武汉理工数字信号处理试卷A

6()((()(())x n x n h n h n ==,试求()x n 与()h n 的周期卷积并作图。

武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称 数字信号处理 （ A 卷）一、解：(1) 首先判断系统是否是线性系统，假设在1()x n 和2()x n 单独输入时的输出分别为1()y n 和2()y n ，即：1111()[()](1)3(6)y n T x n x n x n ==--- 2222()[()](1)3(6)y n T x n x n x n ==---那么当输入为12()()()x n ax n bx n =+时，系统的输出为12121212()[()][()()](1)(1)3(6)3(6)()()y n T x n T ax n bx n ax n bx n ax n bx n ay n by n ==+=-+-----=+ 所以系统是线性系统。

（2分）下面判断系统是否为时不变系统，假设系统的输入为()x n ，系统的输出()[()](1)3(6)y n T x n x n x n ==---当系统的输入为1()()x n x n m =-时，系统的输出1111()[()](1)3(6)(1)3(6)()y n T x n x n x n x n m x n m y n m ==---=-----=-由此可得系统是时不变系统，所以该系统为线性时不变系统。

（2分）接下来判断系统是否为因果系统，()y n 与)1(-n x 和)6(-n x 有关，由因果系统的定义可知，该系统为因果系统。

（2分）最后，判断系统是否为稳定系统，假设输入有界，即()x x n B ≤<∞此时输出满足()(1)3(6)4x y n x n x n B =---≤<∞因此系统为稳定系统。

（2分）(2) 045πω=，则02π552π4π2ω=⋅=为有理数，5和2没有公因子，所以周期5N =；（4分）二、解：(1) 因为该LTI 系统是因果的，且1,0)0(<=n x ，所以0)0(=y ，以此条件作为初始条件，先求出)1(y ，110)1()0(31)1(=+=+=x y y 再由)1(y 值及输入推导)2(y ，并依次推导得)4(),3(y y …。

因而有：31031)2()1(31)2(=+=+=x y y 2231031)3()2(31)3(⎪⎭⎫⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=x y y……1131031)()1(31)(--⎪⎭⎫⎝⎛=+⎪⎭⎫⎝⎛=+-=n n n x n y n y故系统的输出为11,1()30,1n n y n n -⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪<⎩即)1(31)(1-⎪⎭⎫⎝⎛=-n u n y n （6分）由系统的时不变性可知，当输入为)()(n n x δ=，系统的单位脉冲响应为)(31)(n u n h n⎪⎭⎫⎝⎛=因为∞<=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∞=∞-∞=∞-∞=2331)(31)(0n nn nn n u n h ，所以系统是稳定的。

（2分）(2) 单位阶跃响应为输入)(n u 与)(n h 的卷积，即())(311311)()(31)()()(1n u n u n u n u n h n g n n--=*⎪⎭⎫⎝⎛=*=+ （4分）三、由z 变换的定义，2222202()()(1/2)(2)(1/2)(1/2)(1/2)4(2)412nn nn n nnn nn n n n nn n X z x n zu n zzz z z z z z∞∞--=-∞=-∞-∞--=-∞=∞∞--+====---=-=-=-=-=+∑∑∑∑∑∑ （3分）若该序列收敛，则要求21z -<，即收敛域为：12z <。

()X z 在原点有一个两阶零点10z =，极点为1/2z =-，则零极点图（收敛域为阴影部分）如图所示。

由于()X z 为有理函数，可以根据极点直接确定收敛域：序列是左边序列（12n n >=-时()0x n =），()X z 只有一个极点，模为12，则收敛域是12z <，因为12n =-，则收敛域包含0z =。

因为收敛域不包括单位圆，所以傅里叶变换不存在。

（３分）图()X z 的零极点图及收敛域（2）解法一：留数法从收敛域0.5z >可以看出，()x n 是因果序列，即当0n <时，()0x n =。

11111210.50.5()311114842n n n n z z z X z zz z z z z -+------==⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 当0n ≥时，收敛域内围绕原点的逆时针方向的围线C 及1()n X z z-在围线内的极点114z =-和212z =-如题2解图(2)所示，因为Re[]z1111410.5111Res (),4211444442n nn n n z z z X z z z z z z ++-=-⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-=⋅+=⋅--⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥++ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111210.5111Res (),4211222242n nn n n z z z X z z z z z z ++-=-⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-=⋅+=-⋅-+⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥++ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以111111()Res (),Re (),434224nnn n x n X z z z s X z z z --⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-+=-=⋅--⋅- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭综上，11()43()24n n x n u n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅--⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦解法二：部分分式展开法11111111143432()111111111111242424z X z z z z z z z --------==-=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++---- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由于收敛域为12z >，所以 11()43()24n nx n u n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅--⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦(6分)四、可以用列表法求解，在一个周期内5()()()()()m y n x n h n x m h n m ==*=-∑Re[]z ]z()x m 和()h n m -如表所示，()h n m -()x m1 只要将表中对应于某个n 的一行中的()h n m -值和第一行中与之对应的()x m 值相乘，然后再将所有乘积结果相加，就得到此n 的()y n 值。

()y n 如图所示。

五、()()()()()()()()()()()()()()()()()12111/21/212120/21/21221200/21/211/22/2x(n)n 221221N N N nknk nkNNN n n n N N r krk NNr r N N rkrkkN N N r r N N rkk r N NN r r x r x r x r x r X k x n Wx n Wx n W x r Wx r W x r W W x r W x r WWx r W---===--+==--==--==⎧=⎪⎨+=⎪⎩==+=++=+=+∑∑∑∑∑∑∑∑∑将按的奇偶分为两组：则()()12 ,0,1,.../21k kN X k W X k r k N =+=-()()()()121122/22,/222N k N k kNN N NX k X k N N N X k X k X k X k W W W W +⎛⎫⎛⎫∴+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-是以为周期的又()y n n51412108610……116-12()()()k N X k X k W X k =+，)2(k NX +=12()()k N X k W X k - 0,1,,12N k =-()1X k ()2X k ()()12k N k W X k +()()12k N k W X k - （4分）N / 2仍为偶数，进一步分解：N / 2 ， N / 4131413/2413/2425/2625/26(2)()(21)()()()()()()()4()()()()()()4k N k N kNk N x l x l x l x l X k X k W X k N X k X k W X k X k X k W X k N X k X k W X k =⎧⎨+=⎩⎧=+⎪⎨+=-⎪⎩⎧=+⎪⎨+=-⎪⎩（2分）()0X ()1X ()2X ()3X ()4X ()5X ()6X ()7X(4x (2x (6x ()1x (5x (3x (7x (0x （4分）六、(1) 直接I 型根据系数k a ，k b 确定结构。

（3分）直接I 型结构图(2) 直接II 型对直接I 型改进，合并延迟单位。

)（3分）直接II 型结构图(3) 级联型：将系统函数写成1113111211321)(----⨯-+=z z zz H（3分）一阶节级联型结构(4) 并联型：系统函数写成部分分式形式1131162117)(----+-=z z z H（3分）一阶节并联型结构七、脉冲响应不变法sTe z =，双线性不变法sc sc z -+=，T c 2=。

(1) 脉冲响应不变法11211)1)(12(1)(+-++=++=s s s s s H a∑=--=Nk T s kz e TA z H k 111)( 1211211211212|11)(----=------+-=--+-=z e z e z e T zeT z H T T T （4分） (2) 双线性变换12111211112262111131121|)()(11-------+-⋅=-++=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==--z z z z z z z s H z H z z T s a （4分）（3）冲激响应不变法的主要优点：时域逼近良好；模拟频率Ω和数字频率ω之间呈线性关系，即ω=ΩT ，一个线性相位的模拟滤波器可以映射成一个线性相位的数字滤波器；缺点：有频率响应混叠效应，只适应于限带的模拟滤波器。

双线性变换法的主要优点：避免了频率响应的混叠效应；缺点：模拟频率Ω和数字频率ω之间呈非线性关系，即 tan 2C ωΩ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭（C 为常数）。

（4分）八、窗函数法设计FIR 数字滤波器是在时域进行的，用窗函数截取无限长的)(n h d ，这样得到的频率响应)(j ωe H 逼近于理的频率响应)(d ωj eH 。