圆最值问题题型归纳
与圆有关的最值(范围)问题
xx与圆有关的最值（范围）问题圆是数学中优美的图形，具有丰富的性质．由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形性质，利用数形结合求解．当然，根据《教学要求》的说明，“平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想”，因此在此类问题的求解中，有时也会用到函数思想和基本不等式思想等．本文将就与圆的最值问题有关的题目进行归纳总结,希望能为学生在处理此类问题时提供帮助． 类型一：圆上一点到直线距离的最值问题应转化为圆心到直线的距离加半径，减半径例1 已知P 为直线y=x +1上任一点，Q 为圆C ：22(3)1x y -+=上任一点,则PQ 的最小值为 。
【分析】：这是求解“圆上一动点到直线距离”的常见考题,可以通过平面几何的知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，这一结论在解题时可直接应用．解：如图1，圆心C到直线y=x +1的距离d =圆半径1r =，故1PQ PC r ≥-=变题1：已知A （0,1），B （2,3）,Q 为圆C 22(3)1x y -+=上任一点，则QABS的最小值为 。
【分析】本题要求QABS的最大值，因为线段AB 为定长，由三角形面积公式可知，只需求“Q 到AB l 的最小值"，因此问题转化为“圆上一动点到直线的最小距离”，即例1． 解:如图2，设Q h 为Q 到AB l 的距离，则11)42QABQ Q SAB h =⋅===+图1 图2变题2：由直线y=x +1上一点向圆C :22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为 【分析】一般地，当直线和圆相切时，应连接圆心和切点,构造直销三角形进行求解．因为222PA PC r =-，故即求PC 的最小值，即例1．解：如图3，22221PA PC r PC =-=-，∵min PC=∴min PA变题3：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB ，A 、B 为切点,则当PC= 时，APB ∠最大．【分析】APB APC ∠=∠，故即求角APC ∠的最大值，利用其正弦值即可转化为求PC 的最小值，即例1．解：如图4，∵APB APC ∠=∠，1sin APC PC∠=,∵min PC =,∴PC =APC ∠最大，即APB ∠最大．图3 图4变题4：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则四边形PACB 面积的最小值为 .【分析】将四边形面积转化为两个全等的三角形的面积，从而转化为PA 的最小值，问题又转化为求切线段的最小值问题．解：如图4，1222PAC PAB PAB S S S S PA AC PA ∆∆∆=+==⨯⋅⋅=四边形PACB ，由变式2可知，min PA =PACB【解题回顾】在上面例1及几个变试题的解题过程中，我们可以总结一句“万变不离其宗”，一般地，求“圆上一动点到直线距离”的常见考题，可以通过平面几何的知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，“圆心到直线的距离加半径”即为最大距离，这一结论在解题时可直接应用．另:和切线段有关的问题常利用“连接圆心和切点,构造直销三角形“进行求解．也即将“ 两个动点的问题转化为一个动点的问题”．如下例．例2已知圆C:222430x y x y ++-+=，从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM=PO ,求使得PM 取得最小值的点P 坐标．【分析】本题中，由于点P 和点M 均在动，故直接做很难求解．联系到PM 是切线段，因此可利用222PM PC r =-将条件PM=PO 转化为只含有一个变量P 的式子即可求解．解：由题意，令(,)P x y ，∵222PM PC =-，∴222PC PO -=，即2222(1)(2)2x y x y ++--=+,化简得：2430x y -+=．∵PM=PO ，∴即求直线2430x y -+=到原点O （0，0)的最小距离．d==PMx类型二：利用圆的参数方程转化为三角函数求最值例3若实数x 、y 满足22240x y x y ++-=，求x-2y 的最大值．【分析】本题是典型的用圆的参数方程解决的题型，利用圆的参数方程将所求式转化为三角函数求最值，利用辅助角公式即得最大值．解：22(1)(2)5x y ++-=，令1()2x R y θθθ⎧=-+⎪∈⎨=+⎪⎩，则255cos()5x y θθθϕ-=-+-=+-(其中cos ϕϕ==) ∴当cos()1θϕ+=时，max (2)550x y -=-=，故x —2y 的最大值为0．【解题回顾】和圆有关的一次式的求解，利用圆的参数方程可以比较方便的求到最值．类型三:抓住所求式的几何意义转化为线性规划问题求最值若所求式子具有较明显的几何意义,值．比如例2，除了用圆的参数方程求解,这类题通常转化为直线方程的纵截距求解． 解法二：令2x y z -=,则1122y x z =-,由题意，当直线的纵截距最小时,z 最大，此时直线和圆相切，故圆心到直线的距离d ==故010z =-或，由题意，max 0z =，即x-2y 的最大值为0．除了转化为直线的截距求解，还有一些式子具有明显的几何意义，比如斜率、两点间距离、点到直线的距离等．比如在上例中，改为求12y x --，22(2)(1)x y -+-，1x y --的取值范围,则可以分别用如下方法求解： 对12y x --，转化为圆上任意一点P 到点(2,1)A 连线斜率的最大值,可设过点(2,1)A 的直线为1(2)y k x -=-，直线和圆相切时，即圆心到直线的距离d ==，可得122k =-或,故1[2,)(,2k ∈+∞⋃-∞-．对22(2)(1)x y -+-,转化为圆上任意一点P 到点(2,1)A 距离的平方的取值范围,由例1易得[PA CA CA ∈+，即222(2)(1)[50PA x y =-+-∈-+对1x y --，联想到点到直线的距离公式中有类似的元素．可将问题转化为圆上任意一点P 到直线10x y --=的距离的问题，易得，圆心到直线的距离为P （x ，y）到直线10x y--=,即1[4x y--∈.【解题回顾】当所求式子含有明显的几何意义时，注意联系线性规划，用线性规划的思路求解可将问题简单化和直观化．类型四：向函数问题转化平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想．有些问题，单纯利用圆的几何性质无法求解．此时应考虑如何利用代数思想将问题转化为函数问题．例4(2010年高考全国卷I理科11）已知圆O：221x y+=，P A、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点，则PA PB⋅的最小值为【分析】本题中,由于A、B都是动点，故将PA PB⋅转化为坐标形式较难求解．此时考虑到向量数量积的定义，令2APBα∠=，cos2PA PB PA PBα⋅=，而切线段PA=PB也可用α表示,故所求式可转化为关于α的三角函数求解．解:令2((0,))2APBπαα∠=∈，cos2PA PB PA PBα⋅=，1tanPA PBα==，∴222222cos2cos cos2(1sin)(12sin)tan sin sinPA PBαααααααα⋅--⋅===，令2sin(0)t tα=>，则(1)(12)1233t tPA PB tt t--⋅==+-≥（当且仅当2t=2sin2α=时取等号）【解题回顾】本题以向量定义为载体，巧妙地利用了设角为变量，将与圆有关的问题转化为三角函数的问题求解．将几何问题代数化，利用函数思想求解．同时运用了换元思想，基本不等式思想等解题方法，是一道综合题．类型五：向基本不等式问题转化例5已知圆C：22+24x y+=（），过点(1,0)A-做两条互相垂直的直线12l l、，1l交圆C 与E、F两点，2l交圆C与G、H两点，（1）EF+GH的最大值．(2）求四边形EGFH面积的最大值．【分析】由于EF和GH都是圆的弦长，因此可利用222=+半径半弦长弦心距将EF+GH转化，用基本不等式的相关知识点．解:（1）令圆心C 到弦EF 的距离为1d ，到弦GH 的距离为2d ,则EF +GH =，又222121d d CA +==,2≤==(当且仅当122d d ==取等号)故EF +GH ≤=（2)∵EF GH ⊥，∴22128()12722d d S EF GH -+=⋅=≤⋅=四边形EFGH(当且仅当122d d ==取等号）【解题回顾】本题(1）是利用2a b +≤（2)2a b +．基本不等式是求最值的基本方法．在利用基本不等式求最值时应注意如何构造“定量”．由于圆的对称性，在与圆有关的最值问题中,应把握两个“思想"：几何思想和代数思想．所谓几何思想，即利用圆心,将最值问题转化为与圆心有关的问题．所谓代数思想,即利用圆的参数方程．同时，由于最值问题从代数意义上讲和函数的最值联系紧密，因此在解题过程中灵活的应用函数、不等式等代数思想使问题代数化、简单化也是需要注意的．。
(完整版)圆最值问题题型归纳
x圆中最值问题类型一 圆上一点到直线距离的最值问题例1 已知P 为直线y=x +1上任一点，Q 为圆C ：22(3)1x y -+=上任一点，则PQ 的最小值为 .变题1：已知A (0,1),B (2,3),Q 为圆C 22(3)1x y -+=上任一点，则QAB S 的最小值为 .变题2：由直线y=x +1上一点向圆C ：22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为变题3：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则当PC= 时，APB ∠最大．变题4：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则四边形PACB 面积的最小值为 .例2已知圆C ：222430x y x y ++-+=，从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM=PO ,求使得PM 取得最小值的点P 坐标．类型二 利用圆的参数方程求最值（或几何意义）例3若实数x 、y 满足22240x y x y ++-=，求x-2y 的最大值．如在上例中，改为求12y x --，22(2)(1)x y -+-，1x y --的取值范围，该怎么求解？类型三：转化成函数或不等式求最值例4已知圆O ：221x y +=，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，则PA PB ⋅的最小值为例5已知圆C ：22+24x y +=（）， 过点(1,0)A -做两条互相垂直的直线12l l 、，1l 交圆C 与E 、F 两点，2l 交圆C 与G 、H 两点，（1）EF +GH 的最大值．(2) 求四边形EGFH 面积的最大值．6、已知C 过点)1,1(P ,且与M :222(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称.(Ⅰ)求C 的方程；(Ⅱ)设Q 为C 上的一个动点,求PQ MQ ⋅的最小值；(Ⅲ)过点P作两条相异直线分别与C 相交于B A ,,且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线OP 和AB 是否平行?请说明理由.7、如图，在矩形ABCD 中，3,1AB BC ==，以A 为圆心1为半径的圆与AB 交于E （圆弧DE 为圆在矩形内的部分）（Ⅰ）在圆弧DE 上确定P 点的位置，使过P 的切线l 平分矩形ABCD 的面积；（Ⅱ）若动圆M 与满足题（Ⅰ）的切线l 及边DC 都相切，试确定M 的位置，使圆M 为矩形内部面积最大的圆．l P E C M。
与圆有关的最值问题
O B
2
P
r 2 po r (1 2sin ) po 1 1 2( ) po 2 2 2 设po t (t 1) 则PAPB (t 1)(1 t ) t t 3 2 2 3
C O x
3 5. 易得 PM 的最小值为 10
二、利用所求式的几何意义转化为线 性规划问题求最值
例2：若实数x、y满足 x y 2x 4 y 0 求（1）x-2y的最大值．
2 2
y 1 （ 2） x 2
的取值范围。 2 2 ( x 2) ( y 1) 的取值范围。 （ 3） （4） x y 1 的取值范围。
2 2 ( x 2) ( y 1) (3)
表示为圆上任意一点P到点A(2,1)距离的平方
P
因为 所以
PA [CA 5, CA 5]
. C
A(2,1)
PA2 ( x 2)2 ( y 1)2 [50 10 2,50 10 2]
(4) 因为圆上任一点P(x,y)到直线 x y 1 0 的距离
E M A N G C F H O x
解（1）令圆心C到弦EF的距离为 EF+GH 2( 4 d12 4 d 2 2 )
d1，到弦GH的距离为 d2，则
又 d12 d22 CA2 1
4 d12 4 d22 4 d12 4 d22 2 2
（当且仅当 d1 d 2
2 取等号） 2 故EF+GH 2 8 1 14 2
专题09 圆中的范围与最值问题(知识梳理+专题过关)(解析版)
专题09圆中的范围与最值问题【知识梳理】涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：（1）形如ax by --=μ的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．（2）形如by ax t +=的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如22)()(b y a x m -+-=的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a ，b ）的距离平方的最值问题解决圆中的范围与最值问题常用的策略：（1）数形结合（2）多与圆心联系（3）参数方程（4）代数角度转化成函数值域问题【专题过关】【考点目录】考点1：斜率型考点2：直线型考点3：距离型考点4：周长面积型考点5：长度型【典型例题】考点1：斜率型1．（2021·江西·高二期中（理））已知圆22:(1)1C x y +-=，点(3,0)A 在直线l 上，过直线l 上的任一点P 引圆C 的两条切线，若切线长的最小值为2，则直线l 的斜率k =（）A ．2B ．12C ．2-或12D ．2或12-【答案】C【解析】圆22:(1)1C x y +-=的圆心为(0,1)C ，半径为1，因为切线长的最小值为2，所以min ||PC =所以圆心C 到直线l :(3)l y k x =-，即30kx y k --=，所以圆心(0,1)C 到直线30kx y k --==，=22320k k +-=，解得12k =或2k =-.故选：C2．（2021·山东泰安·高二期中）设点(),P x y 是曲线y =上的任意一点，则24y x --的取值范围是（）A ．1205⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．21255⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．[]0,2D ．2,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】曲线y =表示以()1,0为圆心，2为半径的下半圆，如图所示：24y x --可表示点(),P x y 与点()4,2Q 连线斜率k 当直线PQ 与圆相切时：设直线方程为()24y k x -=-，即420kx y k --+=圆心到直线距离2d ==，解得125k =或0k =，又0y ≤，所以125k =，当直线经过点()1,0A -时，2245y x -=-，综上21255k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故选：B.3．（2021·上海市控江中学高二期中）若直线:3(1)l y k x -=-与曲线:C y =不同公共点，则实数k 的取值范围是（）A ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．43,32⎛⎤⎥⎝⎦C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．43,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】直线:3(1)l y k x -=-过定点(1,3)，曲线:C y =(0,0)为圆心，1为半径，且位于y 轴上半部分的半圆，如图所示当直线l 过点(1,0)-时，直线l 与曲线有两个不同的交点，此时03k k =-+-，解得32k =.当直线l 和曲线C 相切时，直线和半圆有一个交点，圆心(0,0)到直线:3(1)l y k x -=-的距离1d ==，解得43k =结合图像可知，当4332k <≤时，直线l 和曲线C 恰有两个交点故选：B4．（多选题）（2021·湖北宜昌·高二期中）实数,x y ，满足22++20x y x =，则下列关于1yx -的判断正确的是（）A ．1yx -B ．1yx -的最小值为C ．1y x -的最大值为3D ．1y x -的最小值为33-【答案】CD【解析】由题意可得方程22++20x y x =为圆心是()10C -，，半径为1的圆，则1yx -为圆上的点与定点()10P ，的斜率的值，设过()10P ，点的直线为()+1y k x =，即+0kx y k -=，则圆心到到直线+0kx y k -=的距离d r =1=，整理可得231k =，解得33k =±，所以1y x ⎡∈⎢-⎣⎦，即1y x -33-.故选：CD.5．（2021·广东·兴宁市叶塘中学高二期中）已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求：(1)yx的最大值；(2)22x y +的最小值．【解析】(1)()222241023x y x x y +-+=⇒-+=，圆心()2,0，半径r =。
2.5.3 与圆有关的最值问题专项
m1 13
4
| AC | 5 最短弦长为2 52 ( 5)2 4 5
4.有几何意义的代数式的最值 [例4]已知实数x, y满足y 9 x2 ,则 y 3的取值范围为_(___,_23_]__[_43_,__.)
x 1
解: y 9 x2化为x2 y2 9( y 0),表示圆心为(0,0),半径为3的上半圆周.
(1)求切线长|PA|的最小值.
(1) PA m in
|
PC
|2
m in
2
(2
2)2 2
6.
(2)求四边形PAOB面积的最小值.
(2)S四
2SPAC
2
1 2
PA
2
2 PA 2 3
(3)求两切线的夹角的最大值；
(3)sin APC 2 | PC | 2
2 1 22
APC 30
APB 60
(弦长为2 r2 d 2 )
[例3]已知圆C:(x－1)2＋(y－2)2=25，直线l:(2m+1)x+(m+1)y－7m－4=0，求 直线l被圆C截得的弦长最短时m的值及最短弦长.
析 : 直线可化为(x y 4) m(2x y 7) 0 直线过定点A(3,1).
当AC l时,弦长最短, 即( 2m 1) 2 1 1,得m 3 . l : 2x y 5 0
PQOP (x x0 )x0 ( y y0 ) y0 x0x y0 y x02 y02 0, x0 x y0 y r 2. 当P,Q重合时,Q(x0, y0 )亦满足上式. 2. 过圆(x-a)2 + (y-b)2 = r2上一点P(x0, y0)的切线方程为 (x0 a)( x a) ( y0 b)( y b) r 2
圆中最值的十种求法
所以 所以CQ=CP
因为CP是⊙O的动弦 最大值为⊙O的直径
所以CP的最大值为5
此时当点P运动到CP为⊙O的直径时
CQ的最大值为×5=
五、利用弧的中点到弦的距离最大求最值
5．如图：已知⊙O的半径为2，弦BC的长为2，点A为弦BC所对优弧上任意一点，(B、C两点除外)，求△ABC面积的最大值.
[分析]：连接AQ、PA，可知AQ⊥PQ. 在Rt△PQA中，PQ=，求PQ的最小值转化为求PA的最小值，根据垂线段最短易求PA的最小值为2.
解 所以PQ⊥AQ
在Rt△APQ中，PQ2=PA2－AQ2
即PQ=
又因为A(－3,－2) ，根据垂线段最短。
所以PA的最小值为2
所以PQ的最小值=
三、利用两点之间线段最短求最值
3．如图：圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为( )
A． B．2 C．3 D．3
1
连接PA，过O作OE⊥CD，垂足为E
在△OCD中，因为∠AOC=60° 所以∠D=∠C=30°
在Rt△ODE中 cos30°=
即DE=2×cos30°= 所以CD=2DE=2
即PA+PC的最小值为2.
二、利用垂线段最短求最值
2．如图：在直角坐标系中，点A的坐标为(－3, －2)，⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则PQ长度的最小值为 .
[分析]：因为圆锥的侧面是曲面蚂蚁从A爬行到点D，不好求爬行的最小值，要把立体图形展开为平面图形，再利用两点之间线段最短来解决问题.
与圆有关的最值取值范围问题,附详细答案
与圆相关的最值（取值范围）问题，附详尽答案姓名1. 在座标系中，点 A 的坐标为 (3， 0)，点 B 为 y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且 AC=2．设 tan ∠ BOC=m ，则 m 的取值范围是 _________．2. 如图，在边长为 1 的等边 △ OAB 中，以边 AB 为直径作 ⊙ D ，以 O 为圆心 OA 长为半径作圆 O ， C 为半圆 AB 上不与 A 、 B 重合的一动点，射线AC 交 ⊙ O 于点 E ， BC=a ， AC=b ．（ 1）求证： AE=b+ a ；（ 2）求 a+b 的最大值；（3）若 m 是对于 x 的方程： x 2+ax=b 2+ab 的一个根，求 m 的取值范围．3. 如图，∠ BAC=60 °，半径长为 1 的圆 O 与∠ BAC 的两边相切，P 为圆 O 上一动点，以 P 为圆心， PA 长为半径的圆 P 交射线 AB 、AC 于 D 、 E 两点，连结DE ，则线段 DE 长度的最大值为 (). A ．3 B ． 63 3C ．D ．3 324.如图， A 点的坐标为（﹣ 2， 1），以 A 为圆心的⊙A 切 x 轴于点 B， P（ m， n）为⊙A 上的一个动点，请研究 n+m 的最大值．5.如图，在Rt△ ABC中，∠ ACB=90 °， AC=4， BC=3，点 D 是平面内的一个动点，且 AD=2，M 为 BD 的中点，在 D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是.6.如图是某种圆形装置的表示图，圆形装置中，⊙ O 的直径 AB=5，AB 的不一样侧有定点 C 和动点 P，tan ∠ CAB= ．其运动过程是：点 P 在弧 AB 上滑动，过点 C 作 CP 的垂线，与PB的延伸线交于点Q．（1）当 PC=时，CQ与⊙O相切；此时CQ=．（2）当点 P 运动到与点 C 对于 AB 对称时，求 CQ的长；（3）当点 P 运动到弧 AB 的中点时，求 CQ 的长．（4）在点 P 的运动过程中，线段CQ 长度的取值范围为。
圆中最值问题10种求法
圆中最值的十种求法在圆中求最值是中考的常见题型，也是中考中的热点、难点问题，有的学生对求最值问题感到束手无策，主要原因就是对求最值的方法了解不多，思路不够灵活.现对在圆中求最值的方法，归纳如下：一、利用对称求最值1．如图：⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值.[分析]：延长AO交⊙O于D，连接CD交⊙O于P，即此时PA+PC最小，且PA+PC的最小值就等于弦CD的长.解：延长AO交⊙O于D，连接CD交OB于P连接PA，过O作OE⊥CD，垂足为E在△OCD中，因为∠AOC=60°所以∠D=∠C=30°在Rt△ODE中cos30°=即DE=2×cos30°= 所以CD=2DE=2即PA+PC的最小值为2.二、利用垂线段最短求最值2．如图：在直角坐标系中，点A的坐标为(－3, －2)，⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则PQ长度的最小值为.[分析]：连接AQ、PA，可知AQ⊥PQ. 在Rt△PQA中，PQ=，求PQ的最小值转化为求PA的最小值，根据垂线段最短易求PA的最小值为2.解：连接PA、QA因为PQ切⊙A于点Q 所以PQ⊥AQ在Rt△APQ中，PQ2=PA2－AQ2即PQ=又因为A(－3,－2) ，根据垂线段最短。
所以PA的最小值为2所以PQ的最小值=三、利用两点之间线段最短求最值3．如图：圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点，一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为( )A．B．2C．3D．3[分析]：因为圆锥的侧面是曲面蚂蚁从A爬行到点D，不好求爬行的最小值，要把立体图形展开为平面图形，再利用两点之间线段最短来解决问题.解：圆锥的侧面展开图如图2，连接AB根据题意得：弧AC的长为2πr=2π·2=4π，PA=6因为4π= 所以n=120°即∠APB=60°又因为PA=PB所以△PAB是等边三角形因为D为PB中点所以AD⊥PB PD=DB=3在Rt△PAD中，AD=，故选C.四、利用直径是圆中最长的弦求最值4．如图：半径为2.5的⊙O中，直径AB的两侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在劣弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，（1）求∠P的正切值；（2）当CP⊥AB时，求CD和CQ的长；当点P运动到什么位置时，CQ取得最大值，并求出此时CQ的长.[分析]：易证明△ACB∽△PCQ，所以，即CQ=PC. 当PC最大时，CQ最大，而PC是⊙O 的动弦，当PC是⊙O的直径时最大.五、利用弧的中点到弦的距离最大求最值5．如图：已知⊙O的半径为2，弦BC的长为2，点A为弦BC所对优弧上任意一点，(B、C两点除外)，求△ABC面积的最大值.[分析]：设BC边上的高为h因为S△ABC=BC h=×2h=h当h最大时S△ABC最大，当点A在优弧的中点时h最大.解：当点A为优弧的中点时，作AD⊥BC于D连接BO 即BD=CD=在Rt△BDO中，OD2=OB2－BD2=22－()2=1所以OD=1 所以AD=2+1=3所以S△ABC=×BC·AD=×2×3=3即△ABC面积的最大值为3六、利用周长一定时，圆的面积最大求最值6．用48米长的篱笆材料，在空地上围成一个绿化场地，现有两种方案：一种是围成正方形的场地，另一种是围成圆形场地，试问选用哪一种方案，围成的场地面积较大？并说明理由.[分析]：周长一定的几何图形，圆的面积最大.解：围成圆形场地的面积较大设S1、S2分别表示围成的正方形场地、圆形场地的面积则S1=()2=144 S2=π·()2=因为π＜4 所以＞所以＞=144 所以S2＞S1 所以应选用围成圆形场地的方案面积较大七、利用判别式求最值7．如图：在半径为1的⊙O中，AB是弦，OM⊥AB，垂足为M，求OM+AB的最大值.[分析]：可设AM=x，把OM用x的代数式表示出来，构造关于x的一元二次方程，然后利用判别式来求最值.解：设AM=x，在Rt△OAM中OM=所以OM+AB=+2x=a整理得：5x2－4ax+(a2－1)=0因为△=(－4a)2－4×5×(a2－1)≥0即a2≤5 所以a≤所以OM+AB的最大值为八、利用一条弧所对的圆周角大于圆外角求最值8．如图：海边立有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓形(弓形的弧是⊙O 的一部分)区域内，∠AOB=80°，为避免触礁，轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为.[分析]：连接AC，易知∠ACB=∠AOB=40°，又因为∠ACB≥∠P，所以∠P的最大值为40°.解：如图：连接AC，根据圆周角定理可知∠ACB=∠AOB=×80°=40°又因为∠ACB≥∠P 即∠APB≤40°所以∠APB的最大值为40°九、利用经过⊙O内一定点P的所有弦中，与OP垂直的弦最短来求最值9．如图：⊙O的半径为5cm，点P为⊙O内一点，且OP=3cm，则过点P的弦AB长度的最小值为cm.[分析]：过P作AB⊥OP，交⊙O于A、B，则AB的长最小.解：在Rt△OAP中，AP=所以AB=2AP=2×4=8所以AB的最小值为8十、利用经过圆外一点与圆心的直线与⊙O的两个交点与点P的距离最大或最小求最值10．如图：点P为⊙O外一点，PQ切⊙O于点Q，⊙O的半径为3cm，切线PQ的长为4cm，则点P与⊙O上各点的连线长度的最大值为，最小值为.[分析]：过P、O两点作直线交⊙O于A、B，则PA的长度最大，PB的长度最小.解：连接OQ 因为PQ切⊙O于Q所以OQ⊥PQ在Rt△PQO中PQ2+OQ2=OP2即42+32=OP2 所以OP=5所以PB=5－3=2 PA=6+2=8所以点P与⊙O上各点连线长度的最大为8cm，最小值为2cm.。
圆的最值问题类型归纳
圆的最值问题类型归纳与圆相关的最值问题在高中数学中，圆是最常见的一种曲线。
研究圆的相关问题时，最值问题是一个重点和热点，本文将总结常见的与圆相关的最值问题，希望能给读者一些启发。
类型一：“圆上一点到直线距离的最值”问题对于求圆上一点到直线距离的最值问题，我们总是将其转化为求圆心到定直线的距离问题来解决。
1.求圆C: (x-2)²+(y+3)²=4上的点到直线x-y+2=0的最大、最小距离。
2.求圆C: (x-1)²+(y+1)²=2上的点与直线x-y+4=0距离的最大值和最小值。
3.圆x²+y²=2上的点到直线3x+4y+25=0的距离的最小值为多少？类型二：“圆上一点到定点距离的最值”问题本质上，这是一个两点间距离的问题。
对于与圆相关的两点的距离，我们总是将其转化为圆心与定点距离问题来解决。
1.已知点P(x,y)是圆x²+y²-2x-4y+4上的一点，求P到原点的最大最小距离。
2.已知圆C：x²+y²-4x-14y+45及点Q(-2,3)，若M是圆C 上任一点，求MQ的最大值和最小值。
3.已知x,y满足条件x²+y²-2x-4y+4=0，求x²+y²的范围。
4.已知x,y满足圆x²+y²-2x-4y+4=0，求(x+2)²+(y+2)²的范围。
5.已知x,y满足圆x²+y²-2x-4y+4=0，求x²+y²+2x+2y的范围。
6.已知圆C:(x-3)²+(y-4)²=1，点A(-1，-2)，B(1，-2)，点P 为圆上的一动点，求d=PA+PB的最大值和最小值及对应的P 点坐标。
类型三：“过定点的弦长”问题1.已知直线l:2mx-y-8m-3和圆C:x²+y²-6x+12y+20，(1)当m∈R时，证明l与C总相交。
圆中最值问题(解析版)
圆中最值问题一、点到直线的最值问题原理：垂线段最短．1、如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）．A. B. C. 3 D. 2答案：B解答：∵PQ切⊙O于点Q，∴∠OQP=90°，∴PQ2=OP2-OQ2，而OQ=2，∴PQ2=OP2-4，即，当OP最小时，PQ最小，∵点O到直线l的距离为3，∴OP的最小值为3，∴PQ选B.2、在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点)，直线y=kx-3k+4与⊙O交于B，C两点，则弦BC 的长的最小值为（）．A. 5B.C.D.答案：D解答：直线y=kx-3k+4必过点D(3,4)，∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦．∵点D的坐标是(3,4)，∴OD=5．∵以原点O为圆心的圆过点，∴圆的半径为BC的长的最小值为3、如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为______．答案：3解答：当OM⊥AB时，OM最小，此时．4、如图，在Rt△AOB中，O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ （点Q为切点），切线PQ的最小值为______．解答：连接OP，OQ，如图所示，∵PQ是O的切线，∴OQ⊥PQ，根据勾股定理知：PQ2=OP2-OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，，∴OA=8，∴S△AOB=12OA·OB=12AB·OP，即OP=OA OBAB⋅=4，∴5、如图，直线y=kx-3k+4与⊙O交于B、C两点，若⊙O的半径为13，求弦BC长度的最小值．答案：24．解答：y=kx-3k+4必过点D(3,4)，∴最短的弦BC是过点D且与该圆直径垂直的弦，∴OD=5，OB=13，∴BD=12，∴BC的长的最小值为24．二、点到圆的最值问题原理：定点与圆上的动点之间的距离：当定点、动点和圆心三点共线时有最大或最小值．AP max=OA+r，AP min=|OA-r|．6、已知点P到圆上各点的最大距离为5，最小距离为1，则圆的的半径为（）．A. 2或3B. 3C. 4D. 2或4答案：A解答：当点P在圆内，则圆的直径=5+1=6，所以圆的半径=3；当点P在圆外，则圆的直径=5-1=4，所以圆的半径=2．通常构造辅助圆求点到圆的最值问题7、（2021·南平延平区模拟）如图，Rt△ABD中，∠D=90°，AB=8，BD=4，在BD延长线上取一点D，使得DC=BD，在直线AD左侧有一动点P满足∠P AD=∠PDB，连接PC，则线段CP长的最大值为______．答案：解答：如图，取AD的中点O，连接OP，OC.∵∠P AD=∠PDB，∠PDB+∠ADP=90°，∴∠P AD+∠ADP=90°，∴∠APD=90°．∵AO=OD，∴PO=OA=OD.∵AD==∴OP=∵BC=CD=4,OD=∴OC===∵PC≤OP+OC∴PC≤∴PC的最大值为8、（2021·佛山三水区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D是△ABC内部的一个动点，且满足∠ACD=∠CBD，则AD的最小值为______．答案：2解答：∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠DCA=90°．∵∠DBC=∠DCA，∴∠CBD+∠BCD=90°，∴∠BDC=90°，∴点D在以BC为直径的☉O上，连接OA交☉O于点D，此时DA最小，在Rt△CAO中，∵∠OCA=90°，AC=4，OC=3，OA==∴5∴DA=OA-OD=5-3=2.故答案为29、如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，点P是同一平面内的一个动点，且满足∠BPC＝90°，连接AP，求线段AP的最小值和最大值．答案：解答：解：如图，以BC为直径作圆O，连结AO交圆于两点P1，P2，则AP 1最小，AP 2最大．∵AP 1•AP 2＝AC 2，AC ＝2，P 1P 2＝2，∴AP 1（AP 1+2）＝4，解得AP 1＝51±-（负值舍去），∴AP 2＝51251+=++-．故线段AP 的最小值和最大值分别是51+-和51+．10、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的动点，将△AMN 沿MN 所在直线折叠，得到△A ′MN ，连接A ′C ，求线段A ′C 的最小值．答案：解答：解：∵四边形ABCD 是矩形∴AB ＝CD ＝3，BC ＝AD ＝2，∵M 是AD 边的中点，∴AM ＝MD ＝1∵将△AMN 沿MN 所在直线折叠，∴AM ＝A 'M ＝1∴点A '在以点M 为圆心，AM 为半径的圆上，∴如图，当点A '在线段MC 上时，A 'C 有最小值， ∵1022=+=CD MD MC ，∴A ′C 的最小值＝MC -MA '＝110-．11、如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，请求出A ′B 长度的最小值．答案：解答：解：如图，由折叠知A ′M ＝AM ，又M 是AD 的中点，可得MA ＝MA ′＝MD ，故点A ′在以AD 为直径的圆上，由模型可知，当点A ′在BM 上时，A ′B 长度取得最小值，∵边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，∴BM ＝3122=-，故A ′B 的最小值为13-12、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是AB 边上一点，且AE ＝2，点F 是边BC 上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G ，连接AG ，CG ，求四边形AGCD 的面积的最小值．答案：解答：∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝3，AD ＝BC ＝4，∠ABC ＝∠D ＝90°，根据勾股定理得，AC ＝5，∵AB ＝3，AE ＝2，∴点F 在BC 上的任何位置时，点G 始终在AC 的下方，设点G 到AC 的距离为，∵S 四边形AGCD ＝S △ACD +S △ACG ＝AD ×CD +AC ×＝×4×3+21×5×h ＝25h +6， ∴要四边形AGCD 的面积最小，即h 最小，∵点G 是以点E 为圆心，BE ＝1为半径的圆上在矩形ABCD 内部的一部分点，h 2121h 21∴EG ⊥AC 时，h 最小，即点E ，点G ，点H 共线． 由折叠知∠EGF ＝∠ABC ＝90°，延长EG 交AC 于H ，则EH ⊥AC ，在Rt △ABC 中，sin ∠BAC ＝54=AC BC ， 在Rt △AEH 中，AE ＝2，sin ∠BAC ＝54=AE EH ， ∴EH ＝54AE ＝58， ∴h ＝EH -EG ＝58-1＝53，∴S 四边形AGCD 最小＝25h +6＝5325⨯+6＝215．。
圆中最值问题10种求法(供参考)
圆中最值的十种求法在圆中求最值是中考的常见题型，也是中考中的热点、难点问题，有的学生对求最值问题感到束手无策，主要原因就是对求最值的方法了解不多，思路不够灵活.现对在圆中求最值的方法，归纳如下：一、利用对称求最值1．如图：⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值.[分析]：延长AO交⊙O于D，连接CD交⊙O于P，即此时PA+PC最小，且PA+PC的最小值就等于弦CD的长.解：延长AO交⊙O于D，连接CD交OB于P连接PA，过O作OE⊥CD，垂足为E在△OCD中，因为∠AOC=60°所以∠D=∠C=30°在Rt△ODE中cos30°=即DE=2×cos30°= 所以CD=2DE=2即PA+PC的最小值为2.二、利用垂线段最短求最值2．如图：在直角坐标系中，点A的坐标为(－3, －2)，⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则PQ长度的最小值为.[分析]：连接AQ、PA，可知AQ⊥PQ. 在Rt△PQA中，PQ=，求PQ的最小值转化为求PA的最小值，根据垂线段最短易求PA的最小值为2.解：连接PA、QA因为PQ切⊙A于点Q 所以PQ⊥AQ在Rt△APQ中，PQ2=PA2－AQ2即PQ=又因为A(－3,－2) ，根据垂线段最短。
所以PA的最小值为2所以PQ的最小值=三、利用两点之间线段最短求最值3．如图：圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点，一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为( )A．B．2C．3D．3[分析]：因为圆锥的侧面是曲面蚂蚁从A爬行到点D，不好求爬行的最小值，要把立体图形展开为平面图形，再利用两点之间线段最短来解决问题.解：圆锥的侧面展开图如图2，连接AB根据题意得：弧AC的长为2πr=2π·2=4π，PA=6因为4π= 所以n=120°即∠APB=60°又因为PA=PB所以△PAB是等边三角形因为D为PB中点所以AD⊥PB PD=DB=3在Rt△PAD中，AD=，故选C.四、利用直径是圆中最长的弦求最值4．如图：半径为2.5的⊙O中，直径AB的两侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在劣弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，（1）求∠P的正切值；（2）当CP⊥AB时，求CD和CQ的长；当点P运动到什么位置时，CQ取得最大值，并求出此时CQ的长.[分析]：易证明△ACB∽△PCQ，所以，即CQ=PC. 当PC最大时，CQ最大，而PC是⊙O 的动弦，当PC是⊙O的直径时最大.五、利用弧的中点到弦的距离最大求最值5．如图：已知⊙O的半径为2，弦BC的长为2，点A为弦BC所对优弧上任意一点，(B、C两点除外)，求△ABC面积的最大值.[分析]：设BC边上的高为h因为S△ABC=BC h=×2h=h当h最大时S△ABC最大，当点A在优弧的中点时h最大.解：当点A为优弧的中点时，作AD⊥BC于D连接BO 即BD=CD=在Rt△BDO中，OD2=OB2－BD2=22－()2=1所以OD=1 所以AD=2+1=3所以S△ABC=×BC·AD=×2×3=3即△ABC面积的最大值为3六、利用周长一定时，圆的面积最大求最值6．用48米长的篱笆材料，在空地上围成一个绿化场地，现有两种方案：一种是围成正方形的场地，另一种是围成圆形场地，试问选用哪一种方案，围成的场地面积较大？并说明理由.[分析]：周长一定的几何图形，圆的面积最大.解：围成圆形场地的面积较大设S1、S2分别表示围成的正方形场地、圆形场地的面积则S1=()2=144 S2=π·()2=因为π＜4 所以＞所以＞=144 所以S2＞S1 所以应选用围成圆形场地的方案面积较大七、利用判别式求最值7．如图：在半径为1的⊙O中，AB是弦，OM⊥AB，垂足为M，求OM+AB的最大值.[分析]：可设AM=x，把OM用x的代数式表示出来，构造关于x的一元二次方程，然后利用判别式来求最值.解：设AM=x，在Rt△OAM中OM=所以OM+AB=+2x=a整理得：5x2－4ax+(a2－1)=0因为△=(－4a)2－4×5×(a2－1)≥0即a2≤5 所以a≤所以OM+AB的最大值为八、利用一条弧所对的圆周角大于圆外角求最值8．如图：海边立有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓形(弓形的弧是⊙O的一部分)区域内，∠AOB=80°，为避免触礁，轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为.[分析]：连接AC，易知∠ACB=∠AOB=40°，又因为∠ACB≥∠P，所以∠P的最大值为40°.解：如图：连接AC，根据圆周角定理可知∠ACB=∠AOB=×80°=40°又因为∠ACB≥∠P 即∠APB≤40°所以∠APB的最大值为40°九、利用经过⊙O内一定点P的所有弦中，与OP垂直的弦最短来求最值9．如图：⊙O的半径为5cm，点P为⊙O内一点，且OP=3cm，则过点P的弦AB长度的最小值为cm.[分析]：过P作AB⊥OP，交⊙O于A、B，则AB的长最小.解：在Rt△OAP中，AP=所以AB=2AP=2×4=8所以AB的最小值为8十、利用经过圆外一点与圆心的直线与⊙O的两个交点与点P的距离最大或最小求最值10．如图：点P为⊙O外一点，PQ切⊙O于点Q，⊙O的半径为3cm，切线PQ的长为4cm，则点P与⊙O上各点的连线长度的最大值为，最小值为.[分析]：过P、O两点作直线交⊙O于A、B，则PA的长度最大，PB的长度最小.解：连接OQ 因为PQ切⊙O于Q所以OQ⊥PQ在Rt△PQO中PQ2+OQ2=OP2即42+32=OP2 所以OP=5所以PB=5－3=2 PA=6+2=8所以点P与⊙O上各点连线长度的最大为8cm，最小值为2cm.。
圆的最值问题归纳-与圆有关的最值问题
圆的问题探究安阳市龙安高级中学 段可贺高中数学中，研究最多的一种曲线是圆。
在研究圆的相关问题时，最值问题又是研究的重点和热点，现把常见的与圆相关的最值问题，总结如下。
希望对读者有些启发。
类型一、“圆上一点到直线距离的最值”问题分析：求圆上一点到直线距离的最值问题，总是转化成求圆心到定直线的距离问题来解决。
1、求圆C: (x-2)2+(y+3)2=4上的点到直线l ：x-y+2=0的最大、最小距离. 解析：作CH l ⊥交于H ，与圆C 交于A ，反向延长与圆交于点B 。
所以max min 2; 2.CH BH AH d d d d d =====-2、求圆C: (x-1)2+(y+1)2=2上的点与直线l ： x-y+4=0距离的最大值和最小值. 解析:方法同第一题, max min BH d d d ===== 3、圆222=+y x 上的点到直线l ：02543=++y x 的距离的最小值为________________.解析:方法同第一题, min 5d =类型二、“圆上一点到定点距离的最值”问题分析：本质是两点间距离。
涉及与圆相关的两点的距离，总是转化为圆心与定点距离问题来解决。
1.已知点P （x,y ）是圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0上一点,求P 到原点的最大最小距离.解析:连接OC 与圆交于A ,延长OC 交于B.max min 1;1.OC OC d d r d d r =+==-=2.已知圆C ：04514422=+--+y x y x 及点()3,2-Q ，若M 是圆C 上任一点，求MQ 最大值和最小值. 解析:方法同第一题,max Q min Q C C d d r d d r =+===-==3 .已知x,y 满足条件 x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求22y x +范围.解析:方程看作是圆C ,表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与(0,0)距离的范围,求max min ,d d 即可,与第一题答案相同.4.已知x,y 满足圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求22)2()2(+++y x 范围. 解析: 表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与P (-2,-2)距离的最值的平方.max min 22maxmin5,6, 4.36,16.[16,36].CP d d dd=====所以范围是5.已知x,y 满足圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求z=x 2＋y 2+2x+2y 范围.解析: 22(1)(1)2z x y =+++-表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与P (-1,-1)距离的最值的平方减去2.max min 22max min 2121)212[12CP d d z z ====-=+=-=--+所以范围是 6.已知圆()()143:22=-+-y x C ，点A （-1，0），B （1，0），点P 为圆上一动点，求22PB PA d +=的最大值和最小值及对应的P 点坐标. 解析:222222max min 2()2,.2(51)274;2(51)234.[34,74].d PA PB x y d d =+=++=++==-+=几何意义是点P 与原点O 距离的平方2倍加2|OC|=5,所以答案类型三、“过定点的弦长”问题1：已知直线:2830l mx y m ---=和圆22:612200C x y x y +-++=；（1）m R ∈时，证明l 与C 总相交。
考向33 一类与圆有关的最值与范围问题(七大经典题型)(原卷版)
考向33 一类与圆有关的最值与范围问题经典题型一：斜率型 经典题型二：直线截距型 经典题型三：两点距离型 经典题型四：周长、面积型 经典题型五：数量积型 经典题型六：坐标与角度型 经典题型七：弦长型（多选题）（2021·全国·高考真题）已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（ ）A ．点P 到直线AB 的距离小于10 B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，32PB =D ．当PBA ∠最大时，32PB =（2022·全国·高考真题）设点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =对称的直线与圆22(3)(2)1x y +++=有公共点，则a 的取值范围是________．涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：（1）形如ax by --=μ的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． （2）形如by ax t +=的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如22)()(b y a x m -+-=的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a ，b ）的距离平方的最值问题解决圆中的范围与最值问题常用的策略： （1）数形结合 （2）多与圆心联系 （3）参数方程（4）代数角度转化成函数值域问题经典题型一：斜率型1．（2022·全国·高三专题练习）曲线211y x =-()21y k x -=-有两个交点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．()0,∞+B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．()1,1,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭D ．11,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦2．（2022·浙江·模拟预测）已知圆22:(3)(2)1O x y ++-=，过点(1,0)A -与圆上一点的直线的斜率范围是_______；若点A 恰好为过其所在的直线中对圆O 张角最大的点（张角是指这个点到圆所作两条切线的夹角），则此直线的表达式为_______________．3．（2022·上海市光明中学模拟预测）设有直线30l kx y l +-=：，的倾斜角为α．若在直线l 上存在点A 满足2OA =，且tan 0α<，则k 的取值范围是____________．4．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知点P 是圆221x y +=上任意一点，则2yx -的取值范围为________．经典题型二：直线截距型5．（2022·全国·高三专题练习）已知点(,)P x y 是圆2264120x y x y +--+=上的动点，则x y +的最大值为（ ） A ．52B ．52C ．6D ．56．（2022·全国·高三开学考试（文））已知点(),P x y 是圆C ：()()2230x a y a -+=>上的一动点，若圆C 经过点(2A ，则y x -的最大值与最小值之和为（ ） A ．4B ．26C ．4-D ．26-7．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）三角形的外心、重心、垂心所在的直线称为欧拉线．已知圆O '的圆心在OAB 的欧拉线l 上，O 为坐标原点，点()4,1B 与点()1,4A 在圆O '上，且满足O A O B '⊥'，则下列说法正确的是（ ） A ．圆O '的方程为224430x y x y +--+= B ．l 的方程为0x y -=C ．圆O '上的点到l 的最大距离为3D ．若点(),x y 在圆O '上，则x y -的取值范围是32,32⎡-⎣8．（多选题）（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）已知11(,)A x y ，22(,)B x y 是圆O ：221x y +=上两点，则下列结论正确的是（ ） A ．若1AB =，则3AOB π∠=B ．若点O 到直线AB 的距离为12，则3AB =C ．若2AOB π∠=，则112211x y x y +-++-的最大值为22D ．若2AOB π∠=，则112211x y x y +-++-的最大值为4经典题型三：两点距离型9．（2022·广东茂名·模拟预测）已知向量,a b 满足1a = ，2b = ，0a b ⋅= ，若向量c 满足21a b c +-= ，则c 的取值范围是（ ） A ．51⎡⎤⎣⎦B ．3131⎡-+⎢⎣⎦C ．5151-+⎣⎦D ．5152⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ 10．（2022·全国·高三专题练习）正方形ABCD 与点P 在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且222||||||PA PB PC +=，求||PD 的取值范围．11．（2022·全国·高三专题练习）已知22:(3)(4)1C x y -+-=，点(1,0)A -，(1,0)B ，点P 是圆上的动点，求22||||d PA PB =+的最大值、最小值及对应的P 点坐标．12．（2022·云南省下关第一中学高三开学考试）若圆221x y +=上总存在两个点到点(,1)a 的距离为2，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(2,0)2)-⋃ B ．(22,22)- C ．(1,0)(0,1)-D ．(1,1)-13．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知单位向量a 与向量()0,2b =垂直，若向量c 满足1a b c ++=，则c 的取值范围为（ ） A ．51⎡⎤⎣⎦B ．3131⎡-+⎢⎣⎦C ．551⎡⎤⎣⎦D ．31⎡⎤+⎢⎥⎣⎦14．（2022·全国·高三专题练习）已知M 是圆22:1C x y +=上一个动点，且直线1:310(R)l mx y m m --+=∈与直线2:310(R)l x my m m +--=∈相交于点P ，则||PM 的取值范围是（ ）A ．31,231⎡⎤⎣⎦B ．21,321⎡⎤⎣⎦C ．21,221⎤⎦D ．21,331⎡⎤⎣⎦经典题型四：周长、面积型15．（2022·辽宁朝阳·高三阶段练习）过圆O ：222x y r +=()0r >外一点()22,0引直线l 与圆O 相交于A ，B 两点，当AOB 的面积取得最大值时，直线l 的斜率为2则r =______．16．（2022·湖北·高三开学考试）已知圆22:(3)(4)4C x y -+-=，过点(3,3)P 作不过圆心的直线交圆C 于,A B 两点，则ABC 面积的取值范围是___________.17．（多选题）（2022·全国·模拟预测）已知圆M 上的三个点分别为()0,1A -，()1,2B -，()4,1C ，直线l 的方程为()2120mx m y +-+=，则下列说法正确的是（ ） A ．圆M 的方程为2230x y x y +-+=B ．过C 作直线l '与线段AB 相交，则直线l '的斜率的取值范围为[)1,1,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦C ．若直线l 被圆M 截得的弦长为2，则l 的方程为12520x y -+=或2y =-D ．当点M 到直线l 的距离最大时，过l 上的点R 作圆M 的两条切线，切点分别为P ，Q ，则四边形RPMQ 面积的最小值为21018．（2022·北京·高三开学考试）已知直线l ：110ax y a+-=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，则下面结论中正确的是（ ） A ．线段AB 长度的最小值为1 B ．线段AB 长度的最大值为2 C ．OAB 的面积最小值为4D ．OAB 的面积最大值为1219．（2022·河北秦皇岛·高三开学考试）若直线:0()l kx y k k +-=∈R 与圆22:4230C x y x y +---=交于A ，B 两点，则ABC 面积的最大值为（ ）A ．4B ．8C ．23D ．43经典题型五：数量积型20．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）已知圆22:(2)1C x y -+=，点P 在直线:10l x y ++=上，若过点P 存在直线m 与圆C 交于A 、B 两点，且满足2PB PA =，则点P 横坐标0x 的取值范围是___________．21．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:1O x y +=，若曲线12y k x =-+上存在四个点()1,2,3,4i P i =，过动点Pi 作圆O 的两条切线，A ，B 为切点，满足32i iP A PB ⋅=，则k 的取值范围为（ ） A ．4,3∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(,7)(4,13)--∞--D ．4(7,)1)30(,---22．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l 与圆O ：229x y +=相交于不同两点P ，Q ，点M 为线段PQ 的中点，若平面上一动点C 满足()0CP CQ λλ=>，则OC OM ⋅的取值范围是（ ） A ．[)0,3 B ．(0,32C ．[)0,9D ．(0,6223．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知圆M ：22(4)(5)12x y -+-=，直线l ：230mx y m --+=，直线l 与圆M 交于A ，C 两点，则下列说法正确的是（ ）A ．直线l 恒过定点(2,3)B ．||AC 的最小值为4C ．MA MC ⋅的取值范围为[12,4]-D ．当AMC ∠最小时，其余弦值为1224．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，点()P a b ，在直线()40l kx y k --=∈R ：上，PA PB ，是圆222x y +=的两条切线，A B ，为切点，则（ ） A ．直线l 恒过定点()04，B ．当PAB △为正三角形时，22OP =C ．当PA PB ⊥时，k 的取值范围为()77⎡-∞+∞⎣，，D ．当14PO PA ⋅=时，a b +的最大值为4225．（多选题）（2022·湖北·襄阳五中二模）已知点()2,4P ，若过点()4,0Q 的直线l 交圆C ：()2269x y -+=于A ，B 两点，R 是圆C 上一动点，则（ ）A ．AB 的最小值为5B ．P 到l 的距离的最大值为5C ．PQ PR ⋅的最小值为245-D ．PR 的最大值为42326．（2022·全国·高三专题练习）已知(4,0)A ，(0,6)B -，点P 在曲线211y x =-则PA PB ⋅的最小值为___________.经典题型六：坐标与角度型27．（2022·山东泰安·二模）已知以C 为圆心的圆222440x y x y +--+=．若直线220ax by +-=（a ，b 为正实数）平分圆C ，则21a b+的最小值是______；设点()0,3M x ，若在圆C 上存在点N ，使得∠CMN ＝45°，则0x 的取值范围是______． 故答案为：322+[]0,2.28．（2022·全国·高三专题练习）已知实数x ，y 满足()()22121x y -+-=，则22z x y =+的取值范围是___________.29．（2022·全国·高三专题练习）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M ，N 是锐角AQB ∠的一边QA 上的两点，试在QB 边上找一点P ，使得MPN ∠最大．”如图，其结论是：点P 为过M ，N 两点且和射线QB 相切的圆与射线QB 的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点M （-1，2），N （1，4），点P 在x 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是（ ）A ．1B ．-7C ．1或-1D ．2或-730．（2022·全国·高三专题练习）已知点A 为圆22:2220C x y x y +---=上一点，点()23,4M m m --，()23,4N n n --，m n ≠，若对任意的点A ，总存在点M ，N ，使得90MAN ∠≥︒，则m n -的取值范围为（ ）A ．[)2,+∞B ．[]1,2C ．2,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．20,5⎛⎤⎥⎝⎦31．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知圆229:4O x y +=，圆22:()(1)1M x a y -+-=，若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，使得π3APB ∠=，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[15,15]- B ．[3,3]-C ．[3,15]D ．[15,3][3,15]-32．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））设(2,0),(2,0)A B -，O 为坐标原点，点P 满足22||||16PA PB +≤，若直线60kx y -+=上存在点Q 使得π4PQO ∠=，则实数k 的取值范围为（ ） A ．1414⎡⎢⎣⎦B ．1414,,2⎛⎡⎫-∞+∞ ⎪⎢⎝⎦⎣⎭C ．55,,2⎛⎡⎤-∞+∞ ⎢⎥⎝⎦⎣⎦D ．55⎡⎢⎣⎦33．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知直线l ：10x my ++=与圆O ：2234x y +=相交于不同的两点A ，B ，若∠AOB 为锐角，则m 的取值范围为（ ） A ．153315⎛⋃ ⎝⎭⎝⎭B ．1515⎛ ⎝⎭C ．1515,∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．153⎛ ⎝⎭经典题型七：弦长型34．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 l 过点()1,2A ，则直线 l 被圆O ：2212x y +=截得的弦长的最小值为（ ） A ．3B ．6C ．33D ．6335．（2022·广东·高三阶段练习）若圆22:1024880C x y x y +-++=关于直线260ax by ++=对称，则过点(,)a b 作圆C 的切线，切线长的最小值是________．36．（2022·浙江·绍兴一中模拟预测）直线210x y --=与直线20x y +-=相交于点A ，则点A 坐标为_______，过A 的直线与曲线226440x y x y +--+=交于M ，N ，则||MN 的取值范围是________．37．（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）如图，经过坐标原点O 且互相垂直的两条直线AC 和BD 与圆2242200x y x y +-+-=相交于A ，C ，B ，D 四点，M 为弦AB 的中点，有下列结论：①弦AC 长度的最小值为45； ②线段BO 长度的最大值为105-； ③点M 的轨迹是一个圆；④四边形ABCD 面积的取值范围为205,45⎡⎤⎣⎦．其中所有正确结论的序号为______．1．（2021·北京·高考真题）已知直线y kx m =+（m 为常数）与圆224x y +=交于点M N ，，当k 变化时，若||MN 的最小值为2，则m = A ．±1B ．2±C ．3D ．2±2．（2020·北京·高考真题）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A ．4B ．5C ．6D ．73．（2020·全国·高考真题（文））已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．44．（2020·全国·高考真题（理））已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=5．（多选题）（2021·全国·高考真题）已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（ ）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离 C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切 6．（多选题）（2021·全国·高考真题）已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（ ）A ．点P 到直线AB 的距离小于10 B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，32PB =D ．当PBA ∠最大时，32PB =7．（2022·全国·高考真题）设点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =对称的直线与圆22(3)(2)1x y +++=有公共点，则a 的取值范围是________．。
直线与圆的最值问题
题型一：过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值．例1：.圆x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m ，最小弦长为n ，则m －n 等于 解析 圆的方程x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0化为标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25.所以圆心为(2，－3)，半径长为5.因为(－1－2)2＋(0＋3)2＝18＜25，所以点(－1,0)在已知圆的内部，则最大弦长即为圆的直径，即m ＝10.当(－1,0)为弦的中点时，此时弦长最小.弦心距d ＝(2＋1)2＋(－3－0)2＝32，所以最小弦长为2r 2－d 2＝225－18＝27，所以m －n ＝10－27.变式训练1：1y kx =+与圆C ()2214x y +-=相交于,A B 两点，则AB 的最小值是多少？ 解：直线1y kx =+过定点()1,0M ，当MC AB ⊥时，AB取最小值，由 2222l d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可知，222d R l -=，2==MC d ，故22222=-=d R l变式训练2：已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R).(1)求证不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点；(2)求直线被圆C 截得的弦长最小时的l 的方程.(1)证明 因为l 的方程为(x ＋y －4)＋m (2x ＋y －7)＝0(m ∈R )，所以⎩⎨⎧ 2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，即l 恒过定点A (3,1).因为圆心为C (1,2)，|AC |＝5<5(半径)，所以点A 在圆C 内，从而直线l 与圆C 恒交于两点.(2)解 由题意可知弦长最小时，l ⊥AC .因为k AC ＝－12，所以l 的斜率为2. 又l 过点A (3,1)，所以l 的方程为2x －y －5＝0. 方法总结：过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最大值为圆的直径，最小值为垂直于直径的弦.题型二：圆外一点与圆上任一点间距离的最值直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值．例2：求点A ）（0,2到圆C 122=+y x 的距离的最大值和最小值？解：==AC d 2，故距离的最大值为3=+r d ，最小值为1=-r d变式训练1：圆122=+y x 上的点到直线2x y -=的距离的最大值？解:圆心到直线的距离为222==d ， 则圆上的点到直线2x y -=的最大值为12+=+r d 则圆上的点到直线2x y -=的最小值为1-2-=r d方法总结：圆外一点与圆上任一点间距离的最大值为r d +，最小值为r d -直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最大值为r d +，最小值为r d -题型三：切线问题例3 由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT (T 为切点)，当PT 最小的时候P 的坐标？解析 根据切线段长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系，可知PT ＝PC 2－1，故PT 最小时，即PC 最小，此时PC 垂直于直线y ＝x ＋2，则直线PC 的方程为y ＋2＝－(x －4)，即y ＝－x ＋2，联立方程⎩⎨⎧y ＝x ＋2，y ＝－x ＋2，解得点P 的坐标为(0,2)． 变式训练1：点P 是直线2x ＋y ＋10＝0上的动点，P A ，PB 与圆x 2＋y 2＝4分别相切于A ，B 两点，则四边形P AOB 面积的最小值为________．解析：如图所示，因为S 四边形P AOB ＝2S △POA .又OA △AP ，所以S 四边形P AOB ＝2×12|OA |·|P A | ＝2|OP |2－|OA |2＝2|OP |2－4.为使四边形P AOB 面积最小，当且仅当|OP |达到最小，即为点O 到直线2x ＋y ＋10＝0的距离：|OP |min ＝1022＋12＝2 5.故所求最小值为2252－4＝8.题型五：两圆相离，两圆上点的距离的最值。
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x
圆中最值问题
类型一 圆上一点到直线距离的最值问题
例1 已知P 为直线y=x +1上任一点，Q 为圆C ：
22(3)1x y -+=上任一点，则PQ 的最小值为 .
变题1：已知A (0,1),B (2,3),Q 为圆C 22(3)1x y -+=上任一点，则QAB S 的最小值为 .
变题2：由直线y=x +1上一点向圆C ：22
(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为
变题3：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则当PC= 时，APB ∠最大．
变题4：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则四边形PACB 面积的最小值为 .
例2已知圆C ：222430x y x y ++-+=，从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM=PO ,求使得PM 取得最小
值的点P 坐标．
类型二 利用圆的参数方程求最值（或几何意义）
例3若实数x 、y 满足22240x y x y ++-=，求x-2y 的最大值．
如在上例中，改为求
12
y x --，22(2)(1)x y -+-，1x y --的取值范围，该怎么求解？
类型三：转化成函数或不等式求最值
例4已知圆O ：22
1x y +=，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，则PA PB ⋅的最小值为
例5已知圆C ：
22+24x y +=（）， 过点(1,0)A -做两条互相垂直的直线12l l 、，1l 交圆C 与E 、F 两点，2l 交圆C 与G 、H 两点，
（1）EF +GH 的最大值．(2) 求四边形EGFH 面积的最大值．
6、已知C 过点)1,1(P ,且与
M :222(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称.
(Ⅰ)求C 的方程；
(Ⅱ)设Q 为C 上的一个动点,求PQ MQ ⋅的最小值；
(Ⅲ)过点P
作两条相异直线分别与C 相交于B A ,,且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线OP 和AB 是否平行?请说明理由.
7、如图，在矩形ABCD 中，3,1AB BC ==，以A 为圆
心1为半径的圆与AB 交于E （圆弧DE 为圆在矩形内的部
分）
（Ⅰ）在圆弧DE 上确定P 点的位置，使过P 的切线l 平分
矩形ABCD 的面积；
（Ⅱ）若动圆M 与满足题（Ⅰ）的切线l 及边DC 都相切，
试确定M 的位置，使圆M 为矩形内部面积最大的圆．
l P E C M。