柱横截面上小圆柱质心到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角θ，由于小圆柱与圆筒间做无滑滚动，有12()θθθθ=+-R r R ⑫ 由⑫式得22212222()θθθ-=-d d d R r r R dt dt dt⑬设小圆柱质心沿运动轨迹切线方向的加速度为a ，由质心运动定理得 sin F mg ma θ-= ⑭ 由⑫式得22()θ=-d a R r dt⑮由⑪⑬⑭⑮式及小角近似sin θθ≈，得22203d M m gdt M m R rθθ++=+- ⑯由⑯式可知，小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是简谐振动，其振动频率为f =⑰评分参考：第（1）问20分，①②式各3分，③式2分，④式3分，⑤⑥式各2分，⑦式3分，⑧式2分；第（2）问20分，⑨⑩⑪式各2分，⑫式3分，⑬⑭⑮式各2分，⑯式3分，⑰式2分。
2017第34届全国中学生物理竞赛决赛真题几答案解析
12π2π第34 届全国中学生物理竞赛决赛试题与参考解答一、（35 分）如图，质量分别为ma、m b 的小球a 、b 放置在光滑绝缘水平面上，两球之间用一原长为l0 、劲度系数为k的绝缘轻弹簧连接。
（1）t 时，弹簧处于原长，小球a 有一沿两球连线向右的初速度v，小球b 静止。
若运动过程中弹簧始终处于弹性形变范围内，求两球在任一时刻t(t ) 的速度。
（2）若让两小球带等量同号电荷，系统平衡时弹簧长度为L，记静电力常量为K 。
求小球所带电荷量和两球与弹簧构成的系统做微振动的频率（极化电荷的影响可忽略）。
参考解答：（1）如图，t 时刻弹簧的伸长量为ul l有d 2udt2式中ku ①mamb ②mamb为两小球的约化质量。
由①②式知，弹簧的伸长量u 服从简谐振动的动力学方程，振动频率为f2π③最后一步利用了②式。
t 时刻弹簧的伸长量u 的表达式为u A sin t B cos t ④式中A 、B 为待定常量。
t 时，弹簧处于原长，即u B将 B 代入④式得a 相对于b 的速度为u A sin t ⑤vdradrbduA cos t ⑥a dt dt dtt 时有专业知识--整理分享kL = - va (0) v 0 0 A⑦由⑥⑦式得v a v 0 cost⑧系统在运动过程中动量守恒小球 a 相对于地面的速度为m a v 0m av am b vb⑨v a v av b⑩由③⑧⑨⑩式可得， t 时刻小球a 和小球b 的速度分别为m (m m ) mvbcosa b 0t a vmm m 0 a (m m )a bmvaa⑫m 0a bab（2）若两球带等量同号电荷，电荷量为 q ，系统平衡时有q 2K 2k 0 (L 0 l 0 ) ⑬由⑬式得设t 时刻弹簧的长度为 L （见图 II ），有q L 0 ⑭d 2 L q 2dt 2k 0 (L l 0 ) K L 2⑮图 II令 xLL 0 为t 时刻弹簧相对平衡时弹簧长度 L 0的伸长量，⑮式可改写为d 2x q 2xdt 2 k 0 x k 0 (L 0 l 0 ) KL2L⑯系统做微振动时有x因而xxx 2LLOL⑰b a L 0WORD格式-可编辑专业知识--整理分享WORD格式-可编辑12π2πL3L利用上式，⑯式可写为d 2x q2q2x 2dt2k0 (L0 l0 ) K L2k2KL3x OL⑱x20 0 0略去OL，并利用⑬或⑭式，⑱式可写为d 2 x q2 3L 2lk 2K x 0 0 kx ⑲dt2 0由⑲式知，3Ll，系统的微振动服从简谐振动的动力学方程，振动频率为f ⑳最后一步利用了②式。
2017第34届全国重点中学生物理竞赛复赛理论考试试题和参考答案
第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答2017年9月16日由⑦式知，小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是简谐振动，其振动频率为 f =（2）用F 表示小圆柱与圆筒之间的静摩擦力的大小，1θ和2θ分别为小圆柱与圆筒转过的角度（规定小圆柱相对于大圆筒向右运动为正方向，开始时小圆柱处于最低点位置120θθ==）。
对于小圆柱，由转动定理得221212θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭d Fr mr dt⑨对于圆筒，同理有2222()θ=d FR MR dt⑩由⑨⑩式得22122221θθ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭d d F r R m M dt dt ?设在圆柱横截面上小圆柱质心到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角θ，由于小圆柱与圆筒间做无滑滚动，有12()θθθθ=+-R r R ? 由?式得22212222()θθθ-=-d d d R r r R dt dt dt?设小圆柱质心沿运动轨迹切线方向的加速度为a ，由质心运动定理得道半径的三分之一，不考虑地球和彗星之间的相互影响。
求彗星 （1）先后两次穿过地球轨道所用的时间； （2）经过C 、D 两点时速度的大小。
已知积分公式()()3/21/2223x a a x a C =+-++，式中C 是任意常数。
解：（1）由题设，彗星的运动轨道为抛物线，故 1, 0E ε==①彗星绕太阳运动的轨道方程为：1cos kr θ=+②彗星绕太阳运动过程中，机械能守恒()2221022L mr V r E mr ++==&③ 式中()MmV r Gr=-④⑥式得2T t =∆=⑩将题给数据代入⑩式得66.4010s T ≈⨯?（2）彗星在运动过程中机械能守恒2102GMm m E r-==v ? 式中v 是彗星离太阳的距离为r 时的运行速度的大小。
由?式有=v 当彗星经过C 、D 处时C D E r r R ==?由??式得，彗星经过C 、D 两点处的速度的大小为C D =v v ? 由?式和题给数据得 4C D 4.2210m/s ==⨯v v ?评分参考：第（1）问28分，①式4分，②式2分，③式4分，④式2分，⑤式4分，⑥⑦⑧⑨⑩?式各2分；第（2）问12分，?式4分，????式各2分。
第34届全国中学生物理竞赛决赛试题
第34届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题(2017)一、(35分)如图,质量分别为 、 的小球 、 放置在光滑绝缘水平面上,两球之间用一原长为 ,劲度系数为 .的绝缘轻弹簧连接.(1) 时,弹簧处于原长,小球 有一沿两球连线向右的初速度 ,小球 静止.若运动过程中弹簧始终处于弹性形变范围内,求两球在任一时刻 的速度.(2)若让两小球带等量同号电荷,系统平衡时弹簧长度为 ,记静电力常量为 .求小球所带电荷量和两球与弹簧构成的系统做微振动的频率(极化电荷的影响可忽略).二、(35分)双星系统是一类重要的天文观测对象.假设某两星体均可视为质点,其质量分别为 和 ,一起围绕它们的质心做圆周运动,构成一双星系统,观测到该系统的转动周期为 .在某一时刻, 星突然发生爆炸而失去质量 .假设爆炸是瞬时的、相对于 星是各向同性的,因而爆炸后 星的残余体星的瞬间速度与爆炸前瞬间 星的速度相同,且爆炸过程和抛射物质 都对 星没有影响.已知引力常量为 ,不考虑相对论效应. (1)求爆炸前 星和 星之间的距离 ;(2)若爆炸后 星和 星仍然做周期运动,求该运动的周期 ;(3)若爆炸后 星和 星最终能永远分开,求 和 三者应满足的条件.三、(35分)熟练的荡秋千的人能够通过在秋千板上适时站起和蹲下使秋千越荡越高.一质量为 的人荡一架底板和摆杆均为刚性的秋千,底板和摆杆的质量均可忽略,假定人的质量集中在其质心.人在秋千上每次完全站起时起质心距悬点 的距离为 ,完全蹲下时此距离变为 .实际上,人在秋千上站起和蹲下过程都是在一段时间内完成的.作为一个简单的模型,假设人在第一个最高点 点从完全站立的姿势迅速完全下蹲,然后荡至最低点 , 与 的高度差为 ;随后他在 点迅速完全站l 0a b 爆炸前瞬间爆炸后瞬间起(且最终径向速度为零),继而随秋千荡至第二个最高点 ,这一过程中该人质心运动的轨迹如图所示.此后人以同样的方式回荡,重复前述过程,荡向第3、4等最高点.假设人站起和蹲下的过程中,人与秋千的相互作用力始终与摆杆平行.以最低点 为重力势能零点.(1)假定在始终完全蹲下和始终完全站立过程中没有机械能损失,求该人质心在 各个阶段的机械能及其变化;(2)假定在始终完全蹲下和始终完全站立过程中的机械能损失 与过程前后高度差的绝对值 的关系分别为,始终完全蹲下,始终完全站立这里, 、 、 和 是常量, 是重力加速度的大小.求(i)相对于 点,第 个最高点的高度 与第 个最高点的高度 之间的关系; (ii) 与 之间的关系式和 与 之间的关系式.四、(35分)如图,在磁感应强度大小为 、方向竖直向上的匀强磁场中.有一均质刚性导电的正方形线框abcd,线框质量为 ,边长为 ,总电阻为 .线框可绕通过ad 边和 边中点的光滑轴 转动. 、 点是线框引线的两端, 轴和 轴位于同一水平面内,且相互重直,不考虑线框自感.(1)求线框绕 轴的转动惯量 ;(2) 时,线框静止,其所在平面与 轴有一很小的夹角 ,此时给线框通以大小为 的恒定直流电流,方向沿 ,求此后线框所在平面与 轴的夹角 、线框转动的角速度 和角加速度 随时间变化的关系式;(3) 时,线框平面恰好逆时针转至水平,此时断开 、 与外电路的连接.此后线框如何运动?求 、 间电压 随时间变化的关系式;(4)线框做上述运动一段时间后,当其所在平面与 轴夹角为 时,将 、 短路,线框再转一小角度 后停止,求 与 的关系式和 的最小值五、(35分)如图,某圆形薄片材料置于 水平面上,圆心位于坐标原点 平面上方存在大小为 、沿 轴负向的匀强电场,以该圆形材料为底的圆柱体区域内存在大小为 、沿 轴正向的匀强磁场,圆柱体区域外无磁场.从原点 向 平面上方的各方向均匀发射电荷量为 、质量为 、速度大小为 的带正电荷的粒子.粒子所受重力的影响可忽略,不考虑粒子间的相互作用.(1)若粒子每次与材料表面的碰撞为弹性碰撞,且被该电场和磁场束缚在上述圆柱体内的粒子占发射粒子总数的百分比为 ,求该薄片材料的圆半径 .(2)若在粒子每次与材料表面碰撞后的瞬间,速度竖直分量反向,水平分量方向不变,竖直方向的速度大小和水平方向的速度大小均按同比例减小,以至于动能减小10%.(i)求在粒子射出直至它第一次与材料表面发生碰撞的过程中,粒子在 平面上的投影点走过路程的最大值;(ii)对(i)问中投影点走过路程最大的粒子,求该粒子从发射直至最终动能耗尽而沉积于材料表面的过程中走过的路程.已知 为积分常数.六、(35分)有一根长为 、内外半径分别为 和 的玻璃毛细管.(1)毛细管竖直悬空固定放置,注入水后,在管的下端中央形成一悬挂的水滴,管中水柱表面中心相对于水滴底部的高度为 ,求水滴底部表面的曲率半径 ;(2)若将该毛细管长度的三分之一竖直浸入水中,问需要多大向上的力才能使该毛细管保持不动?已知玻璃的密度是水的2倍,水的密度是 ,水的表面张力系数为 ,水与玻璃的接触角 可视为零,重力加速度取 .七、(35分)(1)爱因斯坦等效原理可表述为:在有引力作用的情况下的物理规律和没有引力但有适当加速度的参考系中的物理规律是相同的.作为一个例子,考察下面两种情况:(i)当一束光从引力势比较低的地方传播到引力势比较高的地方时,其波长变长,这个现象称为引力红移.如果在某质量分布均匀的球形星体表面附近的 处竖直向上发射波长为 的光,在 处竖直上方高度为 的 处放置一固定接收器,求 处接收器接收到的光的波长 .已知该星体质量为 ,半径为 ;引力场满足弱场条件,可应用牛顿引力理论;真空中的光速为 ,引力常量为 .(ii)如图,假设在没有引力的情况下,有一个长度为 的箱子,在箱子上、下面的 两处分别放置激光接收器和激光发射器.在 时刻,箱子从初速度为零开始,沿 方向做加速度为 的匀加速运动 ,同时从 处发出一束波长为 的激光.a根据狭义相对论,求 处接收器接收到的激光波长 .(iii)根据等效原理,试比较(i)和(ii)的结果,要使物理规律在(i)和(ii)中的情况下相同,则(ii)中的 应为多大?(2)引力红移现象的第一个实验验证是在地球表面附近利用穆斯堡尔探测器完成的,穆斯堡尔探测器能以极高的精度分辨伽马光子的能量.按第(1)(i)问,在地球表面附近,A 处放置一个静止的伽马辐射源,辐射的伽马光子的频率为 处放置一个穆斯堡尔探测器,假设该探测器在相对于自身静止的参考系中仅能探测到频率为 的伽马光子.为了探测到从 处发射的伽马光子,该穆斯堡尔探测器需要某一竖直向下的运动速度.1960-1964年期间,庞德、雷布卡和斯奈德利用美国哈佛大学杰弗逊物理实验室的高塔多次做了这个实验,实验中 .试问: 处发射的伽马光子被探测到时,该穆斯堡尔探测器的运动速度为多大?已知地球表面重力加速度 ,真空中的光速 .八、(35分)用薄膜制备技术在某均质硅基片上沉积一层均匀等厚氮化镓薄膜,制备出一个硅基氮化镓样品,如图1所示.(1)当用波长范围为 的光垂直均匀照射该样品氮化镓表面,观察到其反射光谱仅有两种波长的光获得最大相干加强,其中之一波长为 ;氮化镓的折射率 与入射光在真空中波长 (单位 )之间的关系(色散关系)为硅的折射率随波长在 范围内变化.只考虑氮化镓表面和氮化镓-硅基片界面的反射,求氮化镓薄膜的厚度 和另一种获得最大相干加强光的波长. (2)在该样品硅基片的另一面左、右对称的两个半面上分别均匀沉积一光谱选择性材料涂层,如图2所示;对某种特定波长的光,左半面涂层全吸收,右半面全反射.用两根长均为 的轻细线竖直悬挂该样品,样品长为 、宽为 ,可绕过其中心的光滑竖直固定轴 转动,也可上下移动,如图3所示.开始时,样品静止,用上述特定波长的强激光持续均匀垂直照射该样品涂层表面.此后保持激光方向始终不变,样品绕 轴转动直至稳定.涂层表面始终被激光完全照射.不计激光对样品侧面的照射.设硅基片厚度为 、密度为 ,氮化镓薄膜的厚度为 、密度为 ,涂层质量可忽略,图2真空的介电常量,重力加速度为.若样品稳定后相对于光照前原位形的转角为,求所用强激光的电场强度有效值.(3)取,求的值.。
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f 1 2π
3L0 L0
2l0
k0
1
2π
3L0 L0
2l0
ma mb ma mb
k0
⑳
最后一步利用了②式。 评分参考：第（1）问 24 分，①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫式各 2 分；第（2）问 11 分，⑬⑭⑮式各 2 分，⑰式 1 分，⑲⑳式各 2 分。
二、（35 分） 参考解答： （1）两体系统的相对运动相当于质量为 Mm 的质点在固定力场中的运动，其运动方程是
人在 A 处完全下蹲，在 A A 过程中系统重力势能减少，（因受到摆底板的限制）动能仍然为零。人
在 A 处时系统的机械能为 U A' K A VA 0 mg(d l)(1 cos A )
②
mg
l
l
d
(h1
d
)
人在 B 仍处位于完全下蹲状态，在 A B 过程中系统机械能守恒。人在 B 处的动能为
0 为平衡位置、圆频率
6BI 、周期 T 2π m
m 6BI
、振幅为0 的简谐运动。
（3）线框在做上述运动的过程中，当逆时针转至 ab 边与 X 轴正向重合时，
0 ，且0 0
6BI ， m
⑨
此时 P 、 Q 形成断路，线框内没有了电流，不再受到安培力的力矩。由于没有阻力，线框将保持作角
三、（35 分）参考解答：
（1）假定在始终完全蹲下和始终完全站立过程中没 有机械能损失。将人和秋千作为一个系统。人在 A
处位于完全站立状态，此时系统的机械能为
U A K A VA 0 mg[l(1 cos A ) d ] mgh1 ① 式中，K A 0 和VA mgh1 分别是人在 A 处时系统的动 能和重力势能， A 是秋千与竖直方向的夹角（以 下使用类似记号）如图所示。
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第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答2017年9月16日一、(40分）一个半径为r 、质量为m 的均质实心小圆柱被置于一个半径为R 、质量为M 的薄圆筒中，圆筒和小圆柱的中心轴均水平,横截面如图所示。
重力加速度大小为g 。
试在下述两种情形下,求小圆柱质心在其平衡位置附近做微振动的频率： (1）圆筒固定，小圆柱在圆筒内底部附近作无滑滚动；（2）圆筒可绕其固定的光滑中心细轴转动，小圆柱仍在圆筒内底部附近作无滑滚动。
解:（1）如图，θ为在某时刻小圆柱质心在其横截面上到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角。
小圆柱受三个力作用：重力，圆筒对小圆柱的支持力和静摩擦力.设圆筒对小圆柱的静摩擦力大小为F ,方向沿两圆柱切点的切线方向（向右为正).考虑小圆柱质心的运动，由质心运动定理得sin F mg ma θ-= ①式中，a 是小圆柱质心运动的加速度。
由于小圆柱与圆筒间作无滑滚动，小圆柱绕其中心轴转过的角度1θ(规定小圆柱在最低点时10θ=）与θ之间的关系为1()R r θθθ=+ ② 由②式得，a 与θ的关系为22122()d d a r R r dtdtθθ==- ③考虑小圆柱绕其自身轴的转动，由转动定理得212d rF I dtθ-= ④式中，I 是小圆柱绕其自身轴的转动惯量212I mr = ⑤ 由①②③④⑤式及小角近似sin θθ≈ ⑥ 得22203()θθ+=-d gdt R r ⑦由⑦式知，小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是简谐振动，其振动频率为f =⑧(2）用F 表示小圆柱与圆筒之间的静摩擦力的大小，1θ和2θ分别为小圆柱与圆筒转过的角度（规定小圆柱相对于大圆筒向右运动为正方向，开始时小圆柱处于最低点位置120θθ==）。
对于小圆柱,由转动定理得221212θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭d Fr mr dt⑨对于圆筒，同理有2222()θ=d FR MR dt⑩由⑨⑩式得22122221θθ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭d d F r R m M dt dt ⑪设在圆柱横截面上小圆柱质心到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角θ，由于小圆柱与圆筒间做无滑滚动，有12()θθθθ=+-R r R ⑫ 由⑫式得22212222()θθθ-=-d d d R r r R dt dt dt⑬设小圆柱质心沿运动轨迹切线方向的加速度为a ，由质心运动定理得 sin F mg ma θ-= ⑭ 由⑫式得22()θ=-d a R r dt⑮由⑪⑬⑭⑮式及小角近似sin θθ≈，得22203d M m gdtM m R rθθ++=+- ⑯由⑯式可知，小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是简谐振动，其振动频率为f =⑰评分参考：第（1)问20分，①②式各3分,③式2分，④式3分,⑤⑥式各2分，⑦式3分，⑧式2分；第(2)问20分，⑨⑩⑪式各2分，⑫式3分，⑬⑭⑮式各2分，⑯式3分，⑰式2分。
第34届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案
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蜗壳教育
六、
（40 分）
1914 年，弗兰克-赫兹用电子碰撞原子的方法使原子从低能级激发到高能级，从而证明
了原子能级的存在。加速电子碰撞自由的氢原子，使某氢原子从基态激发到激发态。该氢原
子仅能发出一条可见光波长范围（400nm~760nm ）内的光谱线。仅考虑一维正碰。
（1）求该氢原子能发出的可见光的波长；
没有磁场。半径 OP 为一均匀细金属棒，以恒定的角速度ω绕 O 点
顺时针旋转，旋转过程中金属棒 OP 与两个半圆弧均接触良好。已
知金属棒 OP 电阻为 R ，两个半圆弧的电阻可忽略。开始时 P 点
与 M 点重合。在t (0 ≤ t ≤ )时刻，半径 OP 与半圆O1 交于 Q 点。求
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蜗壳教育ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
距离为地球轨道半径的三分之一，不考虑地球和彗星之间的相互影响。求彗星
（1）先后两次穿过地球轨道所用的时间；
（2）经过 C、D 两点时速度的大小。
已知积分公式∫
x dx
√x+a
2
3
1
= ( + )2 − 2( + )2 + ，式中 C 是任意常数。
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蜗壳教育
三、
（40 分）
一质量为 M 的载重卡车 A 的水平车板
上载有一质量为 m 的重物 B，在水平直公
路上以速度 v0 做匀速直线运动，重物与车
厢前壁间的距离为 L（L > 0）
。因发生紧急
情况，卡车突然制动。已知卡车车轮与地面
间的动摩擦因数和最大静摩擦因数均为μ1 ，重物与车厢底板间的动摩擦因数和最大静摩擦因
数均为μ2（μ2 < μ1 ）
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三维物理2016-09-06 18:04
第32届全国中学生物理竞赛复赛试题与评分标准
高中数学贾老师2015-09-21 18:07
2015年9月19日（星期六）上午9∶00～12∶00，进行了2015年第32届全国中学生物理竞赛复赛。
今天小编给大家带来了试题与评分标准，有意明年参加物理竞赛的同学可以收藏并自己研究一下！。
第34届物理竞赛复赛试题及答案
第34届物理竞赛复赛试题及答案一、单项选择题（共20题，每题5分，共100分）1. 下列哪项不是粒子物理学的基本假设？A. 充分性原理B. 相对性原理C. 不确定性原理D. 费马原理2. 北极星光谱线的移位现象最初是哪个科学家通过实验发现的？A. 胡克B. 辛普森C. 赫尔曼D. 亨德里克3. 相对论中的洛伦兹变换具有以下哪一个性质？A. 反演不变性B. 时空相对性C. 相对性原理D. 矛盾性原理4. 某气体的绝热指数为1.4，再加压的条件下这个气体的温度A. 不变B. 上升C. 下降D. 不确定5. 看物体原来的颜色为白光，看物体反射的颜色为蓝色，这个现象的解释是？A. 物体的原来颜色是蓝色B. 物体反射的辐射更多地集中在较短波长的光区C. 物体反射的辐射更多地集中在较长波长的光区D. 环境光强烈时物体的颜色会发生变化6. 电子在磁场中作匀速圆周运动，则其动能与势能的变化情况如何？A. 动能不变，势能减小B. 动能增大，势能减小C. 动能减小，势能增大D. 动能不变，势能增大7. 像肉眼所能看见的太阳周围的白光，几乎全部来自于？A. 太阳的干扰光B. 太阳的热光C. 太阳的黑体辐射D. 太阳的光谱线8. 一个空气球放在零摄氏度的水中充气，如果它充满气体后体积为1mA. 它在水中漂浮B. 它在水中沉底C. 它在水中升起，但不漂浮D. 它不会对水位高度产生影响，但会影响它周围的水流9. 求一光束入射角为60度，折射角为45度的光线不透明物体的表面上，光的速度在透明物体的内部为1660m/s，这个透明物体的折射率是多少？A. 2.5B. 约1.73C. 约1.25D. 约0.7510. 一个理想氧化铝晶体会使垂直于晶面上的光线进行多少次反射？A. 1次B. 2次C. 3次D. 4次11. 下列哪个现象可以被理解为对牛顿第二定律的否定？A. 物体保持匀速直线运动B. 物体在匀速直线运动的基础上变向C. 物体静止不动D. 物体改变了速度12. 下列哪个现象可以被认为是孤立系统中机械能守恒的例证？A. 弹性碰撞B. 重物下落C. 摆动D. 手摇电筒发光13. 下列哪个动量的变化是最大的？A. 两个物体同向碰撞B. 两个物体相对碰撞C. 两个物体撞击后分别继续沿直线运动D. 两个物体进行纯旋转14. 一个摩擦系数为0.2的物体放在斜面上，角度为20度，有多大的力可以使物体静止？A. 约0.17NB. 约0.34NC. 约2.0ND. 约9.8N15. 均匀带电球面的电场强度在球心处的方向是？A. 垂直于球面B. 与球心连线方向相同C. 与球心连线方向相反D. 没有固定方向16. 某飞行物从高空坠落，开始时垂直速度0m/s，最终速度达到400m/s，下落时间为20s，飞行物的高度是多少？A. 约4kmB. 约8kmC. 约16kmD. 约32km17. 当球被踢出一个斜向上发射，物体的速度是否因高度的增加而增加压力吗？A. 是的B. 不是的18. 均匀带电圆环电场强度在环心处的方向是？A. 沿环半径方向B. 沿环切线方向C. 沿环正对方向D. 沿环法线方向19. 在静电场中无线积分可用于计算？A. 电场强度B. 磁场强度C. 感应电流D. 电荷20. 均速直线运动的物体在运动过程中，它？A. 总是以恒定速度运动B. 可以运动，但速度变化C. 速度与时间无相关性D. 总是以恒定加速度运动二、问答题（共5题，每题20分，共100分）21. 两球间有一距离，它们的引力大小是多少？22. 在磁场中，如果一个电子沿着磁场方向运动，是什么力恰好与它运动方向垂直？23. 在一个喇叭中发出的是什么类型的波？24. 跳伞让人成为了空气阻力的受害者，如果比重不同的气体相互作用，哪个气体在空气中起到的作用最小，为什么？25. 解释重力势能的大小和高度之间的关系。
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由⑧式得
设碰撞后瞬间重物B与卡车A的速度均为 ，由于碰撞时间极短，碰撞前后动量守恒
⑨
由⑨式得
碰撞过程中重物B对车厢前壁的冲量为
⑩
碰撞后，卡车和重物又一起运动了一段时间
（1）先后两次穿过地球轨道所用的时间；
（2）经过C、D两点时速度的大小。
已知积分公式 ，式中 是任意常数。
解：
（1）由题设，彗星的运动轨道为抛物线，故
①
彗星绕太阳运动的轨道方程为：
②
彗星绕太阳运动过程中，机械能守恒
③
式中
④
当彗星运动到近日点A时，其径向速度为零，设其到太阳的距离为 ，由③式得
⑤
由⑤式和题给条件得
（34届复赛17年）二、（40分）星体P（行星或彗星）绕太阳运动的轨迹为圆锥曲线
式中， 是P到太阳S的距离， 是矢径SP相对于极轴SA的夹角（以逆时针方向为正）， , 是P相对于太阳的角动量， 为引力常量， 为太阳的质量， 为偏心率， 和 分别为P的质量和机械能。假设有一颗彗星绕太阳运动的轨道为抛物线，地球绕太阳运动的轨道可近似为圆，两轨道相交于C、D两点，如图所示。已知地球轨道半径 ，彗星轨道近日点A到太阳的距离为地球轨道半径的三分之一，不考虑地球和彗星之间的相互影响。求彗星
解：
（1）若重物和车厢前壁不发生碰撞。
卡车在水平直公路上做匀减速运动，设其加速度大小为 。由牛顿第二定律有
①
由①式得
由匀减速运动公式，卡车从制动开始到静止时所用的时间 和移动的距离 分别为
， ②
重物B在卡车A的车厢底板上做匀减速直线运动，设B相对于地面的加速度大小为 。由牛顿第二定律有
③
由③式得
从卡车制动开始到重物对地面速度为零时所用的时间 和重物移动的距离 分别为
（1）圆筒固定，小圆柱在圆筒内底部附近作无滑滚动；
（2）圆筒可绕其固定的光滑中心细轴转动，小圆柱仍在圆筒内底部附近作无滑滚动。
解：
（1）如图， 为在某时刻小圆柱质心在其横截面上到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角。小圆柱受三个力作用：重力，圆筒对小圆柱的支持力和静摩擦力。设圆筒对小圆柱的静摩擦力大小为 ，方向沿两圆柱切点的切线方向（向右为正）。考虑小圆柱质心的运动，由质心运动定理得 ①
⑧
（2）用 表示小圆柱与圆筒之间的静摩擦力的大小， 和 分别为小圆柱与圆筒转过的角度（规定小圆柱相对于大圆筒向右运动为正方向，开始时小圆柱处于最低点位置 ）。对于小圆柱，由转动定理得 ⑨
对于圆筒，同理有 ⑩
由⑨⑩式得 ⑪
设在圆柱横截面上小圆柱质心到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角 ，由于小圆柱与圆筒间做无滑滚动，有 ⑫
， ④
由于 ，由②④二式比较可知， ，即卡车先停，重物后停。
若 ，重物B与车厢前壁不会发生碰撞，因此不发生碰撞的条件是
⑤
（2）由⑤式知，当满足条件
时，重物B与车厢前壁必定发生碰撞。
设从开始制动到发生碰撞时的时间间隔为 ，此时有几何条件
⑥
这里又可分为两种情况： （重物在卡车停下后与车厢前壁发生碰撞）和 （重物在卡车停下前与车厢前壁发生碰撞）。
⑥
由③式得
或
⑦
设彗星由近日点A运动到与地球轨道的交点C所需的时间为 ，对⑦式两边积分，并利用⑥式得
⑧
对⑧式应用题给积分公式得
⑨
由对称性可知，彗星两次穿越地球轨道所用的时间间隔为
⑩
将题给数据代入恒
⑫
式中 是彗星离太阳的距离为 时的运行速度的大小。由⑫式有
⑬
当彗星经过C、D处时
（i） ，即卡车A在 时停下，重物B继续运动，在 时与车厢前壁发生碰撞。
卡车停下的时间和向前滑动的距离是②给出的 和 ，同时重物相对于地面向前滑动的距离是
⑦
重物相对于车厢向前滑动的距离是
如果
，
即当
满足时，在车已停稳后重物仍会向前运动并且撞上车厢前壁。
从制动到重物B与车厢前壁碰撞前，重物B克服摩擦力做功。设在碰撞前的瞬间重物B相对地面的速度为 ，由动能定理有
式中， 是小圆柱质心运动的加速度。由于小圆柱与圆筒间作无滑滚动，小圆柱绕其中心轴转过的角度 （规定小圆柱在最低点时 ）与 之间的关系为
②
由②式得， 与 的关系为
③
考虑小圆柱绕其自身轴的转动，由转动定理得
④
式中， 是小圆柱绕其自身轴的转动惯量
⑤
由①②③④⑤式及小角近似 ⑥
得 ⑦
由⑦式知，小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是简谐振动，其振动频率为
⑭
由⑬⑭式得，彗星经过C、D两点处的速度的大小为
⑮
由⑮式和题给数据得
⑯
评分参考：第（1）问28分，①式4分，②式2分，③式4分，④式2分，⑤式4分，⑥⑦⑧⑨⑩⑪式各2分；第（2）问12分，⑫式4分，⑬⑭⑮⑯式各2分。
（34届复赛17年）三、（40分）一质量为 的载重卡车A的水平车板上载有一质量为 的重物B，在水平直公路上以速度 做匀速直线运动，重物与车厢前壁间的距离为 （ ）。因发生紧急情况，卡车突然制动。已知卡车车轮与地面间的动摩擦因数和最大静摩擦因数均为 ，重物与车厢底板间的动摩擦因数和最大静摩擦因数均为 （ ）。若重物与车厢前壁发生碰撞，则假定碰撞时间极短，碰后重物与车厢前壁不分开。重力加速度大小为 。
由⑫式得 ⑬
设小圆柱质心沿运动轨迹切线方向的加速度为 ，由质心运动定理得
⑭
由⑫式得 ⑮
由⑪⑬⑭⑮式及小角近似 ，得 ⑯
由⑯式可知，小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是简谐振动，其振动频率为
⑰
评分参考：第（1）问20分，①②式各3分，③式2分，④式3分，⑤⑥式各2分，⑦式3分，⑧式2分；第（2）问20分，⑨⑩⑪式各2分，⑫式3分，⑬⑭⑮式各2分，⑯式3分，⑰式2分。
（1）若重物和车厢前壁不发生碰撞，求卡车从制动开始到卡车停止的过程所花的时间和走过的路程、重物从制动开始到重物停止的过程所花的时间和走过的路程，并导出重物B与车厢前壁不发生碰撞的条件；
（2）若重物和车厢前壁发生碰撞，求卡车从制动开始到卡车和重物都停止的过程所经历的时间、卡车走过的路程、以及碰撞过程中重物对车厢前壁的冲量。
第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答
2017年9月16日
（34届复赛17年）一、（40分）一个半径为 、质量为 的均质实心小圆柱被置于一个半径为 、质量为 的薄圆筒中，圆筒和小圆柱的中心轴均水平，横截面如图所示。重力加速度大小为 。试在下述两种情形下，求小圆柱质心在其平衡位置附近做微振动的频率：